2020北京大学强基计划数学试题全解全析

2020年北京市清华大学强基计划数学试卷

对照选项可能 a＝3 或 4，故选：CD．【点评】本题考查三角形的面积的求法，以及运算能力和判断能力，属于基础题．
7．P 为双曲线 ﹣y2＝1 上一点，A（﹣2，0），B（2，0），令∠PAB＝α，∠PBA＝β，下
列为定值的是（）
A．tanαtanβ
B．tan tan
C．S△PABtan（α+β）
D．AP＝2PC
【考点】平面向量的基本定理．菁优网版权所有
【分析】根据平面向量的平行四边形法则判断 A，B，构造相似三角形判断 C，D．
【解答】解：在直线 PA，PB，PC 上分别取点 M，N，G，使得| |＝| |＝| |＝1，
以 PM，PN 为邻边作平行四边形 PMQN，则
＝，
∵
+
+
＝，即
+ ＝，
8．甲、乙、丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅一人做
对且一人说错，问以下正确的是（）
A．甲对
B．乙对
C．丙对
D．以上说法均不对
第 1 页（共 16 页）
9．Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，
+
+
＝，以下正确
的是（） A．∠APB＝120° B．∠BPC＝120°
D．x2+6y 与 y2+6x 可以均为完全平方数

2020年北京大学强基计划数学试题（传）

2020年北京大学强基计划笔试数学试题

（试题来源网络）

1. 正实数x ，y ，z ，w 满足x ≥y ≥w ，且x +y ≤2(w +z )，求w x +z y 的最小值.

2. 若f (x )=x 5+px +q 存在有理根，且正整数p ，q 不大于100，则满足条件的(p ，q )共有几组.

3. 已知椭圆x 2+y 2=1，圆x 2+y 2=4，从圆上一点作椭圆的切点弦，求切点弦围成的面积.

4. 求19x +93y =4xy 整数解的组数.

5. 已知x ，y ，z >0，判断s =x

x +y +y y +z +z x +z 是否存在最大值与最小值.

6. 已知数列{a n }满足：a 1=1，a 2=4，且a n 2-a n -1a n +1=2n -1+(n ≥2，n ∈N *)，求a 2020的个位数.

XXX2020年强基计划数学试题及详细解析

XXX2020年强基计划数学试题解析

1.已知实数$x,y$满足$x^2+y^2\leq1$，则$x^2+xy-y^2$的最大值为()

A.1

B.

答案B.

解析1：由AM-GM不等式，得

x^2-y^2+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2)\leq x^2-

y^2+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2)+\frac{1}{2}(x^2-

2xy+y^2)=(x+y)^2\leq1$$

上式当$x=\frac{1}{\sqrt{10}}-\frac{4}{\sqrt{10}}y$时取等号。即原式的最大值为$\frac{1}{2}$。

解析2：设$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，其中

$r\leq1,\theta\in R$，则

x^2+xy-y^2=r\cos^2\theta+\sin\theta\cos\theta-

r\sin^2\theta=\frac{1}{2}(r\cos2\theta+\sin2\theta)\leq\frac{1}{2} $$

上式当

$r=1,\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{10}},\sin\theta=\frac{5}{2\sqrt{10 }}$时取等号。即原式的最大值为$\frac{1}{2}$。

2.设$a,b,c$为正实数，若一元二次方程$ax^2+bx+c$有实根，则()

A。max$\{a,b,c\}\geq(a+b+c)$

B。max$\{a,b,c\}\geq\frac{4}{9}(a+b+c)$

北京大学2024年强基计划招生考试数学试题及参考答案

引言：

北京大学作为国内一流的高等学府，一直致力于选拔具有学术潜力和创新精神的优秀人才。为了全面考查学生的数学素养和解决问题的能力，北京大学2024年强基计划招生考试数学试题难度适中，紧扣考试大纲，注重基础知识的掌握和综合运用。本文将结合参考答案，深入剖析试题特点及解题技巧，为广大考生提供有益的备考启示。

试题特点及解题技巧：

1、基础知识考查：试题中涉及到的知识点包括函数、数列、几何、概率与统计、微积分等，考查学生对数学基础知识的掌握程度。针对这部分内容，考生需要在平时的学习中认真理解概念，熟练运用公式，注重知识点的巩固和拓展。

2、综合能力考查：试题在基础知识的基础上，注重考查学生的数学思维能力和实际应用能力。例如，解答题中的函数与几何结合的问题，需要考生通过分析题意，挖掘几何与函数的联系，综合运用所学知识解决问题。

