(20讲)牛顿-莱布尼兹公式(一)
牛顿—莱布尼兹公式
1 不难看出，其中的和式是函数 f ( x ) 在区间 1 x 上的一个积分和（这里所取的是等分分割）， [0 ,1]
1 1 J lim i n 1 i 1 n n
n
1 i i 1 i x i , i [ , ], i 1,2, , n n n n n
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为
b a
f ( x )dx F ( x ) a F (b) F (a )
。
b
证： 由定积分定义，任给 0 ，要证存在 0,
当 || T || 时，有|
f ( )x [F (b) F (a)]|
1 dx J ln(1 x ) |0 ln 2 所以： 0 1 x 1
1 注：也可以把J看作 f ( x ) 在 [1 , 2] 上的定积分， x
同样有： J
2 1
3 dx dx ln 2 2 x 1 x
例 3 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
i 1
n
x ba
i 1
n
i
所以 f 在[a, b] 上可积，且有公式成立
F ( x ) 可由积分 注1 ：在应用牛顿-莱布尼茨公式时， 法求得。 注2： 定理条件尚可削减，例如： 1）对F 的要求可削减为：在 [a, b]上连续，在 [a, b] 内可导，且 F ( x ) f ( x ), x [a , b] 2）对 f 的要求可削减为：在 [a, b] 上可积。这 时（2）式仍成立，且由 f 在 [a, b]上可积，
叙述牛顿莱布尼茨公式
叙述牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式，也称做卢卡斯–莱布尼兹公式，是微积分学中非常重要的一条公式，用于求解函数的导数值。
这个公式首次由伊萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪发现，是微积分学最为基本的定理之一。
该公式的表达方式比较简单，但其背后深层次的涵义却十分深奥。
在数学领域，微积分是一种涵盖导数和积分的研究方法，其目的是研究函数的本质特征。
微积分的两个基本概念是导数和积分。
其中导数描述了函数在一点处的斜率，而积分则描述了该函数下的面积。
牛顿莱布尼茨公式实质上是导数和积分的等价关系。
牛顿莱布尼茨公式的表达方式如下：∫abf(x) dx = F(b) - F(a)其中，a、b为积分区间，f(x)为要求积分的函数，F(x)为f(x)的不定积分，即F'(x) = f(x)。
牛顿莱布尼茨公式的意义在于，如果我们知道一个函数的导数f(x)，那么我们就可以通过对其进行积分求得该函数在一个区间上的值。
换言之，该公式建立了函数导数和积分之间的联系，从而为微积分学中的反演原理奠定了基础。
通过牛顿莱布尼茨公式我们可以推导出很多微积分学中的重要结论，比如牛顿-莱布尼兹定理。
牛顿-莱布尼兹定理是指，如果f(x)是一个连续可微函数，那么该函数在一个区间上的积分可以看成是该函数在该区间的上界和下界的函数之差：∫abf(x) dx = F(b) - F(a) = [F(x)]ab其中，F(x)为f(x)的原函数，[F(x)]ab表示在a到b区间上的积分。
在这个定理中，我们可以发现牛顿莱布尼茨公式的本质就在于揭示了导数的积分反演原理，或者说积分的导数原理。
总而言之，牛顿莱布尼茨公式是微积分学中最基本的定理之一，因其揭示了函数导数和积分的等价关系，是微积分学中的重要工具。
通过该公式，我们可以解决很多微积分问题，并推导出一些重要的微积分学结论。
如何理解牛顿莱布尼茨公式
如何理解牛顿莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要公式之一，它将函数的导数和原函数之间建立了联系。
这个公式可以用数学符号表示为：∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)
其中，∫ab表示区间[a,b]上的定积分，f(x)表示函数的导数，F(x)表示函数的原函数。
理解这个公式需要掌握以下几个概念：
1. 定积分：定积分是一种求曲线下面面积的方法。
它可以看作是将曲线分成无数个小矩形，然后将这些小矩形的面积加起来得到曲线下面的总面积。
定积分的符号为∫。
2. 导数：导数是函数在某一点处的斜率，它表示函数曲线在这个点处的变化率。
导数可以表示为f'(x)。
3. 原函数：原函数是导数的反函数。
即如果f(x)是函数的导数，那么F(x)就是函数的原函数。
原函数的符号为∫f(x)dx。
4. 牛顿-莱布尼茨公式：这个公式表示函数的定积分可以用函数的原函数来表示。
例如，在区间[0,1]上，如果f(x)=2x，则：
∫01 2x dx = x^2|01 = 1
而f(x)的原函数是F(x)=x^2，所以根据牛顿-莱布尼茨公式，上式也可以表示为：
F(1) - F(0) = 1-0 = 1
这个公式在微积分中有着广泛的应用，例如求曲线的弧长、求旋
转体的体积等。
掌握了这个公式，可以更深入地理解微积分的精髓。
牛顿莱布尼茨公式与积分运算
牛顿莱布尼茨公式与积分运算知识点：牛顿-莱布尼茨公式与积分运算一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的表述，它建立了微分学与积分学之间的联系。
