北师大版初一数学下册乘法公式的几何解释
七年级数学下册 第1章 整式的乘除 1.2 幂的乘方与积的
七年级 下册
第一章 整式的乘除
知识点一 幂的乘方 法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘. 字母表示:(am)n=amn(m,n都是正整数). 注意:(1)幂的乘方的底数是指幂的底数,幂的底数可以是单项式,也可以 是多项式. (2)幂的乘方法则中的结论“指数相乘”是指幂的指数与乘方的指数相 乘,不要与同底数幂的乘法法则相混淆. (3)幂的乘方法则可以逆用:amn=(am)n(m,n都是正整数). 例1 计算: (1)(102)3;(2)-(a2)4;(3)(x3)5·x3.
10
=4×110=4.
点拨 当做积运算的两个幂的底数互为倒数时,通常逆用积的乘方运算 法则进行转化,使得它们的指数相同,这样,就会使运算过程变得简便.
题型二 利用幂的乘方的运算性质解方程 例2 若am=an(a>0且a≠1,m,n是正整数),则m=n.请你利用上面的结论解 决下列两个问题: (1)如果4×8x×16x=223,求x的值; (2)如果(9x)3=39,求x的值.
4.计算:(1)(2x)3;(2)(-2ab)5;(3)(-2×102)3; (4)(-3x3y)4. 解析 (1)(2x)3=23·x3=8x3. (2)(-2ab)5=(-2)5·a5·b5=-32a5b5. (3)(-2×102)3=(-2)3×(102)3=-8×106. (4)(-3x3y)4=(-3)4·(x3)4·y4=81x12y4.
解析 (1)-(a5)2=-a5×2=-a10. (2)(x3)2·(x4)3=x3×2·x4×3=x6·x12=x6+12=x18.
知识点二 积的乘方 6.(2017山东东平期中)计算(-x)3·x2的结果是 ( ) A.x5 B.-x5 C.x6 D.-x6 答案 B (-x)3·x2=-x3·x2=-x3+2=-x5.
北师大版初中数学七年级下册数学知识点思维导图(北师大版)
法则表达式推广文字形式（积的乘方等于乘方的积）表达式法则文字形式（同底数幂相除，底数不变，指数相减）表达式零次幂公式确定a（一位整数）确定n（从左数至第一个非零数前面零的个数）法则（单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式）符号相同项为a口诀（首平方，尾平方，二倍首尾放中央）双解性相交线与平行线两条直线的位置关系位置关系相交平行注意：同一平面内，不相交的两条直线平行定义（两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直）垂直交点叫做垂足，一条直线称作另一条直线的垂线公理平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直角对顶角直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短定义（∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线）定理对顶角相等补角余角公理证明（同角的补角相等）定义（两角之和180°）证明（∵∠1+∠2=180°∴∠1与∠2互为补角）定义（两角之和90°）证明（∵∠1+∠2=90°∴∠1与∠2互为余角同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等探索直线平行的条件同位角在第三条直线同旁特点两条直线的同侧形状（“F”型）平行条件两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称（同位角相等，两直线平行）证明∵∠1=∠2公理∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）内错角在第三条直线两侧特点两条直线的两侧形状（“Z”型）平行条件两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行证明简称（内错角相等，两直线平行）∵∠1=∠2∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行）同旁内角在第三条直线同旁特点两条直线内部形状（“C”型）平行条件两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行证明简称（同旁内角互补，两直线平行）∵∠1+∠2=180°∴l1∥l2（同旁内角互补相等，两直线平行）平行线的性质两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行那么同位角相等两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行那么内错角相等两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同旁内角互补用尺规作图概念（在变化过程中，数值发生改变的量）定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成实质（八字对顶全等）轴对称图形（如果一个平面图行沿一条直线折叠后，直线两。
北师大版七年级下册数学各章知识点总结
北师大版?数学?〔七年级下册〕知识点总结第一章整式的运算单项式 整 式 多项式同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方幂运算 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
二、多项式1、多项式、多项式的次数、项 几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：〔1〕去括号；〔2〕合并同类项。
五、幂的运算性质： 1、同底数幂的乘法：a m﹒a n =am+n(m,n 都是正整数〕；2、幂的乘方：〔am〕n=amn(m,n 都是正整数〕； 3、积的乘方：〔ab 〕n=a n bn(n 都是正整数〕；4、同底数幂的除法：am÷a n=am-n(m,n 都是正整数,a ≠0) ；整 式 的 运算六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：a=1〔a ≠0〕;2、负整数指数幂：1(0)pp a a a -=≠p 是正整数。
七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法那么：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法那么：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数一起作为商的一个因式。
数学北师大版七年级下册乘法公式的几何解释
a
2
b
2
ab
标 项
设计人：冉健佳
测
（小贴士：动手做一做，思路会更清晰哦，方法越多越好.）
试
提示： 请准备边长为 2 厘米的正方形 4 张， 边长为 1 厘米的正 方形 9 张，长为 2 厘米宽为 1 厘米的长方形最少 15 张！ 线 上 预 学 超
1、已知面积为 a2 的正方形 9 张，面积为 b2 的正方形 4 张，面积为 ab 的长方形 m 张，如果用这些图形拼成面积为 9a2+mab+4b2 的正方形，则 m 的值为
上
预
学
2、如图 1，边长为（a+b）的正方形，按图 2 所示分割，请用不同的方法来表示大 正方形的面积，从而验证了哪个乘法公式？
达
标
图3 图4
3、前两题都通过图形变换，用不同的方式表示了相同的面积（阴影部分的面积） ， 证明了乘法公式 的正确性，思考一下，你还能够将图 1 中的 阴影部分拼接成其它几何图形吗 （画出图形） ？你能证明哪些公式 （写出证明过程） 。
保师附校 七 年级
数学 学科课堂教学前置预学任务单
时间：
课题：乘法公式的几何解释 姓名： —数形结合思想 预学 目标
预学 资源 1、初步感受数形结合思想； 2、通过动手操作让学生感受数学的乐趣；
3、调动学生学习数学的积极性，激发学生学习形中有一个边长为 b 的小正方形，如图 2 是由图 1 中阴影部分拼成的一个长方形. （1）请你分别表示出图 1 阴影部分的面积 S1，图 2 阴影部分的面积 S2 （2）由（1）你可以得到哪个等式？这是我们学过的哪个公式？
北师大版七年级下册数学知识点归纳总结
七年级下册数学北师大版知识点总结第一章、整式的乘除第一节、同底数幂的乘法1、n个相同因式(或因数)a相乘，记作a n，读作a的n次方(幂)，其中a为底数，n为指数，a n的结果叫做幂。
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即:a m﹒a n=a m+n。
4、此法则也可以逆用，即：a m+n=a m﹒a n。
5、底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。
第二节、幂的乘方与积的乘方一、幂的乘方1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。
