七年级几何证明压轴题0
七年级数学下册期末几何压轴题试题(带答案) (一)解析
一、解答题1．如图，在平面直角坐标系中,()()()A 1,0,B 3,0,C 0,2-，CD//x 轴，CD=AB ．(1)求点D 的坐标：(2)四边形OCDB 的面积S 四边形OCDB ；(3)在y 轴上是否存在点P ，使S △PAB =S 四边形OCDB ；若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.2．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC 的BC 边放置于长方形直尺DEFG 的EF 边上． （1）根据图1填空：∠1＝ °，∠2＝ °；（2）现把三角板绕B 点逆时针旋转n °．①如图2，当n ＝25°，且点C 恰好落在DG 边上时，求∠1、∠2的度数；②当0°＜n ＜180°时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n 的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．3．已知：如图，直线AB //CD ，直线EF 交AB ，CD 于P ，Q 两点，点M ，点N 分别是直线CD ，EF 上一点（不与P ，Q 重合），连接PM ，MN ．（1）点M，N分别在射线QC，QF上（不与点Q重合），当∠APM+∠QMN=90°时，①试判断PM与MN的位置关系，并说明理由；②若PA平分∠EPM，∠MNQ=20°，求∠EPB的度数．（提示：过N点作AB的平行线）（2）点M，N分别在直线CD，EF上时，请你在备用图中画出满足PM⊥MN条件的图形，并直接写出此时∠APM与∠QMN的关系．（注：此题说理时不能使用没有学过的定理）4．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．问题解决：（1）如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线I上运动，当点P 在线段MN上运动时（不与点M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时．请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系；（3）如图3，AB∥CD，点P是AB、CD之间的一点（点P在点A、C右侧），连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q．若∠APC＝116°，请结合（2）中的规律，求∠AQC 的度数．5．如图，∠EBF＝50°，点C是∠EBF的边BF上一点．动点A从点B出发在∠EBF的边BE 上，沿BE方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线AD∥BC．（1）在动点A运动的过程中，（填“是”或“否”）存在某一时刻，使得AD平分∠EAC？（2）假设存在AD平分∠EAC，在此情形下，你能猜想∠B和∠ACB之间有何数量关系？并请说明理由；（3）当AC ⊥BC 时，直接写出∠BAC 的度数和此时AD 与AC 之间的位置关系．6．已知，AB ∥CD ，点E 为射线FG 上一点．（1）如图1，若∠EAF ＝25°，∠EDG ＝45°，则∠AED = ．（2）如图2，当点E 在FG 延长线上时，此时CD 与AE 交于点H ，则∠AE D 、∠EAF 、∠EDG 之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，当点E 在FG 延长线上时，DP 平分∠EDC ，∠AED ＝32°，∠P ＝30°，求∠EKD 的度数．7．阅读下面的文字，解答问题 22的小数部分我们不可能全部212 21，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 479273，∴7272）请解答：（157整数部分是 ，小数部分是 ．（211a 7b ，求|a ﹣b 11（3）已知：5x +y ，其中x 是整数，且0＜y ＜1，求x ﹣y 的相反数．8．对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“梦幻数”，将一个“梦幻数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三数，把这三个新三位数的和与111的商记为K （n ），例如123n =，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213321132666++=，6661116÷=，所以()1236K =．（1）计算：()342K 和()658K ；（2）若x 是“梦幻数”，说明：()K x 等于x 的各数位上的数字之和；（3）若x ，y 都是“梦幻数”，且1000x y +=，猜想：()()K x K y +=________，并说明你猜想的正确性．9．阅读下面的文字,解答问题:是无理数,而无理数是无限不循环小数,的小数部分我们不可能全部写出来,而121.请解答下列问题：_______，小数部分是_________；(2)的小数部分为a b ，求a b +(3)已知:100x y +=+，其中x 是整数,且01y ＜＜，求24x y -的平方根． 10．规定：求若千个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如()()()()2223333÷÷-÷-÷-÷-，等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作()32，读作“2的圈3次方”，()()()()3333-÷-÷-÷-记作()()43-，读作“3-的圈4次方”，一般地，把n a a a a a↑÷÷÷⋯⋯÷记作()n a ，读作“a ”的圈n 次方．（初步探究）（1）直接写出计算结果：()()32=- ；()()42=- ；（2）关于除方，下列说法错误的是（ ）A ．任何非零数的圈2次方都等于1B ．对于任何正整数(),1=1n nC ．()()433=4D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）试一试：()()()2446113=5=35⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，依照前面的算式，将()93，()1012⎛⎫- ⎪⎝⎭的运算结果直接写成幂的形式是()93= ，()101=2⎛⎫- ⎪⎝⎭； （4）想一想：将一个非零有理数a 的圆n 次方写成幂的形式是：()n a = ； （5）算一算：()()()()4652311122333⎛⎫⎛⎫÷-⨯---÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．11．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小华受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A 类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B 类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C 类，例如3，6，9等．（1）2020属于 类（填A ，B 或C ）；（2）①从A 类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A ，B 或C ）；②从A 、B 类数中任取一数，则它们的和属于 类（填A ，B 或C ）；③从A 类数中任意取出8个数，从B 类数中任意取出9个数，从C 类数中任意取出10个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A ，B 或C ）；（3）从A 类数中任意取出m 个数，从B 类数中任意取出n 个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C 类，则下列关于m ，n 的叙述中正确的是 （填序号）． ①2m n +属于C 类；②m n -属于A 类；③m ，n 属于同一类．12．观察下面的变形规律：；；；…．解答下面的问题：（1）仿照上面的格式请写出= ； （2）若n 为正整数，请你猜想= ； （3）基础应用：计算：． （4）拓展应用1：解方程：=2016 （5）拓展应用2：计算：． 13．如图1在平面直角坐标系中，大正方形OABC 的边长为m 厘米，小正方形ODEF 的边长为n 厘米，且|m ﹣4|+2n -＝0．（1）求点B 、点D 的坐标．（2）起始状态如图1所示，将大正方形固定不动，小正方形以1厘米/秒的速度沿x 轴向右平移，如图2．设平移的时间为t 秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为S 平方厘米．①当t ＝1.5时，S ＝ 平方厘米；②在2≤t ≤4这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为 平方厘米； ③在小正方形平移过程中，若S ＝2，则小正方形平移的时间t 为 秒．（3）将大正方形固定不动，小正方形从图1中起始状态沿x 轴向右平移，在平移过程中，连接AD ，过D 点作DM ⊥AD 交直线BC 于M ，∠DAx 的角平分线所在直线和∠CMD 的角平分线所在直线交于N （不考虑N 点与A 点重合的情形），求∠ANM 的大小并说明理由． 14．如图，直线//PQ MN ，一副直角三角板,ABC DEF ∆∆中，90,45,30,60ACB EDF ABC BAC DFE DEF ︒︒︒︒∠=∠=∠=∠=∠=∠=．（1）若DEF ∆如图1摆放，当ED 平分PEF ∠时，证明：FD 平分EFM ∠．（2）若,ABC DEF ∆∆如图2摆放时，则PDE ∠=（3）若图2中ABC ∆固定，将DEF ∆沿着AC 方向平移，边DF 与直线PQ 相交于点G ，作FGQ ∠和GFA ∠的角平分线GH FH 、相交于点H （如图3），求GHF ∠的度数．（4）若图2中DEF ∆的周长35,5cm AF cm =，现将ABC ∆固定，将DEF ∆沿着CA 方向平移至点F 与A 重合，平移后的得到''D E A ∆，点D E 、的对应点分别是''D E 、，请直接写出四边形'DEAD 的周长．（5）若图2中DEF ∆固定，（如图4）将ABC ∆绕点A 顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC 与直线AN 首次重合的过程中，当线段BC 与DEF ∆的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．15．如图，在平面直角坐标系中，点A B 、的坐标分别为(1，0)、(-2，0)，现同时将点A B 、分别向上平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点AB 、的对应点CD 、，连接AC 、BD 、CD .（1）若在y 轴上存在点M ,连接MA MB 、，使S △ABM =S □ABDC ，求出点M 的坐标； （2）若点P 在线段BD 上运动，连接PC PO 、，求S =S △PCD +S △POB 的取值范围； （3）若P 在直线BD 上运动，请直接写出CPO DCP BOP ∠∠∠、、的数量关系.16．对x ，y 定义一种新的运算P ，规定：,()(,),()mx ny x y P x y nx my x y +≥⎧=⎨+<⎩（其中0mn ≠）．已知(2,1)7P =，(1,1)1P -=-．（1）求m 、n 的值；（2）若0a >，解不等式组(2,1)4111,523P a a P a a -<⎧⎪⎨⎛⎫---≤- ⎪⎪⎝⎭⎩． 17．如图1，在平面直角坐标系中，点A 为x 轴负半轴上一点，点B 为x 轴正半轴上一点，()0,C a ，(),D b a ，其中a 、b 满足关系式：24(1)0a b a ++--=．()1a =______，b =______，BCD 的面积为______；()2如图2，石AC BC ⊥于点C ，点P 是线段OC 上一点，连接BP ，延长BP 交AC 于点.Q 当CPQ CQP ∠=∠时，求证：BP 平分ABC ∠；(提示：三角形三个内角和等于180) ()3如图3，若AC BC ⊥，点E 是点A 与点B 之间上一点连接CE ，且CB 平分.ECF ∠问BEC ∠与BCO ∠有什么数量关系？请写出它们之间的数量关系并请说明理由．18．如图，在下面直角坐标系中，已知()0,A a ，(),0B b ，(),C b c 三点，其中a ，b ，c 满足关系式()22340a b c ---=．（1）求a ，b ，c 的值；（2）如果在第二象限内有一点1,2P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．19．先阅读下面材料，再完成任务：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x ，y 满足35x y -=，……①，237x y +=，……②，求4x y -和75x y +的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x ，y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得42x y -=-，由①＋②×2可得7519x y +=，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”解决问题：（1）已知二元一次方程组322233x y x y -=-⎧⎨-=-⎩，则x y -=______，x y +=______； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？（3）对于实数x ，y ，定义新运算：x y ax by c *=++，其中a ，b ，c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3515*=，4728*=，那么11*=______．20．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2312x y +=有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．例：由2312x y +=，得：1222433x x y -==-，（x 、y 为正整数） ∴01220x x >⎧⎨->⎩，则有06x <<．又243x y =-为正整数，则23x 为正整数．由2与3互质，可知：x 为3的倍数，从而x=3，代入2423x y =-=∴2x+3y=12的正整数解为32x y =⎧⎨=⎩ 问题：（1）请你写出方程25x y +=的一组正整数解： .（2）若62x -为自然数，则满足条件的x 值为 .（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？21．某校规划在一块长AD为18 m、宽AB为13 m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮，如图所示，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9，问通道的宽是多少？22．某公园的门票价格如下表所示：某中学七年级(1)、(2)两个班计划去游览该公园，其中(I)班的人数较少，不足 50 人；(2) 班人数略多，有 50 多人．如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付 1172 元，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，则需付 1078 元．(1)列方程求出两个班各有多少学生；(2)如果两个班联合起来买票，是否可以买单价为 9 元的票？你有什么省钱的方法来帮他们买票呢？请给出最省钱的方案．23．小明为班级购买信息学编程竞赛的奖品后，回学校向班主任李老师汇报说：“我买了两种书，共30本，单价分别为20元和24元，买书前我领了700元，现在还余38元．”李老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”（1）李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；（2）小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本．但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，如果单价为20元的书多于24元的书，请问：笔记本的单价为多少元？24．对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y．（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值；（2）已知关于x，y的方程组()()113028T aT a⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，，，若a≥﹣2，求x+y的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA 沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标．25．某校为了丰富同学们的课外活动，决定给全校20个班每班配4副乒乓球拍和若干乒乓球，两家体育用品商店对同一款乒乓球拍和乒乓球推出让利活动，甲商店买一副乒乓球拍送10个乒乓球，乙商店所有商品均打九折（按标价的90％）销售，已知2副乒乓球拍和10个乒乓球110元，3副乒乓球拍和20个乒乓球170元。
七年级下册数学几何压轴题集锦
七年级下册数学几何压轴题集锦--------------------------------------------------------------------------作者: _____________--------------------------------------------------------------------------日期: _____________在矩形ABCD 中，点E 为BC 边上的一动点，沿AE 翻折，△ABE 与△AFE 重合，射线AF 与直线CD 交于点G 。
1、当BE ：EC=3：1时，连结EG ，若AB=6，BC=12，求锐角AEG 的正弦值。
2、以B 为原点，直线BC 和直线AB 分别为X 轴、Y 轴建立平面直角坐标系，AB=5,BC=8，当点E 从原点出发沿X 正半轴运动时，是否存在某一时刻使△AEG 成等腰三角形，若存在，求出点E 的坐标。
1、2a b m b a-+b+3=0=14.ABCA S如图，已知（0，），B （0，），C （，）且（4），o y =DC FD ADO ⊥∠∠∠（1）求C 点坐标（2）作DE ，交轴于E 点，EF 为AED 的平分线，且DFE 90。
求证：平分；（3）E 在y 轴负半轴上运动时，连EC ，点P 为AC 延长线上一点，EM 平分∠AEC ，且PM ⊥EM,PN ⊥x 轴于N 点，PQ 平分∠APN ，交x 轴于Q 点，则E 在运动过程中，MPQECA ∠∠的大小是否发生变化，若不变，求出其值。
2、如图1，AB//EF, ∠2=2∠1 (1)证明∠FEC=∠FCE;(2)如图2，M 为AC 上一点，N 为FE 延长线上一点，且∠FNM=∠FMN ，则∠NMC 与∠CFM 有何数量关系，并证明。
图1 图23、（1）如图，△ABC, ∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点E 、D ，若∠1=130°，∠2=110°，求∠A 的度数。
第19章几何证明压轴题专练（解析版）