公式如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间(a, b)内可导，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫(from a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数，即F’(x) = f(x)。
二、积分运算的基本性质1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，α和β是两个常数，则有：∫(from a to b) (αf(x) + βg(x))dx = α∫(from a to b) f(x)dx + β∫(from a to b) g(x)dx2.保号性：如果f(x)在区间[a, b]上非负（非正），则∫(from a to b)f(x)dx非负（非正）。
3.可加性：如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，且它们的区间分界点相同，那么：∫(from a to b) f(x)dx + ∫(from a to b) g(x)dx = ∫(from a to b) (f(x) + g(x))dx4.换元积分法：设 Integration variable change : x = g(t)，dx = g’(t)dt，则有：∫(from a to b) f(x)dx = ∫(from g(a) to g(b)) f(g(t))g’(t)dt三、积分运算的基本公式1.幂函数的积分公式：∫(from a to b) x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为积分常数。
2.指数函数的积分公式：∫(fro m a to b) e^x dx = e^x + C。
3.对数函数的积分公式：∫(from a to b) ln|x| dx = ln|x| + C。
牛顿莱布尼茨公式与积分中值定理
牛顿莱布尼茨公式与积分中值定理牛顿-莱布尼茨公式与积分中值定理牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理是微积分中两个重要且基本的定理，它们为我们理解和应用积分提供了重要的工具。
本文将先介绍牛顿-莱布尼茨公式的概念和推导过程，接着详细阐述积分中值定理及其应用。
牛顿-莱布尼茨公式，也被称为基本定理，是微积分中极为重要的定理之一。
它是针对定积分和不定积分之间的关系提出的，表达了定积分和不定积分之间的联系。
其公式可表示为：∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)其中，f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数，F(x)是其在[a,b]上的一个原函数。
牛顿-莱布尼茨公式的意义在于，它将定积分与不定积分联系了起来，通过求函数的原函数可以得到函数的不定积分，而定积分则可以通过对不定积分在[a,b]上的两个端点求差得到。
牛顿-莱布尼茨公式的推导过程并不复杂，我们可以通过牛顿-莱布尼茨公式的符号表达式进行推导。
以∫[a,b]f(x)dx为例，我们可以通过对其求导得到：d/dx ∫[a,b]f(x)dx = d/dx (F(b) - F(a))根据导数的定义和求导法则，上式可以展开为：f(x) = dF(x)/dx其中，f(x)表示函数f(x)的导数，dF(x)/dx表示函数F(x)对x的导数。
从上式可以看出，函数f(x)等于函数F(x)对x的导数，即f(x)是F(x)的导函数。
这就是牛顿-莱布尼茨公式的基本思想。
接下来，我们将介绍积分中值定理。
积分中值定理，也被称为微积分的基本定理之一，是由罗尔定理推导而来的。
积分中值定理的基本思想是将一个函数在某个区间上的平均值与其在该区间上的某一点处的函数值相等。
其表达式形式如下：f(c) = 1/(b-a) ∫[a,b]f(x)dx其中，f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数，c是[a,b]上的某一点，∫[a,b]f(x)dx表示f(x)在[a,b]上的定积分。
积分中值定理是通过对函数在[a,b]上进行积分平均值的计算，得到函数在某一点c处的函数值。
高等数学牛顿—莱布尼茨公式
3
22
例4. 计算例5. 计算
例6. 计算正弦曲线 的面积 .
y y sin x
o
x
例 见书
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
6.3 牛顿——莱布尼茨公式
1 . 变上限的定积分 2. 牛顿——莱布尼茨公式公式
1. 变上限的定积分
x
f (t )dt
如果 x 是区间 [a, b]上任意一点，定积分 a
x
a f (t )dt
表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x] 上曲边梯形AaxC 的面积，
如 图 中 阴 影 部 当分x 在所区示间 [a的, b]面上变积化时. ,
a
a
“Newton—Leibniz公式”
例 3 计算下列定积分.
