第9讲 幂函数、指数函数、对数函数
指数函数幂函数对数函数知识点总结
指数函数幂函数对数函数知识点总结一.指数函数指数函数是一种特殊的函数形式，其中自变量位于指数的上方。
指数函数的一般形式为：$y=a^x$。
在指数函数中，底数$a$是一个正实数，且$a\ne q1$。
1.指数函数的性质指数函数的增长特性-：当底数$a$大于1时，指数函数呈现增长趋势，随着自变量$x$的增大，函数值$y$也随之增大。
当底数$a$在0和1之间时，指数函数则呈现递减趋势。
指数函数的定义域和值域-：指数函数的定义域为所有实数，即$(-\i nf ty,+\i nf ty)$。
根据底数$a$的不同，指数函数的值域也有所不同。
若底数$a>1$，则值域为$(0,+\in ft y)$；若底数$0<a<1$，则值域为$(-\in ft y,+\in fty)$。
指数函数的奇偶性-：当底数$a>0$且$a\n eq1$时，指数函数为奇数函数。
2.指数函数的图像指数函数的图像特点也与底数$a$的取值有关：-当底数$a>1$时，指数函数的图像呈现增长趋势，在原点左侧逐渐接近$y=0$轴，右侧逐渐趋近于正无穷。
-当底数$0<a<1$时，指数函数的图像呈现递减趋势，在原点左侧呈现正无穷，右侧逐渐接近$y=0$轴。
二.幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其中底数固定为正整数。
幂函数的一般形式为：$y=x^n$。
1.幂函数的性质幂函数的增长特性-：当指数$n$为正整数时，幂函数呈现增长趋势。
若$n$为奇数，则幂函数随自变量$x$的增大而增加；若$n$为偶数，则幂函数随着自变量$x$的增大或减小而增加。
幂函数的定义域和值域-：幂函数的定义域为所有实数，即$(-\i nf ty,+\i nf ty)$。
幂函数的值域则根据指数$n$的奇偶性而定。
若$n$为奇数，则值域为$(-\i nf ty,+\i nf t y)$；若$n$为偶数，则值域为$[0,+\in ft y)$。
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
教案：幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质定义：幂函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = x^a，其中a 是实数。
性质：幂函数的图像是一条曲线，随着a 的不同取值，曲线的形状也会发生变化。
当a > 1 时，函数在x > 0 的区间上是增函数；当0 < a < 1 时，函数在x > 0 的区间上是减函数；当a = 0 时，函数是常数函数；当a < 0 时，函数在x >0 的区间上是增函数。
1.2 幂函数的图像与性质图像：通过绘制不同a 值的幂函数图像，观察曲线的形状和变化趋势。
性质：当a > 0 时，函数在x = 0 时无定义，但在x > 0 的区间上有定义；当a < 0 时，函数在x = 0 时无定义，但在x < 0 的区间上有定义；当a 为正整数时，函数在x > 0 的区间上是增函数；当a 为负整数时，函数在x < 0 的区间上是增函数。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质定义：指数函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = a^x，其中a 是正实数。
性质：指数函数的图像是一条曲线，随着x 的增大，曲线的值也会增大。
指数函数的图像经过点(0, 1)，并且随着a 的增大，曲线的斜率也会增大。
2.2 指数函数的图像与性质图像：通过绘制不同a 值的指数函数图像，观察曲线的形状和变化趋势。
性质：当a > 1 时，函数在整个实数域上是增函数；当0 < a < 1 时，函数在整个实数域上是减函数；指数函数的图像具有反射性，即f(x) = a^x 和f(x) = a^(-x) 的图像关于y 轴对称。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质定义：对数函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = log_a(x)，其中a 是正实数。
性质：对数函数的图像是一条曲线，随着x 的增大，曲线的值也会增大。
指数函数对数函数与幂函数指数函数与对数函数的关系pptx
性质
对数函数的图像与y轴的交点为1，函数的导数是1/x'，其中x'是x的倒数。
复合对数函数
定义
复合对数函数是指数函数和对数函数的组合形式，它表示为log(base) (x) ^ (y)，其中base是底数，x和y是函数的自变量。
当n为负整数时，幂 函数的最大值出现在 x=1处，且最大值为 1/2；
当n为分数时，幂函 数的最大值出现在 x=1处，且最大值为 1。
复合幂函数
定义
复合幂函数是指由幂函数与其他函数复合而成的函数，如 $f(x) = \sin x^{2}$。
性质
复合幂函数的性质取决于其内部的幂函数的性质以及外部函 数的性质。例如，如果内部函数是偶函数，则复合幂函数也 是偶函数；如果内部函数是奇函数，则复合幂函数也是奇函 数。
复合指数函数
定义：复合指数函数是指形式为f(ax+b)的函数，其中 a和b是常数，且a≠0。
1. 复合指数函数的图像与指数函数的图像类似，但需 要根据具体的函数表达式来确定。
性质
2. 复合指数函数的性质与指数函数的性质类似，但需 要根据具体的函数表达式来进行判断。
02
对数函数
对数函数的定义与性质
性质
1. 当x为有理数时，a^x仍为有 理数；当x为无理数时，a^x亦 为无理数。
2. 当a>1时，a^x>0；当 0<a<1时，a^x<0。
指数函数的图像与性质
图像：指数函数的图像是一条连续的曲线，经过原点 ，并在第一象限内单调递增。
1. 函数值y随x的增大而增大（当x为正数时）。
性质
2. 当x=0时，y=1（当a>1时），y=0（当0<a<1时 ）。
数学总复习第二章 函数与导数第9课时 指数函数、对数函数及幂函数
第二章函数与导数第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3) (对应学生用书(文）、（理)24~25页)考情分析考点新知①对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主；考查形式主要是填空题，同时也有综合性较强的解答题出现,目的是结合其他章节的知识，综合进行考查.②幂函数的考查较为基础，以常见的5种幂函数为载体，考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点．①理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性；掌握对数函数图象通过的特殊点.②知道对数函数是一类重要的函数模型.③了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x的相互关系(a〉0，a≠1）.④了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x－2的图象，了解它们的变化情况.1。
