上海海事大学高数课件 0引言
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大学高等数学ppt课件第二章4导数的应用
x1 x2
介于 x1与 x2之间
y
y f (x)
o
a y
•
bx
y f (x) •
oa
bx
于是有函数单调性的判别定理
◆函数单调性的判别定理
设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，则 （1） 如果函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有 f (x) 0，则函数在
例5 证明不等式 ex 1x (x0) 证明 令 f(x)ex 1x
则
f (x) ex 1
当 x 0 时 ， f ( x ) 0 , 故 函 数 在 0 , + 内 单 调 增 加
所 以 ， x 0 , ,有 f( x ) f( 0 ) 0
第四节 导数的应用
学习重点
函数的单调性的判别 函数极值及最值的确定方法 曲线凹凸向的判别及拐点的确定
◆函数的单调性
函数单调递增，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
函数单调递减，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
由Lagrange中值定理：
f ( ) f ( x1 ) f ( x2 )
xx0,x0 f (x) 0
则 y f (x) 在点 x 0 处取得极小值；
（ 3 ） xx0,x0 xx0,x0
f (x)同号
则 y f (x) 在点 x 0 处无极值；
x0 x 0 x0 x y
x0 x 0 x0 x
练习 求 y f(x ) x 3 3x 2的 单 调 区 间 和 极 值 2
如 y=x2 在区间 [-1，2] 内，只有极小值。 （3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数； （4）极值一定在区间内部取得。
介于 x1与 x2之间
y
y f (x)
o
a y
•
bx
y f (x) •
oa
bx
于是有函数单调性的判别定理
◆函数单调性的判别定理
设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，则 （1） 如果函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有 f (x) 0，则函数在
例5 证明不等式 ex 1x (x0) 证明 令 f(x)ex 1x
则
f (x) ex 1
当 x 0 时 ， f ( x ) 0 , 故 函 数 在 0 , + 内 单 调 增 加
所 以 ， x 0 , ,有 f( x ) f( 0 ) 0
第四节 导数的应用
学习重点
函数的单调性的判别 函数极值及最值的确定方法 曲线凹凸向的判别及拐点的确定
◆函数的单调性
函数单调递增，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
函数单调递减，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
由Lagrange中值定理：
f ( ) f ( x1 ) f ( x2 )
xx0,x0 f (x) 0
则 y f (x) 在点 x 0 处取得极小值；
（ 3 ） xx0,x0 xx0,x0
f (x)同号
则 y f (x) 在点 x 0 处无极值；
x0 x 0 x0 x y
x0 x 0 x0 x
练习 求 y f(x ) x 3 3x 2的 单 调 区 间 和 极 值 2
如 y=x2 在区间 [-1，2] 内，只有极小值。 （3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数； （4）极值一定在区间内部取得。
数学
END
上海海事学院航海教研室
退出
二、正弦公式
1.正弦公式：
sin a sin b sin c sin A sin B sin C
2.余弦公式的记忆：
球面三角形各边的正弦与其对角的正弦成比例。
END 上海海事学院航海教研室 退出
三、余切公式( 四联公式 )
1.余切公式： ctgasinb = ctgAsinC+cosCcosb、 ctgasinc = ctgAsinB+cosBcosc ctgbsina = ctgBsinC+cosCcosa ctgbsinc = ctgBsinA+cosAcosc ctgcsina = ctgCsinB+cosBcosa ctgcsinb = ctgCsinA+cosAcosb 2.余切公式的记忆：
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END 退出
六、两个大圆的极之间的大圆弧所对 的球心角等于此两大圆平面的二面角
END 上海海事学院航海教研室 退出
七、圆心角相等的小圆弧与大圆弧之比
圆心角相等的小圆弧与大圆弧长度之比等 于小圆极距的正弦函数。
ab（长度） sin Pa AB（长度）
即
ab（长度） =AB（长度）sin（小圆极距） = AB(长度)×cos(90小圆极距)
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END 退出
五、球面角及其度量
1.球面角：球面上两个大圆弧所构 成的角称为球面角。两大圆弧的 交点称为球面角的顶点，大圆弧 称为球面角的边。 2. 球面角的度量 球面角有三种度量方法： （1）用切于顶点的两大圆弧边的 切线间的夹角么EPF来度； （2）用顶点的极线被球面角两边 大圆弧所截的弧长AB来度量； （3）用AB弧所对应的球心角 AOB来度量。
高等数学课件第一章1
以，若用y 表示撑杆跳高高度，用t表示1900年以来的年
份数，则函数关系为 y 3.33 0.05 t ，图形如图1-10。
图1-9
图1-10
《高等数学》课件 (第一章第一节)
1.1.2 函数的几种特性 1. 函数的有界性
定义1-2 设 f (x) 是定义在数集 D上的函数，若
存在正数 M ，使得对于任何的 xD ，都满足 f (x) M ,
f (x) f (x),
则称 f 是偶函数.
