指数函数要点及常见题型
指数及指数函数知识点总结及经典例题
高中数学必修1知识点总结—指数及指数函数1、 根式na （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.）35325325n n n ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩正数的次方根是正数如当是奇数时，负数的次方根是负数如20,n a n an ⎧>±⎪⎨⎪⎩正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作0n2、nna的讨论 n nn a a =当是奇数时，；,0,0n n a a n a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩当是偶数时， （2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr saa aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a ________=sraa _____)(=s r a ______)(=r ab )1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm，________=n na 练习 计算下列各式的值：计算下列各式的值：（1）)4()3)((636131212132b a b a b a ÷- （2）()322175.003129721687064.0+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---（3）421033)21(25.0)21()4(--⨯+-- （4）33)3(625π-+-2．已知31=+-x x ，则=+-22x x 已知23=a,513=b，则=-ba 23＝____________. 3. 若21025x x =，则10x x-等于_________________【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数）指数函数函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a >01a <<定义域定义域 R 值域值域(0,)+∞过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x=时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对 图象的影响图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．题型1、求函数经过的点 1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f题型2、 图像问题1.下列说法中：下列说法中：①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③函数y =(3)－x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴。
第17讲 指数函数及性质八大题型总结(解析版)
【详解】当 时， 为增函数，所以 ，当 时， 为增函数，所以 ，解得 ，因为 在 上为增函数，所以 ，解得 ，综上可知 。
【例7】已知函数 ，如果对任意 ， 恒成立，则满足条件的 的取值范围是．
【答案】
【详解】因 所以 在 上为奇函数，并且为减函数，所以 ，所以 ，所以 在 上恒成立，所以 ，当 时， ，所以 ，解得 。
【详解】∵ ，又 ，
∴根据指数函数图像即可判断选项C符合.
故选：C.
题型三： 指数函数的定点
【例1】当 且 时，函数 必过定点.
【答案】
【详解】法一： 必过定点 ，将 向右平移2个单位得到 ，所以 必过定点 ，将 向下平移3个单位得到 ，所以函数 必过定点
法二：令 ，得到 ，所以 ，所以函数 必过定点
2.函数 在R上是减函数，则 的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【详解】因函数 在R上是减函数，所以 ，所以 ，所以
3.（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数 则关于t的不等式 的解集为________.
【答案】 .
【分析】先判断出 是奇函数且在R上为减函数，利用单调性解不等式.
(2)当 时， ， ； 的值越小，图象越靠近 轴，递减的速度越快．
当 时 ， ； 的值越大，图象越靠近 轴，递增速度越快．
(3)指数函数 与 的图象关于 轴对称．
函数① ；② ；③ ；④ 的图象如图2-3-1所示，则 ；
即 ， (底大幂大)； 时， ．
图2-3-1图2-3-2
(4)特殊函数：函数 ， ， ， 的图象如图2-3-2所示．
【例8】已知函数 ，则不等式 的解集是．
【答案】
【详解】因 所以 在 上为奇函数，并且为减函数，因
指数与指数函数知识点与题型归纳
指数与指数函数知识点与题型归纳1．根式(1)根式的概念：若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的表示；x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝ n a (当n 为奇数且n >1时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n >1时).2．有理数指数幂3a 变化对图象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，a 逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，a 逐渐减小．（1）画指数函数图象的三个关键点画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1. （2）指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象， 底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．（3）指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．题型一 指数幂的化简与求值1．化简3a a 的结果是________．2．若(2a －1)2＝3(1－2a )3，则实数a 的取值范围为________． 3.=+3-2-233___________4．已知24714===cba，则cb a 111+-＝________. 5. 已知14x x-+=，求1122x x -+及1x x --的值．题型二 指数函数的图象及应用类型一 与指数函数有关的图象辨析 6．函数|1|--=x ey |的大致图象是( )7．函数||1)(x e x f -=的图象大致是( )8．函数12+=x y 的图象是________(填序号)．类型二 指数函数图象的应用9．函数b a y x-=(a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定 10．函数33+=-x ay (a >0，且a ≠1)的图象过定点________．11. 若曲线13-=x y 与直线y ＝m 有两个不同交点，则实数m 的取值范围是________． 12．若条件变为：方程m x =-13||有两个不同实根，则实数m 的取值范围是________．13．若条件变为：函数m 13+-=x y 的图像不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________． 14．函数xa y =(a >0且a ≠1)与函数y ＝(a －1)x 2－2x －1在同一个坐标系内的图象可能是( )15．已知函数xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421的图象与指数函数xa y =的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是___16．设函数⎩⎨⎧>≤+=0,20,1)(x x x x f x,则满足1)1()(>-+x f x f 的x 的取值范围是________． 17．已知实数a ，b 满足等式ba20202019=，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________(填序号)． 18．设2m ＝3n ，则m ，n 的大小关系一定是（ ）A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ≥nD ．以上答案都不对题型三 指数函数的性质及应用类型一 比较指数式大小19．已知2.12=a ，2.021-⎪⎭⎫⎝⎛=b ，2log 25=c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a 20．已知xxx f --=22)(，4197-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，5179⎪⎭⎫⎝⎛=b ，97log 2=c ，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a ) 21.设函数axx f -=2)(与xa x g =)((a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与1.01⎪⎭⎫⎝⎛=a N 的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M ＜ND ．M ＞N 类型二 解不等式与方程 22．不等式1472-->x x a a(0<a <1)的解集为____________．23．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,0,721)(x x x x f x,若1)(<a f ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)24．当x ∈(－∞，－1]时，不等式024)(2<-⋅-xxm m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－3,4)D ．(－1,2) 25.方程11214=-+xx 的解为________．26. 若不等式0421>⋅++a xx在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是________．类型三 与指数函数有关的函数最值问题 27．函数y ＝3x 2－2x的值域为________．28．函数12221)(++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 的递减区间是________，值域是________．29．函数12141+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxy 在区间[－3,2]上的值域是________．类型四 与指数函数有关的函数单调性问题 30. 函数124)(+-=x xx f 的单调增区间是________．31. 已知函数|2|2)(m x x f -=(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________． 32．函数221)(x x x f -⎪⎭⎫⎝⎛=的单调递增区间是( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21, B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2133．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]34．设xe xf =)(，0＜a ＜b ，若()ab fp =，⎪⎭⎫⎝⎛+=2b a f q ，)()(b f a f r =，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q35．若函数f (x )＝a x (a x －3a 2－1)(a >0，且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎝⎛32,0 B.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33 C ．(]3,1 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23 36．已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围．37．已知函数3241)(1+-=-x x x f λ(－1≤x ≤2)． (1)若23=λ，求函数)(x f 的值域； (2)若函数)(x f 的最小值是1，求实数λ的值．38．函数()4426xx f x +=--，其中[]0,3x ∈（1）求()f x 的最大值与最小值；（2）若存在[]00,3x ∈使()00f x a -≤成立，求实数a 的范围.39．设指数函数xm x f )2()(+=，幂函数32)1()(x m m x g ++=． （1）求m ；（2）设a ＜0，如果存在x 1，x 2∈[﹣2，2]，使得)()(21x g x af >，求a 的取值范围．2.解析：2a －12＝|2a －1|，31－2a3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a .故2a －1≤0，所以a ≤12.3.解析：原式22(33)2(33)2(33)3324232(31)+++===-----22(33)2(1263)2266(33)(33)+===-+4.解析：由题设可得21a ＝14,21b＝7,21c ＝4，则2-11a b＝147＝2，∴2-+111a b c ＝2×4＝23，∴1a －1b ＋1c ＝3.5.