(二)点群、单形及空间群

点群空间群

空间群是点对称操作和平移对称操作的对称要素全部可能的组合。点群表示晶体外形上的对称关系，空间群表示晶体结构内部的原子及离子间的对称关系。空间群一共230个，它们分别属于32个点群。晶体结构的对称性不能超出230个空间群的范围，而其外形的对称性和宏观对称性则不能越出32个点群的范围。属于同一点群的各种晶体可以隶属于若干个空间群。

230种晶体学空间群的记号

Symbols of the 230 Crystallographic Space Groups

结晶学第六讲—点群(2)

010
110
432 (43, 3L44L36L2)
x
111 011 111
010
011 111
001
y
y
110
101 110
100
x
x
23 (3L24L3)
立方晶系
{3[111]}{3[111]} = {2[010]}
y
32 (L33L2)
x
没有4次轴！
x y
{3[111]}{2[001]} = {32[111]}
y
x
四方晶系
4 (L4)
y
x
4/m (L4PC)
四方晶系
x y
4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43
{4[001]}{m[001]} = {43[001]}
-0 -1 -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -0 -1 = -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1
4或4沿c
3或3沿c 6或6沿c
4、4、2或2 沿<100>
2或2沿a±b
2或2a、b和a+b 2或2a、b和a+b 2或2沿<110>
3或3沿<111>

点群格子及空间群

晶族
低（无
级高次
晶轴）
族
晶族
中（
只
级
有一
个
晶
高次
轴
族）
晶族
（有高数级个晶高族次轴）
晶系三斜晶系单斜晶系斜方晶系
晶系
四方晶系
三方晶系
六方晶系
晶系
等轴晶系
低级晶簇、三种晶系、8 种对称型（点群）
对称特点对称型种类
对称型符号
圣弗利斯符号
国际符号
Hale Waihona Puke Baidu晶类名称
97 D49
98
D410
99
C4v1
100 C4v2
101 C4v3
102 C4v4
103 C4v5
104 C4v6
105 C4v7
106 C4v8
107 C4v9
108 C4v10
109 C4v11
110 C4v12
111 D2d1
112 D2d2
Amm2 (Bmm2) Abm2( Bma2) Ama2( Bbma2) Aba2(Bba2) Fmm2
C6
204
Th5
205
Th6
206
Th7
-6
207
O1
C3h
208

230种空间群

空间群是点对称操作和平移对称操作的对称要素全部可能的组合。点群表示晶体外形上的对称关系，空间群表示晶体结构内部的原子及离子间的对称关系。空间群一共230个，它们分别属于32个点群。晶体结构的对称性不能超出230个空间群的范围，而其外形的对称性和宏观对称性则不能越出32个点群的范围。属于同一点群的各种晶体可以隶属于若干个空间群。

230种晶体学空间群的记号

Ci

I

2m

2m P P P I

m 1m P

m2 m2

m

3m 3m I P

Pm Im m

1 三斜晶系

2 单斜晶系

3 斜方晶系

4 四方晶系

为2，

为⊥m，5 三方晶系

6 六方晶系

(191) P6/mmm 7 等轴晶系

点群和空间群

平移不变性（translation invariance）这样微观对称元素共有两个： ❖ 螺旋轴（screw rotation） ❖ 滑移面（glide）。
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12
螺旋轴 screw rotations
平移对称与旋转轴对称结合，即形成 “螺旋轴”。螺旋轴操作为绕此轴旋转360/n后，再沿此轴方向平移l/n 周期，图形即可自身重合，其中n=1、 2、3、4、6，l=1、2、…、（n-1）。螺旋轴的国际符号为21；31，32；41， 42，43；61，62，63，64，65。
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17
wangcl@sdu.edu.cn
18
宏观对称元素的组合，可以导出32
种点群；宏观对称元素与微观对称元
素的组合，可以导出230种空间群。
空间群的国际符号由两部分组成，第
一部分为大写字母P、C、I、F，表
示14种布喇菲格子中的原始格子
（P）、底心格子（C）、体心格子
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20
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21
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Space group P212121 (222)
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23
晶轴和直角坐标轴的选择