第19章几何证明压轴题专练1.如图，已知△ABC 中，求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：过BC 上一点D ，分别作________，交AB 于点E ，交AC 于点F ，因为___________________，所以∠A=______．同理∠B=______，∠C=______．因为_________________，所以_________________．因为∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°（ ），所以_________________．【难度】★★★【解析】//DE AC ，//DF AB ；//DF AB ，CFD ∠；FDC ∠，EDB ∠；//DE AC ，EDF CFD A ∠=∠=∠；平角的意义；180A B C ∠+∠+∠=︒．【总结】考查三角形内角和的证明，利用平行线得到相等角等量代换即可．2.判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（1） 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．【难度】★★★【解析】（1）假命题，组成角的两条射线，一条方向相同，一条相反，则两角互补；（2）假命题，保持一边不变，过一个顶点作一条射线，另一个顶点向这条射线作垂线，并以这点为圆心，长于垂线长的长度为半径作圆与射线有两个交点，形成三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，满足题目条件，但两个三角形明显不全等．【总结】考查命题的真假的判断，假命题举反例即可3.写出下列命题的逆命题，判断逆命题的真假，并说明其中哪些是逆定理．（1）等腰三角形两腰上的中线相等；（2）内错角相等，两直线平行；（3）等边对等角；（4）两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直．【难度】★★★【解析】（1）逆命题：如果一个三角形中有两条边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真命题，不是逆定理；（2）逆命题：两直线平行，内错角相等，真命题，是逆定理；（3）逆命题：等角对等边，真命题，是逆定理；（4）逆命题：如果两条直线被第三条直线所截，截得的一对同旁内角的角平分线互相垂直，那么这两条直线平行，真命题，不是逆定理．【总结】考查一个命题的逆命题的写法，以及对命题真假的判断．4.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．求证：BE∥DF．【难度】★★★【解析】证明：BE 平分ABC ∠，12ABE ABC ∴∠=∠，同理12FDE ADC ∠=∠，360A ABC C ADC ∠+∠+∠+∠=︒，A C ∠=∠，3602ABC ADC A ∴∠+∠=︒-∠BED A ABE ∠=∠+∠()1113602180222BED FDE A ABC ADC A A ∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+︒-∠=︒//BE DF ∴【总结】考查平行线的判定定理，同旁内角互补，两直线平行．5.如图，AB ∥CD ，分别探讨下面4个图形中∠BPD 、∠ABP 、∠CDP 的关系，（直接写出关系即可），并对第3个图得到的关系进行证明（至少用两种方法）．【难度】★★★【答案】图1：+360BPD ABP CDP∠∠+∠=；图2：BPD CDP ABP∠=∠-∠；图3：BPD ABP CDP∠=∠+∠；图4：BPD ABP CDP∠=∠-∠．【解析】证明：方法1：延长BP交CD于点M，∴∠=∠//AB CD，ABP PMD∴∠=∠+∠=∠+∠；BPD PMD CDP ABP CDP方法2：过点作射线//∠=∠，PN AB，则有ABP BPN∴∠=∠CD PN∴，CDP DPN//AB CD，//∴∠=∠+∠=∠+∠．BPD BPN DPN ABP CDP【总结】考查平行线的性质定理和三角形外角性质的结合应用，本题中4个小题都可通过作平行或延长简单证明．6.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=CD，AE=DF.（1）求证：BF=CE；（2）当点E、F相向运动，形成图2时，BF和CE还相等吗?证明你的结论．【难度】★★★【解析】（1）证明：//AD BC，，180180∴∠+∠=︒∠+∠=︒BAD ABC ADC BCD∠=∠ABC DCB∴∠=∠BAD ADC=AE DF=AE AD DF AD∴+=+，即DE AF=AB CD∴∆≅∆EDC FAB∴=BF CE（2）相等，证明：同（1）可证BAD ADC∠=∠，ED AF AB CD，==∴∆≅∆EDC FAB∴=BF CE【总结】考查等腰梯形的性质的证明，实际为后面等腰梯形性质的学习打下基础．7.如图，已知△ABD、△ACE都是等腰直角三角形，∠DAB=∠EAC=90°，判断BE和CD的位置及长度关系，并证明．【难度】★★★【答案】CDBE⊥；证明过程见解析．BE=，DC【解析】∵∠DAB=∠EAC=90°，∴BAC=+∠，∠∠EACBACDAB∠+即BAEDAC∠∠=∵AB AD DAC BAE AE AC，，=∠=∠=∴DAC△BAE≌△∴CD∠=BE=，ABEADC∠∵︒DBAADC，+CDA∠90=∠+∠∴︒DBACDA∠90ABE，即DCBE⊥．+=+∠∠【总结】考察全等三角形的判定．两个等腰直角三角形共直角顶点则可产生全等三角形．8.如图，三角形ABC 中，AC = BC ，∠ACB =90°，AD 是BC 边的中线，CE ⊥AD ，BF ⊥BC ，CF 与AB 、BF 分别相交于点E 、F ，联结DE ，求证：∠1 =∠2．【难度】★★★【解析】∵︒=∠+∠90ACF BCF ，︒=∠+∠90CAD ACF∴CAD BCF ∠=∠∵CAD BCF ∠=∠，BC AC =，CBF ACD ∠=∠∴BCF CAD ≌△△，∴F ∠=∠1，BF CD =∵BD CD =，∴BF BD =∵AC = BC ，∠ACB =90°，∴︒=∠45CBA∵︒=∠90CBF ，︒=∠45FBE∵DB BF DBE FBE BE BE =∠=∠=，，，∴F ∠=∠2∵F ∠=∠1，∴21∠=∠【总结】考察全等三角形判定以及等腰直角三角形的性质．9.已知A 、C 、E 在同一直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，M 、N 分别是AD 、BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．【难度】★★★【解析】∵︒=∠=∠60ECD ACB ，∴BCD ECD BCD ACB ∠+∠=∠+∠，即ACD BCE ∠=∠．∵BC AC =，ACD BCE ∠=∠，CD EC =∴()S A S BCE ACD ..≌△△，∴AD BE =，21∠=∠∵M 、N 分别是AD 、BE 的中点，AD BE =，∴BN AM =．∵BC AC =，21∠=∠，BN AM =，∴()S A S BCN ACM ..≌△△，∴CN CM =，43∠=∠∵︒=∠+∠603MCB ，∴︒=∠+∠604MCB ，即︒=∠60MCN∵CN CM =，∴△CMN 是等边三角形．【总结】考察三角形全等三角形判定和性质以及等边三角形的性质与判定的综合运用．10.如图，在△ABC 中，108AB AC BAC =∠=，°，点D 在AC 上且BC AB CD =+．求证：BD 平分ABC ∠．【难度】★★★【解析】在BC 上截取一点E 使得BE=AB ，联结ED 、AE ．∵108AB AC BAC =∠=，°，∴︒=∠=∠36C ABC ．∵BC AB CD =+，BE AB =，∴EC CD =∵︒=∠36C ，∴︒=∠=∠72CED CDE∴︒=∠-︒=∠108180BAC DEB ，∴DEB BAC ∠=∠∵BE AB =， ∴BEA BAE ∠=∠∴BAE DEB BAE BAC ∠-∠=∠-∠，即DEA DAE ∠=∠，∴DE AD =．∵BE AB =，DE AD =，BD BD =，∴()S S S EBD ABD ..≌△△．∴CBD ABD ∠=∠，即BD 平分ABC ∠．【总结】考察截长补短辅助线的做法以及三角形全等判定的综合运用．11.如图，已知AB AC =，100A ∠=°，BD 平分ABC ∠．求证：BC BD AD =+．【难度】★★★【解析】在BC 上截取一点E 使得BE=BD ，截取一点F 使得BF=AB ，联结ED 、DF ．∵100AB AC BAC =∠=，°，∴︒=∠=∠40C ABC ，∵BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠20DBE ABD∵BE BD =，∴︒=∠=∠80BDE BED∵EDC C BED ∠+∠=∠，∴︒=∠40EDC ，∴C EDC ∠=∠，∴EC DE =∵BF AB =，DBF ABD ∠=∠，BD BD =，∴()S A S FBD ABD ..≌△△∴︒=∠=∠100BFD BAC ，DF AD =，∴︒=︒-︒=∠80100180DFE ．∵︒=∠80BED ，∴BED DEF ∠=∠，∴DF DE =∵EC DE =，∴EC DF =∵DF AD =，∴CE AD =∵BC BE CE =+，BE BD =，CE AD =∴BC BD AD =+【总结】本题综合性较强，主要考查截长补短辅助线的添加以及等腰三角形性质的综合运用．12.已知：如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，△ADB 是等边三角形，点C 在△ADB 的内部，DE ⊥AC 交直线AC 于点E ．（1）求证：DE=CE ；（2）若点C 在△ADB 外部，DE=CE 的关系是否成立?如不成立，请说明理由；如成立，请证明．【难度】★★★【解析】（1）联结DC 并延长交AB 于F ．∵DB AD =，DC DC =，CB AC =∴BDC ADC ≌△△ ∴ADF BDF ∠=∠∴AB DF ⊥ ∴︒=∠45FCB∴︒=∠-∠-︒=∠45180ECB FCB DCE∵CE DE ⊥ ∴︒=∠=∠45EDC DCE∴CE DE =（2）证明方法同（1）一样．【总结】考察全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质的综合运用．13.如图，在直角△ABC 和直角△ADE 中，∠C=∠E =90°，BC=DE ，∠BAE=∠DAC ，BC 与DE 交于点F ，求证：BF=DF ．F EDCBA【难度】★★★【解析】联结AF ∵∠BAE=∠DAC，∴EAC∠，即DAEBAC∠∠∠=+BAE∠EAC+∠DAC=∵∠C=∠E ，DAE△BAC∠AEF≌△∠，BC=DE，∴ABC=∴AE AC CB ED，==∵AE AC AF AF，∴ACF==△AEF≌△∴CFFE=∵EFBF-==,∴BF=DF．-CBDEDFCF【总结】考察三角形全等判定和性质的综合运用．14.如图，已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=a，在线段AC上有动点M，在射线CB上有动点N，且AM=BN，连接MN交AB于点P．（1）当点M在边AC（与点A、C不重合）上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系?试证明你的结论．（2）过点M作边AB的垂线，垂足为点Q，随着M、N两点的移动，线段PQ的长能确定吗?若能确定，请求出PQ的长；若不能确定，请简要说明理由．【难度】★★★【答案】（1）PM PN =；（2）线段PQ 的长能确定，为a 21． 【解析】(1)PM PN =．过M 作DM ∥CB 交BA 于D∵DM ∥CB ，∴︒=∠=∠45ABC ADM ∴A ADM ∠=∠，∴MD AM =∵AM=BN ，∴MD BN =∵MD BN =，DMP N ∠=∠，MPD NPB ∠=∠∴MPD NPB ≌△△ ∴PM PN =（2）线段PQ 的长能确定，为a 21． ∵∠A=45°，AB MQ ⊥，∴△AMD 为等腰直角三角形设x BN AM DM ===，则x AD 2=由（1）可得：BD PD BP 21== ∵x a AD AB BD a AB 2,-=-== ∴x a BD BP 222121-== ∵x AD AQ DQ 2221=== ∴a DQ PD PQ 21=+=∴线段PQ 的长能确定，为a 21． 【总结】考查全等三角形的判定和性质，勾股定理以及等腰直角三角形性质的综合运用．15.已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD=DC ，∠BDC=120°，∠MDN=60°， 求证：23AMN ABC C C ∆∆=．【难度】★★★【解析】证明：延长NC 至点E ，使得CE BM =，联接DE ．∵BD=DC ，∠BDC=120°，∴︒=∠=∠30DCB DBC∵︒=∠=∠60ACB ABC ∴︒=∠=∠90ACD ABD∴ABD DCE ∠=∠∵BD =DC ，DCF ABD ∠=∠，CE BM =∴CDE BDM △≌△∴MD DE CDE BDM =∠=∠，∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴︒=∠+∠60CDN BDM∵∴︒=∠+∠60CDN CDE ，即︒=∠60NDEBDM CDE ∠=∠∴MDN NDF ∠=∠∵MDN NDF ∠=∠，DN DN =∴NDM NDE ≌△△，可得：NE MN =， 则ABC AMN C AC AB NC MB AN AM MN AN AM C ∆∆=+=+++=++=32． 【总结】考察截长补短辅助线的添加及等腰三角形的性质．16.如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、DC 上的点，且∠EBF = 45°，（1） 求证：AE+CF = EF ；（2） 若，BC=1，求BE 的长．【难度】★★★【解析】（1）延长FC 至点G ，使得AE CG =，连接BG ．∵BCG BAE ∠=∠，AE CG =，BC AB =∴BCG AEB ≌△△∴CBG ABE BG BE ∠=∠=，．∵︒=∠45EBF ∴︒=∠+∠45CBF ABE∵，∴︒=∠+∠45CBF CBG 即︒=∠45FBG∴EBF FBG ∠=∠,DE MD=CBG ABE ∠=∠∵，BG BE =EBF FBG ∠=∠，BF BF = ∴BGF BEF ≌△△∴GF EF =，∵CG FC GF +=，GF EF =，AE CG =∴AE+CF = EF ；（2）∵，BC=1， ∴由勾股定理可得：31=CF ， ∴32311=-=DF ． 设x AE =，则由（1）可得：113ED x EF x =-=+，， ∵222EF DF DE =+，∴()22231321⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ， 解得：21=x ∴2522=+=AE AB BE ． 【总结】考察截长补短辅助线的添法和勾股定理的综合运用．17.已知，如图，在△ABC 外作正方形ABDE 和ACGF ，M 是BC 的中点．求证：12AM EF =．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】延长AM 至点N ，使得NM =AM ，联结CN∵MN AM =，AMB CMN ∠=∠，BM MC =∴ABM NCM △≌△∴CN AB =，ABC BCN ∠=∠∵AE AB =，∴AE = CN ，∵BCN ACB ACN ∠+∠=∠，ABC BCN ∠=∠∴BAC ABC ACB ACN ∠-︒=∠+∠=∠180∵BAC BAC FAC EAB EAF ∠-︒=∠-∠-∠-︒=∠180360∴EAF ACN ∠=∠∵AF CA =，EAF ACN ∠=∠，AE = CN ，∴ACN AFE ≌△△，∴AN EF =∵AM AN 2=，∴AM EF 2=【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法及全等的综合运用．18.已知：如图，在△ABC 中，BD=DC ，ED ⊥DF ．求证：BE+CF >EF ．【难度】★★★【解析】延长FD 至点G ，使得DG DF =，联结BG 、GE∵DG DF =，FDC BDG ∠=∠，BD DC =∴BDG CDF △≌△，∴BG CF =∵DG DF =，FDE EDG ∠=∠，ED DE =∴EDG EDF △≌△，∴EG EF =∵GE BE BG >+，EG EF =，BG CF =∴BE+CF >EF ．【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法及三角形的三边关系的运用．19.已知：如图，点M 是△ABC 的边BC 的中点，射线ME 、MF 互相垂直，且分别交AB 、AC 于E 、F 两点，连接EF ．（1） 求证：线段BE 、CF 、EF 能够成一个三角形；（2） 若∠A=120°，且BE=CF ，试判断BE 、CF 、EF 所构成三角形的形状，并证明 ．【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）等边三角形．【解析】（1）延长FM 至点G ，使得MG MF =，联结BG 、GE ．∵MG MF =，FMC BMG ∠=∠，BM MC =∴BMG CMF △≌△， ∴BG CF =∵MG MF =，FME EMG ∠=∠，MD ME =∴EMG EMF △≌△，∴EG EF =∵EG EF =，BG CF =∴线段BE 、CF 、EF 能够成一个三角形；（2）等边三角形．∵∠A=120°， ∴︒=∠+∠60C ABC ，∵BE=CF ，BG CF =， ∴BG BE =，由（1）可得：C MBG ∠=∠．∴︒=∠+∠=∠+∠=∠60C ABC MBG ABC EBG∵BG BE =， ∴BE 、CF 、EF 所构成三角形的形状是等边三角形． 【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法及三角形的成立条件．20.如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，MF//DA 交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F ，求证：BE=CF ．【难度】★★★【解析】延长FM 至点N ，使得FM=MN ，联结BN ．∵CM BM =，CMF BMN ∠=∠，FM=MN ，∴CMF BMN ≌△△∴CF BN =，C MBN ∠=∠，∴CF//BN∵MF ∥DA ， ∴DAC AFE ∠=∠，E BAD ∠=∠∵DAC BAD ∠=∠，∴E AFE ∠=∠∵CF//BN ，∴N AFE ∠=∠∵E AFE ∠=∠，∴E N ∠=∠，∴BN BE =∵CF BN =，∴BE=CF ．【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法．21.已知：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH ∥AB ，交BC 于H ．求证：CE = BH ．（提示：平行四边形的对边相等，对角相等）【难度】★★★【解析】过E 作EG ⊥AB ，垂足为G ．∵︒=∠+∠90FAD AFD ，︒=∠+∠90CAF CEF ， CAF FAD ∠=∠，∴CEF AFD ∠=∠∵CFE AFD ∠=∠，∴CEF CFE ∠=∠，∴CF CE =∵AE AE =，CAF FAD ∠=∠，AGE ACE ∠=∠∴AGE ACE ≌△△，∴EG CE =∵CF CE =，∴CF EG =∵FH ∥AB ，∴CHF B ∠=∠，︒=∠=∠90CDB CFH∵CHF B ∠=∠，EGB CFH ∠=∠，CF EG =∴EGB CFH ≌△△， ∴EB CH =∵CE CH EH BE BE EH =-=-，，∴CE=BH ．【总结】考察构造全等三角形辅助线的做法．22.如图，在△ABC 中，∠A=30°，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD ，求证：AF=FG=BG ．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】连接DF 、DG ，∵FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD∴AF=DF ，DG=BG又∵∠A=30°，∴∠DFG=∠DGF=60°即△DFG 为等边三角形 ∴DF=DG=FG ∴AF=FG=BG【总结】考查垂直平分线性质定理的运用．23.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40°，（1）求∠NMB的大小；（2）如果将（1）中的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）若∠A=α，你发现了怎样的规律，并证明之；（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否要加以修改．【难度】★★★【解析】（1）∵AB=AC，∴∠B =(180°-40°)÷2=70°，又∵∠MNB=90°，∴∠NMB=180°-90°-70°=20°；（2）∵∠B=（180°-70°）÷2=55°，∴∠NMB =180°-90°-55°=35°；（3）∠NMB的度数等于∠A度数的一半，证明：∵AB=AC，∴∠B=(180°-∠A）÷2∵∠BNM = 90°，∴∠NMB = 90°-∠B = 90°-（180°-∠A）÷2=12A ∠即∠NMB的度数等于∠A度数的一半；（4）不需修改．仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成锐角为顶角的一半．【总结】考查垂直平分线性质定理的运用．24.如图，在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BF平分∠ABC，交AC于点F、AD于点E，EG∥BC 交AC于点G，求证：AF=CG．【难度】★★★【解析】过F作FH⊥BC于点H，连接EH，∵∠ABF+∠AFB=90°，∠BED+∠EBD=90°，∠ABF=∠EBD，∴∠AFB=∠BED又∵∠BED=∠AEF ，∴∠AFB=∠AEF ，∴AE=AF．∵BF平分∠ABC， AF⊥BA，FH⊥BC ∴AF=FH又∵AE∥FH，∴四边形AEHF为菱形，∴AF=EH， EH∥CG又∵EG∥HC，∴EHCG为平行四边形∴EH=CG，∴AF=CG．【总结】考查角平分线性质定理、菱形及平行四边形的判定及性质．25.如图，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD交于F点，CD 交AB于点G，BE交AC于点H，求证：AF平分∠DFE．【难度】★★★【解析】∵AD=AB，AC=AE，∠DAC=∠BAE ∴△ACD≌△AEB ∴BE=CD过点A作AM⊥DC，AN⊥BE，则1122DC AM AN BE ⨯=⨯∴AM=AN∵AM⊥DC，AN⊥BE，所以AF平分∠DFE．【总结】考查角平分线性质定理逆定理及其等面积法的综合运用．26.如图，在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P，连接CP．（1）求证：CP平分∠ACB；（2）如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：EP=DP；（3）如图2，当△ABC不是等边三角形，但∠ACB=60°，（2）中的结论是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【难度】★★★【解析】（1）过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，PH⊥BC于点H∵AD、BE分别为∠CAB与∠ABC的角平分线∴PM=MN，PM=PH，∴PN=PH，∴CP平分∠ACB（2）∵ABC为等边三角形∴PD⊥BC，PE⊥AC，∴△CPE≌△CPD ，∴EP=DP （3）成立．假设∠CAB<∠CBA作PH⊥AC于H，PM⊥CB于M，PQ⊥AB于Q，则点H在线段CE上，点M在线段BD上∵∠CAB和∠ACB的平分线AD、BE交于点P,∴PH=PQ=PM∵∠ACB+∠CAB+ABC=180°，∠ACB=60°∴∠CAB+∠ABC=120°∵AD、BE分别平分∠CAB、∠ABC ∴∠PAB+∠PBA=60°∵∠CEP=∠CAP+∠PAB+∠PBA=∠CAP+60°∠ADB=∠CAP+∠ACD=∠CAP+60°∴∠CEP=∠ADB在△PHE和△PMD中，∵∠HEP=∠MDP，∠EHP=∠DMP=90°，PH=PM∴△PHE≌△PMD ∴PE=PD【总结】考查角平分线性质定理及其逆定理的综合运用．27.如图，在△ABC中，OE、OF分别是边AB、AC的垂直平分线，∠OBC、∠OCB的平分线相交于点G，判断OG与BC的位置关系，并证明你的判断．【难度】★★★【解析】连接OA ∵OE垂直平分AB，∴OA=OB同理OA=OC，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB∵BG平分∠OBC，CG平分∠OCB∴∠GBC=12∠OBC，∠GCB=12∠OCB∴∠GBC=∠GCB，∴BG=CG又∵OG=OG，∴△BOG≌△COG∴∠BOG=∠COG，∴OG⊥BC【总结】考查角平分线与垂直平分线性质定理的运用．28.已知，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，判断下面四个结论中哪些成立，（1）AD平分∠CDE；（2）∠BAC=∠BDE；（3）DE平分∠ADB；（4）BD+AC>AB哪些不成立，成立的说明理由，不成立的在原有条件的基础上，添加条件使之成立，并证明．【难度】★★★【解析】（1）∵∠EAD=∠CAD，∠AED=∠C，AD =AD ∴△ADE≌△ADC，∴成立；（2）∵∠B+∠BAC=90°，∠B +∠BDE =90°，∴∠BAC =∠BDE ，∴成立；（3）不成立．添加∠B=30°∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=30°∴△ABD为等腰三角形又∵DE⊥AB，∴DE平分∠ADB，（4）AB=AE+EB ，由（1）知AE=AC，又∵BD>BE（斜边大于直角边）∴BD+AC>AB，∴成立．