高中数学竞赛讲义-二次函数(2)练习题
数学竞赛中的数论问题(习题部分)
数学竞赛中的数论问题第二部分 数论题的范例讲解主要讲几个重要类型：奇数与偶数，约数与倍数（素数与合数），平方数，整除，同余，不定方程，数论函数等．重点是通过典型范例来分析解题思路、提炼解题方法和巩固基本内容．一、奇数与偶数整数按照能否被2整除可以分为两类，一类余数为0，称为偶数，一类余数为1，称为奇数．偶数可以表示为2n ，奇数可以表示为21n -或21n +．一般地，整数被正整数m 去除，按照余数可以分为m 类，称为模m 的剩余类(){}mod i C x x i m =≡，从每类中各取出一个元素i i a C ∈，可得模m 的完全剩余系（剩余类派出的一个代表团），0,1,2,,1m -称为模m 的非负最小完全剩余系.通过数字奇偶性质的分析而获得解题重大进展的技巧，常称作奇偶分析，这种技巧与分类、染色、数字化都有联系，在数学竞赛中有广泛的应用． 关于奇数和偶数，有下面的简单性质：（1）奇数≠偶数．（2）偶数的个位上是0、2、4、6、8；奇数的个位上是1、3、5、7、9． （3）奇数与偶数是相间排列的；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；． （4）奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和是偶数．（5）除2外所有的正偶数均为合数；（6）相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半． （7）偶数乘以任何整数的积为偶数．（8）两数和与两数差有相同的奇偶性，()mod2a b a b +≡-． （9）乘积为奇数的充分必要条件是各个因数为奇数． （10）n 个偶数的积是2n的倍数．（11）()11k-=的充分必要条件是k 为偶数，()11k-=-的充分必要条件是k 为奇数．（12）()()()()()()22220mod 4,211mod 4,211mod8n n n ≡-≡-≡． （13）任何整数都可以表示为()221mn k =-．……例1 （1906，匈牙利）假设12,,,n a a a 是1,2,,n 的某种排列，证明：如果n 是奇数，则乘积()()()1212n a a a n ---是偶数．类似题：例1-1（1986，英国）设127,,,a a a 是整数，127,,,b b b 是它们的一个排列，证明()()()112277a b a b a b ---是偶数．（127,,,a a a 中奇数与偶数个数不等）例1-2 π的前24位数字为 3.14159265358979323846264π=，记1224,,,a a a 为该24个数字的任一排列，求证()()()12342324a a a a a a ---必为偶数．（暗藏3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,2,6,4中奇数与偶数个数不等）例2 能否从1,2,,15中选出10个数填入图的圆圈中，使得每两个有线相连的圈中的数相减（大数减小数），所得的14个差恰好为1,2,,14？例3 有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，问最少要把这些苹果和梨分成几堆？例4 有n 个数121,,,,n n x x x x -，它们中的每一个要么是1，要么是1-．若1223110n n n x x x x x x x x -+++++=，求证4|n ．例5 n 个整数121,,,,n n a a a a -，其积为n ，其和为0，试证4|n ．例6 在数轴上给定两点1内任取n 个点，在此2n +个点中，每相邻两点连一线段，可得1n +条互不重叠的线段，证明在此1n +条线段中，以一个有理点和一个无理点为端点的线段恰有奇数条．二、约数与倍数最大公约数与最小公倍数的求法． （1）短除法．（2）分解质因数法．设1212,0,1,2,,k k i a p p p i k αααα=≥=， 1212,0,1,2,,k k i b p p p i k ββββ=≥=．记 {}{}min ,,max ,i i i i i i γαβδαβ==， 则 ()1212,k k a b p p p γγγ=， []1212,k k a b p p p δδδ=．（3）辗转相除法()()()()()121,,,,,0n n n n a b b r r r r r r r -======．例7 （1）求()8381,1015，[]8381,1015； （2）()144,180,108，[]144,180,108．例8 正整数n 分别除以2,3,4,5,6,7,8,9,10得到的余数依次为1,2,3,4,5,6,7,8,9，则n 的最小值为 ．．例9 有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，如何利用它们从一桶油中倒出6升油来？例10 对每一个2n ≥，求证存在n 个互不相同的正整数12,,,n a a a ，使i j i j a a a a -+，对任意的{},1,2,,,i j n i j ∈≠成立．例11 ()111959,IMO -证明对任意正整数n ，分数214143n n ++不可约．例12 不存在这样的多项式 ()1110mm m m f n a n a na n a --=++++，使得对任意的正整数n ，()f n 都是素数． ．三、平方数若a 是整数，则2a 就叫做a 的完全平方数，简称平方数． 1．平方数的简单性质（1）平方数的个位数只有6个：0,1,4,5.6.9．（2）平方数的末两位数只有22个：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．（3）()()()()2220mod 4,211mod 4n n ≡-≡． （４）()()2211mod8n -≡．（6）凡是不能被3整除的数，平方后被3除余1．（7）在两个相邻整数的平方数之间，不能再有平方数． （8）非零平方数的约数有奇数个．（9）直角三角形的三边均为整数时，我们把满足222a b c +=的整数(),,a b c 叫做勾股数．勾股数的公式为2222,2,,a m n b mn c m n ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩其中,m n 为正整数，(),1m n =且,m n 一奇一偶．这个公式可给出全部素勾股数．2．平方数的证明方法 （1）反证法． （2）恒等变形法．（3）分解法．设a 为平方数，且a bc =，(),1b c =，则,b c 均为平方数． （4）约数法．证明该数有奇数个约数． 3．非平方数的判别方法（1）若()221n x n <<+，则x 不是平方数．（2）约数有偶数个的数不是平方数．（3）个位数为2，3，7，8的数不是平方数． （4）同余法：满足下式的数n 都不是平方数．()2mod3n ≡， ()23mod4n ≡或， ()23mod5n ≡或，()23567mod8n ≡或或或或，()2378mod10n ≡或或或．（5）末两位数不是：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．如个位数与十位数都是都是奇数的数， 个位数是6、而十位数是偶数的数．例13 有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，…，99，100．每盏灯由一个拉线开关控制着．最初，电灯全是关着的．另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？例14 已知直角三角形的两条直角边分别为正整数,a b ，斜边为正整数c ，若a 为素数，求证()21a b ++为平方数．例15 求证，任意3个连续正整数的积不是平方数．例16 ()2311986,IMO -设d 是异于2，5，13的任一整数．求证在集合{}2,5,13,d 中可以找到两个不同元素,a b ，使得1ab -不是完全平方数．例17 (296IMO -)设,a b 为正整数，1ab +整除22a b +．证明221a b ab ++是完全平方数．四．整除整除的判别方法主要有7大类．1．定义法．证b a a bq ⇔=，有三种方式． （1）假设a qb r =+，然后证明0r =．（定理4） （2）具体找出q ，满足a bq =． （3）论证q 的存在．例18 任意一个正整数m 与它的十进制表示中的所有数码之差能被9整除．2．数的整除判别法． ()1011010mod3n n a a a a a a -++⨯+≡++++， ()1011010mod9n n a a a a a a -++⨯+≡++++如果一个整数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数的差能被7或11或或13整除． 1210a a a()13132101001n n a a a a a a a -⨯--，()13210132101001n n n a a a a a a a a a a a --⇔⨯-，1113⨯，而7,11,13均为素数知，m 能被7或11或13）如果一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被)mod11，有()()()()11101110101010111mod11.n n n n nn n n a a a a a a a a ----⨯+⨯++⨯+≡-+-++-+3．分解法．主要用乘法公式．如()()123221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++．()()212122232422322n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -------+=+-+--+．()()2221222322221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=+-+-+-．例19 试证()()555129129++++++．例20 ()2111979,IMO -设p 与q 为正整数，满足111112313181319p q =-+--+， 求证p 可被1979整除（1979p ）例20-1 2009年9月9日的年、月、日组成“长长久久、永不分离”的吉祥数字20090909，而它也恰好是一个不能再分解的素数．若规定含素因子20090909的数为吉祥数，请证明最简分数111220090908m n =+++的分子m 是吉祥数．4． 余数分类法．例21 试证()()3121n n n ++．例22 k个连续整数中必有一个能被k整除．例23 k个连续整数之积必能被!k整除．n≥），若顺序相邻的3人中恰有一例24 有男孩、女孩共n个围坐在一个圆周上（3-．个男孩的有a组，顺序相邻的3人中恰有一个女孩的有b组，求证3a b例25 （1956，中国北京）证明3231122n n n ++-对任何正整数n 都是整数，并且用3除时余2．五、同余根据定义，同余问题可以转化为整除问题来解决；同时，同余本身有很多性质，可以直接用来解题．例26 正方体的顶点标上1+或1-，面上标上一个数，它等于这个面四个顶点处的数的乘积，求证，这样得出的14个数之和不能为0．．例27 设多项式()n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110 的系数都是整数，并且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数，求证方程()0=x f 没有整数根．六、不定方程未知数的个数多于方程个数的整系数代数方程，称为不定方程．求不定方程的整数解，叫做解不定方程． 解不定方程通常要解决3个问题，方程是否有解？有解时，有几个解，解数是有限还是无穷？求出全部解．例28 解方程719213x y +=．例29 求方程3222009x x y +=的整数解．例30 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．（1988，高中联赛）例31（1989，高中）如果从数1，2，…，14中按由小到大的顺序取出123,,a a a ，使同时满足21323, 3a a a a -≥-≥，那么，所有符合上述要求的不同取法有多少种？七．数论函数主要是[]x 高斯函数，()n ϕ欧拉函数．例32 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为 (A)10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (C) 410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D)510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （2010年全国高考数学陕西卷理科第10题）例33 用[]x 表示不大于x 的最大整数，求 122004366366366366⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．例34 50!的标准分解式中2的指数．八、综合练习例35 整数勾股形中，证明（1）必有一条直角边长是3的倍数；（2）必有一条直角边长是4的倍数；（3）必有一条边长是5的倍数；（4）三角形的面积是6的倍数．例36 已知ABC 内有n 个点，连同,,A B C 共有3n +个点，以这些点为顶点，把ABC 分割为若干个互不重叠的小三角形，现把,,A B C 分别染上红色、蓝色、黄色，而其余n 个点，每点任意染上红、蓝、黄三色之一，证明三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数．（斯潘纳定理）例37 对整点25边形的顶点作三染色，求证，存在一个三顶点同色的三角形，它的重心也是整点．第二章 二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。