若对于任意的 x D( f ) 总有
f (x) f (x),
则称 f 是奇函数。
《高等数学》课件 (第一章第一节)
例如函数 y cos x, y x 2 都是偶函数， y sin x, y x3 都是奇函数。
由定义知，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图
x
0,
x 0,
1, x 0.
其图形如右下图所示。
y
O
x
y
1
O
x
-1
《高等数学》课件 (第一章第一节)
（3）取整函数定义为
y x n, n x n 1, n 0, 1, 2, .
y
其图形如图所示.
4
3
2
1
-1 o 1 2 3 4 x
《高等数学》课件 (第一章第一节)
由图形或表格表示的函数有些可用公式表示，有些则 只能用近似公式表示. 转换的目的在于进一步了解由图形 或表格表示的函数的内在规律，同时也可用于近期预测.
记为 y f [(x)] 或 ( f )(x)
其中u 称为中间变量.
《高等数学》课件 (第一章第一节)
复合函数的中间变量可以不止一个, 并且复合函数
份数，则函数关系为 y 3.33 0.05 t ，图形如图1-10。
图1-9
图1-10
《高等数学》课件 (第一章第一节)
1.1.2 函数的几种特性 1. 函数的有界性
定义1-2 设 f (x) 是定义在数集 D上的函数，若
存在正数 M ，使得对于任何的 xD ，都满足 f (x) M ,
f (x) f (x),
则称 f 是偶函数.
若对于任意的 x D( f ) 总有
f (x) f (x),
则称 f 是奇函数。
《高等数学》课件 (第一章第一节)
例如函数 y cos x, y x 2 都是偶函数， y sin x, y x3 都是奇函数。
由定义知，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图
x
0,
x 0,
1, x 0.
其图形如右下图所示。
y
O
x
y
1
O
x
-1
《高等数学》课件 (第一章第一节)
（3）取整函数定义为
y x n, n x n 1, n 0, 1, 2, .
y
其图形如图所示.
4
3
2
1
-1 o 1 2 3 4 x
《高等数学》课件 (第一章第一节)
由图形或表格表示的函数有些可用公式表示，有些则 只能用近似公式表示. 转换的目的在于进一步了解由图形 或表格表示的函数的内在规律，同时也可用于近期预测.
记为 y f [(x)] 或 ( f )(x)
其中u 称为中间变量.
《高等数学》课件 (第一章第一节)
复合函数的中间变量可以不止一个, 并且复合函数
3.1.2函数的表示法第2课时-高二数学(沪教版选择性必修第一册)课件
例1 下表是某班三名同学在高一学年度6次数学测试的成绩及班级平均分表.
请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析.
姓名
王伟 张城 赵磊 班级平 均分
第1次 98 90 68
88.2
第2次 87 76 65
78.3
测试序号
第3次 第4次
91
92
88
75
73
72
85.4 80.3
第5次 88 86 75
课堂总结
王伟同学的数学成绩始终高于班 级平均水平，学习情况比较稳定 而且比较优秀. 张诚同学的数学成绩不稳定，总 是在班级平均水平上下波动，而 且幅度较大.
赵磊同学的数学成绩低于平均水平，但是他的成绩呈曲线上升的趋势， 从而表明他的数学成绩在稳步提高.
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结
解析、列表和图象三法各有缺点，面对实际问题时根据需要恰当选择
200 150
O
10 20 30 x(小时)
学习目标
新课讲授
课堂总结
（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少小时？
（2）当x≥20时，y与x的函数关系式是：y=4x+120 代入相应函数关系式可得 x =32.5
y(元)
240 200 150
答：当小强4月份家务劳动32.5小时，5月份可得到 O 的费用为250元.
表示法
优点
缺点
解析法
变量关系特别明显，给定任意 自变量可直接求出对应的函数 值.
不形象，不直观，变化趋势 难判断，有些函数无法使用.
列表法 图象法
不用计算，只需看任意给定变 受变量数量限制，只限数量
量值，表中查找很容易.
