函数与方程复习讲义
高中数学总复习(函数、方程、不等式)
改编⑥：lg→f,|A|→x1,|B|→x2, ≥→≤, 得（2002，北京理（12））如图所示（图 同⑤），fi(x)(i=1,2,3,4) 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质“对[0，1] 中任意的x1 和x2 ，任意λ∈[0，1]，f[λx1+(1-λ)x2] ≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)恒成 立的只有（ ） A.f1(x),f3(x) B.f2(x) C.f2(x),f3(x) D.f4(x)
②特例化： f(1)+f(-1)=0 解①∵f(x)是奇函数∴f(x)+f(-x)= 0 ㏒2 ∴㏒2
1 2 2 2 (3 x + 4 − a x ) 4
2
1 2 ( 3 x + 4 − ax ) 2
+㏒2
2
1 2 ( （ x）4 −a（ x） 3− + − ) 2
=0
=0，
1 2 2 2 (3 x + 4 − a x ) 4
m≥5
3 < m ≤ −3 2
高中数学总复习（ 高中数学总复习（2003） ）
函数、方程、 一、函数、方程、不等式
, ③若实数m∈(-∞,-3] ∪[5,+∞),求证 F(x)= + (1− m)x +1 在[-2，2] 上是单调函数。 1 , x ∈ ( − 3 , 5 ) 恒有意义，求实数m的取值范围。 ④已知函数G(x)= x − m 1 ⑤已知函数p(x)=lg , x ∈ ( − 3 , 5 ) 是单调函数，求实数m的取值范围。 x−m 略解：④m≤-3或m≥5
中考数学二轮复习课件 函数与方程思想
数学思想与方法选讲
——函数与方程思想
扬州市邗江区实验学校
.
1
学习目标: 探索实际生活中的数量关系和变
化规律,利用函数的性质或方程理论解 决有关的实际问题.
.
2
例1.已知二次函数 yx22xm
的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
x22xm0的解为
．
y
O 13 x
C. 6.18x6.19 D. 6.19x6.20
.
4
例3.某商场经营一批进价为2元的小商品，在市场营销中发现 日销售单价x元与日销售量y件有如下关系：
x
3
5
9Biblioteka Baidu
11
y
18
14
6
2
（1）预测此商品日销售单价为11.5元时的日销售量； （2）设经营此商品日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根 据销售规律，试求日销售利润P元与销售单价x元之间的函数关 系式，问日销售利润P是否存在最大值或最小值？若有，试求 出；若无，请说明理由；
象.请你结合这个新的图象回答：当直线 y1xbbk
2
与此图象有两个公共点时，b的取值范围.
.
6
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.
5
新高考数学复习考点知识归类与题型专题讲义11 函数与方程
新高考数学复习考点知识归类与题型专题讲义
考点十一函数与方程
考点知识归类梳理
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点三者间关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点存在性定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0
二次函数y＝ax2
＋bx＋c(a>0)
的图象
与x轴的交点两个交点一个交点无交点
零点个数210
4．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
5．二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间(a，b)，验证f(a)·f(b)<0；
第二步，求区间(a，b)的中点x1；
第三步，计算f(x1)；
①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(x1)f(a)<0，则令b＝x1 (此时零点x0∈(a，x1))；
③若f(x1)f(a)>0，则令a＝x1 (此时零点x0∈(x1，b))；
中考培优班复习——函数与方程思想专题讲解
中考培优班复习——函数与方程思想专题讲解
知识梳理
方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用，也是中考必考的内容．
课堂典型例题讲解
【例1】 如图：在△ABC 中，BA=BC=20 cm ，AC=30 cm ，点P 从点A 出发，沿AB 以每秒4 cm 的速度向点B 运动；同时Q 点从C 点出发，沿CA 以每秒3 cm 的速度向点A 运动．设运动的时间为x 秒． (1)当x 为何值时，PQ ∥BC? (2)△APQ 能否与△CQB 相似?
(3)若能．求出AP 的长；若不能．请说明理由． 【解】(1)根据题意AP=4xcm ，AQ=AC －QC=(30－30x)cm ，若PQ ∥BC ，则AP AQ
AB AC
=． 则
43032030x x -=，解得103x =．所以当103
x =s 时，PQ ∥BC ． (2)因为∠A=∠C ，所以当
AP AQ CQ CB =或AP AQ
CB CQ
=时，△APQ 能与△CQB 棚以． ①当
AP AQ
CQ CB
=时，4303320x x x -=，解得109x =． ②当
AP AQ
CB CQ
=时，4303203x x x -=，解得x 1=5，x 2=－10(舍去)．所以AP=4x=20． 所以当40
9
AP =
一轮复习课件--函数与方程-零点
－1＞0，f(14)＝4 e－2＜0.
