大学物理 静电场习题课
大学物理第7章静电场中的导体和电介质课后习题及答案
1
第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案
1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1s 和2s 。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证
明：R
r =21
s s
。 证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以的导体球上产生的电势忽略不计，所以
半径为R 的导体球的电势为的导体球的电势为
R R V 02
1
1π4e p s =0
14e s R =
半径为r 的导体球的电势为的导体球的电势为
r r V 02
22π4e p s =0
24e s r = 用细导线连接两球，有21V V =，所以，所以
R
r
=21s s 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)(1)(1)相向的两面上，电荷的面密度总是相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；大小相等而符号相反；(2)(2)(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1s ，2s ，3
s ，4s （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得
大学物理课后习题答案第六章大学物理第六章
第6章 真空中的静电场 习题及答案
1。 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？
解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0,所以
2
00
200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε
故 223+=x
2。 电量都是q 的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问：（1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡（即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?（2)这种平衡与三角形的边长有无关系？
解：（1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以
2
220)3
3(π41
30cos π412a q q a q '=︒εε
故 q q 3
3-
=' （2）与三角形边长无关。
3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为
l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的
电场力。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强.在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为
)
(4220R x dq
dE +=
πε
根据电荷分布的对称性知,0==z y E E
2
3
2
2
0)
(41
cos R x xdq
dE dE x +=
=πεθ
R O
λ1
λ2
l
x
y z
式中:θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角.
⎰+=
大学物理：第4讲 静电场D+习题课
均 匀 球对称
带 球体 电 球面 的 (点电荷)
柱对称 无限长 柱体 柱面 带电直线
面对称
无限大 平板 平面
9.电势零点的选择是完全任意的吗?对无限长带电 线或无限大带电面的电场,可否选在无限远?点电荷 的电场,可否选在电荷上?说明理由并讨论:
如图，在与面电荷密度为 的无限大平面相距为a处
有一个点电荷q，求点电荷到平面垂线中点P处的电势
i
U
4 0
q R2 x2
5、均匀带电圆盘轴线x 上一点 E 20 [1 (R2 x2 )1/2 ]i
U ( x2 R2 x) 2 0
6、均匀带电球体内外
Qr
E内 4 0R3 r R
Q 3R2 r 2
U 8 0 R3
E外
Q
4 0r
2
rR
U Q
4 0r
7、均匀带电球面
r R:E 0
(5)将高斯面外一个点电荷在外面移动,通过高斯面 的电通量将发生变化,面上电场也将变化; 错
(6)将高斯面外一个点电荷移入高斯面内,通过高 斯面的电通量将发生变化,面上电场也将变化. 对
2.真空中有一均匀带正电的球面,半径为R,电荷密度为 ,今在 球面上挖去一小块面积(连同电荷) S,试求:
(1) 球心o处的场强Eo(大小和方向) (2) S处球面外临近球面处的电场ES (大小和方向).
大学物理(第四版)课后习题及答案 静电场
题7.1：1964年，盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成，中子就是由一个带e 32
的
上夸克和两个带e 3
1
-下夸克构成，若将夸克作为经典粒子处理（夸克线度约为10-20 m ），中
子内的两个下夸克之间相距2.60⨯10-15 m 。求它们之间的斥力。 题7.1解：由于夸克可视为经典点电荷，由库仑定律
r r 2
2
0r 2210N 78.394141
e e e F ===r e r q q πεπε
F 与r e 方向相同表明它们之间为斥力。
题7.2：质量为m ，电荷为-e 的电子以圆轨道绕氢核旋转，其动能为E k 。证明电子的旋转频率满足
4
2k
202
32me E εν=
其中是0ε真空电容率，电子的运动可视为遵守经典力学规律。 题7.2分析：根据题意将电子作为经典粒子处理。电子、氢核的大小约为10-15 m ，轨道半径约为10-10 m ，故电子、氢核都可视作点电荷。点电荷间的库仑引力是维持电子沿圆轨道运动的向心力，故有
2
20241r e r v m πε= 由此出发命题可证。
证：由上述分析可得电子的动能为
r
e mv E 202
k 8121πε==
电子旋转角速度为
3
02
2
4mr e πεω=
由上述两式消去r ，得
4
3k 20
222
324me E επων=