上海海事大学ppt课件
轮机工程
航海技术
热能与动力工程
商 船 学 院
ppt课件 18
上海海事大学交通运输学院是全国最早创建交通运输管理类专 业的院系之一。现设管理系、国际航运系、法律系、海商法研究中 心、数字物流实验中心。 交通运输学院现有交通运输规划与管理、交通运输工程、国 际法学、民商法学、经济法学5个硕士点，拥有交通运输规划与管理 博士学位授予权。
ppt课件
经济学 国际经济与贸易 金融学
20
物流工程学院由机械工程系、工业工程系、电气自动化系、和机械 工程设计研究所、电力传动与控制研究所、港口集装箱技术发展研究所 组成。物流工程学院现拥有1个博士后流动站，1个博士点，7个硕士点， 7个本科专业，可向海外招收留学生。港口机械电子工程、港航电力传 动与控制工程、物流管理与工程学科是上海市重点学科。物流工程专业、 机械设计制造及其自动化专业属上海市高校教育高地重点建设项目。
24日语英语翻译方向英语航运方向外国语学院海洋环境与海洋环境与海洋环境与海洋环境与安全工程安全工程学院学院船舶与海洋工程环境工程安全工程海洋环境与工程学院现有4个本科专业环境工程安全工程港口航道与海岸工程船舶与海洋工程学院目前下设环境工程教研室安全工程教研室港航工程教研室和船舶工程教研室具备相关的基础和专业实验室并拥有上海市现代造船设计制造技术公共实训基地
计划扩招
为适应学校发展，以及考虑到市场的需要，今年学校本科 计划扩招450名，在全校41个本科专业中进行调整。
新生奖学金
学校于2007年起设置了“新生奖学金”，目的在于鼓励广 大优秀考生报考我校，对于高分考入我校的学生，按照标准 给予不同等级的“新生奖学金”，其中最高等级达四万元。
ppt课件 16
商船学院 Merchant Marine College 交通运输学院 College of Transport and Communications 经济管理学院 College of Economics&Management 物流工程学院 Logistics Engineering College 信息工程学院 Information Engineering College 外国语学院 College of Foreigh Languages 海洋环境与工程学院
上海海事大学管理会计学第章绪论PPT文档
四、管理会计的内容及方法
管理会计的内容
管理会计作为企业管理者规划和控制 生产经营活动提供信息服务的新型会计系 统，几乎涉及到企业生产经营的各个领域 和企业内部的各个环节，其内容是极为丰 富的，但由于每个具体的企业的实际生产 经营活动是错综复杂的，企业内部经营水 平与状态千差万别，管理当局需要什么信 息，管理会计就应设法及时对比，分析和 论证，没有任何强制性。
▪ 管理会计还包括编制诸如提供给股东，债 权人，规章制定机构及税务当局等非管理 集体使用的财务报表。”
二、管理会计定义
▪
该定义可以说是包含了比较广的范围。
因此认为它是广义的管理会计定义。广义
管理会计从内容上看也包括了财务会计，
成本会计和财务管理。并且强调它是一个
信息系统。即是广义范畴的管理会计的定
二、管理会计定义
▪ 管理会计尚属新兴学科，直到现在其定义也 还没有一个完全统一的口径。目前许多国家 都是以 会计学会的定义为基准，在它的基础 上进行相应的补充和扩展。关于管理会计是 如下定义的:
二、管理会计定义
▪ “管理会计是向管理当局提供用于企业内 部计划，评价，控制以及确保企业资源的 合理使用和经营责任的履行所需财务信息， 确认，计量，归集，分析，编报，解释和 传递的过程。
▪
为了提高生产和工作效率，泰罗在诸
如时间，动作研究等科学试验的基础上，
制定出在一定的客观条件下认为可以实现
的并且最有效率的标准操作方法，用此法
训练全体工人从而制定出比较高的标准。
对掌握标准的操作方法外，还对工人使用
的工具，机械，材料及作业环境加以标准
化。
▪
这时的管理会计主要是以标准成本，
预算控制，差异分析为主要内容，以成本
第二章插值法-上海海事大学概论
y f (x)
x0
x1
x2
x
3
x3
x4
我们仅介绍多项式插值,即如果已知函数f (x)在n+1个互异
点的值yi=f (xi) (i=0,1,2,,n),求一个次数不高于n的多项式
Pn(x)=a0+a1x+a2x2++anxn ,
(1.2)
使
Pn(xi)=yi (i=0,1,2,,n)
为了确定Pn(x)的n+1个系数,由上述条件得线性方程组
1(x),2 (x),...n (x)组成的函数空间,所以 p(x) n
可表示为
ai ,
p(x) a00 (x) a11(x) ... ann (x)
这里
i 0,1,2,...n是(n+1)个待定常数
它可根据条件(1.1)确定.