【总结】考查角平分线性质定理的运用．29.如图，AD是等腰△ABC底边上的高，E、F为AD上两点，且∠ABE=∠EBF=∠FBC，联结CF并延长交AB于点G．求证：（1）△GBF为等腰三角形；（2）GE∥BF．【难度】★★★【解析】（1）ABC AD ∆∵为等腰三角形且为高FBC FCB ∴∠=∠GBF GBE EBF GFB FBC FCB ∠=∠+∠∠=∠+∠∵，∵∠ABE=∠EBF=∠FBC ，GBF GFB ∴∠=∠∴△GBF 为等腰三角形；（2）如图，过点E 作EP ⊥GF 于点P 、EQ ⊥BF 于点Q 、ER ⊥AB 于点R ．∵FB=FC ， FD ⊥BC ， ∴BFD CFD ∠=∠∵BFD EFQ ∠=∠，CFD EFG ∠=∠， ∴EFQ EFG ∠=∠∴EP EQ =∵BE 平分GBF ∠，EQ ⊥BF ，ER ⊥AB ，∴EQ ER =， ∴EP ER =， ∴2AGF EGA ∠=∠∵2AGF GFB GBF GBF ∠=∠+∠=∠∴GBF EGA ∠=∠∴//GE BF ．【总结】考查角平分线性质定理的运用及等腰三角形的性质．30.在直角△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直线l 为经过点A 的任一直线，BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E ，若BD>CE ，试问：（1） AD 与CE 的大小关系如何?请说明理由；（2） 线段BD 、DE 、CE 之间的数量关系如何?你能说明清楚吗?试一试．【难度】★★★【答案】（1）AD CE =；（2）BD CE DE =+．【解析】（1）90BAC ∠=︒，90BAD CAE ∴∠+∠=︒，BD l CE l ⊥⊥，， 90BDA AEC ∴∠=∠=︒，90DBA BAD ∴∠+∠=︒， DBA EAC ∴∠=∠在RT ABD 和RT CAE 中， BDA AEC AB CA DBA EAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， RT ABD ∴≌RT CAE （..A S A ）AD CE ∴=（全等三角形对应边相等）（2）BD CE DE =+AD CE =，又AE AD DE =+ ，AE CE DE ∴=+RT ABD ≌RT CAE ，BD AE ∴=BD CE DE ∴=+．【总结】考查全等三角形的应用及线段间的等量代换．31.如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ．（1） 若BC 在DE 的同侧（如图1），且AD=CE ，求证：AB ⊥AC ．（2）若BC在DE的两侧（如图2），其他的条件不变，问AB与AC仍垂直吗?若是，请予以证明，若不是，请说明理由．【难度】★★★【解析】（1）证明：BD⊥DE，CE⊥DE90BDA AEC∴∠=∠=︒．在RT BDA和RT AEC中，AB CAAD CE=⎧⎨=⎩，RT ABD∴≌RT CAE（.H L），DAB ECA∴∠=∠．90AEC∠=︒，90CAE ECA∴∠+∠=︒，90CAE DAB∴∠+∠=︒，90BAC∴∠=︒，∴AB⊥AC ．（2）AB⊥AC．同理可证：RT ABD≌RT CAE，则可证90BAC∠=︒，即AB⊥AC．【总结】考查直角三角形全等的判定及同角的余角相等相结合．32.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，在AB上截取AE=AC，过点E作EF∥CD、交BC边于点F，EG垂直BC于点G，求证：DE=EG．【难度】★★★【解析】联结CE AE=AC ，ACE AEC∴∠=∠∴∠+∠=︒90ACE ECG∠=︒，90ACBAEC ECD∴∠+∠=︒⊥，90CD AB∴∠=∠ECD ECG又CD AB⊥DE GE∴=⊥，EG BC【总结】考查等边对等角及角平分线性质定理的综合运用．33.如图，已知在钝角∆ABC中，AC、BC边上的高分别是BE、AD，BE、AD的延长线交于点H，点F、G分别是BH、AC的中点．（1）求证：∠FDG=90°；（2）连结FG，试问∆FDG能否为等腰直角三角形?若能，试确定∠ABC的度数，并写出你的推理过程；若不能，请简要说明理由．【难度】★★★【解析】（1）证明：AC 、BC 边上的高分别是BE 、AD ， 又点F 、G 分别是BH 、AC 的中点，12DG CG AC ∴==，12DF BF BH ∴==（斜边中线等于斜边的一半） GDC GCD BCE ∴∠=∠=∠，DBF BDF ∴∠=∠GDC BDF BCE DBF ∴∠+∠=∠+∠，又AE BH ⊥，90BCE DBF ∴∠+∠=︒90GDC BDF ∴∠+∠=︒，即90FDG ∠=︒（2）能，45ABC ∠=︒．若GDF 为直角等腰三角形，则GD FD =，AC BH ∴=，ACD ∴≌BHD （..A A S ），AD BD ∴=，45ABC ∴∠=︒．【总结】主要考查对直角三角形性质的掌握，以及能否灵活的运用．34.如图，点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作△ABE 和△BCF ，连接AF 、CE ，取AF 、CE 的中点M 、N ，连接MB 、NB 、NM ．（1） 若△ABE 和△FBC 是等腰直角三角形，且∠ABE=∠FBC=90°，如图1所示，则△MBN 是_____________三角形；（2） 若△ABE 和△FBC 中，BA=BE ，BC=BF ，且∠ABE=∠FBC=α，如图2所示，则△MBN 是 _____________三角形，且∠MBN=_______；（3）若（2）中的△ABE绕点B旋转一定的角度，如图3，其他的条件不变那么（2）中的结论是否成立?若成立，给出你的证明，若不成立，写出正确的结论并给出证明．【难度】★★★【答案】（1）等腰直角；（2）等腰，α；（3）结论仍然成立．【解析】（1）易证ABF≌EBC，AF EC∴=，BM BN∴∠=∠∴=，∴AMB≌ENB，MBA NBE∴∠+∠=︒MBF NBE90MBA MBF∠+∠=︒，90即90MBN ∠=︒，MBN ∴为等腰直角三角形（2）根据题意，可知ABF ≌EBC ，BM BN ∴=即MBN 为等腰三角形，ABM EBN ∠=∠ABE MBN α∴∠=∠=，MBN α∴∠=（3）∵ABF ≌EBC ，AF CE AFB ECB ∴=∠=∠，FM CN ∴=， MFB ∴≌NCBBM BN ∴=，MBF NBC ∠=∠MBN MBF FBN FBN NBC FBC α∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=【总结】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定．掌握等腰三角形和全等三角形的性质及判定并学会灵活运用是解题的关键．35.已知，如图，在△ABC 中，边AB 上的高CF 、边BC 上的高AD 与边CA 上的高BE 交于点H ，连接EF ，AH 和BC 的中点为N 、M ．求证：MN 是线段EF 的中垂线．【难度】★★★【解析】连接FM 、EM 、FN 、EN∵︒=∠90BFC ，M 为BC 的中点， ∴BC FM 21=∵︒=∠90BEC ，M 为BC 的中点， ∴BC EM 21=，∴ME FM =∵︒=∠90AFH ，N 为AH 的中点，∴AH FN 21= ∵︒=∠90AEH ，N 为AH 的中点，∴AH EN 21=， ∴EN FN =， ∵ME FM =，EN FN =∴MN 是线段EF 的中垂线．【总结】考察直角三角形的性质和线段垂直平分线性质定理逆定理的综合运用．36.在△ABC 中，已知∠A=60°，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，点D 是BC 中点.（1）如果AB=AC ，求证△DEF 为等边三角形；（2）如果AB ≠AC ，试猜想△DEF 是不是等边三角形，若是，请加以证明，若不是，请说明理由；（3）如果CM=4，FM=5，求BE 的长度．【难度】★★★【解析】（1）∵BE ⊥AC ，点D 是BC 中点，∴BC DC DE 21== ∵CF ⊥AB ，点D 是BC 中点，∴BC BF DF 21==，∴DF DE = ∵∠A=60°，AB=AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴︒=∠=∠60ACB ABC∵DC DE =，︒=∠60ACB ，∴△DEC 是等边三角形，∴︒=∠60EDC∵DB DF =，︒=∠60ABC ，∴△BFD 是等边三角形，∴︒=∠60FDB∴︒=︒-︒-︒=∠606060180FDE∵DF DE =，∴△DEF 为等边三角形（2）∵BE ⊥AC ，点D 是BC 中点，∴BC DC DE 21== ∵CF ⊥AB ，点D 是BC 中点，∴BC BF DF 21==，∴DF DE = ∵∠A=60°，∴︒=∠+∠120ACB ABC ，∵DC DE =，∴ACB DEC ∠=∠∵DB DF =，∴ABC DFB ∠=∠，∴180FDE FDB EDC ∠=︒-∠-∠ ()()180********ABC ACB =︒-︒-∠-︒-∠()218060ABC ACB =∠+∠-︒=︒∵DF DE =，∴△DEF 为等边三角形（3）∵∠A=60°，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB ，∴︒=∠=∠30ECM FBM ∴1122FM BM EM CM ==， ∵CM=4，FM=5，∴102==BM EM ，，∴12210=+=+=ME BM BE【总结】考察直角三角形性质及等边三角形性质的综合运用．37.已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ，（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC.（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍 然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【难度】★★★【解析】(1)∵∠MAN=120°，AC 平分∠MAN ，∴︒=∠=∠60CAB CAD∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ACD=∠ACB=30°，∴AC AB 21=，AC AD 21= ∴AC AC AC AD AB =+=+2121； （2）过C 作CE ⊥AM ，过C 作CF ⊥AN ，垂足分别为E 、F∵AC 平分∠MAN ，CE ⊥AM ，CF ⊥AN ，∴CF CE =∵∠ABC+∠ADC=180°，∠MDC+∠ADC=180°，∴∠EDC=∠ABC∵∠EDC=∠ABC ，CF CE =，CFB CED ∠=∠，∴CBF CED ≌△△，∴BF ED =∴AF AE BF AF DE AE AB AD +=++-=+∵∠MAN=120°，AC 平分∠MAN ，∴︒=∠=∠60CAB CAD∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ACE=∠ACF=30°， ∴AC AE 21=，AC AF 21= ∴AC AC AC AD AB =+=+2121 【总结】考察角平分线的性质和直角三角形的性质的综合运用．38.如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC=1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD选择水厂位置P确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．【难度】★★★【答案】10万元．【解析】延长AC至点E，使得CE=AC，连接EB交CD于一点，，则此时铺设水管费用最低．过E作EF∥CD，交BD延长线于F∵四边形CEFD是长方形，∴1=DFCE=∵34，，∴由勾股定理可得：5EF BF==BE=此时5EPPBAPBP==+BE+=∴总费用为10⨯万元．5=2【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．39.如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F是BC上的两点，且∠EAF=45°，求证：222+=BE CF EF．【难度】★★★【解析】过C 作CG ⊥BC ，使CG CE =，连接AG 、FG ．∵∠BAC=90°，AB=AC ， ∴45B BCA ∠=∠=．∵CG ⊥BC ， ∴45ACG BCA ∠=∠=， ∴ACG B ∠=∠．∵AB=AC ，BE=CG ， ∴AEB AGC △≌△∴AE AG BAE CAG =∠=∠，．∵︒=∠45EAF ，∴︒=∠+∠45CAF BAE ，∴45CAF CAG ∠+∠=︒，即45FAG ∠=︒，∴GAF EAF ∠=∠∵AF AF =，AE AG =，∴AFG AFE △≌△， ∴EF GF =．在Rt CFG 中，由勾股定理，可得：222GF CG CF =+，又EF GF =，CG CE =，∴222+=BE CF EF ．【总结】本题综合性较强，本质上是对三角形的旋转，同时结合了勾股定理进行解题．40.如图，∆ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB 的度数．【难度】★★★【答案】150°．【解析】在BC 的下方作︒=∠60PBD ，在BD 上截取一点D ，使得BD=BP ，连接CD 、PD ∵︒=∠+∠60PBC ABP ，︒=∠+∠60PBC DBC ∴CBD ABP ∠=∠∵BC AB =，CBD ABP ∠=∠，BP BD = ∴CBD ABP ≌△△，∴3==AP CD∵︒=∠60PBD ，BP BD =，∴△BPD 为等边三角形，∴4==BP DP ．∵435DP DC PC ===，，，∴222PC DC DP =+，∴︒=∠90PDC∴︒=∠+∠=∠150PDC BDP BDC∵CBD ABP ≌△△，∴︒=∠=∠150BDC APB【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．41.如图，P 是凸四边形内一点，过点P 作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，已知AH=3，DH=4，DG=1，GC=5，CF=6，BF=4，且BE -AE=1，求四边形ABCD 的周长．【难度】★★★【答案】34．【解析】由勾股定理可得：22222PE AE PH AH AP +=+=，22222PF BF PE BE BP +=+=，22222PG CG CF PF CP +=+=，22222PH DH GP DG DP +=+=，等式相加后代入数据可得：2222222454163+++=+++AE BE ，整理得：2211BE AE -=，即()()11BE AE BE AE +-=，∵BE -AE=1，解得：65BE AE ==，． 所以周长为：3415646534+++++++=．【总结】考察勾股定理的应用，注意解题方法的合理选择．42.已知，如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，设AC=b ，BC=a ，AB=c ，CD=h ． 求证：（1）c h a b +>+；（2）以a b +、c h +、h 为三边可构成一个直角三角形．【难度】★★★【解析】（1）由等面积可知：ch ab =，∵222c b a =+，∴()ch c b ab a b a 222222+=++=+，()ch h c h c 2222++=+．∵ch h c ch c 22222++<+，∴()()22h c b a +<+，∴c h a b +>+．（2）∵()ch h c h c 2222++=+；()ab b a h b a h 222222+++=++，222c b a =+，ch ab = ∴()()222b a h h c ++=+，∴以a b +、c h +、h 为三边可构成一个直角三角形．【总结】考察勾股定理及其逆定理的应用、等面积法的综合应用．43.已知直角坐标平面内的点A （4，32）、B （6，3），在x 轴上求一点C ，使得△ABC 是等腰三角形．【难度】★★★ 【答案】10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，或()60C ，或()20C ，． 【解析】设()0C x ，，当CA=CB 时，∴()()222236234+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ，16107=x ，∴10704C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 当CA=AB 时，∴()2222223234+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x ，62或=x ，∴()60C ，或()20C ，； 当CB=AB 时，∴()222222336+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-x ，方程无解，所以不存在． 综上，满足条件的点C 的坐标为：10704C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()60C ，或()20C ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用，注意分类讨论．44.已知点A （4，0）、B （2，-1），点C 的坐标是（x ，2-x ），若△ABC 是等腰三角形，求C 的坐标．【难度】★★★【答案】7322C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或C -⎝⎭或C ⎝⎭或()11C -，或()42C -，． 【解析】由两点间距离公式，可得：AB =AC ，BC 当CA=CB 时，即()()()()222221224x x x x +--+-=-+-， 解得：27=x ，∴7322C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，； 当CA=AB 时，即()()22221224+=-+-x x ，解得：266266-+=或x ，∴C -⎝⎭或C ⎝⎭； 当CB=AB 时，即()()222221212+=+--+-x x ，解得：14x x ==或，所以()11C -，或()42C -，．综上，满足条件的C 点的坐标为：7322⎛⎫- ⎪⎝⎭，或⎝⎭或⎝⎭或()11-，或()42-，． 【总结】本题主要考察两点之间距离公式及勾股定理的应用，由于题目中并没有说明斜边是哪条边，因此要分类讨论。
七年级上册几何证明题
七年级上册几何证明题
好的，以下是一道七年级上册几何证明题：
题目：已知△ABC和直线l，过△ABC的顶点A，B分别作AB和AB的垂线
与直线l交于点P，Q。
求证：点P，Q在同一直线上。
为了证明点P，Q在同一直线上，我们可以按照以下步骤逐步推导：
第一步，由于过一点A有且只有一条直线与已知直线l垂直，所以点A、P、Q三点共线。
第二步，同理，由于过一点B有且只有一条直线与已知直线l垂直，所以点B、P、Q三点共线。
第三步，根据两点确定一条直线，我们知道A、B两点确定一条直线，而点P、Q都在该直线上，所以点P、Q在同一直线上。
综上，我们证明了过三角形的顶点作垂线与直线的交点在同一直线上。
初一下册期末考试几何压轴题全套整合
平行线的拐点问题1.如图,已知AB ∥CD ,点C 在点D 的右侧,∠ADC =︒70，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，BE ，DE 所在的直线交于点E ，点E 在AB ，CD 之间。
(1)如图1,点B 在点A 的左侧,若∠ABC =︒60，求∠BED 的度数? (2)如图2,点B 在点A 的右侧,若∠ABC =︒100，直接写出∠BED 的大小。
2.直线CD AB //，点P 在其所在平面上，且不在直线AB ，CD ，AC 上，设γβα=∠=∠=∠APC PCD PAB ,,（γβα,,均不大于︒180，且不小于︒0）（1）如图1，当点P 在两条平行直线AB ，CD 之间、直线AC 的右边时试确定γβα,,的数量关系； （2）如图2，当点P 在直线AB 的上面、直线AC 的右边时试确定γβα,,的数量关系； （3）γβα,,的数量关系除了上面的两种关系之外，还有其他的数量关系，请直接写出这些。
3.如图1,AB ∥CD ，EOF 是直线AB 、CD 间的一条折线。
(1)试证明：∠O =∠BEO +∠DFO .(2)如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO 、∠O 、∠P 、∠PFC 之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论。