(必修1P112测试8改编)已知函数f(x）＝log a x（a〉0，a≠1），若f(2)>f(3），则实数a的取值范围是________．答案：（0，1）解析：因为f（2)>f(3)，所以f（x)＝log a x单调递减，则a∈(0，1）．2. （必修1P89练习3改编)若幂函数y＝f(x）的图象经过点错误!，则f(25)＝________．答案:错误!解析：设f（x)＝xα，则错误!＝9α,∴α＝－错误!，即f（x)＝x－错误!，f(25)＝错误!。
3. (必修1P111习题15改编)函数f(x)＝ln错误!是________（填“奇”或“偶”）函数．答案：奇解析：因为f（－x）＝ln错误!＝ln错误!错误!＝－ln错误!＝－f(x），所以f（x)是奇函数．4。
(必修1P87习题13改编)不等式lg(x－1)〈1的解集为________.答案:（1，11)解析：由0〈x－1〈10，∴1〈x〈11。
5。
(必修1P87习题14改编）对于任意的x1、x2∈（0，＋∞）,若函数f（x）＝lgx，则错误!与f错误!的大小关系是______________________.答案：错误!≤f错误!解析：(解法1）作差运算；(解法2)寻找错误!与f错误!的几何意义，通过函数f(x)＝lgx图象可得．1. 对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝log a x（a〉0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞）．2。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质定义：幂函数是一种形式的函数，可以表示为y = x^a，其中x是变量，a是常数。
性质：幂函数的图像是一条曲线，取决于指数a的值。
当a为正整数时，函数在x轴的正半轴上递增。
当a为负整数时，函数在x轴的正半轴上递减。
当a为分数时，函数的图像呈现出特殊的变化规律。
1.2 幂函数的图像与性质绘制幂函数的图像，观察不同指数a对图像形状的影响。
分析幂函数的单调性、奇偶性、渐近线等性质。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质定义：指数函数是一种形式的函数，可以表示为y = a^x，其中a是底数，x是变量。
性质：指数函数的图像是一条递增的曲线，底数a大于1时，曲线向上弯曲；底数a 小于1时，曲线向下弯曲。
指数函数的渐近线是y轴。
指数函数的值域是正实数集。
2.2 指数函数的应用分析指数函数的增长速度，比较不同底数的指数函数。
应用指数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质定义：对数函数是一种形式的函数，可以表示为y = log_a(x)，其中a是底数，x是变量。
性质：对数函数的图像是一条递减的曲线，底数a大于1时，曲线向下弯曲；底数a 小于1时，曲线向上弯曲。
对数函数的渐近线是x轴。
对数函数的定义域是正实数集。
3.2 对数函数的应用分析对数函数的单调性，比较不同底数的对数函数。
应用对数函数解决实际问题，如测量、数据压缩等。
第四章：对数运算法则4.1 对数的基本性质回顾对数的定义，巩固对数函数的基本性质。
学习对数的换底公式、对数的反对数等基本性质。
4.2 对数的运算法则学习对数的加法、减法、乘法、除法等运算法则。
运用对数的运算法则进行复杂对数表达式的化简和求值。
第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在实际问题中的应用分析实际问题，识别可以用对数函数表示的关系。
应用对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
幂函数指数函数对数函数的图像和性质
幂函数指数函数对数函数的图像和性质在数学中，幂函数，指数函数和对数函数是一类十分重要的函数，它们在各种领域都有着重要的应用，它们之间也有着千丝万缕的联系，而本文的主要重点就是分析它们的关系，以及它们的图像和性质。
首先，对于幂函数而言，它的定义域为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0,aeq 1)$其中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。
此外，还可以确定的是，幂函数是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=ln(a)a^x$ 。
接下来，我们来看看指数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=a^x(a>0)$其中a为指数，当a>1时，函数图像呈现出递增趋势，而当a<1时，函数则呈现出递减趋势。
此外，还可以确定的是，指数函数也是一种可导函数，其导函数的形式为$f(x)=a^xln(a)$可以看出，指数函数也是一种以连续变量为参数的可导函数。
最后，我们再来看看对数函数及其图像和性质，它的定义域也为实数集，值域也为实数集，其函数多项式形式为$f(x)=ln x$，可以看出，对数函数的图像呈右斜线形，它是一个单调函数，且为可导函数，其导函数的形式为$f(x)=frac{1}{x}$ 。
接下来，我们来看看三种函数之间的关系，第一，它们之间有着联系，即可以从一种函数通过定义变换到另外一种函数，其具体形式为$f(x)=a^x=ln(y)$，即从一个函数求另一个函数，从而将三种函数联系在一起；第二，它们之间也存在着双射，可以实现函数的双向转换；第三，它们的应用场景类似，都是应用于数量的变化趋势分析中，以及特定概率的分析等领域。
以上，就是有关幂函数、指数函数和对数函数的图像和性质以及它们之间的联系的全部内容，它们在数学中都有着重要的应用，因此，理解它们的关系以及图像和性质也是十分重要的。
(完整版)指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mn m naa a m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 y=a xa>10<a<1n 为奇数 n 为偶数图象定义域R值域（0，+∞）性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1;x<0时,0<y<1(2) 当x>0时，0<y<1;x<0时, y>1(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)xa N a a=>≠且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log Nax=，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数。
