高一数学必修四第二章平面向量复习学案.

第二章平面向量复习学案
一.知识回顾 （一）向量的基本概念：
1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向 量的_____.
2.零向量: 模为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量方向任意。

3.单位向量: 模等于______________的向量叫做单位向量. 与AB u u u r
共线的单位向量是____. （二）向量之间的关系：
共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量.
规定:_______与任意向量共线.其中模相等方向相同的向量叫做____________;模相等且方 向相反的向量叫做___________;
（四）两个定理：
1.向量共线定理:向量与非零向量共线⇔有且只有一个实数λ,使得____________. 推论：平面上三点A,B,C 共线⇔对于平面内任意一点O ,存在实数λ,μ, 使μλ+=其中λ+μ=____.
2.平面向量基本定理: 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的
任一向量,有且只有一对实数21,λλ,使a =_______________. （五）向量的坐标表示及运算
1. 平面向量的正交分解及其坐标表示: ),(y x j y i x a =+=ρ
ρρ.
2. 平面向量的坐标运算: 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ∈R,
则+=_____________; -=______________ ;λ=__________. 3. 向量平行的坐标表示: b a // ⇔_____________________ .
4. 向量模的公式: 设=(x,y),=____________________
5. 若已知点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2) , 则向量AB =____________;
若M(x O ,y O )是线段AB 的中点，则有中点坐标公式⎩⎨⎧==____________________
00y x
（六）平面向量的数量积
1.平面向量数量积的定义:两个非零向量,,其夹角为θ,a b ⋅r r
=________
叫做和的数量积.其中_____________叫做向量在方向上的投影. 2.数量积的坐标运算:设=(x 1,y 1),=(x 2,y 2),a b ⋅r r
=________________; 3.两个向量垂直的等价条件:设两个非零向量b a ,,则有
向量式: a ⊥b ⇔__________； 坐标式：a ⊥b ⇔ ___________ 4.几个重要性质:
①2
2a a a a =⋅=r r r r ；②若与同向，则a b ⋅r r =_____;若与反向，则a b ⋅r r =______;
③两个非零向量,,其夹角为θ,则θcos =___________.④ a b a b ⋅≤⋅r r r r
（七）向量中一些常用的结论：
在ABC ∆中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为__________
②0PA PB PC P ++=⇔u u u r u u u r u u u r r
为ABC ∆的_____心；
③PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
为ABC ∆的______心；
④||||||==(或2
22==)⇔O 是ABC ∆的_____心；
⑤向量()(0)||||
AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r
u
u u r u u u r 所在直线过ABC ∆的______心.
二.典例剖析
题型一：平面向量及其线性运算
例 1.如图所示，OADB 是以向量b OB a OA ρρ
==,为邻边的平行四边形，又
3
1
,31==，试用b a ρρ, 表示.,,MN ON OM
题型二：平面向量的坐标运算
()()().
,//211,3.2是坐标原点的坐标的试求满足，，，已知例O =+⊥-==
题型三：平面向量的数量积的应用 （一）与长度，距离有关的问题
例3.已知向量r r a 与b 的夹角为60o
，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,求向量a r 的模.
（二）与垂直有关的问题
例4.已知,1||,2||==b a ϖϖa ϖ与b ϖ的夹角为3
π
,若向量b k a ϖϖ+2与b a ϖϖ+垂直, 求k .
（三）与夹角有关的问题
例5.三角形ABC 中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)， 求：(1)BC 边上的中线AM 的长；(2)cos ∠ABC 的值.
（四）与最值有关的问题
B D
例6.已知()()ββααsin cos sin cos ，，，
==b a ρρ
且()03>-=+k b k a b a k ρρρρ. （1）用k 表示数量积b a ρρ•；（2）求b a ρ
ρ•的最小值，并求出此时a ρ与b ρ的夹角θ的大小.
当堂检测:
1．下列命题正确的是 （ ）
A ．单位向量都相等
B ．若，，c b b a ρρρρ////则c a ρ
ρ//.
C ．||||b a b a ρρρρ-=+，则0a b ⋅=r r
D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=r
r
2．若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（ ）
A ．3,5a b ==-
B ．10a b -+=
C ．23a b -=
D ．20a b -= 3.O 是平面上的一定点，C B A ,,是平面上不共线的三个点，动点P 满足 +=OA OP
+λ，[)+∞∈,0λ, 则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
4．已知向量()()()，，，，，，143221=-==c b a ρ
ρρ若用a ρ和b ρ表示c ρ，则=→c _____________.
5．若)3,2(=a ρ
，)7,4(-=b ρ，则a ρ在b ρ上的投影为________________.
6．已知)2,1(=→a ，),1(m b =→，如果→a 与→
b 的夹角为锐角，则m 的取值范围是_________
7．已知)1,2(=a ρ
与)2,1(=b ρ，要使b t a ρρ+最小，则实数t 的值为___________.
8.已知(1,2)a =r
,)2,3(-=,当k 为何值时，
（1）ka b +r r 与3a b -r r
垂直？
（2）ka +r
b 与3a -r 平行？平行时它们是同向还是反向？。