函数与方程复习讲义

.函数与方程复习讲义

一．【目标要求】

①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， ②判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性.

二．【基础知识】

1．函数零点的概念：

对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。

2．函数零点与方程根的关系：

方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有点⇔函数)(x f y =有零点

3．函数零点的存在性定理：

如果函数)(x f y =在区间[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有

0)()(

注：若()0()0f x f x ><或恒成立，则没有零点。

三．【技巧平台】

1.对函数零点的理解及补充

（1）若)(x f y =在x a =处其函数值为0，即()0f a =，则称a 为函数()f x 的零点。 （2）变号零点与不变号零点

①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。

②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。

③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(

（3）一般结论：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根。从图像上看，函数

)(x f y =的零点，就是它图像与x 轴交点的横坐标。

（4）更一般的结论：函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也 就是函数()y f x =与()y g x =的图像交点的横坐标。

2.函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法

1) 代数法：函数)(x f y =的零点()0f x ⇔=的根

2) 几何法：有些不容易直接求出的函数)(x f y =的零点或方程0)(=x f 的根，可利用

)(x f y = 的图像和性质找出零点。画

3) 注意二次函数的零点个数问题

0∆>⇔)(x f y =有2个零点()0f x ⇔=有两个不等实根 0∆=⇔)(x f y =有1个零点()0f x ⇔=有两个相等实根 0∆<⇔)(x f y =无零点()0f x ⇔=无实根

对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图像进行确定

4) 对于函数()()()F x f x g x =-的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。

5) 方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。 6) 要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。

3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。

为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数a 化为正数， （1）2

0(0)ax bx c a ++>≠恒成立00a >⎧⇔⎨

∆<⎩，2

0(0)ax bx c a ++<≠恒成立00

a <⎧⇔⎨∆<⎩

（2）2

0ax bx c ++>的解集为R 00

00a a b c >==⎧⎧⇔⎨

⎨

∆<>⎩⎩

或 2

0ax bx c ++<的解集为R 00

00

a a

b

c >==⎧⎧⇔⎨

⎨

∆<<⎩⎩或 （3）对于二次函数在区间[],a b 上的最值问题，参照第1.5（1）和1.5（2）节

4.用二分法求方程的近似解

㈠给定精确度ε，用二分法求方程的近似解的基本步骤如下：

1.精确区间[],a b D ⊆，使()(0)f a f b ⋅<.令00,a a b b ==.

2.取区间[]00,a b 的中点0001

()2

x a b =

+,计算000(),(),()f x f a f b 一般步骤 (1)如果0()0f x =,则0x 就是()f x 的零点, 计算终止；

(2) 如果00()()0f a f x <,则零点位于区间[]00,a x ,令1010,a a b x ==； (3) 如果00()()0f a f x >,则零点位于区间[]00,x b 令1010,a x b b ==。 3. 取区间[]11,a b 的中点1111

()2

x a b =

+,计算1()f x (1)如果1()0f x =,则0x 就是()f x 的零点, 计算终止；

(2) 如果11()()0f a f x <,则零点位于区间[]00,a x ,令2121,a a b x ==； (3) 如果11()()0f a f x >,则零点位于区间[]00,x b 令1121,a x b b ==。 ……

4．判断是不是达到精确度ε,即如果a b ε-<,则得到零点近似值a 或(b)； 否则就重复步骤2-4

函数与方程复习题

1.(20152)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）2

1y x =+ 【答案】A