指数函数,对数函数,幂函数
《指数函数、对数函数、幂函数》知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果nx a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的nn 为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当na =；当n,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)na =3.分数指数幂的意义：)0,,,1mna a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)rsr sa a a+= (2)()r srsa a = (3)()rr rab a b =知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数()0,1xy aa a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .2.指数函数函数性质：知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数. (2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞.2.对数函数性质：知识点五：反函数 1.反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x fy -=，习惯上改写成1()y f x -=.2.反函数的性质(1)原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.(2)函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.(3)若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.(4)一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 知识点六：幂函数 1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴.(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当q pα=(其中,p q 互质，p 和q Z ∈)，若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qp y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方.1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是( )()y x R αα=∈A ．2x y = B ．xx y 2=C ．)10(log ≠>=a a ay xa 且 D ．x a a y log =2．函数y x=3与y x=--3的图象关于下列那种图形对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y x =D ．原点中心对称3．设函数f (x )＝则满足()2f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ． [)0,+∞4．函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上( ) A ．递增且无最大值 B ．递减且无最小值 C ．递增且有最大值 D ．递减且有最小值 5.为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度； B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度； C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度； D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度； 6．函数)65(log2)21(+-=-x x y x 的定义域为（ ）； A ．()1,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U B ．()()1,11,23,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭U U C ．()3,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U D ．()133,,23,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U U 7．当0<x≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是 A ．(0，2) B ．(2，1) C ．(1) D ．2) 8．函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（ ） A ． 211(0)x y ex +=-> B ．211(0)x y e x -=+>⎩⎨⎧>-≤-1,log 11,221x x x xC ． 211()x y ex R +=-∈ D ．211()x y e x R -=+∈9．不等式31122x x-+≤的解集为 . 10．已知函数2()f x x bx c =++，对任意x R ∈都有(1)()f x f x +=-,则(2)f -、(0)f 、(2)f 的大小顺序是 ．11．函数1218x y -=的定义域是 ；值域是 .12．判断函数2lg(y x x =的奇偶性 .13．已知函数211()log 1xf x x x+=--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性. 14. 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．15．已知12x -≤≤，求函数1()3239x x f x +=+⋅-的值域.1．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．|f (x )|－g (x )是奇函数 B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 C ．f (x )－|g (x )|是奇函数 D ．f (x )＋|g (x )|是偶函数2．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，则f (4)＝( ) A ．4B ．2C ．0D ．不确定3．