全等三角形与坐标系
等腰三角形、全等三角形及平面直角坐标系
等腰三角形、全等三角形及直角坐标
教学课题
等腰三角形、全等三角形及直角坐标
教学目标
1、 能证明全等三角形
2、 掌握等腰(等边)三角形的性质,会判定等腰(等边)三角形
3、 掌握平面直角坐标系及相关概念, 类比(由数轴到平面直角坐标系)的方法、数形结合的
思想. 教学重、难点
灵活运用四种全等三角形判定定理;构建平面直角坐标系,掌握平面内点与坐标的对应.
◆ 诊查检测:
1、 如图所示,某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事
的办法是( )
A.带①去
B.带②去
C.带③去
D.带①和②去
2、 一个正方形在平面直角坐标系中三个点的坐标为(-2,-3)、(-2,-1)、
(2,1),则第四个顶点的坐标为( )
A .(2,2) B.(3,2) C.(2,-3) D.(2,3) 3、判断题:① 两边和一角对应相等的两个三角形全等.( )
② 两角和一边对应相等的两个三角形全等.( ) ③ 两条直角边对应相等的两个三角形全等. ( ) ④ 腰长相等,顶角相等的两个等腰三角形全等. ( ) ⑤ 三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等.( ) ⑥ 两个等边三角形全等( ). ⑦ 一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. ( ) ⑧ 腰长相等,且都有一个40°角的两个等腰三角形全等.( ) ⑨ 腰长相等,且都有一个100°角的两个等腰三角形全等.( ) ⑩ 有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等. ( )
4、(1)等腰三角形的一个角是110°,它的另外两个角的度数是
证明全等三角形的判定方法
证明全等三角形的判定方法
一、SSS 判定法(边边边法)
SSS 判定法是判定全等三角形最直接的方法之一。它指的是如果
两个三角形的三条边分别相等,则这两个三角形全等。
例如,对于三角形 ABC 和三角形 DEF,如果 AB = DE,AC = DF,BC = EF,则可以断定三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
二、SAS 判定法(边角边法)
SAS 判定法是另一种常见的全等三角形判定方法。它指的是如果
两个三角形的两条边和夹角分别相等,则这两个三角形全等。
举例来说,如果在三角形 ABC 和三角形 DEF 中,已知 AB = DE,AC = DF,且角 A = 角 D,则可以得出三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
三、ASA 判定法(角边角法)
ASA 判定法也是证明三角形全等的有效方法。它指的是如果两个
三角形的两个角和夹在它们之间的边分别相等,则这两个三角形全等。
比如,若在三角形 ABC 和三角形 DEF 中,已知角 A = 角 D,角
B = 角 E,且边 AB = 边 DE,则可以推断三角形 AB
C 全等于三角形DEF。
四、AAS 判定法(角角边法)
AAS 判定法与ASA 判定法类似,也是基于角和边的对应关系来判
定全等三角形。它指的是如果两个三角形的两个角和它们之间的一条
非夹边分别相等,则这两个三角形全等。
例如,在三角形 ABC 和三角形 DEF 中,已知角 A = 角 D,角 B = 角 E,且边 AC = 边 DF,则可以得出三角形 ABC 全等于三角形DEF。
五、HL 判定法(斜边直角边法)
全等三角形与坐标系
全等三角形与坐标系
1.如图,直角坐标系中,点B(a,0),点C(0,b),点A在第一象限.若a,b满足(a−t)2+|b−t|=0(t>0).(1)证明:OB=OC;
(2)如图1,连接AB,过A作AD⊥AB交y轴于D,在射线AD上截取AE=AB,连接CE,F是CE的中点,连接AF,OA,当点A在第一象限内运动(AD不过点C)时,证明:∠OAF的大小不变;
(3)如图2,B′与B关于y轴对称,M在线段BC上,N在CB′的延长线上,且BM=NB′,连接MN 交x轴于点T,过T作TQ⊥MN交y轴于点Q,求点Q的坐标
2.如图1,已知线段AC∥y轴,点B在第一象限,且AO平分∠BAC,AB交y轴与G,连OB、OC.(1)判断△AOG的形状,并予以证明;
(2)若点B、C关于y轴对称,求证:AO⊥BO;
(3)在(2)的条件下,如图2,点M为OA上一点,且∠ACM=45°,BM交y轴于P,若点B的坐标为(3,1),求点M的坐标.