= 题7.3：在氯化铯晶体中，一价氯离于Cl -与其最邻近的八个一价格离子Cs +构成如图所示的立方晶格结构。（1）求氯离子所受的库仑力；（2）假设图中箭头所指处缺少一个铯离子（称作品格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力。
题7.3分析：铯离子和氯离子均可视作点电荷，可直接将晶格顶角铯离子与氯离子之间的库仑力进行矢量叠加。为方便计算可以利用晶格的对称性求氯离子所受的合力。 解：（l ）由对称性，每条对角线上的一对铯离子与氯离子间的作用合力为零，故
大学物理(第四版)课后习题及答案 静电场
行，对电场强度通量贡献为零。整个高斯面的电场强度通量为 由于，圆柱体电荷均匀分布，电荷体密度，处于高斯面内的总电荷 由高斯定理可解得电场强度的分布， 解：取同轴柱面为高斯面，由上述分析得 题7.16：一个内外半径分别R1为R2和的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球 壳外同心罩一个半径为 R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2。求电场 分布。电场强度是否是场点与球心的距离r的连续函数？试分析。
（2）除了有缺陷的那条对角线外，其它铯离子与氯离子的作用合 力为零，所以氯离子所受的合力的值为
方向如图所示。
题7.4：若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上。求证：（1）在棒的延长 线，且离棒中心为r处的电场强度为 （2）在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为 若棒为无限长（即），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比 较。
题7.13：设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为 k为一常量。试用高斯定理求电场强度E与r的函数关系。（你能用电场 强度叠加原理求解这个问题吗?） 题7.13分析：通常有两种处理方法：（1）利用高斯定理求球内外的电 场分布。由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择 与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方 向垂直于球面，因而有 根据高斯定律，可解得电场强度的分布
E=0 在距离圆孔较远时x>>r，则 上述结果表明，在x>>r时。带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽 略不计。 题7.15：一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长 度的电荷为，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为r处的电场强度。
大学物理解题法习题课+(静电场中的导体和电介质)
例：一大金属平板，面积为S，带电量 Q>0 ， 假 如 板 可 视 为 无 限 大 ， 求 ： （1）两表面上的电荷密度各为多少？ （2）板外一点的电势是多少？
例：两相距为d，面积为S的大金属板A和 B，带电量分别为Q1和Q2，d<<S。 （1）证明两板外侧电荷面密度相等，两 板内侧电荷面密度数值相等，符号相 反。 （2）求两板间的电势差。 （3）B板外侧面接地，再求两板间的电 势差。 （4）求接地前后的电容。
例：一半径为R1的金属球带电量为 Q1>0，球外有一不带电的同心导体球 壳，如图所示。 （1）求电荷的分布及电场能量。 （2）若把球与壳用导线相连，求电荷 的分布和电场能量。 （3）若两者不相连，而球壳接地，求 电荷的分布和电场能量。
例：两个孤立的金属球壳半径分别为R1 和R2，带电量分别为Q1和Q2。 （1）求两者的静电能和能量之和。 （2）若两者为同心球壳，二者组成的体 系的静电能又是多少？
练习：半径为R的一个球形雨滴（可看作 导体），带有电荷Q。今将它打破成为两 个完全相同的球形雨点并相距很远，其 静电能改变了多少？
例：一平行板电容器，极板所带的电量 分别为q和－q。在保持电量q不变的情况 下，缓慢地将ຫໍສະໝຸດ Baidu间距由下x1增大到x2， 求此过程中外力做的功。
例：一平行电容器，极板面积为S，两极 间电势差为V，在保持V不变的情况下缓 慢地将板间距从下x1增大到x2，求此过 程中外力做的功。
大学物理第6章真空中的静电场课后习题与答案
第6章真空中的静电场习题及答案
1.电荷为q 和2q 的两个点电荷分别置于x1m 和x1m 处。一试验电荷置于x 轴上何
处，它受到的合力等于零？
解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷 q 位于点电荷 0
q 的右侧，它受到的合力才可能为0，所以
2qqqq
00
22
4(x 1)4(x1) ππ 00
故x322
2.电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放 一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都 为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解：(1)以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q 为负电荷，所以
2 4 1 π 0 q a 2
2 cos30
4 1 π 0 ( q 3
3
q
a 2 )
3
故qq
3
(2)与三角形边长无关。
3.如图所示，半径为R 、电荷线密度为
1
的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电
荷线密度为2的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dqdl 1，dq 在带电圆环轴 线上x 处产生的场强大小为 dE 4 dq
2
0(xR
y
2 )
根据电荷分布的对称性知，yE0
E z
dEdEcos x
4
1xdq 1
R 3 22 2
O
(xR) 0
2
x
l
式中：为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。
E x
4
x 22
0(xR) 3 2
dq
z
x2
1
R R 1 x
4x 2R
2
()
3 2 2xR 2
大学物理静电场练习题及答案
练习题
7-1 两个点电荷所带电荷之和为Q ，它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大?