当 k (x) xk k 0,1,2,...n
Hn Span 1, x, x2,...xn 表示次数不超过n次的多项式集合，
p(xi ) yi i 0,1,2,...n (1.1)
称 p(x) 为 y =f(x) 的插值函数，点 x1, x2 ,....xn
称为插值节点，包含插值节点的区间[a, b] 称为插值区间.
1
通常 p(x) n Span0,1,...n,其中 i (x) i 0,1,2,...n
是一组在 [a, b]上线性无关的函数族, n 表示由
2 j 1
x xj x0 x j
类似地有
l1( x)
(x ( x1
x0 )( x0 )(
x x2 ) x1 x2 )
2 j 0
x xj x1 x j
j 1
l2 ( x)
上海海事大学高等数学教材
上海海事大学高等数学教材上海海事大学高等数学教材是该校数学专业的必修教材之一，旨在培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
本教材按照国家大纲的要求编写，内容丰富全面，适合大学本科阶段的学习。
第一章微积分基础在本章中，我们将从微积分的基本概念入手，介绍了包括极限、连续函数、导数等在内的重要内容。
通过理论分析和实例演示，帮助学生建立起对微积分的初步认识和理解。
第二章导数与微分学本章将深入探讨导数的性质和应用，包括常见函数的导数计算、高阶导数、隐函数求导以及微分中值定理等内容。
通过大量的例题练习，让学生掌握导数的计算方法和应用技巧。
第三章积分学在本章中，我们将详细介绍积分的概念和性质，包括定积分、不定积分、换元积分法等。
同时，还将介绍面积计算、曲线长度和旋转体体积等几何应用问题。
通过练习和实例分析，培养学生应用积分解决实际问题的能力。
第四章微分方程本章将介绍微分方程的基本概念和解法，包括一阶和二阶常微分方程的求解方法、可降阶的方程、高阶线性微分方程等。
通过理论分析和实例演示，帮助学生掌握微分方程的基本解法和解题思路。
第五章无穷级数在本章中，我们将详细介绍无穷级数的概念、性质和求和方法，包括等比级数、幂级数、函数展开等内容。
通过理论分析和实例演示，培养学生对无穷级数的理解和应用能力。
第六章多项式与函数逼近本章将介绍多项式和函数的逼近方法，包括最小二乘逼近、Chebyshev逼近以及Fourier级数等内容。
通过实例分析和应用案例，帮助学生掌握多项式和函数逼近的原理和技巧。
总结上海海事大学高等数学教材全面系统地介绍了微积分、积分学、微分方程、无穷级数等重要内容，能够满足学生的学习需求。
通过理论与实例相结合的教学方式，帮助学生建立起扎实的数学基础，为他们在数学专业的深入学习和实际应用奠定坚实的基础。
此教材编写规范，内容丰富实用，是上海海事大学数学专业教学的重要参考资料。
总字数：300字（不包括标题）。
高数ppt课件
无穷级数的求和法和乘法运算
求和法
求和法是求无穷级数和的基本方法。对于简单的无穷级数，可以直接计算其和。对于复杂的无穷级数，可能需要 使用一些技巧来求解。
乘法运算
乘法运算是指将两个无穷级数相乘。在乘法运算中，需要特别注意收敛性的变化。如果两个无穷级数相乘后的结 果是收敛的，那么它们的乘积就是收敛的；否则，它们的乘积就是发散的。
总结标词题
利•用文无字穷级内数容表示π • 文字内容
和•e是文高字数内中容另一个 • 重文要字的内应容用。
详细描述
π和e是数学中非常重 要的常数，它们都可 以通过无穷级数来表 示。例如，π可以通
过级数sin(x)/x = π/2, x≠0来表示，而 e可以通过级数1 +
x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...来表示。
多元函数的极值和最小二乘法
多元函数的极值
极值是函数在某点达到的最大或最小值。对 于二元函数f(x,y)，如果它在点(x0,y0)达到 极值，那么fx(x0,y0) = 0和fy(x0,y0) = 0。 类似地，对于三元函数f(x,y,z)，它在点 (x0,y0,z0)达到极值，那么fx(x0,y0,z0) = 0 、fy(x0,y0,z0) = 0和fz(x0,y0,z0) = 0。
高数的历史和发展
1 2
3
早期起源
自古希腊数学家开始研究极限和微积分的前身，到17世纪牛 顿和莱布尼茨的微积分学革命。
18世纪发展
以拉格朗日、欧拉等数学家对微积分和解析几何的杰出贡献 为标志。
19世纪现状
高数在物理、工程、经济等多领域得到广泛应用，如麦克斯 韦的电磁学理论、傅里叶的三角级数方法等。
新编文档-上海海事大学高数课件3函数的极限-精品文档
x0
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内容小结
1. 函数极限的"" 或"X" 定义及应用
2. 函数极限的性质: 保号性定理 Th1 Th2
思考与练习
与左右极限等价定理 Th3
1. 若极限 lim f (x)存在,
xx0
