2010高考数学小题狂做冲刺训练(详细解析)

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2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解4

2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四1．（14分）已知f(x)=222+-x a x (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ；（Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=x 1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ①设ϕ(x)=x 2－ax －2，方法一： ϕ(1)=1－a －2≤0，① ⇔ ⇔－1≤a ≤1，ϕ(－1)=1+a －2≤0.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}. 方法二：2a ≥0， 2a <0， ①⇔ 或ϕ(－1)=1+a －2≤0 ϕ(1)=1－a －2≤0⇔ 0≤a ≤1 或－1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(－1)=0以及当a=-1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}.（Ⅱ）由222+-x a x =x1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，∴ 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a .x 1x 2=－2，∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，方法一： g(－1)=m 2－m －2≥0，② ⇔g(1)=m 2+m －2≥0， ⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m ≠0时，m>0， m<0，②⇔ 或g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0 ⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.2．（12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST +的取值范围. 解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y=21x 2， ① 得y ＇=x.∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1，∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-11x ，∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)，方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0. ∵M 是PQ 的中点 x 0=221x x +=-11x ， ∴y 0=21x 12－11x (x 0－x 1). 消去x 1，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0).方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +，得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)，则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ， ∴x 1=－01x ，将上式代入②并整理，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l:y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b).分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'.y=21x 2 由消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③y=kx+by 1+y 2=2(k 2+b)，则y 1y 2=b 2.方法一：∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b =2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法二：∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2bb k +. 当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2b b k +=b b k )(22+=b k 22+2>2；当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b 22)(2bb k +=b b k -+)(22. 又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0，于是k 2+2b>0，即k 2>－2b.所以||||||||SQ ST SP ST +>b b b -+-)2(2=2. ∵当b>0时，bk 22可取一切正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ，即22x b y -=11x b y -. 则x 1y 2－bx 1=x 2y 1－bx 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2. ∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +|1|21x x -|1|21x x -=||12x x +||21x x ≥2. ∵||12x x 可取一切不等于1的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 3．（12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少. （总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）. 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.5．（14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知a R ∈，函数2()||f x x x a =-.(Ⅰ)当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合；(Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12]，上的最小值. 解：（Ⅰ）由题意，2()2f x x x =-.当2x <时，2()(2)f x x x x =-=，解得0x =或1x =；当2x ≥时，2()(2)f x x x x =-=，解得1x =综上，所求解集为{011+，，. （Ⅱ）设此最小值为m .①当1a ≤时，在区间[12]，上，32()f x x ax =-. 因为 22()323()03f x x ax x x a '=-=->，(12)x ∈，，则()f x 在区间[12]，上是增函数，所以(1)1m f a ==-. ②当12a <≤时，在区间[12]，上，2()()0f x x x a =-≥，由()0f a =知 ()0m f a ==.③当2a >时，在区间[12]，上，23()f x ax x =-. 22()233()3f x ax x x a x '=-=-. 若3a ≥，在区间(12)，内()0f x '>，从而()f x 为区间[12]，上的增函数，由此得 (1)1m f a ==-.若23a <<，则2123a <<. 当213x a <<时，()0f x '>，从而()f x 为区间2[1]3a ，上的增函数；当223a x <<时，()0f x '<，从而()f x 为区间2[2]3a ，上的减函数. 因此，当23a <<时，(1)1m f a ==-或(2)4(2)m f a ==-. 当723a <≤时，4(2)1a a -≤-，故(2)4(2)m f a ==-；当733a <<时，14(2)a a -<-，故(1)1m f a ==-. 综上所述，所求函数的最小值 111274(2)23713a a a m a a a a -≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪->⎪⎩，当时；0，当时；，当时；，当时．。

2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解5

2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五1．（14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x aca F +=………………………3分证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a ca r P F cx r r a r r +===-=+得证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x aca由椭圆第二定义得a c ca x F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x aca P F +=…………………………3分（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥.又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，),(),,(002001y xc MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x ③ ④③ ④由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x 于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当c b a 2≥时，记cx y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F …………14分2．（12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g += （Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ；（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.（Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分（Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线3223x y =相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax ≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .0)(≥x φ 由.0)(331--==-='a x xa x 得φ当30-<<a x 时;0)(<'x φ当3->a x 时，0)(>'x φ，所以，当3-=a x 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分3．已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；（II ）由（I ）知321n n a =⨯- 因为212()n n f x a x a x a x =+++所以112()2n n f x a a x na x -'=+++ 从而12(1)2n f a a na '=+++=()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯-=()232222n n +⨯++⨯-()12n +++=()1(1)31262n n n n ++-⋅-+ 由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --= ()()1212121(21)n n n n -⋅--+=12(1)2(21)n n n ⎡⎤--+⎣⎦①当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-；当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<- 当3n ≥时，10n ->又()011211nn n n n n n n C C C C -=+=++++≥2221n n +>+所以()()12210n n n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n -4．(14分)已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2px =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x p p==，将y k x b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，x =得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pb y y y y k k+=⋅=① （1）当2πθ=时，即2παβ+=时，tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p =由①知：224pbp k=所以2.b pk =因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=所以直线AB 恒过定点()2,0p - （2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk θ=-，所以22tan p b pk θ=+，此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭所以直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线AB 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5．已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅（其中O 为原点），求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-y x （II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ① 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k kk k k k x x k x x k B A B A .0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得 .31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ---- 6．数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nn n 且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828…. （Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n nn nn 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a n n a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2n n n n a +++≤ 故nn n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n n n a a .22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2≥<<n e a a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n 对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a n n a nnn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n .11113121211<--++-+-=nn 因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立. 7．（12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n=k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ； 2°假设n=k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有（2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以 21)2()2(2--=-+n n a ann n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=nn n n n b a b 即。

