2011实变函数复习要点
实变函数(全)总结
An An
nN
n 1
An An
N 1n N
n 1
limAn(limsup An)
n
n
{x : N, n N,使x An}
An
N 1nN
An AN
nN
An AN
N 1n N
N 1
例 设A2n1
(1
1 n
,1
1 n
),
A2n
(n,n),n N,则
limAn (,) n
集簇：{A | }或{A }
为指标集，为指标
特别当 N 时，称集簇为集列，记为{An}
集簇的并
A B {x : x A或x B}
A {x : ,使x A }
集簇的交
A B {x : x A且x B}
A {x : ,有x A }
例
设An
{x:1 1 n源自x11 n
,1
1 n
],
n
N
,
则
lim n
An [0, 4)
limAn (0,1]
n
[
-1
0
[
]
1
2
]
3
4
limAn(limsup An)
n
n
{x : N, n N,使x An}
An
N 1nN
limAn(liminf An)
n
n
{x : N,n N,有x An}
An
N 1nN
（补充）例1
1)若{An}单调增加,则lim An An;
n
n1
2)若{An}单调减少，则 lim An An.
n
n1
单调增集列极限分析
关于实变函数教学的几点注记
关于实变函数教学的几点注记实变函数是高等数学中的重要内容之一，也是数学分析的基础。
在大学数学教学中，实变函数的教学显得尤为重要，因为它不仅是学生们学习更高级数学的基础，也是培养他们分析和解决问题的能力的重要途径。
在实变函数的教学过程中，教师需要注意许多方面的问题，才能使学生对实变函数有深刻的理解和掌握。
以下是一些关于实变函数教学的几点注记，供教师们参考。
1. 强调基本概念的理解和应用在实变函数的教学中，首先要确保学生对基本概念的理解和应用。
对于实变函数的定义、极限、连续性和导数等概念，学生们必须能够准确理解其含义，并能够应用到具体问题中去。
教师可以通过举例、图像和实际应用等方式，帮助学生理解这些概念，使其在实践中灵活运用。
只有对基本概念有深刻的理解，才能够更好地理解和掌握后续的内容。
2. 突出重点和难点的讲解实变函数作为高等数学的重要内容，本身就有一定的难度，而且其中也有一些重要的定理和概念，对学生来说尤为重要。
在教学中，教师应该突出重点和难点的讲解，对于一些重要的定理和概念，可以进行深入浅出的阐述，帮助学生深入理解。
对于一些容易出现错误的地方，也要着重讲解，防止学生出现误解或错误的掌握。
3. 注重实际应用和启发思考实变函数的概念和方法在实际中有着广泛的应用，而且也可以启发学生的思考和创新。
在教学中，教师可以通过引入一些实际问题，让学生将所学的方法和概念应用到实际问题中，从而加深对知识的理解。
也可以通过引入一些思考性的问题，让学生在解决问题的过程中锻炼逻辑思维和分析能力。
在这个过程中，学生可以不断探索、解答问题，形成对知识的更加系统和全面的理解。
4. 强化练习和实战在实变函数的教学过程中，练习和实战是至关重要的。
只有通过大量的练习，学生才能够更加熟练地掌握基本的概念和方法，对知识有更深刻的理解。
教师应该设计大量的练习题，并且注重讲解和指导学生解题方法。
也可以引入一些实战性的题目，让学生在实际应用中巩固所学的知识。
实变函数知识点总结
实变函数知识点总结
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。
以下是实变函数的一些重要知识点总结：
1. 定义域和值域
实变函数的定义域是实数集，即函数可以接受任何实数作为自变量。
而函数的值域则是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
2. 极限
极限是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
当自变量趋近于某一点时，函数的输出值也会趋近于一个特定的值，这个值就是函数在该点的极限。
3. 连续性
连续性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的连续程度。
如果函数在某一点处的极限等于该点的函数值，那么该函数在该点处是连续的。
4. 导数
导数是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数可以用来求函数的最大值、最小值以及函数的凸凹性等。
5. 积分
积分是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一区间内的面积或体积。
积分可以用来求函数的平均值、总和以及函数的变化趋势等。
6. 奇偶性
奇偶性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的对称性。
如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。
7. 周期性
周期性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的重复性。
如果函数满足f(x+T)=f(x)，那么该函数是周期函数，其中T 为函数的周期。
以上是实变函数的一些重要知识点总结，掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用实变函数。
实变函数知识归纳总结
定理 6 若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则 A ∪ B ～ A 由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射； 设 B = {b1 , b2 ,
} 为可数集， A ∩ B = ∅ ，由性质１知，Ａ存在可数子集
A1 = {a1 , a 2 ,
} ，作映射 f : A ∪ B → A
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
α ∈Λ
∩ ζ α 是 X 上的环（或代数） 。
, 有 ∩ En ∈ ζ ； n =1
, 有 lim En ∈ζ , lim En ∈ζ ； n→∞
n→∞
∞
(α ∈ Λ ) 为 X 上 σ
环（ σ 代数） ，则 ∩ ζα 是 X 上 σ 环（ σ
α∈Λ
代数） 。
定理 8 设 A 是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数，
−1
( ∩ B )= ∩T
α∈Λ α α∈Λ
−1 c
−1
( Bα )( Bα ⊂ Y,α ∈Λ) ;
c
−1
( B ) = (T ( B ) )
由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好 注解：①、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为
空集即可； ②、 一般T -1 (T ( A) ) ⊃ A，当T为单射时,有T -1 (T ( A) ) = A ③、 一般T T −1 ( B ) ⊂ B，当T为满射时,有T T −1 ( B ) = B 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 二、集合的势 定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称集合 A 与Ｂ对等， 记为 A~B 注解：①、对等关系是等价关系 ②、设 {
α∈Λ α∈Λ
实变函数知识点
实变函数知识点实变函数是一种常见的数学函数类型，它在数学分析中有着非常重要的地位。