是否一定有xl ix0m f(x)f(例x03)？
2. 设函数 f (x)
a x2, x 1 且 limf (x) 存在, 则 2x 1, x 1 x1
xx0
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例4. 证明 lim (2x1)1
x 1
证: f(x)A (2x1)12x1
0,欲使
只要 x12,
取 2, 则当 0x1 时 , 必有
f(x ) A ( 2 x 1 ) 1
因此
lim (2x1)1
x 1
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例5. 证明 limx2 1 2 x1 x 1
证:
10 1
x
x
y y
1
x
ox
故 0,欲使
10 x
, 即
x
1,
取 X 1 , 当xX时 , 就有
因此
lim 1 0
x x
10
x
注: y0为y1的水平渐.近线 x
例2 证明 limsinx0. x x
y sin x x
证 sinx0sinx
x
x
1 x
1 X
,
0,
取
X
1,
则当 xX时恒有
sinx0 , x
故limsinx0. x x
定:义 如l果 im f(x)c,则直 yc线 是函 yf数 (x) x
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内容小结
1. 函数极限的"" 或"X" 定义及应用
2. 函数极限的性质: 保号性定理 Th1 Th2
思考与练习
与左右极限等价定理 Th3
1. 若极限 lim f (x)存在,
xx0
是否一定有xl ix0m f(x)f(例x03)？
2. 设函数 f (x)
a x2, x 1 且 limf (x) 存在, 则 2x 1, x 1 x1
xx0
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例4. 证明 lim (2x1)1
x 1
证: f(x)A (2x1)12x1
0,欲使
只要 x12,
取 2, 则当 0x1 时 , 必有
f(x ) A ( 2 x 1 ) 1
因此
lim (2x1)1
x 1
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例5. 证明 limx2 1 2 x1 x 1
证:
10 1
x
x
y y
1
x
ox
故 0,欲使
10 x
, 即
x
1,
取 X 1 , 当xX时 , 就有
因此
lim 1 0
x x
10
x
注: y0为y1的水平渐.近线 x
例2 证明 limsinx0. x x
y sin x x
证 sinx0sinx
x
x
1 x
1 X
,
0,
取
X
1,
则当 xX时恒有
sinx0 , x
故limsinx0. x x
定:义 如l果 im f(x)c,则直 yc线 是函 yf数 (x) x
大专高等数学第二章PPT
05
积分
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上的积分和的极限。
定积分的几何意义
定积分的值可以理解为曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的面 积。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、不等式性质等。
定积分的运算
不定积分与原函数
01
不定积分是求一个函数的原函数的过程，原函数可以用来计算
04
导数的应用
函数的单调性
判断单调性
通过求导数并分析导数的正负，可以 判断函数的单调性。如果导数大于0， 函数单调递增；如果导数小于0，函 数单调递减。
单调性的应用
单调性在经济学、物理学等领域有广 泛应用，如分析商品价格与需求量之 间的关系、研究物体运动规律等。
函数的极值
极值的定义
函数在其定义域内某点的函数值大于或小于 其邻近点的函数值，则称该点为函数的极值 点，该点的函数值为极值。
微分的概念与运算
微分的概念与运算
微分是导数的几何意义，表示函数在某一点附近的小 变化量。微分的运算包括微分的四则运算法则和复合 函数的微分法则。微分的四则运算法则包括加法法则 、减法法则、乘法法则和除法法则，这些法则可以用 来计算函数的微分。复合函数的微分法则则是通过将 复合函数分解为基本函数，然后对每个基本函数求微 分，再根据复合函数的定义进行微分。
极值的求法
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极 值点。然后通过判断该点左右两侧导数的符 号变化，确定是否为极值点。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性的定义
在曲线上任取两点，如果连接这两点的线段始终位于 这两点之间的曲线上方或下方，则称该曲线为凹曲线 或凸曲线。