解: 这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q ，则另一个点电荷带电q Q -， 两点电荷之间的库仑力为
()2
41r q
q Q F -=πε
由极值条件0d d =q F
，得
Q q 2
1= 又因为
2
02221
d d r q F πε-=<0
这表明两电荷平分电荷Q 时，它们之间的相互作用力最大。
7-2 两个相同的小球，质量都是m ，带等值同号的电荷q ，各用长为l 的细线挂在同一点，如图7-43所示。设平衡时两线间夹角2θ很小。（1）试证平衡时有下列的近似等式成立：
3
1022⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=mg l q x πε
式中x 为两球平衡时的距离。
(2)如果l = 1.20 m ，m =10 g ，x =5.0 cm ，则每个小球上的电荷量q 是多少?
(3)如果每个球以-19s C 1001⋅⨯-.的变化率失去电 图7-43 练习题7-2图 荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率d x /d t 是多少? 解：(1)带电小球受力分析如图解所示。小球平衡时，有
F
T =θsin
mg T =θcos
由此二式可得
mg
F =
θtan
因为θ很小，可有()l x 2tan ≈θ，再考虑到
2
024x q F πε=
可解得
3
1
022⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=mg l q x πε
（2）由上式解出
C 10382282
13
0-⨯±=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛±=.l mgx q πε （3） 由于
t
q q x t q q mg l t x d d 32d d 322d d 313
大学物理第六章静电场习题答案
第六章 静电场习题
6-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：（1）在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡（即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零）？（2）这种平衡与三角形的边长有无关系？
解：（1）如图任选一点电荷为研究对象，分析其受力有1230F F F F =++=合 y 轴方向有
()
(
)
2132200
2
032cos 24243 330
4q qQ
F F F a a q q Q a θπεπεπε=+=+
=
+=合
得 3
3
Q q =-
（2）这种平衡与三角形的边长无关。
6-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ，如图所示。设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量。
解：对其中任一小球受力分析如图所示，有
⎪⎩
⎪
⎨⎧
===220)sin 2(π41
sin cos θεθθl q F T mg T e
解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 6-3 在氯化铯晶体中，一价氯离子Cl －与其最邻近的八个一价铯离子Cs +构成如图
所示的立方晶格结构。（1）求氯离子所受的库仑力；（2）假设图中箭头所指处缺少一个铯离子（称作晶格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力。 （1）由对称性可知 F 1= 0
（2）29
12222
00 1.9210N 43q q e F r a
πεπε-===⨯ 方向如图所示
6-4 长l ＝15.0 cm 的直导线AB 上均匀地分布着线密度9
5.010C m λ-=⨯的正电荷。试求：（1）在导线的延长线上与导线B 端相距1 5.0cm a =处P 点的场强；（2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距2 5.0d cm =处Q 点的场强。
静电场习题课new
习题讨论课
真空中的静电场 静电场中的导体与电介质
1
1. 半径为R的带电细圆环，其电荷线密度为= 0cos，式中0为一常数， 为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．
解：在任意角 处取微小电量dq =dl，它在O点
y
产生的场强为：
dq
d E d q d l 0co s d
4 0R2 4 0R2
4 0 R
它沿x、y轴上的二个分量为：
dEx=－dEcos , dEy=－dEsin
d Ex
R
d
O
x
dE dEy
对各分量分别求和
Ex
0 4 0 R
2
0
co
s2
d
0 4 0 R
E y
0 4 0 R
2
sin d(sin ) 0
0
故O点的场强为：
E
Exi
0 4 0 R
i
2
2.两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，电
荷线密度为。（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度
（设该点到其中一线的垂直距离为x）；（2）求每一根导线上 单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。
大学物理第9章静电场习题参考答案
第9章 静电场
9-1 两小球处于如题9-1图所示的平衡位置时，每小球受到张力T ，重力mg 以及库仑力F 的作用，则有mg T =θcos 和F T =θsin ,∴θmgtg F =,由于θ很小，故