3、解题技巧：选择题和填空题在解题方法上可以采用逆推法、特殊值法、排除法等技巧，以简化计算，节省时间。解答题则要求考生在

掌握知识点的基础上，灵活运用各种解题方法，如分析法、综合法、反证法等。

备考建议：

1、夯实基础：考生要在掌握基本概念、公式的基础上，注重知识体系的建立，将各个知识点串联起来，形成完整的知识框架。

2、提升综合能力：在备考过程中，要有意识地培养自己的数学思维能力和实际应用能力，注重知识的迁移和运用。

3、解题技巧训练：通过大量练习，熟练掌握各种解题技巧和方法，提高解题速度和准确性。

2020年北京市清华大学强基计划数学试卷含答案

2020年北京市清华大学强基计划数学试卷

一、解答题

1．已知x2+y2≤1，求x2+xy﹣y2的最值．

二、选择题

2．非等边三角形ABC中，BC＝AC，O，P分别为△ABC的外心和内心，D在BC上且OD⊥BP，下列选项正确的是（）

A．BODP四点共圆B．OD∥AC

C．OD∥AB D．DP∥AC

三、解答题

3．A，B，C均为{1，2，3，…，2020}子集，且A⊆C，B⊆C，问有序的（A，B，C）共有多少？

四、选择题

4．a0＝0，|a i+1|＝|a i+1|，令A＝|a k|（）

A．A可以等于0B．A可以等于2

C．A可以等于10D．A可以等于12

5．P为椭圆+＝1上一点，A（1，0），B（1，1），求|P A|+|PB|的最值．

6．△ABC三边均为整数，且面积为有理数，则边长a可以为（）

A．1B．2C．3D．4

7．P为双曲线﹣y2＝1上一点，A（﹣2，0），B（2，0），令∠P AB＝α，∠PBA＝β，下列为定值的是（）A．tanαtanβB．tan tan

C．S△P AB tan（α+β）D．S△P AB cos（α+β）

8．甲、乙、丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅一人做对且一人说错，问以下正确的是（）

A．甲对B．乙对

C．丙对D．以上说法均不对

9．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，++＝，以下正确的是（）A．∠APB＝120°B．∠BPC＝120°C．2BP＝PC D．AP＝2PC

10．arctan＝（）

A．πB．πC．D．

五、填空题

11．从0﹣9共10个数中任取5个组成一个5位或4位（0在首位）数，则该数被396整除概率为．12．随机变量X等于k的概率为P（X＝k）＝，Y为X除以3的余数，求Y的数学期望E（Y）．

2020北京清华大学强基计划数学及答案

2020年北京市清华大学强基计划数学试卷

一、解答题

1．已知x 2+y 2≤1，求x 2+xy ﹣y 2的最值．二、选择题

2．非等边三角形ABC 中，BC ＝AC ，O ，P 分别为△ABC 的外心和内心，D 在BC 上且OD ⊥BP ，下列选项正确的是（） A ．BODP 四点共圆 B ．OD ∥AC

C ．O

D ∥AB D ．DP ∥AC

三、解答题

3．A ，B ，C 均为{1，2，3，…，2020}子集，且A ⊆C ，B ⊆C ，问有序的（A ，B ，C ）共有多少？四、选择题

4．a 0＝0，|a i +1|＝|a i +1|，令A ＝|∑ 20k=1a k |（） A ．A 可以等于0 B ．A 可以等于2

C ．A 可以等于10

D ．A 可以等于12

5．P 为椭圆

x 24

+

y 23

=1上一点，A （1，0），B （1，1），求|P A |+|PB |的最值．

6．△ABC 三边均为整数，且面积为有理数，则边长a 可以为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

7．P 为双曲线

x 24

−y 2＝1上一点，A （﹣2，0），B （2，0），令∠P AB ＝α，∠PBA ＝β，下列

为定值的是（） A ．tan αtan β B ．tan α

2

tan β

2

C ．S △P AB tan （α+β）

D ．S △P AB cos （α+β）

8．甲、乙、丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅一人做对且一人说错，问以下正确的是（） A ．甲对 B ．乙对

C ．丙对

北京大学2024年强基计划笔试数学试题

考试时间 2024年6月30日上午9：00-11：00

以下为理科数学试题，共20题.

2024ii=1模 7 的余数.

1. 求∑�19ii20�

2. 求sin36∘−sin3114∘+sin3126∘ .

3. 求1,2,…,8的排列的个数,使得排列中没有出现连续的12,23,…,78 .