在这篇文章中，我们将详细探讨实变函数的知识点，包括什么是实变函数、实变函数的定义、实变函数的性质、实变函数的极限和导数、实变函数的应用等内容。
一、什么是实变函数实变函数是指$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$的函数，即定义域为实数集$\mathbb{R}$的函数，也称为一元实函数。
它以实数为自变量，实数为函数值。
实变函数主要研究实数集上的性质和变化规律。
二、实变函数的定义实变函数的定义有多种方式，常用的有以下几种：1. 函数图像法根据函数的图像来定义实变函数，即$f(x)$的定义域为实数集$\mathbb{R}$，函数值为其图像上对应点的纵坐标。
2. 显式函数法显式函数是通过代数式直接给出函数的定义，如$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$。
3. 隐式函数法隐式函数一般是指如下形式的方程：$F(x,y)=0$，其中$x$和$y$都是实数变量。
如果存在实数集上解析的函数$f(x)$，使得$y=f(x)$是$F(x,y)=0$的解，那么就称$y=f(x)$为隐式函数。
4. 参数方程法将$x$表示为参数$t$的函数$x(t)$，将$y$表示为参数$t$的函数$y(t)$，则$f(x)=f(x(t))=f(t)$为参数方程法。
五种定义方式中，显式函数和隐式函数是最常用的方法。
三、实变函数的性质实变函数具有多种性质，下面介绍一些重要的性质：1. 奇偶性若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数；若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；若既不是奇函数也不是偶函数，则称$f(x)$为一般实变函数。
2. 周期性若存在正实数$T$，使得$\forall x\in \mathbb{R},f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为以$T$为周期的周期函数。
实变函数内容、方法与技巧
实变函数内容、方法与技巧实变函数是数学中一个重要的概念，在实分析中被广泛研究和应用。
本文将介绍实变函数的内容、方法与技巧。
1.实变函数的定义：实变函数是指定义在实数集上的函数，其自变量和因变量都是实数。
常见的实变函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2.实变函数的基本性质：实变函数有一些基本的性质。
首先，实变函数可以进行运算，包括加法、减法、乘法和除法。
其次，实变函数具有定义域和值域，即函数的自变量和因变量的取值范围。
此外，实变函数还有奇偶性、周期性等特点。
3.实变函数的连续性：连续性是实变函数研究中的一个重要概念。
一个函数在某一点处连续，意味着函数在该点的极限存在，并且与函数在该点的值相等。
实变函数在定义域上连续，可以用极限的性质来描述。
4.实变函数的一致连续性：一致连续性是连续性的更强形式。
一个实变函数在整个定义域上一致连续，意味着对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，当自变量的取值在某个区间内时，函数值的变化小于ε。
一致连续性是实变函数相对于局部连续性更一般的性质。
5.实变函数的可导性：可导性是实变函数中的另一个重要概念。
一个函数在某一点处可导，意味着函数在该点的导数存在。
实变函数可导与实变函数在该点处连续是不同的概念。
可导函数具有一些重要的性质，如导数的线性性、链式法则、微分中值定理等。
6.实变函数的积分：积分是实变函数研究中的一个重点内容。
实变函数的积分有两种形式：定积分和不定积分。
定积分是指对函数在一个区间上的积分，可以用来计算函数在该区间上的面积、弧长、体积等。
不定积分是指求函数的原函数，可以用来求解微分方程、计算复合函数的积分等。
7.实变函数的级数展开：级数展开是实变函数研究中的另一个重要内容。
一个实变函数可以用其在某个点处的泰勒级数来近似表示，通过截断级数可以得到函数的近似值。
级数展开在计算、物理学等领域有广泛的应用。
8.实变函数的图像与性质：实变函数的图像可以用来观察函数的性质。
实变函数复习要点
2011实变函数复习要点第一章 集合（一）考核知识点1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。
2. 对等和基数及其性质。
3. 可数集合的概念及其性质。
4. 不可数集合的概念及例子。
（二）考核要求 1. 集合概念识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。
2. 集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。
De Morgan 公式ΓααΓαα∈∈=c c A A )( ΓααΓαα∈∈=cc A A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。
例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等。
例 N n x x A n n n ∈-≤<--=},11:{11设]0,1[1-=⋂∞=n n A ，)1,2(1-=⋃∞=n n A3. 对等与基数（1）识记：集合的对等与基数的概念。
（2）综合应用：集合的对等的证明 例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应。
4. 可数集合（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。
（2）综合应用：可数集合的性质。
5. 不可数集合识记：不可数集合的概念、例子。
第二章 点集 （一）考核知识点1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。
2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。
3. 开集、闭集及其性质。
4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。
（二）考核要求1. 度量空间，n 维欧氏空间识记：邻域的概念、有界点集概念。
2. 聚点、内点和界点识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。
如 聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞→如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞→3. 开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。
实变函数期末考试重点