(1)
1 0
1
1 x
2
dx;
(2) 3 sin x dx. 0
解
(1)
1 0
1
1
1 0
arctan1 arctan0 ; 4
(2) 3 sin x dx cos x 3
0
0
cos ( cos 0) 1 1 1
F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数，
那么
b
a f ( x)dx F (b) F (a).
为了今后使用该公式方便起见，把 上 式右端的
F (b) F (a) 记 作 F ( x) b , 这样 上面公式就写成如下形式： a
莱布尼茨公式与牛顿莱布尼茨公式的区别与联系
莱布尼茨公式与牛顿莱布尼茨公式的区别与联系莱布尼茨公式与牛顿-莱布尼茨公式是微积分领域中两个重要的公式，它们在求解导数和积分问题时发挥着关键作用。
本文将探讨莱布尼茨公式与牛顿-莱布尼茨公式的区别与联系。
一、莱布尼茨公式莱布尼茨公式是由德国数学家莱布尼茨于17世纪提出的，它描述了求解函数导数的方法。
莱布尼茨公式可以用下面的形式表示：\[ \frac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x}f(t)dt \right)=f(x) \]其中，f(x)是在区间[a,x]上的一个连续函数。
莱布尼茨公式表示了求函数导数的一个重要性质，即函数的导数等于积分函数的导数。
莱布尼茨公式的应用范围广泛，它常被用于求解复杂函数的导数、计算曲线的斜率以及解决微分方程等问题。
通过莱布尼茨公式，我们可以简单而直接地求解导数，而不需要通过极限定义进行推导。
二、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是由牛顿和莱布尼茨共同发现和建立的，它描述了求解函数积分的方法。
牛顿-莱布尼茨公式可以用下面的形式表示：\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) \]其中，F(x)是f(x)的一个原函数。
牛顿-莱布尼茨公式表示了求函数积分的一个重要性质，即函数的积分等于积分函数在积分区间端点处的值之差。
牛顿-莱布尼茨公式的应用也非常广泛，它不仅可以用于计算确定积分，还可以解决曲线下面积、求解定积分的应用问题等。
与莱布尼茨公式相比，牛顿-莱布尼茨公式用于计算函数的积分，是莱布尼茨公式的一种特殊情况。
三、莱布尼茨公式与牛顿-莱布尼茨公式的区别1. 表达形式不同：- 莱布尼茨公式以函数的导数形式出现，描述了函数导数和积分之间的关系；- 牛顿-莱布尼茨公式以函数的积分形式出现，描述了函数积分和原函数之间的关系。
2. 作用领域不同：- 莱布尼茨公式常被用于求解函数的导数、计算曲线斜率和解决微分方程等；- 牛顿-莱布尼茨公式常被用于计算函数的积分和解决曲线下面积、求解定积分的应用问题等。
牛顿-莱布尼茨公式
• 牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也 被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函 数或者不定积分之间的联系。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增 量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了 这一公式，[2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了 这一公式。[1] 因为二者最早发现了这一公式，于是命名 为牛顿-莱布尼茨公式。
原函数存在定理
• 原函数是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函 数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的 任一点都 举例dF(x)=f(x)dx。 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
原函数的定义
• 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存 在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 • 若F'(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函 数F(x)为函数f(x)的原函数。 • 例：sinx是cosx的原函数。
公式应用
• 牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可 以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围 成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算 坝体的填筑方量。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运 动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的 万有引力。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式 在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支 中都有体现。