(a m)n表示n个a m相乘。
2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a m)n=a mn。
3、此法则也可以逆用，即：a mn=(a m)n=(a n)m。
二、积的乘方1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。
即(ab)n=a n b n。
3、此法则也可以逆用，即：a n b n=(ab)n。
三、三种“幂的运算法则”异同点1、共同点：(1)法则中的底数不变，只对指数做运算。
(2)法则中的底数(不为零)和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式(单项式或多项式)。
(3)对于含有3个或3个以上的运算，法则仍然成立。
2、不同点：(1)同底数幂相乘是指数相加。
(2)幂的乘方是指数相乘。
(3)积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。
第三节、同底数幂的除法1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m÷a n=a m-n(a ≠0)。
2、此法则也可以逆用，即：a m-n=a m÷a n(a≠0)。
3、零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a0=1(a≠0)。
4、任何不等于0的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即：a-n=1/a n。
北师大版七年级数学下册知识点梳理
北师大版七年级数学下册知识点梳理七年级数学（下）重要知识点总结第一章：整式的运算一、概念1.代数式是由数字、字母及其乘积、和、差、积、商等符号组成的式子。
2.单项式是由数字与字母的乘积组成的代数式，不含加减运算，分母中不含字母。
3.多项式是由几个单项式相加（减）组成的代数式，含加减运算。
4.整式是单项式和多项式的统称。
二、公式、法则：1.同底数幂的乘法法则：a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方。
逆用：a的m+n次方等于a的m次方乘以a的n次方。
2.同底数幂的除法法则：a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方（a≠0）。
逆用：a的m-n次方等于a的m次方除以a的n次方（a≠0）。
3.幂的乘方法则：a的m次方的n次方等于a的mn次方。
逆用：a的mn次方等于a的m次方的n次方。
4.积的乘方法则：ab的n次方等于a的n次方乘以b的n次方。
逆用：a的n次方乘以b的n次方等于ab的n次方（当ab=1或-1时常逆用）。
5.零指数幂：任何数的0次方等于1（注意考虑底数范围，底数a≠0）。
6.负指数幂：任何数的负整数次幂等于该数的倒数的正整数次幂（底数a≠0）。
7.单项式与多项式相乘：单项式m乘以多项式(a+b+c)等于ma+mb+mc。
8.多项式与多项式相乘：多项式(m+n)乘以多项式(a+b)等于ma+mb+na+nb。
9.平方差公式：(a+b)乘以(a-b)等于a的平方减去b的平方。
推广：有一项完全相同，另一项只有符号不同，结果等于相同。
连用变化。
10.完全平方公式：a+b)的平方等于a的平方加上2ab加上b的平方。
a-b)的平方等于a的平方减去2ab加上b的平方。
逆用：a的平方加上2ab加上b的平方等于(a+b)的平方。
a的平方减去2ab加上b的平方等于(a-b)的平方。
完全平方公式变形：a的平方加上b的平方等于(a-b)的平方加上2ab。
2a的平方加上b的平方等于(a+b)的平方减去2ab等于(a-b)的平方加上2ab等于1.完全平方和公式中间项等于完全平方差公式中间项的相反数，等于完全平方公式中间项的一半。
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
北师大版七年级下册数学知识点总结(最新最全)
北师大版数学七年级下册知识点总结第一章 整式的乘除1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意：底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+•+5、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==如：23326)4()4(4==6、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-7、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷8、零指数和负指数；10=a ，（ɑ≠0）即任何不等于零的数的零次方等于1。
pp a a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。
9、科学记数法：如：0.00000721=6-1021.7⨯（第一个非零数字前零的个数）10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3一. 教材分析《乘法公式综合运用》是北师大版数学七年级下册1.6.3的教学内容。
这部分内容是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式的基础上进行学习的。
通过这部分的学习，学生能够灵活运用乘法公式解决实际问题，提高他们的解决问题的能力。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式。
但是，他们在运用这些公式解决实际问题时，往往会存在理解不深、运用不灵活的情况。
因此，在教学这部分内容时，需要引导学生深入理解乘法公式的内涵，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握乘法公式的运用方法，能够灵活解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：乘法公式的运用。
2.难点：灵活运用乘法公式解决实际问题。
五. 教学方法采用自主学习、合作交流、教师引导相结合的教学方法，让学生在探究中掌握知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的乘法公式的资料，以便在教学中进行查阅。
2.准备一些实际问题，让学生进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾之前学过的平方差公式、完全平方公式等乘法公式，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示一些实际问题，让学生尝试运用乘法公式进行解决。
学生在解决问题的过程中，教师给予适当的引导和提示。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些运用乘法公式的问题，学生通过合作交流，共同解决问题。
4.巩固（5分钟）教师挑选一些学生解决的实际问题，让学生上台进行讲解，以此巩固乘法公式的运用。
5.拓展（5分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生深入思考，提高他们解决问题的能力。
北师大版七年级数学下册知识点总结
北师大版七年级数学下册知识点总结一、整式的乘除。
1. 同底数幂的乘法。
- 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即a^m· a^n = a^m + n（m、n 为正整数）。
- 例如：2^3×2^4=2^3 + 4=2^7。
2. 幂的乘方。
- 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即(a^m)^n=a^mn（m、n为正整数）。
- 例如：(3^2)^3 = 3^2×3=3^6。
3. 积的乘方。
- 法则：积的乘方等于乘方的积。
即(ab)^n=a^n b^n（n为正整数）。
- 例如：(2×3)^2=2^2×3^2 = 4×9 = 36。
4. 同底数幂的除法。
- 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即a^m÷ a^n=a^m - n（a≠0，m、n为正整数且m>n）。
- 例如：5^5÷5^3 = 5^5 - 3=5^2。
5. 零指数幂。
- 规定：a^0 = 1（a≠0）。
6. 负整数指数幂。
- 规定：a^-p=(1)/(a^p)（a≠0，p为正整数）。
- 例如：2^-3=(1)/(2^3)=(1)/(8)。
7. 整式的乘法。
- 单项式乘以单项式：系数相乘，同底数幂相乘。
例如：3x^2·2x^3=(3×2)(x^2+3) = 6x^5。
- 单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：2x(x + 3)=2x^2+6x。