3.平面直角坐标系中,矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上,点A(0,m),点C(n,0),且
m、n满足√m+2+(n−2)2=0.
(1)求点A、C的坐标;
(2)如图1,点D为第一象限内一动点,连CD、BD、OD,∠ODB=90°,试探究线段CD、OD、BD 之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图2,点F在线段OA上,连BF,作OM⊥BF于M,AN⊥BF于N,当F在线段OA上运动时(不与O、A重合),OM+AN
的值是否变化?若变化,求出变化的范围;若不变,求出其值.
全等三角形的知识点
全等三角形的知识点
知识点一:全等三角形的性质
例1:如图,AC=DC,BC=EC,请你添加一个条件___________,使得ΔABC ≌ΔDEC. D A
E C (例1) D (例2)
知识点二:全等三角形的判定
例2:如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB‖ED,AC‖FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定ΔABC≌ΔDEC的是()
A.AB=DE
B.AC=DF
C.∠A=∠D
D.BF=EC
知识点三:尺规做全等三角形
方法:(1)SSS (2)SAS (3)ASA (4)AAS
注:多作边,少作角。
知识点四:利用全等三角形,等腰三角形的性质求三角形中的角
例3:如图,∠A=∠B ,AE=BE ,点D 在AC 边上,∠1=∠2,AE 和BD 相交于点(1)求证:ΔAEC ≌Δ(2)若∠1=42°,求∠BDE 的度数 A D C (例3)
知识点五:利用全等三角形,等腰三角形的性质证线段倍分关系
例4:如图,在ΔABC 中,AB=AC ,AD ⊥BC ,CE ⊥AB ,AE=CE
求证:(1)ΔAEF ≌ΔCEB (2)AF=2CD
A
B (例4) (例5)
知识点六:利用等腰三角形,全等三角形的性质解边角关 例5:如图,ΔACB 和ΔDCE 均为等腰三角形,点A ,D ,E 在同一条直线上,连接BE ,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.
(1)求证:AD=BE ; (2)求∠AEB 的度数
知识点七:利用三角形全等测距离
例6:如图所示,A,B两点分别位于一个池塘的两端。小明想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一个叔叔帮他出了这样一个主意:先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA;连接BC 并延长到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度。DE的长度就是A,B 间的距离。A
八年级数学竞赛培训---第十二章--全等三角形
八年级数学竞赛培训第十二章全等三角形
【例1】如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;
④CD=DN,其中正确的结论是 (把你认为所有正确结论的序号填上).
【例2】如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点.①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF.以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,
即:①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①.
(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);
(2)请证明你认为正确的命题.
【例3】:如图2-7-3,△ABC中,∠ABC=2∠C,∠BAC的平分线交BC于D。
求证:AB+BD=AC
【例4】.如图,BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q
在CE 上,CQ=AB ,试探究线段AQ 与AP 有什么关系?
【例5】. 含30角的直角三角板ABC (30B ∠=)绕直角顶点C 沿逆时针方向旋转角α(90α∠<),再沿A ∠的对边翻折得到A B C ''△,AB 与B C '交于点M ,A B ''与BC 交于点N ,A B ''与AB 相交于点E .
(1)求证:ACM A CN '△≌△.
(2)当30α∠=时,找出ME 与MB '的数量关系,并加以说明.
【例6】. CD 经过BCA ∠顶点C 的一条直线,CA CB =.E F ,分别是直线CD 上两点,且
BEC CFA α∠=∠=∠.