(3)如果将折一次改为折三次,如图3,则∠BEO 、∠O 、∠P 、∠Q 、∠QFD 之间会满足怎样的数量关系(直接写出结果不需证明)4.如图1,CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∠EAC+∠ACE=90∘(1)请判断AB与CD的位置关系并说明理由；(2)如图2,在(1)的结论下,当∠E=90∘保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?(3)如图3,在(1)的结论下,P为线段AC上一定点,点Q为直线CD上一动点,当点Q在射线CD上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系?5.如图1,已知a∥b，点A. B在直线a上，点C. D在直线b上，且AD⊥BC于E.(1)求证：∠ABC+∠ADC=90∘；(2)如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD的度数；(3)如图3,P为线段AB上一点,I为线段BC上一点,连接PI,N为∠IPB的角平分线上一点,且∠NCD=12∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是___.中点分面积问题1.（1)如图1，已知△ABC，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，若△ABC的面积为16，则△ABD的面积是___，△EBD的面积是___.(2)如图2，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积为16，求△BEF的面积是多少?2.如图，△ABC中，点E是BC上的一点，BC＝3BE，点D是AC的中点，若S△ADF﹣S△BEF＝2．则S△ABC＝_____．3.问题解决：如图1,△ABC中,AF为BC边上的中线,则S△ABF=___S△ABC.问题探究：(1)如图2,CD,BE分别是△ABC的中线,S△BOC与S四边形ADOE相等吗?△ABC中,由问题解决的结论可得,S△BCD=12S△ABC,S△ABE=12S△ABC.∴S△BCD=S△ABE∴S△BCD−S△BOD=S△ABE−S△BOD即S△BOC=S四边形ADOE.(2)图2中,仿照(1)的方法,试说明S△BOD=S△COE.(3)如图3,CD,BE,AF分别是△ABC的中线,则S△BOC=___S△ABC,S△AOE=___S△ABC,S△BOD=___S△ABF.问题拓展：(1)如图4,E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC的中点,请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD的面积之间的数量关系：S阴影=___S四边形ABCD.(2)如图5,E、F. G、H分别为四边形ABCD的边AD、BC、AB、CD的中点,请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD的面积之间的数量关系：S阴影=___S四边形ABCD.凹多边形角度问题1.回答下列问题：（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，BO ，CO 分别为∠ABC 和∠ACB 的角平分线，则∠BOC=___； （2）如图2，在△ABC 中，∠A=60°，∠OBC=31∠ABC ，∠OCB=31∠ACB ，求出∠BOC 的度数； （3）在△ABC 中，∠A=60°，若BO ，CO 分别为△ABC 两个外角∠CBD 和∠BCP 的三等分线，请直接写出∠BOC 的度数．2.问题情景：如图1，△ABC 中，有一块直角三角板PMN 放置在△ABC 上（P 点在△ABC 内），使三角板PMN 的两条直角边PM 、PN 恰好分别经过点B 和点C ，试问∠ABP 与∠ACP 是否存在某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若∠A=40°，则∠ABC+∠ACB=___度，∠PBC+∠PCB=___度，∠ABP+∠ACP=___度． （2）类比探索：请探究∠ABP+∠ACP 与∠A 的关系；（3）类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN 的位置：使P 点在△ABC 外，三角板PMN 的两条直角边PM 、PN 仍然分别经过点B 和点C ，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．对称型（翻转）全等1.如图，已知AB =AD ，AC =AE ，∠1=∠2，求证：BC =DE .平移型全等1.如图，AD=CB，E. F是AC上两动点，且有DE=BF.(1)若点E. F运动至如图(1)所示的位置,且有AF=CE,求证：△ADE≌△CBF；(2)若点E. F运动至如图(2)所示的位置,仍有AF=CE,则△ADE≌△CBF还成立吗?为什么?(3)若点E. F不重合，则AD和CB平行吗?请说明理由。
初一下册期末考试几何压轴题大全【范本模板】
平行线的拐点问题1。
如图，已知AB ∥CD ，点C 在点D 的右侧,∠ADC =︒70，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ,BE ，DE 所在的直线交于点E ，点E 在AB ，CD 之间。
(1)如图1，点B 在点A 的左侧,若∠ABC =︒60，求∠BED 的度数?（2)如图2,点B 在点A 的右侧，若∠ABC =︒100，直接写出∠BED 的大小。
2。
直线CD AB //，点P 在其所在平面上，且不在直线AB,CD ，AC 上,设γβα=∠=∠=∠APC PCD PAB ,,（γβα,,均不大于︒180，且不小于︒0）(1）如图1，当点P 在两条平行直线AB,CD 之间、直线AC 的右边时试确定γβα,,的数量关系；（2）如图2，当点P 在直线AB 的上面、直线AC 的右边时试确定γβα,,的数量关系；（3)γβα,,的数量关系除了上面的两种关系之外，还有其他的数量关系，请直接写出这些。
3.如图1,AB ∥CD ,EOF 是直线AB 、CD 间的一条折线。
(1)试证明：∠O =∠BEO +∠DFO .(2)如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO 、∠O 、∠P 、∠PFC 之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论.(3)如果将折一次改为折三次，如图3,则∠BEO 、∠O 、∠P 、∠Q 、∠QFD 之间会满足怎样的数量关系（直接写出结果不需证明)4.如图1，CE 平分∠ACD ，AE 平分∠BAC ,∠EAC +∠ACE =90∘（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；(2）如图2,在（1)的结论下，当∠E=90∘保持不变，移动直角顶点E,使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时,问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?(3)如图3，在（1)的结论下,P为线段AC上一定点,点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系?5.如图1,已知a∥b，点A。
（完整版）初中七年级下册期末几何压轴题数学附答案（一）
一、解答题1．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，边长为2的正方形ABCD（点D与点O重合）和边长为4的正方形EFGH的边CO和GH都在x轴上，且点H坐标为（7，0）．正方形ABCD以3个单位长度/秒的速度沿着x轴向右运动，记正方形ABCD和正方形EFGH重叠部分的面积为S，假设运动时间为t秒，且t＜4．（1）点F的坐标为；（2）如图2，正方形ABCD向右运动的同时，动点P在线段FE上，以1个单位长度/秒的速度从F到E运动．连接AP，AE．①求t为何值时，AP所在直线垂直于x轴；②求t为何值时，S＝S△APE．2．已知点C在射线OA上．（1）如图①，CD//OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD 与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．3．直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP，CP．（1）如图①，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数；（2）如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，点P 在直线CD 下方，当∠BAK ＝23∠BAP ，∠DCK ＝23∠DCP 时，写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系，并说明理由．4．如图，已知//AB CD ，CN 是BCE ∠的平分线． （1）若CM 平分BCD ∠，求MCN ∠的度数；（2）若CM 在BCD ∠的内部，且CM CN ⊥于C ，求证：CM 平分BCD ∠；（3）在（2）的条件下，过点B 作BP BQ ⊥，分别交CM 、CN 于点P 、Q ，PBQ ∠绕着B 点旋转，但与CM 、CN 始终有交点，问：BPC BQC ∠+∠的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．5．综合与探究 （问题情境）王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，//EF MN ，点A 、B 分别为直线EF 、MN 上的一点，点P 为平行线间一点，请直接写出PAF ∠、PBN ∠和APB ∠之间的数量关系；（问题迁移）（2）如图2，射线OM 与射线ON 交于点O ，直线//m n ，直线m 分别交OM 、ON 于点A 、D ，直线n 分别交OM 、ON 于点B 、C ，点P 在射线OM 上运动，①当点P 在A 、B （不与A 、B 重合）两点之间运动时，设ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．则CPD ∠，α∠，β∠之间有何数量关系？请说明理由．②若点P 不在线段AB 上运动时（点P 与点A 、B 、O 三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出CPD ∠，α∠，β∠之间的数量关系．6．已知：直线AB ∥CD ，直线MN 分别交AB 、CD 于点E 、F ，作射线EG 平分∠BEF 交CD 于G ，过点F 作FH ⊥MN 交EG 于H ． （1）当点H 在线段EG 上时，如图1 ①当∠BEG ＝36︒时，则∠HFG ＝ ．②猜想并证明：∠BEG 与∠HFG 之间的数量关系．（2）当点H 在线段EG 的延长线上时，请先在图2中补全图形，猜想并证明：∠BEG 与∠HFG 之间的数量关系．7．a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如:2的差倒数是1112=--，现已知a 1=12，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，… (1)求a 2，a 3，a 4的值；(2)根据(1)的计算结果，请猜想并写出a 2016•a 2017•a 2018的值； (3)计算：a 33+a 66+a 99+…+a 9999的值． 8．阅读下面文字：对于5231591736342⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可以如下计算：原式()()()5231591736342⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()5231591736342⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++-⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1014⎛⎫=+- ⎪⎝⎭114=-上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，计算： （1）115112744362⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）235120192018201720163462⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：现代社会会保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中,,,,,Q W E N M 这26个字母依次对应1,2,3,,25,26这26个自然数（见下表）．给出一个变换公式：(126,3)3217(126,31)318(126,32)3J J J xx x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=+≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩是自然数，被整除是自然数，被除余是自然数，被除余 将明文转成密文，如4+24+17=193⇒，即R 变为L ：11+111+8=123⇒，即A 变为S ．将密文转成成明文，如213(2117)210⇒⨯--=，即X 变为P ：133(138)114⇒⨯--=，即D 变为F ．（1）按上述方法将明文NET 译为密文．（2）若按上方法将明文译成的密文为DWN ，请找出它的明文． 10．观察下列两个等式：5532321,44133+=⨯-+=⨯-，给出定义如下：我们称使等式1a b ab +=-成立的一对有理数,a b 为“白马有理数对”，记为(,)a b ，如：数对5(3,2),4,3⎛⎫⎪⎝⎭都是“白马有理数对”．（1）数对3(2,1),5,2⎛⎫- ⎪⎝⎭中是“白马有理数对”的是_________；（2）若(,3)a 是“白马有理数对”，求a 的值；（3）若(,)m n 是“白马有理数对”，则(,)n m --是“白马有理数对”吗？请说明理由． （4）请再写出一对符合条件的“白马有理数对”_________（注意：不能与题目中已有的“白马有理数对”重复） 11．阅读下列解题过程：为了求23501222...2+++++的值，可设23501222...2S =+++++，则2345122222...2S =+++++，所以得51221S S -=-，所以5123505121:1222...221S =-+++++=-，即； 仿照以上方法计算：（1）2320191222...2+++++= . （2）计算：2320191333...3+++++ （3）计算：101102103200555...5++++12．对于有理数a 、b ，定义了一种新运算“※”为：()()223a b a b a b a b a b ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩※如：532537=⨯-=※，2131313=-⨯=-※． （1）计算：①()21-=※______；②()()43--=※______；（2）若313m x =-+※是关于x 的一元一次方程，且方程的解为2x =，求m 的值； （3）若3241A x x x =-+-+，3262B x x x =-+-+，且3A B =-※，求322x x +的值． 13．在平面直角坐标系中，已知线段AB ，点A 的坐标为()1,2-，点B 的坐标为()3,0，如图1所示.(1)平移线段A B 到线段C D ，使点A 的对应点为，点B 的对应点为C ，若点C 的坐标为()2,4-，求点D 的坐标；(2)平移线段A B 到线段C D ，使点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第二象限内(A 与D 对应， B 与C 对应)，连接BC BD ，，如图2所示.若(7BCD BCD S S ∆∆=表示△BCD 的面积)，求点C 、D 的坐标；(3)在(2)的条件下，在y 轴上是否存在一点P ，使(23PCD PCD BCD S S S ∆∆∆=表示△PCD 的面积)？若存在，求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由.14．已知，AB ∥CD ，点E在CD 上，点G ，F 在AB 上，点H 在AB ，CD 之间，连接FE ，EH ，HG ，∠AGH ＝∠FED ，FE ⊥HE ，垂足为E ． （1）如图1，求证：HG ⊥HE ；（2）如图2，GM 平分∠HGB ，EM 平分∠HED ，GM ，EM 交于点M ，求证：∠GHE ＝2∠GME ；（3）如图3，在（2）的条件下，FK 平分∠AFE 交CD 于点K ，若∠KFE ：∠MGH ＝13：5，求∠HED 的度数．15．如图，在平面直角坐标系中，点()26A ，，()4,3B ，将线段AB 进行平移，使点A 刚好落在x 轴的负半轴上，点B 刚好落在y 轴的负半轴上，A ，B 的对应点分别为A '，B '，连接AA '交y 轴于点C ，BB '交x 轴于点D ．（1）线段A B ''可以由线段AB 经过怎样的平移得到？并写出A '，B '的坐标； （2）求四边形AA BB ''的面积；（3）P 为y 轴上的一动点（不与点C 重合），请探究PCA '∠与A DB ''∠的数量关系，给出结论并说明理由．16．对于平面直角坐标系xOy 中的任意两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，给出如下定义： 将|x 1﹣x 2|称为点M ，N 之间的“横长”，|y 1﹣y 2|称为点M ，N 之间的纵长”，点M 与点N的“横长”与“纵长”之和称为“折线距离”，记作d (M ，N )=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|“．例如：若点M (﹣1，1)，点N (2，﹣2)，则点M 与点N 的“折线距离”为：d (M ，N )=|﹣1﹣2|+|1﹣(﹣2)|=3+3=6． 根据以上定义，解决下列问题： 已知点P (3，2)．（1）若点A (a ，2)，且d (P ，A )=5，求a 的值；（2）已知点B (b ，b )，且d (P ，B )＜3，直接写出b 的取值范围；（3）若第一象限内的点T 与点P 的“横长”与“纵长”相等，且d (P ，T )＞5，简要分析点T 的横坐标t 的取值范围．17．如图1，在直角坐标系中直线AB 与x 、y 轴的交点分别为(),0A a ，()0,B b ，且满足80a b a b ++-+=.（1）求a 、b 的值；（2）若点M 的坐标为()1,m 且2ABMAOMSS=，求m 的值；（3）如图2，点P 坐标是()1,2--，若ABO 以2个单位/秒的速度向下平移，同时点P 以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是t 秒，若点P 落在ABO 内部（不包含三角形的边），求t 的取值范围．18．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．已知两点(),0A a ，(), 0B b 且a 、b 满足430a b +-=；若四边形ABCD 为平行四边形，//CD AB 且CD AB = ，点()0,4C 在y轴上．（1）如图①，动点P 从C 点出发，以每秒2个单位长度沿y 轴向下运动，当时间t 为何值时，三角形ABP 的面积等于平行四边形ABCD 面积的四分之一；（2）如图②，当P 从O 点出发，沿y 轴向上运动，连接PD 、PA ，CDP ∠、APD ∠、PAB ∠存在什么样的数量关系，请说明理由（排除P 在O 和C 两点的特殊情况）．19．如图，α∠和β∠的度数满足方程组2230320αβαβ∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩，且//CD EF ，AC AE ⊥．（1）用解方程的方法求α∠和β∠的度数； （2）求C ∠的度数．20．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按a 元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，不超过的部分每立方米仍按a 元收费，超过的部分按c 元/米3收费，该市某用户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：月份 用水量(m 3)收费(元) 3 5 7.5 4 927系式；(2)已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费．21．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B b 满足|21|280a b a b --+-．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．22．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面、做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器，（1）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果将两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？（2）现有长方形铁片a 张，正方形铁片b 张，如果加工这两种容器若干个，恰好将两种铁片刚好全部用完．则a b +的值可能是（ ） A ．2019 B ．2020 C ．2021 D ．2022（3）给长方体容器加盖可以加工成铁盒．先工厂仓库有35张铁皮可以裁剪成长方形和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1张铁皮可裁剪出3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁剪出1张长方形铁片和2张正方形铁片．请问怎样充分利用这35张铁皮，最多可以加工成多少个铁盒?23．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm 40cm ⨯的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A 型与B 型两种板材．如图甲，（单位：cm ）（1）列出方程（组），求出图甲中a 与b 的值；（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A 型与B 型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．①两种裁法共产生A 型板材________张，B 型板材_______张；②已知①中的A 型板材和B 型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x 个，横式无盖礼品盒的y 个，求x 、y 的值．24．对a ，b 定义一种新运算T ，规定：T （a ，b ）＝（a +2b ）（ax +by ）（其中x ，y 均为非零实数）．例如：T （1，1）＝3x +3y ．（1）已知T （1，﹣1）＝0，T （0，2）＝8，求x ，y 的值；（2）已知关于x ，y 的方程组()()113028T a T a ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，，，若a ≥﹣2，求x +y 的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A （x ，y ）落在坐标轴上，将线段OA 沿x 轴向右平移2个单位，得线段O ′A ′，坐标轴上有一点B 满足三角形BOA ′的面积为9，请直接写出点B 的坐标．25．某小区准备新建60个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建2个地上停车位和3个地下停车位共需1.7万元：新建4个地上停车位和2个地下停车位共需1.4万元， （1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元?（2）若该小区新建车位的投资金额超过14万元而不超过15万元，问共有几种建造方案? （3）对（2）中的几种建造方案中，哪种方案的投资最少?并求出最少投资金额. 26．阅读材料：关于x ，y 的二元一次方程ax+by=c 有一组整数解00x x y y =⎧⎨=⎩，则方程ax+by=c 的全部整数解可表示为00x x bty y at =-⎧⎨=+⎩（t 为整数）．问题：求方程7x+19y=213的所有正整数解．小明参考阅读材料，解决该问题如下：解：该方程一组整数解为0069x y =⎧⎨=⎩，则全部整数解可表示为61997x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为整数）．因为61909+70.tt->⎧⎨>⎩，解得96719t-<<．