- 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：(x + 2)(x+3)=x^2+3x+2x + 6=x^2+5x+6。
8. 整式的除法。
- 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除。
例如：6x^5÷2x^3=(6÷2)(x^5 - 3)=3x^2。
- 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
北师大七年级下-第3讲-乘法公式
乘法公式1．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．2．平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．3．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．4．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）5．完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2=（a±b）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”例题精讲：例1．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（﹣a+b）（a+b）=b2﹣a2C．（a3）4=a7 D．a3+a5=a8【解答】解：∵a2•a3=a5，∴选项A不正确；∵（﹣a+b）（a+b）=b2﹣a2，∴选项B正确；∵（a3）4=a12，∴选项C不正确；∵a3+a5≠a8∴选项D不正确．故选：B．例2．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2【解答】解：甲图形的面积为a2﹣b2，乙图形的面积为（a+b）（a﹣b），根据两个图形的面积相等知，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：C．【点评】本题主要考查平方差的几何背景的知识点，求出两个图形的面积相等是解答本题的关键．例3．已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵a+b=3，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×2=5，故选C【点评】本题考查了完全平方公式的应用，注意：a2+b2=（a+b）2﹣2ab．例4．已知a+=4，则a2+的值是（）A．4 B．16 C．14 D．15【解答】解：将a+=4两边平方得，a2++=16﹣2=14，故选C．【点评】此题考查完全平方公式问题，关键是把原式两边完全平方后整体代入解答．例5．如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．a（a﹣b）=a2﹣ab选：A．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系对公式做出几何解释．例6．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣3选D．【点评】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．例7．已知a+b=3，a﹣b=﹣1，则a2﹣b2的值为﹣3 ．例8．已知（x﹣1）2=ax2+bx+c，则a+b+c的值为0 ．例9．用乘法公式计算（1）998×1002；（2）（3a+2b﹣1）（3a﹣2b+1）【解答】解：（1）原式=（1000﹣2）（1000+2）=10002﹣22=1000000﹣4=999996（2）（3a）2﹣（2b﹣1）2=9a2﹣4b2+4b﹣1．【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．例10．阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根据上式的计算方法，请计算（1）(1+) (1+) (1+) (1+)…(1+)（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．【解答】解：（1）原式=2（1﹣）（1+）(1+) (1+) (1+)…(1+)=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）…（1+）=2（1﹣）=；（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（364﹣1）﹣=﹣．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．例11．如图（1）是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．【解答】解：（1）阴影部分的正方形边长是m﹣n．（2）阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积，方法1：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，即（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，即（m﹣n）2=（m+n）2﹣2m•2n=（m+n）2﹣4mn；（3）（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．（4）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=49﹣4×5=29．【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，认真观察图形以及掌握正方形、长方形的面积公式计算是关键．1．已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=（）A．4 B．3 C．12 D．1选C2．能说明图中阴影部分面积的式子是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab【解答】解：如图原来图中阴影部分面积=（a+b）（a﹣b），右图中把S1移动到S2处，右图中阴影部分面积=a2﹣b2∵原来阴影部分面积=右图中阴影部分面积∴（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．3．在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（）A．x B．3x C．6x D．9x选：C．4．整式A与m2+2mn+n2的和是（m﹣n）2，则A= ﹣4mn ．5．图1可以用来解释：（2a）2=4a2，则图2可以用来解释：（a+b）2=a2+2ab+b2．6．用乘法公式计算：（1）（2﹣3x）2﹣（3x+2）2（2）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）【解答】解：（1）原式=4﹣12x+9x2﹣9x2﹣12x﹣4=﹣24x．（2）原式=[2x+（y+z）][2x﹣（y+z）]=（2x）2﹣（y+z）2=4x2﹣y2﹣z2﹣2yz．【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟记平方差公式、完全平方公式．7．（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：x2﹣6x+9= （x﹣3）2，25x2+10x+1= （5x+1）2，4x2+12x+9= （2x+3）2．（2）观察上述三个多项式的系数，有（﹣6）2=4×1×9，102=4×25×1，122=4×4×9，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间一定存在某种关系．请你用数学式子表示小明的猜想．b2=4ac （说明：如果你没能猜出结果，就请你再写出一个与（1）中不同的完全平方式，并写出这个式中个系数之间的关系．）（3）若多项式x2+ax+c和x2+cx+a都是完全平方式，利用（2）中的规律求ac的值．【解答】解：（1）x2﹣6x+9=（x﹣3）2，25x2+10x+1=（5x+1）2，4x2+12x+9=（2x+3）2；（2）观察得：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间关系为b2=4ac；（3）∵多项式x2+ax+c和x2+cx+a都是完全平方式，∴a2﹣4c=c2﹣4a=0，即a2﹣c2+4（a﹣c）=0，分解因式得：（a﹣c）（a+c+4）=0，由a+c+4≠0，可得a﹣c=0，即a=c，可得a2﹣4a=0，即a（a﹣4）=0，解得：a=0或a=4，即c=0或c=4，则ac=0或16．