若函数x2x 1x a f(x)=(+)(-)为奇函数，则a ＝( )A. 12B.23 C. 34D ．14．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．95．设f (x )＝2x ,|x |1x,|x |1⎧≥⎨<⎩g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞) 6．已知f (x )＝2x 1,1x 0x 1,0x 1+-≤≤⎧⎨+<≤⎩，则如图中函数的图象错误的是( )7．已知f (x －1x )＝x 2＋21x，则函数f (3)＝________. 8．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝211a a -+，则a 的取值范围是________．9．设函数f (x )＝12(x ＋|x |)，则函数f [f (x )]的值域为________．10．已知函数f (x )＝a 1- (a ≠1)，若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．11．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )>2x ＋5.12．函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝x (x ＋2y ＋1)成立，且f (1)＝0， (1)求f (0)的值；(2)试确定函数f (x )的解析式．13．已知函数f (x )＝22x 2x,x 00,x 0x mx,x 0⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)． 15．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 16．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质学习幂函数的定义：f(x) = x^a，其中a为常数。
探讨幂函数的性质，如奇偶性、单调性等。
1.2 幂函数的图像与解析式绘制常见的幂函数图像，如f(x) = x^2，f(x) = x^-1等。
学习如何从图像得出幂函数的解析式。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质学习指数函数的定义：f(x) = a^x，其中a为正常数。
探讨指数函数的性质，如单调性、特殊点等。
2.2 指数函数的图像与解析式绘制常见的指数函数图像，如f(x) = 2^x，f(x) = 3^x等。
学习如何从图像得出指数函数的解析式。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质学习对数函数的定义：f(x) = log_a(x)，其中a为正常数。
探讨对数函数的性质，如单调性、特殊点等。
3.2 对数函数的图像与解析式绘制常见的对数函数图像，如f(x) = log_2(x)，f(x) = log_3(x)等。
学习如何从图像得出对数函数的解析式。
第四章：对数运算法则4.1 对数的基本运算法则学习对数的加法、减法、乘法和除法法则。
4.2 对数的复合运算法则学习对数的乘方和除方法则。
第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在实际问题中的应用探讨对数函数在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。
5.2 对数函数在其他数学领域的应用探讨对数函数在其他数学领域的应用，如微积分中的对数微分等。
第六章：指数函数的应用6.1 指数函数在实际问题中的应用探讨指数函数在实际问题中的应用，如复利计算、生物种群增长等。
6.2 指数函数在其他数学领域的应用探讨指数函数在其他数学领域的应用，如概率论中的指数分布等。
第七章：幂函数和指数函数的综合应用7.1 幂函数和指数函数在实际问题中的应用探讨幂函数和指数函数在实际问题中的应用，如物理学中的能量公式、经济学中的需求函数等。
7.2 幂函数和指数函数在其他数学领域的应用探讨幂函数和指数函数在其他数学领域的应用，如图论中的指数时间算法等。
高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第9课时 指数函数、对数函数及幂函数.pdf
函数与导数第9课时 指数函数、对数函数及幂函数(3) (对应学生用书(文)、(理)24～25页) 考情分析考点新知① 对数函数在高考中的考查主要是图象和性质同时考查数学思想方法以考查分类讨论及运算能力为主；考查形式主要是填空题同时也有综合性较强的解答题出现目的是结合其他章节的知识综合进行考查. 幂函数的考查较为基5种幂函数为载体考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点． 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性；掌握对数函数图象通过的特殊点.知道对数函数是一类重要的函数模型. 了解指数函数y＝a与对数函数y＝的相互关系(a>0). ④ 了解幂函数的概念结合函数y＝x＝x＝x＝x－1＝x－2的图象了解它们的变化情况. 1. (必修1112测试8改编)已知函数f(x)＝(a>0，a≠1)，若f(2)>f(3)则实数a的取值范围是________答案：(0) 解析：因为f(2)>f(3)所以f(x)＝单调递减则a∈(0)．(必修1练习3改编)若幂函数y＝f(x)的图象经过点则f(25)＝________答案：解析：设f(x)＝x则＝9＝－即f(x)＝x－(25)＝(必修1习题15改编)函数f(x)＝是(填“奇”或“偶”)函数．答案：奇解析：因为f(－x)＝＝＝－＝－f(x)所以f(x)是奇函数．(必修1习题13改编)不等式(x－1)<1的________. 答案：(1) 解析：由0<x－10，a≠1)叫做对数函数其中x是自变量函数的定义域是(0＋∞)．. 对数函数的图象与性质 a>100；当＜＜1时(x)<0(4) 当x＞1时(x)0(5) 是(0＋∞)上的增函数(5) 是(0＋∞)上的减函数 幂函数的定义形如y＝x(α∈R)的函数称为幂函数其中x是自变量为常数．幂函数的图象 5. 幂函数的性质 函数特 征性质y＝xy＝x＝x＝x＝x－1定义域RRR{x|x≥0}{x|x∈R且x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞]减[0，＋∞)增增增(－∞0)减(0，＋∞)减定点(1) [备课札记] 题型1 对数函数的概念与性质例1 (1) 设a>1函数f(x)＝在区间[a]上的最大值与最小值之差是则a＝________；2) 若a＝＝＝用小于号“<”将a、b、c连结起来________；(3) 设f(x)＝是奇函数则使f(x)<0的x的取值范围是________；(4) 已知函数f(x)＝|正实数m、n满足m1函数f(x)＝在区间[a]上是增函数－＝＝4.