不等式证明
• 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当 积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据 被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到 证明不等式成立的目的。 • 在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便 去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用 积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运 用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本 不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可 以得到“>”的结论, 或者成功的算中, 如果 含有定积分式, 常常可以运用 定积分的相关知识, 比如积分 中值定理等, 把积分
《牛顿莱布尼茨公式》课件
牛顿莱布尼茨公式被广泛用于求解最优化问题，如寻找函数的最大值和最小值。
实例演示
求解圆的面积
我们将通过牛顿莱布尼茨公式来 计算圆的面积，展示它在几何学 中的应用。
计算三角形的体积
我们将使用该公式来计算一个三 角形形状的立体的体积，让您更 直观地体验其应用。
通过最优化问题求解最大值
我们将通过一个最优化问题，使 用牛顿莱布尼茨公式来求解函数 的最大值。
推荐一些经典的数学书籍和论文，供学习者深入探索牛顿莱布尼茨公式。
2 网络资源
提供一些在线学习资源和相关博客，以帮助学习者进一步了解牛顿莱布尼茨公式。
3 相关课程和学习资料
介绍一些涉及微积分和数学分析的课程和学习资料，以便学习者进一步提升数学能力。
总结
1 重要性和用途
总结牛顿莱布尼茨公式在 微积分中的重要性和广泛 应用的用途。
2 公式的表达式和推导 3 不同领域的应用和实
方法
例
回顾公式的表达式和两种 不同形式的推导方法，确 保对公式的理解更加深入。
突出牛顿莱布尼茨公式在 不同领域中的应用和实际 例子，加强其实用性的认 识。
参考资料
1 书籍和论文
《牛顿莱布尼茨公式》 PPT课件
在本课件中，我们将介绍牛顿莱布尼茨公式的定义、历史和意义，并探索它 在微积分中的具体应用和推导方法。同时，我们将通过实例演示来加深对公 式的理解。
什么是牛顿莱布尼茨公式？
1 定义
牛顿莱布尼茨公式是微积 分中的一个重要公式，用 于计算函数导数与定积分 之间的关系。
2 历史
并解释其中的符号和含义。
3
推导方法
我们将介绍两种不同形式的推导方法，帮 助您更好地理解这个重要的公式。
牛顿-莱布尼茨公式
05
牛顿-莱布尼茨公式的扩展
变上限的牛顿-莱布尼茨公式
总结词
变上限的牛顿-莱布尼茨公式是针对积分上限变化的情况进行扩展的公式。
详细描述
当积分的上限是一个变量时，传统的牛顿-莱布尼茨公式不再适用。为了解决这 个问题，变上限的牛顿-莱布尼茨公式被引入，它允许积分上限在一定范围内变 化，从而更准确地计算定积分。
感谢观看
THANKS
04
牛顿-莱布尼茨公式的证明
利用不定积分证明
总结词
通过不定积分和原函数的概念，证明牛 顿-莱布尼茨公式。
VS
详细描述
首先，根据不定积分的定义，我们知道对 一个函数进行不定积分可以得到其原函数 。然后，利用不定积分的基本性质，我们 可以将一个定积分转化为不定积分的形式 。最后，通过计算不定积分的结果，得到 定积分的值，从而证明了牛顿-莱布尼茨 公式。
要点一
总结词
通过微积分基本定理，证明牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
详细描述
微积分基本定理指出，如果一个函数在闭区间上可积，那 么其定积分等于其在该区间上所有分割点的函数值的积分 和的极限。利用这个定理，我们可以将定积分转化为求和 的形式，其中每个项表示函数在某个分割点的函数值。通 过计算这些项的和的极限，可以得到定积分的值，从而证 明了牛顿-莱布尼茨公式。
原函数是指一个函数，其导数等于给定的函数。例如，对于函数f(x)=x^2，其原 函数为F(x)=x^3/3。
牛顿-莱布尼茨公式的重要性
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学 中的基本定理之一，它为计算定
积分提供了一种简便的方法。
通过使用牛顿-莱布尼茨公式， 我们可以将复杂的定积分问题转 化为求原函数的问题，从而简化
02-106、牛顿—莱布尼茨公式(1)
2 x
2
例4.计算正弦曲线 y sin x 在 0, 上与 x轴所围成的
平面图形的面积 .
y y sin x
解:
A
π
0
sin
x
dx
cos x π (11) 2 O
πx
0
例5 计算 2 1 sin 2xdx. 0
解
2 1 sin 2xdx 0
2 sin2 x 2sin x cos x cos2 xdx 0
3
故由牛顿莱布尼茨公式， 1 x2dx 1 x3 1 1 .