故答案为：（1）（x﹣3）2；（5x+1）2；（2x+3）2；（2）b2=4ac【巩固练习】1．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2D．a2﹣ab=a（a﹣b）选：A．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是求出两图的面积，而两图面积相等，从而推导出了平方差的公式．2．下列运算正确的是（）A．a3+a3=a6B．2（a+1）=2a+1 C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．a6÷a3=a3选D．【点评】此题考查同类项合并、多项式乘法、完全平方公式和同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（1）可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．那么通过图（2）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+2b）=a2+ab﹣b2选：B．【点评】关键是找出阴影部分面积的两种表达式，化简即可．【点评】本题考查了完全平方式，考虑x2为乘积二倍项和平方项两种情况，加上后是单项式的平方的情况同学们容易漏掉而导致出错．4．已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（）A．8 B．±8C．16 D．±16选：D．【点评】本题利用了完全平方公式求解：（a±b）2=a2±2ab+b2．注意k的值有两个，并且互为相反数．5．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证③（填写序号）．①（a+b）2=a2+2ab+b2②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2③a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）④（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2．6．填空：x2+10x+ 25 =（x+ 5 ）2．7．化简：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣1）2．【考点】平方差公式；完全平方公式．【分析】运用平方差公式和完全平方公式即可解答．【解答】解：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣1）2=a2﹣1﹣a2+2a﹣1=2a﹣2．8．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是a﹣b ，长是a+b ，面积是（a+b）（a﹣b）．（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）【解答】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（4）①解：原式=（10+0.3）×（10﹣0.3）=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91；②解：原式=[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）]=（2m）2﹣（n﹣p）2=4m2﹣n2+2np﹣p2．9．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，若大长方形的边长为a，小长方形的边长为b，则阴影部分的面积是a2﹣b2．若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它的面积是（a+b）（a﹣b）．（2）有（1）可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（3）若a=18，b=12，则请你求出阴影部分的面积．【解答】解：（1）图①阴影部分的面积为：a2﹣b2，图②长方形的长为a+b，宽为a﹣b，所以面积为：（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）可得：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（3）将a=18，b=12，代入得：（18+12）（18﹣12）=180，所以阴影部分的面积为：180．10．化简：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）．【解答】解：原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5．【点评】本题考查了对完全平方公式和平方差公式的应用，注意：完全平方公式有：（a±b）2=a2±2ab+b2，平方差公式有（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．11．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x2+y2（2）（x2﹣1）（y2﹣1）．【解答】解：（1）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=（x+y）2﹣2xy=9+16=25；（2）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=x2y2﹣（x2+y2）+1=64﹣25+1=40．12．一个单项式加上多项式x2﹣6x+4后等于一个整式的平方，试求这样的单项式并写出相应的等式（请写3个）【解答】解：①加5，则x2﹣6x+4+5=（x﹣3）2；②加10x，则x2﹣6x+4+10x=（x+2）2；③加2x，则x2﹣6x+4+2x=（x﹣2）2．。
北师版七年级数学下册课时练 第一章 整式的乘除 专项1 整式乘法法则与乘法公式的几何验证
北师版七年级数学下册第一章整式的乘除一、原理分析1．如图，如果将长方形看成一个整体，则长方形的长为 2a＋b，宽为a＋b，所以面积可以表示为(2a＋b)(a＋b) ；如果将长方形看成部分之和，则长方形可以看成是由六个小长方形拼成的，六个小长方形的面积分别为a2，a2，ab，ab，ab，b2，所以长方形的面积可以表示为a2＋a2＋ab＋ab＋ab＋b2，化简得 2a2＋3ab＋b2；由于整体＝部分之和，这样我们就得到了等式 (2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2 .二、跟踪练习2．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如：图1可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，那么图2验证的恒等式是(B)A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b23．(2019·江西南昌模拟)如图，将图1中阴影部分拼成图2所示图形，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式(B)A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab4．如图，将边长为5m的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长3n的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块长方形，则这块长方形较长的边长为(A)A．5m＋3n B．5m－3nC．5m＋6n D．10m＋6n5．如图，将一个边长为a cm的正方形纸片剪去一个边长为(a－1)cm的小正方形(a＞1)，余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形(无重叠无缝隙)，则长方形的面积是(C)A．1 B．aC．2a－1 D．2a＋16．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长、宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为(A)A．2a＋b B．4a＋bC．a＋2b D．a＋3b7．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2.若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 13 .8．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图，1号卡片为边长为a的正方形，2号卡片为边长为b的正方形，3号卡片为一边长为a、另一边长为b的长方形．(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请在虚线框中画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系写出一个等式．这个等式是 (a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2．(2)小明想用类似的方法解释多项式乘法(2a＋3b)(a＋2b)＝2a2＋7ab＋6b2，那么需用2号卡片6 张，3号卡片 7 张．。