实变函数考试重点题目第一章：求极限 Eg ：求1(,)n A n n=的上下极限下极限1111lim inf (,)(,)(0,)n nm n m m A n m n m ∞∞∞======+∞上极限1111lim sup (,)(,)(0,)n nm n mm A n m n m ∞∞∞======+∞P24页 第5题5、设F 是]1,0[上全体实函数所构成的集合,c F 2=.证明：(1)设)(x E χ为E 的示性函数,]}1,0[|{⊂=E E A ,F E x B E ⊂⊂=]}1,0[|)({χ,显然B A ~,于是F B A c ≤==2；(2)设]}1,0[|))(,{(∈=x x f x G f ,}|{F f G C f ∈=,}]1,0[|{R ⨯⊂=P P D ,显然D C F ⊂~,于是cD C F 2=≤=,总之,c F 2=.P30页 定理1 定理2 P35页 第2 12题2.设一元实函数)()(R C x f ∈⇒R ∈∀a ,})(|{a x f x G >=是开集,})(|{a x f x F ≥=是闭集.证明：(1)G x ∈∀0,取0)(0>-=a x f ε,因)()(0x C x f ∈,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δ<-||0x x 时, ε<-|)()(|0x f x f ,即a x f x f =->ε)()(0,从而G x N ⊂),(0δ,所以G 是开集.(2)F x '∈∀0,∃互异点列F x k ⊂}{..t s 0x x k →,显然a x f k ≤)(,因)()(0x C x f ∈,有a x f x f k k ≤=∞→)(lim )(0,即F x ∈0,于是F F ⊂',所以所以F 是闭集.12、设实函数)()(nC x f R ∈⇔O ∈∀G ,O ∈-)(1G f.证明：“⇒”O ∈∀G ,)(10G fx -∈∀,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε, 从而)(1G fx -∈,于是)(),(10G fx N -⊂δ,所以O ∈-)(1G f.“⇐”n x R ∈∀0,0>∀ε,由于O ∈=)),((0εx f N G , 那么O ∈∈-)(10G fx ,这样0>∃δ..t s )(),(10G fx N -⊂δ,从而)(),(10G f x N x -⊂∈∀δ,均有)),(()(0εx f N x f ∈,即)()(nC x f R ∈.P42页 定理4P44页 定理2 定理3定理2：∀非空n E R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .P45页 第5.6题5、设非空n E R ⊂,则),(E P ρ在n R 上一致连续.证明：0>∀ε,取εδ=,n Q P R ∈∀,,只要δρ<),(Q P ,由于),(),(),(E Q Q P E P ρρρ+≤,),(),(),(E P P Q E Q ρρρ+≤,有ερρρ<≤-),(|),(),(|Q P E Q E P ,所以, ),(E P ρ在n R 上一致连续.6、∀非空⊕C ∈21,F F ⇒)()(nC P f R ∈∃..t s 1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.证明：显然)(),(),(),()(211nC F P F P F P P f R ∈+=ρρρ,1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.P54页 定理（3）（4） P57页 第5 7题5、设实函数)(x f 在],[b a 上连续,}),(|),{(b x a x f y y x E ≤≤==,证明0*=E m . 证明：因为],[)(b a C x f ∈,于是)(x f 在],[b a 上一致连续,那么0>∀ε, 0>∃δ, ..t s 当δ<-||t s ,时,ε<-|)()(|s f t f .取δ<-na b ,将],[b a 进行n 等分,其分点为b x x x a n =<<<= 10,记],[1i i i x x I -=,])(,)([εε+-=i i i x f x f J ,显然,)(}),(|),{(11ni i ini i J II x x f y y x E ==⨯⊂∈==,∑∑==⨯=⨯≤≤ni i ini i iJ m Im J Im E m 11*)]()([)(0εε)(2)2(1a b na b ni -=⋅-=∑=,于是,由ε的任意性,知0*=E m .7、0*>E m ,证明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .证明：反证.假设E x ∈∀,0>∃x δ,使得0)),((*=x x N E m δ ,当然存在以有理数为端点的区间x I ..t s ),(x x x N I x δ⊂∈,由于}{x I 至多有可数个,记作}{k J ,有)(1∞=⊂k kJE E 那么0)(01**=≤≤∑∞=k k J E mE m ,这与条件0*>E m 不符,说明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .P65页 定理5 定理6 P68页 第4 5 9 11题4、设M ⊂}{m E ,证明m mm mmE E m inf lim )inf lim (≤.又+∞<∞=)(1m m E m ,证明m mm m mE E m sup lim )sup lim (≥.证明：因m m k k E E ↑⊂∞= ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m inf lim lim)()inf lim (1≤==∞=∞→∞=∞=.又因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<∞=)(1 m m E m ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m sup lim lim)()sup lim (1≥==∞=∞→∞=∞=.5、设M ⊂}{m E ,+∞<∑∞=1)(m m E m ,证明0sup lim =m mmE .证明：因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<≤∑∞=∞=11)()(m mm m Em E m ,有0)(lim)(lim )()sup lim (01=≤==≤∑∞=∞→∞=∞→∞=∞=mk km mk k m m mk km mEm E m E m E m,所以0sup lim =m mmE .P103页 第2题2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈∀a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,于是],)(;[21E E x a x f x E ∈>n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11 所以)(x f 也是21E E 上的非负可测函数.P104页 第6 11题6、设实函数)()(n C x f R ∈,证明:M ∈∀E ,均有)()(E x f M ∈. 证明：M ∈∀E ,R ∈∀a ,显然O ∈+∞=),(a G ,下面证明M ∈-)(1G f.},)(|{)(10nx a x f x G fx R ∈>=∈∀-,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,这样对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε,从而)(1G f x -∈,于是)(),(10G f x N -⊂δ,那么M O ⊂∈-)(1G f.由于M ∈=∈>=--)(},)(|{)(11G f E E x a x f x G f,所以)()(E x f M ∈.11、设)(x f 是E 上的可测函数,)(y g 是R 上的连续函数,证明)]([x f g 是E 上的可测函数.