2010高考数学小题狂做冲刺训练(附详细解析)5

2010高考数学小题狂做冲刺训练（详细解析）高中数学姓名：__________班级：__________考号：__________、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.已知正方体的外接球的体积是332π,则这个正方体的棱长是( ) A.322 B.332 C.324 D.334 解析:根据球的体积是332π,可得球的半径为2.而球的直径4就是正方体的对角线长,从而正方体的棱长为334. 答案:D2.将7个人（含甲、乙）分成三个组,一组3人,另两组各2人,不同的分组数为a,甲、乙分在同一组的概率为P,则a 、P 的值分别为（）A ．a ＝105,P ＝215 B ．a ＝105,P ＝214 C ．a ＝210,P ＝215 D ．a ＝210,P ＝214解析：将7个人分成三组按要求有22222437A C C C ＝105种分法,将甲、乙两人分在同一组有两种情况：①在三人一组,这时有22222415A C C C 种情况;②在两人一组,这时有35C 种情况. ∴2151053522222415=+=C A C C C P . 答案：A3.若x 2+xy+y 2=1且x 、y∈R,则n=x 2+y 2的取值范围是（）A.0＜n≤1B.2≤n≤3C.n≥2D.32≤n≤2 解析：直接法：x 2+xy+y 2=1⇒xy=1-(x 2+y 2),又222y x +-≤-|xy|≤xy≤|xy|≤222y x +，知222y x +-≤1-(x 2+y 2)≤222y x +,得出32≤x 2+y 2≤2. 间接法：利用x 2+xy+y 2=1的对称性和边界值特点，取31==y x 时，32=n ,取x=-y=1时，n=2. 答案：D4.已知实数a,b 均不为零,βααααtan sin cos cos sin =-+b a b a ,且6παβ=-,则ab等于（）A.3 B.33C.3-D.33-解析:)6tan(tan παβ+=ααπαπαtan 33133tan 6tan tan 16tantan -+=-+=ααααααtan 1tan sin cos cos sin ab a bb a b a -+=-+=. ∴33=a b .故选B. 答案:B5.已知)4,2(-=,则下列说法正确的是（）A.A 点的坐标是(-2,4)或B 点的坐标是(-2,4)B.按向量(-2,4)平移后,)8,4(-=C.当B 是原点时,A 点的坐标是(-2,4)D.当A 是原点时,B 点的坐标是(-2,4),且不论按任何方向平移,)4,2(-=不变解析：)4,2(-=只与终点、始点的坐标差有关,与平移无关,换句话说,平移改变的仅仅是向量起点、终点的坐标,并不能改变向量本身. 答案：D6.由直线y ＝x+1上的一点向圆(x-3)2+y 2＝1引切线,则切线长的最小值为( )A.1B.22C.7D.3解析:切线长的最小值是当直线y ＝x+1上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线的距离为222|103|=+-=d ,圆的半径为1,故切线长的最小值为71822=-=-r d ,故选C.答案:C 7.123lim1--+→x x x 等于( )A.21 B.0 C.21- D.不存在解析：)23)(1()1)(1(lim)23)(1)(1()23)(1)(23(lim11++-+-=+++-+++-+=→→x x x x x x x x x x x x 原式 21231lim1=+++=→x x x .答案：A8.设实数a∈［-1,3］,函数f(x)＝x 2-(a+3)x+2a,当f(x)＞1时,实数x 的取值范围是…( )A.［-1,3］B.(-5,+∞)C.(-∞,-1)∪(5,+∞)D.(-∞,1)∪(5,+∞)解析:f(x)＝x 2-(a+3)x+2a ＞1⇒(2-x)a+x 2-3x-1＞0,令g(a)＝(2-x)·a+x 2-3x-1,∴由题意有⎩⎨⎧>>-0)3(0)1(g g ⇒x∈(-∞,-1)∪(5,+∞).答案:C9.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成的角为( )A.arccos23 B.arccos 1010 C.arccos53 D.arccos 52 解析:如图建立空间直角坐标系，把D 点视作原点O ，分别沿DA 、DC 、1DD方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则A （1，0，0），M （1，21，1），C （0，1，0），N （1，1，21）,∴AM=（1，21，1）-（1，0，0）=（0，21，1）, CN=（1，1，21）-（0，1，0）=（1，0，21）. 故AM ·CN =0×1+21×0+1×21=21.又|AM|=251)21(0222=++, |CN|=25)21(01222=++, 设α为直线AM 与CN 所成的角,∴cos α=52252521||||=∙=∙CN AM CNAM . ∴α=arccos52. 答案:D10.右图为函数y ＝m+log n x 的图象,其中m,n 为常数,则下列结论正确的是( )A.m ＜0,n ＞1B.m ＞0,n ＞1C.m ＞0,0＜n ＜1D.m ＜0,0＜n ＜1解析:由题中图象可知0＜n ＜1,又由函数的零点的范围为(0,1),可知y ＝m+log n x 的图象是由y ＝log n x 的图象向下平移而来,∴m＜0. 答案:D、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.如下面的图a 和图b ，则错误的图是_________,理由是_________.解析:图b 将出现死循环. 答案:b b 将出现死循环12.(2008湖南高考,理14)已知函数13)(--=a axx f (a≠1).(1)若a ＞0,则f(x)的定义域是___________;(2)若f(x)在区间(0,1］上是减函数,则实数a 的取值范围是_________. 解析:(1)当a ＞0且a≠1时,由3-ax ≥0得ax 3≤, 即此时函数f(x)的定义域是(-∞,a3］. (2)当a-1＞0,即a ＞1时,要使f(x)在(0,1］上是减函数,则需3-a×1≥0,此时1＜a ≤3.当a-1＜0,即a ＜1时,要使f(x)在(0,1］上是减函数,则需-a ＞0,此时a ＜0. 综上所述,所求实数a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(1)(-∞,a3］(2)(-∞,0)∪(1,3］ 13.(1)在演绎推理中,只要___________________是正确的,结论必定是正确的.(2)用演绎法证明y ＝x 2是增函数时的大前提是_________________________.(3)由“等腰三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是_____________________.解析:(1)演绎推理的定义;(2)演绎推理及增函数的定义;(3)类比定义.答案:(1)大前提和推理过程 (2)增函数的定义 (3)侧面都是全等的三角形14.①连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数为X;②南京长江大桥一天经过的车辆数为X;③某型号彩电的寿命为X ；④连续抛掷两枚骰子，所得点数之和为X ；⑤某种水管的外径与内径之差X.其中是离散型随机变量的是____________.(请将正确的序号填在横线上)解析:②④中X 的取值有限，故均为离散型随机变量；①中X 的取值依次为1,2,3,…,虽然无限，但可按从小到大顺序列举，故为离散型随机变量;而③⑤中X 的取值不能按次序一一列举，故均不是离散型随机变量. 答案:①②④15.（2009湖北第二次联考,13）某车队有7辆车,现在要调出4辆,再按一定顺序出去执行任务.要求甲、乙两车必须参加而且甲车在乙车前开出,那么不同的调度方案有____种.（用数字作答）解析：当甲车排第①个时,乙车可排2、3、4号,有3种选择;当甲车排第②个时,乙车可排3、4号,有2种选择;当甲车排第③个时,乙车只可排4号,只有1种选择;除甲、乙两车外,在其余5辆车中任意选取2辆按顺序排列,有25A 种选法;因此共有：（3＋2＋1）25A ＝120种不同的调度方案. 答案：120。

湖北省实验中学2010届高考数学考前冲刺试题理旧人教版

3 1 D. 2
31
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请将答案填在答题卡对应题号的位置
上，一题两空的题，其答案按先后次序填写
.
11．设集合 A y y 2x 1,x R , B y y x2 , x R ，则集合 A B
．
12．在二项式 (1 3x) n 的展开式中，若所有项的系数之和等于
于
.
-2-
15. 设 x 表示不超过 x 的最大整数，如 1.5 1, 1.5
2 . 若函数 f (x)
ax 1 ax
（ a 0, a 1 ），则 g x
1 fx
2
f x 1 的值域为 __________. 2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
10
张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”
（世博会吉祥物）图案，
参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．
（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从
盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是（Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，
2 ，求抽奖者获奖的概率； 15
3x0 2 a 2 x0
2 y0 ，即 x0
bx0 (2 x0) 2 y0 (2 x0)( a 1) ， x0 2
bx0 2 y0 (a 1) 0
a10
因为上式对任意 x0, y0 成立，故
b0
所以对称点为定点 Q ( 1,0) .
20.
21.
-7-
-8-
联立方程组
a
bc
4( 2

2010高考数学小题冲刺训练(详细解析)(十二)

2021高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕高中数学、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕1.假设(1+5x 2)n 的展开式中各项系数之和是a n ,(2x 3+5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ,那么n n n n n b a b a 432lim +-∞→的值为( ) A.32- B.21- C.21 D.31 解析：令x=1,得各项系数之和为a n =6n ,(2x 3+5)n 的展开式中各项二项式系数之和为b n =2n ,∴31)31(43)31(21lim 2463226lim 432lim =⨯+⨯-=⨯+⨯⨯-=+-∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n b a b a . 答案：D2.(2021福建高考,12)双曲线12222=-by a x (a ＞0,b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2,假设P 为其上一点,且|PF 1|＝2|PF 2|,那么双曲线的离心率的取值范围为( )A.(1,3)B.(1,3］C.(3,+∞)D.［3,+∞) 解析:如图,设|PF 2|＝m,∠F 1PF 2＝θ(0＜θ≤π),当P 在右顶点处,θ＝π, ＝mm m m θcos 4)2(222-+ ＝θcos 45-.∵-1＜cosθ≤1,∴e∈(1,3］.答案:B3.从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字〔允许重复〕组成一个三位数,其中各位数字之和不等于9的概率为〔〕A ．125112B ．125109C ．125107D ．125106 解析：数字之和为9包含1,3,5;1,4,4;2,2,5;2,3,4;3,3,3五种情况,共可组成数字之和为9的数共有2×33A ＋2×13A ＋33C ＝19个.而共可组成三位数字53＝125个,所以概率12510612519125=-=P . 答案：D4.观察下表:12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……设第n 行的各数之和为S n ,那么2lim n S n n ∞→等于( ) A.2 B.3 C解析:第一行1＝12;第二行2+3+4＝9＝32;第三行3+4+5+6+7＝25＝52;第四行4+5+6+7+8+9+10＝49＝72.归纳:第n 行的各数之和S n ＝(2n-1)2,∴4)12(lim lim 22=-=∞→∞→nn n S n n n . 答案:C5.正方体ABCD —A′B′C′D′中,过顶点A′与正方体其他顶点的连线与直线BC′成60°角的条数为( )A.0B.1 C解析:过顶点A′与正方体其他顶点的连线与直线BC′成60°角的棱有A′C′、A′B,共2条.答案:C6.假设sinα+cosα=tanα(0＜α＜2π)，那么α所在的区间为( ) A.〔0，6π〕 B.〔6π，4π〕 C.〔4π，3π〕 D.〔3π，2π〕解析：∵0＜α＜2π,∴tanα=sinα+cosα＞1,排除A 、B ；又∵sinα+cosα≤2,而在(3π,2π)上tanα＞3，排除D;故应选C. 答案：C7.两个球的体积之比为8∶27,那么这两个球的外表积之比为( )A.2∶3B.4∶9C.2∶3D.8∶27解析:两个球的体积之比为8∶27,根据体积比等于相似比的立方,外表积之比等于相似比的平方,可知两球的半径比为2∶3,从而这两个球的外表积之比为4∶9.答案:B8.y ＝4x -3·2x +3的值域为［1,7］,那么x 的取值范围是( )A.［2,4］B.(-∞,0)C.(0,1)∪［2,4］D.(-∞,0］∪［1,2］解析:∵y＝4x -3·2x+3的值域为［1,7］,∴1≤4x -3·2x +3≤7.∴-1≤2x ≤1或2≤2x ≤4.∴x≤0或1≤x ≤2.答案:D9.从1,2,3,4,5,6六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样的三位数共有〔〕A ．9个B ．24个C ．36个D ．54个解析：先选后排,共有332313A C C ••＝3×3×6＝54〔个〕. 答案：D10.以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是〔〕 A.x y 1= B.y ＝2-x C.xx y +-=11lg D.y ＝-|x| 解析:x x y +-=11lg的定义域为-1＜x ＜1，且为奇函数，x x u +-=11，0)1(2'2<+-=x u ，所以xx y +-=11lg 在定义域上为减函数. 答案:C、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.函数)2cos(sec π+•=x x y 的最小正周期T ＝________________.解析:ππ=⇒-=-•=+•=T x x xx x y tan )sin (cos 1)2cos(sec . 答案:π12.圆M:(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1,直线l:y=kx,下面四个命题:①对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 相切;②对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 有公共点;③对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l 和圆M 相切;④对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l 和圆M 相切.其中真命题的序号是.(写出所有真命题的序号)解析：圆心M(-cosθ,sinθ)到直线l:kx-y=0的距离1|sin cos |1|sin cos |22++=+--=k k k k d θθθθ=|sin(φ+θ)|(其中tanφ=k)≤1=r,即d≤r,故②④正确.答案：②④13.复数z ＝i+2i 2+3i 3+4i 4+…+2 006i 2 006的值为____________.解析：由题意,由于从第三项起,每连续四项和均为-2+2i,故除第一、二项外,余下2 004项的和即为(-2+2i)×501,所以原式＝i+2i 2+501(-2+2i)＝i-2-1 002+1 002i ＝-1 004+1003i.答案：-1 004+1 003i14.数列的通项a n =-5n+2,其前n 项和为S n ,那么=∞→2limn S n n ___________________________. 解析：∵a n =-5n+2, ∴252n n S n +-=. ∴25lim2-=∞→n S n n . 答案：25- 15.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,假设S 5＝10,S 10＝-5,那么公差为_________.(用数字作答)解法一：由根本公式得⎩⎨⎧-=+=+,54510,1010511d a d a 即⎩⎨⎧-=+=+,192,2211d a d a解得d ＝-1.解法二:设A 1＝S 5＝10,A 2＝S 10-S 5＝-15, 那么25d ＝A 2-A 1＝-25,d ＝-1.答案：-1。