拐点的求法
大一高数课件第二章
微分的计算方法：微分的计算方法包括基本初等函数的微分公式和微分运算法则。通 过这些方法，我们可以快速地计算出函数的微分值。
导数在函数单调性、极值和最值方面的应用 导数在几何图形中的应用，如切线斜率、曲线的变化趋势等 微分在近似计算、误差估计等方面的应用 导数和微分在经济学、物理学等领域的应用实例
导数与单调性的关系
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多元函数极限与连续性的应用
偏导数的定义与 性质
偏导数的计算方 法
全微分的定义与 性质
全微分的计算方 法
极值的概念和定义 极值的必要条件 极值的充分条件 极值的应用
多元函数微积分在物理中的应用：解决多变量问题，如力学、电磁学等。 多元函数微积分在经济学中的应用：分析多元函数的边际效应、弹性效应等。 多元函数微积分在计算机科学中的应用：图像处理、数据挖掘、机器学习等。 多元函数微积分在生物医学中的应用：研究多变量生物系统，如神经网络、基因调控等。
PPT,a click to unlimited possibilities
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 导 数 与 微 分 03 导 数 的 应 用 04 不 定 积 分 05 定 积 分 06 常 微 分 方 程
导数的定义：导数描述了函数在某一点的变化率，是函数值的极限 导数的性质：导数具有连续性、可导性、单调性等性质 导数的几何意义：导数可以描述曲线在某一点的切线斜率，表示函数在该点的变化趋势 导数的应用：导数可以用于求函数的极值、最值等问题，也可以用于求解一些物理问题
自然科学：用于研究物理、化学、生物等领域的自然现象，例如物种繁殖、化学反应等。
工程领域：用于解决各种实际问题的数学模型，例如电路分析、机械振动等。 社会科学：用于研究社会现象的动态变化，例如人口迁移、经济发展等。
导数在函数单调性、极值和最值方面的应用 导数在几何图形中的应用，如切线斜率、曲线的变化趋势等 微分在近似计算、误差估计等方面的应用 导数和微分在经济学、物理学等领域的应用实例
导数与单调性的关系
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多元函数极限与连续性的应用
偏导数的定义与 性质
偏导数的计算方 法
全微分的定义与 性质
全微分的计算方 法
极值的概念和定义 极值的必要条件 极值的充分条件 极值的应用
多元函数微积分在物理中的应用：解决多变量问题，如力学、电磁学等。 多元函数微积分在经济学中的应用：分析多元函数的边际效应、弹性效应等。 多元函数微积分在计算机科学中的应用：图像处理、数据挖掘、机器学习等。 多元函数微积分在生物医学中的应用：研究多变量生物系统，如神经网络、基因调控等。
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01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 导 数 与 微 分 03 导 数 的 应 用 04 不 定 积 分 05 定 积 分 06 常 微 分 方 程
导数的定义：导数描述了函数在某一点的变化率，是函数值的极限 导数的性质：导数具有连续性、可导性、单调性等性质 导数的几何意义：导数可以描述曲线在某一点的切线斜率，表示函数在该点的变化趋势 导数的应用：导数可以用于求函数的极值、最值等问题，也可以用于求解一些物理问题
自然科学：用于研究物理、化学、生物等领域的自然现象，例如物种繁殖、化学反应等。
工程领域：用于解决各种实际问题的数学模型，例如电路分析、机械振动等。 社会科学：用于研究社会现象的动态变化，例如人口迁移、经济发展等。
上海海事大学-概率论-第二章专业知识讲座
P(A) P{10 X 15} P(25 X 45} P{55 X 60}
15 1 dx 45 1 dx 60 1 dx 5 20 5 1
10 60
25 60
55 60
60 2
2.指数分布
f (x)
若X
~
f
1
( x)＝
e x /
,
x
0
0, x 0
0为常数
0
F
(
x
)
x2
,
0 x1
1,
x1
注意到F(x)在x=1处导数不存在，根据变化被 积函数在个别点处旳值不影响积分成果旳性质，能 够在 F ( x )没意义旳点处，任意要求 F ( x )旳值。
•几种主要旳连续性分布
1.均匀分布
若随机变量 X 旳密度函数为：
1
f
(
x
)
b
a
a xb
0
其他
则称 X 服从区间[ a , b ] 上旳均匀分布。
( x)
2
dt du
3.若 X ~ N ( , 2 ),则
F( x ) P{ X x } P{ X x }
( x )
4 P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
.