七年级数学下册知识点总结 北师大版
七年级数学下册知识点总结北师大版在七年级下册中，第一章讲述了整式的乘除。
单项式是由数与字母的乘积构成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数是单项式的系数，字母指数和是单项式的次数。
多项式是几个单项式的和，其中每个单项式是多项式的项，次数最高项的次数是多项式的次数。
整式是单项式和多项式的统称。
需要注意的是，凡分母含有字母代数式都不是整式，也不是单项式和多项式。
同底数幂的乘法法则是指，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
底数可以是多项式或单项式。
幂的乘方法则是指，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
可以逆用幂的乘方法则。
积的乘方法则是指，积的乘方，等于各因数乘方的积。
同底数幂的除法法则是指，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
需要注意的是，零指数和负指数的概念，即任何不等于零的数的零次方等于1，一个不等于零的数的负p次方等于这个数的p次方的倒数。
科学记数法是一种表示极大或极小数的方法。
单项式的乘法法则是指，单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
需要注意的是，积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则适用于任意数量的单项式相乘。
当两个单项式相乘时，结果仍为一个单项式，乘以3xy。
当一个单项式乘以一个多项式时，需要使用分配律，将单项式乘以多项式的每一项，然后将所得积相加，例如m(a+b+c)=ma+mb+mc。
需要注意的是，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同，运算时需要注意符号，并合并同类项。
多项式与多项式相乘的法则是，使用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，然后将所有积相加。
例如，(3a+2b)(a-3b)=3a^2-7ab-6b^2.平方差公式展开只有两项，左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
新北师大版七年级下数学知识点
北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结第一章：整式的运算1、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：a m﹒a n=a m+n。
逆用，即：a m+n= a m﹒a n。
2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（a m）n=a mn。
逆用，即：a mn=（a m）n=（a n）m。
3、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。
即（ab ）n=a n b n。
逆用，即：a nb n=（ab ）n。
4、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m÷a n=a m-n（a ≠0）。
逆用，即：a m-n= a m÷a n（a ≠0）。
5、零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a 0=1（a ≠0）。
6、负指数幂：任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即：1(0)p p a a a -=≠7、单项式与单项式相乘单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
8、单项式与多项式相乘单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
即：m(a+b+c)=ma+mb+mc 。
（注意）运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
9、多项式与多项式相乘多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。
（注意）多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。
10、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab 。
新北师大版七年级下数学知识点
北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结第一章：整式的运算1、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：a m ﹒a n =a m+n 。
逆用，即：a m+n = a m ﹒a n 。
2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（a m ）n =a mn 。
逆用，即：a mn =（a m ）n =（a n ）m 。
3、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。
即（ab ）n =a n b n 。
逆用，即：a n b n =（ab ）n 。
4、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m ÷a n =a m-n （a ≠0）。
逆用，即：a m-n = a m ÷a n （a ≠0）。
5、零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a 0=1（a ≠0）。
6、负指数幂：任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即：1(0)pp a a a -=≠ 7、单项式与单项式相乘单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
8、单项式与多项式相乘单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
即：m(a+b+c)=ma+mb+mc 。
（注意）运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
9、多项式与多项式相乘多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。
（注意）多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。
10、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab 。
北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除 第10课 乘法公式——完全平方公式 课件
2.(例1)计算： (1)(x＋3)2＝x2＋2·x·3＋32＝_x_2_＋__6_x_＋__9_； (2)(x－5)2＝___x_2－__2_·_x_·_5_＋__5_2__＝x_2_－__1_0_x_＋__2_5.
3. 计算： (1)(x＋1)2＝___x2_＋__2_·_x_·1_＋__1_2___＝_x_2_＋__2_x_＋__1_； (2)(x－4)2＝___x2_－__2_·_x_·4_＋__4_2___＝_x_2－__8_x_＋__1_6_.
第3关 18. 一个圆的半径长为r(r>2) cm，减少2 cm后，这个圆的面积 减少了多少？ 解：∵圆的半径长为r(r＞2) cm，减少2 cm后的半径变为 (r－2) cm. 则半径减少后圆的面积为： π(r－2)2＝π(r2－4r＋4)＝πr2－4πr＋4π. ∴圆的面积减少了：πr2－(πr2－4πr＋4π)＝(4πr－4π) cm2.
4.(例2)计算：
(1)(3x＋5y)2;
解：原式＝(3x)2＋2·3x·5y＋(5y)2 ＝9x2＋30xy＋25y2
2
2
x
1 2
2
.
解：原式＝(2x)2－2·2x·1 ＝4x2－2x＋1 2
1 2
2
4
5. 计算： (1)(4x－3y)2;
解：原式＝(4x)2－2·4x·3y＋(3y)2
19.如图的三角形可解释(a＋b)n的展开式的各项系数，此 三角形称为“杨辉三角”.
