第二章补充

显然 σ圆 的直径即为 R(z)
F
f O
z1 F ′
z2
如果已知 R1, R2 , L
z 可以通过画出两个 σ圆
即分别以R1和R2为直径画圆 两圆相交的交点即为侧焦点， 显然， z = 0 及等价共焦腔可求。
过F且与过 F ′′的z轴相切
A
π圆
F
x
f
F ′′
O′ O
z
z
F′
ΔOFF ′′与ΔF ′′FA相似
f
F1
1 + (l / f )2
ω0
(l − F )2 + f 2
l2 = F2 时
ω0′′ = F2 ω0′ f ′
f
′
=
F12 f 2 l2 + f 2
M ′ = F2 ⋅ 1 + (l / f )2 = M ⋅ 1 + (l / f )2
F1
补充: 高斯光束的模匹配问题
ω0
F
ω 0′
I
l l0
=
1-
1 M
2
L
M 2 P2 a1′
a1
a2
l1
l2
镜M1对波面尺寸的单程放大率
m1
=
a1′ a1
=
l1
+ l1
L
镜M2对波面尺寸的单程放大率
m2
=
a 2′ a2
=
l2 + L l2
几何自再现波形在非稳腔内往返一次的放大率： M = m1m2
a ′2
a1′
R1 + R2 = 2 L
a1
a2
对于对于望远镜型虚共焦腔
ω 01
F
ω 02
I
l1
l2
II
l0
已知两谐振腔的几何参数如图,求 l1 和 l2 及透镜焦 距F应满足的关系。
q 0′Βιβλιοθήκη =Aq 0 + Cq 0 +
B D
q 0′
=
if
′=
i π ω 0′ 2 λ
q 0 = if
其中：
⎡A
⎢ ⎣
C
B⎤
D
⎥ ⎦
0
=
T l2 T F T l1
l1
=
F
±
ω 01 ω 02
四、共轭像点之间的关系
1、利用球面镜成像公式：
M 1 , R1
P1
L
M 2 , R2
P2
1+ 1 = 1 l l′ Ｆ
2、符号定义
l1
l2
物距像距：l1 、 l2
在反射镜后方(腔外)为正
Ｆ＝ Ｒ ２
在反射镜前方(腔内)为负
Ｒ 凹 + ； Ｒ 凸 －
对于R1： l1 > 0, (L + l2 ) < 0, R1 < 0
改善方法:
先用短焦距透镜将光束聚焦，再 用长焦透镜进行准直。(理由?)
倒置的望远镜系统获得最佳的准直效果:
ω0
ω0′
l1
F1
l2 = F2
准直倍率:
ω0′ =
F
M ′ = θ0 = θ0 ⋅ θ0′ = ω0′ ⋅ ω0′′ θ0′′ θ0′ θ0′′ ω0 ω0′
l1 >> F1 时
ω0′ ω0
=
所以：
AF ′′ = x xf
由
ω
2
(z)
=
ω
2 0
[1
+
(
z f
)2 ]
令：
F ( z) = πω 2 ( z) λ
F ( z) == f 2 + z 2 f
F(z)⋅ z = f 2 + z2
显然 AF ′′ = F (z) = πω 2 ( z) λ
4、 高斯光束聚焦小结
(1) 选用短焦距透镜。
腔内有实焦点,模体积小,不实用.构成望 远镜系统.
