北京市海淀区2015届高三数学上学期期末试卷 文(含解析)

北京市海淀区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U={x∈R|x＞0}，集合A={x∈R|x≥2}，则C U A=（）A．{x∈R|x＜2} B．{x∈R|0＜x＜2} C．{x∈R|x≤2}D．{x∈R|0＜x≤2} 2．（5分）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：ax﹣y+2=0．若l1∥l2，则实数a的值是（）A．0或﹣3 B．2或﹣1 C．0 D．﹣34．（5分）当向量==（﹣1，1），=（1，0）时，执行如图所示的程序框图，输出的i值为（）A．5 B．4 C．3 D．25．（5分）为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示．由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为（）A．0.375 B．0.625 C．0.5 D．0.1256．（5分）已知函数f（x）=log2（x+a）+log2（x﹣a）（a∈R）．命题p：∃a∈R，函数f（x）是偶函数；命题q：∀a∈R，函数f（x）在定义域内是增函数．那么下列命题为真命题的是（）A．¬q B．p∧q C．（¬p）∧q D．p∧（¬q）7．（5分）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t48．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则E点位于（）A．点A处B．线段AD的中点处C．线段AB的中点处D．点D处二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）抛物线y2=﹣2x的焦点坐标为．10．（5分）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则m=．11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为．12．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是．13．（5分）在等比数列{a n}中，若a1=﹣24，a4=﹣，则公比q=；当n=时，{a n}的前n项积最大．14．（ 5分）已知⊙O：x2+y2=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）某中学在2014-2015学年高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；（Ⅱ）考核前，评估小组打算从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）考核分答辩和笔试两项.5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）17．（14分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（Ⅰ）求证：BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）求证：B1C⊥AC1；（Ⅲ）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由．18．（13分）已知椭圆M：x2+2y2=2．（Ⅰ）求M的离心率及长轴长；（Ⅱ）设过椭圆M的上顶点A的直线l与椭圆M的另一个交点为B，线段AB的垂直平分线交椭圆M于C，D两点．问：是否存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由．19．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为ax﹣y=0，求x0的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）＞x；（Ⅲ）问集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}（b∈R且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）20．（14分）数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2a n+1=2a n+p（p为常数，n=1，2，3，…）．（Ⅰ）若S3=12，求S n；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，求实数p的值．（Ⅲ）是否存在实数p，使得数列{}满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p的值；若不存在，说明理由．北京市海淀区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U={x∈R|x＞0}，集合A={x∈R|x≥2}，则C U A=（）A．{x∈R|x＜2} B．{x∈R|0＜x＜2} C．{x∈R|x≤2}D．{x∈R|0＜x≤2}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：欲求补集，利用补集的定义求解解答：解：∵全集U={x∈R|x＞0}，集合A={x∈R|x≥2}，∴C U A={x∈R|0＜x＜2}故选：B点评：本题主要考查了集合交，并，补的混合运算，较为简单．2．（5分）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2﹣i D．﹣2+i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的几何意义即可得出．解答：解：由图可知：z=﹣2+i．故选：D．点评：本题考查了复数的几何意义，属于基础题．3．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：ax﹣y+2=0．若l1∥l2，则实数a的值是（）A．0或﹣3 B．2或﹣1 C．0 D．﹣3考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：对a分类讨论，利用两条直线相互平行与斜率之间的关系即可得出．解答：解：当a=﹣2时，两条直线分别化为﹣2x+1=0，﹣2x﹣y+2=0，此时两条直线不平行，舍去．当a≠﹣2时，两条直线分别化为：，y=ax+2．∵l1∥l2，∴，．解得a=0，a=﹣3．综上可得：a=0或﹣3．故选：A．点评：本题考查了两条直线相互平行与斜率之间的关系、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）当向量==（﹣1，1），=（1，0）时，执行如图所示的程序框图，输出的i值为（）A．5 B．4 C．3 D．2考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟程序运行，依次写出每次循环得到的的值，当=（1，1），满足条件a•c=0，退出循环，输出i的值为2．解答：解：模拟程序运行，有i=1时，=（0，1），不满足条件a•c=0i=2时，=（1，1），满足条件a•c=0退出循环，输出i的值为2．故选：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．5．（5分）为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示．由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为（）A．0.375 B．0.625 C．0.5 D．0.125考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：由已知茎叶图得到该年级女生五十米跑成绩及格的人数，然后由古典概型的概率求解．解答：解：由已知得到该年级女生五十米跑成绩及格的有：7.8，8.6，8.1，8.8，9.1共有6人，由古典概型概率公式得P==0.625；故选B．