E
B
M
A
C
A '
N
B '
(1)若直线CD 经过BCA ∠的内部,且E F ,在射线CD 上,请解决下面两个问题: ①如图1,若90BCA ∠=,90α∠=,
平面直角坐标系中的全等三角形
平面直角坐标系中的全等三角形
一、典例精析
例1如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,A(3,0)B(2,2), 以O,A,C 为顶点的三角形与△OAB 全等(C,B 不重合),则满足 条件的C 的坐标可以是 。
例2在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),B(0,3),若有一个直角三角形与Rt △ABO 全等,且它们有一条公共边,请写出这个三角形未知顶点的坐标(要有过程)
例3如图,在平面直角坐标系中,等腰Rt △AOB 的斜边OB 在x 轴上,直线 43-=x y 经
过等腰Rt △AOB 的直角顶点A ,交y 轴于C 点,双曲线 也经过A 点.(1) 求点A
的坐标和k 的值;(2)若点P 为x 轴上一动点.在双曲线上是否存在一点Q ,使得△P A 是 点A 为直角顶点的等腰三角形.若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,请说明理由.
二、课堂练习
1.如图,正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3(h 1>0,h 2>0,h 3>0).
A
●
●
B O ●
A
B O P
C y
x
A
B O P y
x 备用图 x k y =
(1)求证:h 1=h 3;
(2)设正方形ABCD 的面积为S ,求证:S =(
h 1+h 2)2+h 12;
(3)若 3
2
h 1+h 2=1,当h 1变化时,说明正方形ABCD 的面积为S 随h 1的变化情况.
2.定义:对于抛物线y=ax2+bx+c (a 、b 、c 是常数,a ≠0),若b2=ac ,则称该抛物线为黄金抛物线.例如:y=2x2-2x+2是黄金抛物线.
全等三角形及平面直角坐标系复习题
全等三角形及平面直角坐标系复习题
1.下列说法:①全等图形的形状相同、大小相等;②全等三角形的对应边相等;③全等三角形的对应角相等;④全等三角形的周长、面积分别相等,其中正确的说法为()
A.①②③④B.①③④C.①②④D.②③④
2.对于两个图形,给出下列结论:①两个图形的周长相等;②两个图形的面积相等;③两个图形的周长和面积都相等;④两个图形的形状相同,大小也相等.其中能获得这两个图形全等的结论共有()A.1个B.2个C.3个D.4个
3. 下列各点中,在第二象限的点是()
A. (2,3)
B. (2,-3)
C. (-2,-3)
D. (-2,3)
4. 将点A(-4,2)向上平移3个单位长度得到的点B的坐标是()
A. (-1,2)
B. (-1,5)
C. (-4,-1)
D. (-4,5)
5. 如果点M(a-1,a+1)在x轴上,则a的值为()A. a=1 B. a=-1
C. a>0
D. a的值不能确定
6. 点P的横坐标是-3,且到x轴的距离为5,则P点的坐标是()
A. (5,-3)或(-5,-3)
B. (-3,5)或(-3,-5)
C. (-3,5)
D. (-3,-5)
7. 已知正方形ABCD的三个顶点坐标为A(2,1),B(5,1),D(2,4),现将该正方形向下平移3个单位长度,再向左平移4个单位长度,得到正方形A'B'C'D',则C’点的坐标为()
A. (5,4)
B. (5,1)
C. (1,1)