(2) 由于a>1所以c0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或， 即实数a的取值范围是a0，则方程(a－1)t－－1＝0有且只有一个正根．＝1＝－不合题意；②a≠1时＝0＝或－3.若a＝＝－2不合题意若a＝－3＝；③a≠1时一个正根与一个负根即综上实数a的取值范围是{－3}∪(1＋∞)． 已知函数f(x)＝(ax－b)(a>1>b>0)．(1) 求函数y＝f(x)的定义域；(2) 在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点使过此两点的直线平行于x轴；(3) 当a、b满足什么关系时(x)在区间上恒取正值．解：(1) 由a－b得因为a>1>b>0所以所以x>0即函数f(x)的定义域为(0＋∞)．(2) 设x因为a>1>b>0所以a则－b－b所以a－b－b于是(ax1－b)>lg(ax2－bx)，即f(x)>f(x2)，因此函数(x)在区间(0＋∞)上是增函数．假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x)、B(x)，使得直线AB平行于x轴即x＝y这与f(x)是增函数矛盾．故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过此两点的直线平行于x轴．(3) 由(2)知(x)在区间(1＋∞)上是增函数所以当x∈(1＋∞)时(x)>f(1)，故只需f1)≥0，即(a－b)≥0即a－b≥1所以当a≥b＋1时(x)在区间(1＋∞)上恒取正值． 1. (2013·南师大模拟)已知函数f(x)＝－2(x＋c)其中c>0若对任意x∈(0＋∞)都有f(x)≤1则c的取值范围是________．答案：c≥解析：由题意在x∈(0＋∞)上恒成立所以. 2. (2013·辽宁)已知函数f(x)＝＋1则f()＋f＝________．答案2 解析：f(x)＋f(－x)＝(－3x)＋(＋3x)＋2＝(1＋9x－9x)＋2＝2所以f()＋＝f()＋f(－)＝2.(2013·江西检测)已知x＋(0.5)－y(－y)＋(0.5)x，则实数x、y的关系为________．答案：x＋y<0解析：由x＋(0.5)－y(－y)＋(0.5)x，得x－(0.5)x<(－y)－(0.5)－y设f(x)＝x－(0.5)x，则(x)<f(－y)由于0<0.5<1，所以函数(x)是R上的增函数所以x<－y即x＋y0，由af(x)≥f(x)－1得a≥＝－＝≤(当且仅当f(x)＝2时等号成立)所以实数a的最小值为1. 若函数f(x)＝log－1|(a＞0)当x≠时有f(x)＝f(1－x)则a＝________．答案：2解析：由f(x)＝f(1－x)知函数f(x)的图象关于x＝对称而f(x)＝log＋log从而＝所以a＝2.已知函数f(x)＝x[－1]，函数g(x)＝ax＋2[－1]，若存在x∈[－1]，使f(x)＝g(x)成立则实数a的取值范围是________．答案：[1，＋∞)解析：分别作出函数f(x)＝x[－1]与函数gx)＝ax＋2[－1]的图象．当直线经过点(－1)时＝1；当直线经过点(8)时＝结合图象有a≤或a≥1.已知函数f(x)＝|lgx|若0(1) ＝1＋2＝3即a＋2b的取值范围是(3＋∞)．已知两条直线l：y＝m和l：y＝与函数y＝|的图象从左至右相交于点A、B与函数＝的图象从左至右相交于点C、D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b.当m变化时求的最小值．解：由题意得x＝B＝2＝＝2所以a＝|x－x＝＝|x－x＝即＝＝2＝2＋m因为＋m＝(2m＋1)＋－－＝当且仅当(2m＋1)＝，即m＝时取等号．所以的最小值为2＝8 1. 指数函数的底数、对数函数的底数、真数应满足的条件是求解有关指数、对数问题时必须予以重视的如果底数含有参数一般需分类讨论．与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1) 确定定义域；(2) 把复合函数分解为几个初等函数；(3) 确定各个基本初等函数的单调区间；(4) 根据“同增异减”判断复合函数的单调性．。
指数函数、对数函数、幂函数
指数函数、对数函数、幂函数指数与指数函数：⒈根式的定义：⑴方根：如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且n ∈N*),那么这个数叫做a 的n 次方根.即：若x n=a,则x 叫做a 的n 次方根.⑵根式：式子n a叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 当n 是偶数时,na表示正数a 的正的n 次方根. ⒉根式的性质：⑴(na)n= a ； ⑵当n 为奇数时a = 当n 是偶数时；⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a aa a n n.⒊分数指数幂：当a ＞0,m 、n ∈N*且n ＞1时,规定： nmnmaa =； nmnm aa1=-； 00=nm； nm -0无意义.⒋有理指数幂性质 ⑴a r ·a s =a r+s (a ＞0, r 、s ∈Q)；⑵(a r )s =a r s (a ＞0, r 、s ∈Q)；⑶(ab)r =a r b r (a ＞0, b ＞0,r ∈Q). ⒌指数函数： ⑴指数函数的定义：把形如y=a x(a ＞0,且a ≠1)的函数叫做指数函数. 对数与对数函数：⒈对数的概念： ⑴对数的定义：如果a(a ＞0,a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b =N,那么,数b 叫做以a 为底N 的对数.其中,a 叫做对数的底数,N 叫做对数的真数.⑵常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数,并记l og 10N 为l gN.⑶自然对数：把以e 为底的对数叫做自然对数,并记l og e N 为l nN.其中e=2.71828……,是一个无理数.⑷对数恒等式：)010(log>≠>=N a a N aNa，且.⒉对数的运算法则：指数与对数的互化log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.对数的换底公式log log log m a m N N a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log mna a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠,0N >).当a ＞0,a ≠1,M ＞0,N ＞0,则⑴l og a (MN)= l og a M+l og a N ；⑵NM NM aaalogloglog -=；⑶l og a M n =n l og a M.