证明：R ∈∀a ,因)()(R C y g ∈,若O ∈-∞=),(a G ,有O ∈<=-})(|{)(1a y g y G g由于})]([|{a x f g x x <∈⇔a x f g <)]([⇔)()(1G g x f -∈⇔)]([11G gfx --∈,于是M ∈=<--)]([})]([|{11G gf a x fg x ,所以)()]([E x f g M ∈.P117页 第2题2、设K x f k ≤|)(|..e a E ,)()(x f x f mk →E x ∈, 证明K x f ≤|)(|..e a E . 证明：+∈∀N m ,当mx f x f k 1|)()(|<-,K x f k ≤|)(|时,mK x f x f x f x f k k 1|)(||)()(||)(|+<+-≤,于是]1|)(|;[m K x f x m mE m +≥= ]|)(|;[]1|)()(|;[K x f x m m x f x f x m k k >+≥-≤0]1|)()(|;[→≥-≤mx f x f x m k ,∞→k ,有0=m mE ,因↑}{m E ,有0lim ]|)(|;[==≥∞→m m E K x f x m 所以K x f ≤|)(|..e a E .课件 第四章第四节 倒数第2~5题3、定理：设)()(x f x f mk →,)()(x g x f mk →E x ∈, 则)(~)(x g x f E. 证明： +∈∀N k m ,, 若mx f x f k 21|)()(|<-,mx g x f k 21|)()(|<-,有mx g x f x f x f x g x f k k 1|)()(||)()(||)()(|<-+-≤-,于是 ]1|)()(|;[m x g x f x E ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[m x g x f x E m x f x f x E k k ≥-≥-⊂ ,从而]1|)()(|;[m x g x f x mE ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[mx g x f x mE m x f x f x mE k k ≥-+≥-≤000=+→, 又因∞=≥-=≠1]1|)()(|;[)]()(;[m mx g x f x E x g x f x E ,有 0)]()(;[=≠x g x f x mE ,所以)(~)(x g x f E.1、设)()(x f x f mk →,)()(x g x g mk →,E x ∈, 证明)()()()(x g x f x g x f mk k ++→. 证明：已知,0>∀σ,当2|)()(|σ<-x f x f k ,2|)()(|σ<-x g x g k ,时,σ<-+-≤+-+|)()(||)()(||)]()([)]()([|x g x g x f x f x g x f x g x f k k k k ,由于)()(x f x f m k →,)()(x g x g mk →,E x ∈,有]|)]()([)]()([|;[0σ≥+-+≤x g x f x g x f x m k k0]2|)()(|;[]2|)()(|;[→≥-+≥-≤σσx g x g x m x f x f x m k k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk k ++→.2、设)()(x f x f mk →,)()(E x g M ∈且几乎处处有限, 证明)()()()(x g x f x g x f mk →. 证明：已知,)()(x f x f mk →,)(x g 在E 上几乎处处有限,那么0>∀σ,0>∀ε,0>∃K ..t s2]|)()(|;[εσ<≥-Kx f x f x m k , 2]|)(|;[ε<≥K x g x m ]|)()()()(|;[σ≥-x g x f x g x f x m k ]]|)(||)()(|;[σ≥-≤x g x f x f x m k]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m K x f x f x m k ≥+≥-≤σεσ<≥+≥-≤]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m Kx f x f x m k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk →.3、设0)(→mk x f ,证明0)(2→mk x f .证明：已知,0)(→mk x f ,那么0>∀σ,0>∀ε,..t s εσ<≥-]|)()(|;[x f x f x m k ,有εσσ<≥=≥-]|)(|;[]|0)(|;[2x f x m x f x m k k ,所以0)(2→mk x f .。
实变函数知识点简要总结
实变函数知识点简要总结实变函数是数学分析中的一个重要概念。
它是指定义在实数集上的函数，其定义域和值域都是实数集。
实变函数在数学科学中有着广泛的应用，并且在实际问题中也扮演着重要的角色。
本文将从实变函数的定义、性质和应用等方面进行阐述。
实变函数的定义是指定义在实数集上的函数。
在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
实变函数的自变量和因变量都是实数，而不是其他类型的数值。
实变函数通常用符号表示，比如f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
实变函数具有一些特性和性质。
首先是定义域和值域。
实变函数的定义域是所有自变量的取值范围，而值域是所有因变量的取值范围。
其次是奇偶性。
实变函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
再次是单调性。
实变函数可以是递增函数或递减函数，也可以是常数函数。
最后是极限和连续性。
实变函数可以有极限和连续性，这是分析实变函数性质的重要工具。
实变函数在数学科学中有着广泛的应用。
首先是在微积分中的应用。
微积分是研究变化的数学分支，实变函数是微积分研究的基础。
微分学研究实变函数的导数和微分，积分学研究实变函数的积分。
实变函数的微分和积分是求解实际问题中的关键步骤。
其次是在概率论和统计学中的应用。
概率论和统计学是研究随机现象的数学分支，实变函数在概率论和统计学中起到了重要的作用。
实变函数的分布函数、概率密度函数和特征函数等在概率论和统计学中有着广泛的应用。
此外，实变函数还应用于物理学、工程学、经济学等领域。
实变函数是数学分析中的一个重要概念。
它是定义在实数集上的函数，具有一些特性和性质。
实变函数在数学科学中有着广泛的应用，并且在实际问题中也扮演着重要的角色。
通过对实变函数的研究和应用，我们可以更好地理解和分析数学和自然界中的现象。
关于实变函数教学的几点注记
关于实变函数教学的几点注记实变函数是数学中的一个重要分支，它常常作为大学数学学科中基础课程的一部分，被广泛地教授。
以下是几点关于实变函数教学的注记：1.理解实变函数理解实变函数是实变函数教学的第一步，学生需要明确实变函数的概念、定义、性质、分类等相关知识，以便快速建立该学科的基础。
要让学生正确理解实变函数，教师需要提高教学效率，突出知识点，尤其是性质的讲解，配合实例进行解释，从而帮助学生快速掌握实变函数的相关知识和技能。
2.建立基础概念建立基础概念是实变函数教学的重要环节。
教师需要让学生理解一些基础的概念，如单调性、连续性、可微性、导数、积分等。