结晶学第六讲点群2

-1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1
-1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1
-1 -0 -0
= -0 -1 -0
-0 -0 -1
2 (L2)
单斜晶系 (主轴
b)
第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)
m (P)
单斜晶系 (主轴
b)
第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)
360o/n (n = 1,2,3,4,6)
2 (C2, L2)
+ + _
_
+
+ +
+
1 (i, C)
+
x'
-1 -0 -0 x
y' = -0 -1 -0 y
z'
-0 -0 -1 z
_,
+
_,
+
_,
2 (P), m
,+ +
_ ,+ _, +
3 (S65, Li3)
x'
-0 -1 -0 x
y' = -1 -1 -0 y
结晶学点群：32种
结晶学点群是指一些点对称操作的集合。 32种点群可用来完全描述三维晶体的宏观对称性。
对称操作的一个集合，满足以下四条件，就构成一个

二点群单形及空间群

滑动面表示符号：平移为a/2、b/2或c/2时，写作a、b或c；沿体对角线平移1/2距离，写作n；沿面对角线平移1/4距离，写作d。

(2)螺旋轴：由回转轴和平行于轴的平移构成。图1-24为3

次螺旋轴，绕轴回转120º并沿轴平移c/3。螺旋轴按其回

转方向有右旋和左旋之分

螺旋轴表示符号：21(表示2次、c/2)，31(表示3次、c/3、右旋)，32(表示3次、c/3、左旋)，41(表示4次、c/4、右旋)，42(4次、c/2)，43(表示4次、c/4、左旋)，61(6次、c/6、右旋)，62(6次、c/3、右旋)，63(6次、c/2)，64(6次、c/6、左旋)，65(6次、c/3、左旋)

所有对称要素归纳：

回转对称轴：1、2、3、4、6

对称面：m（2）

对称中心：1（z）

回转-反演轴：3、4、6

滑动面：a、b、c、n、d

螺旋轴：21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65

(二)点群、单形及空间群

点群：晶体可能存在的对称类型。

通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。只能有32种对称类型，称32种点群

表1- 3 32种点群及所属晶系

*2/m表示其对称面与二次轴相垂直，/表示垂直的意思。其余类推

同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。

如错误！未找到引用源。，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。

理想晶体的形态―单形和聚形：

单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。32种对称

型总共可以导出47种单形，如错误！书签自引用无效。，错误！

晶体结构空间群点群

(二)点群、单形及空间群

点群：晶体可能存在的对称类型。

通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。只能有32种对称类型，称32种点群

表1- 3 32种点群及所属晶系

*2/m表示其对称面与二次轴相垂直，/表示垂直的意思。其余类推

同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。

如错误!未找到引用源。，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。

理想晶体的形态―单形和聚形：

单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。32种对称型总共可以导出47种单形，如错误!书签自引用无效。，错误!

书签自引用无效。，错误!书签自引用无效。所示

聚形：属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一

定空间的几何多面体，如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态

空间群：描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群，空间群有230种，见教材中表1- 4

国际通用的空间群符号及其所代表的意义为：

P：代表原始格子以及六方底心格子（六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有）。

F：代表面心格子。

I：代表体心格子。

C：代表（001）底心格子（即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。

A：代表（100）底心格子（即与x轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。

R：代表三方原始格子。

其它符号：意义与前述相同

表1- 4 晶体的空间群、点群、晶系、晶族一览表

点群、空间群和晶体结构介绍

立方系各晶类的投影图
在(e)所示：在投影面上{111)位置4个3轴，单胞3个轴为4次轴，过单胞3个轴两两构成3个镜面及6个{110}的镜面。一般位置点的等效点系共有48个点。 5种点群中(e) 是该晶系的全对称点群。从这5种点群可以看到立方晶系不一定有4次轴，例如点群(a) 和(b) 就没有4次轴。另外，立方晶系并不一定总是具有最高的对称性，例如四方晶系的点群D4h-4／mmm(16阶)和六方晶系的点群D6h-6／mmm(24阶)就比立方晶系的点群T-23(12阶)的对称性高。
群是某些具有相互联系规律的一些元素的组合，群的元素可以是字母、数字、对称操作、点阵等。
任何一个群都应具有以下4个基本性质：

