2011实变函数复习要点

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第一章 集合

（一）考核知识点

1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。

2. 对等和基数及其性质。

3. 可数集合的概念及其性质。

4. 不可数集合的概念及例子。 （二）考核要求 1. 集合概念

识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。 2. 集合的运算

（1）识记：集合的并、交、补概念。 De Morgan 公式

I Y Γ

ααΓ

αα∈

∈=

c c A A )( Y I ΓααΓαα∈∈=c

c A A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。 例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等。

例 N n x x A n n n ∈-≤<--=},11:{1

1设

]0,1[1

-=⋂∞=n n A ，)1,2(1

-=⋃∞

=n n A

3. 对等与基数

（1）识记：集合的对等与基数的概念。

（2）综合应用：集合的对等的证明 例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应。 4. 可数集合

（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。 （2）综合应用：可数集合的性质。 5. 不可数集合

识记：不可数集合的概念、例子。 第二章 点集 （一）考核知识点

1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。

2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。

3. 开集、闭集及其性质。

4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。

（二）考核要求

1. 度量空间，n 维欧氏空间

识记：邻域的概念、有界点集概念。 2. 聚点、内点和界点

识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。 如 聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系

如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞

→

如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞

→

3. 开集，闭集

（1）识记：开集、闭集的概念。

（2）综合应用：开集和闭集的充要条件以及开集和闭集的性质。 例如何证明一个集合为开集 例如何证明一个集合为闭集

如A 为闭集当且仅当A 中的任意收敛点列收敛于A 中的点 （即闭集为对极限运算封闭的点集）

4. 直线上的开集的构造

（1）识记：直线上的开集的构造及构成区间的概念。

例设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=,求G 的构成区间.

解：G 的构成区间为(0,2)、(3,4)

（2）简单应用：康托集

Cantor 集的基数为C

第三章 测度论 （一）考核知识点

1. 外测度的定义以及简单性质。

2. 可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）和可测集的性质。

3. 零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其可测性；G δ型集、F σ型集；可测集的构成。 （二）考核要求 1. 外测度

（1）综合应用：外测度的定义。

如设B 是有理数集，则0=*B m Cantor 集的外测度为0

例 两个集合的基数和它们的外测度的关系 （2）综合应用：外测度的性质。 非负性： 0≥*

A m 单调性：

B m A m B A **≤⊂

，则若

次可数可加性：n n n n A m A m *1

1

*

)(∑

∞

=∞=≤⋃

2. 可测集

（1）识记：可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）。 （2）分析：可测集的性质。

可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭 3. 可测集类

（1）简单应用：零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其可测性；G δ型 集、F σ型集。

零集、区间、开集、闭集、G δ型集（可数个开集的交）、F σ 型集（可数个闭集的并）、Borel 型集（从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。

例 零测度集：单点集、有理数集、康托集 例 零测度集与可数集的关系

例“开集类”，“波雷尔集类”，“可测集类”，“δG 型集类” 之间的关系。 （2）综合应用：可测集的构成。 可测集与开集、闭集只相差一小测度集

εε<-⊂∃>∀)(,0)1E G m G E G E 且，使得开集可测，则若

反之也成立，即证明设0,,G E ε>∃⊃开集使*

()m G E ε-<，则E 是可测集。

εε<-⊂∃>∀)(,0)2F E m E F F E 且，使得闭集可测，则若

反之也成立，即证明设0>ε，存在闭集E F ⊂，使得ε<-)(*

F E m ，则E 是

可测集

可测集可由G δ型集去掉一零集，或F σ型集添上一零集得到。 1)若E 可测，则存在G δ型集 G , 使0)(=-⊂E G m G E 且 即设E 是L 可测的，G 是δG 集，则存在零测集N ，使 E = G- N. 2)若E 可测，则存在F σ型集F , 使0)(=-⊂F E m E F 且

即设E 是L 可测的，F 是σF 集，则存在零测集N ，使E = F + N.