∴由零点存在定理知，f(x)在(14，12)内存在零点．
【答案】 C
海丰县实验中 学
由此可判断：方程f(x)＝0的一个近似解为________． (精确度0.1，且近似解保留两位有效数字) 【解析】 ∵f(1.438)·f(1.406 5)＜0，且|1.438－1.406 5| ＝0.031 5＜0.1，∴f(x)＝0的一个近似解为1.4. 【答案】 1.4
海丰县实验中 学
第十六节 函数与方程
海丰县实验中 学
海丰县实验中 学
1．函数零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 成立的实数x叫做
函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图 象与 x轴 有交点⇔函数y＝f(x)有 零点 ．
海丰县实验中
2． 若函数 y＝ln x 与 y＝2x的图象的交点为(x0，y学0)，则 x0 所在的
区间为( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(e,3) D．(e，＋∞) 【解析】 令 f(x)＝ln x－2x(x＞0)， 因为 f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－23＞0， ∴f(2)·f(3)＜0， 又函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴函数 y＝f(x)的唯一零点 x0∈(2,3)．
高考数学文(二轮复习)课件 函数与方程思想
∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－ 2－k)，(－1， －1＋ －2－k)， 同理可得函数 f(x)的单调递减区间为(－1－ －2－k，－1)， (－1＋ 2－k，＋∞)． (3)由 f(x)＝f(1)，得(x2＋2x＋k)2＋2(x2＋2x＋k)－3＝(3＋k)2 ＋2(3＋k)－3， ∴[(x2＋2x＋k)2－(3＋k)2]＋2[(x2＋2x＋k)－(3＋k)]＝0， ∴(x2＋2x＋2k＋5)(x2＋2x－3)＝0. ∵k＜－6，∴－2k－4＞0，
故函数 f(x)的定义域 D 为(－∞，－1－ 2－k)∪ (－1－ －2－k，－1＋ －2－k)∪(－1＋ 2－k，＋∞)． [2x2＋2x＋k＋2]2x＋2 (2)f′(x) ＝ － 2 2 2 3 ＝ － 2[ x ＋2x＋k ＋2x ＋2x＋k－3] 2x2＋2x＋k＋1x＋1 ， [ x2＋2x＋k2＋2x2＋2x＋k－3]3 由 f′(x)＞0，得 2(x2＋2x＋k＋1)(x＋1)＜0， 即(x＋1＋ －k)(x＋1－ －k)(x＋1)＜0， ∴x＜－1－ －k或－1＜x＜－1＋ －k，结合函数的定义域 知，x＜－1－ 2－k或－1＜x＜－1＋ －2－k，
函数的主干知识、 函数的综合应用以及函数与方程思想的考 查一直是高考的重点内容之一．高考试题中，既有灵活多变的客 观性小题，又有一定能力要求的主观性大题，难度有易有难，可 以说是贯穿了数学高考整份试卷，高考中所占比重比较大．
第07讲函数与方程(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
∴ − 2 = 0在(−1,1)上有解， = 2，
其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，
解不等式，从而获解.
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
【例3】（2023·新疆·校联考二模）已知函数 = 3 + 3 2 − 4，若 存在唯一的零点0 ，且0 < 0，则的取值
②连续不断的函数()，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数()通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数()在闭区间[, ]上有零点，不一定能推出()() < .
题型一：求函数的零点或零点所在区间
【例1】（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数ℎ()是奇函数，且() = ℎ() + 2，
2
【对点训练4】（2023·河北·高三学业考试）已知函数() = − 2 +1是R上的奇函数，若函数 = ( − 2)的零点在
区间 −1，1 内，则的取值范围是（
1 1
A．(− 2 , 2)
B．(−1，1)
）
C．(−2,2)
【答案】A
D． 0，1
1 1
∴ ∈ (− 2 , 2)．
上单调递增；
所以 ∈ −
上单调递减；
当 ∈ 0, +∞ ，′ > 0， 在区间 0, +∞ 上单调递增；
第八节函数与方程 高三数学一轮复习
2
f x =
为( C )
A.1
x
− 1，则在区间 −2,6 上关于x的方程f x − log 8 x + 2 = 0的解的个数
B.2
C.3
D.4
[解析] 原方程解的个数问题等价于 = 与
= + 的图象的交点个数问题，由
+ = − ，可知 的图象关于直线 =
A.[1,2]
B.[2,3]
C.[3,4]
B )
D.[4,5]
[解析] 设 = + − ，显然函数图象是连续的，且 = − < ，
= − < ， = > ， = + > ， = + > ，
所以 ⋅ > ， ⋅ < ， ⋅ > ， ⋅ > ，故区间
[, ]可以作为初始区间.故选B.