D. (-1,-1)
8.如图,A 在DE 上,F 在AB 上。且AC=CE, ∠1=∠2=∠3,则DE 的长等于( ) A.DC B.BC C.AB D.AE+AC
1期末复习(平面直角坐标系、等腰三角形、全等三角形)
期末专题复习(直角坐标系)
一、概念复习
1、直角坐标系:横轴(x 轴)、纵轴(y 轴)、原点。直角坐标系的平面叫直角坐标平面。
2、点的坐标:点P 对应的有序数对叫点的坐标,P (a,b )a 叫横坐标,b 叫纵坐标。
3、平面直角坐标系把平面分成四个象限:x 轴、y 轴不属于任何象限。
第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-) 4、经过点P (a ,b )且垂直于x 轴(或平行于y 轴)的直线表示为:直线x = a 经过点P (a ,b )且垂直于y 轴(或平行于x 轴)的直线表示为:直线y = b 5、平行于坐标轴的直线上的两点间的距离:
平行于x 轴的直线上的两点A (x 1,y )、B (x 2,y )的距离是 21x x AB -= 平行于x 轴的直线上的两点C (x ,y 1)、D (x ,y 2)的距离是 21y y CD -= 6、点P (a ,b )沿着坐标轴(沿与x 轴或y 轴)平行的某一方向平移m (m>0)个单位 则;向右平移所对应的点的坐标为(a+ m ,b ); 向左平移所对应的点的坐标为(a- m ,b ) 向上平移所对应的点的坐标为(a ,b+ m );向下平移所对应的点的坐标为(a ,b- m ) 7、对称点的坐标特征 直角坐标平面内有点M (a ,b ) 与点M (a ,b )关于x 轴对称的点的坐标是(a ,- b ) 与点M (a ,b )关于 y 轴对称的点的坐标是(- a ,b ) 与点M (a ,b )关于原点对称的点的坐标是(- a ,- b )
初中数学知识点复习专题讲练:用坐标表示旋转(含答案)
用坐标表示旋转
考点分析
在坐标平面内,某一点绕原点旋转前后坐标的变化规律如下:
1. 点A(a,b)绕原点旋转180°得点A'(-a,-b),即点A(a,b)关于原点对称的点的坐标是A'(-a,-b).
2. 点A(a,b)绕原点旋转90°所得点A'的坐标是(-b,a).
方法归纳:坐标系中的旋转问题通常构造全等三角形加以解决,而且一般是直角三角形.因为图形的旋转问题都可以归结为点的旋转问题,而点的坐标可以表示某点到坐标的距离.所以解决坐标系的旋转问题时经常过图形的顶点向坐标轴作垂线段,构造直角三角形来解决问题.
总结:
1. 通过具体实例认识直角坐标系中图形的旋转变换,加深理解旋转变换的概念和基本性质,并能按要求作出简单平面图形绕坐标原点旋转90度、180度后的图形.
2. 通过多角度地认识旋转图形的形成过程,培养学生的发散思维能力.
解题技巧
例题1在如图所示的单位正方形网格中,△ABC经过平移后得到△A1B1C1,已知在AC 上一点P(2.4,2)平移后的对应点为P1,点P1绕点O逆时针旋转180°,得到对应点P2,则P2点的坐标为()
A. (1.4,-1)
B. (1.5,2)
C. (1.6,1)
D. (2.4,1)
解析:根据平移的性质得出,△ABC的平移方向以及平移距离,即可得出P1的坐标,进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标.
答案:∵A 点坐标为:(2,4),A 1(-2,1),∴点P (2.4,2)平移后的对应点P 1为(-1.6,-1),∵点P 1绕点O 逆时针旋转180°,得到对应点P 2,∴P 2点的坐标为(1.6,1).故选C .