⒊对数的三个性质：⑴1的对数为0(即l og a 1=0)；⑵底的对数为1(即l og a a=1)；⑶零和负数没有对数. ⒋对数函数：⑴对数函数的定义：把形如y=l og a x(a ＞0,且a ≠1)的函数叫做对数函数. 图象特征1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象解题入口：①开口方向由a 决定，当 时，开口方向向上，当 时，开口方向向下；②对称轴为 ；③与x 轴是否有交点由 决定,当 时,没有交点，当 时,有一个交点，当 时,有两个交点.2、指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象解题入口：①上升或下降由 决定，当 时，上升，当 时，下降；②图象必过的定点为 .3、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象解题入口：①上升或下降由 决定，当 时，上升，当 时，下降；②图象必过的定点为 .4、幂函数()y x αα=∈R 的图象解题入口：(1)如右图所示,①、②、③、④、⑤对应的α的值分别为 、 、 、 、 ；(2)y x α=的图象可分为三类: 一是关于 对称型(即奇函数,如13,3α=-等),二是关于 轴对称型(即偶函数,如22,3α=等),三是只有在第 象限有图象型,其他象限没有图象型(即非奇非偶函数,如12α=),把握好第一象限的图象,由对称性画出其它象限的图象.请根据一面规律画出函数3y x =与y =的图象.5、反函数：函数x y a =与函数 互为反函数.下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ）A ．2xy =B ．xxy 2=C ．)10(log≠>=a a a y xa且 D ．xaa y log=下列函数中是奇函数的有几个（ ）①11xx a y a +=- ②2l g (1)33xy x -=+- ③x y x=④1log 1ax y x+=-A ．1B ．2C ．3D ．4已知函数=-=+-=)(.)(.11lg)(a f b a f xx x f 则若（ ）A ．b B ．b - C ．b1 D ．1b-函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上（ ）A ．递增且无最大值B ．递减且无最小值C ．递增且有最大值D ．递减且有最小值对于10<<a ，给出下列四个不等式 ①)11(log )1(log aa a a +<+ ②)11(l o g )1(l o g aa aa +>+ ③aaaa111++<④aaa a111++>其中成立的是（ ）A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③ D ．②与④若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则( )A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28= 。
指数函数,对数函数与幂函数
指数函数,对数函数与幂函数
1.指数函数：指数函数的形式为f(x)=a^x，其中a为一个正实数，x为自变量，f(x)为因变量。
指数函数的图像呈现出上升或下降的曲线，具有单调性和连续性。
指数函数的特点是在x轴上的一个点处，曲线的斜率等于函数值。
指数函数在数学、科学、经济等领域中有着广泛的应用。
2. 对数函数：对数函数的形式为f(x)=loga(x)，其中a为一个正实数且不等于1，x为自变量，f(x)为因变量。
对数函数是指数函数的反函数，也就是说f(x)表示a的x次方等于某个数时，x的值。
对数函数的图像呈现出上升或下降的曲线，具有单调性和连续性。
对数函数在数学、物理、计算机等领域中有着广泛的应用。
3. 幂函数：幂函数的形式为f(x)=x^a，其中a为一个实数，x 为自变量，f(x)为因变量。
幂函数的图像呈现出上升或下降的曲线，具有单调性和连续性。
幂函数在数学、物理、经济等领域中有着广泛的应用，如面积、体积、电阻、功率等的计算。
指数函数、对数函数和幂函数是数学中的重要函数类型，它们在许多领域中都有着广泛的应用。
熟练掌握这些函数的性质和应用，对于学习数学、物理、计算机等学科都有着重要的意义。
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指数_对数_幂函数必备知识点
指数_对数_幂函数必备知识点指数、对数和幂函数是数学中非常重要的概念和工具。
它们在各个领域中都有广泛的应用，包括科学、工程和经济等方面。
在这篇文章中，我们将详细介绍指数、对数和幂函数的必备知识点。
1. 指数函数（Exponential Functions）a.当a>1时，指数函数是递增函数，随着x的增加，函数值也增加；b.当0<a<1时，指数函数是递减函数，随着x的增加，函数值减小；c.当x=0时，f(x)=a^0=1；d.当x<0时，f(x)=a^x=1/a^(-x)。
指数函数在各个领域的应用非常广泛，比如在物理学中描述指数增长、衰变等现象，在经济学中描述复利现象等。
2. 对数函数（Logarithmic Functions）对数函数是指数函数的逆运算。
对数函数可以表示为f(x) =loga(x)，其中a为底数，x为正实数。
常见的对数函数有以10为底数的常用对数函数，即f(x) = log10(x) = lg(x)，以及以e为底数的自然对数函数，即f(x) = ln(x)。
对数函数具有以下特点：a.对数函数是递增函数，随着x的增加，函数值也增加；b. 当x=a时，f(a) = loga(a) = 1；c. 当x=1时，f(1) = loga(1) = 0；d.当a>1时，对数函数在定义域内的所有正实数上都有定义；e.当0<a<1时，对数函数只在定义域内的正实数中的一部分上有定义。
对数函数在数学和科学中有广泛的应用。
例如，对数函数可以用来解决指数方程、求解复利问题等。
3. 幂函数（Power Functions）幂函数是以x为底数，并以常数为指数的函数形式。
幂函数可以表示为f(x)=x^k，其中k为常数。
幂函数具有以下特点：a.当k>0时，幂函数是增函数，随着x的增加，函数值也增加；b.当k<0时，幂函数是减函数，随着x的增加，函数值减小；c.当k=0时，幂函数为常数函数，函数值始终为1幂函数在各个领域中都有广泛的应用。
