三角形五心性质概念整理

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三角形五心性质

三角形的五心定理

一、三角形五心定义

内心是三角形的三内角平分线交点．也是三角形内切圆的圆心．

重心是三角形的三条中线的交点. （重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）

外心是三角形的三边的垂直平分线的交点. 三角形外接圆的圆心.

垂心是三角形的三条高的交点

旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点 . 三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心

二、三角形五心性质

内心: 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.

2、若O是ABC

∠2（A∠为

BOC∠

∆的外心，则A

锐角或直角）或A

3600（A∠为钝

∠2

BOC∠

角）.

4、外心到三顶点的距离相等.

垂心:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，

且2:1

OG.（此直线称为三角形的欧拉

线（Euler line））

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.

OA⋅

⋅

旁心: 1、每个三角形都有三个旁心.

2、旁心到三边的距离相等.

注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

三、三角形五心性质证明

垂心：已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交

AB于点F ，求证：CF⊥AB .

证明：

连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆

三角形五心性质概念整理超全资料全

重心

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

证明方法：

设三角形三个顶点为(x

1,y

),(x

) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平

方和为：

1-x)2+(y

-y)2+(x

-x)2+(y

-y)2+(x

-x)2+(y

-y)2

=3x2-2x(x

1+x

)+3y2-2y(y

)+x

2+x

2+y

=3[x-1/3*(x

1+x

)]2+3[y-1/3*(y

)]2+x

2+x

2+y

2-1/3(x

)2-1/3(y

显然当x=(x

1+x

)/3,y=(y

)/3（重心坐标）时

上式取得最小值x

12+x

2+x

2+y

2-1/3(x

)2-1/3(y

最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；

空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

5、三角形到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+

三角形五心性质总汇

三角形的五心

1.内心：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。角平分线性质:到角两边距离相等. 内心性质：到三角形三边距离相等。

2.重心:三角形三条中线交点

中线性质:将三角形面积等分成两部分.

重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短)

3.外心：三角形三边垂直平分线的交点,三角形外接圆圆心。垂直平分线性质:到线段两端点距离相等。外心性质：到三角形三个顶点距离相等。

4.旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角的平分线的交点。旁心性质：三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。

三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．

三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．

1、三角形的外心

三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心

(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．

锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心

三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．内切圆半径r 的计算：

设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S

p ．

特别的，在直角三角形中,有 r =1

2(a +b －c )． 3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．

三角形五心概念

三角形的五“心”，指的是三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。

1、重心：三条中线的交点。

2、外心：三条垂直平分线的交点。又是三角形外接圆的圆心。

3、内心：三条内角平分线的交点。又是三角形内接圆的圆心。

4、垂心：三条高线的交点。

5、旁心：一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点。它是旁切圆的圆心。

三角形的五心定义及性质

三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。

三角形的性质

1.在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2.在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。

3.在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4.一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5.在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6.三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

