不等式知识点与题型总结

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不等式的性质知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、不等式的基本性质

不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.

1. 两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件）

（1）（传递性，注意找中间量）

（2）（同向可加性）

（3）（同正可乘性，注意条件为正）

注：如，其逆命题不成立，如但是.

2. 一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据

（1）.

（2）（对称性）

（3）（乘正保号性）

（4）

（5）（不等量加等量）

（6）（乘方保号性，注意条件为正）

（7）（开方保号性，注意条件为正）

（8）（同号可倒性）；.

最为重要的3条不等式性质为：①；②；

③，在不等式问题中都有重要的应用，但应注意他们的适用条件，可以用口诀“同．

向同正可乘

．．．．．．．”来记忆.

．．．．．；同号取倒需反向

题型归纳及思路提示

题型1 不等式的性质

思路提示

应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

例7.1 对于实数，有以下命题：①若，则；②若，则；③若则；④若，则；⑤若，则. 其中真命题的个数是（）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

分析：判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系.

解析：①中值的正负或是否为零未知，因而判断不等关系缺乏依据，故该命题是假命题；②中，由

基本不等式知识点和基本题型

基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。

3、基本不等式的两个重要变形

若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中

$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。

5、常用结论

若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。

若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。

若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。

若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。

6、柯西不等式

若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。

初中不等式知识点总结

不等式是数学中的重要概念，它描述了数之间的大小关系。在初中阶段，学生会接触到一些基本的不等式概念和解法方法。本文将详细介绍初中不等式的相关知识点，包括不等式的定义、常见不等式类型、不等式的性质、不等式的解法方法以及一些常用的不等式应用。

一、不等式的定义

不等式是由不等号连接起来的两个数或算式构成的数学式子。常见的不等号有小于号<、

小于等于号≤、大于号>、大于等于号≥等。

例如：

1. x > 3 表示x大于3。

2. y ≤ -2 表示y小于等于-2。

3. -4x + 5 > 2x - 7 表示-4x + 5大于2x - 7。

二、常见不等式类型

在初中阶段，常见的不等式类型有一元一次不等式、一元二次不等式和绝对值不等式。

1. 一元一次不等式：

一元一次不等式是一次函数的图像所对应的不等式。其一般形式为ax + b > 0（或ax + b < 0），其中a和b是已知实数，且a ≠ 0。

例如：

1. 2x - 3 > 5 是一个一元一次不等式。

2. -5y + 2 ≤ 3 是一个一元一次不等式。

2. 一元二次不等式：

一元二次不等式是一个二次函数的图像所对应的不等式。其一般形式为ax² + bx + c >

0（或ax² + bx + c < 0），其中a、b和c是已知实数，且a ≠ 0。

例如：

1. x² - 6x + 8 > 0 是一个一元二次不等式。

2. -2x² + 5x - 3 ≤ 0 是一个一元二次不等式。

3. 绝对值不等式：

不等式的基本性质与解法知识点总结

不等式的基本性质与解法知识点总结不等式在数学中占据着重要的地位，它是描述数值关系的一种有效

方式。本文将总结不等式的基本性质和解法知识点。

一、不等式的基本性质

1. 加法性质：若a>b，则a+c>b+c，其中c为任意实数。

2. 减法性质：若a>b，则a-c>b-c，其中c为任意实数。

3. 乘法性质：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。

4. 除法性质：若a>b且c>0，则a/c>b/c；若a>b且c<0，则a/c<b/c。

5. 对称性质：若a>b，则-b>-a。

6. 传递性质：若a>b且b>c，则a>c。

7. 绝对值性质：若|a|>|b|，则a^2>b^2。

8. 幂性质：若a>b且n为正整数，则a^n>b^n。

二、不等式的解法

1. 图像法：将不等式转化为图像，利用图像直观地判断解集。

2. 对称法：当不等式具有对称性时，可以利用对称性质简化计算。

3. 分情况讨论法：将不等式分成不同的情况进行讨论，逐一求解。

4. 加减法合并法：将不等式中的项进行合并，简化计算。

5. 取绝对值法：若不等式中存在绝对值，可以通过取绝对值简化问题。

6. 平方法：若不等式中存在平方或平方根，可以通过平方或开方简化计算。

7. 代入法：将不等式中的变量代入，通过求解方程得到不等式的解集。

8. 倒置法：将不等式的方向倒置，从而转化为已知的不等式进行求解。

不等式的应用知识点总结

在数学中，不等式是表示数之间大小关系的一种常用形式。不等式的应用范围广泛，涉及到各个领域中的问题求解。本文将对不等式的应用知识点进行总结和归纳，以帮助读者更好地理解和运用不等式。