点评：本题考查了由茎叶图找到调查数据的信息以及由此计算概率，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）=log2（x+a）+log2（x﹣a）（a∈R）．命题p：∃a∈R，函数f（x）是偶函数；命题q：∀a∈R，函数f（x）在定义域内是增函数．那么下列命题为真命题的是（）A．¬q B．p∧q C．（¬p）∧q D．p∧（¬q）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先求f（x）的定义域（|a|，+∞），根据偶函数的定义域特点及对数函数的单调性知命题p是假命题，命题q是真命题，所以便可判断（￢p）∧q是真命题．解答：解：函数f（x）的定义域为（|a|，+∞）；定义域不关于原点对称；∴f（x）是非奇非偶函数；∴命题p是假命题；根据对数函数的单调性知f（x）在定义域内是增函数；∴命题q是真命题；∴￢p是真命题，（￢p）∧q为真命题．故选C．点评：考查偶函数定义域的特点，以及对数函数的单调性，对于F（x）=f（x）+g（x），若f（x），g（x）在F（x）的定义域内都是增函数，则F（x）是增函数，以及￢p，p∧q的真假和p，q真假的关系．7．（5分）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t4考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意可知，平均融化速度为=，反映的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案解答：解：平均融化速度为=，反映的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知t3处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速速一致，故选：C点评：本题考查了图象的识别，关键理解平均速度表示的几何意义（即斜率），属于基础题8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则E点位于（）A．点A处B．线段AD的中点处C．线段AB的中点处D．点D处考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，数形结合得到使三棱锥B﹣D1EC的三个动面面积最大的点E得答案．解答：解：如图，E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E，对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置，面BCD1的面积为定值，要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1的面积和最大，而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）抛物线y2=﹣2x的焦点坐标为．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程的标准方程，求出p值，确定开口方向，从而写出焦点坐标．解答：解：抛物线 y2 =﹣2x，开口向左，p=1，故焦点坐标为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于容易题．10．（5分）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，则m=3．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，由题意可得，tan60°=，计算即可得到m．解答：解：双曲线（m＞0）的渐近线方程为y=x，则有tan60°=，即有=，即为m=3．故答案为：3．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为8．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高为3，底面是直角边长为3，4的直角三角形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．解答：解：由题设条件，此几何几何体为一个三棱锥，其高为3，底面是直角边长为3，4的直角三角形，故其体积是=8，故答案为：8点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积．12．（5分）设不等式组表示的平面区域为D．则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当OQ垂直直线x+y﹣1=0时，此时区域D上的点到坐标原点的距离的最小，最小值为圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=，故答案为：．点评：本题主要考查两点间距离的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．13．（5分）在等比数列{a n}中，若a1=﹣24，a4=﹣，则公比q=；当n=4时，{a n}的前n项积最大．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由已知及等比数列的通项公式求得公比；写出等比数列的通项公式，得到前n 项积，然后根据奇数项积为负值，分析偶数项乘积得答案．解答：解：在等比数列{a n}中，由a1=﹣24，a4=﹣，得，∴q=；∴．则{a n}的前n项积：=．当n为奇数时T n＜0，∴当n为偶数时T n有最大值．又，且当n为大于等于4的偶数时，T n+2＜T n，∴当n=4时，{a n}的前n项积最大．故答案为：；4．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是中档题．14．（5分）已知⊙O：x2+y2=1．若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪故答案为：（﹣∞，﹣1]∪上的最大值和最小值．考点：余弦函数的图象；余弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由图观察可知，函数的图象过点（0，），有=cosφ可解得φ的值是．由图观察可知，函数的图象过点（x0，），有π×x0+=2，可解得x0的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：．根据余弦函数的单调性即可求f（x）在区间上的最大值和最小值．解答：解：（Ⅰ）∵由图观察可知，函数的图象过点（0，），∴=cosφ，∵0＜φ＜，∴可解得φ的值是．∵由图观察可知，函数的图象过点（x0，），∴=cos（π×x0+）∴π×x0+=2∴可解得x0的值是．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：．因为，所以．所以当，即时f（x）取得最大值1；当，即时f（x）取得最小值．点评：本题主要考查了三角函数解析式的求法，余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象和性质，属于基础题．16．（13分）某中学在2014-2015学年高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；（Ⅱ）考核前，评估小组打算从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）考核分答辩和笔试两项.5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）考点：极差、方差与标准差；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）按照分层抽样的方法：各层被抽到的比例相同解答；（Ⅱ）利用列举法分别明确从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈和选出的两名同学中恰有一名女同学的所以可能，利用古典概率公式解答；（Ⅲ）按照方差的计算公式解答．解答：解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为人，女同学的人数为人．