这些基本概念是建立在实变函数的基础上的，如果学生不能正确理解这些基础概念，将无法顺利地进行实变函数的进一步学习。
3.注重实际应用实变函数具有广泛的应用场景，如在工程中的工控系统、信号处理、控制系统、通信等领域，以及在物理学、经济学、生物学等学科中，都有重要的作用。
在实变函数的教学过程中，教师需要注重实际应用，让学生能够理解实变函数在现实生活中的应用场景，并能够掌握如何运用实变函数解决实际问题。
4.强化课堂互动在实变函数的教学中，教师要注重课堂互动，使学生更加主动地参与到课堂中来，增强学生对知识的兴趣和主动性。
在课堂中可以采用举例、讨论、分组讲解等方式，使学生能够更加深入了解实变函数，促进思维的发散和创新，从而提高实变函数教学的效果。
5.鼓励学生探究实变函数的教学需要鼓励学生探究，教师需要引导学生自主思考、独立探究，积极参与探究实变函数的规律和特性。
通过探究实变函数的规律和特性，学生可以更好地理解实变函数的概念和定义，从而达到更好的学习效果。
总的来说，实变函数虽然是大学数学的基础课程之一，但其实际应用价值非常广泛。
在实变函数的教学中，教师需要注重理解实变函数、建立基础概念、注重实际应用、强化课堂互动和鼓励学生探究，从而促进实变函数教学的效果，让学生能够获得更好的学习成果。
实变函数知识点简要总结
实变函数知识点简要总结一、实变函数的定义实变函数是指自变量和函数值都是实数的函数。
它的定义域和值域都是实数集。
二、实变函数的分类1. 一元实变函数：自变量只有一个，函数的形式为y = f(x)。
例如：y = x²，y = sin(x)等。
2. 多元实变函数：自变量有多个，函数的形式为z = f(x₁, x₂, ..., xₙ)。
例如：z = x₁² + x₂²，z = sin(x₁) + cos(x₂)等。
三、实变函数的性质1. 定义域和值域：实变函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数的所有可能的输出值。
2. 连续性：实变函数在定义域内的每个点都有定义，并且在这些点上具有极限。
连续性可以用极限的概念来描述。
3. 导数和微分：实变函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线斜率。
微分则是导数的微小变化。
4. 极值和最值：实变函数在某些点上可能达到极大值或极小值，称为极值点，并且有可能在整个定义域上取得最大值或最小值。
5. 函数的图像：实变函数的图像是函数曲线在坐标系中的表示，可以通过画出函数的图像来对函数进行可视化。
6. 函数的变换：对实变函数进行平移、伸缩、翻转等操作，可以得到新的函数，这些操作可以改变函数的图像和性质。
四、实变函数的应用实变函数在数学和物理等领域有广泛的应用，例如：1. 数学分析：实变函数是数学分析的基础，通过研究实变函数的性质和性质，可以推导出许多数学定理和结论。
2. 物理学：实变函数可以用来描述物理量之间的关系，例如速度和时间的关系、力和位移的关系等。
3. 经济学：实变函数可以用来描述经济模型中的供求关系、成本和收益关系等。
4. 工程学：实变函数可以用来描述工程设计中的参数关系、系统响应等。
总结：实变函数是数学中重要的概念，它可以描述自变量和函数值之间的关系。
通过研究实变函数的性质和应用，可以深入理解数学和其他学科中的相关知识。
了解实变函数的定义、分类、性质和应用，有助于提高数学思维能力和问题解决能力。
(完整版)实变函数论主要知识点
实变函数论主要知识点第一章 集 合1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习： ①证明()()A B C A BC --=-； ②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+；2、 对等与基数的定义及性质；练习： ①证明(0,1)； ②证明(0,1)[0,1]；3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；第二章点集1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。
n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。
具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。
内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。
3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor集的构造和性质；5、练习：①P =，P'=，P=；②111,,,,2n'⎧⎫⎨⎬⎩⎭= ；第三章测度论1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、零测度集的例子和性质；4、可测集的例子和性质；练习：①mQ=，mP=；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E的相关结论；5、存在不可测集合；第四章可测函数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；第五章 积 分 论1、非负简单函数L 积分的定义；练习： ①Direchlet 函数在1上的L 积分2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；4、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、Riemann 可积的充要条件；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数不是R-可积的；6、Lebesgue 可积的充要条件：若f 是可测集合E 上的有界函数，则f 在E 上L-可积⇔f 在E 上可测；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数是L-可积的；②设3,()10,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。
关于实变函数教学的几点注记
关于实变函数教学的几点注记
实变函数是数学分析中的重要概念，在大学数学课程中一般会在微积分和实分析等学
科中详细讲授。
在教学过程中，教师需要注意以下几点注记。
一、定义和基本概念的引入
二、实函数的连续性和极限
实变函数教学中的重点内容是连续性和极限理论。
在教学中，应注重贯穿性和层次性，从实数集的基本性质和有界性、上极限和下极限等概念出发，引入实函数的极限、连续性
的概念和定义，并介绍连续函数和间断点的概念及其判定方法。
三、微分和积分
微积分是实变函数教学中重要的章节。
教学内容主要包括实函数的导数、微分、积分
等概念，以及导函数和函数图像的关系、积分的性质和计算等方面。
在教学中应重视观念
性和运算性相结合，注重例如导数计算、中值定理、牛顿—莱布尼茨公式、区间积分和广
义积分的引入和讲解。
四、举例和应用实例
在实变函数教学中，适当举例和提供应用实例可以帮助学生更好地理解和掌握概念。
教师可以通过物理、几何、化学等实际问题，引导学生学会用实变函数这个工具来解决实
际问题，同时在教学过程中注意例子的严谨性和充分性。
五、注意教学方法
实变函数教学内容较为抽象，需要采取切实有效的教学方法。
例如，可以采用彩色课件、动态演示、图示讲解等方式，充分利用计算机和多媒体等现代技术手段，让学生更好
地理解和掌握概念。
同时，通过练习和课堂交流，逐步增强学生的实际操作和应用实践能力，使学生能够熟练掌握实变函数的概念和基本理论，为今后的数学学习打下坚实的基础。