因为t为整数，所以t=0或-1．所以该方程的正整数解为69xy=⎧⎨=⎩和252xy=⎧⎨=⎩．（1）方程3x-5y=11的全部整数解表示为：253x ty tθ=+⎧⎨=+⎩（t为整数），则θ= ；（2）请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解；（3）方程19x+8y=1908的正整数解有多少组? 请直接写出答案．27．小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．（1）若小语用长40cm，宽34cm的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒200元购进一批茶叶，按进价增加18%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了6元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利1800元，求这批茶叶共进了多少盒？28．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；①240523xx-=⎧⎨-⎩＜；②5323233124x xx x--⎧=-⎪⎪⎨+-⎪-⎪⎩＜．（2）若关于x 的组合515032x x a a +=⎧⎪⎨-⎪⎩＞是“有缘组合”，求a 的取值范围； （3）若关于x 的组合5323212a x x a x a x a -⎧-=-⎪⎪⎨-⎪+≤+⎪⎩是“无缘组合”；求a 的取值范围． 29．如图，数轴上两点A 、B 对应的数分别是－1，1，点P 是线段AB 上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q ，满足|PQ |＝2，那么我们把这样的点Q 表示的数称为连动数，特别地，当点Q 表示的数是整数时我们称为连动整数．（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）（2）若k 使得方程组321431x y k x y k +=+⎧⎨+=-⎩中的x ，y 均为连动数，求k 所有可能的取值； （3）若关于x 的不等式组263332x x x x a -⎧>-⎪⎪⎨+⎪≤-⎪⎩的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a 的取值范围．30．在平面直角坐标系中，已知长方形，点，. （1）如图，有一动点在第二象限的角平分线上，若，求的度数； （2）若把长方形向上平移，得到长方形. ①在运动过程中，求的面积与的面积之间的数量关系； ②若，求的面积与的面积之比.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）（3，4）；（2）①t =32时，AP 所在直线垂直于x 轴；②当t 为107或145时，S ＝S △APE ．【分析】（1）根据直角坐标系得出点F 的坐标即可；（2）①根据AP 所在直线垂直于x 轴，得出关于t 的方程，解答即可；②分713t ≤≤和71033t ≤≤两种情况，利用面积公式列出方程即可求解． 【详解】（1）由直角坐标系可得：F 坐标为：（3，4）；故答案为：（3，4）；（2）①要使AP 所在直线垂直于x 轴．如图1，只需要P x ＝A x ， 则 t +3＝3t ，解得：32t =，所以即32t =时，AP 所在直线垂直于x 轴；②由题意知，OH ＝7，所以当73t =时，点D 与点H 重合，所以要分以下两种情况讨论： 情况一：当713t ≤≤时， GD ＝3t ﹣3，PF ＝t ，PE ＝4﹣t ， ∵S ＝S △APE ， ∴BC ×GD ＝()12y y PE E A ⨯-， 即：2×（3t ﹣3）＝()1422t -⨯， 解得：107t =； 情况二：当71033t ≤≤时，如图2，HD ＝3t ﹣7，PF ＝t ，PE ＝4﹣t ，∵S ＝S △APE ，∴BC ×CH ＝()12y y PE E A ⨯-， 即：2×[2﹣（3t ﹣7）]＝()1422t -⨯， 解得：145t =， 综上所述，当t 为107或145时，S ＝S △APE ． 【点睛】 本题考查了平面直角坐标系中点的移动，一元一次方程的应用等问题，理解题意，分类讨论是解题关键．2．（1）150°；（2）∠OCD +∠BO ′E ′=360°-α；（3）∠AOB =∠BO ′E ′【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠AOE 的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE 的度数；（2）如图②，过O 点作OF ∥CD ，根据平行线的判定和性质可得∠OCD 、∠BO ′E ′的数量关系；（3）由已知推出CP ∥OB ，得到∠AOB +∠PCO =180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD =2∠PCO =360°-2∠AOB ，根据（2）∠OCD +∠BO ′E ′=360°-∠AOB ，进而推出∠AOB =∠BO ′E ′．【详解】解：（1）∵CD ∥OE ，∴∠AOE =∠OCD =120°，∴∠BOE =360°-∠AOE -∠AOB =360°-90°-120°=150°；（2）∠OCD +∠BO ′E ′=360°-α．证明：如图②，过O 点作OF ∥CD ，∵CD∥O′E′，∴OF∥O′E′，∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′．证明：∵∠CPO′=90°，∴PO′⊥CP，∵PO′⊥OB，∴CP∥OB，∴∠PCO+∠AOB=180°，∴2∠PCO=360°-2∠AOB，∵CP是∠OCD的平分线，∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB，∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB，∴∠AOB=∠BO′E′．【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键．3．（1）80°；（2）∠AKC＝12∠APC，理由见解析；（3）∠AKC＝23∠APC，理由见解析【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝12∠BAP+12∠DCP＝12（∠BAP+∠DCP）＝12∠APC，进而得到∠AKC＝12∠APC；（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据已知得出∠BAK﹣∠DCK＝23∠BAP﹣23∠DCP＝23∠APC，进而得到∠BAK﹣∠DCK＝23∠APC．【详解】（1）如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；（2）∠AKC＝12∠APC．理由：如图2，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠BAK+∠DCK＝12∠BAP+12∠DCP＝12（∠BAP+∠DCP）＝12∠APC，∴∠AKC＝12∠APC；（3）∠AKC＝23∠APC理由：如图3，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAK＝23∠BAP，∠DCK＝23∠DCP，∴∠BAK﹣∠DCK＝23∠BAP﹣23∠DCP＝23（∠BAP﹣∠DCP）＝23∠APC，∴∠AKC＝23∠APC．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算．4．（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180°【分析】（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；（2）根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解；（3）180BPC BQC ∠+∠=︒，过Q ，P 分别作//QG AB ，//PH AB ，根据平行线的性质及平角的定义即可得解．【详解】解（1）CN ，CM 分别平分BCE ∠和BCD ∠， 12BCN BCE ∴=∠，12BCM BCD ∠=∠， 180BCE BCD ∠+∠=︒，111()90222MCN BCN BCM BCE BCD BCE BCD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒； （2）CM CN ⊥，90MCN ∴∠=︒，即90BCN BCM ∠+∠=︒，22180BCN BCM ∴∠+∠=︒，CN 是BCE ∠的平分线，2BCE BCN ∴∠=∠，2180BCE BCM ∴∠+∠=︒，又180BCE BCD ∠+∠=︒，2BCD BCM ∴∠=∠，又CM 在BCD ∠的内部，CM ∴平分BCD ∠；（3）如图，不发生变化，180BPC BQC ∠+∠=︒，过Q ，P 分别作//QG AB ，//PH AB ，则有//////QG AB PH CD ，BQG ABQ ∴∠=∠，CQG ECQ ∠=∠，BPH FBP ∠=∠，CPH DCP ∠=∠，⊥BP BQ ，CP CQ ⊥，90PBQ PCQ ∴∠=∠=︒，180ABQ PBQ FBP ∠+∠+=︒，180ECQ PCQ DCP ∠+∠+∠=︒，180ABQ FBP ECQ DCP ∴∠+∠+∠+∠=︒，BPC BQC BPH CPH BQG CQG ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠180ABQ FBP ECQ DCP =∠+∠+∠+∠=︒，180BPC BQC ∴∠+∠=︒不变．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键． 5．（1）360PAF PBN APB ∠+∠+∠=°；（2）①CPD αβ∠=∠+∠，理由见解析；②图见解析，CPD βα∠=∠-∠或CPD αβ∠=∠-∠【分析】（1）作PQ ∥EF ，由平行线的性质，即可得到答案；（2）①过P 作//PE AD 交CD 于E ，由平行线的性质，得到DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得到答案；②根据题意，可对点P 进行分类讨论：当点P 在BA 延长线时；当P 在BO 之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．【详解】解：（1）作PQ ∥EF ，如图：∵//EF MN ，∴////EF MN PQ ，∴180PAF APQ ∠+∠=°，180PBN BPQ ∠+∠=°，∵APB APQ BPQ ∠=∠+∠∴360PAF PBN APB ∠+∠+∠=°；（2）①CPD αβ∠=∠+∠；理由如下：如图，过P 作//PE AD 交CD 于E ，∵//AD BC ，∴////AD PE BC ，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD DPE CPE αβ∠=∠+∠=∠+∠；②当点P 在BA 延长线时，如备用图1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=β，∠EPD=α，∴CPDβα∠=∠-∠；当P在BO之间时，如备用图2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=α，∠CPE=β，∴CPDαβ∠=∠-∠．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．6．（1）①18°；②2∠BEG+∠HFG=90°，证明见解析；（2）2∠BEG-∠HFG=90°证明见解析部【分析】（1）①证明2∠BEG+∠HFG=90°，可得结论．②利用平行线的性质证明即可．（2）如图2中，结论：2∠BEG-∠HFG=90°．利用平行线的性质证明即可．【详解】解：（1）①∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG，∵FH⊥EF，∴∠EFH=90°，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，∴2∠BEG+∠HFG=90°，∵∠BEG=36°，∴∠HFG=18°．故答案为：18°．②结论：2∠BEG+∠HFG=90°．理由：∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG，∵FH⊥EF，∴∠EFH=90°，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，∴2∠BEG+∠HFG=90°．（2）如图2中，结论：2∠BEG-∠HFG=90°．理由：∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG，∵FH⊥EF，∴∠EFH=90°，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴2∠BEG+90°-∠HFG=180°，∴2∠BEG-∠HFG=90°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（1）a2=2，a3=-1，a4=1 2（2）a2016•a2017•a2018= -1（3）a33+a66+a99+…+a9999=-1【分析】(1)将a1=12代入11a中即可求出a2，再将a2代入求出a3，同样求出a4即可.(2)从（1）的计算结果可以看出，从a1开始，每三个数一循环，而2016÷3=672，则a2016=-1,a 2017=12,a 2018=2然后计算a 2016•a 2017•a 2018的值； (3)观察可得a 3、a 6、a 9、…a 99，都等于-1，将-1代入，即可求出结果.【详解】（1）将a 1=12，代入11a -，得21=211-2a = ； 将a 2=2，代入11a -，得31=-11-2a =； 将a 3=-1，代入11a -，得411=1--12a =（）. （2）根据(1)的计算结果，从a 1开始，每三个数一循环， 而2016÷3=672，则a 2016=-1,a 2017=12 ,a 2018=2 所以，a 2016•a 2017•a 2018=（-1）×12×2= -1 （3）观察可得a 3、a 6、a 9、…a 99，都等于-1，将-1代入，a 33+a 66+a 99+…+a 9999=（-1）3+（-1）6+（-1）9+…+（-1）99=（-1）+1+（-1）+…(-1)=-1【点睛】此类问题考查了数字类的变化规律，解题的关键是要严格根据定义进行解答，同时注意分析循环的规律．8．（1）14-（2）124- 【分析】（1）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答；（2）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答.【详解】（1）115112744362⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()115112744362⎛⎫=--+-+--+- ⎪⎝⎭ 104⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 14=- （2）原式()235120192018201720163462⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 124⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭124=- 【点睛】此题考察新计算方法，正确理解题意是解题的关键，根据例子即可仿照计算.9．（1）N,E,T 密文为M,Q,P;（2）密文D,W,N 的明文为F,Y ,C ．【分析】(1) 由图表找出N,E,T 对应的自然数,再根据变换公式变成密文.(2)由图表找出N=M,Q,P 对应的自然数，再根据变换.公式变成明文.【详解】解：（1）将明文NET 转换成密文：2522517263N M +→→+=→ 3313E Q →→=→ 5158103T P +→→+=→ 即N,E,T 密文为M,Q,P;（2）将密文D,W,N 转换成明文：()133138114D F →→⨯--=→2326W Y →→⨯=→253(2517)222N C →→⨯--=→即密文D,W,N 的明文为F,Y ,C ．【点睛】本题考查有理数的混合运算，此题较复杂，解答本题的关键是由图表中找到对应的数或字母，正确运用转换公式进行转换．10．（1）35,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）2；（3）不是；（4）（6，75） 【分析】（1）根据“白马有理数对”的定义，把数对3(2,1),5,2⎛⎫- ⎪⎝⎭分别代入1a b ab +=-计算即可判断；（2）根据“白马有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；（3）根据“白马有理数对”的定义即可判断；（4）根据“白马有理数对”的定义即可解决问题．【详解】（1）∵-2+1=-1，而-2×1-1=-3，∴-2+1≠-3，∴（-2，1）不是“白马有理数对”，∵5+32=132，5×32-1=132，∴5+32=5×32-1， ∴35,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是“白马有理数对”， 故答案为：35,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）若(,3)a 是“白马有理数对”，则a+3=3a-1，解得：a=2，故答案为：2；（3）若(,)m n 是“白马有理数对”，则m+n=mn-1，那么-n+（-m ）=-（m+n ）=-（mn-1）=-mn+1，∵-mn+1≠ mn-1∴（-n ，-m ）不是“白马有理数对”，故答案为：不是；（4）取m=6，则6+x=6x-1，∴x=75，∴（6，75）是“白马有理数对”，故答案为：（6，75）．【点睛】本题考查了“白马有理数对”的定义，有理数的加减运算，一次方程的列式求解，理解“白马有理数对”的定义是解题的关键．11．（1）202021-；（2）2020312-；（3）201101554-. 【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可．【详解】解：（1）根据2350511222...221+++++=-得：2320191222...2+++++=202021-（2）设2320191333...3S =+++++，则234202033333...3S =+++++，∴2020331S S -=-， ∴2020312S -= 即：2020232019311333 (32)-+++++= （3）设232001555...5S =+++++，则23420155555...5S =+++++，∴201551S S -=-， ∴201514S -= 即：20123200511555 (5)4-+++++= 同理可求⸫10123100511555 (54)-+++++= ∵1011021032002320023100555...51555...5)(1555...5)++++=+++++-+++++（ 201101201101101102103200515155555 (5444)---∴++++=-= 【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．12．（1）①5；②2-；（2）1；（3）16．【分析】(1)根据题中定义代入即可得出；(2)根据2x =，讨论3和 m 的两种大小关系，进行计算；(3)先判定A 、B 的大小关系，再进行求解．【详解】（1）根据题意：∵21>-，∴()()212215-=⨯--=※，∵43-<-，∴()()()243434223--=--⨯-=-+=-※． （2）∵2x =，∴31325m =-+⨯=※，① 若3m >，则235m ⨯-=，解得1m =，②若3m <， 则2353m -⨯=，解得3m =-(不符合题意)， ∴1m =．（3）∵()()323224162210A B x x x x x x x -=-+-+--+-+=--<，∴A B <， ∴()3232224162333A B A B x x x x x x =-=-+-+--+-+=-※， 得380x x +-=，∴3222816x x +=⨯=．【点睛】本题考查了一种新运算，读懂题意掌握新运算并能正确化简是解题的关键．13．(1)()4,2D -；(2)()()0422C D -，、，；(3)存在点P ，其坐标为20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或260,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据S △BCD =7（S △BCD 建立方程求解，即可）； （3）设出点P 的坐标，表示出PC 用PCD BCD S 2S 3=，建立方程求解即可． 【详解】(1)∵B(3，0)平移后的对应点()2,4C -，∴设3204a b +=-+=，， ∴54a b =-=， 即线段AB 向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到线段CD ，∴A 点平移后的对应点()4,2D -；(2)∵点C 在y 轴上，点D 在第二象限，∴线段AB 向左平移3个单位，再向上平移y 个单位，∴()()022C y D y --+，，， 连接OD ，BCD BOC COD BOD S S S S =+-=1112(2)7222OB OC OC OB y ⨯+⨯-⨯-+=，∴4y = ∴()()0422C D -，、，； (3)存在设点()0P m ，，∴4PC m =- ∵23PCD BCD S S ∆=， ∴12|4|2723m -⨯=⨯ ∴14|4|3m -=， ∴22633m m =-=或 ∴存在点P ，其坐标为20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或260,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了线段平移的性质，解题的关键在利用平移的性质，得到点坐标的关系、图形面积的关系，根据面积的关系，从而求出点的坐标.14．（1）见解析；（2）见解析；（3）40°【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；（2）过点H 作HP ∥AB ，根据平行线的性质解答即可；（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．