第7章 线性变换
《高等代数》第七章 线性变换
以后我们一般用花体拉丁字母 A , B , … 代表 V 的变换， A () 或 A 代表元素 在变换 A 下
的像. 定义中的等式所表示的性质，有时也说成线性
变换保持向量的加法与数量乘法. 下面我们来看几个简单的例子，它们表明线性
变换这个概念是有丰富的内容的.
A n = A A ... A
n个
另外，规定 A 0 = E . 线性变换的幂运算规律
A n + m = A n A m , (A n )m = A m n (m , n 0) .
当线性变换 A 可逆时，定义 A 的负整数幂为
A - n = ( A -1 ) n
( n 为正整数 ) .
这时，指数法则可以推广到负整数幂的情形.
注意 线性变换乘积的指数法则不成立，即
一般来说
(A B )n A n B n .
2. 线性变换的多项式 定义6 设 f (x) = amxm + am -1xm -1 + … + a0 是 P[ x ] 中一多项式，A 是 V 的一线性变换，则称
f (A ) = am A m + am -1 A m -1 + … + a0 是线性变换 A 的多项式.
定义为 数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
第七章 线性变换
2) 线性变换的乘法满足如下性质及运算律：
①
线性变换的乘积是线性变换;
② (/A /B )/C = /A (/B/C ); ③ /A (/B +/C) = /A /B+/A/C ;
(/B +/C)/A = /B/A+/C/A;
④ k(/A /B )= (k/A)/B= /A(k/B); ⑤ /A/E=/E/A=/A. 【注】线性变换的乘法交换律一般不成立，即一般 地，/A/B≠/B/A.
又如果 1 , 2 , … , r 之间有关系式 k11 + k22 + … + krr = 0 ， 那么它们的像之间也有同样的关系 k1/A ( 1 ) + k2/A ( 2 ) + …+ kr/A ( r ) = 0 . 3) 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关 的向量组.
/ A ε1 a11ε1 a21ε2 an1εn , / A ε a ε a ε a ε , 2 12 1 22 2 n2 n / A εn a1n ε1 a2 n ε2 ann εn .
用矩阵来表示就是 /A (1 , 2 , … , n ) = (/A 1 , A 2 , … , /A n ) = ( 1 , 2 , … , n ) A ， 其中
x1 x2 A x n
线性代数 第7章 线性空间与线性变换
定义2 设 α1,α2 , ,αn 是线性空间V 的一组基,
对于任意 α V , 存在一组有序数 x1, x2 , , xn使
α x1α1 x2α2
xnαn (α1,α2 ,
x1
,
αn
)
x2
，
xn
则称这组有序数 x1, x2 , , xn 为向量 α 在基
α1,α2 , ,αn 下的坐标, 并记作 (x1, x2 , , xn )T .
解
对任意的
a
d
b e
c f
R23
，由矩阵运算可知
a b c 1 0 0 0 1 0 0 0 1
d
e
f
a
0
0
0
b
0
0
0
c
0
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
d
1
0
0
e
0
1
0
f
0
0
1
,
从而 可由 a b c
d
e
f
1
E11
0
0 0
0 0 ,
E12
0
0
1 0
即 ( β1, β2 , , βn ) (α1, α2, , αn )C
c11 c12
其中矩阵 C
c21
第7章线性变换.
第7章 线性变换
§1 线性变换的定义
线性空间V 到自身的映射，通常叫做V 的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。
一、线性变换的定义
定义7.1 设V 为线性空间，若对于V 中的任一向量α，按照一定的对应规则T ，总有V 中的一个确定的向量β与之对应，则这个对应规则T 称为线性空间V 中的一个变换，记为
βα=)(T 或 )(,V T ∈=αβα，
β称为α的象，α称为β的原象。象的全体所构成的集合称为象集，记作T （V ），即
T （V ）={}V T ∈=ααβ|)(。
由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。 定义7.2 线性空间V 中的变换T ，若满足条件
（1） 对任意V ∈βα,有
（2）
)()()(βαβαT T T +=+；
（3） 对任意V ∈α及数域P 中任意数k 有
)()(ααkT k T =，
则称变换T 为V 中的线性变换。
例7.1 线性空间V 中的恒等变换或称单位变换E ，即
E )()(V ∈=αα
α 以及零变换ℴ，即
ℴ)(0
)(V ∈=αα
都是线性变换.
例7.2 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中的某个数，定义V 的变换如下： V k ∈→ααα,.
这是一个线性变换，称为由数k 决定的数乘变换，可用K 表示.显然当1=k
时，
便得恒等变换，当0=k 时，便得零变换.