l
x
mg
mg mg x q F 2sin tg 41
220=≈==θθπε ∴
3
/1022⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛mg l q πε
9-2 设q 1,q 2在C 点的场强分别为1E 和2E
，则有
2
1
0141
AC r q E πε=
1
429
9
m V 108.103.0108.1109--⋅⨯=⨯⨯
⨯=
方向沿AC 方向 2
2
0241
BC r q E πε=
1
42
99
m V 107.204
.0108.1109--⋅⨯=⨯⨯⨯= 方向沿CB 方向
∴ C 点的合场强E
的大小为：
24242
221)107.2()108.1(⨯+⨯=+=
E E E 14m V 1024.3-⋅⨯=
设E 的方向与CB 的夹角为α，则有
︒===--7.337
.28
.11211
tg E E tg α 9-3 坐标如题9-3图所示，带电圆弧上取一电荷元l q d d λ=，它在圆心O 处的场强为
2
01d 41d R
l
E λπε=
，方向如题9-3图所示，由于对称性，上、下两
带电圆弧中对应电荷元在圆心O 处产生的d E 1和d E 2在x 方向分量相
互抵消。
习题9-1图
习题9-3图
习题9-2图
0=∴x E ，圆心O 处场强E 的y 分量为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
==⎰⎰2312sin d 412sin d 41202
6
2
6
0R R R R l
E y πελθθ
大学物理学第五版马文蔚高等教育出版社静电场1
lim
P
dE
e 2 i
积分区域： 带电体占据的空间。
使用式(5-6)时注意思路、顺序。
n E
i 1
40 ri
qi
3．连续分布电荷的场强 dV 1 dq E d E r r 2 e (5-6) 40 P Q dE 积分区域： 带电体占据的空间。 + 注意: 1) 式(5-6) 中dq的形式要依具体电荷分布而定; + 1 dl 若电荷线分布: E dq + r2 e 40 +dl dq = dl + + + 1 dS 若电荷面分布: E dq r 2 e (5-7) dS 40 dq = dS 1 dV + + ++ E e 若电荷体分布: 2 + + 40 r + + + dq = dV + + + + ++ + + + 2) 式(5-6)是矢量积分式,求解时要化为分量积分。 + 分解 d E d E x d E y d Ez 具体解法 ： 关键是正确写出 求出 Ex=dEx，Ey=dEy，Ez= dEz dE 的表达式。 合成： E E x i E y j E z k
《大学物理》静电场练习题及答案
《大学物理》静电场练习题及答案
一、简答题
1、为什么在无电荷的空间里电场线不能相交?
答案：由实验和理论知道，静电场中任一给定点上，场强是唯一确定的，即其大小和方向都是确定的．用电场线形象描述静电场的空间分布时，电场线上任一点的切线方向表示该点的场强方向．如果在无电荷的空间里某一点上有几条电场线相交的话，则过此交点对应于每一条电场线都可作出一条切线，这意味着交点处的场强有好几个方向，这与静电场中任一给定点场强具有唯一确定方向相矛盾，故无电荷的空间里电场线不能相交．
2、简述静电场中高斯定理的文字内容和数学表达式。
答案：在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的所有电荷电量的代数和
的0
1ε倍。0ε∑⎰=⋅内
S S
q
S d E
3、写出静电场的环路定理，并分别说明其物理意义。
答案：静电场中，电场强度的环流总是等于零(或0l
=⋅⎰
l d E
)，静电场是保守场。
4、感生电场与静电场有哪些区别和联系?
5、在电场中某一点的电场强度定义
为0
q F E
=.
若该点没有试验电荷，
那么该点的电场强度又如何? 为什么?
答案： 电场中某一点的电场强度是由该电场自身性质所决定，与这一点有无试验电荷没有任何关系。
6、在点电荷的电场强度公式中，如果0→r ，则电场强度E 将趋于无限大。对此，你有什么看法? 答案： 这表明，点电荷只是我们抽象出来的一个物理模型，当带电体较小而作用距离较大时使用点电荷模型较为方便、精确。但当作用距离r 很小时，点电荷模型的误差会变大，这时我们不能再用点电荷的电场强度公式而要采用更精确的模型。
大学物理第四章静电场课后习题
思考题4-9 试利用电场强度与电势的关系式 下列问题：
El
dV dl
分析
Baidu Nhomakorabea
（1）在电势不变的空间内，电场强度是否为零？ 答：（1）是。当电势处处相等时，电势沿任何方向 V 的空间变化率为零，由 El d 可知，场强为零。实际 dl 例子：静电平衡的导体内。 （2） 在电势为零处，电场强度是否一定为零？ （2）否。因为电势为零处，电势梯度 不一 定为零，所以El也不一定为零。实际例子：电偶极 子连线中点处。
R2 Q1 0 r R1 U 1 E dr dr R1 4 r 2 r 0 Q 1 1 1 ( ) 40 R1 R2 R2 Q1 dr R1 r R2 U 2 r E dr r 2 40 r Q1 1 1 ( ) 40 r R2 r R2 U 3 E dr 0
因为所有电荷元产生的场强方向都相同，所以场强的 矢量叠加可用代数方法相加。于是带电直线在 P点产 生的电场强度为
E
l
1 4 0
0
x b
dx
2
l 1 1 4 0bb l 4 0 b b l
方向沿x轴的负方向。
(2) 同样取电荷元 dq=dx=kxdx
练习题4-10 图为两个分别带有电荷的同心球壳系统。 设半径为 R1 和R2 的球壳上分别带有电荷 Q1 和 Q2 ，求： （1）I、II 、III三个区域中的电势；（2）若Q1 Q2 ， 各区域的电势又为多少？
大学物理静电场习题课.