R1 / 2
R2 / 2
R1 + R2 = 2 L，g1 + g 2 = 2 g1 g 2
虚共焦腔望远镜系统(正支望远镜非稳腔)
三、非稳腔的几何自再现波形
系统中总存在一对轴上共轭像点P1和P2,对腔的两个反射 镜,P1和P2互为源和像,是一对共轭像点。由这一对共轭像点 发出的球面波满足在腔内往返一次的自再现条件。
f 2 = 0 .25 m
透镜两侧光斑半径相等: q1 = q10 + l1 = if1 + l1
q 2 = q 20 + l2
1 q
=
1 R
−
i
λ πω 2
(l
)
取虚部
l1 = 0 .39 m
l 2 = 0 .11 m
透镜两侧光斑曲率半径满足:
1 = l1 +
l2 + L2
F
l2 2
+
f12
(l2 + L2 )2 +
像方高斯光束的束腰位置和束腰半径公式的
其它表达方式：
(l
−
F )2
+
f
2
=
(l (l′
− −
F F
) )
F
2
(3 )
(I)
(l − F )2 +
f2
=
ω
2 0
ω 0′ 2
F2
=
f F2 f′
(4 )
(II) F
q0
q0′
=
Aq 0 Cq 0
+ +
B D
⎜⎜⎝⎛
A C
q0′ 得:
Af = Df ′ B + Cff ′ = 0
1 R2
f
2 2
=
1 R1
−
1 F
F
= 0.34m
§2.13 光束衍射倍率因子
核心问题：激光束的质量好坏如何描述？ 时域质量？空域质量？
一、描述激光束空域质量的参数 1、聚焦光斑尺寸、远场发散角
缺陷：经过光学系统后这些参数要变。
2、光腰尺寸和远场发散角的乘积
基模：
ω0θ 0
=
ω
0
×
2λ πω 0
=
2λ π
1−
ΔS1 S1
=
1 m1
再到M1镜反射
1 m2
一次往返腔内能量： 1 M
所以，输出耦合率为： 1 − 1 M
对于三维反射镜，输出耦合率为：
P1点发出的球面波到
a2′ P1 M 1
L
a1
M 2 P2
达M2镜位置时，截面
a1′
积为 πa1′2
，
πa
2 2
a2
面积的能量经M2反射 回到腔内。
l1
定义反馈系数：
数学上，二维反射镜可只对x 方向上做有界积分，y方向上 无能量损失。三维反射镜需对 x、y两个方向上做有界积分。
a y >> a x x
ax z
七、非稳腔的能量损耗
非稳腔中由于逸出腔外而损耗掉的能量份额，是超出镜面 的那部分波面的面积与整个波面面积之比决定。合理的设 计下，可使损耗即为输出。
对于二维反射镜，输出耦合率为： 1 − 1 M
(2) 让物光束腰斑远离透镜焦点，满足 l >> F 和
l >> f
(3) 取 l = 0 ，并设法满足条件 f >> F 。
二、高斯光束的准直
1、核心问题：减小发散角，提高方向性。
2、方法：①用单透镜；② 用望远镜。 3、单透镜法
无论F、l 取何值，都不能使 ω0′ → ∞ ，即不能 使 θ0′ → 0 ，只能尽量改善方向性。
m1
=
a1′ a1
=1
m2
=
a 2′ a2
=
R1 / 2 R2 / 2
=
R1 R2
所以，单程放大率
M
= m1m2 =
R1 R2
六、二维反射镜和三维反射镜
二维反射镜：指无限窄带形反射镜，x方向镜面尺寸与y轴方 向镜面尺寸相比，可以认为y方向尺寸无限大，不损失能量。
三维反射镜：x方向镜面尺寸 与y轴方向镜面尺寸可比拟。
其中：
gi
=1−
L Ri
, (i
= 1,2)
对于典型的非对称虚共焦腔(三维反射镜) ，通常两个反射
镜都是全反射镜，结构如图。输出平行平面光束。
R1 / 2
R2 / 2
近场图案
Spot of arago(衍射效应) 远场图案：近似均匀分布，中心暗斑消失。
远场图案
五、非稳腔的几何放大率
a2′ P1 M 1
R1 > 0
R2 → ∞
L > R1
g1g2 < 0
R1 > L, R2 < L, or
R1 + R2 < L,
R1 < L, R2 > L
g1g2 < 0
非对称实共焦腔非稳腔
R1 / 2 R2 / 2
5、凹凸非稳腔
R1 > 0, R2 > 0, R1 + R2 > L
g1g2 > 1
R1 + R2 = 2 L，g1 + g 2 = 2 g1 g 2
1− 1 =− 2
l1 L + l2
R1
对于R2： ( L + l1 ) < 0, l2 > 0, R2 < 0
− 1 + 1 =− 2
L + l1 l2