例7.3 在线性空间][x P 或者n x P ][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即 D （)(x f ）=)(x f '.
第七章 线性变换
第七章 线性变换
§1基本知识
§1. 1 基本概念 1、线性变换：
2、线性变换的运算 （1）加法： （2）减法： （3）数乘： （4）乘法：
3、线性变换在给定基下的矩阵：
4、矩阵的相似：
5、矩阵的迹与范数：
6、矩阵的特征多项式：
7、特征值与特征根：
8、线性变换的对角化：
9、线性变换的值域： 10、线性变换的核：
11、线性变换的秩与零度： 12不变子空间：
13、若尔当块与若尔当形矩阵： 14、最小多项式：
§1. 2 基本定理
定理7.1设)(V L 是数域P 上的线性空间V 上的线性变换的全体构成的集合，那么
)(V L 关于线性变换的加法和数乘运算也构成数域P 上的线性空间；
定理7.2设n ααα,,,21 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个基，n βββ,,,21 是
V 上任意n 个向量，则存在唯一的线性变换)(V L ∈σ，使得：
),,2,1()(n i i i ==βασ；
定理7.3（线性变换与给定基下的矩阵的对应与运算定理）设n ααα,,,21 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个基，对任意线性变换)(V L ∈σ，令σ和它在给定的这个基下的矩阵对应，那么这个对应是)(V L 到n n P ⨯的一一对应，且设
)(,V L ∈τσ在这个基下的矩阵分别是B A ,，P k ∈，那么 （1）B A +→+τσ； （2）kA k →σ； （3）AB →στ；
（4）σ可逆的充分必要条件是：A 为可逆矩阵；且11--→A σ。
定理7.4（象的坐标计算公式）设)(V L ∈σ在数域P 上的n 维线性空间V 上的基
高等代数--第七章 线性变换_OK
1 2 1 0 1 2
2 1 2 1 1 1 1 1 1 0 1 2
3 2 1 1 1 1. 1 1 1 2 0 1
显然
1 1k 1 k . 0 1 0 1
再利用上面得到的关系
42
1
11 2
1 1
1 1 1.
1 2 1 0 1 2 0 1
2
1 1
11 1 1
定义2 设 1,2,,n 是数域F上n维线性空 间V的一组基，A 是V中的一个线性变换. 基向 量的象可以被基线性表出：
A 1 a111 a21 2
A
2
a121 a22 2
A n a1n1 a2n2
an1 n , an2 n ,
ann n ,
25
用矩阵来表示就是
A (1,2, ,n ) (A 1, A 2, , A n )
A i i ,当i 1, 2, , m, A i 0, 当i m 1, , n. 如此确定的线性变换A 称为对子空间W的一个投 影。不难证明
A 2 A .
投影A在基 1,2,,n下的矩阵是
27
1 1
m行
1
.
0
0
m列
28
例2 数乘变换 K 在任意一组基
1, 2 ,, n 下的矩阵
x11 x22 xnn , (1)
其中系数是唯一确定的，它们就是 在这组基下 的坐标.
第七章线性变换
例8 令C[a, b]是定义在[a, b]上一切连续实函数所
成的R上向量空间，对于每一 f x C a, b, 规定
f
x
x
a
f
t dt
f x 仍是[a, b]上一个连续实函数，根据积分的
基本性质，σ是C[a, b]到自身的一个线性映射.
7.1.2 线性变换的象与核
定义2 设σ是向量空间V到W的一个线性映射,
x1 , x1 x 2 , x1 x 2 R 3
σ是 R 2到 R3的一个映射，我们证明，σ是一个线
性映射.
例2 令H是 V3 中经过原点的一个平面.对于 V3 的每
一向量ξ，令 表 示向量ξ在平面H上的正射影.
根据射影的性质， : 是 V3 到 V3 的一个线
性映射.
例3 令A是数域F上一个m × n矩阵，对于n元列空
(x) f (x) g(x) (x) f (x)g (x).
那么根据L(V )中运算所满足的性质,我们有
( ) f ( ) g ( ) ( ) f ( )g ( ).