…（4分）（Ⅱ）记3名男同学为A1，A2，A3，2名女同学为B1，B2．从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个．…（6分）用C表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2．A3B1，A3B2…（8分）所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率．…（10分）（Ⅲ）．…（13分）点评：本题考查了统计与概率的问题，属于基础题．17．（14分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C．（Ⅰ）求证：BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）求证：B1C⊥AC1；（Ⅲ）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由．考点：平面与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由BC∥B1C1，证明BC∥平面AB1C1；（Ⅱ）先证明AB⊥平面BB1C1C，得AB⊥B1C，再证明B1C⊥平面ABC1，得出B1C⊥AC1；（Ⅲ）E，F，H，G四点不共面，通过证明点F∉平面EHG，即F∈平面AA1C1C，且平面AA1C1C∥平面EFH即可．解答：证明：（Ⅰ）在菱形BB1C1C中，BC∥B1C1，因为BC⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，所以BC∥平面AB1C1；…（3分）（Ⅱ）连接BC1，在正方形ABB1A1中，AB⊥BB1，因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1，AB⊂平面ABB1A1，所以AB⊥平面BB1C1C；…（5分）又因为B1C⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1C；…（6分）在菱形BB1C1C中，BC1⊥B1C；因为BC1⊂平面ABC1，AB⊂平面ABC1，且BC1∩AB=B，所以B1C⊥平面ABC1；…（8分）因为AC1⊂平面ABC1，所以B1C⊥AC1；…（10分）（Ⅲ）E，F，H，G四点不共面，理由如下；…（11分）因为E，G分别是B1C，B1C1的中点，所以GE∥CC1，同理可证：GH∥C1A1；因为GE⊂平面EHG，GH⊂平面EHG，GE∩GH=G，CC1⊂平面AA1C1C，A1C1⊂平面AA1C1C，所以平面EHG∥平面AA1C1C；又因为F∈平面AA1C1C，所以F∉平面EHG，即E，F，H，G四点不共面．…（14分）点评：本题考查了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题，也考查了判断空间中的四点是否共面问题，是综合性题目．18．（13分）已知椭圆M：x2+2y2=2．（Ⅰ）求M的离心率及长轴长；（Ⅱ）设过椭圆M的上顶点A的直线l与椭圆M的另一个交点为B，线段AB的垂直平分线交椭圆M于C，D两点．问：是否存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可知椭圆M的标准方程为：，可知：，b=1．c=，即可得出离心率与长轴长．（II）若C，O，D三点共线，CD是线段AB的垂直平分线，可得|OA|=|OB|．由（I）可得：A （0，1），设B（x0，y0），=1．与=2，联立解出即可得出．解答：解：（Ⅰ）由题意可知椭圆M的标准方程为：，可知：，b=1．∴c==1．∴=，2a=2．（II）若C，O，D三点共线，CD是线段AB的垂直平分线，可得|OA|=|OB|．由（I）可得：A（0，1），设B（x0，y0），∴=1．又=2，联立，解得，或（舍去）．当取点B（0，﹣1）时，直线l的方程为x=0，满足条件．∴存在直线l使得C，O，D三点共线（O为坐标原点），直线l的方程为：x=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为ax﹣y=0，求x0的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）＞x；（Ⅲ）问集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}（b∈R且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据函数的切线方程进行求解即可求x0的值；（Ⅱ）构造函数g（x）=，求函数的导数，利用导数证明不等式f（x）＞x；（Ⅲ）根据函数和方程之间的关系直接求解即可．解答：（Ⅰ）解：，因为切线ax﹣y=0过原点（0，0），所以，解得x0=2（Ⅱ）证明：设，则．令，解得x=2，当x在（0，+∞）上变化时，g（x），g′（x）的变化情况如下表x （0，2） 2 （2，+∞）g′（x）﹣0 +g（x）↘↗所以当x=2时，g（x）取得最小值，所以当时x＞0时，即f（x）＞x．（Ⅲ）解：当b≤0时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为0；当时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为1；当时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为2；当时，集合{x∈R|f（x）﹣bx=0}的元素个数为3．点评：本题主要考查导数的综合应用，以及导数的几何意义，考查学生的运算能力．20．（14分）数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2a n+1=2a n+p（p为常数，n=1，2，3，…）．（Ⅰ）若S3=12，求S n；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，求实数p的值．（Ⅲ）是否存在实数p，使得数列{}满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p的值；若不存在，说明理由．考点：等差数列的性质；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a1=1，2a n+1=2a n+p，求出2a2=2+p，2a3=2+2p，利用S3=12，求出p，即可求S n；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，则a22=a1a3，求出实数p的值，再验证；（Ⅲ）利用反证法进行证明即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵a1=1，2a n+1=2a n+p，∴2a2=2+p，2a3=2+2p，∵S3=12，∴2+2+p+2+2p=6+3p=24，∴p=6，∴a n+1﹣a n=3，∴数列{a n}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴S n=n+=；（Ⅱ）若数列{a n}是等比数列，则a22=a1a3，∴（1+）2=1×（1+p），∴p=0，∴a n+1=a n，此时，数列{a n}是以1为首项，1为公比的等比数列；（Ⅲ）p=0时，a n=1，数列{}是等差数列，满足题意；p≠0时，a n+1﹣a n=，∴数列{a n}是以1为首项，为公差的等差数列，∴a n=n+1﹣．假设存在p0≠0，满足题意，数列记为{b n}．①p0＞0，a n＞0，数列{b n}是各项均为正数的递减数列，∴d＜0．∵b n=b1+（n﹣1）d，∴n＜1﹣时，b n=b1+（n﹣1）d＜b1+（1﹣﹣1）d=0，与b n＞0矛盾；②p0＞0，令＜0，∴n＞1﹣，a n＜0，数列{b n}是各项均为负数的递增数列，∴d ＞0．∵b n=b1+（n﹣1）d，∴n＞1﹣时，b n=b1+（n﹣1）d＞b1+（1﹣﹣1）d=0，与b n＜0矛盾，综上所述，p=0是唯一满足条件的p的值．点评：本题考查数列的通项与求和，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，有难度．。