一、一元一次不等式

一元一次不等式是指只含有一个未知数且次数为一的不等式。解一元一次不等式的基本方法是通过移项和分式，将不等式转化成形如x≥a 或x≤a的解集。

1. 不等式的解集表示形式

一元一次不等式的解集可以用集合符号{}或用区间表示。对于x≥a 而言，解集可以表示为{x∈R,x≥a}或[a,∞)；对于x≤a而言，解集可以表示为{x∈R,x≤a}或(-∞,a]。

2. 不等式的运算性质

一元一次不等式的运算性质与方程的运算性质相似，即两边同时加上一个相同的数、两边同时减去一个相同的数、两边同时乘以一个正数或两边同时除以一个正数，不等式的不等关系不变。

3. 不等式的解集合并与交集

当两个或多个不等式同时成立时，可以将它们的解集进行合并和交叉来求取新的解集。合并时，可以通过求并集的方法，将多个不等式

的解集合并在一起；交集时，可以通过求交集的方法，得到多个不等式的公共解集。

二、一元二次不等式

一元二次不等式是指含有一个未知数且次数为二次的不等式。解一元二次不等式的基本方法是通过变形和分解，将不等式转化为一元一次不等式，并对一元一次不等式进行求解。

1. 不等式的求解方法

对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0，可以将其转化为一元一次不等式的解集表示形式。具体而言，分以下几种情况讨论：- 当a>0时，将不等式转化为一元一次不等式，即(x+p)(x+q)>0或(x+p)(x+q)<0，其中p和q是一元二次不等式的两个实数解。根据一元一次不等式的解集合并和交集性质，求解出新的解集。

完整版的不等式知识点和基本题型

不等式是数学中一种重要的关系符号，它用来描述数值之间的

大小关系。以下是不等式的基本知识点和常见题型：

1. 不等式基本概念

- 不等式是指在两个数之间用不同的关系符号来表示大小关系，比如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

- 不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。

2. 不等式的性质

- 若 a > b，则 b < a。

- 若 a > b 且 b > c，则 a > c。

- 若 a > b 且 a > 0，则 ac > bc（c > 0）。

- 若 a > b 且 c < 0，则 ac < bc（c < 0）。

- 若 a > b 且c ≠ 0，则 ac > bc。

3. 不等式的解法

- 在不等式两边同时加（减）相同的数，不等式的方向不变。

- 在不等式两边同时乘（除）正数，不等式的方向不变。

- 在不等式两边同时乘（除）负数，不等式的方向反向。

- 若不等式两边有平方根，应考虑正负情况。

4. 不等式的常见题型

4.1. 一元一次不等式

- 形如 ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。

- 解法类似一元一次方程，通过移项和化简来求解。

4.2. 一元一次绝对值不等式

- 形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。

解不等式(知识点、题型详解)

不等式的解法

1、一元一次不等式ax b >

方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则b

x a

；若0a <,则b

x a

；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。【例1-1】（1）21

ax ->

解：此时，因为a 的符号不知道，所以要分：a =0，a >0, a <0这三种情况来讨论. 由原不等式得a x >1, ①当a =0时，⇒ 0>1.所以，此时不等式无解.

② 当a >0时，⇒ x >a

1, ③当a <0时，⇒x <a

【例1-2】已知不等式0)(6)23(<-++b a x b a 与不等式01)1(32

2<+-++-a a x a a 同解，解不等式

0)3(2)2(3>-+-a b x b a 。

解：R a ∈，012>+-a a ∴ 01)1(32

2<+-++-a a x a a 的解为3

<x ∴ )(6)23(b a x b a --<+中0)23(>+b a ∴ 解b a b a x 23)(6+--

< 由题意b

a b a 23)

(631+--=-

∴ 043>=b a 代入所求：062>--b bx ∴ 3-<x

要注意：当一元一次不等式中未知数的系数是字母时，要分未知数的系数等于0、大于0、小于0这三种情况来讨论.