解析：因为14x x-+=，所以 x ＞0，则112122()2426x x x x --+=++=+=，则11226x x-+=因为 1222()216x x x x --+=++=，则2214x x -+=，所以 1222()214212x x x x ---=+-=-=，所以11223x x--==±6.解析：因为－|x －1|≤0，所以0<e －|x －1|≤e 0，即0<y ＝e－|x －1|≤1，故选B.7.解析：选A 由f (x )＝1－e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D.又e |x |≥1，所以f (x )的值域为 (－∞，0]，排除C.8.解析：由y ＝2x 的图象向左平移1个单位可得y ＝2x＋1的图象．答案：①9.解析：因为函数y ＝a x －b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x －b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，1－b <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1，故a b ∴(0,1)，故选C.10.解析：因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中， 令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝a x －3＋3的图象过定点(3,4)．11.解析：曲线y ＝|3x －1|的图像是由函数y ＝3x 的图像向下平移一个单位长度后，再把位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，而直线y ＝m 的图像是平行于x 轴的一条直线，它的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝m 有两个公共点，则m 的取值范围是(0,1)．12.解析：作出函数y ＝3|x |－1与y ＝m 的图像如图所示，数形结合可得m 的取值范围是(0，＋∞)．]13.解析：作出函数y ＝|3x －1|＋m 的图像如图所示．由图像知m ≤－1，即m ∴(－∞，－1]．14.解析：选C ；两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A 、D ；二次函数的对称轴为直线x ＝1a －1，当0<a <1时，指数函数递减，1a －1<0，C 符合题意；当a >1时，指数函数递增，1a －1>0，B 不符合题意，选C. 15.解析：由两函数的图象关于y 轴对称，可知12a －4与a 互为倒数，即a2a －4＝1，解得a ＝4.16.解析：画出函数f (x )的大致图象如图所示，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．又x >x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1，所以要使f (x )＋f (x －1)>1成立，结合函数f (x )的图象知只需x －1>－1，解得x >0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)．17.解析：作出y ＝2 019x 及y ＝2 020x 的图像如图所示，由图可知a ＞b ＞0，a ＝b ＝0或a ＜b ＜0时，有2 019a ＝2 020b ，故③④不可能成立．18.解：当m ＞n 时，因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2m ＝3n ＞2n ，所以（）n ＞1，所以m ＞n ＞0， 当m ＝n 时，（）n ＝1，所以m ＝n ＝0，当m ＜n 时，因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2m ＝3n ＜2n ， 所以（）n ＜1，所以n ＜0，则m ＜n ＜0，故选：D ．19.解析：因为2.021-⎪⎭⎫⎝⎛=b ＝20.2<21.2＝a ，所以a>b>1.又因为c ＝2log 52＝log 54<1，所以c<b<a.选C20.解析：易知f(x)＝2x －2－x 在R 上为增函数，又0797997514141>=⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a ，c ＝log 279<0， 则a>b>c ，所以f(c)<f(b)<f(a)． 21.因为f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a ＞2，所以M ＝(a －1)0.2＞1，111.0<⎪⎭⎫⎝⎛=a N ，所以M ＞N .故选D.22.解析：因为y ＝a x (0<a <1)为减函数，所以2x －7<4x －1，解得x >－3；答案为(－3，＋∞)点评：(1)a f(x)＝a g(x)⇔f(x)＝g(x)．(2)a f(x)＞a g(x)，当a ＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a ＜1时，等价于f(x)＜g(x)．23.解析：当a <0时，不等式f (a )<1可化为1721<-⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，即821<⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，即32121-⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，因为0<12<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为a<1，所以0≤a<1. 故a 的取值范围是(－3,1)．24.解析：因为(m 2－m )·4x －2x <0在(－∞，－1]上恒成立．所以(m 2－m )<12x 在x ∴(－∞，－1]上恒成立．因为y ＝12x 在(－∞，－1]上单调递减，所以当x ∴(－∞，－1]时，y ＝12x ≥2，所以m 2－m <2，所以－1<m <2.选D25.解析：当x ≥0时，原方程化为4x ＋2x －12＝0，即(2x )2＋2x －12＝0.∴(2x －3)(2x ＋4)＝0，所以2x ＝3，即x ＝log 23.当x ＜0时，原方程化为4x －2x －10＝0.令t ＝2x ，则t 2－t －10＝0(0＜t ＜1)．由求根公式得t ＝1±1＋402均不符合题意，故x ＜0时，方程无解．26.解析：从已知不等式中分离出实数a ，得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->x x a 2141.因为函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41和xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21在R 上都是减函数，所以当x ∴(－∞，1]时，4141≥⎪⎭⎫ ⎝⎛x，2121≥⎪⎭⎫ ⎝⎛x，所以4321412141=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛xx，从而得432141-≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x .故实数a 的取值范围为a ＞－34.即⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,4327.解析：设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ，u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝3x 2－2x 的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31.28.解析：令u ＝－x 2＋2x ＋1，则u ＝－(x －1)2＋2.又uy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21在R 上是减函数，则函数12221)(+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 的递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的递减区间为(－∞，1]．因为u ≤2，则4121)(2=⎪⎭⎫⎝⎛≥x f ，即函数f (x )的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41。
指数函数及其性质知识点及题型分类
指数函数及其性质【知识点分析及例题】1、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.注意： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． y=a x0<a<1时图象 a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞） ②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x >1 x>0时，0<a x <1 ⑤x<0时，0<a x <1 x>0时，a x >1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数x y a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
（4）利用函数的单调性，结合图象还可以看出：在[a ，b]上)10()(≠>=a a a x f x 且，值域是)](),([b f a f 或)](),([a f b f（5）若0≠x ，则1)(≠x f ；)(x f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （6）对于指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且，总有a f =)1(； 3、指数函数底数变化与图像分布规律① xy a = ②xy b = ③xy c = ④x y d =注意：（1）0＜b ＜a ＜1＜d ＜c（2）x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） （3）x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> 4、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法（中间量为1） (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．【例题】题型一、指数函数的概念例1、指出下列函数哪些是指数函数？（1）4x y =；（2）4y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-；（5）1(21)(1)2x y a a a =->≠且；例2、函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值．题型二、指数函数的图像例3、函数与的图象大致是( ).例4、函数（）的图象是（）例5、若，，则函数的图象一定在（）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限例6、指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ]A．a＜b＜1＜c＜d B.a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b题型三、函数的定义域、值域例7、求下列函数的定义域、值域.(1)313xxy=+；(2)y=4x-2x+1；(3)21139x--；(4)211xxy a-+=(a为大于1的常数)例8、已知，当其值域为时，的取值范围是；函数的值域是__________ ．题型四、比较大小例9、判断下列各数的大小关系(1)1.8a与 1.8a+1；(2)24-231(),3,()331；(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2；(4)23(0,1)a a a a>≠与例10、比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（4）若，且，比较a与b；（5）若，且，比较a与b．例11、已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．例12、讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．题型六、判断函数的奇偶性例13、判断下列函数的奇偶性：)()21121()(x x f xϕ+-= (()x ϕ为奇函数)例14、已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.例15、 某乡镇现在人均粮食占有量为360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%．设x 年后年人均粮食占有量为y 千克，求出函数y 关于x 的解析式．例16、设12()2x x af x b+-+=+（a ，b 为实常数）。
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
指数函数-重难点题型精讲(教师版)
3
3
)
2−8
＞3−2的解集．
1 2
1 2
【解答过程】解：∵( ) −8＞3−2 = ( ) ，
3
3
∴x2﹣8＜2x，
解得﹣2＜x＜4．
故选：A．
【变式 3-2】（2024 秋•黄埔区校级期中）已知 a＞0，且 a≠1，若函数 y＝xa﹣1 在（0，+∞）内单调递减，
则不等式 a3x+1＞a﹣2x 中 x 的取值范围是（ ）
【方法点拨】
①指数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的
函数图象.