实变函数知识点总结(杂)
1 集合的运算 一、集合的概念 定义 1 设有两个集合 A，B。
若 x ∈ A ，必有 x ∈ B ，则称 A 是 B 的子集或 B 包含 A，记为 A ⊂ B或B ⊃ A 。 若 A ⊂ B ，且存在 x ∈ B 满足 x ∉ A ，则称 A 是 B 的真子集。 若 A ⊂ B且B ⊂ A ，则称 A 与 B 相等或相同。
②、设{Aα | α ∈ Λ},{Bα | α ∈ Λ} ，其中{Aα } 两两互不相交，{Bα } 两两互
α 不相交。若对任意的
∈Λ，有 Aα ~
Bα
，则 ∪ α∈Λ
Aα
~
∪
α ∈Λ
Bα
定义 4 如果集合 A 与 B 对等，则称 A 与 B 有相同的势或基数，记为 A = B （其
中 A 表示 A 的势或基数） 定义 5 设集合 A 与 B，记 A = α , B = β ，
如果 A~ B1 ⊂ B ，则称α 不大于 β ，记为 A = α ≤ β = B ，
如果α ≤ β且α ≠ β ，则α 小于 β ，记为 A = α < β = B
注解：对于有限集来说，基数可以看作集合中元素个数，而对于无限集，其基 数表示所有对等集合共同的属性。
结论：（1）映射 T 是从 A 到 B 的单射，则 A ≤ B
（3）分配律 A ∩ (B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) 。
更一般地有
( ) ( ) （4） A∪
∩
α∈Λ
Bα
=∩ α∈Λ
A ∪ Bα
；
( ) ( ) （5）
A∩
∪
α∈Λ
考研实变函数知识点梳理
考研实变函数知识点梳理实变函数是数学分析中的重要内容，考研数学中也是一个必考的知识点。
掌握实变函数的理论和应用对于考研数学的学习至关重要。
本文将对考研实变函数的主要知识点进行梳理，以便考生系统学习和复习。
一、实变函数的定义和基本性质实变函数是指定义域为实数集，值域也为实数集的函数。
在考研数学中，我们通常会遇到实变函数的定义和基本性质的考查。
1. 实变函数的定义：实变函数f是一个以实数集为定义域、实数集为值域的映射，即f: R→R。
2. 实变函数的有界性：若存在常数M>0，对于定义域上的任意一个x，都有|f(x)| ≤ M，则称实变函数f在定义域上有界。
3. 实变函数的单调性：若对于定义域上的任意两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) ≤ f(x2)，则称实变函数f在定义域上是递增的；若f(x1) ≥ f(x2)，则称实变函数f在定义域上是递减的。
4. 实变函数的奇偶性：若对于定义域上的任意一个x，有f(-x) = -f(x)，则称实变函数f在定义域上是奇函数；若f(-x) = f(x)，则称实变函数f在定义域上是偶函数。
二、实变函数的极限和连续性实变函数的极限与连续性是实变函数理论的核心，也是考研数学中的重点内容。
在考研数学中，经常会考查实变函数的极限和连续性的相关概念和定理。
1. 实变函数的极限：对于实变函数f，若存在常数L，对任意给定的ε>0，存在着常数δ>0，当0 < |x - x0| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，则称实变函数在x0处的极限为L，记作lim┬(x→x0)〖f(x)=L〗。
2. 实变函数的连续性：若对于实变函数f在定义域上的任意一点x0，都有lim┬(x→x0)〖f(x)=f(x0)〗成立，则称实变函数f在定义域上连续。
三、实变函数的导数实变函数的导数是实变函数理论中的重要内容，也是高等数学中的重点内容。
实变函数复习要点
实变函数复习要点实变函数是指定义域为实数集，值域为实数集的函数。
在复习实变函数的要点时，我们可以从以下几个方面入手：1.函数的定义与表示：回顾函数的基本定义，即一个变量映射到唯一的函数值。
再回顾函数的表示方法，如函数图像、表达式、数列等。
2.函数的性质与分类：函数常具有有界性、单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
了解这些性质的定义，并学会根据给定条件判断函数的性质。
另外，实变函数可分为初等函数和非初等函数，初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
3.基本运算：复习函数的基本运算法则，包括函数的加减乘除、复合函数和反函数等。
了解这些运算方法可以帮助我们进行函数的简化与分析。
4.函数的极限：函数的极限是函数理论中的重要概念。
复习函数的极限定义与相关定理，如极限的唯一性、有界性、保序性、四则运算法则等。
还要学会计算函数的极限，并理解极限的几何和物理意义。
5.函数的导数与微分：复习导数的定义与性质，包括导数的存在性、可导性与连续性之间的关系，以及导数的基本运算法则。
进一步学习高阶导数、隐函数与参数方程的导数，并应用导数进行函数的近似与最值计算。
6.函数的积分与不定积分：再次回顾函数积分的定义与常见的积分法则，如分部积分法、换元积分法等。
学习计算函数的不定积分和定积分，并理解积分的几何和物理意义。
7.函数的级数表示与展开：了解函数级数的定义与相关定理，如函数级数的收敛性、绝对收敛性、一致收敛性等。
学习级数展开及其应用，如泰勒级数、傅里叶级数等。
8.函数的图像与应用：绘制函数的图像，了解函数在不同区间的特点和行为。
掌握函数在各种应用问题中的求解方法，如函数的最值、极值与拐点、函数的增减性与凹凸性、函数的模型建立与优化等。
9.常见函数的特殊性质与应用：通过实例了解部分特殊函数的性质与应用，如阶乘函数、取整函数、莫比乌斯函数等。
10.综合应用与思考：通过解答真实问题和综合应用题，巩固所学的实变函数的知识，培养动手实践能力和思考能力。
实变函数期末总结高中
实变函数期末总结高中一、实变函数的定义及基本性质1. 实变函数的定义实变函数是指定义域和值域都是实数的函数。
一般情况下，实变函数可以用解析式表示，例如：y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
关于实变函数的定义，我们需要注意以下几点：（1）实变函数的定义域是指函数自变量能取到的所有实数的集合。
（2）实变函数的值域是指函数因变量能取到的所有实数的集合。
（3）在实变函数中，自变量和因变量之间存在着一种确定的对应关系。
2. 实变函数的性质（1）有界性：实变函数的定义域上，函数值是否有上界或下界。
（2）单调性：实变函数的增减趋势是递增还是递减。
（3）奇偶性：实变函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴对称，或者具有某种周期性。
（4）周期性：实变函数在某一区间上是否有重复的特点。
（5）连续性：实变函数在定义域上是否连续。
（6）可导性：实变函数在某一点处是否存在导数。
二、实变函数的常见类型及特点1. 基本初等函数（1）常数函数：f(x) = c，其中c为常数。
常数函数的图像是一条水平直线。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数。
当n为偶数时，函数图像关于y轴对称；当n为奇数时，函数图像关于原点对称，同时具有单调增或单调减的特点。
（3）指数函数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。
指数函数的图像呈现出递增或递减的特点。
（4）对数函数：f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1。
对数函数的图像关于y=x对称，并且图像从左下到右上递增。
