对一道椭圆习题的深入思考与探究

这个题目的第(2)问 ，解 法 1就是从问的角度审题是 求 最 值 类 问 题 ，而求最值类问题最常用的方法是函数 法 ’解 法 2 又 注 意 到 求 最 值 有 一 种 比 较 重 要 简 洁 的 方 法 是 基 本 不 等 式 法 ，进而简化了运算'从所考查的知识角 度分析看这个题目研究的是直线与圆锥曲线问题，处理 这 类 问 题 常 见 有 法 和 “设而不求”两种方法，解 法 1和 解法2是 用 法 ，解法3是用“设而不求”法’
2
1+4#2
V 1& #2
% 2+(12#2+3-%2)
一2 V % % 12#2+3-%2) " 2 .
"
1&4#2
2 1&4#2
一3 一，
当且仅当％2! ^ ^ 时 ，取 等 号 ，代 人 (*)可求得A2! 2
¥4 ，符合题意.
当直线4 + 的斜率不存在时，# * 0 + 的面积为^ 8
综合上述，# 4 0 + 的面积的最大值为3. 分析3 :处理解析几何计算时，可以采用“设而不求” 法 ，为了 简 便 计 算，点4 ，+ 的坐标设为参数形式.解题过 程如下： 解法3 :设4 (-1 ，.1 )，+(-2，.2)，则直线〇+ :-2.-.2-一〇，
点 评 ：本 题 第 （2 ) 小 问 的 解 法 思 路 比 较 直 观 ，体 现 函 数 思 想 .但 是 计 算 特 别 烦 琐 ，尤 其 换 元 更 不 容 易 想 到 ，一 般难以完成.
分 析 2 :此 题 第 (2 )问 是 求 最 值 类 的 问 题 ，而求最值
类的问题有时便捷的方法是利用基本不等式求解.
分 析 1 : 设 直 线 方 程 为 & ( 1 # + 2 ,联立直线方程和 椭 圆 方 程 ，利用弦长公式求得1 ，2 的 关 系 ，求出原点0 到 直 线 的 距 离 ，把 $ , 0 - 的面积化为含有1 的函数，然后 利用换元法求得最值.
解 法 1 :设, （ # 1，& )，- (#2，&2)，当 的 斜 率 存 在 时 ，
得2 2<1212+8 I2
4 ( 2 2-3)
1+412 ，#1#2=- 1+412
设 直 线 方 程 为 & = 1 #+2 , 联立
(412+1 )#2+812#+4(22-3)=0. 由A >0知 ，1212+ 3 - 2 2> 0 ， 敗#1+#2=- 812 ，#1#2= 4 ( 2 2-3)
消 去 & ，得
,
V
+F i#2-#1I=V
+F
V 1 ( 112+4F1+23- 2 ^
d .(*) 2
又原点0 到 直 线 的 距 离 ^ ， vm
所以S =丄 L4 - I.4 2
62 十 •？•!{：，■?高中
2018年 4 月
新颖试题
- 1 ! i +#2 V 16( 12#2+ 3 - % 2) . 1%1
思考（二 ） 把题干条件适当放宽，结论仍然成立
从前面的解法2和解法3发现条件l4 + l= i2 仅起到验
证 的 作 用 ，条件L4 + l= A2 是 满 足 # 4 0 + 的面积1 的最大值
为3 的一个充分条件'若条件l4 + l一(2>0)，则 要 使 # 4 0 + 的面积S 的最大值还能为3 ，则 2' [V & ，2 V & ].证明如 下:
教学 参谋
新颖试题
2018年 4 月
对一道椭圆习题的深入思考与探究
( 江苏省淮州中学杨帆
笔者最近做过一道习题，然 后 ，从审题与解法角度、 数学的运算方式与运算技巧的角度进行了一些深人思 考 ，对习题做了条件拓宽、结论推广和类比联想，现分享 给 各 位 读 者 ，希望能对各位读者有所启发.
一 、习题及其解法
(一） 习题再现
习 题 如 图 1 ，已 知 椭 圆 ": 4 + 4 = 1 ($>'>0 )，经过 $ '2
椭 圆 C上一点）的
直
线与椭 42
圆
C有
且只有一个公共点，且点) 横坐标为2.
( ) 求椭圆的标准方程；
[#矣2 + 苓3 = 1 ，过 程 略 # ( 2 )若 是 椭 圆 的 + 条
弦 ，且 I, - I( ，0 为 坐 标 原 点 ， 2
1+412 1 +1 2
625 I 9 6 \2 〇 102^ 25!
又因为!= ^ ^ = 4 -
96
1 +1 2 1 + 2 ' [1 ，4 )，当 ^ 时 ，
所以0/„=9.
当 直 线 斜 率 不 存 在 时 ，$ , 0 - 的面积为 5 V 3
综合上述，$ , 0 - 的面积的最大值为3.
解 法 2 :设, （ #1 ，&1)，- ( # 2 ，&2)，当 直 线 ,-的 斜 率 存 在
时 ，设 直 线 方 程 为 & = 1# + 2 ，
f#2+4y2=12
联立 %
消去& ，得(412+1 )#2+812#+4(22-3 )=0■
i&=1 # + 2 ，
又 "=64122 2-16(1 +412)(22-3) = 16( 1212+ 3 - 2 2)>0,
由思考(二)知，当直线4 + 的斜率存在时，# 4 0 + 面
点4 到直线0 + 距离0- l-2y1--1y 2'，则 # 4 0 + 的面积1-
V-2+.2
V , |〇+ 10一 -2+.2. 1- 7-1.2丨一丨-27「-1.2丨.
2
2
V-2+r 2 2
设 4 (2V 3 cos! ，V 3 since)，+(2V 3 co.S ，V 3 si〇S )，
求 $ , 0 - 的面积0 的最大值. (二） 分析与解 由）的横坐标可得）的坐 标 ，带 人 椭 圆 方 程 ，联立直
线 和 椭 圆 方 程 ，化 为 关 于 #的 一 元 二 次 方 程 ，由判别式等 于0得到$ ，'关 系 ，进一步求得$ ，' 的 值 ，则 椭 圆 C 的标准 方程可求.下面着重分析问题(2 ).
由 (|ABI2(( 1+12)(#2-##)2(( 1+12)[(#2+#i )2-4###2]， 4
得2 2=3(1+412)-25 (/+412'). 64(1+12)
又原点0 到 直 线 的 距 离 1 2 ， VY+F
所以s =-
ImI
4 vr+ F
则s 2=-
625 1024
192 l 5 _/