第二章二次函数与命题(高中数学竞赛标准教材)
一、基础知识2.二次函数的性质:当a>0时,f(x的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量x 增大函数值减小(简称递减,在[x0, -∞上随自变量增大函数值增大(简称递增。
当a<0时,情况相反。
1当△>0时,方程①有两个不等实根,设x1,x2(x1<x2,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1或x>x2}和{x|x1<x<x2},二次函数f(x图象与x轴有两个不同的交点,f(x还可写成f(x=a(x-x1(x-x2.2当△=0时,方程①有两个相等的实根x1=x2=x0= ,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x }和空集,f(x的图象与x轴有唯一公共点。
3当△<0时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是r和 .f(x图象与x轴无公共点。
当a<0时,请读者自己分析。
定义1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是命题。
不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
注1 “p或q”复合命题只有当p,q同为假命题时为假,否则为真命题;“p且q”复合命题只有当p,q同时为真命题时为真,否则为假命题;p与“非p”即“p”恰好一真一假。
定义2 原命题:若p则q(p为条件,q为结论;逆命题:若q则p;否命题:若非p则q;逆否命题:若非q则非p。
注2 原命题与其逆否命题同真假。
一个命题的逆命题和否命题同真假。
注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。
定义3 如果命题“若p则q”为真,则记为p q否则记作p q.在命题“若p则q”中,如果已知p q,则p是q的充分条件;如果q p,则称p是q的必要条件;如果p q但q不p,则称p是q的充分非必要条件;如果p不 q但p q,则p称为q的必要非充分条件;若p q且q p,则p是q的充要条件。
高中数学竞赛讲义二次函数2A 试题(共10页)
§6二次函数(hánshù)(2)二次方程问题其本质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。
1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f (x)的图象有以下两种情形(图1)当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＞0，f (β)＞0当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＜0，f (β)＜0两种情形合并后的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af(α)＞0，af (β)＞0 ①2．当两根中有且仅有一根在区间〔α，β〕内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜β或者α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有以下四种情形〔图2〕从四种(sì zhǒnɡ)情形得充要条件是：f (α)·f (β)＜0②3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件：〔1〕两根分别在区间［α，β］之外的两旁时：∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f(x)的图象有以下两种情形〔图3〕：当a＞0时的充要条件是：f (α)＜0，f (β)＜0当a＞0时的充要条件是：f (α)＞0，f (β)＞0两种情形合并后的充要条件是：af (α)＜0，af (β)＜0③〔2〕两根分别在区间［α，β］之外的同旁时：∵x1＜x2＜α＜β或者α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有以下四种情形〔图4〕：当x1＜x2＜α时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＜α，af (α)＞0④当β＜x1＜x2时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＞β，af (β)＞0⑤二次函数(hánshù)与二次不等式前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。
二次函数基础练习题大全含答案-二次函数基础题
二次函数基础练习题练习一 二次函数1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t 时间t （秒）1 2 3 4 … 距离s （米）2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式： 2、 下列函数：① 23yx ；② 21y x x x ；③ 224y x x x ；④ 21y x x ； ⑤ 1y x x ，其中是二次函数的是 ，其中a ，b ，c3、当m 时，函数2235ym x x （m 为常数）是关于x 的二次函数4、当____m时，函数2221m m y m m x 是关于x 的二次函数 5、当____m 时，函数2564m m y m x +3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式.② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二 函数2ax y =的图像与性质1、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；（2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图像关于y 轴对称.其中正确的是 .3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D5、函数2ax y =与b ax y +-=的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6、已知函数24mm y mx 的图像是开口向下的抛物线，求m 的值. 7、二次函数12-=mmx y 在其图像对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值. 8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系. 9、已知函数()422-++=m m x m y 是关于x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 的值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大；（3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？10、如果抛物线2y ax 与直线1y x 交于点,2b ，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y st O s t O s t Os tO随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小. 2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④ .4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质 1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有 最 值 . 2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.（1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位. 3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质 1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.5、 已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0，则抛物线的关系式是6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<17、已知函数()9232+--=x y . （1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当x= 时，抛物线有最 值，是 . （3）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4）求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？8、已知函数()412-+=x y . （1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3）指出该函数的最值和增减性； （4）若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点. （6）画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0.练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质 1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 .2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿.5、把二次函数215322y x x 的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________；7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）A 、6，4B 、－8，14C 、－6，6D 、－8，－149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ）A 、22B 、23C 、32D 、3310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y 11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标 13、已知一次函数的图象过抛物线223yx x 的顶点和坐标原点 1） 求一次函数的关系式；2） 判断点2,5是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2y x pxq 的图象是以3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为 2、二次函数2224y mx x m m 的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是 3、如果抛物线2yax bx c 与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x ，那么ac b 4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为______.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限.7、已知二次函数2y ax bxc （0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： 1）,a b 同号；2）当1x 和3x 时，函数值相同；3）40a b ；4）当2y 时，x 的值只能为0；其中正确的是（第5题） （第6题） （第7题） （第10题）8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数x m y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m=9、二次函数2y x ax b 中，若0a b ，则它的图象必经过点（ ）A 1,1B 1,1C 1,1D 1,110、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如上图所示，则下列选项中正确的是（ ）A 、0,0>>c abB 、0,0><c abC 、0,0<>c abD 、0,0<<c ab11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个13、抛物线的图角如图，则下列结论： ①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是（ ）.（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④14、二次函数2y ax bx c 的最大值是3a ，且它的图象经过1,2，1,6两点， 求a 、b 、c 的值。