全等三角形考点汇总
全等三角形
全等三角形的概念:
经过翻转、平移、旋转后,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 全等三角形的性质:
1. 对应边和对应角完全相等
2. 能完全重合的顶点叫做对应顶点
3. 全等三角形的周长和面积相等(反之不成立)
4. 对应边上的高对应相等,对应边上的中线相等,对应角的角平分线相等 三角形全等判定定理
1. 三边对应相等的三角形是全等三角形(SSS 边边边)
2. 两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形(SAS 边角边)
3. 两角及其夹边对应相等的三角形是全等三角形(ASA 角边角)
4. 两角及其一角的对边对应相等的三角形是全等三角形(AAS 角角边)
5. 在一对直角三角形中,斜边及一条直角边对应相等是全等三角形(HL) 备注:
1)判定三角形全等必须有一组对应边相等
2)三角形全等中,两边对应相等,一角,必须是夹角才全等 全等三角形的证明思路
SAS HL SSS AAS SAS ASA
AAS ASA AAS ⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪
⎪⎪
→⎩⎪
⎪→→⎧⎪⎪
→⎧⎪⎪
⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪
→⎩⎩⎪
⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩
找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边
专题一
考点一 全等图形识别
略
定义:经过翻转 平移可以完全重合的图形才是全等图形
考点二 利用全等图形求正方形网格中角度之和
例题1:(2021·全国·八年级专题练习)如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠3-∠2=( )
A.30°B.45°C.60°D.135°
人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》判定与性质培优练习(五)
第十二章?全等三角形?判定与性质培优练习(五)
1 .如图(1),在平面直角坐标系中,工轴于8,4C_Ly轴于C,点C (0, m) , 4
6,m),且(m-4) 2+存一8.=-16,过C点作N 厂分别交线段OB干E、
(2)假设O8BE=AB,求证:CF=CE;
(3)如图(2),假设/氏万=45.,给出两个结论:的值不变;OAA&EF
的值不变,其中有且只有一个结论正确,请你判断出正确的结论,并加以证实和求出其值.
2.如图1,我们定义:在四边形中,假设且//.8+/6.1=180°,那么
把四边形ABCD叫做互补等对边四边形.
(1)如图2,在等腰△工命中,AE= BE,四边形是互补等对边四边形,求证:
Z ABD= z BAC^A AEB.
(2)如图3,在非等腰中,假设四边形S8C.仍是互补等对边四边形,试问
= N84C=^NS昆是否仍然成立?假设成立,请加以证实;假设不成立,请说明理由.
乙
43.如图①4、E、F、C在一条直线上,AE=CF,过E尸分别作.£L/C BFLAC.假设
AB= CD.
(1)图①中有对全等三角形,并把它们写出来.
(2)求证:G是8.的中点.
(3)假设将aA?尸的边R尸沿G4方向移动变为图②时,其余条件不变,第(2)题中的
结论是否成立?如果成立,请予证实.
4.八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你和他们一起活动吧.
【探究与发现】
(1)如图],工.是的中线,延长小.至点£使直?=/.,连接写出图中全等的两个三角形
【理解与应用】
(2)埴空:如图2,"是△.炉的中线,假设斤=5, DE=3、设e=x,那么x的取值范围是.
平面直角坐标系中的全等三角形
平面直角坐标系中的全等三角形
一、典例精析
例1如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,A(3,0)B(2,2), 以O,A,C 为顶点的三角形与△OAB 全等(C,B 不重合),则满足 条件的C 的坐标可以是 。
例2在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),B(0,3),若有一个直角三角形与Rt △ABO 全等,且它们有一条公共边,请写出这个三角形未知顶点的坐标(要有过程)
例3如图,在平面直角坐标系中,等腰Rt △AOB 的斜边OB 在x 轴上,直线 43-=x y 经
过等腰Rt △AOB 的直角顶点A ,交y 轴于C 点,双曲线 也经过A 点.(1) 求点A
的坐标和k 的值;(2)若点P 为x 轴上一动点.在双曲线上是否存在一点Q ,使得△P A 是 点A 为直角顶点的等腰三角形.若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,请说明理由.
二、课堂练习
1.如图,正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3(h 1>0,h 2>0,h 3>0).
A
●
●
B O ●
A
B O P
C y
x
A
B O P y
x 备用图 x k y =
(1)求证:h 1=h 3;
(2)设正方形ABCD 的面积为S ,求证:S =(
h 1+h 2)2+h 12;
(3)若 3
2
h 1+h 2=1,当h 1变化时,说明正方形ABCD 的面积为S 随h 1的变化情况.
2.定义:对于抛物线y=ax2+bx+c (a 、b 、c 是常数,a ≠0),若b2=ac ,则称该抛物线为黄金抛物线.例如:y=2x2-2x+2是黄金抛物线.