高三数学高考小题冲刺训练(详细解析)(十四)

2010高考数学小题狂做冲刺训练（详细解析）姓名：__________班级：__________考号：__________、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.［0，2π］B.［0，2π）∪［43π,π) C.［43π,π) D.(2π,43π］解析:∵y′＝3x 2-1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞）. 设倾斜角为α,则tan α≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0,2π)∪［43π,π).答案:B2.若方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,则a 2+b 2的最小值为( )A.3B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,则a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,则f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.故选B. 答案:B3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为yxn =(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情和1998年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2002年属于( ) A.贫困 B.温饱 C.小康 D.富裕解析:设1998年人均食品消费x 元，则2002年人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,2002年人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500. 此时，14005.462475%5.922%5.92=+⨯=x x x ≈0.3304＝33.04%,故选D.答案:D4.(2008海南、宁夏高考,文4)设f(x)＝xlnx,若f′(x 0)＝2,则x 0等于( )A.e2B.eC.22ln D.ln2 解析:f′(x)＝lnx+1,令f′(x 0)＝2, ∴lnx 0+1＝2.∴lnx 0＝1.∴x 0＝e. 答案:B5.第29届奥运会在北京举行.设数列a n ＝log n+1 (n+2)(n∈N *).定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为奥运吉祥数,则在区间［1,2 008］内的所有奥运吉祥数之和为( ) A.1 004 B.2 026 C.4 072 D.2 044解析:a n ＝log n+1 (n+2)＝)1lg()2lg(++n n ,a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2lg )2lg()1lg()2lg(4lg 5lg 3lg 4lg 2lg 3lg +=++∙∙k k k . 由题意知k+2＝22,23,…,210,∴k＝22-2,23-2,…,210-2.∴S＝(22+23+…+210)-2×9＝20261821)21(49=---. 答案：B6.从2 004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2004人中剔除4人,剩下的2 000人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率（） A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等且为002125D ．都相等且为401解析：抽样的原则是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为a i （i ＝1,2,…,6）,若a 1≠1,a 3≠3,5≠5,a 1＜a 3＜a 5,则不同的排列方法种数为（）A ．18B ．30C ．36D ．48解析：∵a 1≠1且a 1＜a 3＜a 5,∴（1）当a 1＝2时，a 3为4或5,a 5为6，此时有12种；（2）当a 1＝3时，a 3仍为4或5，a 5为6，此时有12种；（3）当a 1＝4时，a 3为5，a 5为6，此时有6种. ∴共30种. 答案：B8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（）A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 解析：属于古典概型问题,基本事件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3（n －1）（1≤n ≤6）,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B9.复数i 3(1+i)2等于( )A.2B.-2C.2iD.-2i解析：i 3(1+i)2=-i(2i)=-2i 2=2. 答案：A 10.(2008全国高考卷Ⅱ,4)函数x xx f -=1)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称解析: x xx f -=1)(是奇函数,所以图象关于原点对称. 答案:C、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=0 12.已知函数13)(--=a axx f (a≠1).若f(x)在区间(0,1］上是减函数，则实数a 的取值范围是______________.解析：由03)1(2)('<--=axa a x f ,⎪⎩⎪⎨⎧<->-②,0)1(2①,03a aax由①,得a ＜x3≤3. 由②,得a ＜0或a ＞1,∴当a ＝3时,f(x)在x∈(0,1)上恒大于0,且f(1)＝0,有f(x)＞f(1). ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(-∞,0)∪(1,3］ 13.已知平面上三点A 、B 、C 满足3||=,5||=,4||=,则AB CA CA BC BC AB ∙+∙+∙的值等于________________.解析：由于0=++，∴)(2||||||)(2222AB CA CA BC BC AB CA BC AB CA BC AB ∙+∙+∙+++=++0)(225169=∙+∙+∙+++=,即可求值.答案：-2514.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_________________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________________________________.解析：4)2(2n q p n npq D =+≤=ξ,等号在21==q p 时成立，此时D ξ＝25，σξ＝5. 答案：215 15.设z 1是复数,112z i z z -=(其中1z 表示z 1的共轭复数),已知z 2的实部是-1,则z 2的虚部为___________________.解析：设z 1=x+yi(x,y ∈R),则yi x z -=1. ∴z 2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i. ∵x-y=-1, ∴y-x=1. 答案：1。

2010高三数学高考小题冲刺训练(详细解析)(十一)

2010高中数学高考小题狂做冲刺训练（详细解析）姓名：__________班级：__________考号：__________、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.已知直线l 的方程为(m 2-2m-3)x+(2m 2+m-1)y=m+5(m∈R),其倾斜角为4π,则实数m 的值为( )A.34 B.-1 C.34- D.134-或解析：直线的倾斜角为4π，则斜率为1,即直线方程中x 、y 的系数互为相反数,且不为0.由(m 2-2m-3)+(2m 2+m-1)=0,解得m=34或m=-1,但m=-1时,2m 2+m-1=0,故应舍去.答案：A2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于（）A.31 B.33 C.21D.23解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a 、2b 、2c, 则由题意,得2a=2×2b ⇒a=2b ⇒a 2=4b 2⇒a 2=4(a 2-c 2) ⇒e=23. 答案:D3.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5＝0相切的圆的方程为( )A.(x-2)2+(y+1)2＝3B.(x+2)2+(y-1)2＝3C.(x-2)2+(y+1)2＝9D.(x+2)2+(y-1)2＝3解析:343|5)1(423|22=++-⨯-⨯=r ,故选C.答案:C4.设f′(x)是函数f(x)的导数,y ＝f′(x)的图象如右图所示,则y ＝f(x)的图象最有可能是( )解析:由y ＝f′(x)的图象可知，当x ＜0时，f′(x)＞0,∴f(x)在（-∞,0)上单调递增；当0＜x ＜2时，f′(x)＜0,∴f′(x)在（0，2）上单调递减.故选C. 答案:C5.有6名男同学和4名女同学自左至右站成一排,其中女同学不相邻而且最右端必须是女同学的排法有种.( )A.4466A AB.663614A A CC.663614A C CD.3666A A解析:先从4个女生中取一人站在最右端有14C 种方法,把六个男生进行全排列,将3个女生插入6个男生的六个空中,有3666A A 种,共有663614A A C 种排法.答案:B6.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：则此射手射击一次命中环数大于7的概率为…（）A.0.28B.0.88C.0.79D.0.51 解析：P ＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案：C7.在△ABC 中,“A＞30°”是“sinA＞21”的…( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析:举反例,如A ＞30°,设A ＝160°,则sinA ＝sin20°＜sin30°＝21,则“A＞30°”不是“sinA＞21”的充分条件;如果sinA ＞21,则A∈(30°,150°), 即有A ＞30°.故选B.答案：B8.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有( )A.5种B.6种C.7种D.8种解析:由于本题种数不多,可用穷举法具体写出:3×60+2×70;4×60+2×70;5×60+2×70;6×60+2×70;3×60+3×70;4×60+3×70;3×60+4×70,共7种不同的选购方式. 答案:C9.(2008山东高考,理11)已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y ＝0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为( )A.610B.620C.630D.640 解析:圆(x-3)2+(y-4)2＝52,∴圆心P(3,4). ∴过P 点的最长弦为直径|AC|＝10, 过点(3,5)的最短弦64)45()33[(52||222=-+--=BD .∴S 四边形ABCD ＝21|AC||BD|＝21×10×64＝620.故选B. 答案:B10.已知双曲线12222=-by a x 与直线y=2x 有交点,则双曲线的离心率的取值范围是（）A.(1,5)B.(1,5)∪(5,+∞)C.( 5,+∞)D.［5,+∞)解析:双曲线的渐近线方程为x a by ±=.若双曲线12222=-b y a x 与直线y=2x 有交点,则2>ab ,4,422222>->a a c a b ,解得5,5222>>=e a c e . 答案:C、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.关于平面向量a ,b ,c ,有下列三个命题:①若a ·b = a ·c ,则b =c .②若a =(1,k),b =(-2,6),a ∥b ,则k=-3.③非零向量a 和b 满足|a |=|b |=|a -b |,则a 与a +b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为____________.(写出所有真命题的序号)解析：①若a ·b =a ·c ,则a ·(b -c )=0,此时a ⊥(b -c ),而不一定b =c ,①为假. ②由两向量a ∥b 的充要条件,知1×6-k·(-2)=0,解得k=-3,②为真.③如图,在△ABC 中,设a AB =,b AC =,b a CB -=,由|a |=|b |=|a -b |,可知△ABC 为等边三角形. 由平行四边形法则作出向量a +b =AD , 此时a 与a +b 成的角为30°.③为假. 综上,只有②是真命题. 答案：②12.将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数rnC n )1(1+,就得到一个如图所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可看出rn x n r n nC C n C n 11)1(1)1(1-=+++,其中x=___________.令221)1(1160130112131n n n C n nC a +++++++=- ,则=∞→n n a lim __________.1121 21 31 61 31 41 121 121 41 51 201 301 201 51 61 301 601 601 301 61 71 421 1051 1401 1051 421 71 …… 解析：令n=3,r x r C C C 233314141=+.当r=1时,231413413⨯=+⨯xC ,12112161413=-=r C , ∴33=xC .∴x=1,2.当r=2时,314141323=+x C C . ∴4112312131413==-=x C . ∴13=xC .∴x=3.归纳x=r+1.利用裂项求和求极限求出n n a ∞→lim 的值.答案：r+121 13.与直线x+y-2＝0和曲线x 2+y 2-12x-12y+54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是______.解析:曲线可化为(x-6)2+(y-6)2＝18,其圆心到直线x+y-2＝0的距离为252266|=+-+=d . 所求的最小圆的圆心在直线y ＝x 上,其到直线的距离为2,圆心坐标为(2,2). ∴标准方程为(x-2)2+(y-2)2＝2.答案:(x-2)2+(y-2)2＝2 14.如果ξ～B （20,P ）,当21=P 且P （ξ＝k ）取得最大值时,则k ＝___________________. 解析：当21=P 时,kk k k C C k P 20202020)21()21()21()(∙===-ξ. 显然当k ＝10时,P （ξ＝k ）取得最大值.答案：1015.已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为1∶3，则内切圆面积与扇形面积之比为________.解析：如右图，两半径之比为1∶3，即OA∶O′B=3∶1，∴OO′∶O′B=2∶1.∴6π='∠O BO ,3π=∠COD .3:2321:22=⨯⨯'⨯=OA B O S S ππ扇圆.答案：2∶3。