最新的高中数学竞赛函数练习题
最新的高中数学竞赛函数练习题高中数学竞赛函数练题（幂函数、指数函数、对数函数）一、选择题1.定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x+1)，则答案：C解析：将XXX(10x+1)拆分为XXX(10x)和XXX(1+1/10x)，前者是x的一次函数，后者是x的负一次函数，即为奇函数和偶函数之和。
所以，g(x)=x。
h(x)=lg(10x+1)－x。
2.若(log23)x－(log53)x≥(log23)-y－(log53)-y，则答案：C解析：将不等式化简，得到x/y≥(log23-log5)/(log25)，即x/y≥2/(log25)。
因为x>y>0，所以x/y>1，即2/(log25)>1，所以(log23)-y<(log53)-y，即y<(log53)/(log25)-(log23)/(log25)，即y<(log25)/(log5)-(log23)/(log5)，即y<(log23)/(log5)-1.3.已知f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)应该是答案：B解析：由题意，得到以下不等式组：a-c≥-4，a-c≤-1，4a-c≤5，a-c≤1.将这些不等式组合起来，可得-4≤a-c≤1，即-3≤a≤2.因为f(x)是一个开口向上的抛物线，所以f(3)一定在f(1)和f(2)之间，即-1≤f(3)≤5.因此，B选项正确。
4.已知f(n)=logn(n+1) (n N*且n≥2)，设∑p n=2logf(n)=100 (p,q N*且(p,q)=1)，则p+q=答案：D解析：根据对数的性质，有logn(n+1)=logn+log(n+1)，所以f(n)=logn+log(n+1)。
因此，∑p n=2 logf(n)=∑p n=2logn+log(n+1)=∑p n=2 (logn+log(n+1))=plog2+∑p n=2 log(n+1)。
二次函数专题训练8个合集
二次函数专题训练8个合集一、引言二次函数是数学中的重要概念，它反映了变量间的一种非线性关系。
掌握二次函数的性质和应用，对于理解整个数学体系，乃至处理实际问题，都具有深远的意义。
为此，我们特地整理了8个二次函数专题训练，帮助大家深化对二次函数的理解。
二、专题训练1：二次函数的定义与图像本专题将介绍如何根据二次函数的定义绘制其图像，并理解图像中的关键点，如顶点、对称轴、开口方向等。
三、专题训练2：二次函数的性质与最值本专题将探讨二次函数的性质，如对称性、奇偶性等，并掌握如何求出二次函数的最值。
四、专题训练3：二次函数的解析式与求解本专题将学习如何根据实际问题建立二次函数解析式，并掌握求解二次函数的方法。
五、专题训练4：二次函数的实际应用本专题将通过实际案例分析，展示二次函数在解决实际问题中的应用，如投资组合问题、物体运动问题等。
六、专题训练5：二次函数的极值与最优化本专题将学习如何利用二次函数解决最优化问题，理解并掌握求取二次函数极值的方法。
七、专题训练6：二次函数的数值计算与模拟本专题将介绍如何利用数值计算方法求解二次函数问题，并进行模拟实验，加深对二次函数在实际问题中应用的理解。
八、专题训练7：二次函数的积分与微分本专题将探讨二次函数与积分、微分的关系，理解并掌握积分、微分在解决二次函数问题中的应用。
九、专题训练8：二次函数的泰勒展开与近似计算本专题将学习如何利用泰勒展开进行二次函数的近似计算，理解并掌握如何选取合适的近似表达式。
十、结语通过这8个专题训练，我们希望能帮助大家更深入地理解和掌握二次函数的性质和应用。
数学是一门实践性很强的学科，只有不断地练习和应用，才能真正掌握其精髓。
希望我们的努力能为大家的数学学习提供有益的帮助。
二次函数复习课件一、引言在数学的学习中，二次函数是初中数学的一个重要内容，它不仅在中考中占据重要地位，也为学生后续的高中数学学习奠定了基础。
为了帮助学生更好地理解和掌握二次函数的知识，我们设计了这份复习课件，以供学生复习和巩固二次函数的相关知识。
高中数学竞赛培训讲义
2011高中数学竞赛培训教材编者：全国特级教师(一)集合与容斥原理集合是一种根本数学语言、一种根本数学工具。
它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的根底。
对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。
如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进展组合计数等。
一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。
分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(一样或不一样)数加起来得到的一个和数，此题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.那么X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2 又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。
2.设M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证：〔1〕一切奇数属于M;〔2〕4k-2(k∈Z)不属于M;〔3〕M中任意两个数的积仍属于M。
3.函数f〔x〕=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:A B;(2)假设A={-1，3}时，求集合B.二、集合中待定元素确实定例2．集合M ＝{X ，XY ，lg(xy)}，S ＝{0，∣X ∣，Y}，且M ＝S ，那么(X ＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋……＋(X2002＋1/Y2002)的值等于( ).分析：解题的关键在于求出X 和Y 的值，而X 和Y 分别是集合M 与S 中的元素。
二次函数讲义附答案
考点一：二次函数的概念（1）一般的，形式如2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数。
例如：,等都是x 的二次函数（2）等号左边是y ，右边是x 的二次多项式，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。
（3）任何一个二次函数的解析式都可以化成2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的形式，因此我们也把这个 2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)叫做二次函数的一般式 注1：二次函数的概念及列函数关系式是中考的必考内容，也是重点考查内容。
二次函数的概念在中考题中一般出现在选择题和填空题中，难度较小，只要把握x 的最高次数是2，0a ≠这两个隐含条件即可。
注2：列二次函数关系式多出现在解答题中，难度适中，而近年的中考中还出现了一些关于二次函数的实际问题，常需要列二次函数关系式，难度较大。
列二次函数关系式时，需考虑自变量取值应使实际问题有意义考查题目1：下列函数,,,,,,中是二次函数的是__________.考点二：二次函数的图像及性质（1） 图像：二次函数的图像是一条抛物线，其对称轴是y 轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点坐标是（0,0）（2） 性质：当a>0时，函数的开口方向向上，在对称轴的左边y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边y 随x 的增大而增大；当a<0时，函数的开口方向向下，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小（3） 抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄，|a|越大，抛物线的开口越大注1：二次函数的图像及其性质是中考的重点考查内容之一，所涉及的内容包括开口，顶点，对称轴，最大（小）值，以及求二次函数的关系式，近几年的中考中常出现利用二次函数的图书图像解决实际问题的题目。
注2：利用函数的增减性进行函数值的大小比较也是重点考查内容之一，此类问题先画出二次函数的草图，在尽享分析，利用了数形结合的思想 考查题目2：已知（2，（-1）两点都在函数的函数图像上，试比较,的大小 考查题目3：已知函数是关于x 的二次函数，求： （1） 满足条件的n 的值（2） n 为何值时，抛物线有最低点，求出最低点的坐标，并求出y 随x 的增大而增大的x的取值范围（3） n 为何值时，抛物线有最高点，求出最高点的左边，并求出y 随x 的增大而增大的x的取值范围考点三：二次函数的图像及其性质（1）二次函数的图像与的图像形状相同，知识位置不同，可以经过适当的平移使之重合，当k>0时，抛物线的图像向上平移k个单位，便得到，当k<0时，抛物线的图像向下平移k个单位，便得到（2）的图像，当a>0时，函数的开口方向向上，对称轴是y轴，最小值是当x=0时，在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大；当a<0时，函数的开口方向向下，对称轴是y轴，最小值是当x=0是取得，在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小注：关于这类型的二次函数在中考中考查常以选择填空出现，考查的是函数的增减性，最值，顶点和求函数的关系式，也可能结合实际问题考查，一般难度不是很大。
高一数学竞赛辅导
高一数学竞赛10.141.已知集合**410x x M x N N ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭且，集合40x N x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A. M N =B. N M ⊆C. 20x M N x Z ⎧⎫⋃=∈⎨⎬⎩⎭D. *40x M N x N ⎧⎫⋂=∈⎨⎬⎩⎭2.（2021年全国高中数学联赛）设{}{}{}1,2,3=2,,,2,,A B x y x y A x y C x y x y A x y =+∈=+∈，＜＞，则B C ⋂的所有元素之和为_______________。
3.设集合{}{}222,,12A x xB y y x x =-≤==--≤≤，则A B⋂=_________________.4.设条件():0:14p x m m q x ≤-≤≤＞，，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为_______,若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为________。
5.若非空集合A,B,C 满足A B C ⋃=，且B 不是A 的子集，则""x C ∈是""x A ∈的___________________条件。
高一数学竞赛10.14-------基本不等式“1”的巧用1.若正数,a b 满足121a b +=，则2b a+的最小值为_________________。
2.若00x y ＞，＞，且211x y+=，227x y m m ++＞恒成立，则实数m 的取值范围是_________________________。
基本不等式的构造3.已知0a b ＞＞，则412a a b a b+++-的最小值为_______________。