7.在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

8.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

9.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

10.三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。

11.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。

12.等底同高的三角形面积相等。

13.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。

14.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

15.等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。

三角形五心性质概念整理（超全）

重心

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

证明方法：

设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2

=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-

2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32

=3[x-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y-

1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-

1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时

上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2

最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；

空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：

（Z1+Z2+Z3）/3

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC 的重心，反之也成立。

三角形的五“心”及其性质

三角形的五心是指三角形内部的五个特殊点，包括重心、外心、内心、垂心和旁心。

1. 重心：三角形三个顶点与其对边的中点连接所交于一点，这个点被

称为重心。重心到三角形三边的距离相等，重心将三角形划分为三个

面积相等的小三角形。

2. 外心：三角形三个顶点的垂直平分线相交于一点，这个点被称为外心。外心是三角形外接圆圆心，即三角形三个顶点与外心的连线的长

度相等。

3. 内心：三角形三个顶点的角平分线相交于一点，这个点被称为内心。内心是三角形内切圆圆心，即三角形三条边与内心的连线的垂直距离

相等。

4. 垂心：三角形三个顶点的高的延长线相交于一点，这个点被称为垂心。垂心是三角形三条高的交点，即垂心到三角形三个顶点所在的直

线距离相等。

5. 旁心：三角形的旁心有三个，分别对应三条边。旁心是指三角形的

外切圆圆心，即三角形的一条边外边的一条角的角平分线与另外两条

边延长线的交点。

这些五心有一些重要的性质：

- 重心是三角形的重要重心之一，它将三角形分成三个面积相等的小三

角形。

- 外心是三角形外接圆圆心，外接圆的直径是三角形的边长，外心到三

个顶点的距离相等。

- 内心是三角形内切圆圆心，内接圆与三个边相切，内心到三个边的距

离相等。

- 垂心是三角形三条高的交点，垂心到三个顶点所在的直线距离相等。

- 旁心是三角形外切圆圆心，外切圆与三条边相切，旁心到相对应的边

的距离相等。

三角形五心定律及性质

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心这五心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

三角形五心是三角形的重要相关点，五心定理具体如下：

重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。

内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。

另有三角形的中心，但只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

三角形五心性质概念整理(超全)

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重心

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小.

证明方法：

设三角形三个顶点为（x1,y1），(x2，y2),(x3，y3）平面上任意一点为（x，y)

则该点到三顶点距离平方和为：

（x1-x)2+(y1—y）2+（x2-x）2+(y2-y)2+（x3-x)2+（y3—y)2

=3x2-2x(x1+x2+x3）+3y2—2y（y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32

=3[x—1/3*（x1+x2+x3)］2+3［y-1/3*(y1+y2+y3）]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3

（x1+x2+x3）2-1/3（y1+y2+y3)2

显然当x=（x1+x2+x3)/3，y=(y1+y2+y3）/3（重心坐标）时

上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3（x1+x2+x3）2-1/3(y1+y2+y3）2

(完整版)三角形的五心几何性质

三角形的五心几何性质

一．重心三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。

重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.

3、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）

/3,（Y1+Y2+Y3)/3。

二．垂心三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心.

1、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.

2、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

垂心的坐标

A（x1，y1)B(x2，y2)C(x3,y3)，垂心H（x0，y0）

用斜率是负倒数关系Kbc=y3—y2/x3—x2 Kah=y1—y0/x1—x0 Kah=-1/Kbc

得到方程(y3—y2）/（x3-x2)=-（x1-x0）/(y1—y0）

同理可得方程（y2-y1）/（x2-x1)=-(x3-x0）/（y3—y0)

解出x0，y0即可，

三．内心三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。

1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N,则有AO：

ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC）：BC

3、（内角平分线分三边长度关系）

△ABC中，0为内心,∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R, 则BQ/QC=c/b， CP/PA=a/c，BR/RA=a/b.

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1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

证明方法：

设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平

方和为：

(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2

=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32

=3[x-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y-1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时

上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2

最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；

空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）

三角形五心性质归纳总结

三角形的“五心”性质归纳总结

任何三角形都有五心，分别是重心、垂心、外心、内心、旁心。我们可以用14个字便能准确快捷地区分并记住五心，“中重、高垂、垂直平分外、分内、外分旁”，最后一字为三角形的某种心，前三种为边上的某种线，后两种为三角形内角或外角的平分线。

中重：三角形三边中线的交点，为三角形的重心；在三角形的内部；此点到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。

高垂：三角形三边高线的交点，为三角形的垂心；锐角三角形垂心在内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在外部。

垂直平分外：三角形三边垂直平分线的交点，为三角形的外心；锐角三角形的外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部；此点为△外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，这个距离叫外接圆半径R.

分内：三角形三内角平分线的交点，为三角形的内心；在三角形的内部，此点为三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等，此距离为内切圆半径r.