0
3 03
例2
计算
31 1 1 x2
dx
解 因为 (arctan x) 1 , 1 x2
所以
31 1 1 x2 dx
3
arctan x
1( )34712例3 计算 1 1 dx 2 x
解:
1 1 dx ln x 1 ln1 ln 2 ln 2
F(x) (x) C x [a,b]
代入 x a, F(a) (a) C,
(a)
a
f (t) d t 0,
F(a) C,
a
(x) x f (t) d t F(x) F(a), a
b
代入 x b , f (x) d x F (b) F (a). a
b
a
f
( x)dx
二、牛顿 – 莱布尼茨公式(1)
定理3. 设 F(x)是连续函数 f (x)在a, b上的一个原函数，
b
则
f (x) d x F (b) F (a) 牛顿 - 莱布尼茨公式
a
证 已知F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
又(x) x f (t) d t 也是 f ( x)的一个原函数, a
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。
若f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个在[a,b]上的原函数，则∫a b f(x)dx=F(b)-F(a)这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式。
1定积分式如果我们把中的积分区间的上限作为一个变量x，这样我们就定义了一个新的函数：但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。
为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：2 Φ性质1、定义函数，则与格林公式和高斯公式的联系。
证明：让函数获得增量，则对应的函数增量显然，而（ξ在x与x+Δx之间，可由积分中值定理推得）当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x），故有可见这也是导数的定义，所以最后得出。
2、，F(x)是f(x)的原函数。
证明：我们已证得，故但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F(a)=C于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ(b) = F(b) - F(a),而，所以把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。
3相关人物牛顿牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。
他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。
牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。
莱布尼茨德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。
牛顿莱布尼茨公式
从上节例题和习题看到，通过求积分和的极限来计算定积分 一般是很困难的．下面要介绍的牛顿一莱布尼茨公式不仅为 定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分 与不定积分联系了起来．
定理9．1 若函数 f在区间[a,b]上连续,且存在原函数F,
即 Fx f x, x a,b ，则f在区间[a,b]上可积
3）
b dx a x2
1 x
b a
1 a
1. b
4）
0
sin xdx
cos
x
0
2
5 ) 先用不定积分法求出 f x x 4 x2 的任一原函数，
然后完成定积分计算：
x 4 x2dx 1 4 x2d 4 x2 1 4 x2 3 C
2
3
2 x
4 x2dx 1
且
b
a
f
xdx
F
b
F
a
(1)
这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常写成
b
a
f
xdx
Fx
b a
证 由定积分定义，任给 0，要证存在 0 ，当 T 时，有
n
f i xi Fa Fb
i 1
事实上，对于a, b 的任一分割 T a x0, x1, , xn b
在每个小区间 xi1 , xi 上对F(x)使用拉格朗日中值定理，
(这里所取的是等分分割，xi
1 n
,
i
i n
i
n
1
,
i n
,
i
1,2,
,n
)
所以
J
1 dx 0 1 x
ln1
x
1 0
ln 2
牛顿-莱布尼茨公式综述
牛顿-莱布尼茨公式综述1、简介：牛顿-莱布尼兹公式，通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。
牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。
2、定义：如果函数在区间上连续，并且存在原函数，则或[F(x)]a b3、证明：（1）积分上限函数在证明牛顿莱布尼茨公式前，需引入积分上限函数的概念为证明牛顿莱布尼茨公式铺路架桥。
a.定义：设函数f(x)在区间[a，b]上可积，且对任意在[a，x]上也可积，称变上限定积分为的积分上限函数，记为即b.原函数存在定理：设函数在区间[a，b]上连续，则积分上限函数在[a，b]上可导，并且即Φ(x)为f（x）的一个原函数。
这个定理一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步的揭示了积分学中的定积分与原函数之间的关系。
因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分。
C.证明：对于任意给定的给x以增量其绝对值足够的小，使得由的定义及定积分对区间的可加性，有再由定积分中值定理，得其中，在和之间。