封闭性（Closure）
群G的n个不等效元素中，任两个元素组合或一个同类元素自身组合都是群中的一个元素。
群中所有元素都遵循组合律，但组合次序不能变。
有唯一的单位元素（E）。它和群中任何一个元素的组合是元素本身。群中每一个元素，必有一个相应的逆元素（Inverse Element）使得两者相乘为其本身。以一个4次对称轴C4的全部操作所构成的群G来说明4个基本性质。两个独立群的直接积设有两个独立群 GA和GB，其中GA是n阶群，GB是m阶群。两个群中除了恒等元素外，没有其它共有元素，两个群的元素间相乘有 ai · bj=bj · ai 交换律，即两个群的直接积G以 G G A G B 表示：

230种空间群

空间群是点对称操作和平移对称操作的对称要素全部可能的组合。点群表示晶体外形上的对称关系，空间群表示晶体结构内部的原子及离子间的对称关系。空间群一共230个，它们分别属于32个点群。晶体结构的对称性不能超出230个空间群的范围，而其外形的对称性和宏观对称性则不能越出32个点群的范围。属于同一点群的各种晶体可以隶属于若干个空间群。

230种晶体学空间群的记号

Ci

I

2m

2m P P P I

m 1m P

m2 m2

m

3m 3m I P

Pm Im m

1 三斜晶系

2 单斜晶系

3 斜方晶系

4 四方晶系

为2，

为⊥m，5 三方晶系

6 六方晶系

(191) P6/mmm 7 等轴晶系

结晶学第六讲—点群(2)

2 (L2)
单斜晶系主轴
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
( c)
m (P)
单斜晶系主轴
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
( c)
2/m (L2PC)
单斜晶系
主
轴
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
( c)
{M[001]}{2[001]} = {1}
四方双锥晶类
4/m (L4PC)
y
x 4 (S43, Li4); 42 (S42) = 2; 43 (S4); 44 = 1 4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43
C41; C42 = C2; C43; C44 = E; ; i; S43; S4
x
111
111
010
011
001
010
011
y
432 (43, 3L44L36L2)
111 110
111 101
110
100
x
y x
立方晶系
x
没有4次轴！
23 (3L24L3)
{3[111]}{3[111]} = {2[010]}
y
32 (L33L2)
y x

点群和空间群

群是一个集合的概念。点群和空间群是对称操作的集合。群具有封闭性的特点。

点群是指一个晶体中点对称元素的集合。所谓点对称操作，就是说对称操作时，晶格中至少有一点保持不动。这也就是针对前面所说的宏观对称要素。根据计算，总共有32种点群。

根据对点阵的讨论，根据六个点阵参数的相互关系可将晶体分为7种晶系，而现在按对称性又有32种点群，这表明同属一种晶系的晶体可为不同点群。因为晶体的对称性不仅决定与所属晶系，还决定于其阵点上的原子组合情况。通过对点群特征的分析，可以判断晶体所属晶系。

空间群用以描述晶体中原子组合的所有可能方式，是确定晶体结构的依据。它是通过宏观和微观对称元素在三维空间的组合而得出。属于同一点阵的晶体可因其微观对称元素的不同而分属不同的空间群。故可能存在的空间群数目远远多于点阵数。已证明晶体中可能存在的空间群有230种，分属32个点群。

230种空间群符号例题

空间群是描述晶体结构的一种方法，它包括点群操作和平移操作。空间群共有230种不同的类型，每一种类型都有其特定的空间

群符号。这些符号通常由字母、数字和下标组成，用来表示空间群

的对称性质和操作特征。

举例来说，空间群P1的符号表示为"P1"，其中P表示

primitive（基本的），1表示空间群的编号。另外，空间群C2/m

的符号表示为"C2/m"，其中C表示有一个反演中心，2表示有二重

旋转轴，m表示有镜面反射。

其他的空间群符号包括但不限于，P2₁/c、P4₂/mnm、I4/mmm、Fm-3m等。每个符号代表着不同的对称性质和操作特征，这些符号

在晶体学和固体物理研究中具有重要的意义。

总的来说，空间群符号是一种用来描述晶体结构对称性和操作

特征的标记，它们的多样性和复杂性反映了晶体结构的多样性和复

杂性。

230种空间群符号及含义

空间群（Space group）是一种描述晶体结构的数学工具，它把晶体中的所有原子看作点，并使用符号（由数字和符号组成）来表示这些点的几何排列。空间群的种类非常多，通常在几千种以上，但常用的只有几十种。以下是一些常用的空间群符号及其含义：