②指数函数图象的应用：对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于
从整体上把握函数的性质，从而指数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.
【例 4】（2024 秋•临渭区期末）函数 y＝x+a 与 y＝a﹣x（a＞0 且 a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（ ）
【方法点拨】
根据指数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例 1】（2024 秋•南宁期末）函数 f（x）＝2x 的定义域为（ ）
A．[1，+∞）
B．（0，+∞）
C．[0，+∞）
D．R
【解题思路】由指数函数的性质可得其定义域．
【解答过程】解：函数 f（x）＝2x 的定义域为 R，
故选：D．
【变式 1-1】（2024 秋•阎良区期末）函数 y＝2x（x≤0）的值域是（ ）
当底数 a＞1 时，函数单调递增，当 0＜a＜1 时，函数单调递减，
当底数 a＞1，满足底数越大函数的图象在 x＞0 时，越靠近 y 轴，
根据指数函数知识点及题型归纳总结
根据指数函数知识点及题型归纳总结指数函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将对指数函数的知识点和常见题型进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、知识点总结1. 定义：指数函数是以底数为常数，指数为变量的函数，一般形式为 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
2. 指数的性质：- 正指数：a^x 是递增函数，即 x1 < x2，则 a^x1 < a^x2。
- 负指数：a^x 是递减函数，即 x1 < x2，则 a^x1 > a^x2。
- 零指数：a^0 = 1，任意数的零次方等于 1。
3. 底数的性质：- a > 1 时，指数函数呈现增长态势；- 0 < a < 1 时，指数函数呈现衰减态势；- a = 1 时，指数函数为常数函数。
4. 指数函数的图像：根据底数的不同，指数函数的图像可以是上升的曲线、下降的曲线或是一条直线。
5. 指数函数的特殊情况：- 当底数为 e（自然对数的底数）时，指数函数被称为自然指数函数，常用记作 f(x) = e^x。
- 当底数为 10 时，指数函数被称为常用对数函数，常用记作f(x) = log10(x)。
二、题型归纳1. 指数函数的图像绘制：- 根据给定的底数和定义域绘制指数函数的图像。
2. 指数函数的性质应用：- 判断给定的函数是指数函数还是其他类型的函数。
- 比较多个指数函数的增长趋势。
- 求解包含指数函数的方程或不等式。
3. 指数函数的变形与组合：- 利用指数函数的特性进行函数的变形与组合，如 f(x) = a^(2x)、f(x) = a^(x+1) 等。
4. 自然指数函数与常用对数函数的特性：- 探究自然指数函数和常用对数函数的特点及应用。
总结：指数函数是数学中重要的函数类型之一，掌握其基本概念及性质对于理解和应用数学知识具有重要意义。
通过练不同类型的题目，读者可以更好地熟悉指数函数的特点和应用，提高解题能力。
高中指数函数知识点及习题
第一节：指数函数1、定义：形如 (a >0,a ≠1)的函数叫指数函数其中a 为常量2、性质：（1）图像都经过点（0，1） （2）函数的定义域是R ,值域是 （3）当 ，函数在 内是增函数 当 函数在 内是减函数注意：为什么要规定底数大于0且不等于1呢？3、指数模型：函数模型 叫做指数模型其中（c>0,a>0且a≠1）(1) 当a>1时，叫做指数增长模型； (2) 当0<a <1时，叫做指数衰减模型.注意：（1）指数函数 的底 的取值对函数图像; 及函数单调性的影响；4、指数的运算法则：（1）mn m n aa a +⋅=（m 、n 都是正整数）； （2）()m n mna a =（m 、n 都是正整数） （3）()nn na b a b ⋅=， （4）mm n n a a a-=（m 、n 都是正整数，a ≠0）(5) ()nn na ab b =（m 、n 都是正整数，b ≠0）x y a =R +1a >R 01a <<R x y a =a (1)0,0__________;x a x a =>如果当时,0恒等于0x x a ≤当时,_________.没有意义11(2)0,(4),,42x a y x <=-=如果比如这时对于等值时相应的函数值不存在.(3)1,11x a y ===如果是一个常量,无研究的必要.xca y =5、根式的运算性质：① 当n为奇数时， 当n 为偶数时， ② 当n 为任意正整数时， 6、正数的正分数指数幂的意义： (a ＞0, m , n ∈N*, 且n ＞1)． 注意：(1)分数指数幂是根式的另一种表示形式；(2)根式与分数指数幂可以进行互化.对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂的规定： (1) (a ＞0, m , n ∈N*, 且n ＞1)．(2) 0的正分数指数幂等于0； (3) 0的负分数指数幂无意义． 7、指数函数图像特征:;a a n n =⎩⎨⎧<-≥==).0()0(||a a a a a a n n .)(a a n n=n m nm a a =nm nma a 1=-（对根式的计算）例1、（1）（2）（3）（4）（ba>）（跟踪训练）（1）（2）2（3）55)a-(b-（4）22)3(π（多项根式的计算）例2、（1）（2）324-（跟踪训练）(2)53+(求变量的范围)例3、1,求的取值范围。
高一数学指数函数题型
指数函数是基本初等函数之一，以下是一些常见的高一数学指数函数题型：
1.
求定义域和值域：确定函数的定义域和值域，包括对底数的限制和指数的取值范围进行分析。
2.
指数函数的图像：绘制指数函数的图像，包括通过描点法或使用函数绘图软件来观察函数的性质，如单调性、奇偶性等。
3.
比较大小：比较指数函数值的大小，利用指数函数的单调性进行大小关系的判断。
4.
指数函数的复合函数：涉及指数函数与其他函数的复合，如指数与一次函数、二次函数等的复合。
5.
指数函数的求值：给定函数值或自变量的值，求出对应的指数函数的值。
6.
指数函数的四则运算：进行指数函数的加、减、乘、除运算，需要注意底数不变和指数的运算法则。
7.