由于假设f（x）在[a,b]上连续，令则从而由的连续性，得根据导数定义，得即证毕。
（2）牛顿-莱布尼茨公式：已知函数F（x）是连续函数f(x)的一个原函数，又根据原函数存在定理知，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。
于是这两个原函数之差F(x)-Φ(x)在[a,b]上必定是某一个常数C，即F(x)-Φ(x)=C (a≤x≤b).a f(x)dx=0可知Φ(a)=0.在上式中x=a，得F(a)-Φ(a)=C.又由Φ(x)的定义式及∫a因此C=F(a)。
牛顿莱布尼茨公式表达式
牛顿莱布尼茨公式表达式
牛顿 - 莱布尼茨公式：对于函数f(x)，如果F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，那么∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)。
一、公式的意义。
1. 定积分与原函数的联系。
- 定积分∫_a^bf(x)dx表示的是函数y = f(x)在区间[a,b]上与x轴所围成的曲边梯形的面积（在x轴上方的面积为正，下方的面积为负）。
- 原函数F(x)的导数是f(x)，即F'(x)=f(x)。
牛顿 - 莱布尼茨公式建立了定积分（一个数值，表示面积等几何或物理意义）和原函数（一个函数）之间的关系，使得我们可以通过求原函数在区间端点的值的差来计算定积分。
二、使用条件。
1. 函数的连续性。
- 函数f(x)在区间[a,b]上必须是连续的。
如果函数在区间内有间断点，那么需要特殊处理，例如将区间分成多个子区间，使得函数在每个子区间上是连续的，然后分别应用牛顿 - 莱布尼茨公式。
三、应用示例。
1. 计算简单定积分。
- 例：计算∫_1^2x^2dx。
- 求f(x)=x^2的一个原函数。
根据求导公式(x^n)' = nx^n - 1，可知
F(x)=(1)/(3)x^3+C（C为常数），在这里计算定积分时C会被抵消，所以可以取
F(x)=(1)/(3)x^3。
- 然后，根据牛顿 - 莱布尼茨公式∫_1^2x^2dx=F(2)-F(1)=(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)。
牛顿莱布尼茨公式 零点定理
牛顿莱布尼茨公式零点定理牛顿-莱布尼茨公式（newton-leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。
牛顿在年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式取值分数提供更多了一个有效率而方便快捷的计算方法，大大简化的定分数的排序过程。
定理意义牛顿-莱布尼茨公式的辨认出，并使人们找出了化解曲线的长度，曲线围起的面积和曲面围起的体积这些问题的通常方法。
它精简的定分数的排序，只要晓得被内积函数的原函数，总可以谋出定分数的准确值或一定精度的近似值。
牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式就是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明的定开卡元公式，分数第一中值定理和分数型余项的泰勒公式。
牛顿-莱布尼茨公式还可以推展至二重积分与曲线分数，从一维推展至多维。
公式应用牛顿-莱布尼茨公式精简的定分数的排序，利用该公式可以排序曲线的弧长，平面曲线围起的面积以及空间曲面围起的立体体积，这在实际问题中存有广为的应用领域，比如排序坝体的围垦方量。
牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力。
牛顿-莱布尼茨公式推动了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶转换，概率论，微分函数等数学分支中都存有彰显。
牛顿——莱布尼兹公式
牛顿——莱布尼兹公式
牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的重要公式之一。
它描述了定积分与原函数之间的关系，也就是说，如果一个函数在某一区间上的导数已知，则可以通过定积分求出该函数在该区间上的值。
公式的表述为：$int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$，其中$f(x)$为被积函数，$F(x)$为$f(x)$的原函数，$a,b$为积分区间的端点。
这个公式的重要性在于它将微积分的两个分支——微分和积分——联系了起来，使得微积分的应用范围更广、更灵活。
同时，它也为很多数学问题和物理问题的求解提供了便捷的方法。
牛顿和莱布尼兹都被认为是微积分的创始人之一，但在17世纪末的时候，他们之间发生了关于微积分发明归属的争论。
虽然历史上谁先发明了微积分至今尚无定论，但牛顿-莱布尼兹公式却为两位大师留下了印记，成为他们共同的贡献。
- 1 -。
牛顿莱布尼兹公式推导
牛顿莱布尼兹公式推导
牛顿-莱布尼兹公式，也称为莱布尼兹积分公式，是微积分中的一个重要公式，用于计算定积分。
这个公式的形式如下：\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]
其中，\( F(x) \) 是函数 \( f(x) \) 的一个原函数，\( a \) 和 \( b \) 分别是积分的下限和上限。
推导牛顿-莱布尼兹公式的基本思想是利用定积分的定义和导数的基本性质。
我们知道函数的导数是函数的变化率，那么如果我们有一个函数的导数，就可以通过对导数进行积分来得到原函数。
具体而言，设 \( F(x) \) 是函数 \( f(x) \) 的一个原函数，即 \( F'(x) = f(x) \)，那么根据牛顿-莱布尼兹公式的定义，我们有：
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]
这个公式的意义在于，它将定积分与原函数联系起来，为我们提供了一种计算定积分的方法。