4. 已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,… ,求第 2024 项模 5 的余数.

5. 求四元组(aa1,aa2,aa3,aa4)的个数,使得aa ii∈{1,2,3} ,且10<aa1aa2aa3aa4< 20.

6. 求(0,2ππ]上方程2cosxx=sin xx的解的个数.

7. 求ℝ上方程xx�ee xx4−1−1�+(xx−1)(xx4−1)=0的解的个数.

8. 求ℝ上方程xx2−13[xx]+11=0的解的个数.

9. 在体积为 1 的正方体内取一个点, 过这个点作三个平行于正方体面的平面,将正方体分为 8 个长方体,求这些小长方体中体积不大于18的长方体个数的最小值.

10. 在离心率为√32的椭圆中, FF1,FF2是两个焦点, PP是椭圆上一点,且∠FF1PPFF2=ππ3,|PPFF1|−|PPFF2|=3 ,求SS△PPFF1FF2 .

11. 用SS(nn)表示正整数nn的数码和,求满足SS(nn+1)与SS(nn)均为 5 的倍数的nn的最小值.

1

12. 称正整数nn为好数,当它各位数字均不相同,且对于所有正整数mm满足�nn10mm�>0 ,都有�nn10mm�∣nn ,求最大的好数的范围. (选项为(0,1000),(1000,2000),(2000,3000) .)

2020年北大强基计划试题及解析

2020年北京大学强基计划数学试题

一、共20道选择题，在每题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对得5分，选错或不选得0分．

1.已知w z y x ,,,均为正实数，且满足w y x ≥≥和()w z y x +≤+2，则y

z

x w +的最小值等于（）A.4

3 B.

8

7 C.1 D.前三个答案都不对

2．在()

2021

20192020⨯的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都

不是平方数，则最多可选因数的个数为（）．A．16B．31C．32D．前三个答案都不对

3．已知整数列{}

n a （1n ）满足11a =，24a =，且对任意2n 有2

1112n n n n a a a -+--=，则2020a 的个位数字是（）．

A．8

B．4

C．2

D．前三个答案都不对

4.设a ，b ，c ，d 是方程43223450x x x x ++++=的4个复根，则

1111

2222

a b c d a b c d ----+++

++++的值为（）．

A．43

-

B．23

-

C．

23

D．前三个答案都不对

5．设等边ABC △的边长为1，过点C 作以AB 为直径的圆的切线，交AB 的延长线于点D ，AD BD >，则BCD △的面积为（）．

A．

6233

16

-B．

4233

16

-C．

3223

16

-D．前三个答案都不对

6．设x ，y ，z 均不为1π2k ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭，

其中k 为整数，已知()sin y z x +-，()sin x z y +-，()sin x y z +-成等差数列，则依然成等差数列的是（）．

北京大学强基计划2020年数学试题(word版+解析版)

第1页/共3页

北京大学强基计划2020年数学试题详解 1.正实数,,,x y z w 满足x y w ≥≥，且2()x y w z +≤+，求w z x y

+的最小值. 2.若50x px q ++=有有理根，且正整数,p q 不大于100，则满足条件的(,)p q 共有几组.

3.已知椭圆2

212

x y +=，圆224x y +=，从圆上一点作椭圆的切点弦，求切点弦围成的面积. 4.求19934x y xy +=整数解的组数.

5.已知,,0x y z >，判断x y z s x y y z z x

=+++++是否存在最大值与最小值. 6.已知数列{}n a 满足：11a =，24a =，且21112n n

n n a a a --+-=(2n ≥，*n ∈N )，求2020a 的个位数.

参考答案

1.解析

因为2()x y w z +≤+，所以2x y z w +≥

- 所以

122z x w y y y ≥+- 所以

122w z w x w x y x y y +≥++- 因为w w y x y x

=⋅，所以1w w w y x y y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 因为x y w ≥≥，所以11w y y y x x

⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭

所以111112222222

w x w w w x y x x y y x y y x y ⎛⎫++-=-++≥-++≥ ⎪⎝⎭

所以12w z x y +≥，

其中等号当且仅当x ==

且z y 时成立，故w z x y +

12

2.解析：

设5

0x px q ++=的有理根为m n ，其中0n >，且n ，||m 互素，则有550m pm q n n ++=，所以5450m pmn qn ++=，所以5m 能被n 整除，又因为,||n m 互素，所以1n =.所以4()q m m p =-+，因为p ,q 均为正整数，所以0m <，又因为,p q 是不大于100的正整数，所以1m =-或2m =-，