3.若函数f x =
A. 1,3
2x
2
−
x
− a的一个零点在区间 1,2 内，则实数a的取值范围是(
B. 1,2
C. 0,3
D. 0,2
= − 的图象，如下图所示：
由图可知，函数 = 与 = − 的图象的交点个数为2，
故函数 的零点个数为2.故选C.
高考总复习：函数与方程(文) 知识梳理
函数与方程
【考纲要求】
1.了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．
3.理解函数与方程之间的关系，并能解决一些简单的数学问题。 【知识网络】
【考点梳理】
1．函数零点的理解
（1）函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数零点的个数，亦即函数图象与x 轴交点的个数． （2）变号零点与不变号零点
①若函数()f x 在零点x 0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点． ②若函数()f x 在零点x 0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点．
③若函数()f x 在区间[a ，b]上的图象是一条连续的曲线，则()()0f a f b ⋅
要点诠释：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。 2．用二分法求曲线交点的坐标应注意的问题
（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根．
（2）求曲线()y f x =与()y g x =的交点的横坐标，实际上就是求函数()()y f x g x =-的零点，即求()()0f x g x -=的根．
要点诠释：如果函数的图象不能画出，应通过适当的变形转换成另外的函数。 3．关于用二分法求函数零点近似值的步骤需注意的问题
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()()0f a f b ⋅<．
（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-），函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根． 【典型例题】
函数与方程复习公开课课件
(1) 第一步中：①区间长度尽量小；②f(a) 、 f(b) 的值比较容易
计算且f(a)· f(b)＜0；
(2) 根据函数的零点与相应方程根的关系 ， 求函数的零点与相
应方程的根是等价的．
提醒：对于方程 f(x) ＝ g(x) 的根 ， 可以构造函数 F(x) ＝ f(x) － g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根．
目录
1 (2)当 f(3)＝0 时， a＝－ . 5 13 6 此时 f(x)＝x － x－ . 5 5
2
13 6 令 f(x)＝0，即 x － x－ ＝ 0， 5 5
2
2 解之得 x＝－ 或 x＝3. 5 方程在 [－1，3]上有两根，不合题意， 1 1 故 a≠－ .综上所述， a<－ 或 a>1. 5 5
目录
跟踪训练
2.(2013· 武汉模拟)若函数f(x)在(1，2)内有一个零点，要使
零点的近似值满足精确度为 0.01，则对区间 (1， 2)至少二 等分( )
A．5次
B．6次
C．7次 D．8次 解析：选 C.设对区间 (1，2)二等分 n 次，开始时区间长为 1， 1 1 第 1 次二等分后区间长为 ，第 2 次二等分后区间长为 2，第 2 2 1 1 3 次二等分后区间长为 3，…，第 n 次二等分后区间长为 n. 2 2 1 依题意得 n＜ 0.01，∴ n＞ log2100.由于 6＜ log2100＜ 7， 2 ∴ n≥7，即 n＝ 7 为所求．
高考数学一轮复习第8讲 函数与方程
第8讲函数与方程
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈区间D)，把使01f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈区间
D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与02x轴有交点⇔函数y＝f(x)有03零点.
