高中数学问题备忘录—集合与命题

高中数学问题备忘录——集合与命题

1.集合的特性：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性；

2.列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合的方法；

3.描述法：将集合中元素的通性描述出来写在大括号内表示集合的方法；通式：{|}x P ；

4.空集(记为∅)是指不含任何元素的集合；它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集(注意}0{、∅和{}∅的区别)；

5.“ ∈∉，”表示元素与集合间的从属关系； “ ()⊂⊄⊆⊆，，”表示集合与集合间的包含关系。

6.给出下列条件：①集合A 中任何一个元素都是集合B 中的元素；②集合B 至少存在一个元素不在 集合A 中；③集合B 中任何一个元素都是集合A 中的元素.

如果集合 A B 、

满足①，则A 是B 的子集；如果集合 A B 、满足①、②，则A 是B 的真子集； 如果集合 A B 、

满足①、③，则A 与B 是相等的集合； 注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了A =∅的情况；考察集合的关系借助韦恩图。

7.集合的含义：(1){|()}A x y f x ==表示函数的定义域； (2){|()}B y y f x ==表示函数的值域；

(3) {( )|()}C x y y f x ==，表示方程f ( x , y )=0的解的集合，或表示曲线上的点的集合；

(4) {|()()}D x f x g x ==表示方程()()f x g x =解的集合；

8.集合的运算：{| }A B x x A x B =∈∈ 且；{| }A B x x A x B =∈∈ 或； {| }U C A x x U x A =∈∉，且 ；

9.运算性质： A B A A B B A ⊆⊆= ，A B B ⊇ ；A B B A A ∅⊆=⊆ ，A B B ⊆ ； U B A B A =∅⇔⊆ ð；U B A U A B =⇔⊆ ð；()U U U A B A B = 痧 ；()U U A A =痧；

()U U U A B C A B = 痧；U U A B A A B B A B B A =⇔=⇔⊆⇔⊆ 痧U A B ⇔=∅ ð；

U U U U ∅==∅；

痧； A B B C A C ⊆⊆⇒⊆，且 10. 自然数（整数）分类：被2整除与否可分为21

2(())k k k N Z -∈或，； 被3整除与否可分为32 31 3(())k k k k N Z --∈或，

，； 被4整除与否可分为43 42 41 4(())k k k k k N Z ---∈或，

，，；其余依此类推； 11. n 个元素的子集有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空真子集有22n -个。

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12. 可以判断真假的语句叫做命题.

13. x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，

若A B ⊂且A B ≠；则p 是q 的充分非必要条件p q ⇔⇒，且p q ⇐p q ⇔⇐，且p q ⇒； 若A B ⊃且A B ≠；则p 是q 的必要非充分条件p q ⇔⇐，且p q ⇒p q ⇔⇒，且p q ⇐； 若A B ⊆且A B ⊇；则p 是q 的充要条件p q ⇔⇒，且p q ⇐p q ⇔⇐，且p q ⇒； 若A B ⊆且A B ⊇；则p 是q 的既非充分又非必要条件p q ⇔⇒，且p q ⇐；

14. 命题与逆否命题同真同假，否命题与逆命题同真同假；

15. 反证法：当证明“若p ，则q ”感到困难时，(相当于)改证它的等价命题“若q 则p ”成立. 证题步骤：①假设结论反面成立；②从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。

矛盾的来源：ⅰ.与原命题的条件；ⅱ.与假设；ⅲ.恒假命题。

高中数学备忘录——不等式

1.不等式的依据：实数的有序性，即0 0 0a b a b a b a b a b a b >⇔-><⇔-<=⇔-=；；；

2.不等式的性质：

① a b b c a c >>⇒>，

； ②a b a c b c >⇔+>+（ a c b a b c a b c d a c b d +>⇔>->>⇒+>+；

，； a b c d a c b d ><⇒->-，）；

③ 0 0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒<，

；，(0 0a b c d a c b d >>>>⇒+>+，； 110a b a b >>⇒

<；110a b a b >>⇒<；110a b a b

>>⇒>)；

④0 1n n a b n N n a b >>∈>⇒>，，；⑤0 1a b n N n >>∈>>，，

3.基本不等式：①222a b ab +≥(当且仅当a b =时，等号成立)；

②若0 0a b >>，，则a b +≥(当且仅当a b =时，等号成立)； ③（推） a b ，同号，则2b a a b

+≥(当且仅当a b =时，等号成立)； ④222()22a b a b ab ++≥≥(当且仅当a b =时，等号成立) 4.重要结论：

设 x y ，

为正数，①如果积xy 为定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值 ②如果和x y +为定值S ，那么当x y =时，积x y ⋅有最大值214

S . 5.不等式的解法：

一次不等式的解法：变一次项系数为1；

二次不等式的解法：结合二次函数的图像和一元二次方程的解；

高次不等式的解法：序轴标根法或列表讨论法；

分式不等式的解法：不等式的一边变为0，根据实数的性质转化为整式不等式；

绝对值不等式的解法：想办法去掉绝对值符号（讨论或平方）；

其它不等式解法：数形结合用图像法、换元法、根据函数的单调性等。

总之，高次不等式低次化；分式不等式整式化；绝对值不等式常规化；无理不等式有理化；超越不等式代数化是解不等式的基本原则，含参数的不等式分类讨论，数形结合用图像法、换元法、根据函数的单调性等是转化的重要途径。

6.不等式的证明方法

(1)比较法：作差→变形(配方或分解因式) →判断符号．两边均正时也可比商，判断与1的大小.

(2)综合法：从已知出发，依据性质和基本不等式，直接推出所需的不等式(连接词：∵…，∴…)．

(3)分析法：从欲证的不等式出发，寻找不等式成立的充分条件(连接词：要证…，只要证…)．

(4)还有放缩法、反证法、数学归纳法等

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7.20ax bx c ++>恒成立{00a >⇔∆<或{

0 00a b c ==<，，有等号时0∆<改为0∆≤；0c <改为0c ≤； 8.(可转化为)“()a f x >恒成立”max [()]a f x ⇔>. 若()f x 无最大值，但()f x M <，则a M ≥；

9.(可转化为)“()a f x ≥恒成立”max [()]a f x ⇔≥. 若()f x 无最大值，但()f x M <，则a M ≥；

10. (可转化为)“()a f x <恒成立”min [()]a f x ⇔<. 若()f x 无最小值，但()f x m >，则a m ≤；

11. (可转化为)“()a f x ≤恒成立”min [()]a f x ⇔≤. 若()f x 无最小值，但()f x m >，则a m ≤；

12. (可转化为)“()a f x >有解”min [()]a f x ⇔>. 若()f x 无最小值，但()f x m >，则a m >；

13. (可转化为)“()a f x <有解”max [()]a f x ⇔<.若()f x 无最大值，但()f x M <，则a M <；

14. 注意区别“恒成立”和“有解”：“恒成立”中的x 具有任意性，“有解”中的x 只要存在性；

15. 认清变量和参数，恰当分离参数，灵活转化问题是解决好不等式问题的重要保证.