其中(a＋b)0＝1， (a＋b)1＝a＋b， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， 根据“杨辉三角”计算(a＋b)4. 解：原式＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
第二讲乘法公式的几何意义
第二讲乘法公式的几何意义乘法公式是数学中非常重要的一个基本概念，它描述了两个数相乘的结果。
在几何学中，乘法公式有着丰富的几何意义，可以帮助我们理解和解释各种几何现象和关系。
一、面积的乘法公式：在平面几何中，我们知道任意矩形的面积可以通过将它的长度乘以宽度得到。
这个面积的计算公式就是乘法公式的简单形式。
即，对于一个矩形，其长为a，宽为b，则其面积S可以表示为S=a×b。
几何意义上，乘法可以看作是两个向量之间的数量乘法。
对于矩形的面积，我们可以将其长和宽看作两个向量，通过将向量a向量b的长度相乘来得到面积。
同时，这个面积也可以理解为向量a和向量b之间的叉积的模长。
二、体积的乘法公式：在空间几何中，乘法公式也可以应用于描述体积的计算。
例如，对于一个长方体，其三个边长分别为a，b，c，则其体积V可以表示为V=a×b×c。
类似地，几何意义上，也可以将三个边长看作三个向量。
这个体积可以理解为这三个向量之间的混合积的绝对值。
三、比例关系的乘法公式：乘法公式还可以描述比例关系。
例如，对于一个直角三角形，根据勾股定理可以得到a²=b²+c²。
我们可以将这个等式写成a/b=c/b，即a与b 的比例等于c与b的比例。
几何意义上，这个乘法公式可以解释为两个长度的比例乘以一个相同的长度，得到另外两个长度的比例。
四、扩大、缩小和相似的乘法公式：在几何学中，也经常会涉及到图形的扩大和缩小。
乘法公式可以很好地描述这种变换关系。
例如，对于一个图形A，我们可以通过将其按照一些比例因子k进行扩大或缩小得到一个新的图形B。
此时，图形B的面积、周长等可以通过乘以k得到。
即，图形B的面积等于图形A的面积乘以k²，周长等于图形A的周长乘以k。
相似的几何图形之间具有相似的形状和比例关系。
例如，两个相似三角形的三条边长的比例是相等的。
这个比例关系可以通过乘法公式进行描述。
在几何意义上，乘法公式可以理解为长度和面积的伸缩变换。
北师大数学七年级下册第一章-乘法公式
第03讲_乘法公式知识图谱平方差公式知识精讲二．思路点拨一．平方差公式平方差公式两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差三点剖析一．考点：平方差公式二．重难点：平方差公式三．易错点：1．a 、b 仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子（单项式、多项式等），只是它们的和与差的积，一定等于它们的平方差. 例如：(23)(23)x x +-中，把2x 看成a ，3看成b ；(2)(2)m n m n -+--中，把m -看成a ，2n 看成b ；(32)(32)x y x y ---中,把2y -看成a ,3x 看成b ，等等．平方差公式例题1、 如图（一），在边长为a 的正方形中，挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A.a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）B.（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2C.（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2D.（a ＋2b ）（a －b ）＝a 2＋ab －2b 21.、仅仅是一个符号，可以表示数，式子（单项式、多项式等）2.平方差公式的使用条件：相乘的两个多项式中，符号相同的为a ，符号不同的为b 1.中，符号相同，为，为2.为,为平方差公式的连环使用原式平方差公式的逆向运用【答案】 A【解析】 由题可得：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ）． 例题2、 用简便方法计算（要写出运算过程）： （1）20172﹣2016×2018 （2）1982．【答案】 （1）原式=1 （2）原式=39204【解析】 （1）原式=20172﹣（2017﹣1）（2017+1） =20172﹣（20172﹣1） =1；（2）原式=（200﹣2）2 =2002﹣2×200×2+22 =40000﹣800+4 =39204．例题3、 已知ab=2，求（2a+3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2的值． 【答案】 48【解析】 （2a+3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2 =（2a+3b+2a ﹣3b ）（2a+3b ﹣2a+3b ）=4a•6b =24ab ，当ab=2时，原式=24×2=48．例题4、 已知248﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是__、__． 【答案】 65、63【解析】 248﹣1=（224+1）（224﹣1）， =（224+1）（212+1）（212﹣1）， =（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）； ∵26=64，∴26﹣1=63，26+1=65， ∴这两个数是65、63．随练1、 如果22()()4a b a b +--=，则一定成立的是（ ） A.a 是b 的相反数 B.a 是b -的相反数C.a 是b 的倒数D.a 是b -的倒数【答案】 C【解析】 由22()()4a b a b +--=得()()()()2244a b a b a b a b a b a b ab +--=++-+-+==，故1ab =，即a ，b 互为倒数，故选C ．随练2、 计算：2111111111124162562n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】 41122n --【解析】 令2111111111124162562n A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则2411111111(1)(1)11111122241625622n nA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+++++=- ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以41122n A -=- 随练3、 积A 的个位数字：()()()()()()()24816326421212121212121A =+++++++． 【答案】 5【解析】 ()()()()()()()248163264128(21)2121212121212121A =-+++++++=-；2n 的个位数字按2、4、8、6循环；所以1282的个位数字是6；A 的个位数字是5.随练4、 利用乘法公式计算：20162﹣2015×2017=___． 