2、一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0∆=和0∆<时的解集你会正确表示吗？基本步骤：

不等式知识点及典型题

不等式总结

一、不等式的主要性质：

(1)对称性：a b b a <⇔>(2)传递性：c a c b b a >⇒>>,

(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>； d b c a d c b a +>+⇒>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,

bd ac d c b a >⇒>>>>0,0

(5)倒数法则：b

a a

b b a 110,<⇒

>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且

二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法

)

)((212x x x x a c

bx ax y --=++=

)

)((212x x x x a c bx ax y --=++=

c bx ax y ++=2

注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于取两边，小于取中间

三、均值不等式

1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么

).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 变形：

22a+b p a*b (a )ab p (p )()22a+b ab b a b ≤⎧⎫⎪

⎪⎨⎪+≥⎩+若为定值，有最大值为定值，则有最小值 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等

3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即

不等式知识点及题型总结

不等式

一、知识点：

1. 实数的性质：

0>-⇔>b a b a ；0<-⇔<b a b a ；0=-⇔=b a b a ．

2. 不等式的性质：

3. 常用基本不等式：

4.利用重要不等式求最值的两个命题：

命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b=

时，和a ＋b 有最小值2

命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2s

时，积ab 有最大值4

2s .

注意：运用重要不等式求值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积

为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.

5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有

结论：ax 2+bx+c>0⇔2

0040

a a

b a

c >⎧=⎨-<⎩或检验；ax 2+bx+c<0⇔2

040

a a

b a

c <⎧=⎨-<⎩或检验 6. 绝对值不等式

（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}；｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-

7. 不等式证明方法：

基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法

特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。

不等式知识点总结及题型归纳

一、解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式()0002

≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：

设相应的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42

-=∆，则

不等式的解的各种情况如下表： 0>∆

0=∆

0<∆

二次函数

c bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

c bx ax y ++=2

一元二次方程

()的根

2>=++a c bx ax

有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根

b x x 221-

无实根

的解集)0(02>>++a c bx ax

{}2

x x x x x >

⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-≠a b x x 2

的解集

)0(02><++a c bx ax

{}21

x x x

x <<

∅

2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：

1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；

3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202

3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

不等式知识点及主要题型

关键词关键词大于大于小于小于不等于不等于不大于或

至多至多

不小于或至少至少不等号不等号 > < ¹

≤ ≥ a b

b a a b b a 不等式组在数轴上表示

解集口诀 x a x b >ìí>

x >b 同大取大同大取大 x a x b <ìí<

î x <a 同小取小同小取小 x a x b >ìí<î

a <x <

b 大小小大中间找大小小大中间找

a b x a

x b <ìí>î 无解无解大大小小无解了大大小小无解了

4. 列一元一次不等式组解应用题（简单的）

5. 学习中注意以下题型

（1）一元一次不等式组的常规解法，并能将解集表示在数轴上.

（2）确定不等式组中字母的取值范围

如：如果关于x 的不等式组232x a x a ->ìí-<-

î无解，求a 的取值范围的取值范围. . （3）结合方程（组），确定不等式组中字母的值

如：已知关于x 的不等式组221

x a b x a b -³ìí-<+î的解集为3≤x<5，求a 、b 的值.

（4）求不等式组的整数解

包括：正整数解、负整数解、整数解及最小整数解或最大整数解.

如：解不等式组13(1)83312

x x x x --<-ìïí-+³+ïî，并写出不等式组的最大整数解.

（5）一元一次不等式组的应用问题

要求：简单一些的要求：简单一些的. .

不等式的性质知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、不等式的基本性质

1. 两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件）

（1）（传递性，注意找中间量）

（2）（同向可加性）

（3）（同正可乘性，注意条件为正）

注：如，其逆命题不成立，如但是.

2. 一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据

（1）.

（2）（对称性）

（3）（乘正保号性）

（4）

（5）（不等量加等量）

（6）（乘方保号性，注意条件为正）

（7）（开方保号性，注意条件为正）

（8）（同号可倒性）；.

最为重要的3条不等式性质为：①；②；

③，在不等式问题中都有重要的应用，但应注意他们的适用条件，可以用口诀“同．

向同正可乘

．．．．．．．”来记忆.

