子博弈完美均衡

uE (l ( w ))
2
宏观动态博弈的均衡解
• 方法：后退归纳法 • 假设工人选择了货币工资增长率w，中央银行 选择了通货膨胀率π，雇主的最优决策为：
uE (l ( w )) 2
l ( w )
*
• 上 式 就 是 经 济 学 的 总 就 业 函 数 （ aggregate employment function）
局中人1
抗拒
• 结论：（坦白，坦白）是重复囚徒博弈的子博 弈完美均衡。 • 君子永远斗不过小人
例、两阶段博弈：银行挤兑
• 两个投资者各具银行存款D，银行将这两 笔存款用于一长期项目。如果在项目到 期之前银行被迫抽回资金，仅可挽回2r， 其中D>r>D/2。若到期后再收回，连本带 息将得到2R，R>D。
• 局中人没有发生坦白的事件
( 1 )(1 2 ) 1
• 有局中人发生坦白的事件，并一直坦白下去
( 1 )(1 t 2 t 1 0 ) 1
1 ( 1 )(1 t 2 t 1 0 )


y* y t t
公众的决策目标
• 公众总是简单的试图正确预测通货膨胀 率。
e 2 max ( t t ) e
t
博弈均衡
• 中央银行决策规则
2 m t2 1 A * n e Ec 0 ( yt yt ) a (m t m t ) 0 t t 0 (1 r ) m t 2 2
Y
(r,r)
(2R-D,D) (Y,N)
(r,r)
(r,r)
(r,r)
(r,r)
(D,2r-D)
(D,2r-D)
(D,2r-D)
(D,2r-D)
(N,Y)
(N,N)
(2r-D,D)
(2r-D,D)
(2r-D,D)
(2r-D,D)
(R,R)
(D,2R-D)
(2R-D,D)
(R,R)
1 Y 2 N (D,2r-D) Y (2r-D,D) Y (R,R) (Y,Y)
1 Y 2 Y (r,r) N N
Y
N
1 N
2
(D,2r-D) (2r-D,D) Y
Y
N
Y
N (R,R)
(R,R) (2R-D,D) (D,2R-D)
1 Y 2 N (D,2r-D) Y (2r-D,D) Y (R,R) (Y,Y)
(Y,Y) (Y,N)
N N
策略型表示
1 Y 2 N Y (D,2R-D) (N,Y) N (R,R) (N,N) N
2 A 1
左 B 1 左2 2 右2 2
1
右 A 1 左3 2 右3 2
2 B 1 左4 2 右4 2
左1 2
A1
右1 2
B1 A1
z2 z3
A2 B2 A2 B2 A3 B3 A3 B3 A4 B4 A4 B4 B1 z4 z5 z6 z7 z8 z9 z10 z11 z12 z13 z14 z15 z16
工人
中央银行
雇主
wt
πt
lt
工人的决策目标
• 劳动力供给曲线：
l s rt
• 雇主最终选择的雇佣增长率水平L，最大 的劳力供给于L相差无几是工人的愿望， 因为这预示着工人的空闲或失业可能减 少而实际收入有所提高。因此选择货币 工资增长率w，极大化其效用函数：
uw (l ( w )) 2
子博弈完美均衡
• 定义：展开型博弈的一个策略组合称为 子博弈完美均衡，如果对于该展开型博 弈的每一个子博弈，该策略组合都是 Nash均衡。 • 后退归纳法相应的策略组合是子博弈完 美均衡。
h1 1 左 h1 A 右 2 h2 2 D （2,7）
2
2
B
C
（3,1）
（5,6）（4,2）
（A,C）
左 右
0.5
• 大智若愚 • 人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人
中央银行的决策目标
• 中央银行关心就业增长率水平与通货膨 胀这两个因素，试图利用它的政策手 段—π—指导就业增长率水平与通货膨胀 率趋于它们的目标值。最大化其效用函 数：
uc (l l ) 2 ( ) 2
雇主的决策目标
• 劳动力需求曲线：
l d rt
• 雇主的策略是选取就业增长率水平L，极 大化其效用函数：
h1
L (2,2)
L (3,1)
R
h1 h21 L R h21 L R (0,0)
R
A C
h12 h2
2
(2,2) B
(3,1)
D
D C
(2,-2) (-2,2) (-2,2) (2,-2)
• 结论：策略组合(R,0.5),(L,0.5)是混合策略 子博弈完美均衡
五、宏观金融博弈模型
1、完全信息宏观金融博弈分析