指数函数的单调性：判断指数函数在给定区间上的单调性，利用导数或单调性定义进行分析。
8.
指数函数的奇偶性：判断指数函数的奇偶性，根据奇偶性的定义进行分析。
这些题型涵盖了高一数学中指数函数的基本概念、性质和应用。
通过练习这些题型，可以帮助学生深入理解指数函数的概念，掌握指数函数的图像和性质，以及运用指数函数解决实际问题的能力。
指数函数知识点及其习题附答案
〖〗指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①若是,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n当n 是偶数时，正数a 的正的n次方根用符号n次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没成心义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈2.1.2指数函数及其性质（4指数函数练习1．以下各式中成立的一项（ ）A ．7177)(m n mn =B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，那么以劣等式中不正确的选项是（ ）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n4．函数210)2()5(--+-=x x y（ ）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5．假设指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，那么底数a 等于 （ ）A ．251+ B ．251+- C ．251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是 （ ）7．函数||2)(x x f -=的值域是（ ） A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，知足1)(>x f 的x 的取值范围（ ）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或 9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是（ ） A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[ 10．已知2)(xx e e x f --=，那么以下正确的选项是（ ）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数11．已知函数f (x )的概念域是（1，2），那么函数)2(x f 的概念域是 . 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 . 三、解答题： 13．求函数y x x =--1511的概念域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判定函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值．指数函数练习参考答案一、DCDDD AAD D A二、11．(0,1)； 12．(2，－2)； 三、13． 解：要使函数成心义必需：x x x x x -≠-≠⎧⎨⎪⎩⎪⇒≠≠⎧⎨⎩101010∴概念域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14． 解：rrrrr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，因此a r +b r ＜c r； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，因此a r +b r ＞c r .15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。
指数函数例题
指数函数例题摘要：1.指数函数的概念及性质2.指数函数的图像与函数关系3.指数函数的例题解析4.解题技巧与方法总结正文：一、指数函数的概念及性质指数函数是数学中的一种重要函数，一般形式为y = a^x，其中a 为常数，x 为自变量。
根据a 的取值不同，指数函数可分为以下三种类型：1.当a > 1 时，函数图像为增函数，即x 增大，y 也增大。
2.当0 < a < 1 时，函数图像为减函数，即x 增大，y 减小。
3.当a = 1 时，函数为恒等函数，即y = x。
二、指数函数的图像与函数关系指数函数的图像通常为一条直线，其中a 为斜率，x 为横坐标，y 为纵坐标。
根据a 的取值不同，图像的斜率和走势也会发生变化。
通过观察图像，可以更好地理解指数函数的增减性质，进而解决相关问题。
三、指数函数的例题解析1.求解指数方程：已知y = 2^x，求x 当y = 4 时。
解析：将y = 4 代入原方程，得到4 = 2^x，解得x = 2。
2.求解指数不等式：已知y = (1/2)^x，求解不等式y > 1/4。
解析：将y > 1/4 代入原方程，得到(1/2)^x > 1/4，解得x < 2。
3.求解指数函数的零点：已知y = a^x，求解方程a^x = 0。
解析：由于a^0 = 1，所以当a ≠ 1 时，方程a^x = 0 的解为x = 0；当a = 1 时，方程无解。
四、解题技巧与方法总结1.熟练掌握指数函数的性质，如增减性、奇偶性等。
2.了解指数函数的图像特点，如直线、斜率等。
3.运用代入法、换元法、分类讨论等方法求解指数函数问题。
4.灵活运用指数函数的性质和解题技巧，解决实际问题。
通过以上步骤，我们可以更好地理解和掌握指数函数的相关知识，为后续学习打下坚实基础。
高中数学指数函数的性质及相关题目解析
高中数学指数函数的性质及相关题目解析一、指数函数的定义与性质指数函数是高中数学中重要的一类函数，它的定义形式为$f(x)=a^x$，其中$a$为常数且$a>0$且$a\neq 1$。
指数函数具有以下几个性质：1. 定义域和值域：指数函数的定义域为全体实数，值域为正实数集$(0,+\infty)$。
2. 增减性：当$a>1$时，指数函数是递增函数；当$0<a<1$时，指数函数是递减函数。
3. 对称性：指数函数关于$y$轴对称。
4. 连续性：指数函数在其定义域上连续。
5. 无界性：当$a>1$时，指数函数在$x\to-\infty$时趋于0；当$0<a<1$时，指数函数在$x\to+\infty$时趋于0。
二、指数函数的常见题型及解析1. 指数函数的图像与性质题目：已知函数$f(x)=2^x$，求函数$f(x)$的图像及其性质。
解析：我们可以通过计算$f(x)$在不同$x$值上的函数值，绘制出函数$f(x)$的图像。
例如，当$x=-2$时，$f(x)=2^{-2}=\frac{1}{4}$；当$x=-1$时，$f(x)=2^{-1}=\frac{1}{2}$；当$x=0$时，$f(x)=2^0=1$；当$x=1$时，$f(x)=2^1=2$；当$x=2$时，$f(x)=2^2=4$。
根据这些函数值，我们可以绘制出函数$f(x)$的图像。
同时，根据指数函数的性质，我们可以得出以下结论：函数$f(x)=2^x$是递增函数，对称于$y$轴，定义域为全体实数，值域为正实数集$(0,+\infty)$。
此外，由于$a>1$，所以函数$f(x)$在$x\to-\infty$时趋于0。
2. 指数函数的性质应用题题目：已知指数函数$f(x)=2^x$，若$f(a)=8$，求实数$a$的值。
解析：根据题目中已知条件$f(a)=8$，我们可以得到方程$2^a=8$。
由指数函数的性质可知，$2^3=8$，因此$a=3$。
考点11指数与指数函数(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版)
考点11指数与指数函数（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．【知识点】1．根式(1)一般地，如果x n＝a，那么叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)叫做，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．n＝.当n＝，当n|a|＝{a，a≥0，－a，a<0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂：mna＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂：mna－＝＝1a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s＝；(a r)s＝；(ab)r＝(a>0，b>0，r，s∈Q)．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域值域性质过定点，即x＝0时，y＝1当x >0时， ；当x <0时，当x <0时， ；当x >0时，在(－∞，＋∞)上是_______在(－∞，＋∞)上是_______常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a )，(－1，1a).2.如图所示是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则c >d >1>a >b >0，即在第一象限内，指数函数y＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．【核心题型】题型一 指数幂的运算(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【例题1】（2024·广东·模拟预测）若3xy =，则= ．【变式1】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数221(1)e e ()()212(1)x xx x f x x -++-=-+，则221(log 6)(log 6f f +=．【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2,1,2,1,x x f x fx x ì£ï=í->ïî则72f æö=ç÷èø．【变式3】（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：（1）22.5315006.π04-éùæöêúç÷=（20,0a b >>=（3 设11223x x -+=，则1x x -+的值为 题型二 指数函数的图象及应用对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．【例题2】（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝1xa ，y ＝log a （x ＋12）（a ＞0，且a ≠1）的图象可能是（ ）A ． B ．C ．D ．