(3)函数零点的判定(零点存在定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有04 f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间05(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得06f(c)＝0，这个07c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点08(x
0)，(x2,0)09(x1,0)无交点
1,
零点个数102111120
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．
(5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
1．(2020·云南玉溪一中二调)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是() A．(－2，－1) B．(－1,0)
高中数学复习函数与方程
高中数学复习函数与方程
高中数学复习：函数与方程
函数和方程是高中数学中的重要内容，也是学习数学的基础。掌握了函数和方程的知识，不仅可以解决实际生活中的问题，还可以帮助我们理解更高深的数学概念和原理。本篇文章将对函数和方程进行深入的复习和总结。
一、函数的概念与性质
1.1 函数的定义
函数是一个映射关系，它将一个自变量的取值映射到一个因变量的取值。数学上，函数可以用公式、表格或图像表示。
1.2 函数的性质
函数包括定义域、值域、奇偶性、周期性等性质。其中，定义域是指函数的自变量的取值范围，值域是函数所有可能的取值。奇偶性描述的是函数关于y轴的对称性，周期性描述的是函数图像的重复性。
1.3 常见函数的图像与特点
常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线，指数函数的图像是逐渐上升或下降的曲线，对数函数的图像是逐渐趋近于y轴的曲线。
二、方程的求解方法
2.1 一次方程的求解
一次方程是指最高次数为一的代数方程。求解一次方程的方法包括等式两边加减同一数、等式两边乘除同一数等。
2.2 二次方程的求解
二次方程是指最高次数为二的代数方程。求解二次方程的方法包括配方法、因式分解法、求根公式等。
2.3 高次方程的求解
高次方程是指最高次数大于二的代数方程。求解高次方程时一般需要借助代数方法，如变量代换、因式分解等。
三、函数与方程的应用
3.1 函数方程在实际问题中的应用
函数方程在实际问题中具有广泛的应用，如利润函数、销售量函数等。通过建立函数方程，可以分析和解决各种实际问题。
总复习《第12讲 函数与方程》
范例1
变式1
变式2
题Байду номын сангаас:函数f(x)＝(x-1)(x-2) 的零点是
.
范例1
变式1
变式2
题目:函数f(x)＝(x-a)(x-b) +1，且m、n 是方程f(x)=0的两根，则
(A) m<a<b<n
(B) a<m<n<b
(C) m<a<n<b (D) a<m<b<n
范例1
变式1
变式2
题目: ◇◇见P35例题1
谢 谢 大 家！
高中数学总复习
第12讲 函数与方程
嵊州市长乐中学
知识清单
1.什么是函数的零点？
2. 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有 实根
3. 函数零点存在性定理： ② f(a)f(b)<0； 则在[a,b]内有零点.
. 函数y=f(x)图象与x轴有
交点
.
① 在[a,b]上是连续不断的一条曲线；
高三数学高三二轮复习函数与方程思想PPT
[反思领悟] 函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函 数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒 成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立 函数关系求解．
[变式训练 1] 已知 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和 3 2 奇函数，且 f(x)－g(x)＝x ＋x ＋1，则 f(1)＋g(1)等于( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3
2创新应用 应用 1 函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用 [典例 1] (1)(2016· 全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函数， 当 x＜0 时， f(x)＝ln( －x)＋3x，则曲线 y＝f(x) 在点(1，－3)处的切线方程是 ________． (2)(2016· 天津卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且在区间 － (－∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2|a 1|)＞f(－ 2)，则 a 的 取值范围是________．
[思路点拨] (1)先求当 x>0 时的函数解析式，然后再对它求 导，将 x＝1 代入导函数中得到切线的斜率，从而确定切线方程 即可． (2)利用函数的单调性列不等式求解． [ 自主解答] (1)y＝－2x－1 先利用函数奇偶性求出 x＞0 时 f(x)的解析式，再求切线方程． 因为 f(x)为偶函数，所以当 x＞0 时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x， 1 所以 f′(x)＝ －3，则 f′(1)＝－2.所以 y＝f(x)在点(1，－3)处的 x 切线方程为 y＋3＝－2(x－1)，即 y＝－2x－1.
第四章 函数与方程复习课
进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
4.实际问题的函数建模 用数学刻画实际问题
读懂问题
根据实际问题特征和掌握数学特征
建立实际问题与数学问题的联系
课前热身 1．(教材习题改编)如图所示的函数图象与x轴 均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐 标的是( ) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 答案：B
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 与零点的关系
Δ＞ 0
二次函数 y＝ax2＋ bx＋c (a ＞0)的图 象 (x1,0) ， 与x轴的 _______ (x2,0) ______ 交点 零点个数 两个
Δ＝0
Δ＜0
(x1,0)或(x2,0)
一个
无交点
零个
3.二分法的定义
f(a)· f(b)< 的函数y 对于在区间[a，b]上连续不断且_________ 0 ＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近_____ 零点， __________
0的根．
思考感悟 2．在上面的条件下，(a，b)内的零点有几个？ 提示：在上面的条件下，(a，b)内的零点至少 有一个c，还可能有其他零点，个数不确定．
[难点正本
疑点清源]
1．函数的零点不是点 函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根， 也就 是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，所以函 数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点 时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
函数与方程及函数的综合应用课件——高三数学一复习
x 1
x 1
x 1
7 200 -2=238,当且仅当2(x+1)= 7 200 ,即x=59时,等号成立,
x 1
x 1
7 200
所以L(x)=1 000- 2 x
≤1 000-238=762.
x 1
2( x 1)
因为600<762,所以当年产量为59千件时,该厂在这一商品的生产中所获
其中所有正确结论的序号是
答案 ①②④
.