【答案】 1【解析】 原式=20162﹣（2016﹣1）×（2016+1）=20162﹣（20162﹣1）=20162﹣20162+1=1完全平方公式知识精讲完全平 方公式完全平方和公式 222()2a b a ab b +=++ 完全平方差公式 222()2a b a ab b -=-+特征左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和， 加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍； 公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数）， 也可以表示单项式或多项式等代数式．完全立方公式1．()()3322333333a b a a b ab b a b ab a b +=+++=+++ 2．()()3322333333a b a a b ab b a b ab a b -=-+-=---三点剖析一．考点：1．完全平方公式；2．完全平方公式的变形；3．三项完全平方公式；4．完全立方公式．二．重难点：完全平方公式的变形．三．易错点：1．利用完全平方公式计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．2．()222a b a b +≠+，切勿把“乘积项2ab ”丢掉．完全平方公式例题1、 下列各式计算正确的是（ ） A.3（x －y ）＝3x －y B.（x ＋y ）（x －y ）＝x 2＋y 2 C.（1－x ）（－x ＋1）＝1－x 2 D.（x －y ）2＝x 2－2xy ＋y 2 【答案】 D【解析】 A 、3（x －y ）＝3x －3y ，故此选项错误； B 、（x ＋y ）（x －y ）＝x 2－y 2，故此选项错误； C 、（1－x ）（－x ＋1）＝（1－x ）2，故此选项错误； D 、（x －y ）2＝x 2－2xy ＋y 2，正确．例题2、 已知b a ,满足等式()a b y b a x -=++=24,2022，则y x ,的大小关系是（ ） A.y x ≤ B.y x ≥ C.y x < D.y x > 【答案】 B【解析】 ()()()222222204244816240x y a b b a a a b b a b -=++--=+++-+=++-≥，故x y ≥，故选B 选项． 例题3、 若4x 2－2（m －1）x ＋9是完全平方式，则m ＝________． 【答案】 －5或7【解析】 ∵4x 2－2（m －1）x ＋9是完全平方式， ∴－2（m －1）＝±2×2×3， 解得：m ＝－5或7．例题4、 已知（2013﹣b ）（2011﹣b ）=1000，试求（2013﹣b ）2+（2011﹣b ）2的值． 【答案】 2004【解析】 根据完全平方公式求出[（2013﹣b ）﹣（2011﹣b ）]2=22=4，把（2013﹣b ）2+（2011﹣b ）2变成[（2013﹣b ）﹣（2011﹣b ）]2+2（2013﹣b ）（2011﹣b ），代入求出即可． 解：∵[（2013﹣b ）﹣（2011﹣b ）]2=22=4，（2013﹣b ）（2011﹣b ）=1000， ∴（2013﹣b ）2+（2011﹣b ）2=[（2013﹣b ）﹣（2011﹣b ）]2+2（2013﹣b ）（2011﹣b ） =4+2×1000 =2004．随练1、 下列等式中不成立的是（ ） A.()222329124x y x xy y -=-+ B.()()22a b c c a b --=-+ C.2221124m n m mn n ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭D.()()()2244x y x y x y x y +--=-【答案】 D【解析】 该题考查的是完全平方公式． 完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+．()222329124x y x xy y -=-+，原式正确；()()22a b c c a b --=-+，原式正确；2221124m n m mn n ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，原式正确；()()()()2222242242x y x y x y x y x x y y +--=-=-+，原式错误；所以答案选D随练2、 若方程25x 2﹣（k ﹣1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k 的值为（ ）A.﹣9或11B.﹣7或8C.﹣8或9D.﹣6或7 【答案】 A【解析】 根据题意知， ﹣（k ﹣1）=±2×5×1，∴k ﹣1=±10，即k ﹣1=10或k ﹣1=﹣10， 得k=11或k=﹣9．随练3、 若214x kx ++是完全平方式，则常数k 的值为（ ）A.12B.12±C.1D.±1 【答案】 D【解析】 ∵22211()42x kx x kx ++=++，∴122kx x =±⨯，解得k ＝±1．完全平方公式的变形例题1、 已知a+b=8，a 2b 2=4，则22a +b 2﹣ab= ． 【答案】 28或36【解析】 22a +b 2﹣ab=2(a+b)-2ab 2﹣ab=2(a+b)2﹣ab ﹣ab=2(a+b)2﹣2ab∵a 2b 2=4，∴ab=±2，①当a+b=8，ab=2时，22a +b 2﹣ab=2(a+b)2﹣2ab=642﹣2×2=28，②当a+b=8，ab=﹣2时，22a +b 2﹣ab=2(a+b)2﹣2ab=642﹣2×（﹣2）=36．例题2、 已知：x+1x =3，则x 2+21x=___．【答案】 7【解析】 ∵x+1x=3，∴（x+1x ）2=x 2+2+21x =9，∴x 2+21x=7，随练1、 已知a ＋b ＝2，ab ＝−2，则（a−b ）2＝________ 【答案】 12【解析】 暂无解析随练2、 实数a ，b ，c 满足2617a b +=-，2823b c +=-，2214c a +=，则a b c ++的值为__________． 【答案】 8-【解析】 将三式相加得整理得随练3、 已知23a b -=+，23b c -=222a b c ab bc ac ++---的值为__________． 【答案】 15【解析】 原式()()()2221152a b b c c a ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦三项完全平方公式例题1、 计算：()223a b c ++=_____________；()223a b c --=_____________． 【答案】 222494612a b c ab ac bc +++++；222494126a b c ab ac bc ++--+．【解析】 ()()()()222222223=23=2629494612a b c a b c a b c a b c a b c ab ac bc++++++++=+++++⎡⎤⎣⎦()()()()222222223232629494126a b c a b c a b c a b c a b c ab ac bc --=--=---+=++--+⎡⎤⎣⎦随练1、 计算： 2122x y z ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=_________；()()22a b c b c a --+-=_________．