【详解】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE；（2）过点M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，过点H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠HGB，∠BGH，∴∠BGM＝∠HGM＝12∵EM平分∠HED，∴∠HEM＝∠DEM＝1∠HED，2∵MQ∥AB，∴∠BGM＝∠GMQ，∵MQ∥CD，∴∠QME＝∠MED，∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，∵HP∥AB，∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，∵HP∥CD，∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），∴∠GHE＝∠2GME；（3）过点M 作MQ ∥AB ，过点H 作HP ∥AB ，由∠KFE ：∠MGH ＝13：5，设∠KFE ＝13x ，∠MGH ＝5x ，由（2）可知：∠BGH ＝2∠MGH ＝10x ，∵∠AFE +∠BFE ＝180°，∴∠AFE ＝180°﹣10x ，∵FK 平分∠AFE ，∴∠AFK ＝∠KFE ＝12 ∠AFE ， 即1(18010)132x x ︒-=， 解得：x ＝5°，∴∠BGH ＝10x ＝50°，∵HP ∥AB ，HP ∥CD ，∴∠BGH ＝∠GHP ＝50°，∠PHE ＝∠HED ，∵∠GHE ＝90°，∴∠PHE ＝∠GHE ﹣∠GHP ＝90°﹣50°＝40°，∴∠HED ＝40°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线是解题的关键．15．（1）向左平移4个单位，再向下平移6个单位，(2,0)A '-，(0,3)B '-；（2）24；（3）见解析【分析】（1）利用平移变换的性质解决问题即可．（2）利用分割法确定四边形的面积即可．（3）分两种情形：点P 在点C 的上方，点P 在点C 的下方，分别求解即可．【详解】解：（1）点(2,6)A ，(4,3)B ， 又将线段AB 进行平移，使点A 刚好落在x 轴的负半轴上，点B 刚好落在y 轴的负半轴上，∴线段A B ''是由线段AB 向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，(2,0)A ，(0,3)B '-．（2）11692232642422ABB A S ''=⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=四边形．（3）连接AD ．(4,3)B ，(0,3)B '-，BB ∴'的中点坐标为(2,0)在x 轴上，(2,0)D ∴．)6(2,A ，//AD y ∴轴，同法可证(0,3)C ，OC OB ∴='，AO CB '⊥'，AC A B ∴'=''，同法可证，B A B D ''='，A DB DA B ∴∠'=∠''，ACBA B C ∠''=∠''， 当点P 在点C 的下方时，180PCA ACB ∠'+∠''=︒，90A B C DA B ∠''+∠''=︒，90180PCA A DB ∴∠'+︒-∠''=︒，'''90PCA A DB ∴∠-∠=︒，当点P 在点C 的上方时，'''90PCA A DB ∠+∠=︒．【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是理解题意，学会有分割法求四边形的面积，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．16．（1）a =﹣2或a =8；（2）1＜b ＜4；（3）t 112>或0＜t 12<． 【分析】（1）将点P 与点A 代入d （M ，N ）＝|x 1−x 2|＋|y 1−y 2|即可求解；（2）将点B 与点P 代入d （M ，N ）＝|x 1−x 2|＋|y 1−y 2|，得到d （P ，B ）＝|3−b|＋|2−b|，分三种情况去掉绝对值符号进行化简，有当b ＜2 时，d （P ，B ）＝3−b ＋2−b ＝5−2b ＜3；当2≤b≤3时，d （P ，B ）＝3−b ＋b−2＝1＜3；当b ＞3时，d （P ，B ）＝b−3＋b−2＝2b−5＜3；（3）设T 点的坐标为（t ，m ），由点T 与点P 的“横长”与“纵长”相等，得到|t−3|＝|m−2|，得到t 与m 的关系式，再由T 在第一象限，d （P ，T ）＞5，结合求解即可．【详解】（1）∵点P (3，2)，点A (a ，2)，∴d (P ，A )=|3﹣a |+|2﹣2|=5，∴a =﹣2或a =8；（2）∵点P (3，2)，点B (b ，b )，∴d (P ，B )=|3﹣b |+|2﹣b |，当b ＜2 时，d (P ，B )=3﹣b +2﹣b =5﹣2b ＜3，∴b ＞1，∴1＜b ＜2；当2≤b ≤3时，d (P ，B )=3﹣b +b ﹣2=1＜3成立，∴2≤b ≤3；当b ＞3时，d (P ，B )=b ﹣3+b ﹣2=2b ﹣5＜3，∴b ＜4，∴3＜b ＜4；综上所述：1＜b ＜4；（3）设T 点的坐标为(t ，m )，点T 与点P 的“横长”=|t ﹣3|，点T 与点P 的“纵长”=|m ﹣2|．∵点T 与点P 的“横长”与“纵长”相等，∴|t ﹣3|=|m ﹣2|，∴t ﹣3=m ﹣2或t ﹣3=2﹣m ，∴m =t ﹣1或m =5﹣t ．∵点T 是第一象限内的点，∴m ＞0，∴t ＞1或t ＜5，又∵d (P ，T )＞5，∴2|t ﹣3|＞5，∴t 112＞或t 12＜， ∴t 112＞或0＜t 12＜． 【点睛】本题考查平面内点的坐标，新定义；能够将定义内容转化为绝对值不等式，再将绝对值不等式根据绝对值的意义转化为一元一次不等式的求解是解题的关键．17．（1）4a =-，4b =；（2）5m =-或53m =；（3）513t << 【分析】（1）根据非负数和为0，则每一个非负数都是0，即可求出a ，b 的值；（2）设直线AB 与直线x ＝1交于点N ，可得N （1，5），根据S △ABM ＝S △AMN −S △BMN ，即可表示出S △ABM ，从而列出m 的方程．（3）根据题意知，临界状态是点P 落在OA 和AB 上，分别求出此时t 的值，即可得出范围．【详解】（1）∵80a b -+=0，80a b -+≥∴0a b +=，80a b -+=解得：4a =-，4b =（2）设直线AB 与直线1x =交于N ，设()1,N n∵a ＝−4，b ＝4，∴A （−4，0），B （0，4），设直线AB 的函数解析式为：y ＝kx ＋b ，代入得044k b b =-+⎧⎨=⎩，解得14k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 的函数解析式为：y ＝x ＋4，代入x =1得()1,5N∵()1,M m∴ABM AMN BMN S S S =-△△△＝12×5×|5−m |−12×1×|5−m |＝2|5−m |，1422AOM S m m =⨯⨯=△ ∵2ABM AOM S S =∴2522m m -=⨯∴52m m -=或52m m -=-解得：5m =-或53m =，（3）当点P 在OA 边上时，则2t ＝2，∴t ＝1，当点P 在AB 边上时，如图，过点P 作PK //x 轴，AK ⊥x 轴交于K ， 则KP '＝3−t ，KA '＝2t −2，∴3−t ＝2t −2，∴53t = 综上所述：513t <<．【点睛】本题主要考查了平移的性质、一般三角形面积的和差表示、以及非负数的性质等知识点，第（2）问中用绝对值来表示动点构成的线段长度是正确解题的关键．18．（1）1或3；（2）∠APD =∠CDP +∠PAB 或∠APD =∠PAB -∠CDP ，理由见解析【分析】（1）由非负数的性质求出a ，b ，得到AB 的长，结合点C 坐标求出平行四边形ABCD 的面积，再根据ABP △的面积等于平行四边形ABCD 面积的14，列出方程，解之即可； （2）分点P 在线段OC 上和点P 在OC 的延长线上，两种情况，过P 作PQ ∥AB ，利用平行线的性质求解．【详解】解：（1）∵430a b +-=，∴a =-4，b =3，即A （-4，0），B （3，0），∴AB =3-（-4）=7，又C （0，4），∴OC =4，∴平行四边形ABCD 的面积=4×7=28，由题意可知：PC =2t ，则OP =42t -，∵ABP △的面积等于平行四边形ABCD 面积的14， ∴114272824t ⨯-⨯=⨯， 解得：t =1或t =3，（2）如图，当点P 在线段OC 上时，过P 作PQ ∥AB ，则PQ ∥CD ，∴∠CDP =∠DPQ ，∠APQ =∠PAB ，∴∠APD =∠DPQ +∠APQ =∠CDP +∠PAB ；。
2019年北师大版七年级下册数学期末复习：几何压轴题训练
2019年北师大版七年级下册期末复习：几何压轴题训练1．（2017秋•石景山区期末）如图，E是AC上一点，AB=CE，AB∥CD，∠ACB=∠D．求证：BC=ED．2．（2018•九龙坡区校级模拟）如图所示，已知AB∥CD，AB∥EF，若CE平分∠BCD，且∠ABC=52°，求∠CEF的度数．3．（2018秋•九龙坡区校级期中）如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于M、N两点，过点M作MG⊥MN交CD于G点，过点G作GH平分∠MGD，若∠EMB=40°，求∠MGH 的度数．4．（2018秋•沙坪坝区校级期中）如图，AB∥CD，点E在线段AB上，连接EC、ED、AD，且ED平分∠CEB，AD⊥EF，若∠ADC=42°，∠A-∠B=8°，求∠BDE的度数．5．（2018春•庐阳区期末）如图1，点E在直线AB上，点F在直线CD上，EG⊥FG．（1）若∠BEG+∠DFG=90°，请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的结论下，当EG⊥FG保持不变，EG上有一点M，使∠MFG=2∠DFG，则∠BEG与∠MFD存在怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图2，若移动点M，使∠MFG=n∠DFG，请直接写出∠BEG与∠MFD的数量关系．6．（2017秋•确山县期末）如图所示，∠B=25°，∠D=42°，∠BCD=67°，试判断AB和ED 的位置关系，并说明理由．7．（2018春•泰山区期中）如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2=90°．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．8．（2018秋•上杭县期中）如图，点D在△ABC的边AB上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，但不必写出作法）；（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．9．（2018春•相城区期中）将一副直角三角尺BAC和ADE如图放置，其中∠BAC=∠ADE=90°，∠BCA=30°，∠AED=45°，若∠AFD=75°，试判断AE与BC的位置关系，并说明理由．10．（2018春•容县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．已知∠DOE=2∠AOC，求证：OE⊥CD．11．（2018春•鱼台县期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能．阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．（1）阅读并补充下面推理过程解：过点A作ED∥BC，所以∠B=∠EAB，∠C=．又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，所以∠B+∠BAC+∠C=180°解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．方法运用：（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CF∥AB）深化拓展：（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°．点B在点A的左侧，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．12．（2018秋•连城县期中）已知：如图所示，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A+∠1=70°，求：∠D的度数．13．（2017秋•固始县期末）如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，若∠DEF=75°，则∠AED′等于多少？14．（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图，MN∥PQ，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作AC⊥AB交PQ于点C．过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，若∠NAC=32°，求∠ADB的度数．15．（2017秋•洛宁县期末）观察，在如图所示的各图中找对顶角（不含平角）：（1）如图a，图中共有对对顶角．（2）如图b，图中共有对对顶角．（3）如图c，图中共有对对顶角（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？（5）若有2000条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？16．（2017秋•孟津县期末）如图，AB、CD相交于点O，OE是∠AOD的平分找，∠AOC=25°，求∠BOE的度数．17．（2018春•长白县期中）如图所示，已知直线DE∥BC，GF⊥AB于点F，∠1=∠2，判断CD与AB的位置关系．并说明理由．18．（2017秋•永安市期末）直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点．设∠PFD=∠1，∠PEB=∠2，∠FPE=∠α．（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α=50°，则∠1+∠2=°；（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；（3）若点P在直线CD的下方，如图③，（2）中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．19．（2017秋•辉县市期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB相交于点P，与CD相交于点Q，且PM⊥EF，若∠1=68°，求∠2的度数．20．（2018春•罗庄区期中）如图，已知AB∥CD，EF∥MN，∠1=115°．（1）求∠2和∠4的度数；（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，试着用文字表述出来．（3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一角是另一个角的2倍多6°，求这两个角的大小．21．（2017秋•洛宁县期末）如图，直线AB∥CD，EF⊥CD，F为垂足，∠GEF=30°，求∠1的度数．22．（2018春•奉贤区期中）如图，已知，∠3=∠B，∠1+∠2=180°，∠AED=∠C大小相等吗？请说明理由．请完成填空并补充完整．解：因为∠1+∠2=180°（已知）又因为∠2+∠=180°（邻补角的意义）所以∠1=∠（）#JB23．（2018春•兰陵县期中）（1）探究：如图1，直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB 交BC于点F．若∠ABC=40°，求∠DEF的度数．（2）应用：如图2，直线AB、BC、AC两两相交，交点分别为点A、B、C，点D在线段AB的延长线上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F．若∠ABC=60°，求∠DEF的度数．24．（2018秋•綦江区校级月考）如图：已知EF∥AD，∠1=∠2，∠AGD=108°．求∠BAC 的度数．25．（2017秋•渝中区校级期末）如图1，已知A、O、B三点在同一直线上，射线OD、OE 分别平分∠AOC、∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如图2，在∠AOD内引一条射线OF⊥OC，其他不变，设∠DOF=a o（o o＜a＜90o）．a．求∠AOF的度数（用含a的代数式表示）；b．若∠BOD是∠AOF的2倍，求∠DOF的度数．26．（2018•九龙坡区校级模拟）如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，连接EF，EH平分∠BEF，交CD于点H，过F作FG⊥EF，交EH于点G，若∠G=32°，求∠HFG的度数．27．（2018春•大田县期中）如图，如果∠1=∠2，那么图中哪两条线段平行？请说明理由．28．（2018春•大田县期中）如图，AB∥CD，直线EF交AB于点G，交CD于点H，HM⊥CD 于点H，如果∠1=48°，求∠2的度数．29．（2018春•杏花岭区校级期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线M上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）∠CBD=（2）当点P运动到某处时，∠ACB=∠ABD，则此时∠ABC=（3）在点P运动的过程中，∠APB与∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．30．（2018秋•宁阳县期中）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2．求证：EF∥CD．31．（2017秋•南召县期末）阅读理解如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．（1）阅读并补充下面推理过程解：过点A作ED∥BC∴∠B=∠，∠C=∠．又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°（平角定义）∴∠B+∠BAC+∠C=180°从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．小明受到启发，过点C作CF∥AB如图所示，请你帮助小明完成解答：（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°．BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=60°，则∠BED的度数为°．②如图4，点B在点A的右侧，且AB＜CD，AD＜BC．若∠ABC=n°，则∠BED的度数为°（用含n的代数式表示）32．（2018春•西城区校级期中）如图，∠1=∠2，AB∥EF，求证：∠3=∠4．33．（2017秋•惠阳区期末）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠EAB=110°，∠C=60°，点D在GH上，求∠BDC的度数．34．（2017秋•南召县期末）操作：如图，直线AB与CD交于点O，按要求完成下列问题．（1）用量角器量得∠AOC=度．AB与CD的关系可记作．（2）画出∠BOC的角平分线OM，∠BOM=∠=度．（3）在射线OM上取一点P，画出点P到直线AB的距离PE．（4）如图若按“上北下南左西右东”的方位标记，请画出表示“南偏西30°”的射线OF．35．（2018春•北海期末）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE：∠AOD=1：3，∠COB：∠DOF=3：4，求∠DOE的度数．36．（2017秋•淅川县期末）观察发现：已知AB∥CD，点P是平面上一个动点．当点P在直线AB、CD的异侧，且在BC（不与点B、C重合）上时，如图（1），容易发现：∠ABP+∠DCP=∠BPC．拓展探究：（1）当点P位于直线AB、CD的异侧，且在BC左侧时，如图（2），∠ABP、∠DCP、∠BPC之间有何关系？并说明理由．（2）当点P位于直线AB、CD的异侧，且在BC右侧时，如图（3），直接写出∠ABP、∠DCP、∠BPC之间关系．（3）当点P位于直线AB、CD的同侧，如图（4），直接写出∠ABP、∠DCP、∠BPC之间关系．37．（2018春•上饶县期末）（1）如图1，AM∥CN，求证：①∠MAB+∠ABC+∠BCN=360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN=540°；（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．38．（2017秋•金牛区校级期末）如图，已知AB∥CD，若∠C=35°，AB是∠FAD的平分线．（1）求∠FAD的度数；（2）若∠ADB=110°，求∠BDE的度数．39．（2017秋•新野县期末）（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED=∠1+∠2．（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．40．（2018春•上饶县期末）如图，已知∠1=∠2，AB∥EF．求证：∠A=∠E．。
七年级下册数学几何压轴题集锦 (2)
在矩形ABCD 中，点E 为BC 边上的一动点，沿AE 翻折，△ABE 与△AFE 重合，射线AF 与直线CD 交于点G 。
1、当BE ：EC=3：1时，连结EG ，若AB=6，BC=12，求锐角AEG 的正弦值。
2、以B 为原点，直线BC 和直线AB 分别为X 轴、Y 轴建立平面直角坐标系，AB=5,BC=8，当点E 从原点出发沿X 正半轴运动时，是否存在某一时刻使△AEG 成等腰三角形，若存在，求出点E 的坐标。
1、2a b m b a-+b+3=0=14.ABCA S如图，已知（0，），B （0，），C （，）且（4），o y =DC FD ADO ⊥∠∠∠（1）求C 点坐标（2）作DE ，交轴于E 点，EF 为AED 的平分线，且DFE 90。
求证：平分；（3）E 在y 轴负半轴上运动时，连EC ，点P 为AC 延长线上一点，EM 平分∠AEC ，且PM ⊥EM,PN ⊥x 轴于N 点，PQ 平分∠APN ，交x 轴于Q 点，则E 在运动过程中，MPQECA ∠∠的大小是否发生变化，若不变，求出其值。
2、如图1，AB//EF, ∠2=2∠1 (1)证明∠FEC=∠FCE;(2)如图2，M 为AC 上一点，N 为FE 延长线上一点，且∠FNM=∠FMN ，则∠NMC 与∠CFM 有何数量关系，并证明。
图1 图2 3、（1）如图，△ABC, ∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点E 、D ，若∠1=130°，∠2=110°，求∠A 的度数。
B C B C（2）如图，△ABC,∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点D,E 若∠1=110°，∠2=130°，求∠A 的度数。