1. 225型空间群（P22_1_5）：这种空间群表示具有两套相互垂直的近正方形的简单晶体结构，每个原子都在一个平面上，通过角顶相互连接。

2. 432型空间群（P4_3_2）：这种空间群表示具有四套相互垂直的矩形排列的简单晶体结构，每个原子都在一个平面上，通过角顶相互连接。

3. 62型空间群（I6_2）：这种空间群表示具有六套相互垂直的六边形排列的复杂晶体结构，每个原子都在一个平面上，通过角顶相互连接。

4. 61型空间群（P6_1）：这种空间群表示具有六套相互垂直的六边形排列的简单晶体结构，每个原子都在一个六边形的顶点上。

5. 31型空间群（P3_1）：这种空间群表示具有三套相互垂直的平面排列的简单晶体结构，每个原子都在一个平面上。

需要注意的是，空间群的种类非常多，不同文献和教科书可能会对同一晶体的空间群描述有所不同。因此，在进行晶体结构分析时，需要参考具体的文献或教科书来确定具体的空间群符号和含义。

此外，不同的晶体结构也可能需要不同的计算参数和方法，因此在应用空间群进行晶体结构分析时需要选择适当的软件和算法。目前常用的晶体结构分析软件如VESTA、Pymatgen等都提供了对空间群的详细解释和使用方法。

以上就是部分常见的空间群符号及含义，如果您需要了解更多空间群的符号及含义，建议您查阅相关的专业书籍或咨询专业人士。

(二)点群、单形及空间群

点群：晶体可能存在的对称类型。

通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。只能有32种对称类型，称32种点群

表1- 3 32种点群及所属晶系

?2/m表示其对称面与二次轴相垂直，/表示垂直的意思。其余类推

同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。

如错误!未指定书签。，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。

理想晶体的形态―单形和聚形：

单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。32种对称型总共可以导出47种单形，如错误!未指定书签。，错误!未指定书签。，错误!未指定书签。所示

聚形：属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面

体。大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一定空间的几何多面体，如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态

空间群：描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群，空间群有230种，见教材中表1- 4

国际通用的空间群符号及其所代表的意义为：

P：代表原始格子以及六方底心格子（六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有）。

F：代表面心格子。

I：代表体心格子。

C：代表（001）底心格子（即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。

A：代表（100）底心格子（即与x轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。

R：代表三方原始格子。

其它符号：意义与前述相同

表1- 4 晶体的空间群、点群、晶系、晶族一览表

点群、空间群和晶体结构介绍

上述的推导过程完全可以推广到其它晶系的空间群。把上述办法依次用于7种晶系，共导出66种空间群。如果再考虑点群元素与布喇菲点阵之间的取向关系，又能得到另一些空间群，结果总共得出73种点式空间群。
附表3 73种点式空间群
3.4.2 非点式空间群螺旋轴
非点式空间群必包含1个非初基平移T的非点式操作，引入了这种非点式操作，又可以导出157种非点式空间群。
除了上述两种点群，我们不可能再增加任何对称操作而使物体仍属于三斜晶系，所以，属于三斜晶系的晶类只有两种。 Ci-1 点群的对称操作最多 ( 不严格地说它具有最高的对称性 ) ，称这种
点群为该晶系的全对称点群。
附图1
从上述两种点群的极射投影再一次说明在投影图上一般位置的正规点系的数目和点群具有对称操作的数目相同，即与点群的阶数相同。
引言
群(Group）是某些具有相互联系规律的元素的组合.晶体对称操作符合一定规律的组合，这种群即是对称群（Symmetry Group ）。晶体外形是一个有限对称图象，对其进行对称操作时，至少保持一点不动，即这些操作是点对称操作，它们组成点对称群，称为点群（Point Group）。讨论点对称操作有哪些可能的组合方式，并对晶体做进一步划分。 3.1 群的概念和基本性质
3.2点群的描述及图示
一组变换矩阵表示
点极射投影群该点群所有元素的极射投影以及一般位置点的正规点系