4.设a b ＞＞c ，n N ∈，且218n a b b c a c +≥---恒成立，则n 的最大值是______________。
5.设010,x a b ＜＜，＞＞0，,a b 为常数，则221a b x x +-的最小值是___________________.基本不等式的综合运用6.已知4a b ab =＞0,＞0,，则11a b b a+++的最小值为________________。
二次函数解析几何专题训练
二次函数解析几何专题训练全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：二次函数是高中数学重要的一个内容，其在解析几何中有着重要作用。
掌握二次函数的性质和图像特点对于解析几何问题的解答至关重要。
接下来，我们将通过一些专题训练来帮助大家更好地理解和掌握二次函数在解析几何中的应用。
1. 确定二次函数的顶点和对称轴给出一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a\neq 0。
让学生通过计算求得二次函数的顶点和对称轴，从而了解二次函数图像的几何特点。
若f(x) = 2x^2 + 4x - 3，则顶点坐标为(-1, -5)，对称轴为x = -1。
2. 二次函数的变化方向让学生练习通过变换a的值来研究二次函数图像的变化。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
通过这个练习，可以让学生理解二次函数图像的变换规律，提高他们的直观感受力。
3. 二次函数与直线的位置关系让学生练习通过求解二次函数与直线的交点来掌握二次函数和直线的位置关系。
让学生求解方程f(x) = 2x^2 - 4x + 1 和y = 2x - 3的交点，从而确定二次函数与直线的位置关系。
4. 二次函数的最值问题让学生通过求解二次函数的最值来应用二次函数的性质。
让学生求解f(x) = -x^2 + 4x - 5的最大值，并确定最大值点的坐标。
通过这个练习，可以让学生了解如何利用二次函数的性质来解决实际问题。
5. 二次函数的图像绘制让学生通过画图的方式来绘制二次函数的图像，从而更直观地理解二次函数的几何特点。
通过观察二次函数的图像，学生不仅可以掌握二次函数的性质，还可以培养他们的绘图能力和直观感受力。
通过以上的专题训练，相信学生们可以更好地掌握二次函数在解析几何中的应用，提高他们的解题能力和几何直觉。
希望大家在学习二次函数的过程中能够勤加练习，不断提升自己的数学水平。
【2000字】。
第二篇示例：二次函数是解析几何中非常重要的一种函数形式，它在几何中的应用非常广泛，涉及到抛物线、焦点、顶点等概念。
二次函数专题训练(含答案)-
二次函数专题训练（含答案）一、填空题： 1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个 单位，得抛物线 .2.函数x x y +-=22图象-的-对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .4.二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 .5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则x 1与x 2的关系是 . 6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .8.若a <0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限；当x >4a-时，函数值随x 的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a >0时，图象的开口a <0时，图象的开口 ，顶点坐标是 . 10.抛物线2)(21h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 11.二次函数)()(32+-=x y 的图象的顶点坐标是（1，-2）.12.已知2)1(312-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 .14.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 . 二、选择题：16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（ ）A.（0，-1）B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21 C.（-1，5） D.（3，4）17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ）① 当a >0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当a <0时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴 交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.① 19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函+=2ax ybx -3的大致图象是（ ）图代13-2-1221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=ba（ ） A.2 B.21 C.4 D.41 22.若函数xa y =的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ）A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ） A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1） 24.函数2ax y =与xay =（a <0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=426.二次函数2ax y =（a <0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是（ ）A ．X 取任何实数 B.x <0 C.x >0 D.x <0或x >027.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）A.6)4(22+-=x y B.2)4(22+-=x y C.2)2(22+-=x y D.2)3(32+-=x y 28.二次函数229k ykx x y ++=（k >0）图象的顶点在（ ）A.y 轴的负半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴的负半轴上D.x 轴的正半轴上 29.四个函数：xy x y x y 1,1,-=+=-=（x >0），2x y -=（x >0），其中图象经过原点的函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ） A.a >0，Δ>0 B.a >0,Δ<0 C ．a <0,Δ>0 D.a <0,Δ<0 三、解答题31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ，求a ，b 的值.32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为21，它 的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132221=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由. 33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该 抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-1634.中图代13-3-16，抛物线c x ax y +-=32交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tgα；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明.35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4. 求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解析式及CC ＇的长；（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽； （3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车 载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.36.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a <b ）.O为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系. 37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b. （1） 求m 的取值范围；（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3） 设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存 在 点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由. 38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-18① 若AE=2，求AD 的长.② 当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有FHEDAH AD =试证 明 你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.已知二次函数)294(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为 A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C. ① 若△ABC 为Rt △，求m 的值；② 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值；③ 设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值.40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ， 满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.图代13-3-19① 求⊙C 的圆心坐标.② 过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式.③ 抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式.41.已知直线x y 21=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. ① 若M 恰在直线x y 21=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点. ② 在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20③ 在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ，与x 同 的左交点为A ，试在直线x y 21=上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点， 与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°. （1） 求点C 的坐标； （2） 求抛物线的解析式；（3） 若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.参 考 答 案动脑动手 1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100-10x ） 件，设每天所获利润为y 元，依题意，得)10100)(2(x x y -+=.360)4(10200801022+--=++-=x x x∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元. 2.