1
yt * yt
• 根据卢卡斯供应曲线:
yt yt a( mt mte )
n
a 0
• 中央银行的决策目标为:
min
mt Ec 0 t 0
m t2 1 A * n e 2 ( yt yt ) a (m t m t ) t 2 (1 r ) 2
2
A
h2 D C
B
D
(L,C) (L,A) (L,B) 2,2 2,2 3,1 3,1
(-2,2) (-2,2) (2,-2) (R,C) (R,D) 2,2 2,2 2,-2 -2,2 2,2 2,2 -2,2 2,-2
(R,A) (R,B)
• 结论：无纯策略子博弈完美均衡
混合策略子博弈完美均衡
l 2 w ( ) 2 ( w) 2 2 l w 2 ( ) ( ) 2
2
w l
*
• 倒推回去得：
l 2 w * 2 l ( l ) 2 l
t h ,h
1
lim sup(i , h1, h2 , t ) 0
2
• 那么该无限多阶段博弈称为在无穷远处连续。
• 定理：在可观察行动的无限多阶段博弈 中，策略组合 s是子博弈完美 s满足一阶段偏离条件
例、无限次囚徒博弈
• 由一阶段偏离准则知： （坦白，坦白）仍然是 无限次重复囚徒博弈的子博弈完美均衡。 • 当δ=1/(1+r)>0.5时，策略组合： 在第一阶段：（背叛，背叛） 只要没有一个局中人在某阶段选择行动坦白， 双方就一直采取行动（背叛，背叛） 如果任何一个局中人在某阶段选择行动坦白， 双方就一直采取行动（坦白，坦白） 是子博弈完美均衡。
1,1 0,0.5 0,0.5
1,1 3,1 2,2
习题：寻找子博弈完美均衡
1
L
(2,2)
R
2
L
(3,1) A
R
1 B 2 C D C D
(2,-2) (-2,2) (-2,2) (2,-2)
h1 L (2,2) L (3,1) C (2,-2) (L,D) 2,2 2,2 3,1 3,1 R h21 R h12
（A,D）
（B,C）
（B,D）
3,1 4,2
3,1 2,7
5,6 4,2
5,6 2,7
1 左 2 右 2 B (1,1) C (0,0.5) D
A
(2,0)
1
E
(3,1)
F
(2,2)
(A,C)
(左,E) (右,E) (右,F)
(A,D)
(B,C)
(B,D)
2,0 0,0.5 0,0.5
2,0 3,1 2,2
(Y,Y) (Y,N)
N
子博弈完美均衡
N
1 Y 2 N Y (D,2R-D) (N,Y) N (R,R) (N,N) N
Y
(r,r)
(2R-D,D) (Y,N)
(r,r)
(r,r)
(r,r)
(r,r)
(D,2r-D)
(D,2r-D)
(D,2r-D)
(D,2r-D)
(N,Y)
(N,N)
(2r-D,D)
卢卡斯供应曲线
yt yt a( t te )
n
a 0
• 表明实际经济增长等于潜在经济增长加 上非预期通货膨胀的影响。
yt yt a( mt mte )
n
a 0
中央银行的决策目标
A t2 2 m in Ec0 ( yt * yt ) yt 2 ( 1 r )t 2 t 0


• 完全信息静态博弈中中央银行的最优决 策为
A 2 A mt ( yt* ytn ) mte 1 2 A 1 2 A
公众的理性预期

t
e t
Nash均衡解
• 完全信息静态博弈中中央银行的最优决 策为
A 2 A mt ( yt* ytn ) mte 1 2 A 1Байду номын сангаас 2 A
• 中央银行选择通货膨胀率π，使得下式极 大化：
uc (l l ) 2 ( ) 2
( ( w ) l ) 2 ( ) 2
l 2w 2
*
• 工人选择货币工资增长率w，极大化其效 用函数：
u w (l ( w )) 2 ( ( w ) ( w )) 2
• 分析前提 （1）博弈双方——货币政策制定者和公众在博 弈中及其对手的特征、策略空间、支付函数以 及经济的实际运行状况都具有准确的知识，没 有任何不确定性。 （2）博弈双方均能在其客观的约束条件下，作 出能最优的实现其决策目标的理性决策，即博 弈分析的对象是理性人的理性行为及其均衡。
（3）决策时序为：在每一周期开始时，公众根 据自己拥有的知识和信息形成该时期的通货膨 胀预期πe，并据此调整自己的经济行为，签定 名义工资、利率和价格合同；然后中央银行视 通货膨胀为给定的，选择能够最优化自己目标 函数的货币供给增长率m。 （4）中央银行对货币供给具有完全的控制能力， 实际货币供给增长率m等于计划货币供给增长 率mp。 （5）不存在真实供给冲击和货币流通速度变化 的影响，通货膨胀率π等于货币供给增长率m， 通货膨胀预期πe等于货币供给增长率预期me。
2
l * ( * w * ) 0
宏观经济动态模型子博弈完美均衡解
* w l * l l* 0
第二部分 完全信息动态博弈
第三章 多阶段博弈
第一节 可观察行动多阶段博弈
• 1、定义：又称几乎完美信息的博弈。是 指 （1）在第k阶段中所有的局中人在选择行 动时知道在此以前的阶段所选择的行动。 （2）在每一个k阶段，所有的局中人同时 行动。
(2r-D,D)
(2r-D,D)
(2r-D,D)
(R,R)
(D,2R-D)
(2R-D,D)
(R,R)
3、无限多阶段博弈
• 在无穷远处连续定义：对于任意的两个无限水 平历史h1与h2，记
(i , h1 , h2 , t ) ui (h1 ) ui (h2 ) / ht 1 ht 2
• 对每一个局中人i，如果
z1
2、有限范围博弈的一阶段偏离准则
• 定义：策略组合s满足一阶段偏离条件是 指：没有一个局中人i通过在某单阶段偏 离然后再与s一致而获利。
• 定理：在可观察行动的有限多阶段博弈 中，策略组合 s是子博弈完美 s满足一阶段偏离条件
例、具有静态均衡的有限重复囚徒博弈
局中人2 坦白 抗拒
坦白
0,0 -1,2 2,-1 1,1
te mt A( yt* ytn )
• 由于期望经济增长率大于潜在经济增长 率，说明完全信息条件下相机选择的货 币政策具有通货膨胀倾向。
2、宏观动态经济博弈
• 局中人：工人、中央银行、雇主 • 博弈类型：完美信息动态博弈 • 先后次序：在第一时期，工人选取他们 将在第二时期工作的货币工资增长率， 他们是在不知道下一期间的价格水平情 况下作出决策的；在第二期间的开始时， 中央银行选择通货膨胀率；然后雇主选 取就业增长率水平。