2010高三数学高考小题冲刺训练(详细解析)(三)

2010高考数学小题狂做冲刺训练（详细解析）高中数学姓名：__________班级：__________考号：__________、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知点A(1,-2),B(m,2),若线段AB 的垂直平分线的方程是x+2y-2＝0,则实数m 的值是( )A.-2B.-7C.3D.12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),则S 15+S 22-S 31的值是( )A.13B.-76C.46D.76解析:对数列{a n }的相邻两项结合后,再求和. 答案:B3.已知点A(-2,1),y 2＝-4x 的焦点是F,P 是y 2＝-4x 上的点,为使|PA|+|PF|取得最小值,则P点的坐标是( )A.(41-,1) B.(-2,22) C.(41-,-1) D.(-2,22-)4.把函数x x y sin 3cos -=的图象沿向量a =(-m,m)(m ＞0)的方向平移后,所得的图象关于y轴对称,则m 的最小值是( ) A.6π B.3πC.32πD.65π解析:)3cos(2sin 3cos π+=-=x x x y ,y=cosx(x∈R)的图象关于y 轴对称,将y=cosx 的图象向左平移π个单位时,图象仍关于y 轴对称.故选C. 答案:C5.从N 个编号中抽n 个号码入样,考虑用系统抽样方法抽样,则抽样间隔为（）A.n NB.nC.][n ND.1][+n N注：][n N 表示n N的整数部分.解析：n N 不一定是整数,][n N 表示nN 的整数部分.答案：C 6.（理）已知21-+=a a p (a ＞2),22)21(-=x q (x∈R),则p,q 的大小关系为( ) A.p≥q B.p ＞q C.p ＜q D.p≤q解析：221)2(21+-+-=-+=a a a a p ≥2+2=4,当且仅当a=3时，取得等号；而由于x 2-2≥-2,故22)21(-=x q ≤4)21(2=-,当且仅当x=0时，取得等号，故p≥q.答案:A(文）已知不等式x -4x+3＜0①;x -6x+8＜0②;2x -9x+m ＜0③;要使同时满足①②的x 也满足③,则m 应满足( )A.m ＞9B.m=9C.m≤9D.0＜m≤9解析：①②的解分别为1＜x ＜3,2＜x ＜4,同时满足①②的x 为2＜x ＜3.由题意2x 2-9x+m=0的两根分别在［3,+∞)，（-∞,2］内.∴2×32-9×3+m≤0,即m≤9. 答案:C7.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有下列结论:①AB⊥EF;②AB 与CM 成60°角;③EF 与MN 是异面直线;④MN∥CD.其中正确的是( )A.①②B.③④C.②③D.①③解析：将其还原成正方体,如图所示,AB⊥EF,EF 与MN 是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD.只有①③正确,故选D.答案：D8.5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少1本,不同分法的种数为（）A ．480B ．240C ．120D ．96解析：先把5本书中的2本捆起来有25C 种方法,再将分好的4堆分给4位学生,有44A 种方法,∴分法种数为4425A C ＝240种. 答案：B9.已知直线l 的方程为(m 2-2m-3)x+(2m 2+m-1)y=m+5(m∈R),其倾斜角为4π,则实数m 的值为( )A.34B.-1C.34-D.134-或解析：直线的倾斜角为4π，则斜率为1,即直线方程中x 、y 的系数互为相反数,且不为0.由(m 2-2m-3)+(2m 2+m-1)=0,解得m=34或m=-1,但m=-1时,2m 2+m-1=0,故应舍去.答案：A10.已知集合A ＝{x|3x-2-x 2＜0},B ＝{x|x-a ＜0},且B A ，则实数a 的取值范围是( )A.a ≤1B.1＜a ≤2C.a ＞2D.a ≤2解析:不等式3x-2-x 2＜0化为x 2-3x+2＞0⇒x ＞2或x ＜1,由不等式x-a ＜0，得x ＜a.要使B A,则a ≤1. 答案:A、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设随机变量ξ的分布列为ia i P )21()(==ξ,i ＝1,2,3的a 的值为_______________________. 解析：2)1(a P ==ξ,4)2(a P ==ξ,8)3(a P ==ξ, 又∵1842=++aa a , ∴78=a .答案：78 12.已知a,b 为常数,若f(x)＝x 2+4x+3,f(ax+b)＝x 2+10x+24,则5a-b ＝_________.解析:由f(x)＝x 2+4x+3,f(ax+b)＝x 2+10x+24,得(ax+b)2+4(ax+b)+3＝x 2+10x+24,即a 2x 2+2abx+b 2+4ax+4b+3＝x 2+10x+24.比较系数得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=,2434,1042,122b b a ab a求得a ＝-1,b ＝-7,或a ＝1,b ＝3,则5a-b ＝2. 答案:213.若曲线y 2=|x|+1与直线y=kx+b 没有公共点,则k,b 分别应满足的条件是__________.解析:由曲线方程y 2=|x|+1,知该曲线关于原点、x 轴、y 轴均对称.又知该曲线在第一象限的图形为抛物线y 2=x+1,画出图形分析可得k=0,-1<b<1. 答案:k=0,-1<b<1 14.下列命题：①用相关系数r 来刻画回归的效果时，r 的值越大，说明模型拟合的效果越好；②对分类变量X 与Y 的随机变量的K 2观测值来说，K 2越小，“X 与Y 有关系”可信程度越大；③两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1；其中正确命题的序号是______________.(写出所有正确命题的序号)解析:正确的是③，①是由于r 可能是负值，②中K 2越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大. 答案:③15.设a ＞0,a≠1,函数f(x)=log a (x 2-2x+3)有最小值,则不等式log a (x-1)＞0的解集为____________.解析：∵x 2-2x+3=(x-1)2+2有最小值2,∴由f(x)=log a (x 2-2x+3)也有最小值,可知a ＞1. ∴不等式log a (x-1)＞0可化为x-1＞1,即x ＞2. 答案：(2,+∞)。