（5）三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的图像具有周期性。
2. 变量变换实变函数的研究常常需要通过变量变换来简化表达式或改变函数的性质。
（1）平移变换：对于函数y=f(x)，平移变换的一般形式为y=f(x-h)+k，其中h表示x轴上的平移量，k表示y轴上的平移量。
平移变换可以改变函数图像的位置。
（2）伸缩变换：对于函数y=f(x)，伸缩变换的一般形式为y=af(bx)+c，其中a表示y轴上的伸缩因子，b表示x轴上的伸缩因子，c表示y轴上的平移量。
关于实变函数教学的几点注记
关于实变函数教学的几点注记实变函数是高等数学中的重要内容，也是数学教学中的重点和难点之一。
如何教好实变函数，需要注重以下几点。
一、引导学生理解实变函数的概念和基本性质实变函数一般指定义域是实数集的函数。
在教学中，要引导学生理解实变函数的定义、自变量、因变量、定义域、值域、函数图象等基本概念。
还要关注实变函数的基本性质，如可加性、可乘性、增减性、奇偶性、周期性、有界性等。
通过具体的例子和问题，让学生通过观察和分析，逐渐形成对实变函数的概念和性质的直观理解。
二、重点讲解实变函数的基本函数和常见函数实变函数的基本函数主要包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
在教学中，要围绕这些基本函数展开讲解，深入理解它们的定义和性质。
要引导学生认识到这些基本函数是实变函数的重要组成部分，它们之间存在着内在的联系和相互转化的关系。
还需要讲解常见的函数变形、函数组合、函数求导等技巧，培养学生运用这些技巧的能力。
三、注重实变函数与实际问题的联系实变函数作为数学的一种工具，与实际问题的联系是教学的重要内容之一。
在教学中，要引导学生运用实变函数的知识和技巧解决实际问题，加强实际问题与实变函数的联系，培养学生运用数学方法解决实际问题的能力。
通过分析物理、生物、经济等方面的问题，引导学生建立相应的数学模型，运用实变函数的知识进行分析和求解。
四、强化实变函数的运算和性质的讲解和练习实变函数的运算和性质是实变函数学习的重要内容。
在教学中，要通过大量的例题和练习题，让学生掌握实变函数的基本运算规则和性质。
特别要注重实变函数的求导和积分运算，这是实变函数学习的核心内容。
要引导学生掌握求导和积分的方法和技巧，并能熟练地应用于实际问题的求解。
在实变函数的教学中，要注重培养学生的数学思维能力，加强实际问题与实变函数的联系，强化运算和性质的讲解和练习，引导学生理解实变函数的概念和基本性质，使学生能够全面掌握实变函数的知识和技能，提高数学学习的质量和效益。
关于实变函数教学的几点注记
关于实变函数教学的几点注记实变函数是高等数学中的重要内容之一，它是描述实数集到实数集的映射关系的函数。
在实变函数的教学过程中，需要重点注意以下几个方面。
对实变函数的定义和基本概念进行讲解。
实变函数是指定义域和值域都是实数集的函数。
其定义包括函数的定义域、值域、图象以及极限的相关概念。
在讲解时可通过具体例子引导学生理解，并从生活实际中找到实变函数的一些应用场景，增加学生的兴趣和认知。
重点介绍实变函数的基本性质。
包括实变函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性，以及与导数和积分的关系等。
这些性质对于理解和分析实变函数的行为非常重要，而且在实际问题中也有重要应用。
教师可以通过一些具体的例子和练习，引导学生理解这些性质的具体应用。
介绍实变函数的连续性和可导性。
连续性是实变函数的重要特征之一，它描述了函数图像的连续性和断点的性质。
可导性则描述了函数在某一点处的变化率。
在教学中，可以通过定义和定理的讲解，引导学生理解连续和可导的概念，并通过一些实例和练习，培养学生分析函数连续性和可导性的能力。
介绍实变函数的应用。
实变函数在自然科学和社会科学中有广泛的应用，如物理、化学、经济等领域。
在教学中，可以适当引入一些实际问题和案例，帮助学生理解实变函数在实际问题中的应用，并鼓励学生思考和解决实际问题。
实变函数作为高等数学的重要内容，其教学过程需要注重培养学生的数学思维和应用能力。
通过引入具体例子、应用实例和相关练习，帮助学生理解实变函数的定义和概念，掌握实变函数的基本性质和应用，并能够灵活运用于实际问题的求解中。
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2011实变函数复习要点
第一章 集合
（一）考核知识点
1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。
2. 对等和基数及其性质。
3. 可数集合的概念及其性质。
4. 不可数集合的概念及例子。
（二）考核要求 1. 集合概念
识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。
2. 集合的运算
（1）识记：集合的并、交、补概念。
De Morgan 公式
I Y Γ
ααΓ
αα∈
∈=
c c A A )( Y I ΓααΓαα∈∈=c
c A A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。
例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等。
例 N n x x A n n n ∈-≤<--=},11:{1
1设
]0,1[1
-=⋂∞=n n A ，)1,2(1
-=⋃∞
=n n A
3. 对等与基数
（1）识记：集合的对等与基数的概念。
（2）综合应用：集合的对等的证明 例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应。
4. 可数集合
（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。
（2）综合应用：可数集合的性质。
5. 不可数集合
识记：不可数集合的概念、例子。
第二章 点集 （一）考核知识点
1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。
2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。
3. 开集、闭集及其性质。
4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。
（二）考核要求
1. 度量空间，n 维欧氏空间
识记：邻域的概念、有界点集概念。
2. 聚点、内点和界点
识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。
如 聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系
如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞
→
如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞
→
3. 开集，闭集
（1）识记：开集、闭集的概念。
（2）综合应用：开集和闭集的充要条件以及开集和闭集的性质。
例如何证明一个集合为开集 例如何证明一个集合为闭集
如A 为闭集当且仅当A 中的任意收敛点列收敛于A 中的点 （即闭集为对极限运算封闭的点集）
4. 直线上的开集的构造
（1）识记：直线上的开集的构造及构成区间的概念。
例设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=,求G 的构成区间.
