与圆有关计算教案

北京育才苑个性化教案
教师姓名陆战学生姓名石少成年级九年级辅导科目数学上课时间课时 1
课题名称（弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积）教案
教学及辅导过程
知识概述
1、正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
2、正多边形与圆的关系
把圆分成n(n≥3)等分，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形．
3、正多边形的几个有关概念
(1)中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
(2)半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；
(3)中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；
(4)边心距：中心到一边的距离，叫做边心距．
4、画正n边形的方法和步骤
(1)将一个圆n等分；
(2)顺次连结各个等分点．
作图依据是：弧相等．
5、圆周长
圆周长C与半径R之间的关系：．
这里叫圆周率，是圆的周长与直径的比值，为无限不循环小数．
6、弧长的计算公式
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：．
7、圆面积
圆面积S与半径R之间的关系．
8、扇形的面积公式
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．
公式一：如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形的面积计算公式为：
．
公式二：如果扇形的半径为R，弧长为，那么扇形的面积的计算公式为：．
9、圆锥的有关计算公式
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积：
圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积，即．
二、重难点知识归纳
1、正多边形与圆的有关计算．
2、弧长、面积的有关计算．
三、典型例题讲解
例1、求证：各边相等的圆内接五边形是正五边形．
分析：这是一道命题式的证明题，首先应画出图形，写出已知、求证，然后再证明．已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，且AB=BC=CD=DE=EA．
求证：ABCDE为正五边形．
证明：
∵五边形ABCDE内接于⊙O，
且AB=BC=CD=DE=EA，
∴，
∴点A、B、C、D、E五等分⊙O，∴五边形ABCDE是正五边形．
例2、如图，已知正△ABC的半径为R，求△ABC的边长a，周长P，边心距r
和面积S．
分析：因为△ABC是正三角形，所以AD即是△ABC的BC的边上的高、中线，又是∠A的平分线，OC也是
∠ACB的平分线，∴，∠OCD=30°．
解：
过A作AD⊥BC于D
∵△ABC是正三角形
∴点O在AD上，a=BC=2CD，∠OCD=30°
在Rt△COD中，
．
∴；
又
总结：
涉及正多边形的边长、半径、边心距、周长、面积的计算问题，通常是作高线构造直角三角形，利用直角三角形的相关性质求解．
例3、(1)如图，两个半径为1的⊙O1与⊙O2及⊙O相外切，切点分别为A、B、C，且∠O＝90°，则的长为（）
(2)如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做正三角形的渐开线，其中…的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相接，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是( )
A．2πB．4πC．6πD．8π
分析：
(1)要计算这三段弧长的和，由相切两圆的性质易知△OO1O2为等腰直角三角形，所以∠O1=∠O2=45°，由此不难求出三段弧的长度和；
(2)曲线CDEF的长实际上也是三段弧长的和，它们所对的圆心角都是120°，的
半径AC=AB=1，的半径BD=2AB=2，的半径CE=3AB=3，所以曲线CDEF的长为．解：(1)B；(2)B．
例4、求下列阴影部分面积.
（1）如图（1），在边长为4的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则阴影部分面积是______________.
图（1）图（2）
（2）如图（2），A是半径为1的⊙O外一点，OA=2，AB为⊙O的切线，B为切点，弦CB//AO，连结AC，求阴影部分面积.
解：
（1）连结OB、OC，则把弓形OMB移到弓形ONC处，由正方形及圆的性质可知
（2）连结OC、OB，∵CB//OA，由等底等高的三角形面积相等，
可知S△ABC＋弓形面积=S扇形OBC，
Rt△OAB中，AO=2BO，∠AOB=60°，
∴△OCB为正三角形，∴
例5、已知：在中，，，，求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积．
分析：
以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积．
解：
过C点作，垂足为D点．
因为三角形ABC是，，，，
所以．
，底面周长为，
所以S全．
答：这个几何体的全面积为．
中考考点
考点 1 弧长公式
例 1 (2008·安徽)如图1-9-51所示，在⊙O中，∠AOB=60°，AB=3 cm，则劣弧AB的长为__________cm．
解析∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴OA=OB=AB=3 cm．
∴AB=603
180
π
=π．
答案π
点评：求弧长时，只要分别求出弧所对的圆心角和所在圆的半径，特别求半径时，要结合应用所学知识解题．代入公式时，圆心角不带度．
变式训练
如图1-9-52所示，阴影部分是某一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为20 cm、10 cm，∠AOB=120°，求这个广告标志面的周长．
考点 2 扇形面积公式的应用
例2 如图1-9-53，已知扇形的半径为3 cm，圆心角为120°，则扇形的面积为__________cm2．(结果保留π)
解析由扇形面积公式得：
S扇=
22
120329
3603606
n r
πππ
===3π(cm2)．
答案 3π
点评：扇形面积公式有两个，要根据所给条件灵活应用．
变式训练
如图1-9-54，一扇形纸扇完全打开后，外侧两根竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为9，贴纸部分的宽BD为6，则贴纸部分面积(贴纸部分为两面)是( )
A．24πB．36πC．48πD．72π
考点 3 求圆锥的侧面积
例 3 一个圆锥的底面半径为 3 cm，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是
2．
解析如图1-9-55所示，设圆锥母线长为l，底面半径为r，则由题意得：
2πr=1
2
·2πl，∴l=2r=6．
∴S圆锥侧=πrl=π·3·6=18π(cm2)
答案 18π
点评：侧面展开图是半圆，则半圆的半径是母线长l．
变式训练
半径为8的半圆是一个圆锥的侧面展开图，那么这个圆锥的底面半径是( )
A．16 B．8 C．4 D．2
考点 4 阴影部分面积的求解
例4 如图1-9-56，从P点引⊙O的两切线PA、PB，A、B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P=60°，则图中阴影部分的面积为__________．
解析连结OA、OB，则OA⊥AP，OB⊥BP，
在四边形APBO中，
∵∠P=60°，∴∠AOB=120°，
连接PO，则PO平分∠APB，
在Rt△AOP中，∠APO=30°．
tan 30°=
23
3
AO
AP AP
==，∴AP=23，
∴S Rt△AOP=1
2
·2·23=23，
S Rt△BOP=S Rt△AOP=23，
S扇形=
2
12024 3603
ππ
=．
∴阴影部分的面积
4
43
3
π
-．
答案
4 43
3
π
-
点评：解决有关扇形阴影面积问题，要紧扣扇形的面积公式，仔细观察图形的特点．变式训练
如图1-9-57，在矩形ABCD中，AD=2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点F．
(1)若CF长为2
3
π
，求圆心角∠CBF的度数；
(2)求图中阴影部分的面积．(结果保留根号及π的形式)考点 5 求曲面上最短距离
例5 如图1-9-58所示的圆柱体中底面圆的半径是2
π
，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体
的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是__________(结果保留根号)．
解析如图1-9-59所示，由A点到C点的矩形ABCD是圆柱侧面展开图的一半，则AC是小虫爬行的最短路线长．
圆柱底面圆的周长C=2π·2
π
=4，
∴AB=1
2
C=
1
2
·4=2，BC=2．
在Rt△ABC中，由勾股定理得
. .。