小题狂做：2010年高考题选编 - 副本

小题狂做：2010年高考题选编1.（2010全国新课标理1）已知集合{|||1,}A x x x =≤∈R，{4,}B x x =∈Z ，则AB =A .(0,2)B .[0,2]C .{0,2}D .{0,1,2}2.（2010全国新课标理2）已知复数z =z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=A .14 B .12C .1D .2 3.（2010全国新课标理3）曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为 A .21y x =+ B .21y x =- C .23y x =-- D .22y x =--4.（2010全国新课标理4）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为5.（2010全国新课标理5）已知命题1:p 函数22x xy -=-在R 为增函数；2:p 函数22x x y -=+在R 为减函数.则在命题112:q p p ∨，212:q p p∧，312:()q p p ⌝∨和412:()q p p ∧⌝中，真命题是 A .13,q q B .23,q q C.14,q q D .24,q q6.（2010全国新课标理6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为A .100B .200C .300D .4007.（2010全国新课标理7）如果执行框图，输入5N =，则输出的数等于A .54 B .45C .65 D .56A B CD8.（2010全国新课标理8）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=A .{|2x x <-或4}x >B .{|0x x <或4}x >C .{|0x x <或6}x >D .{|2x x <-或2}x >9.（2010全国新课标理9）若，是第三象限的角，则A .12-B .12C .2D .2-10.（2010全国新课标理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A .2a πB .273a πC .2113a π D .25a π解：由题设知此三棱柱为正三棱柱，不妨设2a =，则两底面中心连线线段中点为球心.所以由勾股定理得半径r ，∴此球表面积为22287433r a πππ==. 11.（2010全国新课标理11）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是A .(1,10)B .(5,6)C .(10,12)D .(20,24)解：不妨设a b c <<，由()()()f a f b f c ==及()f x 图象知：11101210a b c <<<<<<，∴1l g l g 62a b c -==-+，∴1a b -=，∴abc 的范围为(10,12).12.（2010全国新课标理12）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --，则E 的方程为A .22136x y -=B .22145x y -=C .22163x y -=D .22154x y -=解：设,A B 两点坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则1224x x +=-，1230y y +=-，且151123AB k -==--. 设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，将,A B 坐标分别代入双曲线方程中且相减得12221224300y y a b x x ----⋅=-，由12121y y x x -=-得2245b a =，又229a b +=，∴24a =，25b =，即双曲线方程为22145x y -=． 13.（2010全国新课标理13）设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()d f x x ⎰.先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,,N x x x 和12,,,N y y y ，由此得到N 个点(,)(1,2,,i i x y i N =.再数出其中满足()(1,2,,)i i y f x i N ≤=的点数1N ，那么由随机模拟方法可得积分1()d f x x ⎰的近似值为．提示：[0,1]x ∈，[0,1]y ∈构成的区域面积为1，设10()d f x x S =⎰，则任意在面积为1的区域[0,1]x ∈，[0,1]y ∈内均匀的取出N 个点，若在积分区域内的点的个数为1N ，则11N S N =，∴S 的近似值为1N N为所求． 14.（2010全国新课标理14）正视图为一个三角形的几何体可以是 .（写出三种）提示：三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）.15.（2010全国新课标理15）过点(4,1)A 的圆C 与直线10x y --=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为．提示：线段AB 垂直平分线方程为3x =，过点(2,1)B 与直线10x y --=垂直的直线为30x y +-=，联立方程组得3,30,x x y =⎧⎨+-=⎩，解得3x =，0y =，即圆心坐标为(3,0).22(3)2x y -+=．16.（2010全国新课标理16）在ABC △中，D 为边BC 上一点，12BD DC =，120ADB ∠=，2AD =，若ADC △的面积为3，则BAC ∠= ．解：由于3ADC S =△1||sin6032DC ⨯=||2DC =，1BD ，以点D 为直角坐标系的原点，DC 所在射线为x 轴正半轴建立坐标系，则点B 为(1，点C 为2,0)且点A 为(,)x y ，则2cos60x =，2sin 60y =，即点为A ，∴1AB k ，即45ABD ∠=，2AC k 75ACD ∠=，由此得180457560BAC ∠=--=．。

2010年高考数学小节复习训练试题8

2 2 2
(Ⅱ)由 g x f x x 1 ，可得2 x x 1 0
2
当 x 1时， 2 x x 1 0 ，此时不等式无解
2
当 x 1时， 2 x 2 x 1 0 ，解得 1 x 因此，原不等式的解集为 1, 2
)
1 x 52 1 2 1 x 12 1 2
B． y D． y
C． y
1 x 5 1 2
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 11、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y=f (x)的图象关于直线 x 1 对称，则 f (1)+ f (2)+ 2 f (3)+ f (4)+ f (5)=________________ 12、若函数 f ( x) log a ( x
1 k D． 3 b 1
7. ( )
2 2 设 b 0 ，二次函数 y ax bx a 1 的图象下列之一：则 a 的值为
A．1 8．双曲线 y A．9
B．－1
C．
1 5 2
D．
1 5 2
1 经过点（3， a ）则 a 的值为（） 3x 1 1 B． C．3 D． 9 3
2
(2)当 m≠2 时，直线 l 的斜率 k= ∴α=arctan
1 , α∈（0，）， m2 2
1 ∵m＞2 时，k＞0. m2
∵当 m＜2 时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan
1 ，α∈( , π). m2 2 1 ，m）共线，求 m 的值. 2
说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例 2］若三点 A (－2，3），B （3，－2），C（

2010高考数学小题冲刺训练(详细解析)(九)

2021高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕高中数学、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕1.两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且3457++=n n B A n n ,那么使得nn b a 为整数的正整数n 的个数是( )A.2B.3 C解析:nn n n n n n n b a b a b b n a a n B A ==+•-+•-=----222)()12(2)()12(1211211212, ∴31245)12(71212+-+-==--n n B A b a n n n n ＝11271197++=++n n n . 当n ＝1,2,3,5,11时,n n b a 是正整数. 答案:D2.数列{a n }的前n 项和21++=n n S n (n∈N *),那么a 4等于〔〕 A.301 B.341 C.201 D.321 解析：由,得a 4＝S 4-S 3＝3015465=-. 答案：A3.假设△ABC 的内角A 满足322sin =A ,那么sinA+cosA 等于( ) A.315 B.315- C.35 D.35- 解析:在△ABC 中,032cos sin 2>=A A , ∴sinA＞0,cosA ＞0.∴2)cos (sin cos sin A A A A +=+31535321==+=. 答案:A4.假设a ＜0,那么( )A.2a ＞(21)a ＞(0.2)a B.(0.2)a ＞(21)a ＞2a C.(21)a ＞(0.2)a ＞2a D.2a ＞(0.2)a ＞(21)a 解析:∵a＜0,∴2a＜0,(21)a ＞1,a ＞1. 而a a)2.0()21(＝(25)a ∈(0,1), ∴(21)a ＜a . 答案:B5.以下各组向量中不平行的是( )A.a ＝(1,2,-2),b ＝(-2,-4,4)B.c ＝(1,0,0),d ＝(-3,0,0)C.e ＝(2,3,0),f ＝(0,0,0)D.g ＝(-2,3,5),h ＝(16,24,40)解析:向量平行的充要条件是:存在实数λ,使a ＝λb.g,h 不满足要求,故D 中的两个向量不平行.答案:D6.由等式x 3+a 1x 2+a 2x+a 3＝(x+1)3+b 1(x+1)2+b 2(x+1)+b 3,定义一个映射:f(a 1,a 2,a 3)＝ (b 1,b 2,b 3),那么f(2,1,-1)等于( )A.(-1,0,-1)B.(-1,-1,0)C.(-1,0,1)D.(-1,1,0)解析:由题意知x 3+2x 2+x-1＝(x+1)3+b 1(x+1)2+b 2(x+1)+b 3,令x ＝-1,得-1＝b 3,即b 3＝-1;再令x ＝0与x ＝1,得⎩⎨⎧+++=+++=-,2483,11321321b b b b b b 解得b 1＝-1,b 2＝0,应选A.答案:A7.以下两个变量之间是相关关系的是( )解析:相关关系不是确定的函数关系，这里A 、B 、C 都是确定的函数关系.答案:D8.集合A ＝{x|x 2-x-2＞0},B ＝{x||x-a|≤1}，假设A∩B＝∅,那么实数a 的取值范围是〔〕A.〔0，1〕B.〔-∞,1)C.(0,＋∞)D.［0,1］解析：A ＝{x|x ＞2或x ＜-1},B ＝{x|a-1≤x≤a+1}.又A∩B＝∅,∴⎩⎨⎧-≥-≤+.11,21a a∴0≤a≤1.答案：D9.〔ax ＋1〕n 的展开式中,二项式系数和为32,各项系数和为243,那么a 等于〔〕A ．－2B ．2C ．－3D ．3解析：由二项式系数和为2n ＝32,得n ＝5,又令x ＝1,得各项系数和为〔a ＋1〕5＝243,所以a ＋1＝3,故a ＝2.答案：B10.如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字,那么这样的三位数共有( )A解析:当十位数字是9时,百位数字有8种取法,个位数字有9种取法,此时取法种数为8×9;当十位数字是8时,百位数字有7种取法,个位数字有8种取法,此时取法种数为7×8,依此类推,直到当十位数字是2时,百位数字有1种取法,个位数字有2种取法,此时取法种数为1×2,所以总的个数为1×2+2×3+3×4+…+8×9＝240.答案:A、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.函数f(x)＝2+log 3x,x∈［1,9］,那么函数y ＝［f(x)］2+f(x 2)的值域为___________.解析:∵f(x)＝2+log 3x,x∈［1,9］,∴y＝［f(x)］2+f(x 2)的定义域为⎩⎨⎧≤≤≤≤.91,912x x解得1≤x ≤3,即定义域为［1,3］.∴0≤log 3x ≤1.又y ＝［f(x)］2+f(x 2)＝(2+log 3x)2+2+log 3x 2＝(log 3x)2+6log 3x+6＝(log 3x+3)2-3,∵0≤log 3x ≤1,∴6≤y ≤13.故函数的值域为［6,13］.答案:［6,13］12.过抛物线x 2=2py(p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A 、B 两点(点A在y 轴左侧),那么=||||FB AF ______________. 解析:由,得直线方程为y=233p x +与x 2=2py 联立消x,得12y 2-20py+3p 2=0, ∵A 在y 轴左侧,∴p y P y B A 23,6==.如下图,过A 、B 分别作准线的垂线AM 、BN,由抛物线定义知|AF|=|AM|,|BF|=|BN|, 故3123222||||||||==++==p p p y p y BN AM FB AF B A . 答案:31 13.以下四个命题中的真命题是____________.①经过定点P 0〔x 0,y 0)的直线都可以用方程y-y 0＝k(x-x 0)表示②经过任意两个不同的点P 1〔x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)·(x 2-x 1)＝(x-x 1)(y 2-y 1)表示 ③不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示 ④经过定点A 〔0,b)的直线都可以用方程y ＝kx+b 表示答案:②14.给出以下5个命题:①函数f(x)=-sin(k π+x)(k ∈Z)是奇函数;②函数f(x)=tanx 的图象关于点( ,0)(k ∈Z)对称;③函数f(x)=sin|x|是最小正周期为π的周期函数;④设θ是第二象限角,那么＞ ,且＞ ;⑤函数y=cos2x+sinx 的最小值是-1.其中正确的命题是___________.解析:∵y=-sin(k π+x)(n ∈Z),故f(x)是奇函数,∴①正确;对f(x)=tanx,(k π,0)、( ,0)都是对称中心(前者在曲线上,后者不在),∴②正确;f(x)=sin|x|不是周期函数,∴③不正确;对④, 必满足＞ ,但是第三象限角时, ＜ ,∴④不正确;∵y=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx,当sinx=-1时,ymin=-1,∴⑤正确.答案:①②⑤15.函数y=f(x)的图象与直线x=a 、x=b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f(x)在［a,b ］上的面积.函数y=sinnx 在［0, ］上的面积为 (n ∈N*),那么(1)函数y=sin3x 在［0, ］上的面积为____________;(2)函数y=sin(3x-π)+1在［ , ］上的面积为________.解析:(1)令n=3,那么y=sin3x 在［0, ］上的面积为 .又∵y=sin3x在［0, ］和［ , ］上的面积相等,∴y=sin3x在［0, ］上的面积为 .(2)由y=sin(3x-π)+1,设3φ=3x-π,∴y=sin3φ+1.又∵x∈［ , ］,∴3φ∈［0,3π］.∴φ∈［0,π］.由(1)y=sin3φ在［0, ］上的面积为 ,y=sin3φ在［0,π］上的面积为S1+S2+S3-S4 ,∵ ,∴y=sin(3x-π)+1在［ , ］上的面积为 .答案:(1) (2)。