4、如图，∠ABC+∠ADC=180°，OE 、OF 分别是角平分线，则判断OE 、OF 的位置关系为？5、已知∠A=∠C=90°.(1)如图，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关BCACFA系？说明你的理由。
初中几何证明经典压轴题
试卷第1页，总6页绝密★启用前2013-2014学年度???学校5月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释）试卷第2页，总6页第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题（题型注释）三、计算题（题型注释）四、解答题（题型注释）1．如图，扇形OAB 的半径为4，圆心角∠AOB=90°，点C 是AB 上异于点A 、B 的一动点，过点C 作CD ⊥OB 于点D ，作CE ⊥OA 于点E ，联结DE ，过O 点作OF ⊥DE 于点F ，点M 为线段OD 上一动点，联结MF ，过点F 作NF ⊥MF ，交OA 于点N ．（1 （2）设OM=x ，ON=y y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）在（2）的条件下，联结CF ，当△ECF 与△OFN 相似时，求OD 的长．2．如图，直线x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，以AC 为直径作⊙M ，点D 是劣弧AO 上一动点（D 点与A O ，不重合）．抛物线y=A 、C ，与x 轴交于另一点B ，试卷第3页，总6页（1）求抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，是︱PA —PC ︱的值最大；若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG ，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与⊙M 相切，并请说明理由．3．(1)如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE.求证：CE ＝CF ；(2)如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果∠GCE ＝45°，请你利用(1)的结论证明：GE ＝BE ＋GD ；(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，(BC>AD)，∠B ＝90°，AB ＝BC ，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，DE ＝10，求直角梯形ABCD 的面积．4．如图，△AEF 中，∠EAF=45°，AG ⊥EF 于点G ，现将△AEG 沿AE 折叠得到△AEB ，将△AFG 沿AF 折叠得到△AFD ，延长BE 和DF 相交于点C ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）连接BD 分别交AE 、AF 于点M 、N ，将△ABM 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADH ，试判断线段MN 、ND 、DH 之间的数量关系，并说明理由．（3）若EG=4，GF=6，BM=32，求AG 、MN 的长．5．如图，在直角梯形ABCD 中，∠D =∠BCD=90°，∠B=60°，AB = 6，AD = 9，点E 是CD 上的一个动点（E 不与D 重合），过点E 作EF ∥AC ，交AD 于点F （当E 运动到C 时，EF 与AC 重合），把△DEF 沿着EF 对折，点D 的对应点是点G,如图①．试卷第4页，总6页⑴ 求CD 的长及∠1的度数；⑵ 设DE = x ，△GEF 与梯形ABCD 重叠部分的面积为y ．求y 与x 之间的函数关系式，并求x 为何值时，y 的值最大?最大值是多少?⑶ 当点G 刚好落在线段BC 上时,如图②,若此时将所得到的△EFG 沿直线CB 向左平移，速度为每秒1个单位，当E 点移动到线段AB 上时运动停止.设平移时间为t （秒）,在平移过程中是否存在某一时刻t ，使得△ABE 为等腰三角形?若存在，请直接写出对应的t 的值；若不存在，请说明理由. 6．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为AB 边的中点，点P 为BC 边上一点，把△PBD 沿PD 翻拆，点B 落在点E 处，设PE 交AC 于F ，连接CD(1)求证：△PCF 的周长； (2)设DE 交AC 于G CD=6，求FG 的长 7．如图：在等腰△ABC 中,AB=AC ，AD 上BC ，垂足为D ，以AD 为直径作⊙0，⊙0分别交AB 、AC 于E 、F.(1)求证：BE=CF ；(2)设AD 、EF 相交于G ，若EF=8，BC=10,求⊙0的半径．8．正方形ABCD 的顶点A 在直线MN 上，点O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作OE ⊥MN 于点E ，过点B 作BF ⊥MN 于点F ．试卷第5页，总6页装…………○…………订…………○…………线…………○……_姓名：___________班级：___________考号：___________装…………○…………订…………○…………线…………○……（1）如图1，当O 、B 两点均在直线MN 上方时，易证：AF+BF=2OE （不需证明）（2）当正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF 、BF 、OE 之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明． 9．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（-4，0），点P 在射线AB 上运动，连结CP 与y 轴交于点D ，连结BD ．过P ，D ，B 三点作⊙Q 与y 轴的另一个交点为E ，延长DQ 交⊙Q 于点F ，连结EF ，BF ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）当点P 在线段AB （不包括A ，B 两点）上时． ①求证：∠BDE=∠ADP ；②设DE=x ，DF=y ．请求出y 关于x 的函数解析式；（3）请你探究：点P 在运动过程中，是否存在以B ，D ，F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P 的坐标：如果不存在，请说明理由． 10．如图，在正方形ABCD 中，2AB =，点P 是边BC 上的任意一点，E 是BC 延长线上一点，联结AP ，作P F A P ⊥交DCE ∠的平分线CF 上一点F ，联结AF 交边CD 于点G ．（1）求证：AP PF =；（2）设点P 到点B 的距离为x ，线段DG 的长为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当点P 是线段BC 延长线上一动点，那么（2）式中y 与x 的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式． 五、判断题（题型注释）试卷第6页，总6页本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
七年级几何证明压轴题
一、选择1．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于点F，E在AB边上，ED⊥BC于D，∠AED=155°，则∠EDF等于（）A．50° B．65° C．70° D．75°2．下列判断错误的是（）A.一条线段有无数条垂线；B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直；C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直；D.若两条直线相交，则它们互相垂直.3．下列判断正确的是（）A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离；B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离；C.画出已知直线外一点到已知直线的距离；D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.二、压轴题1.（11分）如图12-1，点O是线段AD上的一点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC.（1）求∠AEB的大小；（2）如图12-2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小.2．(本题9分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E.⑴若∠B=35°，∠ACB=85°,求∠E 的度数；⑵当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系.写出结论无需证明.3如图1，△ABC 的边BC 直线l 上，AC ⊥BC ，且AC=BC ；△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF=FP ．(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；(2)将△EFP 沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连接AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3)将△EFP 沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连接AP ，BQ ．你认为(2)中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗?若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．PED C BA4．(本题8分)如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，且直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在射线CD上，已知CA=CB且∠BEC=∠CFA=∠α．(1)如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，问EF=BE－AF，成立吗?说明理由．(2)将(1)中的已知条件改成∠BCA=60°，∠α=120°(如图2)，问EF=BE－AF仍成立吗?说明理由．(3)若0°<∠BCA<90°，请你添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使结论EF=BE－AF仍然成立．你添加的条件是．(直接写出结论)5．(本题6分) 如图①，直线l过正方形ABCD的顶点B，A、C两顶点在直线l同侧，过点A、C分别作AE⊥直线l、CF⊥直线l．(1)试说明：EF＝AE＋CF；(2)如图②，当A、C两顶点在直线l两侧时，其它条件不变，猜想EF、AE、CF满足什么数量关系(直接写出答案，不必说明理由)．图3图2图1EBCC6、P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，;如图3，若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点.分别指出每个图中∠BPC 和∠A 的关系,并选择其中一个加以证明.7、(本题12分)如图，C 是线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为边作等边三角形ACD 和CBE ，连结AE 、BD ，AE 交DC 、DB 分别为F 点、H 点，BD 交CE 于G 点，连结FG.求证:① ∠ FAC =∠ HDC ;② ∠ HFG =∠ HAC;③ ∠ BHA = 120 °.H FG E DCBA8、如图，在△ABC 中，∠A ＝ ．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2； ……；∠A 2008BC 与∠A 2008CD 的平分线相交于点A 2009，得∠A 2009 ．则∠A 2009＝ ．9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．（每小题2分，观察得出结论与说明理由各占1分．）（1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小，并说明理由．图①（2）将（1）中点P 移至△ABC 内，得图②，试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．C BA P图②（3）将（2）中点P 变为两个点P 1、P 2得图③，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．图③C B A P 1P 2（4）将（3）中的点P 1、P 2移至△ABC 外，并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧，且∠P 1BC ＜∠ABC ，∠P 2CB ＜∠ACB ，得图④，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．CBAP 12图④（5）若将（3）中的四边形BP 1P 2C 的顶点B 、C 移至△ABC 内，得四边形B 1P 1P 2C 1，如图⑤，试观察比较四边形B 1P 1P 2C 1的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．C BAP 1P 2B 1C 1图⑤10、．（1）BP + PC ＜AB + AC ，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段最短． （2）△BPC 的周长＜△ABC 的周长．理由：如图，延长BP 交AC 于M ，在△ABM 中，BP + PM ＜AB + AM ，在△PMC 中，PC ＜PM + MC ，两式相加得BP + PC ＜AB + AC ，于是得：△BPC 的周长＜△ABC 的周长．C（3）四边形BP 1P 2C 的周长＜△ABC 的周长．理由：如图，分别延长BP 1、CP 2交于M ，由（2）知，BM + CM ＜AB + AC ，又P 1P 2＜P 1M + P 2M ，可得，BP 1 + P 1P 2 + P 2C ＜BM + CM ＜AB + AC ，可得结论．或：作直线P 1P 2分别交AB 、AC 于M 、N （如图），△BMP 1中，BP 1＜BM + MP 1，△AMN 中，MP 1 + P 1P 2 + P 2M ＜AM + AN ，△P 2NC 中，P 2C ＜P 2N + NC ，三式相加得：BP 1 + P 1P 2 + P 2C ＜AB + AC ，可得结论．C BA P 1P 2MC BA P 1P 2NM（4）四边形BP 1P 2C 的周长＜△ABC 的周长．理由如下：将四边形BP 1P 2C 沿直线BC 翻折，使点P 1、P 2落在△ABC 内，转化为（3）情形，即可．（ 5）比较四边形B 1P 1P 2C 1的周长＜△ABC 的周长．理由如下：如图，分别作如图所示的延长线交△ABC 的边于M 、N 、K 、H ，在△BNM 中，NB 1 + B 1P 1 + P 1M ＜BM + BN ，又显然有，B 1C 1 + C 1K ＜NB 1 +NC + CK ，及C 1P 2 +P 2H ＜C 1K +AK +AH ，及P 1P 2＜P 2H + MH + P 1M ，将以上各式相加，得B 1P 1 + P 1P 2 + P 2C + B 1C 1＜AB + BC + AC ，于是得结论．CBAP 1P 2B 1C 1H KNM11．（本题12分）如图，已知等边△A B C 和点P ，设点P 到△A B C 三边A B 、A C 、B C （或其延长线） 的距离分别为h 1、h 2、h 3，△A B C 的高为h ．在图（1）中，点P 是边B C 的中点，此时h 3=0，可得结论：h h h h =++321． 在图（2）--（5）中，点P 分别在线段M C 上、M C 延长线上、△A B C 内、△A B C 外．（1）请探究：图（2）--（5）中， h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论） （2）证明图（2）所得结论； （3）证明图（4）所得结论．（4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形R B C S 是等腰梯形，∠B =∠C =60o ， R S =n ，B C =m ，点P 在梯形内，且点P 到四边B R 、R S 、S C 、C B 的距离分别是h 1、h 2、h 3、h 4，桥形的高为h ，则h 1、h 2、h 3、h 4、h 之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？12、已知：如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，∠BAC=∠DAE ，，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）当点B A D ，，在一条直线上，试说明：BE CD =；（2）将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请判断AM=AN 是否成立？并说明你的理由；(3)在旋转的过程中，设直线BE 与CD 相交于点P ，当90°<∠BAC<180°时，请直接写出∠CPB 与∠MAN 之间的数量关系.13．如图，△ABC 与△ADE 都是等边三角形，连结BD 、CE 交点记为点F ． （1）BD 与CE 相等吗？请说明理由．（2）你能求出BD 与CE 的夹角∠BFC 的度数吗？（3）若将已知条件改为：四边形ABCD 与四边形AEFG 都是正方形，连结BE 、DG 交点记为点M （如图）．请直接写出线段BE 和DG 之间的关系？14．正方形四边条边都相等，四个角都是90．如图，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，点E 是直线MN 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）如图1，当点E 在线段BC 上（不与点B 、C 重合）时： ①判断△ADG 与△ABE 是否全等，并说明理由；②过点F 作FH ⊥MN ，垂足为点H ，观察并猜测线段BE 与线段CH 的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E 在射线CN 上（不与点C 重合）时： ①判断△ADG 与△ABE 是否全等，不需说明理由；②过点F 作FH ⊥MN ，垂足为点H ，已知GD ＝4，求△CFH 的面积．F15.如图1，一等腰直角三角尺GEF（∠EGF=90°,∠GEF=∠GFE=45°,GE=GF）的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN 相等吗？并说明理由；（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．16如图，在R t△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.17、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边上任意一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，BD ⊥AC. （1）求证：PE+PF=BD ；（2）若点P 是底边BC 的延长线上一点，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请画出图形，并探究它们的关系.18. （5分）已知：如图，︒︒=∠=∠40,34D B ，AM ，CM 分别平分∠BAD 和∠BCD(1)(2) 求M ∠的大小: (3)(4) 当D B ∠∠,为任意角时,探索M ∠与D B ∠∠,间的数量关系,并对你的结论加以证明C BAPDEABCDM123456。
初中数学压轴题--动态几何证明及实验题
（2）不一定．当矩形的长恰好等于等边△AEF 的边 AF 时，即矩形的宽∶长＝AB∶AF＝ 3 : 2 时正
好能折出．如果设矩形的长为 A，宽为 B，可知当b ≤ 3 a 时，按此种方法一定能折叠出等边三角形；当 2
3 a＜b＜a 时，按此法无法折出完整的等边三角形．
2
〖方法点睛〗要从操作实验题中抽象出数学模型来，并借助图形运动的基本性质求解．
标注三
角板为
阴影
A △为阴F影CG
E
F
EM=MG，∠B=∠MCG．因为 FM 垂直平分 EG，所以 FE=FG．又因为 B
M
C
∠BAC=90°，所以∠B+∠ACB=90°，所以∠MCG +∠ACB=90°，即∠
°，所以 ，所以 ． FCG=90
GC 2 + FC 2 = FG 2
BE 2 + FC 2 = EF 2
E
∠MCG．因为 所 以 ∠ B+ ∠
FM 垂直平分 ° ， ACB=90
所EG以，所∠以MFCEG=F+G∠．又AC因B为=9∠0 °BA，C=即90∠°，标角阴影板注
为三
B
E
M
图 A 2
C G
°，所以 ，所以 ． FCG=90
GC 2 + FC 2 = FG 2
BE 2 + FC 2 = EF 2
个三角形中．
2．当角的两边分别与边 AB、直线 AC 相交于点 、E F 时，构造和证 明的方法不变．
证明（1）线段 、 、 BE EF FC 可以构成直角三角形．如图 1，延长 EM 到 G，使得 EM=MG，联结 GC、FG．因为 M 为 BC 中点，所以 ， BM=CM 又因为∠EMB =∠GMC，EM=MG，所以△EMB≌△GMC，所以 ， BE=GC
2021~2022学年北京市七年级下期末数学分类汇编——几何压轴题(参考答案与试题解析)