7.3 线性变换和矩阵
一、内容分布
7.3.1 线性变换的矩阵 7.3.2 坐标变换 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵—相似矩阵
7.1.1 线性映射的定义、例
设F是一个数域，V和W是F上向量空间. 定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条 件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射：
第七章 线性变换
第七章 线性变换
一. 内容概述
1. 线性变换的概念
设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足
1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =
则称为中的线性变换。
2. 线性变换的性质及运算
1)0)0(=T )()(ααT T -=-
2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++ΛΛ
3）设向量组n ααα,,,21Λ线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T αααΛ也线性相关。 线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1
-T
都是线性变换。
线性变换的多项式：011
1)(a a a a f m m m m ++++=--σσ
σσΛ 3. 线性变换的矩阵
设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21Λ是V 的一个基，且
n n a a a εεεεσ12211111)(+++=Λ
n n a a a εεεεα22221122)(+++=Λ
ΛΛ
Λ
Λ
n nn n n n a a a εεεεσΛ++=2211)(
记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσΛΛ=
A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσΛΛΛ== 则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下的矩阵。
第七章-线性变换
( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ), ( )( k ) ( ( k )) ( k ( )) k ( ( )) k ( )( )
§7.1 线性变换的定义
.
２．基本性质
（1）满足结合律：
（2） E E ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，
. .
§7.1 线性变换的定义
例1. 线性空间 R[ x] 中，线性变换
D f x f x
§7.1 线性变换的定义
若 1 , 2 ,, r 线性相关，则 1 , 2 , , r 也线性相关. 事实上，若有不全为零的数 k1 , k2 ,, kr 使
k11 k2 2 kr r 0
则由2即有，k1 1 k2 2 kr r 0.
V1 V2 {a | a V1且a V2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的交空间.
二、子空间的和
1、定义 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a1 a2 | a1 V1 , a2 V2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间.
第七章 线性变换
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.7
Wi fi ( )V , 则Wi 是 fi ( ) 的值域， Wi是 的不变子空间.
又 ( i E)ri Wi ( i E)ri fi ( )V
( i E)ri fi ( ) V f V
( i E)ri Wi 0.
（2）
2024/1/12§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
不变子空间W上的限制 . 记作 W .
2024/1/12§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
注：
① 当 W时， W ( ) ( ). 当 W时， W ( ) 无意义.
② W W W .
③ 任一线性变换 在它核上引起的线性变换是零
变换，即 10 0 ; 在特征子空间 V0上引起的线性变换是数乘变换，
即有 V0 o E.
2024/1/12§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简
1、设 是 n 维线性空间V的线性变换，W是V 的
－子空间，1, 2 , , k为W的一组基，把它扩允为 V的一组基： 1, 2 , , k , k1, n .
若 W
在基 1, 2 ,
下证 V V1 V2 Vs . 分三步：
1 . 证明 V W1 W2 Ws .
2 . 证明f1(V1),fV2(2), fVs (s是)直和1 .
3∴. 证存明在多Vi 项 W式i
7线性变换
因为
(A + B ) ( + ) = A ( + ) + B ( + ) = (A ( ) + A ( ) ) + (B () + B ( )) = (A ( ) + B ( ) ) + (A () + B ( )) = (A + B ) ( ) + ( A + B ) ( ) , (A + B ) ( k ) = A ( k ) + B ( k ) = k A ( ) + k B ( )
k ,
数乘变换, 可用 K 表示.
V.
显然，当 k = 1 时，我
不难证明，这是一个线性变换，称为由数 k 决定的
们便得恒等变换，当 k = 0 时，便得零变换.
10
例5
在线性空间 P[ x ] 或者 P[ x ]n 中，求导 D ( f (x ) ) = f (x) .
数是一个线性变换. 这个变换通常用 D 代表，即
可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量
组. 例如零变换就是这样.
17
§2 线性变换的运算
线Baidu Nhomakorabea变换的乘积
线性变换的加法
线性变换的数量乘法 线性变换的逆变换
线性变换的多项式
举例
第7章线性变换
1. 若 V ‘是 V 的子集, 则
{s ( x ) | x V '} 是 W 的子集, 称其为 V ' 在 s 之下的象, 记为 s ( V ' ) .
2. 若 W ‘是W 的子集, 则
{x V | s ( x ) W ' } 是V 的子集, 称其为W ' 在 s 之下的原象.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
例 8 令 s : C[a,b] C[a,b],
f (x)
s(
f
( x))
=
x
a
f
( x)dx
容易验证 s 是 C [ x ] 到自身的一个线性映射
线性映射的几条基本性质
线性映射的定义 ( 保持加法和保持数乘 )
对 a , b F , x , h V, 有s(ax+bh)=as(x)+bs(h).
7.1 线性变换 7.2 线性变换的运算 7.3 线性变换和矩阵 7.4 不变子空间 7.5 本征值和本征向量 7.6 可以对角化的矩阵
7.1 线性映射
1. 线性映射的定义和例子 2. 有关线性映射的几个基本性质 3. 子空间的象与原象及相关定理7.1.1 4. 线性映射的核与象及相关定理7.1.2 5. 线性映射的合成 6. 习题
➢规定: L(V) 表示向量空间上的线性变换的集合.