考点二 函数模型及应用
1.(2023届河北衡水部分学校月考,3)已知某种食品保鲜时间与储存温度
有关,满足函数关系y=ekx+b(y为保鲜时间,x为储存温度).若该食品在冰箱中
0 ℃的保鲜时间是144小时,在常温20 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品
在高温40 ℃的保鲜时间是
A型
0.4
3
B型
ห้องสมุดไป่ตู้
0.3
4
C型
0.5
3
D型
0.4
4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是 (
A.A型
答案 D
B.B型
C.C型
D.D型
)
3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行
病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
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.函数与方程复习讲义
一．【目标要求】
①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， ②判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性.
二．【基础知识】
1．函数零点的概念：
对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。
2．函数零点与方程根的关系：
方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有点⇔函数)(x f y =有零点
3．函数零点的存在性定理：
如果函数)(x f y =在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有
0)()(
注：若()0()0f x f x ><或恒成立，则没有零点。
三．【技巧平台】
1.对函数零点的理解及补充
（1）若)(x f y =在x a =处其函数值为0，即()0f a =，则称a 为函数()f x 的零点。 （2）变号零点与不变号零点
①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。
②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。
③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(
（3）一般结论：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根。从图像上看，函数
)(x f y =的零点，就是它图像与x 轴交点的横坐标。
（4）更一般的结论：函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也 就是函数()y f x =与()y g x =的图像交点的横坐标。
2.函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法
1) 代数法：函数)(x f y =的零点()0f x ⇔=的根
2) 几何法：有些不容易直接求出的函数)(x f y =的零点或方程0)(=x f 的根，可利用
)(x f y = 的图像和性质找出零点。画
3) 注意二次函数的零点个数问题
0∆>⇔)(x f y =有2个零点()0f x ⇔=有两个不等实根 0∆=⇔)(x f y =有1个零点()0f x ⇔=有两个相等实根 0∆<⇔)(x f y =无零点()0f x ⇔=无实根
对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图像进行确定
4) 对于函数()()()F x f x g x =-的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。
5) 方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。 6) 要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。
3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。
为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数a 化为正数， （1）2
0(0)ax bx c a ++>≠恒成立00a >⎧⇔⎨
∆<⎩，2
0(0)ax bx c a ++<≠恒成立00
a <⎧⇔⎨∆<⎩
（2）2
0ax bx c ++>的解集为R 00
00a a b c >==⎧⎧⇔⎨
⎨
∆<>⎩⎩
或 2
0ax bx c ++<的解集为R 00
00
a a
b
c >==⎧⎧⇔⎨
⎨
∆<<⎩⎩或 （3）对于二次函数在区间[],a b 上的最值问题，参照第1.5（1）和1.5（2）节
4.用二分法求方程的近似解
㈠给定精确度ε，用二分法求方程的近似解的基本步骤如下：
1.精确区间[],a b D ⊆，使()(0)f a f b ⋅<.令00,a a b b ==.
2.取区间[]00,a b 的中点0001
()2
x a b =
+,计算000(),(),()f x f a f b 一般步骤 (1)如果0()0f x =,则0x 就是()f x 的零点, 计算终止；
(2) 如果00()()0f a f x <,则零点位于区间[]00,a x ,令1010,a a b x ==； (3) 如果00()()0f a f x >,则零点位于区间[]00,x b 令1010,a x b b ==。 3. 取区间[]11,a b 的中点1111
()2
x a b =
+,计算1()f x (1)如果1()0f x =,则0x 就是()f x 的零点, 计算终止；
(2) 如果11()()0f a f x <,则零点位于区间[]00,a x ,令2121,a a b x ==； (3) 如果11()()0f a f x >,则零点位于区间[]00,x b 令1121,a x b b ==。 ……
4．判断是不是达到精确度ε,即如果a b ε-<,则得到零点近似值a 或(b)； 否则就重复步骤2-4
函数与方程复习题
1.(20152)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）2
1y x =+ 【答案】A