(+)专题——初中常用数学思想、方法

专题讲座——初中数学常用数学思想方法
一、常用数学思想
数学思想是人们对数学知识的进一步抽象和概括，是对数学规律的理性认识，是解决问题的灵魂。

掌握好数学思想，能使同学们加深对数学知识本质的理解，培养良好的思维品质。

在初中数学中，常见的数学思想有：方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、函数思想、整体思想、一般化与特殊化思想。

（一）方程思想
方程思想是把所研究的问题中已知量与未知量之间的关系，表现为
方程或方程组的数学模型，使问得到解决的思想方法。

用方程思想解题关键是利用已 知条件构造方程或方程组。

例1：求正比例函数y x =的图象与一次函数2y x =-+的图象的交点
反思：几何中有关计算线段、角、周长、面积等问题，若直接计算有困难，则可根据图形的性质，建立关于线段、角、周长、面积等几何元素的方程。

（二）数形结合思想
数形结合是把数、式、形结合起来，用代数方法分析图形，用图形直观地表示数、式中的关系。

在解数学题时要注意“数”与“形”结合，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理发挥直观对抽象的支柱作用（以形助数），通过数量的计算准确刻画图形的性质（以数解形）。

例1：若点()12,y -、()21,y -、()31,y 在函数x
y 2
-
=的图象上，试比较1y 、2y 、3y 的大小。

例2：已知抛物线22321y x mx m m =-++-（m 为实数）与x 轴的两个交点坐标分别为1x 和2x 且1x ＜2x ，问是否存在实数m ，使1x ＜m ＜2x ，若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，说明理由。

（三）分类讨论思想
当被研究的对象包含多种可能的情形时，往往受数学公式、法则、性质、定律或其它实际情况的限制，导致我们有时候不能对它们一概而论，迫使我们必须对可能出现的情形分别研究，这种解决问题的思想称为分类思想。

分类思想在初中数学中的应用非常广泛，分类的原则是按同一标准不重复也不遗漏。

掌握分类讨论的思想方法有利于培养周密的思维品质和综合分析问题的能力。

例1：已知x =3,2y =,xy ＜0,求x y +的值.
例2：在△ABC 中,AB=AC=2,AB 边上的高CD 与AC 所成的角为030,求BC 边上的高AE.
（四）转化思想
转化是指化未知为已知，化一般为特殊，化高次为低次，化复杂为简单的解题策略。

任何数学问题都是通过数或形的逐步转化，从而揭示条件与结论的内在联系而使问题得以解决。

例1：已知2510x x -+=,求22
1
x x +的值. （五）函数思想
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

它的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。

例1：现有总长为8米的建筑材料,用这些建筑材料围成一个扇形的花坛,当这个扇形的半径为多少时,可以使这个扇形花坛的面积最大?并求最大面积.
（六）整体思想
所谓整体思想就是在解数学问题时，从整体着眼，从整体入手，把一些看似彼此独立实质上紧密联系的量作为一个整体考虑的思想方法，
例1：已知113x y -=,求2322x xy y
x xy y
+---的值.
例2：已知关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的一个根是12x =,且抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2x =,求抛物线的顶点坐标.
（七）特殊化与一般化思想
对于某些数学问题，在一般的情形下其结论或解题的思路可能不明显，这时我们从特殊情况进行分析，再从中加以归纳，往往可以发现问题的结论或解决问题的方法或方向，然后再分析特殊和一般情形之间的联系，从而使问题在一般情形下得到解决。

其中解几何动态问题的一个常见思路是：特殊探路，一般求证。

即在特殊情形下寻求答案，然后在一般情形下说明该结论的正确性。

例1：用计算器计算211,311,411,511观察末两位数,发现规律,猜测200811的末两位数。

二、常用数学方法
数学方法是人们提出数学问题、分析和解决问题的手段和策略，它具有可操作性。

在初中数学中，最常见面的数学方法有：换元法、配方法、待定系数法、归纳与猜想、几何变换法、面积法。

（一）换元法
所谓换元法是在解某一数学问题时，把其中某个式子作为一个新的变量，从而将原问题转化为一个比原问题简单易于解决的新问题。

它是整体思想的一种具体体现，在使用换元法解题时，一定要仔细观察式子的结构特征，在时还要将式子做适当变形进行合理工科换元，这样才可以化繁为简。

例1：解方程
22
1 44
x x
x x
⎛⎫
-=- ⎪
--
⎝⎭
（二）待定系数法
所谓待定系数法就是先设出式子中的未知数，再根据条件求出未知系数，从而写出式子的方法。

例1：已知反比例函数和一个一次函数的图象都经过点A（a，4）和点B（2，2），（1）求反比例函数和一次函数的解析式，并作出它们的图象；
（2）求△OAB的面积（O为坐标原点）
（3）根据函数图象，写出使一次函数此同时值大于反比例函的值的自变量x的取值范围。

（三）配方法
在解数学问题时常将所研究的式子配成完全平方，然后依据配方后所得式子的特征，求出某些有关的量或求证有关的结论，这种方法就是配方法。

例1：已知x，y
2690
y y
-+=，求
3x y
xy
+
的值。

（四）归纳——猜想
归纳猜想是人们对事物发展进程作出预测性判断的一种思想方法，虽然猜想不一定正确，但它不同于毫无根据的“臆测”，它所得到的结论多少有些根据，符合一定的情理，欲断定一个猜想得到的结论是否正确，必须经过严格的证时；欲否定猜想得到的结论只需举出一个反例即可。

（五）几何变换法
在“空间与图形”中，我们学习了轴对称、平移、旋转等几何变换，若能恰当应用这些变换进行解题能使问题化繁为简。

（六）面积法
即通过面积关系来解决问题的方法称为面积法，它体现了数形结合的思想。

例1：设⊿ABC内一点P到AB、BC、AC的距离分别为,,
x y z，若AB、BC、AC
边上的高分别为,,
h k l，则x y z
h k l
++的值如何变化？
补充——数学思想方法复习专题
一、考点，热点分析：
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳
为三个步骤：（1）将所面临的问题转化为方程问题；
（2）解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；
（3）将所得出的结论再返回到原问题中去。

分类讨论的解题步骤一般是：
（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；
（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复；
（3）逐步讨论，分级进行；
（4）归纳总结作出整个题目的结论。

常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般
于特殊的转化；复杂与简单的转化。

二、知识点归纳：
常用的数学思想（数学中的四大思想）
1.函数与方程的思想
用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质
等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方
法。

2．数形结合思想
在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数
问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、
相互渗透。

3．分类讨论思想
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。

分各种不同情况予以考察，这
是一种重要数学思想方法和重要的解题策略，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主
要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）
由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；
（4）由于题目含有字母而引起的讨论。

4.等价转化思想
等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的
代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。

常用的数学方法
主要有换元法、配方法和待定系数法三种。