绵阳市高中2013级第一次诊断性考试数学(文+理+答案

保密★启用前【考试时间2012年11月1日下午3:00〜5:00】：绵阳市高中2013级第一次诊断性考试数学 (理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷 3至4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置.2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题0标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.第I卷（选择题，共60.分）—、选择题：本大题共彳2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目荽求的.1. 设集合，B={0, 1, 2}，则等于A. {0}B. {0，1}C. {0, 1， 2}D.2. 命题，则是A. B.C. D.3. 己知数列为等差数列，且，则的值为A. B. C. D.4. 设，，则A. c<b<aB. b<a<cC. c<a<bD. a<b<c5. 函数.的零点所在的区间为A. (-1，0)B. (0, 1)C. (1, 2)D. (2，3)6. 如图，在，中，AD=2DB，DE=EC,若，则=A. B.C. D.7. 设函数的部分图象如下图所示，则/(力的表达式为A.B.C.D.8. 若函数在区间(O, 1)上单调递增，且方程的根都在区间[-2, 2]上，则实数b的取值范围为A. [O, 4]B.C. [2, 4]D. [3, 4]9. 已知定义在R上的奇函数/(X)是上的增函数，旦f(1)=2, f(-2)=-4,设.若是的充分不必要条件，则实数t的取值范围是A. B. C. D.10. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为A. .2400 元B. 2300 元C. 2200元D. .2000 元11. 已知函数则满足不等式.例X的取值范围为A. (0，3)B.C.D. (-1, 3)12. 已知定义在R上的函数f(X)满足且当,则等于A. B. C. D.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 已知向量a=(2,1)，b=(x，-2)，若a//b，则 x= ______14. 已知偶函数在上是增函数，则n= _______}是递增数列，且对任意的都有恒成15. 已知{an立，则角θ的取值范围是_______16. 设所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合M.给出下列命题：①所有奇数都属于M.②若偶数2k及属于M，则.③若，则,,④把所有不属于M的正整数从小到大依次择成一个数列，则它的前n项和其中正确命题的序号是_______•(写出所有正确命题的序号》三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.17. (本题满分12分）设向量，函数，.(I)求函数f(x))的最小正周期及对称轴方程；(I I)当时，求函数f(x)的值域. .18. (本题满分12分）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，公差，且S3+S5=58，a1,a3,a7成等比数列.(I)求数列{an}的通项公式；(I I)若{bn}为等比数列，且记求T10值.19. (本题满分12分）己知二次函数y=f(x) 的图像过点(1,-4),且不等式f(x)<0的解集是(O, 5).(I )求函数f(x)的解析式；(I I)设若函数在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，求y=h(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. .20. (本题满分12分)在中，角A,B，C的对边分别是a,b,c,若(I)求角C的值：(II) 若c=2，且,求的面积.21. (本题满分12分）设数列{an }的前n项和为Sn,且（其中t为常数，且t>0).(I )求证：数列{an}为等比数列；(II )若数列{an }的公比q= f(t},数列{bn}满足,求数列{bn}的通项公式；(III) 设’对（II )中的数列{bn }，在数列{an}的任意相邻两项ak与ak+1之间插入k个后，得到一个新的数列：记此数列为{cn}.求数列{cn}的前2012项之和.22. (本题满分14分）己知函数在;c=2处的切线斜率为.(I)求实数a 的值及函数f(x)的单调区间； (II) 设，，对使得成 立，求正实数的取值范围；(III) 证明：•绵阳市高2013级第一次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCBCC AADDB AB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．-414．215．450233πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，， 16．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）f (x)=a ·b =(cos2x ，1)·(1==2 sin(2x+6π)， ……………………………………………6分∴ 最小正周期22T ππ==，令2x+6π=2k ππ+，k ∈Z ，解得x=26k ππ+，k ∈Z ，即f (x)的对称轴方程为x=26k ππ+，k ∈Z ．…………………………………8分（Ⅱ）当x ∈[0，2π]时，即0≤x ≤2π，可得6π≤2x+6π≤76π，∴ 当2x+6π=2π，即x=6π时，f (x)取得最大值f (6π)=2；当2x+6π=76π，即x=2π时，f (x)取得最小值f (2π)=-1．即f (x) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）由S 3+S 5=58，得3a 1+3d+5a 1+10d=8a 1+13d =58， ①∵ a 1，a 3，a 7成等比数列，a 32=a 1a 7， 即(a 1+2d)2=a 1(a 1+6d)，整理得a 1=2d ， 代入①得d=2， a 1=4，∴ a n =2n+2． …………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a 8=18，b 5·b 6+b 4·b 7=2b 5·b 6=18，解得b 5·b 6 =9． ∵ T 10= log 3b 1 +log 3b 2+ log 3b 3+…+ log 3b 10=log 3(b 1·b 10) + log 3(b 2·b 9) +…+ log 3(b 5·b 6) =5log 3(b 5·b 6) =5log 39=10． ……………………………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）由已知y= f (x)是二次函数，且f (x)<0的解集是(0，5)，可得f (x)=0的两根为0，5， 于是设二次函数f (x)=ax(x-5)，代入点(1，-4)，得-4=a ×1×(1-5)，解得a=1，∴ f (x)=x(x-5)． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）h(x)=2f (x)+g(x)=2x(x-5)+x 3-(4k-10)x+5=x 3+2x 2-4kx+5， 于是2()344h x x x k '=+-，∵ h(x)在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x=-2是h(x)的极大值点，∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h(x)=x 3+2x 2-4x+5，进而得2()344h x x x '=+-． 令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223x x =-=，．由下表：可知：h(-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h(1)=13+2×12 -4×1+5=4， h(-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h(23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=9527，∴ h(x)的最大值为13，最小值为9527．……………………………………12分20．解：（Ⅰ）∵asinA=(a-b)sinB+csinC ，结合0C π<<，得3C =． …………………………………………………6分（Ⅱ）由 C=π-(A+B)，得sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA ， ∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A ，∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA ，整理得sinBcosA=3sinAcosA ． ………………………………………………8分 若cosA=0，即A=2π时，△ABC 是直角三角形，且B=6π，于是b=ctanB=2tan 6π3，∴ S △ABC =123． ……………………10分若cosA ≠0，则sinB=3sinA ，由正弦定理得b=3a ．②联立①②，结合c=2，解得77∴ S △ABC =12absinC=127727．综上，△ABC 3或7．………………………………………12分21．解：（Ⅰ）当t=1时，2a n -2=0，得a n =1，于是数列{a n }为首项和公比均为1的等比数列． ……………………………1分 当t ≠1时，由题设知(t-1)S 1=2ta 1-t-1，解得a 1=1，由(t-1)S n =2ta n -t-1，得(t-1)S n+1=2ta n+1-t-1， 两式相减得(t-1)a n+1=2ta n+1-2ta n ， , ∴121n na t a t +=+（常数）．∴ 数列{a n }是以1为首项，21t t +为公比的等比数列．………………………4分（Ⅱ）∵ q= f (t)=21t t +，b 1=a 1=1，b n+1=21f (b n )=1n n b b +，∴11111n n nnb b b b ++==+，∴ 数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，于是1nn b =， ∴ 1n b n=．………………………………………………………………………8分（III ）当t=13时，由（I ）知a n =11()2n -，于是数列{c n }为：1，-1，12，2，2，21()2，-3，-3，-3，31()2，…设数列{a n }的第k 项是数列{c n }的第m k 项，即a k =km c ，当k ≥2时，m k =k+[1+2+3+…+(k-1)]=(1)2k k +，∴ m 62=626319532⨯=，m 63=636420162⨯=．设S n 表示数列{c n }的前n 项和， 则S 2016=[1+12+21()2+…+621()2]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62×62×62]显然 1+12+21()2+…+621()2=636211()1221212-=--， ∵ (2n)2-(2n-1)2=4n-1，∴ -1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)62×62×62=-1+22-32+42-52+62-…-612+622=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+…+(62+61)(62-61)=3+7+11+…+123 =31(3123)2⨯+=1953． ∴ S 2016=62122-+1953=1955-6212．∴ S 2012=S 2016-(c 2016+c 2015+c 2014+c 2013)=1955-6212-(6212+62+62+62)=1769-6112．即数列{c n }的前2012项之和为1769-6112．…………………………………12分22．解：（Ⅰ）由已知：1()f x a x '=-，∴由题知11(2)22f a '=-=-，解得a=1．于是11()1x f x xx-'=-=，当x ∈(0，1)时，()0f x '>，f (x)为增函数， 当x ∈(1，+∞)时，()0f x '<，f (x)为减函数，即f (x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）∀x 1∈(0，+∞)，f (x 1) ≤f (1)=0，即f (x 1)的最大值为0， 由题知：对∀x 1∈(0，+∞)，∃x 2∈(-∞，0)使得f (x 1)≤g(x 2)成立， 只须f (x)max ≤g(x)max ．∵ 22()x kx kg x x++=2kx k x =++2k x k x ⎛⎫=--++ ⎪-⎝⎭≤2k -+，∴ 只须k k 22+-≥0，解得k ≥1．………………………………………10分 （Ⅲ）要证明2222ln 2ln 3ln 21234(1)n n n nn --+++<+ (n∈N *，n ≥2)．只须证22222ln 22ln 32ln 21232(1)n n n nn --+++<+ ，只须证2222222ln 2ln 3ln 21232(1)n n n nn --+++<+ ．由（Ⅰ）当()1x ∈+∞，时，()0f x '<，f (x)为减函数， f (x)=lnx-x+1≤0，即lnx ≤x-1， ∴ 当n ≥2时，22ln 1n n <-，22222ln 11111111(1)1n n nnnn n nn -<=-<-=-+++，222222ln 2ln 3ln 23n n+++<111221⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭111331⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭1111n n ⎛⎫⋅⋅⋅+-+ ⎪+⎝⎭211211212(1)n n n n n --=--+=++，∴2222ln 2ln 3ln 21234(1)n n n nn --+++<+ ．………………………………………14分保密★启用前【考试时间：2012年11月1日下午3:00〜5:00】绵阳市高中2013级第一次诊断性考试数学(文科）本试卷分第I卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分。