【变式1】（23-24高三下·江西·开学考试）函数()22x xx f x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式2】（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数x y a =，对数函数log b y x =的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）A ．01a b <<<B ．01a b<<<C ．01b a <<<D ．01a b<<<【变式3】（2024·四川·模拟预测）已知函数a y x =，x y b =，log c y x =在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则（ ）A ．12log sin ac b b <<B ．12log sin ac b b <<C ．12sin log ab b c<<D ．12sin log ab c b<<题型三 指数函数的性质及应用(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．命题点1 比较指数式大小【例题3】（2024·甘肃武威·模拟预测）设0.40.8,a -=0.5log 0.8,b =0.4log 0.9c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b c a>>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．a b c>>【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知5log 2a =，lg4b =，1e 2-=c ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c b a<<【变式2】（2024·北京房山·一模）已知,,R a b c Î，则下列命题为假命题的是（ ）A ．若a b >，则a c b c +>+B ．若0a b >>，则0.40.4a b >C ．若a b >，则1122a cb c++æöæö<ç÷ç÷èøèøD ．若0,0a b c >>>，则b bc a a c+>+【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）若 1.5320.31log 12,log 6,,a b c d ====（ ）A ．a b c >>B ．b a d >>C ．c a b>>D ．b c a>>命题点2 解简单的指数方程或不等式【例题4】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数()1xf x a =+（0a >且1a ¹）在区间[]1,2上的值域为[]3,5，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．13【变式1】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数2()224x x f x a =-×+，若()0f x ³恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,4]-¥B ．(,2]-¥C ．[4,)+¥D ．[2,)+¥【变式2】（2023·山东菏泽·三模）已知函数()sin f x x x =+，若x ÎR ，不等式()202x x m f f æ+->çè恒成立，则正实数m 的取值范围为（ ）A ．()3,4B ．()2,+¥C ．[)3,+¥D ．()4,+¥【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若集合{}2log 1A x x =£，集合{}e 2x B x =£，则A B =I （ ）A ．1ln22x x ìü££íýîþB ．{}01x x <£C ．{}0ln2x x <£D ．{}02x x <£命题点3 指数函数性质的综合应用【例题5】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数()121x f x a =-+是奇函数.(1)求a 的值；(2)求()f x 在[]1,3-上的值域.【变式1】（23-24高三上·广东茂名·阶段练习）若函数3()(21)x f x a b -=-+的图象恒经过定点(3,2)-．(1)求b 的值；(2)当()f x 在R 上是增函数，求a 的范围．【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数()|24||3|f x x x =-++．(1)求不等式()112128f x æö£ç÷èø的解集；(2)若()1f x kx >+恒成立，求实数k 的取值范围．【变式3】（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知不等式()()22log 2log 82x x +£-.(1)求不等式的解集A ；(2)若当x A Î时，不等式 1114242x xm -æöæö-+³ç÷ç÷èøèø总成立，求m 的取值范围.【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2024·四川绵阳·二模）51x ö÷ø的展开式中，x 的系数为（ ）A ．5-B ．10-C ．5D ．102．（2024·内蒙古包头·一模）已知()()303x x bf x b b -=>+是奇函数，则b =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．（23-24高三上·广东梅州·期中）计算：021.105lg252lg2-+-++=．（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2024高三下·全国·专题练习）已知420102()cos (11)20101x xf x x x x ×+=+-££+，设函数()f x 的最大值是M ，最小值是N ，则（ ）A ．8M N +=B ．8M N -=C ．6M N +=D ．6M N -=二、多选题5．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）小明同学对函数()(0x xf x a ka a -=->且1)a ¹进得研究，得出如下结论，其中正确的有（ ）A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 有可能是奇函数，也有可能是偶函数C ．函数()f x 在定义域内单调递减D ．函数()f x 不一定有零点6．（2024·山东临沂·一模）已知函数()()221x f x a a =+Î-R ，则（ ）A ．()f x 的定义域为()(),00,¥-+¥U B ．()f x 的值域为RC ．当1a =时，()f x 为奇函数D ．当2a =时，()()2f x f x -+=三、填空题7．（2023·上海金山·一模）若0x >时，指数函数()23xy m =-的值总大于1，则实数m 的取值范围是 .8．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）设x ÎR ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[]2.12=，[]3.14-=-.已知函数123()12xx f x ++=+，则()1f éù-=ëû ，函数[]()y f x =的值域为 .四、解答题9．（2024高三·全国·专题练习）画下列函数图像(1)22x y +=；(2)21x y x +=-.10．（2024高三·全国·专题练习）化简：(1)21103227()(0.002)2)8---+-+；11．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数()222x x f x -+=，()222x xg x --=.(1)若存在()0,x Î+¥，使得()122xf x t =×+成立，求实数t 的取值范围；(2)若不等式()()220f x bg x +³，对任意的[]1,2x Î恒成立，求实数b 的取值范围.12．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数()xf x a b =+，()log a g x x =，()0,1a a >¹，其中,a b 均为实数.(1)若函数()f x 的图像经过点()0,2A ，()1,3B ，求,a b 的值;(2)如果函数()f x 的定义域和值域都是[]1,0-，求a b +的值.(3)若a 满足不等式215222a a +->，且函数()21g x -在区间[]1,3上有最小值2-，求实数a 的值.综合提升练一、单选题1．（2023·广东珠海·模拟预测）已知0a >且1a ¹，下列等式正确的是（ ）A ．236a a a--×=B ．623a a a=C ．639a a a+=D．32a-=2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知()221xax f x =-为奇函数，则()1f =（ ）A ．23B ．23-C ．2D ．-23．（2024·全国·模拟预测）已知函数()3xf x =，若()()353log 6,log 10,2a f b f c f æö===ç÷èø，则（ ）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．b a c<<D ．b c a<<4．（2024·江苏南通·二模）已知函数()22,3,32x x x f x x f x -ì+£ï=íæö>ç÷ïèøî，则()2log 9f =（ ）A ．83B ．103C ．809D ．8295．（2023·江西南昌·三模）设函数()()01xf x a a =<<，()()log 1b g x x b =>，若存在实数m满足：①()()0f m g m +=；②()()0f n g n -=，③||1m n -£，则12m n -的取值范围是（ ）A ．11(,)24--B．1(,2-C ．31(,42--D．1()2-6．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数12(0x y a a -=+>且1)a ¹的图象恒过定点(),k b ，若m n b k +=-且0,0m n >>，则91m n+的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．92D ．527．（23-24高三上·云南楚雄·x ，则32612x x x ++=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．238．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）下列结果正确的是（ ）Aa =B ．log )log lo (g a a a MN M N =＋C32a= D ．39485log 2log 2log 3lo ()g 3(4)+×+=二、多选题9．（2024·广西柳州·三模）若a b >，则（ ）A ．