2010高考数学小题冲刺训练(详细解析)(十三)

2021高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕高中数学、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕1.集合A={x|x 2-2x-3≤0},B={x|x 2+px+q ＜0},满足A∩B={x|-1≤≤x＜2}，那么p 与q 的关系为〔〕A.p-q=0B.p+q=0C.p+q=-5D.2p+q=-4解析：A={x|-1≤x≤3},∵A∩B 非空，∴B 非空，设B={x|x 1＜x ＜x 2}，观察数轴，有x 1＜-1,x 2=2,即x=2是方程x 2+px+q=0的一根，把x 2=2代入x 2+px+q=0,有4+2p+q=0.应选择D.答案：D2.如图,四边形ABCD 中,AD∥BC,AD＝AB,∠BCD＝45°,∠BAD＝90°.将△ADB 沿BD 折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A —BCD.那么在三棱锥A —BCD 中,以下命题正确的选项是( )A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析:∵在四边形ABCD 中,AD∥BC,AD＝AB,∠BCD＝45°,∠BAD＝90°,∴BD⊥CD. 又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD ＝BD, 故CD⊥平面ABD,那么CD⊥AB. 又AD⊥AB,故AB⊥平面ADC. ∴平面ABC⊥平面ADC. 答案:D3.用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20 000大的五位偶数共有〔〕A ．48个B ．36个C ．24个D ．18个解析：个位数是2的有333A ＝18个，个位数是4的有33A ＝18个，所以共有36个. 答案：B 4.3ln )1()(--=x xx x f 的零点个数为( )A.1B.2 C 解析:∵f(x)＝0,∴(x -1)lnx ＝0.∴x＝1. ∴f(x)零点为1. 答案:A5.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5＝0相切的圆的方程为( )A.(x-2)2+(y+1)2＝3B.(x+2)2+(y-1)2＝3C.(x-2)2+(y+1)2＝9D.(x+2)2+(y-1)2＝3解析:343|5)1(423|22=++-⨯-⨯=r ,应选C.答案:C6.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成的角为( )解析:如图建立空间直角坐标系，把D 点视作原点O ，分别沿DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，那么A 〔1，0，0〕，M 〔1，21，1〕，C 〔0，1，0〕，N 〔1，1，21〕, ∴AM=〔1，21，1〕-〔1，0，0〕=〔0，21，1〕, CN=〔1，1，21〕-〔0，1，0〕=〔1，0，21〕. 故AM ·CN =0×1+21×0+1×21=21.又|AM|=251)21(0222=++, |CN|=25)21(01222=++, 设α为直线AM 与CN 所成的角,∴cosα=52252521||||=•=CN AM . ∴α=arccos52. 答案:D7.△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于〔〕 A.231+ B.31+ C.232+ D.32+解析：∵a、b 、c 成等差数列，∴2b=a+c.平方,得a 2+c 2=4b 2-2ac.又△ABC 的面积为23，∠B=30°，故由234130sin 21sin 21==︒==∆ac ac B ac S ABC ，得ac=6.∴a 2+c 2=4b 2-12.由余弦定理，得2344621242cos 222222=-=⨯--=-+=b b b ac b c a B ,解得3242+=b .又b 为边长,∴31+=b .答案：B8.一对酷爱运动的年轻夫妇,让刚满十个月大的婴儿把“0,0,2,8,北,京〞六张卡片排成一行，假设婴儿能使得排成的顺序为“2021北京〞或“北京2008”，那么受到父母的夸奖，那么婴儿受到父母夸奖的概率为〔〕A.1801 B.2401 C.3601 D.7201 解析：婴儿受到父母夸奖的概率180122266==A A P . 答案：A9.双曲线122=-ny m x (mn≠0)的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线y 2＝4x 的焦点,那么此双曲线的渐近线方程是( )A.03=±y xB.03=±y xC.3x±y＝0D.x±3y＝0 解析:抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0). ∴m+n＝1.又双曲线的离心率为2,∴21=m. ∴41=m ,43=n . ∴双曲线的方程为134422=-y x . ∴其渐近线方程为03=±y x . 答案:A10.)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ++++++++∞→ 等于( )A.3B.31 C.61解析：∵2243422423332242322n n n C C C C C C C C C C C +++=++++=++++31+==n C ,2)1)(2()(1141312-+=++++n n nC C C C n n ,∴312)2)(1(6)1()1(lim 2)2)(1(lim )(lim 3111413122242322=+--+=+-=++++++++∞→+∞→∞→n n n n n n n n n C C C C C n C C C C n n n nn n . 答案：B、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.如图(1),正四棱柱ABCD —A′B′C′D′中,AA′＝2AB,那么异面直线A′B 与AD′所成的角的余弦值是______________.解析:如图(2),连结D′C、AC,那么A′B∥D′C, ∴异面直线A′B 与AD′所成的角等于∠AD′C. 令AB ＝a,∴AA′＝2AB ＝2a.∴AD′＝D′C＝a 5,a AC 2=.△AD′C 中,AD′＝D′C＝a 5,a AC 2=,∴cos∠AD′C＝54108222222=='•'-'+'aa C D D A AC C D D A . 答案:5412.口袋内装有10个相同的球,其中5个球标有数字0,5个球标有数字1,假设从袋中摸出5个球,那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________.〔用数值作答〕解析：随机变量ξ＝i 表示摸出的5个球所标数字之和为i 〔i ＝0,1,2,3,4,5〕,那么5101)0(C P =,510510451551045151)5(,)4(,)1(C P C C C P C C C P ===,故摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率为6313252262)(2)5()4()1()0(510451505=⨯=+=+++C C C C P P P P . 答案：631313.假设不等式|x-4|+|3-x|＜a 的解集是空集,那么实数a 的取值范围为______________.解析:不等式|x-4|+|3-x|＜a 的解集为⇔|x-3|+|x-4|＜a 的解集为.又|x-3|+|x-4|的最小值为1,故a∈(-∞,1］. 答案:(-∞,1］14.(2021上海高考,理10)某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界),其边界是长轴长为2a 、短轴长为2b 的椭圆.岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上.现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计),在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2,那么船只已进入该浅水区的判别条件是_______________.解析:依题意作图,如右图,知|MF1|+|MF2|＜2a h1·cotθ1+h2·cotθ2＜2a.答案:h1·cotθ1+h2·cotθ2＜2a15.在x、y值都是不小于0的整数点(x,y)中,满足x+y≤4的点的个数为__________.解析：如下图,用数形结合法知共有15个.答案：15。