综合探究专题之坐标与几何
综合探究专题之坐标与几何
(一)全等三角形
1. 如图,平面直角坐标系,︒
90=ABO ∠,将直角AOB △绕O 点顺时针旋转,使点B 落
在x 轴上的点1B 处,点A 落在1A 处,若B 点的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛512,516,求点1A 的坐标。
2. 【阅读】
在平面直角坐标系中,以任意两点P (1,1y x )、Q (2,2y x )为端点的线段中点坐标为(
,
)。
【运用】
(1)如图,矩形ONEF 的对角线交于点M ,ON 、OF 分别在x 铀和y 轴上,O 为坐标原点,点E 的坐标为(4,3),则点M 的坐标为 ;
(2)在直角坐标系中,有A (﹣1,2),B (3,1),C (1,4)三点,另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点.求点D 的坐标.
(二)勾股定理
1.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、C分别在y轴、x轴上,以AB为弦的
⊙M与x轴相切.若点A的坐标为(0, 8),则圆心M的坐标。
2.如图,把Rt△ABC放在直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=5,点A、B的坐标分别为
(1,0)、(4,0),将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x-6上时,线段BC扫过的面积。
1.如图,菱形OABC的一边OA在x轴上,将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至
OA′B′C′的位置,若OB=,∠C=120°,则点B′的坐标。
2.已知边长为a的正三角形ABC,两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半
轴上滑动,点C在第一象限,连接OC,求OC的长的最大值。
等腰三角形、全等三角形及平面直角坐标系
等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学课题等腰三角形、全等三角形及直角坐标
教学目标1、能证明全等三角形
2、掌握等腰(等边)三角形的性质,会判定等腰(等边)三角形
3、掌握平面直角坐标系及相关概念, 类比(由数轴到平面直角坐标系)的方法、数形结合的思想.
教学重、难点灵活运用四种全等三角形判定定理;构建平面直角坐标系,掌握平面内点与坐标的对应.
◆ 诊查检测:
1、
如图所示,某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是()
A.带①去
B.带②去
C.带③去
D.带①和②去
2、一个正方形在平面直角坐标系中三个点的坐标为(-2,-3)、(-2,-1)、
(2,1),则第四个顶点的坐标为()
A.(2,2) B.(3,2) C.(2,-3) D.(2,3)
3、判断题:① 两边和一角对应相等的两个三角形全等.()
② 两角和一边对应相等的两个三角形全等.()
③ 两条直角边对应相等的两个三角形全等. ()
④ 腰
长相等,顶角相等的两个等腰三角形全等. ()
⑤ 三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等.()
⑥
两个等边三角形全等().
⑦ 一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. ()
8 腰长相等,且都有一个40°角的两个等腰三角形全等.()
9 腰长相等,且都有一个100°角的两个等腰三角形全等.()
10 有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.()
4、(1)等腰三角形的一个角是110°,它的另外两个角的度数是
(2)等腰三角形的一个角是80°,它的另外两个角的度数是
初二数学关于全等三角形知识点
初二数学关于全等三角形知识点初二数学全等三角形知识点篇1
全等图形、全等三角形
1.全等图形:两个可以完全重叠的图形是全等图形。
2.全等图形的性质:全等多边形的对应边、对应角分别相等。全等多边形的面积相等。
3.全等三角形:三角形是特殊的多边形,因此,全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样,如果两个三角形的边、角分别对应相等,那么这两个三角形全等。
描述:全等三角形对应边的高度和中线相等,对应角的平分线相等;全等三角形的周长和面积也相等。
这里要注意:
(1)周长相等的两个三角形,不一定全等;
(2)面积相等的两个三角形,也不一定全等。
全等三角形
1、全等符号:"≌"。如图,不是为:
△ABC≌△A′B′C′。读作:三角形ABC全等于三角形
A′B′C′。
2、全等三角形的判定定理:
(1)有两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等。(即SAS,"边角边");