通过找到被积函数的原函数，我们可以避开直接计算积分，而是通过对原函数在积分区间两端的取值进行计算，从而得到定积分的值。
扩展说明：
牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的基础公式之一，它为我们提供了计算定积分的一种便利的方法。
在实际应用中，牛顿-莱布尼兹公式常常用于计算不易通过初等函数积分得到的函数的定积分，同时
也为定积分的应用提供了数学工具。
此外，牛顿-莱布尼兹公式也为我们理解积分的几何意义提供了帮助，它可以用来计算曲线下的面积、物体的体积、质心、转动惯量等重要的物理量，因此在科学和工程领域具有广泛的应用。
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一、 引入
前面讨论过一个变速直线运动，我们知道如果一物体作变速直线运动，其速度()t v v =，它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程等于定积分()dt t v s b
a ⎰=，
另一方面，若已知物体运动时的路程函数()t s s =，则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程为()()a s b s s -=，故有
()()()a s b s dt t v b
-=，
因为()()t v t s ='，即路程函数()t s 是速度函数()t v 的原函数，所以我们可以继续列出等式()()()a s b s dt t s b
a -='⎰。
一般的，对于任意[]b a x ,∈，则有
()()()a s x s dt t s x
a
-='⎰
左式也是一个关于x 的函数，两边对x 求导
()()()x v x s dt t v dx
d x
a =-'=⎰0
二、
积分上限函数()()()b x a dt
t f x x
a
≤≤=⎰φ
1、积分上限函数相关定理
定理4 （导数的存在性）如果函数()x f 在区间[]b a ,上连续，则
积分上限函数
积分上限函数()()()b x a dt
t f x x
a
≤≤=⎰φ在[]b a ,上具有导
数，且有()()()b x a x f x ≤≤='φ。
定理5 如果函数()x f 在区间[]b a ,上连续，则函数
()()dt t f x x
a
⎰=φ
是函数()x f 在区间[]b a ,上的一个原函数
2、定理应用：()()()()x f dt t f dx d x f dt t f x a
x a ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰即＝,
其中，
dx d
表示了求导对象就是x 例一、求()⎰x t dt e dx d 021 ()⎰-2
1
cos 2x tdt dx d
解：()x x
t e dt e dx d 20
21=⎰
()222
1
2
1cos 22cos cos cos 22
2x x x x dx
dx
tdt dx d tdt dx d x x =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰-- 完成练习：P170 练习1
注意：求解过程中要让求导对象和积分上限统一。
三、
牛顿－莱布尼兹公式
1、定理6 设函数()x F 是连续函数()x f 在区间[]b a ,上的一个原
函数，则
()()[]()()a F b F x F dx x f b
a b
a
-==⎰
求定积分的步骤：
① 求出()x f 一个原函数()x F ；
② 计算原函数()x F 在[]b a ,上的增量()()a F b F -（上限－下限）。
2、讲解例题
例二、计算
()31303131331031
02
=-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎰x dx x
()[]2ln 2
4
ln
2ln 4ln ln 124
2
4
2==-==----⎰x dx x
练习：⎰20sin π
xdx
⎰
π
cos xdx
例三、计算
()⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛+2
1
2
11dx x x =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++2122
12dx x x
=2
1
3123⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x x =629
()()
⎰+2
1
2212x x dx =⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛+-2122111dx x x
=2
1arctan 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x x =2arctan 4
21-+π
练习：⎰1
03xdx
⎰
--21
2
12
11dx x
()
⎰--11
23
3dx x x
例四、求曲线x y sin =和x 轴在区间[]π,0上所围成的图形面
积。
解：如图（见书P171图16-12可以黑板板画）图形面积为
A=⎰π
sin xdx =[]π0cos x -=()()0cos cos ---π=2
练习：
求由12+=x y 与直线1=x ，
3=x 及x 轴所围成的曲边梯形的面积。
例五、已知自由落体运动速度为gt v =，试求在时间区间
[]T ,0上物体下落后的距离s 。
解：2020
2
121gT gt gtdt s T
T =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==⎰
四、
小结
1、积分上限函数，要求会求其导数
2、牛顿－莱布尼兹公式，要求会求简单的定积分题。
五、
作业 p163习题16－8 A 组1、3、4。