∵43432+⎪⎭⎫⎝⎛+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4. 当0,043432≠=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m x m mx 时mm m 34,321==. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），⎪⎭⎫⎝⎛0,34m B . （1）当AC=BC 时，94,334-=-=m m . ∴ 4942+-=x y （2）当AC=AB 时，5,4,3===AC OC AO .∴ 5343=-m. ∴ 32,6121-==m m . 当61=m 时，4611612+-=x x y ； 当32-=m 时，432322++-=x x y .（3）当AB=BC 时，22344343⎪⎭⎫⎝⎛+=-m m ，∴ 78-=m . ∴ 42144782++-=x x y .可求抛物线解析式为：43232,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或42144782++-=x x y .3.（1）∵)62(4)]5([222+---=∆m m)1(122222 +=++=m m m图代13-3-21∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点. 令y=0，得062)5(222=+++-m x m x 0)3)(2(2=---m x x ，∴ 3,2221+==m x x .∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2+3,0）.12322+=-+=m m d ，∵ m 2+10>0，∴d=m 2+1.（3）①当d=10时，得m 2=9.∴ A （2，0），B （12，0）.25)7(241422--=+-=x x x y .该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）. 过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,521a MEb PM AB PE -====， ∴ 2225)7(=+-b a . ① ∵点PD 在抛物线上，∴ 25)7(2--=a b . ② 解①②联合方程组，得0,121=-=b b .当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1. 注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程. ②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b <-1； △ ABP 为钝角三角形时，则b >-1，且b ≠0. 同步题库一、 填空题 1.3)2(21,)2(2122-+-=+-=x y x y ； 2.81,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x >-1； 8.四，增大； 9.向上，向下，a bx a b ac a b 2,44,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--； 10.向下，（h,0），x=h ； 11.-1，-2； 12.x <-1； 13.-17，（2，3）； 14.91312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y ； 15.10.二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28. C 29.A 30.D 三、解答题31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0 的两个实数根，∴ a x x 221-=+，1x ·122+-=b x . ∵x 1，x 2又是方程01)3(22=-+-+-b x a x 的两个实数根， ∴ x 1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2. ∴ ⎩⎨⎧-=+--=-.112,322b b a a解得 ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a 当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.解法二：∵二次函数1222+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=，二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为23-=a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ， ∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.∴ 23-=-a a . 解得 1=a .∴两个二次函数分别为1222+-+=b x x y 和1222-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得01222=+-+b x x ， 01222=-+--b x x .①+②得022=-b b .解得 2,021==b b . ∴ ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.32.解：∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴ acx x a b x x =⋅-=+2121,. 又∵132221=+x x 即132)(21221=-+x x x x ，∴ 132)(2=⋅--a cab . ① 又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为21，则有4a+2b+c=4， ② 212=-a b . ③ 解由①②③组成的方程组得 a=-1,b=1,c=6.∴ y=-x 2+x+6. 与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）. 与y 轴交点D 坐标为（0，6）.设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有 （1） 当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有6,3,2,====OD OC OB ODOPOC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为 y=kx+4.有 0=-2k-4. 得 k=-2. ∴ y=-2x-4. 或3,6,2,====OC OD OB OCOPOD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为 y=kx+1.有 0=-2k+1.得 21=k . ∴ 121+-=x y .当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为 y=kx-1，有 0=-2k-1，得 21-=k . ∴ 121--=x y . （2） 当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9，或 131+-=x y ， 或 131-=x y . 33.解：（1）在直线y=k(x-4)中，令y=0，得x=4.∴A 点坐标为（4，0）.∴ ∠ABC=90°.∵ △CBD ∽△BAO ， ∴OBOA OC OB =，即OB 2=OA ·OC. 又∵ CO=1，OA=4，∴ OB 2=1×4=4.∴ OB=2（OB=-2舍去）∴B 点坐标为（0，2）.将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得21-=k . ∴直线的解析式为：221+-=x y . （2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2)1(，函数图象过A （4，0），B （0，2），得⎩⎨⎧=+=+.2,025h a h a 解得 .1225,121=-=h a ∴抛物线的解析式为：1225)1(1212++-=x y . 解法二：设抛物线的解析式为：c bx ax y ++=2，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.∵ CA=1+4=5，∴ CD=5.∴ OD=6.∴D 点坐标为（-6，0）.将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++.0636,2,0416c b a c c b a 解得 2,61,121=-=-=c b a . ∴抛物线的解析式为：2611212+--=x x y . 34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2>x 1），C 的 纵坐标是C.又∵y 轴与⊙O 相切，∴ OA ·OB=OC 2.∴ x 1·x 2=c 2.又由方程032=+-c x ax 知 a c x x =⋅21， ∴ac c =2，即ac=1. （2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴ AB AE 21=. α=∠=∠=∠ADE ADB ACB 21. ∵ a >0,x 2>x 1， ∴ a a ac x x AB 54912=-=-=. aAE 25=. 又 ED=OC=c ，∴ 25==DE AE tg α. （3）设∠PAB=β，∵P 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 45,23，又∵a >0， ∴在Rt △PAE 中，aPE 45=. ∴ 25==AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵ ∠ADE+∠DAE=90°∴PA 和⊙D 相切.35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解析式为c ax y +=2，由题意得G （0，8），D （15，5.5）.∴ ⎩⎨⎧+==.255.5,8c a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,901c a∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为89012+-=x y . ∵41=AC AD 且AD=5.5, ∴ AC=5.5×4=22(米).∴ 2215(2)(22+⨯=+⨯=='AC OA OC c c ）=74（米）.答：cc ＇的长为74米.（2）∵ 4,41==BE BC EB ， ∴ BC=16.∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）.答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6米.（3） 在89012+-=x y 中，当x=4时， 45377816901=+⨯-=y . ∵ 4519)4.07(45377=+->0. ∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过.36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a <0，b >0.∴方程02)4(2=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号.∴ab=m+2<0，∴m <-2.（2）当m <-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. （3）∵ 4)2()2(4)4(22++=+-+=∆m m m >0∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根.∵ m >-2， ∴ ⎩⎨⎧+=+=+.02,04 m ab m b a ∴ a >0，b >0.∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切.37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0），∵A ，B 两点在原点的两侧，∴ x 1x 2<0，即-（m+1）<0，解得 m >-1.∵ )1()1(4)]1(2[2+⨯-⨯--=∆m m 7)21(484422+-=+-=m m m 当m >-1时，Δ>0，∴m 的取值范围是m >-1.