( x1 ) ( x2 )
例6.
设 X ~ N ( , 2 )
求： 1 ) P{ X } 2 ) P{ X 2 }
4
P{Y 3} C4k (0.6065)k (1 0.6065)4k k 3
0.4865
3.正态分布
若随机变量 X 旳密度函数为：
f(x)
1
( x )2
e 2
高等数学之微分方程课件
8-4 二阶微分方程
精品课程
例８ 求微分方程 的通解
解 特征方程为 共轭虚根为 原方程的通解 （共轭虚根时，由欧拉公式有 再根据该方程 的线性组合仍是解而消去i ）
8-5 数学建模：微分方程应用(2)
精品课程
战争模型 用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的兵力，可视为双方的士兵人数，一个简化模型是,假设一支军队参站人数减少（死亡或受伤）的比率(如 ) 是与另一支军队集中向其开火的次数成正比，而这开火的次数又与该方军队中参战人数成正比。 于是x、y服从微分方程： （１） 下面分析求解此微分方程组
《高等数学》 教学课件
旅游旅行攻略
汇报人姓名
CLICK TO ADD TITLE来自八章 微分方程精品课程
8-1 什么是微分方程
精品课程
引例1：曲线过点（1，2），且在该曲线上任意一点M (x , y) 处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程? 解 设所求曲线y=f ( x ) ，根据导数的几何意义得 （1） 此外还应满足条件 把方程（1）两边积分，得 即 把条件 代入（2），得C=1 把 C=1代入（2）式，即得所求曲线方程
8-4 二阶微分方程
精品课程
解 解特征方程 得 于是微分方程的通解 （可以证明，二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解 ，只要他们不成比例，则 为该方程的通解） 例7 求方程 的通解 解 特征方程 则通解为 重根时，得一个特解 ，再用待定法令 或 等等，求得另一个特解
3、如果把某个函数代入微分方程，能使方程恒等，这个方程称为微分方程的解；求微分方程的解的过程，叫做解微分方程
4、微分方程的解有不同的形式，常用的两种形式是：一种是解中含有任意常数并且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解；另一种是解不含任意常数，称为特解
精品课程
例８ 求微分方程 的通解
解 特征方程为 共轭虚根为 原方程的通解 （共轭虚根时，由欧拉公式有 再根据该方程 的线性组合仍是解而消去i ）
8-5 数学建模：微分方程应用(2)
精品课程
战争模型 用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的兵力，可视为双方的士兵人数，一个简化模型是,假设一支军队参站人数减少（死亡或受伤）的比率(如 ) 是与另一支军队集中向其开火的次数成正比，而这开火的次数又与该方军队中参战人数成正比。 于是x、y服从微分方程： （１） 下面分析求解此微分方程组
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8-1 什么是微分方程
精品课程
引例1：曲线过点（1，2），且在该曲线上任意一点M (x , y) 处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程? 解 设所求曲线y=f ( x ) ，根据导数的几何意义得 （1） 此外还应满足条件 把方程（1）两边积分，得 即 把条件 代入（2），得C=1 把 C=1代入（2）式，即得所求曲线方程
8-4 二阶微分方程
精品课程
解 解特征方程 得 于是微分方程的通解 （可以证明，二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解 ，只要他们不成比例，则 为该方程的通解） 例7 求方程 的通解 解 特征方程 则通解为 重根时，得一个特解 ，再用待定法令 或 等等，求得另一个特解
3、如果把某个函数代入微分方程，能使方程恒等，这个方程称为微分方程的解；求微分方程的解的过程，叫做解微分方程
4、微分方程的解有不同的形式，常用的两种形式是：一种是解中含有任意常数并且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解；另一种是解不含任意常数，称为特解
高等数学完整详细PPT课件
注意:与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
第6页/共175页
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差f (a) f (b).
五、证明下列不等式：
1、 arctan a arctan b a b ； 2、当x 1时 ，e x ex . 六、证明方程x5 x 1 0 只有一个正根 .
第20页/共175页
七、设函数 y f ( x)在 x 0的某邻域内且有n阶导数，
且 f (0) f (0) f (n1) (0)试用柯西中值定理
第15页/共175页
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange
定理
中值定理
F ( x) x Cauchy
中值定理
注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
第16页/共175页
思考题
试举例说明拉格朗日中值定理的 条件缺一不可.
第5页/共175页
二、拉格朗日(Lagrange)中值 定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0.
结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
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y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差f (a) f (b).