指数函数、对数函数、幂函数图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（ 1）根式的概念根式的概念符号表示备注如果 x na ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根n 1且 n N当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 ,负数的 n 次 na零的 n 次方根是零方根是一个负数当 n 为偶数时 ,正数的 n 次方根有两个 ,它们互为相反数na ( a 0) 负数没有偶次方根（ 2）．两个重要公式an 为奇数① n a na( a 0) ；| a |0)n 为偶数a(a② (n a ) n a （注意 a 必须使 n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （ 1）幂的有关概念m①正数的正分数指数幂: a n n a m (a0, m 、 n N ,且n 1) ;m 11②正数的负分数指数幂: an0, m 、 nN , 且 n 1)m(aa nna m③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 .注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（ 2）有理数指数幂的性质① a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q);r srs② (a ) =a (a>0,r 、s ∈ Q); ③ (ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈ Q);. 3．指数函数的图象与性质y=a x a>10<a<1图象定义域R值域（0，+ ）性质（ 1）过定点（ 0， 1）（ 2）当 x>0 时， y>1;(2) 当 x>0 时， 0<y<1;x<0 时 ,0<y<1x<0 时, y>1(3) 在（ - ，+）上是增函数（ 3）在（ -， +）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1） y=a x,（2） y=b x,（ 3）,y=c x（ 4） ,y=d x的图象，如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1 ，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴ c>d>1>a>b 。
幂函数、指数函数和对数函数
幂函数、指数函数和对数函数一集合（一）集合我们说，每一组对象的全体形成一个集合（有时也简称集）集合里的各个对象叫做这个集合的元素。
含有有限个元素的集合叫做有限集；含有无限个元素的集合叫做无限集。
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法，叫做列举法。
把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，叫做描述法。
集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示。
如果是集合的元素，就说属于集合，记作；如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作。
全体自然数的集合通常简称自然数集，记作；全体整数的集合通常简称整数集，记作；全体有理数的集合通常简称有理数集，记作；全体实数的集合通常简称实数集，记作。
（二）子集、交集、并集、补集（1）子集对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作，读作“包含于”（或“包含”）。
对于任何一个集合，因为它的任何一个元素都属于集合本身，所以，也就是说，任何一个集合是它本身的子集。
不包含任何元素的集合叫做空集，记作∅。
空集是任何集合的子集。
如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于集合，那么集合叫做集合的真子集，记作。
当集合不是集合的真子集时，我们可以记作对于集合，，，如果，，那么。
对于集合，，，如果，，那么。
对于两个集合与，如果，同时，我们就说这两个集合相等，记作，读作“”。
（2）交集一般地，由所有属于集合且属于集合的元素所组成的集合，叫做，的交集，记作（可读作“交”），即。
对于任何集合，，有。
a A a A A a ∈a A a A A a ∉N Z Q R A B A B A B ）或A B B A ⊇⊆(A B B A A A A A ⊆A B B A A B ）或A B B A ⊃⊂(A B B A ⊄A B C B A ⊆C B ⊆C A ⊆A B C B A ⊂C B ⊂C A ⊂A B B A ⊆A B ⊆B A =B A 等于A B A B B A A B {}B x A x x B A ∈∈=⋂，且A B A B B A A A A A =∅=∅=，，形如的整数叫做偶数，形如的整数叫做奇数。
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第9讲 基本初等函数及反函数一．要点精讲1．幂、指数与对数的概念与运算 ①根式的概念1)定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。
即若a x n=，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， a.当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；b.当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n2)性质：a.a a nn =)(；b.当n 为奇数时，a a n n =；c.当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。
②幂的有关概念1)规定：a.∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *；b.)0(10≠=a a ；n 个c.∈=-p aapp(1Q ，d.m a aanmnm,0(>=、∈n N *且)1>n2)性质：a.r a aa a s r sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；b.r a aa s r sr,0()(>=⋅、∈s Q ）；c.∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr,0,0()( Q ）。
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
③对数的概念1)定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N ab=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,logb N a=其中a 称对数的底，N 称真数a.以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；b.以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N elog ，记作N ln ；2)基本性质：a.真数N 为正数（负数和零无对数）；b.01log =a；c.1log=a a；d.对数恒等式：N aNa=log。