E
作业中出现的答案：
R E
2
R 2 E
例5. 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为
=Ar (r≤R) ， =0 (r＞R) ，A为一常量．
试求：球体内外的场强分布． 解：在球内取半径为r (r≤R) 、厚为dr的 薄球壳，该壳内所包含的电荷为
d
d q dV Ar 4r 2 d r
q 将 1 代入 4 2r
由对称性知 Ex=0
+
+ +
-
E
- q
2
dE+
x
0r
2
2、O点处电势 根据电势叠加原理:
U U dq 40 r dq 40 r
上半段
q 4 0 r q 4 0 r
+ +
+
+ +
O
-
x
- -
下半段
UO U U 0
(B) E=0，
Q U 4 0 r
U
Q O R r P
(C)
Q E 4 0 r 2
Q ，U 4 π 0r
Q 4 0 R
(D) E
Q 4 0 r 2
，U
Q 4 0 R
静电场练习三
3.把一个均匀带有电荷+Q的球形肥皂泡由半径r1吹胀
大学物理静电场习题答案
第12章 静电场
P35．
12．3 如图所示，
在直角三角形ABCD 的A 点处，有点电荷q 1 = 1.8×10-9C ，B 点处有点电荷q 2 = -4.8×10-9
C ，AC = 3cm ，BC = 4cm ，试求C 点的场强．
[解答]根据点电荷的场强大小的公式
22
014q q
E k r r ==
πε， 其中1/(4πε0) = k = 9.0×109N·m 2·C -2．
点电荷q 1在C 点产生的场强大小为
1
12
01
4q E AC =
πε 9
94-1
22
1.810910 1.810(N C )(310)
--⨯=⨯⨯
=⨯⋅⨯， 方向向下．
点电荷q 2在C 点产生的场强大小为
2220||
1
4q E BC =
πε
99
4-1
22
4.810910 2.710(N C )(410)--⨯=⨯⨯=⨯⋅⨯，
方向向右．
C 处的总场强大小为
E =
44-110 3.24510(N C )==⨯⋅，
总场强与分场强E 2的夹角为
1
2
arctan
33.69E E ==︒θ．
12．4 半径为R 的一段圆弧，圆心角为
60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强．
[解答]在带正电的圆弧上取一弧元 d s = R d θ，
电荷元为d q = λd s ，
在O 点产生的场强大小为
22
0001
d 1d d d 444q s E R R R λλθπεπεπε=
==， 场强的分量为d E x = d E cos θ，d E y = d E sin θ．
对于带负电的圆弧，同样可得在O 点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x 方向
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P
O
E1P O
图(a)
O
O d
图(c)
O
O
P
E1O’
E2P
r - E2O’=0
图(b)
E0 E1 E2 (2)求P点的场强 EP
以O点为球心，d为半径作球面为高
E1P EO’=E1 O’
P EP E2P
斯面S，
E1P
3 0
d
以O 为心，2d为半径作球面为高斯面S 可求
图(d)
得P点场强E2P
3R O
圆环加细绳组合带电体的E。
O
带电圆环在中心的E为0。
x
先计算细绳上的电荷在O点产生的场强．选细绳顶端
作坐标原点O，x轴向下为正．在x处取一电荷元 3R
dx
R
dq = λdx = Qdx/(3R)
R/2
R E1
d
E1
dq
40 4R
x 2
x
E1
Q
12 0 R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3R dx
0 4R x2
16
Q
0
EP
E1P
E2P
3 0
d 11
r3 4d 2
E2P
r3 120d 2
P33
8.真空中一半径为R的均匀带电球面，总电荷为Q．今在球面上挖去很小一块 面积△S (连同其上电荷)，若电荷分布不改变，则挖去小块后球心处电势(设 无穷远处电势为零)为________________．
补偿法：均匀带点球+小面元（视为点电荷）