330a b ->B ．()ln 0a b ->C ．e 1a b ->D ．0a b ->10．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知函数()2121x x f x -=+，则（ ）A ．不等式()13f x <的解集是()1,1-B ．x "ÎR ，都有()()f x f x -=C ．()f x 是R 上的递减函数D ．()f x 的值域为()1,1-11．（22-23高三上·河北邯郸·期中）设函数f (x )＝e e 2x x--，则下列结论正确的是（ ）A ．|f (x )|是偶函数B ．-f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数三、填空题12．（2024·北京房山·一模）若对任意,R m n Î，函数()f x 满足()()()f m f n f m n =+，且当m n >时，都有()()f m f n <，则函数()f x 的一个解析式是．13．（2024·全国·模拟预测）已知1212log log 169x x x -=，99log log 1612y y y -=，则xy= ．14．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数12()122x xx f x a +-=--+，存在实数12,,,n x x x L 使得()()11n i n i f x f x -==å成立，若正整数n 的最大值为8，则正实数a 的取值范围是 .四、解答题15．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）求值或化简(1)计算：101223510.06420.124-æöæö+--+ç÷ç÷èøèø；(2)化简（用分数指数幂表示）0,0)a b >>16．（2023高三·全国·专题练习）已知()2xf x =的图象，指出下列函数的图象是由()f x 的图象通过怎样的变换得到的.(1)12x y +=；(2)21x y =+；(3)2x y -=；(4)2x y =.17．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知幂函数()()22255m mf x m m x -=-+在()0,¥+上单调递减，函数()2xg x k =-．(1)求m 的值；(2)记集合()[]{},1,2A y y f x x ==Î，集合()[]{},1,1B y y g x x ==Î-，若A B A =I ，求实数k 的取值范围．18．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）解不等式：(1)()21122log 2log (1)1x x x -->--．(2)143237x x £-×+£．19．（23-24高三下·全国·自主招生）131232112,log 2,332a a S a a S a S a ìüìüìüïïïïæö=<=<=<íýíýíýç÷èøîþïïïïîþîþ，求()312S S S ÇU 拓展冲刺练一、单选题1．（2024·宁夏固原·一模）已知函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()e e 43x xf x x --=-B ．()e e 34x xf x x --=-C ．()e e 43x xf x x -+=-D ．()1x f x x =-2．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）A ．0,e cos x x x ">>B ．22,a b a b ">>C ．0,cos e xx x $>³D ．33,a b a b $><3．（2024·陕西西安·一模）已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -££时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，则a 的取值范围为（ ）．A ．1,33æöç÷èøB ．[)10,3,3æùÈ+¥çúèûC ．[)10,53,æù+¥çúèûU D ．1,35éùêúëû4．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数()31xf x =-，a b c <<，且()()()f a f c f b >>，则（）A ．a<0，0b <，0c <B ．a<0，0b ³，0c >C ．33a c-<D ．332a c +<5．（2024·全国·模拟预测）若24x y -=x ，R y Î，则x y -的最小值为（ ）A ．12B ．32C ．54D ．4二、多选题6．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数()()e e x xf x x a -=+×是奇函数或偶函数，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2024高三·全国·专题练习）下列大小关系正确的是．（ ）A B ．π3ln 23log 3>C ．17<D ．12e ln ππ-æö>ç÷èø三、填空题8．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）函数2123y x x =++-+的最小值为 .四、解答题9．（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知函数()e x f x =．(1)若函数f的值域为[)1,+¥，求m 的取值范围；(2)若过点()2,n 可以作曲线()y f x =的两条切线，求n 的取值范围．10．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数()19log 2a xf x bx-=+，()2423x x g x m +=×-+.(1)若()lg y g x =éùëû的值域为R ，求满足条件的整数m 的值；(2)若非常数函数()f x 是定义域为()2,2-的奇函数，且[)11,2x "Î，[]21,1x $Î-，()()1212f xg x ->-，求m 的取值范围.。
指数函数常见题型分类讲义
指数函数常考题型（比较大小另列专题讲解）一、求指数函数定义域、值域。
1、求指数函数的定义域，借指数不等式解决问题上。
例1：求函数9322-=-xy 的定义域。
例2：求函数y =2、直接求函数的值域困难时，可通过反函数确定原函数的值域。
例1：求函数133+=x xy 的定义域及值域。
例2：求函数)1,0(1122≠>+-=a a a a y x x 的值域。
3、求由指数函数构成的复合函数的值域，一般用换元法。
例1：求函数1-+=x x y 的值域。
例2：已知函数1762)21(+-=x x y ，（1）求函数的定义域、值域；（2）确定函数的单调区间。
练习：已知函数x x 22)31(+-，（1）求函数的定义域、值域；（2）确定函数的单调区间。
二、与指数有关的单调性例1、已知函数f （x ）=a －122+x （a ∈R ），（1） 求证：对任何a ∈R ，f （x ）为增函数．（2） 若f （x ）为奇函数时，求a 的值。
例2、求函数32212+-=+x x y 的单调区间。
例3、已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>0且a ≠1). (1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.三、求解有关指数不等式或方程例1、 解不等式2)21(22≤-x例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是_______。
例3：解方程803322=--+x x四、图形变换问题例1：若函数m a y b x +=+2恒过点（1，2），试求b 、m 的值例2：求函数1)21(-=x y 的单调区间。
例3：求函数322++-=x x y 的定义域、值域及单调区间。
五、函数最值问题例1：函数3234+⋅-=x x y 的值域为[1,7]，试确定x 的取值范围。
例2已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.例3：已知9x -10.3x +9≤0，求函数y=（41）x-1-4·（21）x +2的最大值和最小值。
指数与指数函数知识点及题型归纳总结
指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R )；(2)mm n n a a a-=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R )；(4)(ab )m =a m b m (m ∈R )；(5)pp a a-=1(p ∈Q ) (6)mm n n a a =(m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1 0<a <1图象(1)定义域：R (1)定义域：R 值域(2)值域：(0,+∞) (2)值域：(0,+∞) (3)过定点(0,1)(3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数. (4)在R 上是减函数. (5)0<y <1⇔x >0y =1⇔x =0 y >1⇔x <0(5)0<y <1⇔x <0y =1⇔x =0 y >1⇔x >0题型归纳及思路提示题型1指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2，b =4()()a a b b ab a b b+÷+--223333311的值； (2)若x x -+=11223，x x x x --+-+-33222232的值； (3)设nna --=11201420142(n ∈N +)，求()n a a +21的值.分析：利用指数运算性质解题.===.当a=2，b=4，原式===12.(2)先对所给条件作等价变形：()x x x x--+=+-=-=11122222327，()()x x x x x x---+=++-=⨯=33111222213618，x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.故x xx x--+--==+--3322223183124723.(3)因为n na--=11201420142，所以()n na-++=11222014201412，n n n nna---+--=-=111112014201420142014201422.所以)na-=12014.变式1 设2a=5b=m，且a b+=112，则m=( ).A. B. 10 C. 20 D. 100二、指数方程例2.49 解下列方程(1)9x-4⋅3x+3=0；(2)()()x x⋅=29643827；分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x=(3x)2；对于()()x x⋅2938，对其底进行化简运算. 