2021~2022学年北京市七年级下期末数学分类汇编——几何压轴题参考答案与试题解析1．（2022春•海淀区期末）如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出∠AOB＝60°，（1）①如图1，点O在一条格线上，当∠1＝20°时，∠2＝40°；②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并证明；（2）在图3中，小明作射线OC，使得∠COB＝45°．记OA与图中一条格线形成的锐角为α，OC与图中另一条格线形成的锐角为β，请直接用等式表示α与B之间的数量关系．【分析】（1）①由平行线的性质∠1＝∠3＝20°，所以∠2＝∠4＝40°；②作OP平行于格线，由平行线的性质得∠1+∠2＝60°；（2）分两种情况：当射线OC在∠AOB的内部，当射线OC在∠AOB的外部，然后利用平行线的性质和三角形的外角的性质进行计算，即可解答．【解答】解：（1）如图：①如图1：∵格线都互相平行，∴∠2＝∠4，∠1＝∠3＝20°，∵∠AOB＝60°，∴∠4＝∠AOB﹣∠3＝40°，∴∠2＝∠4＝40°，故答案为：40°；②∠1+∠2＝60°，证明：如图2：作OP平行于格线，∵格线都互相平行，∴∠1＝∠AOP，∠2＝∠BOP，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°∴∠1+∠2＝60°；（2）α+β＝105°或α﹣β＝15°，理由：分两种情况：当射线OC在∠AOB的内部，如图：∵∠COB＝45°，∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝15°，∴∠AEF是△OEF的一个外角，∴∠AEF＝∠AOC+∠EFO，∵格线都互相平行，∴∠EFO＝β，∴α＝15°+β，∴α﹣β＝15°；当射线OC在∠AOB的外部，如图：∵∠COB＝45°，∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝105°，∵∠AOC是△OMN的一个外角，∴∠AOC＝∠OMB+∠ONM，∵格线都互相平行，∴∠OMB＝α，∵∠ONM＝β，∴α+β＝105°，综上所述：α+β＝105°或α﹣β＝15°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2022春•西城区期末）已知∠XOY＝2α（0°＜α＜45°），点A在射线OX上，点P在∠XOY外部，PA∥OY，以P为顶点，PA为一边，大小为α的角的另一边交射线OX于点M．（1）如图1，当点M与点O位于PA所在直线异侧时，∠XOY的平分线与射线PA的交点为点N．补全图形并直接写出直线ON与直线PM的位置关系；（2）当点M与点O位于PA所在直线同侧时，射线PM与射线OY交于点B，点C在线段BA的延长线上．①如图2，若AP平分∠OAC，求证：BP平分∠OBC；②当PM⊥OA时，直接写出α的度数并画出符合题意的图形．【分析】（1）补全图形如图1所示，此时ON∥PM，有ON平分∠XOY，且∠XOY＝2α，可得∠NOA＝∠NOY＝α，由PA∥OY，可得∠ANO＝∠NOY＝α＝∠P＝α，所以ON∥PM．（2）①因为PA∥OY，所以∠OAP＝∠XOY＝2α，∠OBP＝∠APM＝α，∠OBC＝∠PAC．因为AP平分∠OAC，所以∠PAC＝∠OAP＝2α＝∠OBC，所以∠PBC＝∠OBC﹣∠OBP＝2α﹣α＝α．所以∠PBC＝∠OBP．由此可得结论．②由AP∥OY，可知∠PAM＝∠XOY＝2α，∵PM⊥OX，所以∠PMA＝90°，所以α+2α＝90°，解得之即可得出结论．【解答】（1）解：补全图形如图1所示，此时ON∥PM，理由如下：∵ON平分∠XOY，且∠XOY＝2α，∴∠NOA＝∠NOY＝α，∵PA∥OY，∴∠ANO＝∠NOY＝α，∵∠P＝α，∴∠P＝∠ANO＝α，∴ON∥PM．（2）①证明：∵PA∥OY，∴∠OAP＝∠XOY，∠OBP APM，∠OBC＝∠PAC．∵∠XOY＝2α，∠APM＝α，∴∠OAP＝2α，∠OBP＝α．∵AP平分∠OAC，∴∠PAC＝∠OAP＝2α．∴∠OBC＝2α．∴∠PBC＝∠OBC﹣∠OBP＝2α﹣α＝α．∴∠PBC＝∠OBP．∴BP平分∠OBC．②解：如图2，∵AP∥OY，∴∠PAM＝∠XOY＝2α，∵PM⊥OX，∴∠PMA＝90°，∵∠P＝α，∴α+2α＝90°，解得α＝30°．【点评】本题考查的是三角形的内角和定理、平行线的性质和角平分线的性质与判定，解答此题的关键是熟知角平分线的定义和性质．3．（2022春•朝阳区期末）三角形ABC中，∠ABC的平分线BD与AC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，三角形ABC是直角三角形，∠ABC＝90°．完成下面求∠EDB的过程．解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠AED＝∠ABC．∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．∴∠EDB＝∠∠DBC．∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝45°．∴∠EDB＝45°．（2）如图2．三角形ABC是锐角三角形．过点E作EF∥BC，交AC于点F．依题意补全图2．用等式表示∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系并证明．（3）三角形ABC是钝角三角形，其中90°＜∠ABC＜180°．过点E作EF∥BC，交AC 于点F，直接写出∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系．【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行解答即可；（2）延长ED、BC交于G，利用平行线的性质得∠FED＝∠G，再利用三角形外角的性质可得结论；（3）由（2）同理解决问题．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠AED＝∠ABC．∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．∴∠EDB＝∠DBC．∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝45°．∴∠EDB＝45°．故答案为：同位角相等，两直线平行；∠DBC；（2）如图，∠BDE＝∠FED+∠ABC，理由如下：延长ED、BC交于G，∵EF∥BC，∴∠FED＝∠G，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC，∵∠BDE是△BDG的外角，∴∠BDE＝∠G+∠DBC，∴∠BDE＝∠FED+∠ABC；（3）∠ABC＝∠BDE+∠DEF．如图，∵EF∥BC，∴∠BME＝∠DBC＝∠ABC，∵∠BME是△DEM的外角，∴∠BME＝∠BDE+∠DEF，∴∠ABC＝∠BDE+∠DEF．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．4．（2022春•丰台区期末）阅读下列材料：如图1．AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF，用等式表示∠AEP，∠EPF与∠CFP的数量关系．小刚透过观察，实验，提出猜想：∠EPF＝∠AEP+∠CFP．换着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：过点P作PM∥AB，由AB∥CD可得PM∥CD，根据平行线的性质，可得∠1＝∠AEP，∠2＝∠CFP，从而证得∠EPF＝∠AEP+∠CFP．请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题．已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF．（1）如图2，若∠AEP＝45°，∠EPF＝80°，则∠PFD的度数为145°；（2）如图3，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，用等式表示∠EPF与∠EQF的数量关系，并证明；（3）如图4，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，直接用等式表示∠EPF与∠EQF的数量关系．【分析】（1）由已知结论∠EPF＝∠AEP+∠CFP，可求得；（2）由已知结论得∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∠EQF＝∠AEQ+∠CFQ，又EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP，可得∠AEP＝2∠AEQ，∠CFP＝2∠CFQ，所以∠EPF＝2∠EQF；（3）由已知结论和四边形内角和得∠EPF与∠EQF的数量关系．【解答】解：（1）∵∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∴∠CFP＝80°﹣45°＝35°，∴∠PFD＝145°．故答案为：145°．（2）由已知结论得∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∠EQF＝∠AEQ+∠CFQ，∵EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP，∴∠AEP＝2∠AEQ，∠CFP＝2∠CFQ，∴∠EPF＝2∠EQF．（3）∵EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP，∴∠AEQ＝∠PEQ，∠CFQ＝∠PFQ，∵∠EQF＝∠AEQ+∠CFQ，∴∠EQF＝∠PEQ+∠PFQ，∵∠EQF+∠PEQ+∠PFQ+∠EPF＝360°，∴2∠EQF+∠EPF＝360°．【点评】本题考查了平行线的性质，正确理解题目之间的联系是关键．5．（2022春•石景山区期末）如图，直线CE，BF被直线l1，l2所截，CE∥BF且∠1＝∠2．（1）求证：l1∥l2．（2）过点C作CA⊥l1于点A，以点B为顶点作∠ABD＝130°，BD交l2于点D，连接AD．①补全图形．②若DA平分∠BDC，求∠CAD的度数．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠1＝∠EBF，再根据∠1＝∠2等量代换得到∠2＝∠EBF，从而证明结论；（2）①根据已知补全图形即可；②根据平行线的性质先求出∠BDC的度数，再根据角平分线的定义求出∠ADC的度数，进而利用直角三角形锐角互余求出∠CAD．【解答】（1）证明：∵CE∥BF（已知），∴∠1＝∠EBF（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠EBF（等量代换），∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行）；（2）解：①补全图形如下图．②∵l1∥l2（已证），∴∠BAD＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），∠ABD+∠BDC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠ABD＝130°（已知），∴∠BDC＝50°（等量代换）．∵DA平分∠BDC（已知），∴（角平分线定义）．∴∠ADC＝25°（等量代换）．∵∠BAD＝∠ADC（已证），∴∠BAD＝25°（等量代换）．∵CA⊥l1（已知），∴∠BAC＝90°（垂直定义）．∴∠CAD＝65°（等量减等量差相等）．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质和判定定理是解此题的关键．6．（2022春•通州区期末）已知：直线AB∥CD，点G为直线CD上一定点，点E是直线AB上一动点，连结EG．在EG的左侧分别作射线EM、GN，两条射线相交于点F，设∠AEF＝α．（1）当∠GEF＝30°，∠EGF＝60°时，如图1位置所示，求∠FGC的度数（用含有α的式子表示），并写出解答过程；（2）当∠GEF＝∠EGF＝45°时，过点G作EG的垂线l．①请在图2中补全图形；②直接写出直线l与直线CD所夹锐角的度数45°﹣α或45°+α或α﹣45°或135°﹣α（用含有α的式子表示）．【分析】（1）利用平行线的性质求解即可；（2）①根据要求画出图形即可；②分四种情形：如图2﹣1中，如图2﹣2中，如图2﹣3中，如图2﹣4中，分别画出图形求解．【解答】解：（1）如图1中，∵AB∥CD，∴∠AEC+∠CGE＝180°，∵∠GEF＝30°，∠EGF＝60°，∴∠AEF+∠CGF＝90°，∴∠FBC＝90°﹣α；（2）①图形如图所示：②如图2﹣1中，∵∠CEF＝∠ECF＝45°，GK⊥EG，∴∠KGF＝45°，∵∠AEF+∠FGC＝90°，∴∠CGK+∠AEF＝45°，∴∠CGK＝45°﹣α；如图2﹣2中，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠EGD＝45°﹣α，∵∠EGK＝90°，∴∠CGK＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α；如图2﹣3中，∠CGK＝45°﹣（90°﹣α）＝α﹣45°；如图2﹣4中，∠CGK＝45°﹣（α﹣90°）＝135°﹣α．综上所述，满足条件的直线l与直线CD所夹锐角的度数为：45°﹣α或45°+α或α﹣45°或135°﹣α．故答案为：45°﹣α或45°+α或α﹣45°或135°﹣α．【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．7．（2022春•北京期末）如图，点A，B分别为∠MON的边OM，ON上的定点，点C为射线ON上的动点（不与点O，B重合）．连接AC，过点C作CD⊥AC，过点B作BE∥OA，交直线CD于点F.（1）如图1，若点C在线段OB的延长线上，①依题意补全图1；②用等式表示∠OAC与∠BFC的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若点C在线段OB上，直接用等式表示出∠OAC与∠BFC的数量关系．【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②设BE交AC于G，由CD⊥AC，可得∠FGC+∠BFC＝90°，又OA∥BE，有∠OAC ＝∠FGC，即得∠OAC+∠BFC＝90°；（2）延长AC交直线BE于H，由BE∥OA，得∠OAC＝∠CHF，又CD⊥AC，知∠FCH ＝90°，即可得∠BFC＝90°+∠OAC．【解答】解：（1）①补全图形如下：②∠OAC+∠BFC＝90°；理由如下：设BE交AC于G，∵CD⊥AC，∴∠FCG＝90°，∴∠FGC+∠BFC＝90°，∵OA∥BE，∴∠OAC＝∠FGC，∴∠OAC+∠BFC＝90°；（2）∠BFC＝90°+∠OAC，理由如下：延长AC交直线BE于H，如图：∵BE∥OA，∴∠OAC＝∠CHF，∵CD⊥AC，∴∠FCH＝90°，∵∠BFC＝∠FCH+∠CHF，∴∠BFC＝90°+∠OAC．【点评】本题考查本题考查相交线，平行线，解题的关键是画出图形，掌握平行线性质，垂直的定义及三角形内角和定理及推论．8．（2022春•昌平区期末）如图1．直线MN与直线AB、CD分别交于点E、M、F，∠1+∠2＝180°．（1）请直接写出直线AB与CD的位置关系．（2）如图2，动点P在直线AB，CD之间，且在直线MN左侧．连接EP，FP，探究∠AEP，∠EPF．∠PFC之间的数量关系．小明经过分析证明的过程如下：过点P作PH∥AB．∴∠AEP＝∠EPH（两直线平行，内错角相等）．∵AB∥CD（已知）．∴CD∥PH（平行于同一条直线的两条直线2F平行）．∴∠PFC＝∠HPF（两直线平行．内错角相等）．∵∠EPF＝∠EPII+∠HPF，∴∠EPF＝∠AEP+∠PFC（等量代换）．请你补全上述的证明过程．（3）小明进一步探究，分别作出∠PEB和∠PFD的角平分线，若两条角平分线交于点Q，如图3．①若∠EPF＝90°．则∠EQF＝135°．②探究∠EPF与∠EQF的数量关系，小明思路如下：设∠EPF＝α，进一步可知∠PEB+∠PFD＝360°﹣α．（用含α的式子表示）．设∠EQF＝β，用等式表示α与β的数量关系180°﹣．【分析】（1）由对顶角相等得∠BEF＝∠1，∠DFE＝∠2，从而得∠BEF+∠DFE＝180°，即有AB∥CD；（2）由平行线的性质可得∠AEP＝∠EPH，再由平行线的判定可得CD∥PH，有∠PFC ＝∠HPF，即得∠EPF＝∠+HPF，从而可求解；（3）①结合（2）的结论进行求解即可；②结合①进行求解即可．【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：∵∠BEF＝∠1，∠DFE＝∠2，∠1+∠2＝180°∴∠BEF+∠DFE＝∠1+∠2＝180°，∴AB∥CD；（2）过点P作PH∥AB．∴∠AEP＝∠EPH（两直线平行，内错角相等）．∵AB∥CD（已知）．∴CD∥PH（平行于同一条直线的两条直线2F平行）．∴∠PFC＝∠HPF（两直线平行．内错角相等）．∵∠EPF＝∠EPH+∠HPF，∴∠EPF＝∠AEP+∠PFC（等量代换）．故答案为：∠EPH；∠EPF＝∠AEP+∠PFC；（3）①由（2）得：∠EPF＝∠AEP+∠PFC，∵∠EPF＝90°，∴∠AEP+∠PFC＝90°，∵∠PEB＝180°﹣∠AEP，∠PFD＝180°﹣∠PFC，∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣（∠AEP+∠PFC）＝270°，∵EQ平分∠PEB，FQ平分∠PFD，∴∠PEQ＝∠PEB，∠PFQ＝∠PFD，∴∠PEQ+∠PFQ＝（∠PEB+∠PFD）＝135°，∴∠EQF＝360°﹣∠EPF﹣（∠PEQ+∠PFQ）＝135°；故答案为：135°；②设∠EPF＝α，由①可得：∠PEB+∠PFD＝360°﹣α，设∠EQF＝β，由①得：＝180°﹣．故答案为：360°﹣α，180°﹣．【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对平行线的判定条件与性质的掌握与灵活运用．9．（2022春•密云区期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．（1）如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE∥CD．（其中点E在∠AOB内部）．①依据题意，补全图1；②直接写出∠BOE的度数．（2）如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当∠AOB＝α（0°＜α≤180°）时，过点F作射线FH，使得FH∥CD（其中点H在∠AOB的外部），用含α的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系，并证明．【分析】（1）①根据题意补图即可；②根据平行线的性质求出即可；（2）过点O作OM∥CD∥FH，根据平行线的性质得出两角的数量关系即可．【解答】解：（1）①依据题意，补全图1如下：②∵CD∥OE，∴∠OCD+∠COE＝180°，∵∠OCD＝120°，∴∠COE＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°；（2）∠OCD+∠BFH＝360°﹣α，证明：过点O作OM∥CD∥FH，∴∠OCD+∠COM＝180°，∠MOF＝∠OFH，又∵∠BFH+∠OFH＝180°，∴180°﹣∠OCD+180°﹣∠BFH＝α，∴∠OCD+∠BFH＝360°﹣α．【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10．（2022春•顺义区期末）已知，如图，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O．点P为射线OC上一点，从点P引两条射线分别交直线AB于点D，E（点D在点O左侧，点E 在点O右侧），过点O作OF∥PD交PE于点F，G为线段PD上一点，过G作GM⊥AB 于点M．（1）①依题意补全图形；②若∠DPO＝63°，求∠EOF的度数；（2）直接写出表示∠EOF与∠PGM之间的数量关系的等式．【分析】（1）①根据题意画出图形；②根据平行线的性质和垂线的定义解答即可；（2）过点G作GN∥AB，交OC于点N，根据平行线的性质和垂线的定义可得∠PGM﹣∠EOF＝90°．【解答】解：（1）①如图：②∵OF∥PD，∴∠1＝∠2，∵∠2＝63°，∴∠1＝63°．∵OC⊥AB，∴∠1+∠3＝90°，∴∠EOF＝27°；（2）如图，过点G作GN∥AB，交OC于点N，∵GN∥AB，∴∠4＝∠5，∵OF∥PD，∴∠3＝∠4，∴∠3＝∠5，∵GM⊥AB，GN∥AB，∴GM⊥GN，∴∠MGN＝90°，∴∠PGM＝∠5+90°，∴∠PGM＝∠3+90°，∴∠PGM﹣∠3＝90°，即∠PGM﹣∠EOF＝90°．【点评】本题考查了平行线的性质、垂线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质和垂线的定义．11．（2022春•平谷区期末）如图，点B是射线CA上一点，点D是射线CE上一点，DF∥AC，∠1＝∠2．（1）试判断FB∥CE吗？请说明理由．（2）用量角器作∠FDC的角平分线DG交FB的延长线于点G，过点D作DM⊥DG交射线CA的反向延长线于点M．①补全图形；②若∠DMC＝α，用α表示∠FGD为90°﹣α．【分析】（1）根据平行线的性质和等量关系可得∠2＝∠C，再根据平行线的判定即可求解；（2）①根据要求补全图形即可；②根据平行线的性质可得∠FGD＝∠GDC，根据角平分线的性质和等量关系可得∠CDM＝∠M，再根据角的和差关系即可求解．【解答】解：（1）FB∥CE，理由如下：∵DF∥AC，∴∠1＝∠C，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠C，∴FB∥CE；（2）①补全图形如下：②∵FB∥CE，∴∠FGD＝∠GDC，DM⊥DG，∵DG是∠FDC的角平分线，DM⊥DG，∠1＝∠C，∠1+∠CDF＝180°，∴∠M＝∠CDM，∴∠FGD＝90°﹣α．故答案为：90°﹣α．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相应的整数解决问题．12．（2022春•大兴区期末）如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．（1）猜想∠BED时，∠B，∠D的数量关系，并证明；（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．①依题意补全图形；②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．【分析】（1）过E作EG∥AB，根据平行线的性质得到∠B+∠BEG＝180°，∠DEG+∠D＝180°，然后根据已知条件即可得到结论；（2）①依题意根据角平分线的作法补全图形；②根据（1）的结论结合四边形内角和定理即可求解．【解答】（1）∠B+∠BED+∠D＝360°．证明：过点E作EG∥AB．∴∠B+∠BEG＝180°．∵AB∥CD，EG∥AB，∴EG∥CD，∴∠DEG+∠D＝180°，∴∠B+∠BEG+∠DEG+∠D＝180°+180°．即∠B+∠BED+∠D＝360°；（2）解：①如图所示：②由（1）得∠ABC+∠BED+∠CDE＝360°，∵∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F，∴∠ABC＝2∠FBE，∠CDE＝2∠FDE，∴2∠FBE+∠BED+2∠CDE＝360°，即∠FBE+∠BED+∠CDE＝180°，∵∠BFD+∠FBE+∠BED+∠CDE＝360°，∴．【点评】此题考查了平行线的性质，解题的关键是正确添加辅助线．。