(2)有两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等。(即ASA,"角边角")
(3)有两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等。(即AAS,"角角边")
(4)有三边对应相等的两三角形全等。(即SSS,"边边边")
(5)有斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等。(即HL,"斜边直角边")
全等三角形的性质:
(1)全等三角形的对应边相等、对应角相等;
(2)全等三角形的周长相等、面积相等;
(3)全等三角形对应边上的中线、高,对应角的平分线都相等。
等腰三角形
(一)性质定理:
1、定理:等腰三角形的两底角相等。(简称"等边对等角");
2.定理的作用:证明同一个三角形中的两个角相等。
平面直角坐标系中的全等三角形供参考
百度文库•让每个人平竽地捉升口我
1平面直角坐标系中的全等三角形
一、典例精析
例1如图,在平面直角坐标系中,0是坐标原点」(3, 0)B(2, 2), 3E
2/\ 1/\
以0, A, C为顶点的三角形与AOAB全等(C, B不重合),则满足条件的C
的坐标可以是。
0123d 4X
例2在平而直角坐标系中,已知点A(4,0),B(0, 3),若有一个直角三角形与RtAABO全等, 且它们有一条公共边,请写岀这个三角形未知顶点的坐标(要有过程)
例3如图,在平而直角坐标系中,等腰RtA AOB的斜边OB在入轴上,直线〉, = 3x_4经k
过等腰RtA AOB的直角顶点儿交y轴于C点,双曲线y 也经过A点.(1)求点A 的坐标和k的值:(2)若点P为x轴上一动点.在双曲线上是否存在一点0,使得△用是点A为直角顶点的等腰三角形.
若存在,求出点0的坐标,若不存在,请说明理由・
二.课堂练习
1.如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线人、X、人、“上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为力】、h2> hi (/?|>0, A2>0, /?3>0).
百度文库•让每个人平等地捉升口我
(1)求证:加=居:
(2)设正方形ABCD的而积为S,求证:S=(/n+/n)2+/H2:
3
(3)若y/n+/n=l,当加变化时,说明正方形ABCD的而积为S随加的变化情况.
2.左义:对于抛物线y=ax2+bx+c (a、b、c是常数,a^O),若b2=ac,则称该抛物线为黄金抛物线.例如:y=2x2-2x+2是黄金抛物线.
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全等三角形与坐标系
1、如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l
2、l
3、l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0)。
(1)求证h1=h3;
(2)设正方形ABCD的面积为S.求证S=(h2+h3)2+h12;
(3)若,当h1变化时,说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况。
2、已知△ABC为等腰直角三角形,当顶点C坐标是(2,2)时,(1)判断CD与CE的数量关系;(2)求∠COE 的度数;(3)求四边形OECD的面积。
3、如图,已知平面直角坐标系中点A坐标为(2,3),点B坐标为(3,-2)。判断△AOB的形状,并证明。
4、在平面直角坐标系中,点A、B同时从原点出发,分别沿x轴、y轴的正方向运动,其中点A的速度为每秒2个单位,点B的速度为每秒1个单位,经过t秒后,请在线段OA的对称轴上取一点P,使△PAB是以AB为腰的等腰直角三角形,求出点P的坐标。(用含t的代数式表示)
5、已知点A(2,3),点C(4,4),若△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°,AC=BC,求点B的坐标。
6、如图,平面直角坐标系中,点A、B分别在x,y轴上,点B的坐标为(0,1),∠BAO=30°。
(1)求AB的长度;
(2)以AB为一边作等边△ABE,作OA 的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D。求证:BD=OE;
(3)在(2)的条件下,连接DE交AB于点F,求证:F为DE的中点。
7、如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b),且a、b满足(),点C、B关于x轴对称。
(1)求A、C两点坐标;
(2)点M为射线OA上A点右侧一动点,过点M作MN CM交直线AB于N,连接BM,是否存在点M,使
S△AMN=S△AMB?若存在,求出M点的坐标;若不存在,说明理由。
(3)点P为第二象限角平分线上一动点,将射线BP绕B点逆时针旋转30°交x轴于点Q,连PQ,在点P运动过程中,点∠BPQ=45°时,求BQ的长。