解析：(1)9x-4⋅3x+3=0⇒(3x)2-4⋅3x+3=0，令t=3x(t>0)，则原方程变形为t2-4t+3=0，得t1=1，t2=3，即x=131或x=233，故x1=0，x2=1.故原方程的解为x1=0，x2=1.(2)由()()x x⋅=29643827，可得()x⨯=33294383即()()x=33443，所以()()x-=33344，得x=-3.故原方程的解为x=-3.变式1方程9x-6⋅3x-7=0的解是________.变式2 关于x 的方程()x aa+=-32325有负实数根，则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式例2.50若对x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：利用指数函数的单调性转化不等式.解析：因为函数y =2x 是R 上的增函数，又因为x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，即对∀x ∈[1,2]，不等式x +m >1恒成立⇔函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1，而y =x +m 在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m ，所以1+m >1，即m >0.所以实数m 的取值范围是{m |m >0}.变式1 已知对任意x ∈R ，不等式()x mx m x x -+++>22241122恒成立，求m 的取值范围.变式2 函数()xf x x -=-21的定义域为集合A ，关于x 的不等式ax a x +<222(x ∈R)的解集为B ，求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围.题型2 指数函数的图像及性质 思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像 例2.51 函数()x bf x a-=的图象如图2-14所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( ).A. a >1，b <0B. a >1，b >0C. 0<a <1，0<b <1D. 0<a <1，b <0 分析：考查指数函数的图象及其变换.解析：由图2-14可知0<a <1，当x =0时，b a -∈(0,1)，故-b >0，得b <0，故选D. 评注：若本题中的函数变为()xf x a b =-，则答案又应是什么？由图2-14可知ƒ(x )单调递减，即0<a <1，函数y =a x 的图像向下平移得到xy a b =-的图像，故0<b <1，故选C. 变式1 若函数y =a x +b -1(a >0且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ). A. 0<a <1且b >0 B. a >1且b >0 C. 0<a <1且b <0 D. a >1且b <0 变式2 (2012四川理5)函数x y a a=-1(a >0，a ≠1)的图象可能是( ).变式3 已知实数a ，b 满足()()a b =1123，下列5个关系式：①0<b <a ，②a <b <0，③0<a <b ，④b <a <0，⑤a =b =0.其中不可能．．．成立的有( ). A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个例2.52 函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点_________. 分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a 0=1.解析：因为函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(0,1)，又函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像是由函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点(-1,1). 变式1 函数ƒ(x )=a x +1(a >0且a ≠1)的图像过定点________. 变式2 函数ƒ(x)=ax+x-2的图像过定点________.变式3 ƒ(x )=x a -1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0(m ,n >0)上，则m n+11的最小值为________.二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))例2.53 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是_______. 分析：本题考查指数函数的单调性.解析：当0<a <1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上最大值为a ，最小值为a 2，则a a a -=22，得a a =22，又0<a <1，所以a =12； 当a >1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递增，故在[1,2]上最大值为a 2，最小值为a ，那么a a a -=22，得aa =232，又a >1，所以a =32. 综上所述，a 的值是12或32.评注：函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)，不论0<a <1还是a >1都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得. 所以||a a a -=22，解得a =12或a =32. 变式1 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在区间[a ,a +2]上的最大值是最小值的3倍，则a =_____.变式2 定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1，已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ]，值域为[1,2]，则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.变式3 若y =3|x |(x ∈([a ,b ])的值域为[1,9]，则a 2+b 2-2a 的取值范围是( ).A. [2.4]B. [4,16]D. [4,12]例2.54 函数xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是________.分析：复合函数xx y a --+=+248145内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.解析：因为u =-4x 2-8x +1=-4(x +1)2+5在[-1,+∞)上单调递减，在(-∞,-1]上单调递增，且y =a x (0<a <1)是减函数，所以xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是[-1,+∞).变式1 函数()f x 1________.变式2 求函数()()()x x f x =-+11142(x ∈[-3,2])的单调区间及值域.变式3 已知0≤x ≤2，求函数x xa y a -=-⋅++1224212的最大值和最小值.变式4 设函数y =ƒ(x )在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数(),(),k f x f x k ⎧=⎨⎩()()f x kf x k ≤>，取函数ƒ(x )=2-|x |，当k =12时，函数ƒk (x )的单调增区间为( ). A. (-∞,0] B. [0,+∞) C. (-∞,-1] D. [1,+∞)变式5 若函数||()x y m -=+112的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.变式6 已知函数()||x f x -=-21，x ∈R ，若方程ƒ(x )=a 有两个不同实根，则a 的取值范围是__________. 题型3 指数函数中的恒成立问题 思路提示(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.例2.55 设()x x f x a =++⋅124(x ∈R)，当x ∈(-∞,-1]时，ƒ(x )的图象在x 轴上方，求实数a 的取值范围. 分析：本题等价于当x ≤1时，x x a ++⋅124>0恒成立.分离自变量x 与参变量a ，转化为求解函数的最值. 解析：因为当x ∈(-∞,1]时，ƒ(x )的图像在x 轴上方，所以对于任意x ≤1，x x a ++⋅124>0恒成立，即x x a +>-214(x ≤1)恒成立.令()()()x x x x u x +=-=--2111424(x ≤1)，a >u (x )max ，x ∈(-∞,1].因为()x y =12，()x y =14均是减函数，所以u (x )在(-∞,1]上单调递增，故当x =1时，max ()()u x u ==-314，故a >-34.故实数a 的取值范围为(-34,+∞).变式1 已知函数()()x x af x a a a -=--21(a >0且a ≠1). (1)判断函数ƒ(x )的奇偶性； (2)讨论函数ƒ(x )的单调性；(3)当x ∈[-1,1]时，ƒ(x )≥b 恒成立，求实数b 的取值范围. 变式2定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1） 求a,b 的值.（2） 若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 变式3 已知函数1()22x xf x =-，若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.最有效训练题1.函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A a=1或a=2B a=1C a=2D 0a >且1a ≠ 2.设0.90.48 1.512314,8,()2y y y -===，则（ ）A 312y y y >>B 213y y y >>C 123y y y >>D 132y y y >>3.设函数()f x 定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（ ）A 132()()()323f f f <<B 231()()()323f f f <<C 213()()()332f f f <<D 321()()()233f f f <<4. 函数()22xxf x -=-是（ ） A 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递增 B 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 C 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增 D 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减.5.