重心、垂心、外心、内心均只有唯一的一点，作图时只需作出二线，第三线一定过此点。

外分旁：三角形相邻二外角的平分线的交点，为三角形的旁心。任何三角形都有三颗旁心，且不相邻的内角平分线过旁心，旁心到三边的距离相等。

到三角形三边距离相等的点共有四点，内心及旁心。

在初中阶段外心、内心我们经常在圆部分接触和应用，一定要掌握它们的特性，重心、旁心、垂心偶尔接触只需了解。

等腰三角形的重心、垂心、外心、内心及其中一颗旁心在同一直线上即底边的高线上。等边三角形是最完美的三角形，因而前四心及一

颗旁心合一，外接圆半径R 为内切圆半径r 的2倍，R=

三角形的五心及性质

重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心。

。

定理：设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD

AO = 2 OD。

重心坐标为三顶点坐标平均值。

外心三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。

外心到三顶点距离相等。

过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

三角形有且只有一个外接圆。

内心三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形有且只有一个内切圆。

垂心三角形三边上的三条高线的交点，称为三角形垂心。

锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.。

三角形只有一个垂心。

旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。

三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。

三角形有三个旁切圆，三个旁心。这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。

五心的性质

三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：

1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；2）三角形的外心到三顶点的距离相等；3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.

三角形五心性质概念超全

重心

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。证明方法：

设三角形三个顶点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 平面上任意一点为（x ，y ）则该点到三顶点距离平方和为：

(x 1-x)2+(y 1-y)2+(x 2-x)2+(y 2-y)2+(x 3-x)2+(y 3-y)2 =3x 2-2x(x 1+x 2+x 3)+3y 2-2y(y 1+y 2+y 3)+x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32

=3[x-1/3*(x 1+x 2+x 3)]2+3[y-1/3*(y 1+y 2+y 3)]2+x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32-1/3(x 1+x 2+x 3)

-1/3(y 1+y 2+y 3)2

显然当x=(x 1+x 2+x 3)/3,y=(y 1+y 2+y 3)/3（重心坐标）时

上式取得最小值x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32-1/3(x 1+x 2+x 3)2-1/3(y 1+y 2+y 3)2 最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X 1+X 2+X 3)/3,(Y 1+Y 2+Y 3)/3]；

空间直角坐标系——横坐标：(X

1+X

)/3，纵坐标：(Y

)/3，纵坐标：

（Z

1+Z

）/3

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

三角形五心及其性质

三角形的五心定义及性质

三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。

三角形的性质

1.在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2.在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。

3.在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4.一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5.在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6.三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

7.在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

8.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

9.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

10.三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。

11.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。

12.等底同高的三角形面积相等。

13.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。

14.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

15.等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。

三角形五心性质概念整理(超全).docx

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2: 1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

证明方法：

设三角形三个顶点为(xι,yι),(x 2,y2),(x 3,y3)平面上任意一点为(X，y)则该点到三顶点距离平方和为：(X ι-x) 2+(y 仁y) 2+(x2-x) 2+(y 2-y) 2+(χ3-x) 2+(y 3-y) 2

=3χ2-2x(x 1+x2+χ3)+3y 2-2y(y 1 +y2+y3)+x 12+x2+χ32+y12+y22+y32

=3[x-1∕3*(x 1+X2+X3)] 2+3[y-1∕3*(y 1+y2+y3)] 2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1∕3(x 1+X2+X3) 2-1∕3(y 1+y2+y3)2 显然当X=(X 1+x2+x3)∕3,y=(y 1+y2+y3)∕3 (重心坐标)时

上式取得最小值X12+x22+x32+y12+y22+y32-1∕3(x 1+X2+X3) 2-1∕3(y 1+y2+y3)2

最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

即其坐标为[(X 1+%+X)∕3,(Y 1+Y+Y3)∕3]；

空间直角坐标系——横坐标：(X1+%+X)∕3 ,纵坐标：(Y 1+Y+Y0/3 ,纵坐标：(乙+乙+乙)

∕3

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在厶ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=O (向量)，贝S M点为△ ABC的重心，