2010年高三数学高考最后冲刺必读题解析(23)

2010年高考数学最后冲刺必读题解析（23）20.已知函数a x x g x x f +-=+=11)(),1ln()(22，（1）求)(x g 在))2(,2(g P 处的切线方程l ；（2）若)(x f 的一个极值点到直线l 的距离为1，求a 的值；（3）求方程)()(x g x f =的根的个数.21.设),(),,(2211y x B y x A 是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上的两点，已知),(11a y b x m =，),(22ay b x =，若0=⋅且椭圆的离心率23=e ，短轴长为2，O 为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点),0(c F （c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：AOB ∆的面积是否为定值，如果是，请给予证明，如果不是，请说明理由. 22.已知数列{}n a 是首项为2，公比为21的等比数列，n S 是它的前n 项和. (1) 用n S 表示1+n S ；（2）是否存在自然数c 和k 使得21>--+cS cS k k 成立.（3）令11)1ln()(22--+=x x x h ，则))1(111(2)1(212)(222222'-++=-++=x x x x x x x x h ∴当[)()0)(,11,0'≥+∞∈x ，h x 时 ∴当()()0)(0,11,'<--∞-∈x ，h x 时故)(x h 在()()，上0,1,1,--∞-单调递减，[)()在+∞,11,0，又)(x h 为偶函数，当)1,1(-∈x 时)(x h 的极小值为1)0(=h)(x h 的图象如图所示)()()(x h a x g x f =⇒=②当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为b kx y +=，与1422=+x y 联立得： 042)4(222=-+++b kbx x k ，44,422221221+-=⋅+-=+k b x x k kb x x04))((04121212121=+++⋅⇒=⋅+⋅b kx b kx x x y y x x ，代入得：4222=-k b故不存在自然数k c ,，使21>--+cS cS k k 成立.20．（本小题满分12分）已知函数23()ln(23)2f x x x =+-．（1）求()f x 在[0，1]上的单调区间；（2）若对任意1[,1]3x ∈，不等式|()|ln 5a f x ->，求实数a 的取值范围．20．（1）函数f （x ）的定义域为2{|}3x x >-，233693(1)(31)'()3232332x x x x f x x x x x ---+-=-==+++…………3分∴在[0，1]上，当0)(,310<'<≤x f x 时时，()f x 单调递增；当113x <≤时，0)(<'x f ，()f x 单调递减． ∴()f x 在[0，1]上的增区间是1[0,]3，减区间是1[1]3，．（开闭均可） …………6分（2）由|()|ln 5a f x ->，可得()ln5a f x ->或()ln 5a f x --<，即()ln5a f x >+或()ln5a f x -<．…………7分由（1）当1[,1]3x ∈时，11()()ln 336nmx f x f ==-， min 3()(1)ln 52f x f ==-． …………9分∵()ln5a f x >+恒成立，∴1ln156a >-， ∵()ln5a f x <-恒成立，∴32a <-．a ∴的取值范围为：236115ln <->a a 或…………12分21．（本小题满分12分）已知可行域0,20,0,y x y ≥⎧⎪-+≥⎨+-≤的外接圆C 与x 轴交于点A 1、A 2，椭圆C 1以线段A 1A 2为长轴，离心率2e =．（1）求圆C 及椭圆C 1的方程；（2）设椭圆C 1的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点，过原点O 作直线PF 的垂线交直线x =Q ，判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明．21．（1）由题意可知，可行域是以12(2,0),(2,0)A A -及点M 为顶点的三角形，∵12A M A M ⊥，∴12A A M ∆为直角三角形，…………2分∴外接圆C 以原点O 为圆心，线段A 1A 2为直径，故其方程为224x y +=．∵2a =4，∴a =2．又2e =，∴2=c，可得b = ∴所求椭圆C 1的方程是22142x y +=． …………6分（2）直线PQ 与圆C 相切．设000(,)(2)P x y x ≠±，则22004y x =-．当0x =1),0,22(),2,2(-=⋅±PQ OP k k Q P ，∴OP PQ ⊥；当0x ≠00002,2y x k x y k OQ PF --=∴-=∴直线OQ的方程为00x y x y =-． …………8分因此，点Q 的坐标为)422,22(00x y x --．∵,)22()22()22(4222242000000020000y x x y x x x y y x x y y x k PQ -=--=-+-=----=…………10分 ∴当00x =时，0PQ k =，OP PQ ⊥；当00x ≠时候，0OP y k x =，∴1,PQ OP k k OP PQ =-⊥．综上，当02x ≠±时候，OP PQ ⊥，故直线PQ 始终与圆C 相切．…………12分 22．（本小题满分14分）已知在数列{a n }中，212,a t a t ==（t>0且t≠1）．x =是函数311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点．（1）证明数列1{}n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记12(1)n nb a =-，当t =2时，数列{}n b 的前n 项和为S n ，求使S n >2008的n 的最小值；（3）当t =2时，是否存在指数函数g （x ），使得对于任意的正整数n 有∑=+<++kk k k a a k g 1131)1)(1()(成立？若存在，求出满足条件的一个g （x ）；若不存在，请说明理由．22．（1）211'()33[(1)](2)n n n f x a x t a a n -+=-+-≥．由题意0)(='t f，即21133[(1)](2)n n n a t a a n -+-+-≥． …………1分∴11()(2)n n n n a a t a a n +--=-≥∵0t >且1t ≠，∴数列1{}n n a a +-是以2t t -为首项，t 为公比的等比数列，…………2分1122312121)1(,)1(,)1(,)1()(---+-=-⋅-=--=-∴⋅-=-=-∴n n n n n n n t t a a t t a a t t a a t t t t t a a以上各式两边分别相加得211(1)()n n a a t t t t --=-++…，∴(2)nn a t n =≥，当1n =时，上式也成立，∴nn a t =…………5分（2）当t=2时，12(21)1222n n n n b --==- 2112112)2121211(212---=++++-=∴-n n n n n S .21222)211(22n n n n ⋅+-=--=…………7分由2008n S >，得1222()20082nn -+>，1()10052n n +>， …………8分当1500)21(,1005,1005)21(,1400>+≥<+≤nn n n n n 时当时，因此n 的最小值为1005．…………10分（3）∵11111111()(1)(1)(21)(21)22121k k k k k k k a a +++==-++++++令()2kg k =，则有：11()11(1)(1)2121k k k k g k a a ++=-++++则11111()11(()(1)(1)2121nnkk k k k k g k a a ++==+=-++++∑∑ 2231111111()()()212121212121n n +=-+-++-++++++ (1111)3213n +=-<+…………13分即函数()2xg k =满足条件．18．（本小题满分13分）已知(4,2)A 是曲线22122:1x y C a b+=（0a b >>与曲线）22:2(0)C y px p =>的一个共点，F 为曲线2C 的焦点。

高三数学高考小题冲刺训练(详细解析)(二)