解：G 的构成区间为(0,2)、(3,4)
（2）简单应用：康托集
Cantor 集的基数为C
第三章 测度论 （一）考核知识点
1. 外测度的定义以及简单性质。
2. 可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）和可测集的性质。
3. 零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其可测性；G δ型集、F σ型集；可测集的构成。
（二）考核要求 1. 外测度
（1）综合应用：外测度的定义。
如设B 是有理数集，则0=*B m Cantor 集的外测度为0
例 两个集合的基数和它们的外测度的关系 （2）综合应用：外测度的性质。
非负性： 0≥*
A m 单调性：
B m A m B A **≤⊂
，则若
次可数可加性：n n n n A m A m *1
1
*
)(∑
∞
=∞=≤⋃
2. 可测集
（1）识记：可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）。
（2）分析：可测集的性质。
可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭 3. 可测集类
（1）简单应用：零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其可测性；G δ型 集、F σ型集。
零集、区间、开集、闭集、G δ型集（可数个开集的交）、F σ 型集（可数个闭集的并）、Borel 型集（从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。
例 零测度集：单点集、有理数集、康托集 例 零测度集与可数集的关系
例“开集类”，“波雷尔集类”，“可测集类”，“δG 型集类” 之间的关系。
（2）综合应用：可测集的构成。
可测集与开集、闭集只相差一小测度集
εε<-⊂∃>∀)(,0)1E G m G E G E 且，使得开集可测，则若
反之也成立，即证明设0,,G E ε>∃⊃开集使*
()m G E ε-<，则E 是可测集。
εε<-⊂∃>∀)(,0)2F E m E F F E 且，使得闭集可测，则若
反之也成立，即证明设0>ε，存在闭集E F ⊂，使得ε<-)(*
F E m ，则E 是
可测集
可测集可由G δ型集去掉一零集，或F σ型集添上一零集得到。
1)若E 可测，则存在G δ型集 G , 使0)(=-⊂E G m G E 且 即设E 是L 可测的，G 是δG 集，则存在零测集N ，使 E = G- N. 2)若E 可测，则存在F σ型集F , 使0)(=-⊂F E m E F 且
即设E 是L 可测的，F 是σF 集，则存在零测集N ，使E = F + N.
第四章 可测函数 （一）考核知识点
1. 可测函数的定义及其等价定义、可测函数的性质和可测函数与简单函数的关系。
2. 叶果洛夫定理及逆定理。
3. 鲁津定理及逆定理。
4. 依测度收敛的定义、性质、Riesz 定理、勒贝格定理。
（二）考核要求 1. 可测函数及其性质
（1）简单应用： 可测函数的定义及其等价定义。
（3）综合应用：可测函数的性质。
零集上的任何函数都是可测函数 简单函数是可测函数
可测集E 上的连续函数f (x )必为可测函数
在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
即： 设f (x )=g (x ) a.e.于E ， f (x )在E 上可测，则g (x )在E 上也可测。
可测函数关于子集、并集的性质 可测函数类关于四则运算封闭
可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。
2. 叶果洛夫定理及逆定理
识记：叶果洛夫定理。
可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛
证明叶果洛夫定理的逆定理：设函数列()n f x (1,2,)n =L 在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，则()..n f x a e 收敛于()f x 。
3. 可测函数的构造
可测函数和连续函数的关系 识记：鲁津定理
可测函数“基本上”是连续函数（鲁津定理）。
证明鲁津定理的逆定理：设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ⊂，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，则()f x 是E 上的可测函数。
4. 依测度收敛
（1）识记：依测度收敛的定义、性质。
（2）综合应用：Riesz 定理、勒贝格定理。
处处收敛和依测度收敛的关系 一致收敛和依测度收敛的关系
E
f f n 于⇒E
u a f f n 于..→E
e a
f f n 于..→叶果洛夫定理mE<+∞
Lebesgue 定理
mE<+∞
叶果洛夫逆定理
子列
Riesz 定理
子列
第五章 积分论 （一）考核知识点
1. 勒贝格积分的定义、勒贝格积分与黎曼积分的关系。
2. 勒贝格积分的性质。
3. 勒贝格控制收敛定理 （二）考核要求 1.勒贝格积分的定义
（1）简单应用：勒贝格可积的充要条件。
设f (x )是可测集)(∞<⊂mE R E q
上的有界函数，则 f (x )在E 上可积的充要条件是f (x )在E 上可测。
（2）分析：L 积分与R 积分的关系。
若有界函数()x f 在闭区间[]b a ,上黎曼可积，则()x f 在[]b a ,上也是勒贝格可积的，且二者积分值相等。
()x f 在[]b a ,上黎曼可积的充要条件是()x f 在[]b a ,上的不连续点所成之集测度为零。
3. 勒贝格积分性质
评价：勒贝格积分性质 利用积分的性质计算L 积分
例 ()[][]⎩⎨
⎧∈⋂∈=Q
x Q x x D \1,01,0,
0,1,
()()[]001]1,0[]1,0[1,0=+=⎰⎰⎰-⋂Q
Q dx x D L
5. 积分的极限定理
分析：勒贝格控制收敛定理。
利用勒贝格（Lebesgue)控制收敛定理计算R 积分
关于考核目标说明
识记（了解）：指能够对有关名词、概念、知识、术语作出正确解释，并能记住和正确表述出来。
简单应用（会）：在识记的基础上，能够进一步深入全面地把握基本概念、基本原理，使所学知识融汇贯通，能够正确运用。
综合应用（掌握）：能够正确熟练地简单应用所学知识，处理相关一般性问题。
分析（熟练掌握）：在理解掌握所学知识的基础上用所学知识分析解决实际问题。
评价（融会贯通）：在熟练掌握所学知识，对实际问题分析解决的基础上，并进一步做出评价。