（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k >0），则 x 1=3k ，x 2=-k ，∴ ⎩⎨⎧+-=-⋅-=-).1()(3),1(23m k k m k k 解得 31,221==m m . ∵31=m 时，3421-=+x x （不合题意，舍去）， ∴ m=2∴抛物线的解析式是32++-=x x y .（3）易求抛物线322++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0） 与y 轴交点坐标是C （0，3），顶点坐标是M （1，4）.设直线BM 的解析式为q px y +=，则 ⎩⎨⎧+-⋅=+⋅=.)1(0,14q p q p解得 ⎩⎨⎧==.2,2q p ∴直线BM 的解析式是y=2x+2.设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（0，2），∴ MNC BCN BCM S S S ∆∆∆+= .111211121=⨯⨯+⨯⨯=设P 点坐标是（x,y ），∵ BCM ABP S S ∆∆=8，∴1821⨯=⨯⨯y AB . 即 8421=⨯⨯y . ∴ 4=y .∴4±=y .当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1，4），当y=-4时，-4=-x 2+2x+3，解得 221±=x .∴满足条件的P 点存在.P 点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(---+.38.（1）解：∵AD 切⊙O 于D ，AE=2，EB=6，∴ AD 2=AE ·AB=2×（2+6）=16.∴ AD=4.图代13-2-23（2）①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），总有FH ED AH AD =. 证法一：连结DB ，交FH 于G ，∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEB.又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，∴ ∠BDE=90°有 ∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH.在△DFB 和△DHB 中，DF ⊥AB ，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH ，∴ △DFB ∽△DHB.∴BH=BF ， ∴△BHF 是等腰三角形.∴BG ⊥FH ，即BD ⊥FH.∴ED ∥FH ，∴FHED AH AD =.图代13-3-24证法二：连结DB ，∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEF.又∵DF ⊥AB ，BH ⊥DH ，∴ ∠EDF=∠DBH.以BD 为直径作一个圆，则此圆必过F ，H 两点，∴∠DBH=∠DFH ，∴∠EDF=∠DFH.∴ ED ∥FH.∴ FHED AH AD =. ②∵ED=x ，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y.又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高，∴ △DFE ∽△BDE ， ∴EBED ED EF =，即EB EF ED ⋅=2. ∴)6(62y x -=，即6612+-=x y . ∵点A 不与点E 重合，∴ED=x >0.A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD ，则OD ⊥PH. ∴ OD ∥BH.又 12,936==+=+=PB EO PE PO ，4,=⋅==POPB OD BH PB PO BH OD ， ∴ 246,4=-=-===BF EB EF BH BF ，由ED 2=EF ·EB 得 12622=⨯=x ，∵x >0，∴32=x .∴ 0<x ≤32.（或由BH=4=y ，代入6612+-=x y 中，得32=x ） 故所求函数关系式为6612+-=x y （0<x ≤32）. 39.解：∵]294)[2(2942254222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m m x x m m x m m x y , ∴可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （1）∵△ABC 为直角三角形，∴OB AO OC⋅=2， 即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22942294422m m m m ， 化得0)2(2=-m .∴m=2.（2）∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即22942=+-m m . ∴429422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m m OC .∴25==BC AC .过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB ·OC=BC ·AD. ∴ 58=AD .∴ 545258sin ===∠AC AD ACB .图代13-3-25（3）CO AB S ABC ⋅=∆21 .1)1()2(2942229421222-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=u u u m m m m ∵ 212942≥+-=m m u ， ∴当21=u ，即2=m 时，S 有最小值，最小值为45. 40.解：（1）∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2，∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8.A 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,532，B 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛524,0. ∴⊙C 的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,516. （2）由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB ，∴ ∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO.∴ Rt △AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴OBOC AB OF OA OC AB OE ==,. ∴ 320,5==OF OE .E 点坐标为（5，0），F 点坐标为，∴切线EF 解析式为32034+-=x y . （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4512,516，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-.524,1,325.52453244,51622c b a c a b ac a b ∴ 5243252++-=x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-4512,516，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.524,4,85.524,5844,51622c b a c a b ac a b ∴ 5244852+--=x x y . 综合上述，抛物线解析式为5243252++-=x x y 或5244852+-=x x y . 41.（1）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,,21m x y x y 有m x x +-=21， ∴ m y m x m x 31,32,23===. ∴交点)31,32(m m M .此时二次函数为m m x y 31322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= m m mx x 31943422++-=. 由②③联立，消去y ，有 0329413422=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m x m x . ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆m m m 3294413422 .013891613891622>=+-+-=m m m m∴无论m 为何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.图代13-3-26（2）解：∵直线y=-x+m 过点D （0，-3），∴ -3=0+m ，∴ m=-3.∴M （-2，-1）.∴二次函数为)1)(3(341)2(22++=+-=-+=x x x x x y .图象如图代13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知△CMA 为Rt △，且∠CMA=Rt ∠，∴MC 为△CMA 外接圆直径.∵P 在x y 21=上，可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n n P 21,，由MC 为△CMA 外接圆的直径，P 在这个圆上， ∴ ∠CPM=Rt ∠.过P 分别作PN ⊥y ，轴于N ，PQ ⊥x 轴于R ，过M 作MS ⊥y 轴于S ，MS 的延长线与PR 的 延长线交于点Q.由勾股定理，有222QP MQ MP +=，即222121)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n MP . 22222213n n NP NC CP +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=. 202=CM .而 222CM CPMP =+， ∴ 20213121)2(2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n ， 即 062252=-+n n ， ∴ 012452=-+n n ，0)2)(65(=+-n n .∴ 2,5621-==n n . 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴ 56=n ， 此时 5321=n . ∴P 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛53,56. 42.解：（1）根据题意，设点A （x 1，0）、点（x 2，0），且C （0，b ），x 1<0，x 2>0，b >0， ∵x 1，x 2是方程02=++-b ax x 的两根，∴ b x x a x x -=⋅=+2121,.在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC 2=OA ·OB.∵ OA=-x 1,OB=x 2，∴ b 2=-x 1·x 2=b.∵b >0,∴b=1，∴C （0，1）.（2）在Rt △AOC 的Rt △BOC 中， 211212121==+-=--=-=-ba x x x x x x OB OC OA OC tg tg βα. ∴ 2=a .∴抛物线解析式为122++-=x x y .图代13-3-27（3）∵122++-=x x y ，∴顶点P 的坐标为（1，2），当0122=++-x x 时，21±=x .∴)0,21(),0,21(+-B A .延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1， ∴点D 坐标为（-1，0）. ∴ DCA DPB ABPC S S S ∆∆-=四边形).(22321)22(212)22(212121平方单位+=⨯-⨯-⨯+⨯=⋅-⋅⋅=yc AD y DB p。
高中数学竞赛专题-函数2
【解】考查（1），f ( x )=－f (x+a) 说明“两个自变数相差a，则函数值互 为相反数”，于是相差2a时，函数值 相等：
f ( x )=－f (x+a) = f (x+2a)
∴ 等式（1）使f ( x )是周期函数， 且2a是周期；
考查（2），f ( x )=f (a－x)表明函 数f ( x )的图像关于直线 x a 对称，这
故选（C）．
【解法2】设x∈(1，2)
则－1＜x－2＜0 且 f ( x ) = f (x－2)，
∵ －1＜x－2＜0,
∴ 0＜2－x＜1
于是， f (2 x) log 2
1 1 (2 x)
log 2
1 x1
∵ f (x) 是奇函数，
∴ f (2－x)＝－f (x－2)，
∴
f ( x) log 2
2