若关于x 的方程9(4)340xxa ++•+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A (,8)[0,)-∞-+∞ B (,4)-∞- C [8,4)- D (,8]-∞-6.函数221(0)(1)(0)(){ax ax x a e x f x +≥-<=在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）A (,(1,2]-∞B [1)[2,)-+∞C （1）D )+∞7.不等式2223330x x a a •-+-->，当01x ≤≤时，恒成立，则实数a 的取值范围为 .8. 函数1(2y =的单调递增区间是 .9.已知关于x 的方程923310x x k -⨯+-=有两个不同实数根，则实数k 的取值范围为 .10. 偶函数()f x 满足 (1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()f x x =，则关于x 的方程1()()10xf x =，在[0,2014]x ∈上的解的个数是 .11.已知函数()xf x b a =⋅（其中a,b 为常数且0,1)a a >≠的图像经过点A （1,6），B （3,24）. （1）确定()f x .（2）若不等式11()()0x x m a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为h(a). (1)求h(a);(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①3m n >>；②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为22[,]n m .若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由.。
指数题型及知识点总结
指数题型及知识点总结一、指数的基本概念1.1 指数的定义在数学中，指数是用来表示数的幂的概念。
对于正整数n和任意实数a，a的n次幂表示为a^n，其中a称为底数，n称为指数。
指数的作用是表示底数连乘的次数，例如2^3表示2连乘3次，即2*2*2=8。
1.2 指数的性质指数有一些重要的性质，这些性质在指数运算中起着重要的作用，具体如下：（1）相同底数的指数相乘，指数相加。
a^m * a^n = a^(m+n)（2）相同底数的指数相除，指数相减。
a^m / a^n = a^(m-n)（3）幂的幂，底数不变，指数相乘。
(a^m)^n = a^(m*n)（4）任何非零数的0次幂为1。
a^0 = 1 （a≠0）（5）任何非零数的负整数次幂为其倒数的相应幂。
a^(-n) = 1/(a^n) （a≠0）以上是指数的基本概念和性质，了解这些概念和性质是理解指数运算的基础。
二、指数的运算规则在指数运算中，有一些基本的运算规则需要掌握，下面是一些常见的指数运算规则：2.1 同底数的指数相乘或相除对于同一个底数的指数，可以将它们的指数相加或相减。
例如，a^m * a^n = a^(m+n)，a^m / a^n = a^(m-n)。
2.2 幂的乘法对于不同的底数但相同的指数，可以直接相乘。
例如，a^m * b^m = (a*b)^m。
2.3 幂的除法同样的，对于不同的底数但相同的指数，可以直接相除。
例如，a^m / b^m = (a/b)^m。
2.4 幂的幂对于幂的幂，底数不变，指数相乘。
例如，(a^m)^n = a^(m*n)。
了解这些运算规则有助于学生在解题时能够灵活应用，简化计算步骤。
三、常见的指数题型及解题方法在高中数学中，常见的指数题型主要包括：简化指数、整数指数运算、有理数指数运算、指数方程以及指数不等式等。
下面将针对这些题型分别介绍解题方法。
3.1 简化指数简化指数是指将指数表达式化简为最简形式的运算。
具体步骤如下：（1）将底数相同的指数相加或相减；（2）将幂的乘方化简；（3）将零指数、一指数和负指数的化简。
初三中考指数函数专题复习
初三中考指数函数专题复习1. 什么是指数函数指数函数是数学中的一种重要函数类型，它的形式为 $y = a^x$，其中 $a$ 是底数，$x$ 是指数。
指数函数具有以下特点：- 当底数 $a$ 大于 1 时，函数呈现增长趋势；- 当底数 $a$ 在 0 和 1 之间时，函数呈现衰减趋势；- 当底数 $a$ 等于 1 时，函数为常数函数。
指数函数在实际问题中有广泛的应用，如增长模型、衰减模型和复利计算等。
2. 指数函数的基本性质2.1 指数函数的定义域和值域指数函数的定义域和值域指数函数的定义域为实数集 $(-\infty, +\infty)$，值域为 $(0,+\infty)$。
即函数的输入可以是任意实数，但输出必须是正实数。
2.2 指数函数的图像特点指数函数的图像特点- 当底数 $a$ 大于 1 时，函数图像在 $x$ 轴右侧逐渐上升，但永远不会到达 $x$ 轴；- 当底数 $a$ 在 0 和 1 之间时，函数图像在 $x$ 轴右侧逐渐下降，但永远不会到达 $x$ 轴；- 当底数 $a$ 等于 1 时，函数图像为一条水平直线。
2.3 指数函数的性质指数函数的性质- $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$：指数相乘，底数不变，指数相加；- $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$：指数相除，底数不变，指数相减；- $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$：指数相乘，底数不变，指数相乘。
3. 指数函数的应用指数函数在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：- 经济增长模型：指数函数可以描述经济增长的指数趋势，用于预测未来的经济发展情况；- 化学反应：指数函数可以用于描述化学反应的速率，从而帮助研究这些反应的特性；- 人口增长模型：指数函数可以描述人口的指数增长或衰减情况，对于规划城市发展和资源分配有重要的作用。
4. 总结指数函数是数学中的一种重要的函数类型，具有广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
指数函数要点及常见题型
1．指数函数的定义：
函数)10(≠>=a a a y x
且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 探究1：为什么要规定a>0,且a ≠1呢？
①若a=0，则当x>0时，x a =0；当x ≤0时，x a 无意义.
②若a<0，则对于x 的某些数值，可使x a 无意义. 如x )2(-，这时对于x=
41，x=21，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何x ∈R ，x a =1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a 1在规定以后，对于任何x ∈R ，x a 都有意义，且x a >0. 因此指数函数的定义域是R ，值域是(0,+∞).
探究2：函数x y 32⋅=是指数函数吗？
指数函数的解析式y=x a 中，x
a 的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=x a +k (a>0且a ≠1，k ∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=x a - (a>0,且a ≠1)，因为它可以化为y=x
a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛1，其中a 1>0，且a 1≠1 2.指数函数的图象和性质： )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质
a>1 0<a<1
图
象 0 0
性
质
(1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在 R 上是增函数 （4）在R 上是减函数
三、讲解范例：
例1：比较下列各题中两个值的大小：
①5.27.1，37.1； ②1.08.0-，2.08.0-； ③3.07.1，1.39.0
四、练习： ⑴比较大小：32)5.2(- ,54
)5.2(-
⑵已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：
n m )32
()32
(>⇒m n ；
n m 1.11.1<⇒m n.
⑶比较下列各数的大小：,10 ,4.05.2- 2.02- ，
6.15.2
例2求下列函数的定义域、值域： ⑴11
4.0-=x y ⑵153-=x y ⑶2+=x y
例3求函数x
x y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=的单调区间，并证明
例4设a 是实数，)(1
22)(R x a x f x ∈+-=试证明对于任意a,)(x f 为增函数；
练习
求下列函数的定义域和值域： ⑴x a y -=1 ⑵31
)21(+=x y
六，指数函数图像的变换
基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所
例5探讨函数x a y =和x a
y -= )10(≠>a a 且的图象的关系，并证明关于y 轴对称
例6 已知函数 2
22x
x y -+= 求函数的定义域、值域
【随堂练习】
1：比较大小：
（1） 2.5 3.21.5,1.5；（2） 1.2 1.50.5
,0.5--；（3）0.3 1.21.5,0.8． 2：（1）已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围；（2）已知0.225x <，求实数x 的取值范围.
3：设a 是实数，2()()21
x f x a x R =-∈+， （1）求a 的值，使函数()f x 为奇函数
（2）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；
加强训练一
1.若函数(1)x y a =-在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）
（A ）(1,)+∞ （B ）(0,1) （C ）(,1)-∞ （D ）(1,1)-
2.已知函数x y a =(0,1)a a >≠在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差是1，求实数a 的值；
3. 解不等式：(1)293x x -> (2)34260x x ⨯-⨯>
【知识延伸】
一、与指数函数有关的复合函数
例4: 求函数2617
1()2x x y -+=的定义域、值域、单调区间．
加强训练二
1．求下列函数的定义域、值域：
(1)1
218x y -= (2)
y =。