．．．．．；同号取倒需反向

题型归纳及思路提示

题型1 不等式的性质

思路提示

例7.1 对于实数，有以下命题：①若，则；②若，则；③若则；④若，则；⑤若，则. 其中真命题的个数是（）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

分析：判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系.

解析：①中值的正负或是否为零未知，因而判断不等关系缺乏依据，故该命题是假命题；②中，由

初中不等式知识点总结

初中不等式知识点总结1

一、不等式的概念

1、不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

二、不等式基本性质

1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

一般步骤：

（1）去分母；

（2）去括号；

（3）移项；

（4）合并同类项；

（5）将 x 项的系数化为 1。

四、一元一次不等式组

1、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

2、一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集。

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

第九章不等式与不等式组

一、目标与要求

1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上;

不等式知识点归纳

不等式是数学中的一种常见表达方式，用于比较两个数

量的大小关系。它是数学分析、代数和几何中的重要概念之一，有着广泛的应用。本文将介绍不等式的基本概念、性质、解法以及常见类型的练习题，帮助读者全面了解和掌握不等式知识。

一、不等式的基本概念

不等式是将两个数或者表达式进行比较的一种数学符号表达方法。通常使用不等号（<, >, ≤, ≥）表示大小关系。其中，< 表示严格小于，> 表示严格大于，≤ 表示小于等于，≥ 表示大于等于。例如，a < b 表示 a 小于 b，a > b 表示 a 大于 b，a ≤ b 表示 a 小于等于 b，a ≥ b 表示 a 大于等于b。

二、不等式的性质

1. 传递性：如果 a < b，b < c，则可以推出 a < c；如果

a > b，

b > c，则可以推出 a > c。

2. 加减性：如果 a < b，则 a ± c < b ± c；如果 a > b，则 a ± c > b ± c。其中，c 是常数。

3. 乘除性：如果 a < b，且 c > 0 或 c < 0，则 ac < bc；如果 a < b，且 c < 0 或 c > 0，则 ac > bc。注意，当 c = 0 时，乘除性不成立。

4. 倒数性：如果 a < b，且 c < 0 或 c > 0，则 1/a > 1/b；如果 a < b，且 c > 0 或 c < 0，则 1/a < 1/b。注意，当

不等式知识点总结

不等式是数学中一种比较大小关系的表示方法。在日常生活中，我们

经常会遇到各种比较大小的问题，比如比较两个数的大小、判断一个数是

否大于等于另一个数等等。而不等式的研究就是为了解决这类问题。

一、不等式的表示形式

不等式可以有多种表示形式，其中比较常见的有以下几种：

1.简单不等式：简单不等式是指只有一个不等关系符号的不等式，如x>2、y<-3

2.复合不等式：复合不等式是指由多个简单不等式组合而成的不等式，如x>2且y<-3

3.一元二次不等式：一元二次不等式是指由一个二次方程组成的不等式，如x^2-3x>2

4.绝对值不等式：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，如，

2x-1，>3

二、不等式的性质

1.加减性质：若a>b，则a±c>b±c。

2. 乘除性质：若a > b，且c > 0，则ac > bc；若a > b，且c < 0，则ac < bc。

3.倒数性质：若a>b，且a、b都大于0，则1/a<1/b。

4.平方性质：若a>b，且a、b都大于等于0，则a^2>b^2

这些性质可以方便我们在处理不等式时进行各种变形和推导。

三、不等式的解的表示方法

1.解集表示法：对于一元不等式，我们可以将其解集表示为一个区间。对于简单不等式和复合不等式，解集可以用开区间、闭区间或半开半闭区

间表示。

2.解数表示法：对于一元不等式，我们也可以将其解表示为一个数的

集合。比如x>2，解集可以表示为{x，x>2}。

(完整版)基本不等式知识点和基本题型

基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

≥+ （2）若R b a ∈,，则2

2b a ab +≤

2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*

,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形

（1）若*

,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2

2⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论

（1）若0x >，则1

2x x +

≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）

（3）若0>ab ，则2≥+a

b b a (当且仅当b a =时取“=”）

（4）若R b a ∈,，则2

)2(2

22b a b a ab +≤

+≤ （5）若*

,R b a ∈，则22111

22b a b a ab b

a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当

b a =时取“=” 6、柯西不等式

（1）若,,,a b c d R ∈，则22222

()()()a b c d ac bd ++≥+

（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：2222222

1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++