不一定能使其为周期函数； 考查（3），f (a－x)= f (b－x)表明
自变数相差a－b时， 函数值相等， 即 f ( x ) = f (a－b+x)
∴ 等式（3）使f (x)是周期函数， 且a－b是周期．
考查（4），f (a－x) =－f (b－x)表 明自变数相差a－b时，函数值互为相 反数，于是相差2（a－b）时，函数值 相等．故（4）同（1），能使 f ( x )为 周期函数，且 2（a－b）是周期．
竞赛数学试题：二次函数典型题目
高中数学试题：二次函数典型题目班级姓名1．求满足下列条件的二次函数的解析式：(1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.解: (1)设解析式为y=ax 2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得3,3,642.a b c a b c a b c =-+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩解得1,0,2.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴解析式为y=x 2+2.(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).•设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8. 把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上,把x=1,y=-8•代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,∴解析式为y=2x 2-4x-6. 解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a.∵函数有最小值-8. ∴24(3)(2)4a a a a---=-8. 又∵a ≠0,∴a=2.∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,又∵图象与x 轴两交点的距离为6,即AB=6.由抛物线的对称性可得A 、B 两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0),设y=a(x-x 1)·(x-x 2), 将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x 2-2x+8. 2．已知抛物线y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与x 轴总有两个不同的交点.(2)设x 1、x 2是此抛物线与x 轴两个交点的横坐标,且满足x 12+x 22=-2k 2+2k+1. ①求抛物线的解析式. ②设点P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点,•且关于此抛物线的对称轴对称. 求m+m 的值.- 2 -分析:(1)欲证抛物线与x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令y=0,证△>0即可. (2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k 的值,可确定抛物线解析式;•②由P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得n 1=n 2,由n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0可求得m 1+m 2=-1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k) =4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1. ∵8k 2+1>0, 即△>0,∴抛物线与x 轴总有两个不同的交点. (2)①由题意得x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k.∵x 12+x 22=-2k 2+2k+1, ∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=-2k 2+2k+1,即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k=-2k 2+2k+1. ∴8k 2=0,∴k=0, ∴抛物线的解析式是y=x 2+x. ②∵点P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称, ∴n 1=n 2.又n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2. ∴m 12+m 1=m 22+m 2, 即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0. ∵P 、Q 是抛物上不同的点, ∴m 1≠m 2,即m 1-m 2≠0. ∴m 1+m 2+1=0， 即m 1+m 2=-1. 3.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标． （2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ， ∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ． 其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，．- 3 -（2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ．∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ．∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ．222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ，解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ，解得：02343==m m ，（舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此- 4 -时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b 4.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标； （2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）． ∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．- 5 -∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ．∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ．∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2． ∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2． ∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ．即直线PA 是⊙E 的切线． 5.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2. （1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2=∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩ ①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 .∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.∴a = . 这时M 、N 到y又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m=27 . ∴解得m=－7 .- 6 -6．（2005年大连）甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：（1） 请用上表中的各对数据（x ，y ）作为点的坐标，在图10所示的坐标系中画出甲车刹车距离y （米）与x （千米/时）的函数图象，并求函数的解析式。
高中竞赛讲义二次函数练习
高中竞赛讲义二次函数练习一、解答题1、（1）当x2+2y2=1时，求2x+3y2的最值；（2）当3x2+2y2=6x时，求x2+y2的最值。
2、已知f (x)=x2-2x+2，在x∈[t,t+1]上的最小值为g (t)，求g (t)的表达式。
3、已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0 (k为实数)的两个实数根，x12+x22的最大值是：（）（A）19；（B）18；（C）50/9 (D)不存在实用文档4、当X为何值时，函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2取最小值。
5、已知二次函数经过3点A（1/2，3/4）、B（－1,3）、C（2,3），求解析式。
6、已知二次函数的图象过（－2,0）和（3,0）两点，并且它的顶点的纵坐标为125/4，求它的解析式。
7、二次函数的图象通过点（2，－5），且它的顶点坐轴为（1，－8），求它的解析式8、已知二次函数的图象过（－1,－6），（1，－2）和（2,3）三点，求二次函数的解析式。
以下是答案实用文档一、解答题1、解：（1）由x2+2y2=1得y2=1/2(1-x2)，代入2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2))(x-(2/3))2+(13/6) 又1-x2=2y2≥0，∴x2≤1，－1≤x≤1∴当x=2/3时，y=(√10)/6，（2x+3y2）max=16/3；当x=-1时，y=0，（2x+3y2）min=－2(2)由3x2+2y2=6x，得y2=(3/2)x(2-x)，代入x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3)2+9/2又y2=(3/2)x (2-x)≥0，得0≤x≤2当x=2，y=0时，（x2+y2）max=4；当x=0，y=0时，(x2+y2)min=02、解：f (x)= (x-1)2+1(1)当t+1<1即t<0时，g(t)=f(t+1)=t2+1(2)当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g (t)=f (1)=1(3)当t>1时，g(t)=f (t)=t2-2t+2综合（1）、（2）、（3）得：实用文档3、解：由韦达定理得：x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5∴x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19如果由此得K＝-5时，（x12+x22）max=19，选（A），那就错了。
专题竞赛中的二次函数
已知函数f(x ) x 2 bx c , 方程f(x ) x的两根为x 1 ,x 2 , 且x 1 x 2 2
(1). 求证 : x 1 ,x 2 也是方程f(f(x )) x的根 ;
(2). 设f(f(x )) x的另两根为x 3 ,x 4 , 且x 3 x 4 ,判断四根的大小 .
已知f(x ) ax 2 bx c ,其中a N ,b ,c Z . (1). 当b 2a时, 在[1, 1]上是否存在x ,使得 | f(x ) | b成立 ? (2). 当方程f(x ) x 0的根在 (0, 1)时,求a的最小值.
已知f(x ) ax 2 bx c,g(x ) ax b ,a 0,当 1 x 1 时,| f(x ) | 1且g(x ) 的最大值为 2. 求f(x ).
7
已知二次函数 f(x ) ax 2 bx c(a b c ) 的图像上有两点 A(m 1 ,f(m 1 ))
B(m 2 ,f(m 2 ))且满足a 2 [f(m 1 ) f(m 2 )]a f(m 1 ) f(m 2 ) 0, 且f(1) 0
(1). 求证 : b 0;
[名校模拟]
已知f(x ) ax 2 bx c ,其中a N ,b ,c Z . (1). 当b 2a时, 在[1, 1]上是否存在x ,使得 | f(x ) | b成立 ? (2). 当方程f(x ) x 0的根在 (0, 1)时,求a的最小值.