2010高考数学小题狂做冲刺训练（详细解析）高中数学姓名：__________班级：__________考号：__________、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.设集合M ＝{x|x-m≤0},N＝{y|y ＝(x-1)2-1,x∈R},若M∩N＝∅,则实数m 的取值范围是（）A.m ≥-1B.m ＞-1C.m ≤-1D.m ＜-1解析：∵M＝{x|x≤m},N＝{y|y ＝(x-1)2-1,x∈R}＝{y|y ≥-1},又M∩N＝∅, ∴m＜-1. 答案：D 2.把1＋（1＋x ）＋（1＋x ）2＋…＋（1＋x ）n展开成关于x 的多项式,其各项系数和为a n ,则112+-n n a a 等于（）A ．2nB ．2n－1 C ．2 D ．132+-n答案：D3.数列{a n }的前n 项和为S n ,若)1(1+=n n a n ,则S 5等于( )A.1B.5C.61D.3014.平面α⊥平面β,α∩β＝l,点P∈α,点Q∈l,那么PQ⊥l 是PQ⊥β的( )A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:根据线面垂直、面面垂直的判定定理可知,PQ⊥l 是PQ⊥β成立的充要条件. 答案:C5.一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则( )A.P 3＞P 2＞P 1B.P 3＞P 2＝P 1C.P 3＝P 2＞P 1D.P 3＝P 2＝P 1解析:该题是二面角知识在实际生活中的应用，首先应明确三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都相等，又三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积均相等，由面积射影公式 S 影=S ·cos α，知屋顶面积P 1、P 2、P 3均相等. 答案:D6.从一群参加志愿者活动的学生中抽取k 人,每人分一件纪念品,然后让他们继续参与志愿者活动.过一会儿,再从中任取m 人,发现其中有n 人已领取纪念品,估计共有志愿者______________人.（）A.n m k ∙B.mn k ∙ C.k ＋m-n D.)(21n m k -+ 解析：设共有x 名志愿者学生（x ≥k ）,则x 名学生中,每名学生有纪念品的概率为xk , ∴x k 与m n应较接近. ∴nmk x =.故选A.答案：A7.若a=(2,2,0),b=(1,3,z),〈a ，b 〉=60°,则z 等于( )A.22B.-22C.±22D.±22解析:∵a ·b =8，|a |·|b |=2)10(22z +，cos 〈a ,b 〉=21)10(228||||2=+=∙z b a b a ,∴z=±22. 答案:C8.由1,3,5,…,2n -1,…构成数列{a n },数列{b n }满足b 1＝2,当n≥2时,1-=n b n a b ,则b 5等于（）A.17B.15C.33D.63解析：根据题意,得b 2＝1b a ＝a 2＝3⇒b 3＝2b a ＝a 3＝5⇒b 4＝3b a ＝a 5＝9⇒b 5＝4b a ＝a 9＝17. 答案：A9.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L 1＝5.06x-0.15x 2和L 2＝2x,其中x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( )A.45.606B.45.6C.45.56D.45.51 解析:依题意,可设甲销售x 辆,则乙销售(15-x)辆,∴总利润S ＝5.06x-0.15x 2+2(15-x)＝-0.15x 2+3.06x+30(x ≥0).∴当x ＝10.2时,S max ＝45.6(万元). 答案:B10.设A 为圆(x-1)2+y 2＝1上的动点,PA 是圆的切线且|PA|＝1,则P 点的轨迹方程是… ( )A.(x-1)2+y 2＝4B.(x-1)2+y 2＝2C.y 2＝2xD.y 2＝-2x解析:作图可知圆心(1,0)到P 点距离为2,所以P 在以(1,0)为圆心,以2为半径的圆上,其轨迹方程为(x-1)2+y 2＝2.答案:B、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.如果0＜a ＜b ＜c ＜d ＜e,ed c b a S 1++=,则把变量______________的值增加1会使S 的值增加最大.(填入a,b,c,d,e 中的某个字母)解析：经分析可知,只有将a 、c 增大,才能使S 增大.若a 增加1,则b e d c b a e d c b a S 1)1(111+++=+++=, 若c 增加1,则d e d c b a e d c b a S 1)1(112+++=+++=. 又0＜b ＜d,则011>>db ,∴S 1＞S 2. 答案：a12.已知数列{a n }是递增数列,且a n ＝n 2+λn,则实数λ的范围是__________.解法一:a n+1-a n ＝(n+1)2+λ(n+1)-n 2-λn ＝2n+1+λ,∵数列{a n }是单调递增的,∴a n+1-a n ＝2n+1+λ＞0恒成立. 只要2n+1+λ的最小值大于0即可, ∴3+λ＞0.∴λ＞-3.解法二：a n ＝n 2+λn 且{a n }是单调递增的, ∴232<-λ. ∴λ＞-3. 答案:λ＞-313.设向量a ＝(-1,3,2),b ＝(4,-6,2),c ＝(-3,12,t),若c ＝m a +n b ,则t ＝_________,m+n ＝______.解析:m a +n b ＝(-m+4n,3m-6n,2m+2n), ∴(-m+4n,3m-6n,2m+2n)＝(-3,12,t).∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=+-,22,1263,34t n m n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.11,21,5t n m ∴112=+n m .答案:11 11214.若135)6cos(-=+πx ,则)26sin(x -π的值是____________. 解析：∵2)26()6(2πππ=-++x x ,∴1691191)6(cos 2)6(2cos )26sin(2-=-+=+=-πππx x x . 答案：169119-15.某市2005年底有出租车10万辆,计划从2006年起,每年报废0.2万辆旧出租车,假定该市每年新增加出租车数量是上年年底的10%,若到2008年底该市的出租车数量在［k,k+1］(k∈N *)内,则k ＝________万辆.解析:由题设可得a n+1＝a n ×1.1-0.2,变形为a n+1-2＝1.1(a n -2),∴{a n -2}是以8为首项,1.1为公比的等比数列.∴2008年底是a 4-2＝8×1.13,即a 4＝2+8×1.13＝12.648∈［12,13］. ∴k＝12. 答案:12。

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2010高考数学小题狂做冲刺训练（详细解析）
高中数学
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.点P 在曲线3
2
3
+
-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A.［0，2π］ B.［0，2
π）∪［43π
,π)
C.［43π,π)
D.(2π,4
3π］
解析:∵y′＝3x 2
-1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞）. 设倾斜角为α,则tan α≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0,
2
π)∪［43π,π).
答案:B
2.若方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,则a 2+b 2
的最小值为( )
A.3
B.
516 C.5
17 D.518 解析:将方程x 2
+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2
＝0的方程,则a 2
+b 2
的几何意义为l 上的点(a,b)到原
点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2
＝
211)1(1)1
00(
22242
22
-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2),
令u ＝x 2
+1,易知21)(-+
=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,则f(u)≥f(5)＝5
16, ∴a 2+b 2
的最小值为5
16
.故选B. 答案:B
3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为y
x
n =
(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情况见下表:
李先生的居住地2002年比1998年食品价格下降了7.5%，李先生一家在2002年购买食品和1998年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2002年属于( )
A.贫困
B.温饱
C.小康
D.富裕
解析:设1998年人均食品消费x 元，则2002年人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,2002年人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500. 此时，1400
5
.462475%5.922%5.92=+⨯=
x x x ≈0.3304＝33.04%,故选D.
答案:D
4.(2008海南、宁夏高考,文4)设f(x)＝xlnx,若f′(x 0)＝2,则x 0等于( )
A.e
2
B.e
C.
2
2
ln D.ln2 解析:f′(x)＝lnx+1,令f′(x 0)＝2, ∴lnx 0+1＝2.
∴lnx 0＝1.∴x 0＝e. 答案:B
5.第29届奥运会在北京举行.设数列a n ＝log n+1 (n+2)(n∈N *
).定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为奥运吉祥数,
则在区间［1,2 008］内的所有奥运吉祥数之和为( )
A.1 004
B.2 026
C.4 072
D.2 044
解析:a n ＝log n+1 (n+2)＝
)
1lg()
2lg(++n n ,
a 1·a 2·a 3·…·a k ＝
2
lg )
2lg()1lg()2lg(4lg 5lg 3lg 4lg 2lg 3lg +=
++∙∙k k k . 由题意知k+2＝22
,23
,…,210
,
∴k＝22-2,23-2,…,210
-2.
∴S＝(22
+23
+…+210
)-2×9＝
2026182
1)
21(49=---. 答案：B
6.从2 004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人,剩下的
2 000人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率（） A ．不全相等 B ．均不相等
C ．都相等且为
002
125
D ．都相等且为401
解析：抽样的原则是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为
002
125
. 答案：C
7.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为a i （i ＝1,2,…,6）,若a 1≠1,a 3≠3,5≠5,a 1＜a 3＜a 5,则不同的排列方法
种数为（）
A ．18
B ．30
C ．36
D ．48 解析：∵a 1≠1且a 1＜a 3＜a 5,
∴（1）当a 1＝2时，a 3为4或5,a 5为6，此时有12种；（2）当a 1＝3时，a 3仍为4或5，a 5为6，此时有12种；（3）当a 1＝4时，a 3为5，a 5为6，此时有6种. ∴共30种. 答案：B
8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成
以3为公差的等差数列的概率为（）
A ．
511 B ．681 C ．3061 D ．408
1 解析：属于古典概型问题,基本事件总数为3
18C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3（n －1）（1≤n ≤6）,
a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率681
316174444443
18
=⨯⨯++=++=
C P . 答案：B
9.复数i 3(1+i)2
等于( )
A.2
B.-2
C.2i
D.-2i
解析：i 3(1+i)2=-i(2i)=-2i 2
=2. 答案：A 10.(2008全国高考卷Ⅱ,4)函数x x
x f -=
1
)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称解析: x x
x f -=
1
)(是奇函数,所以图象关于原点对称. 答案:C
、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2
-5相切的直线方程为___________________.
解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2
+6x.依题意,有y ′=-3,
即3x 2
+6x=-3,得x=-1.
当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2
-5=-3.
故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=0 12.已知函数1
3)(--=
a ax
x f (a≠1).若f(x)在区间(0,1］上是减函数，则实数a 的取值范围是______________.
解析：由03)1(2)('<--=
ax
a a x f ,
⎪⎩
⎪⎨⎧<->-②
,0)1(2①,03a a
ax
由①,得a ＜
x
3
≤3. 由②,得a ＜0或a ＞1,
∴当a ＝3时,f(x)在x∈(0,1)上恒大于0,且f(1)＝0,有f(x)＞f(1). ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(-∞,0)∪(1,3］
13.已知平面上三点A 、B 、C 满足3||=AB ,5||=CA ,4||=BC ,则AB CA CA BC BC AB ∙+∙+∙的值等于
________________.
解析：由于0=++，
∴)(2||||||)(2222AB CA CA BC BC AB CA BC AB CA BC AB ∙+∙+∙+++=++
0)(225169=∙+∙+∙+++=,即可求值.
答案：-25
14.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_________________时，成功次数的标准差的值最大，其
最大值为___________________________________.
解析：4)2(2n q p n npq D =+≤=ξ,等号在2
1
==q p 时成立，此时D ξ＝25，σξ＝5. 答案：
2
1
5 15.设z 1是复数,112z i z z -=(其中1表示z 1的共轭复数),已知z 2的实部是-1,则z 2的虚部为___________________.
解析：设z 1=x+yi(x,y ∈R),则yi x z -=1. ∴z 2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i. ∵x-y=-1, ∴y-x=1.
答案：1。