R • 平面对称问题 选择与带电平面垂直的圆柱面为高斯面 • 柱面对称问题 选择与带电柱面同轴的柱面为高斯面
5
★三、功和能
1．静电力作功
b
Aab q0 E • dl
a
2．电势能：电荷在静电场中的一定位置所具有的势能
取 W 0 Wa Aa q0 E • dl a
3、功、电势差、电势能之间的关系
第10章 静 电 场 习题课
1
静 电 场知识总结
★一、电场强度和电势
（一）场强的计算：31、、梯微度元法（积分法E）
2、高斯定理
4、叠u加 补偿法
（二）电势的计算
1、叠加法 2、定义法
2
★二、环路定理和高斯定理
环路定理：
E • dl 0
静电场是无旋场，保守场
高斯定理：
1
s
E
• ds
0
qi
关键：求高斯面内的电量(不是均匀带电体)
解：在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为
d q dV Ar 4r2 d r
在半径为r的球面内包含的总电荷为 (关键)
q dV r 4Ar3 d r Ar4
V
0
以该球面为高斯面，按高斯定理有
(r≤R)
E1 4r 2 Ar 4 / 0
点电荷u q 4πε0r
带电球面u(R) Q 4πε0 R
Q
4πR 2
q
S
Q 4πR2
S
E
1 4πε0 R
(Q
q)
Q 4πε0 R
(1
S
4R 2
)
13
b
Aab q E • dl q( ua ub ) Wa Wb
a
6
10.2 电场强度
一选择和填空： P28. 4. 一半径为R的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d (d<<R)环上均匀带有正电， 电荷为q，如图所示．则圆心O处的场强大小E＝____，场强方向为_______．
补偿法：整个圆环带正电，缺口出带同密度的负电。带
★场强E是高斯面上任一点的电场强度。当高斯面内无电荷时，高斯面上的场
强并不一定处处为零;当高斯面上的场强处处为零时,高斯面内一定无电荷或 代数和为零。
★高斯面可任意选取，但解题中应充分利用对称性。
★适用于任何静电场，也适用于变化的电场，是电磁场的基本定理之一。
4
常见应用高斯定理求解的问题
• 球对称问题 过待求点，选择与带电球体、球面、球壳同心的球面为 高斯面
R
2
36,144？
8
10.3 电通量 高斯定理
一选择和填空：P30
5 如图所示，在边长为的正方形平面的中垂线上， 距中心O点a/2处， 有一电量为q的正电荷，则通过 该平面的电场强度通量为______________
a a/2 q
a/2 q
a
由高斯定理
q 0
a
q 60
9
P30 计算题1.一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =A r (r≤R) ， ρ =0 (r＞R) A为一常量．试求球体内外的场强分布．
静电场是有源场
3
高斯定理：通过任意闭合曲面的电通量等于这个闭合曲面(高斯面）所包围的电
荷的代数和除以 0 ,而与闭合曲面外的电荷无关。
真空中
1
e s E • ds 0
qi
q1 S
注意:
q3
q2
★过曲面的通量由曲面内的电荷决定
★高斯面上的场强 E 是由全部电荷（面内外电荷）共同产生
E1 Ar 2 /4 0 (r≤R)
方向沿径向，A>0时向外, A<0时向里．
E2 AR 4 / 4 0r 2 (r >R)
10
Ar 4 r3
E1 4r 2
3
0
P31
计算题3. .一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷,若保持电荷分布
不变,在该球体挖去半径为r的一个小球体,球心为,两球心间距离,如图 所示. 求:在球形空腔内,球心处O’的电场强度. 在球体内P点处的电场强度.
q R
电圆环在中心的E为0，只有缺口产生的E。因很小，可
O
d
视为点电荷。
q 2R d
q' d qd 2R d
E
4
1 πε0
Q r2
圆心处 E
qd
40R2 2R
d
qd
82 0R3
从O点指向缺口中心点．
7
P29. 2．一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径为R，内半径为R/2，并有电荷Q均匀 分布在环面上．细绳长3R，也有电荷Q均匀分布在绳上，如图所示,试求圆环中心O 处的电场强度(圆环中心在细绳延长线上)．