[集训队试题]
2
二次方程根的分布
2 , 结论.设 , 是方程 x ax b 0 的两个根,试给出
满足下列条件的a,b范围? (2). 1 (1). 1
(完整版)二次函数专题
专题训练(三) 与函数有关的最值问题类型之一由不等关系确定的最值问题1．某工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，两种加工方式如下表：现将这50吨原料全部加工完．(粗加工与精加工不能同时进行)(1)设其中粗加工x吨，共获利y元，求y与x的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)(2)如果必须在20天内加工完，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？类型之二由一次函数确定的最值问题2．某工厂计划为地震灾区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅(一桌两椅)需木料0.5 m3，一套B型桌椅(一桌三椅)需木料0.7 m3，工厂现有库存木料302 m3.(1)有多少种生产方案？(2)现要把生产的全部桌椅运往地震灾区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费为2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费为4元，求总费用y(元)与生产A型桌椅x(套)之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．(总费用＝生产成本＋运费)类型之三由二次函数确定的最值问题3．一个边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图Z－3－1)，其中AF＝2，BF＝1.试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．图Z－3－14.[2015·青岛] 如图Z－3－2，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－16x2＋bx＋c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3 m时，到地面OA的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？图Z－3－2类型之四用换元法求最值5．求函数y＝x－1－2x的最值．类型之五用数形结合法求最值6．函数y＝x2－4x＋13＋x2－12x＋37的最小值是________．类型之六自变量x在某一范围内的最值7．求二次函数y＝－4x2＋8x－3在－2≤x≤2上的最大值和最小值．8．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y ＝x2－6x＋7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y＝x2－6x＋7的图象的对称轴为直线x＝3，∴由对称性可知，当x＝1和x＝5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则当x＝1时，y的最大值为2；若m≥5，则当x＝m时，y的最大值为m2－6m＋7.请你参考小明的思路，解答下列问题：(1)当－2≤x≤4时，二次函数y＝2x2＋4x＋1的最大值为________；(2)若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2＋4x＋1的最大值；(3)若t≤x≤t＋2时，二次函数y＝2x2＋4x＋1的最大值为31，则t的值为________．图Z－3－3 专题训练(五) 巧用抛物线的对称性妙解题类型之一利用对称性比较函数值的大小1．点A(－2，y1)，B(3，y2)是二次函数y＝2(x－1)2－1的图象上的两点，则y1与y2的大小关系是( )A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象过点A(1，n)，B(3，n)，若点M(－2，y1)，N(－1，y2)，K(8，y3)也在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象上，则下列结论正确的是( ) A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2类型之二利用对称性求交点坐标3.如图5－ZT－1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B的坐标为()图5－ZT－1A．(2，3) B．(3，2)C．(3，3) D．(4，3)4．如图5－ZT－2，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为( )图5－ZT－2A．0 B．－1C．1 D．25．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，7)，B(6，7)，C(3，－8)，求该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标．类型之三利用对称性求长度6．如图5－ZT－3是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100 m，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10 m(不考虑立柱的粗细)，其中距点A10 m处的立柱FE 的高度为3.6 m.(1)求正中间的立柱OC的高度；(2)是否存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半？请说明理由．图5－ZT－3类型之四巧用对称性求二次函数的表达式7．已知二次函数的函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x＝－3，此二次函数的表达式为________________．8．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x ＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________．9．二次函数的图象经过点A(0，0)，B(12，0)，且顶点P到x轴的距离为3，求该二次函数的表达式．类型之五利用对称性求面积10．二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y 轴对称，顶点A和它的x轴的两个交点B，C所构成的△ABC的面积为( )A．1 B．2 C.12D.3211．已知二次函数y＝2x2＋m(m为常数)．(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1________y2(填“＞”“＝”“＜”)；(2)如图5－ZT－4，此二次函数y＝2x2＋m的图象经过点(0，－4)，正方形ABCD的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在x 轴上，求图中阴影部分的面积之和．图5－ZT－4类型六 利用对称性求不等式的解集或字母的取值范围12．如图5－ZT －5是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A (3，0)，则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是______________．图5－ZT －513．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上部分点的对应值如下表：则当y <0时，x 的取值范围为____________． 类型之七 利用对称性解决线段和最短问题14．如图5－ZT －6，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝－2，点C 在抛物线上，且位于点A ，B 之间(C 不与A ，B 重合)．若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为________(用含a 的式子表示)．图5－ZT －615．[2015·酒泉] 如图5－ZT －7，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x 轴相交于点M.(1)求抛物线的表达式和对称轴．(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)连接AC ，在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．图5－ZT －7专题训练(四) 二次函数图象信息专题 类型之一 根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号1．已知b ＜0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列四个图象之一．试根据图象分析，a 的值应等于()图4－ZT －1A ．－2B ．－1C ．1D ．22.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图4－ZT －2所示，则abc ，b 2－4ac ，2a ＋b ，a ＋b ＋c 这四个式子中，值为正数的有()图4－ZT －2A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．[2016·广安] 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图4－ZT －3所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0有两个不相等的实数根．下列结论：①b 2－4ac ＜0；②abc＞0；③a－b＋c＜0；④m＞－2.其中，正确的个数为( )图4－ZT－3A．1 B．2 C．3 D．4类型之二利用二次函数的图象比较大小4．[2016·兰州] 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y3>y2>y1B．y3>y1＝y2C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y3类型之三利用二次函数的图象求方程或不等式的解5．如图4－ZT－4，以(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的正数解的范围是()图4－ZT－4A．2＜x＜3 B．3＜x＜4C．4＜x＜5 D．5＜x＜66．如图4－ZT－5，抛物线y＝x2＋1与双曲线y＝kx的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式x2＋1＜kx的解集是( )图4－ZT－5A．x＞1 B．x＜0C．0＜x＜1 D．－1＜x＜07．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图4－Z－6所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是______________．图4－ZT－68．如图4－ZT－7是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是______________．图4－ZT－7类型之四根据抛物线的特征确定一次函数或反比例函数的图象9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图4－ZT－8所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx在同一平面直角坐标系中的大致图象为()图4－ZT－8图4－ZT－910．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图4－Z－10所示，则一次函数y＝bx＋c的图象不经过第________象限．图4－ZT－10类型之五有关二次函数的综合题11．如图4－ZT－11，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2(x≥0)与y2＝x23(x≥0)的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，过点D作直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则DEAB＝________．图4－ZT－1112.如图4－ZT－12，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．(1)求m的值和二次函数的表达式；(2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积．图4－ZT－1213．已知抛物线y＝x2－(k＋2)x＋5k＋24和直线y＝(k＋1)x ＋(k＋1)2.(1)求证：无论k取何实数值，抛物线与x轴都有两个不同的交点；(2)抛物线与x轴交于点A，B，直线与x轴交于点C，设A，B，C三点的横坐标分别是x1，x2，x3，求x1·x2·x3的最大值；(3)如图4－ZT－13所示，如果抛物线与x轴交于点A，B，点A，B在原点的右边，直线与x轴交于点C，点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D，E，直线AD交直线CE 于点G，且CA·GE＝CG·AB，求抛物线的函数表达式．图4－ZT－13。
高中数学竞赛讲义第二章 二次函数与命题
第二章 二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。
2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反。
3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=a b 2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab 2-≠}和空集∅，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。
当a <0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=ab ac 442-,若a <0，则当x =x 0=ab 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=a b ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
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课后练习
1．f(x)是定义在全体实数上的偶函数，它的图象关于x=2为轴对称，已知当x∈(-2,2]
时f(x)的表达式为-x2+1，则当x∈(-6,-2)时，f(x)的表达式是：(A)-x2+1，（B）-(x-2)2+1，(C)-(x+2)2+1，（D）-(x+4)2+1。
（）
2．已知x2-4x+b=0的一个根的相反数为x2＋4x-b=0的根，则x2+bx-4=0的正根为。
3．已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb且f(-1)=-2，又f(x)≥2x对一切x∈R都成立，求a+b=?
4．设θ∈[0,π]，关于x的方程x2-2∣x∣cosθ+1=0有实根，则4x2+13∣x∣+23= 。
5．已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根x1与x2，设P=x12002+x22002,q=x12001+x22001,r=x12000+x22000则
ap+bq+cr= 。
6．若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＜0)满足f(x+2)=f(2-x)，那么f(0),f(-2002),f(2002)的大小关系是（A）f(0)＜f(2002)＜f(-2002)，(B)f(2002)＜f(0)＜f(-2002)，(C)f(-2002)＜f(0)＜f(2002)，(D)f(-2002)＜f(2002)＜f(0)
7．若sin2x+c osx+a=0有实根，试确定实数a的取值范围是什么？
8．已知x,y都是实数，C=x2+y2-xy-x+y，则C的最小值等于。
9．代数式2x2+2xy+2y2+2x+4y+5的最小值为：（A）0 （B）5 （C）9/2 （D）3
10．函数f(x)=x4-2x2+2的单调增区间是：（A）[1,+∞)，（B）(-∞,-1)∪[1,+∞)，(C)[-1,0]∪[1,+∞)，(D)以上都不对
11．若二次函数f(x)=ax2+bx，有f(x1)=f(x2)(x1≠x2)则f(x1+x2)= 。
12．给定函数f(x)=x2+ax+b设P，q是满足P+q=1的实数，证明，若对于任意的实数x,y，均有：pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)，则0≤p≤1
课后练习答案
1．（D）；2.2；3.110；4.40；5.0；6.(D)；7.[-5/4,1]；8.-1/3；9.(D)；10.(D)；11.0；
12.(略)。