第七章 线性变换
第七章 线性变换
§7.1 线性映射
1．令ξ=（x 1，x 2，x 3）是R 3的任意向量．下列映射σ 哪些是R 3到自身的
线性映射？
（1）σ(ξ) =ξ + α ，α是R 3的一个固定向量．
（2）σ(ξ) = (2x 1–x 2 + x 3 ，x 2 + x 3 ，–x 3)
（3）σ(ξ) =（x 12 ，x 22 ，x 32）．
（4）σ(ξ) =（cos x 1，sin x 2，0）．
2．设V 是数域F 上一个一维向量空间．证明V 到自身的一个映射σ是线性
映射的充要条件是：对于任意ξ∈V ，都有σ(ξ) = a ξ ，这里a 是F 中一个定数．
3．令M n (F ) 表示数域F 上一切n 阶矩阵所成的向量空间．取定A ∈M n (F).
对任意X ∈M n (F)，定义
σ(X) = A X –X A ．
(i)
证明：σ是M n (F)是自身的线性映射。 (ii) 证明：对于任意X ，Y ∈M n (F)，
σ(XY) = σ(X)Y +X σ(Y) ．
4．令F 4表示数域F 上四元列空间，取
A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----7931181332111511 对于ξ∈ F 4，令σ(ξ) = A ξ．求线性映射σ的核和像的维数．
5．设V 和W 都是数域F 上向量空间，且dim V = n ．令σ是V 到W 的一个
线性映射．我们如此选取V 的一个基：α1，…，
αs ，αs+1，…，αn ，使得α1，…，αs ，是Ker(σ)的一个基．证明：
（i ）σ(αs+1)，…，σ(αn )组成Im(σ)的一个基；
高等代数第7章线性变换[1]
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2!
an1 f(n-1)(l)
因此Sa实质上是D的多项式, (n即1)!
a2
a n1
Sa = E+aD+ 2! D2 +…+ (n 1)D! n-1
§3 线性变换的矩阵
一、线性变换作用在基上
定理 设e1, e2, …, en是线性空间V的一 组基, a1,a2,…,an是V中任意取定的n个
向量,则 必存在唯一的线性变换A,使得
= [e1, e2, …, en ]A
并记
A[e1, e2, …, en ] = [ Ae1, Ae2, …, Aen]
则得到
A[e1, e2, …, en ] = [e1, e2, …, en ]A
例1 设V是数域P上n维线性空间, 则恒等 变换在任一组基下的矩阵都是n阶单位矩 阵E;
零变换在任一组基下的矩阵都是n阶 零矩阵0;
A(a)= k a ,"aV
则 A 是 V的一个线性变换 。因为
A(a+b)=k(a+b) = ka+kb =A(a)+A(b)
A(la) = k(la) = l (ka) = lA(a)
通常称上述变换为数乘变换或位似变换.用 K表示. 当k = 0时， K为零变换O； 当k = 1时， K为恒等变换E．
定理 L(V)对于如上定义的加法与 数量乘法构成数域P上的线性空间．
高等代数(第7章)
n
n
由于 j =01+…+ 0j-1+1j + 0j+1+…+0 n , j=1,2,…,n.
所以(j)= 0 1+…+ 0 j-1+1 j + 0 j+1+…+0n = j , j=1,2,…, n.
(ii)唯一性 若还有 L(V),使 (j)= j , j=1,2,…,n.
仍是线性变换
()()=(()) ( V)
运算律： (i)()= () (ii) (+) = + , (+)+= +(+) (iii)k()=(k)= (k) 注意：线性变换的乘积一般是不可交换的,即 . 例1 在P22中，定义线性变换、 、为
此外,线性变换之间的一些关系可以通过线性变换的 运算表示出来. 例4 几何空间中，对某一向量的内射影是一个线性 变换(如图). (1) 求向量在以为法向量的平面x上的内射影x ； (2)求向量对于以为法向量的平面x的反x .
( )
( )
x ( ) ( ) . 即 x I .