【答案】 22214424x y z xy xz yz ++--+；2224424a b c ab ac bc ---++-【解析】 利用完全平方公式展开计算即可．完全立方公式例题1、 计算：（1）()31x +（2）()323a b -【答案】 32331x x x +++；32238365427a a b ab b -+-．【解析】 利用完全立方公式或者转换为多项式乘以多项式代入计算即可．随练1、 计算：（1）()345a b -（2）()323m n --【答案】 322364240300125a a b ab b -+-；32238365427m m n mn n ---- 【解析】 代入完全立方公式计算即可拓展1、 计算：2222222212345699100-+-+-++-的值是（ ）A.5050B.5050-C.10100D.10100-【答案】 B【解析】 2222222212345699100-+-+-++-()()()()()()()()12123434979897989910099100=+-++-+++-++- ()()503199371119519950502⨯+=-+++++=-=-，故选B ．2、 如果正整数y x ,满足方程6422=-y x ，则这样的正整数对()y x ,的个数是_____________． 【答案】 12【解析】 22()()64x y x y x y -=+-=；x y +与x y -的奇、偶性相同，所以可得322x y x y +=⎧⎨-=⎩或164x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得1715x y =⎧⎨=⎩或106x y =⎧⎨=⎩，共有2组满足条件的正整数对. 3、 利用平方差公式计算：30.1×29.9． 【答案】 899.99【解析】 原式=（30+0.1）（30﹣0.1） =302﹣0.12 =899.99．4、 已知2431-可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数． 【答案】 28，26【解析】 241263331(31)(31)(31)(31)-=+++-5、 已知8a b +=，12ab =，求下列式的值：22a ab b -+= ；2()a b -= ． 【答案】 28，16【解析】 2222()383628a ab b a b ab -+=+-=-=222()()4841216a b a b ab -=+-=-⨯= 6、 已知()()222017201934x x -+-=，则()32018-x 的值是___________.【答案】 64± 【解析】 暂无解析7、 如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为a ，右边小正方形边长为b ，>a b ，则图中阴影部分面积可表示为（ ）A.221122a ab b ++B.221122a ab b -+C.22111222a ab b -+D.()2122a b - 【答案】 B【解析】 暂无解析8、 如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a>b ），把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式为（ ）A.a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）B.（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2C.（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2D.（a ＋2b ）（a －b ）＝a 2＋ab ＋b 2 【答案】 A【解析】 暂无解析9、 阅读下面求y 2+4y+8的最小值的解答过程． y 2+4y+8=y 2+4y+4+4=（y+2）2+4 ∵（y+2）2≥0 ∴（y+2）2+4≥4∴y 2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，求x 2﹣2x+3的最小值． 【答案】 2【解析】 x 2﹣2x+3 =x 2﹣2x+1+3﹣1 =（x ﹣1）2+2≥2，∵（x ﹣1）2≥0即（x ﹣1）2的最小值为0， ∴x 2﹣2x+3的最小值为2．10、 已知c b a ,,满足,176,12,72222-=--=-=+a c c b b a 则c b a ++的值等于（ ） A.2B.3C.4D.5【答案】 B【解析】 把条件中的三个式子相加得到2222267117a b b c c a ++-+-=--，即2226921210a a b b c c -+++++-+=，整理得()()()2223110a b c -+++-=，所以3a =，1b =-，1c =，所以3a b c ++=，故选B 选项．11、 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，则代数式ac bc ab c b a ---++222的值为（ ） A.4B.3C.2D.1【答案】 B【解析】 因为()()()22222212a b c ab bc ac a b b c a c ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦，12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，所以1a b -=，2b c -=-，1a c -=-，所以()()222222112132a b c ab bc ac ⎡⎤++---=+-+-=⎣⎦，故选B 选项．。
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保师附校七年级数学学科课堂教学前置预学任务单
课题：乘法公式的几何解释姓名：时间:
—数形结合思想
1初步感受数形结合思想；
2、通过动手操作让学生感受数学的乐趣；
3、调动学生学习数学的积极性，激发学生学习的兴趣;
预学
资源
1如下图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1
中阴影部分拼成的一个长方形.
（1）请你分别表示出图1阴影部分的面积S，图2阴影部分的面积3
2、如图1，边长为（a+b）的正方形，按图2所示分割，请用不同的方法来表示大正方形
的面积，从而验证了哪个乘法公式？
预学
目标
（2）由（1 ）你可以得到哪个等式？这是我们学过的哪个公
式?
图1 图2
3、前两题都通过图形变换，用不同的方式表示了相同的面积（阴影部分的面积），
证明了乘法公式的正确性，思考一下，你还能够将图1中的
阴影部分拼接成其它几何图形吗（画出图形）？你能证明哪些公式（写出证明过程）。
测Q （小贴士：动手做一做，思路会更清晰哦，方法越多越好.）
提示：请准备边长为2厘米的正方形4张，边长为1厘米的正方
形9张，长为2厘米宽为1厘米的长方形最少15张！
1、已知面积为a2的正方形9张，面积为b2的正方形4张，面积为ab的长方形m 张，如果用
这些图形拼成面积为9a2+mab+4b2的正方形，则m的值为
ab
设计人：冉健佳。