3)运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则a.N M MN aaaloglog)(log +=；b.N M N Maaalogloglog -=；c.∈=n M n Mana(log logR ）.4)换底公式：),0,1,0,0,0(loglog log >≠>≠>=N m m a a aN N mm aa.1loglog=⋅a b ba ；b.b mn b anamloglog=。
2．幂函数、指数函数与对数函数①幂函数1)定义：函数)(为常数ααx y =称幂函数. a.函数的定义域为R ； b.函数的值域为R ； 2)函数图像：a.掌握5个幂函数的图像特点b.a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数c.过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1） 当a>0时过（0，0）d.幂函数一定不经过第四象限（1）指数函数： ②指数函数1)定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， a.函数的定义域为R ； b.函数的值域为),0(+∞；c.当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。
2)函数图像：a 指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；b.指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；c.对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xxa y a y -==与的图象关于y 轴对称 3)函数值的变化特征： ③对数函数1)定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数，a.函数的定义域为),0(+∞；b.函数的值域为R ；c.当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数；d.对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数2)函数图像：a.对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；b.对数函数都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）；c.对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y aa1loglog ==与的图象关于x 轴对称。
3)函数值的变化特征： 3.反函数①反函数的概念一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -= ②简单的反函数的求法步骤：一解、二换、三注明 ③互为反函数的性质互为反函数的两个函数的主要性质：①定义域、值域相反，对应法则互逆；②函数)(x f y =与)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称. ③反函数的单调性与原函数的单调性相同二．典例解析题型1：幂、指数与对数的运算 例1．63a a -⋅等于（ ） A.a --B.a -C.a -D.a例2．计算下列算式的值.①()()2320215.18336.9412--+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛例3．已知21=+-x x ，求22x x-+的值例4.7lg 142lg lg 7lg 183-+-；题型2：指数函数与对数函数的定义域与值域 例3．求下列函数的定义域与值域.①412-=x y ； ②)20lg(2x x y -=题型3：指数函数与对数函数的性质 例3．讨论下列函数的单调性： ①25)(+=x x f ； ②y =12lo g (3)x +例4．讨论下列函数的奇偶性：①()22xxf x -=+； ②()2log )f x x =+题型4：指数函数与对数函数的最值问题例5．函数xa y =(01a <<)在]2,1[上的最大值比最小值大,2a 则a 的值是多少？例6．设1,a >函数()lo g a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a 是多少？题型5：指数函数与对数函数的图像问题 例7.分别作出下列函数的图像 ①21()()2x f x +=-； ②32()lo g x f x -=题型6：幂函数例8．比较下列各组数值的大小： ①7.03.3和0.83.3； ② 3.30.8和1.28.0题型7：反函数例9．（2009年高考精典•广东理,3）若函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =（ ）A. 2lo g xB. 12lo g x C.12xD. 2x例10．( 2009年高考精典•广东文,4)若函数()y f x =是函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数，且(2)1f =，则()f x = （ ）A ．x 2logB ．x21 C ．x 21logD ．22-x题型8：指数函数与对数函数的综合问题例11．已知函数31()31xx f x -=+①求f x ()的定义域和值域；②讨论f x ()的奇偶性；③判断f x ()的单调性.三．自主学习一.选择题１．85-⎛⎝⎭化成分数指数幂为( )A ．12x-B ．415x C ．415x-D ．25x2. 函数f x x()=-23在区间()-∞，0上的单调性是（ ）A.增函数B.减函数C.常数D.有时是增函数有时是减函数 3.函数23218x x y --⎛⎫=⎪⎝⎭的增区间为 ( )A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[]1,2D ．(][),12,-∞+∞ 4. 已知310x =，则这样的x （ ）A.存在且只有一个B.存在且不只一个C.存在且x <2D.根本不存在 5.函数f x x()=-21，使f x ()≤0成立的x 的值的集合是（ ）A.{}x x <0B.{}x x <1C.{}x x =0D.{}x x =1 二.填空题 6．函数y =的定义域为___________________，值域为___________________．7．不等式282144x x--⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为________________．三.解答题8．已知()(),01x x xxa a f x a aa---=<<+①判断()f x 的奇偶性；②证明()f x 在其定义域上为减函数．。