五、证明下列不等式：
1、 arctan a arctan b a b ； 2、当x 1时 ，e x ex . 六、证明方程x5 x 1 0 只有一个正根 .
第20页/共175页
七、设函数 y f ( x)在 x 0的某邻域内且有n阶导数，
且 f (0) f (0) f (n1) (0)试用柯西中值定理
第15页/共175页
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange
定理
中值定理
F ( x) x Cauchy
中值定理
注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
第16页/共175页
思考题
试举例说明拉格朗日中值定理的 条件缺一不可.
第5页/共175页
二、拉格朗日(Lagrange)中值 定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 (1)如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2在) 开区间(a, b) 内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0.
第二章《高等数学(上册)》课件
f (x) 或 y 或 df (x) 或 dy
dx
dx
在不致发生混淆的情况下，导函数也简称导数．
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
（2）算比值 （3）取极限
y f (x x) f (x)
x
x
y lim y x0 x
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
2．左、右导数
既然导数是比值 y 当x 0 时的极限，那么下面两个极
限
x
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
高等数学
01 导数的概念 02 初等函数的求
导法则
03 隐函数及参数方程 确定的函数的导数
04 高阶导数 05 微分及其在近似
计算中的应用
例2 求抛物线y=x2在点(1，1)处的切线方程和法线方程． 解 因为 y (x2 ) 2x，由导数的几何意义可知，曲线y=x2
沪教版数学高三上册-1二项式定理PPT全文课件5
的展开式中，x2
项系数为_____.
（结果用数值表示）（思考题）
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回家作业
1、 导学16.5（1）第5题不做. 2、（1）查阅二项式定理相关历史资料
（2）“杨辉三角”
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项数 项的 每项的系数 次数 （依次）
2
1
3
2
1,1 1, 2,1
4
3 1,3,3,1
5
4 1, 4, 6, 4,1
(a b)n ? an ? an1b ? a b nr r ?bn n 1
n
Cn0, ?,?C?nr , ,Cnn
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练习
1. 求(2 x)6 的二项展开式的倒数第3项 .
2. 若(x a)8的展开式中 x3 项的系数为56，则a ___.
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练习
3.
在
1
x
1 x2015
10
C53 22 (x)3 C54 21(x)4 C55 (x)5
32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
你能写出(2 x)5 的二项展开式的通项吗？
Tr1 C5r 25r (x)r (1)r C5r 25r xr
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二项式定理 第 r 1 项的二项式系数 通项
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1 Cnra b nr r Cnnbn
高等数学上2_课件2.ppt
达标后的函数值：
f (x) A
2.2.2 x趋于有限值x0时函数的极限
●至此，我们用 N ”、“ X ”、“ ” 的语言定 义了七种极限, 下面将列表类比对照.
极限形式： 接近程度指标：
lim f (x) A
x
实现时刻：
X
实现时刻后的自变量： x X
达标后的函数值：
f (x) A
定义 2.2
＊在定义 2.2 中， 将“ f (x) 在 b, 上有定义”换作 “ f (x) 在 , a上有定义；将“ x X ”换作“ x X ”
lim
x
f
(x)
A或
f
(x)
A(x
)
.
2.2.1 x趋于无穷大时函数的极限
定义 2.3 设 f (x) 在 , a b, (a ≤b) 上有定义，A
推 论 若 在 x0 的 某 去 心 邻 域 内 f (x) ≥ 0 （ 或
f
(
x)
≤
0
）且
lim
xx0
f
(x)
A ，则 A≥0 （ A≤0 ）.
2.2.3 函数极限的性质
● 在 2.2.1，2.2.2 中我们共列举了六种类型的极限：
（1）
lim
x
f
(x) ；
（2）
lim
x
f
(x) ；
（3）
lim
2.2.1 x趋于无穷大时函数的极限
自变量 x 趋向于无穷大有下面三种方式： x ，表示 x 沿 x 轴无限向右推进，趋于正无穷大； x ，表示 x 沿 x 轴无限向左推进，趋于负无穷大； x ，表示 x 沿 x 轴无限向任何一方推进，即 x 趋于 .
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引
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成
恩格斯
为必要的了,而它们也就立刻产生.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学. 聪明在于学习, 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 .
华罗庚
由薄到厚 , 由厚到薄 .
第一节 目录 上页 下页 返回 结束
笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束
主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
机动
目录
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结束
二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成
恩格斯
为必要的了,而它们也就立刻产生.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学. 聪明在于学习, 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 .
华罗庚
由薄到厚 , 由厚到薄 .
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主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
机动
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二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.