定义：设1, 2,…,n是数域P上n维线性空间V 的一组 基, 是V的一个线性变换.基向量的像(i)(i=1,2,…,n) 被基线性表示为 ( 1 ) a11 1 a21 2 an1 n a11 a12 a1n ( ) a a a a a22 a2 n 2 12 1 22 2 n2 n 21
高等代数第7章线性变换PPT课件
例如，在二维平面中，绕原点旋转90度的变换就是一个线性变换。具体地，该变换将平面上的每个点 (x,y)映射到点(-y,x)。
线性变换性质探讨
保持加法运算
线性变换保持向量加法运算不变，即T(α+β)=T(α)+T(β)。
保持数乘运算
线性变换保持数乘运算不变，即T(kα)=kT(α)，其中k为数域F中的任意数。
在有限维线性空间中，每个线 性变换都可以用一个矩阵来表 示，且该矩阵是唯一的。同时 ，每个矩阵也对应一个唯一的 线性变换。
线性变换的矩阵表 示法
设V和W是数域F上的n维和m维 线性空间，T是V到W的一个线 性变换。在V和W中分别取定基 α1, α2, ..., αn和γ1, γ2, ..., γm。 则存在唯一的m×n矩阵A，使得 T(α1, α2, ..., αn)=(γ1, γ2, ..., γm)A。称A为线性变换T在基α1, α2, ..., αn和γ1, γ2, ..., γm下的 矩阵。
性质
相似矩阵具有相同的特征值、行列式、秩和迹等性质；两个相 似的矩阵可以看作是在同一线性变换下不同基下的表示。
应用
在求解线性变换的特征值和特征向量时，可以选择一个适当的基使得 线性变换在该基下的矩阵表示尽可能简单，从而简化计算过程。
03
线性变换特征值与
特征向量
特征值与特征向量定义及求解方法
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第7章 线性变换
§1 线性变换的定义
线性空间V 到自身的映射，通常叫做V 的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。
一、线性变换的定义
定义7.1 设V 为线性空间，若对于V 中的任一向量α，按照一定的对应规则T ，总有V 中的一个确定的向量β与之对应，则这个对应规则T 称为线性空间V 中的一个变换，记为
βα=)(T 或 )(,V T ∈=αβα，
β称为α的象，α称为β的原象。象的全体所构成的集合称为象集，记作T （V ），即
T （V ）={}V T ∈=ααβ|)(。
由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。 定义7.2 线性空间V 中的变换T ，若满足条件
（1） 对任意V ∈βα,有
（2） )()()(βαβαT T T +=+；
（3） 对任意V ∈α及数域P 中任意数k 有
)()(ααkT k T =，
则称变换T 为V 中的线性变换。
例7.1 线性空间V 中的恒等变换或称单位变换E ，即
E )()(V ∈=αα
α 以及零变换ℴ，即
ℴ)(0
)(V ∈=αα
都是线性变换.
例7.2 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中的某个数，定义V 的变换如下： V k ∈→ααα,.
这是一个线性变换，称为由数k 决定的数乘变换，可用K 表示.显然当1=k
时，
便得恒等变换，当0=k 时，便得零变换.
例7.3 在线性空间][x P 或者n x P ][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即 D （)(x f ）=)(x f '.
例7.4 定义在闭区间[]b a ,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以),(b a C 代表.在这个空间中变换
ℐ（)(x f ）=⎰x
a
dt t f )( 是一线性变换.
例7.5 在3
R 中，定义下列变换：对任意的∈⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛321x x x 3
R ，
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛T 1321321x x x x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 3321101x x x x ，
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛T 2
332213212x x x x x x x x
试确定它们是否为线性变换？
解 对任意的∈⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321
321,y y y x x x 3
R 和数∈k R ，
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+++++=⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛+++T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 13
21132111332211332211321321)(y y y y x x x x y x y x y x y x y x y
x y x y y y x x x
=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛T +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 321321y y y x x x ；
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 32113211321321321x x x k x x x x k kx kx kx kx kx kx kx x x x k 。 故T 是线性变换；
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++T =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 333322111321321101y x y x y x y x y y y x x x ，
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 333332113211020101y x y x y y y x x x 。 上两式不等，故1T 不是线性变换。同理可验证2T 也不是线性变换。（也可取特殊的向量来验证不是线性变换）
二、线性变换的性质
命题7.1 设V 是n 维线性空间，T 是V 的一个线性变换，则有：
（1）)()(,0)0(ααT -=-T =T ；
（2）线性变换保持线性组合与线性关系式不变.即 )()()()(22112211m m m m k k k k k k ααααααT ++T +T =+++T ；
（3）若m a a a ,,,21 线性相关，
则)(,),(),(21m αααT T T 也线性相关。
证明 此命题的证明请读者自己证之。注意命题7.1
（3）的逆命题是不成立的。即若m a a a ,,,21 线性无关，则)(,),(),(21m αααT T T 不一定线性无关。(如前面的微分变换)
§2 线性变换的运算
一、线性变换的乘法
设A,B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积为.
(AB )(α)= A,(B (α)) (V ∈α).
则线性变换的乘积也是线性变换.（自己验证）
线性变换的乘法适合结合律，即
(AB)C=A(BC).
但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换