2018届江西省红色六校高三上学期第一次联考理科数学试

江西省红色六校2018届高三第一次联考数学（理）试题（分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学）命题人： 南城一中 瑞金一中一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为（ ）A ．45- B ．45C ．4-D ．4 2．集合{x x y R y A ,lg =∈=＞}{}2,1,1,2,1--=B 则下列结论正确的是（ ） A.{}1,2--=⋂B A B.()()0,∞-=⋃B A C R C.()+∞=⋃,0B A D.(){}1,2--=⋂B A C R 3．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件.C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.D ．命题“x ∃∈R 使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R 均有210x x ++<”． 4．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，ϕ＜π2的图象如图所示， 为了得到()sin3g x x =的图象，只需将()f x 的图象( )A.右平移π4个单位长度B.左平移π4个单位长度C.右平移π12个单位长度D.左平移π12个单位长度5. 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是( )A ． B.C. D.6．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为（ ）1.4A t ≥1.8B t ≥ 1.4C t ≤ 1.8D t ≤7.已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，直线x-2y+4=0与C 交于A 、B 两点，则sin ∠AFB=（ ）4.5A 3.5B 3.4C D 8．已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,10,2)(x nx x kx x f ()k R ∈，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2k ≤B ．10k -<<C ．21k -≤<-D ．2k ≤-9．设n a 是n x )1(-的展开式中x 项的系数（ ,4,3,2=n ），若12(7)n n n a b n a ++=+，则n b 的最大值是( ) B [).1,0A - 33.,22B ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦().1,0C - ().1,1D -二、选做题（考生注意：请在（1）（2）两题中，任选做一题作答，若多做，则按（1）题计分） 11.（1）（坐标系与参数方程）曲线C 1的极坐标方程为2cos sin ,ρθθ=曲线C 2的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数），以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点最近的距离为( ) A ．8 B ．2 D ．411.（2）若关于x 的不等式21321x x a a -+-≤--在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是（ ） A.13a a <->或 B.03a a <>或 C.13a -<< D.13a -≤≤ 三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置上）12．如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线()x x f sin =及直线()],0(π∈=a a x 与x 轴围成的区域，向矩形OABC 内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为21，则=a ．13. 现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的方法是__________（用数字作答）14.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE=CD.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，下列判断正确．．的是________________ ①.满足2λμ+=的点P 必为BC 的中点 ②.满足1λμ+=的点P 有且只有两个 ③.λμ+的最大值为3 ④.λμ+的最小值不存在15.对于一切实数x ，令［x ］表示不大于x 的最大整数，记f(x)= ［x ］，若a n =f(n4)(n∈N +),S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，则S 4n = ．四、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

请在答题卷相应题目的答题区域内作答)16.（本小题满分12分） 已知向量)cos ,(sin ),sin 3,(sin x x x x -==，设函数x f ⋅=)(,（Ⅰ）求函数)(x f 的表达式及它的值域； （Ⅱ）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，A 为锐角, 若)(A f 23)62sin(21=-++πA ，7=+c b ，ABC ∆的面积为32，求边a 的长．17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足13223,a a a +=且32a +是24,a a 的等差中项 （1）求数列{n a ｝的通项公式 （2）若2121log ,,n n n n nb a S b b b a =+=+++ 求使12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值18. （本小题满分12分）在2013年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为23，且每题正确回答与否互不影响．(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望； (II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．19.（本小题满分12分）已知在多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，AC = AD = CD = DE = 2，F 为CD 的中点。

（1）求证：AF ⊥平面CDE ；（2）求平面ABC 和平面CDE 所成的小于90 的二面角的大小； （3）求点A 到平面BCD 的距离的取值范围。

ADCEBF20．(本题满分13分)已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22,且过点2（. （1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，若22ab k k BDAC -=⋅, (i) 求OB OA ⋅的最值.(ii) 求证：四边形ABCD 的面积为定值；21.（本小题满分14分）已知函数ax x ax x f -++=2)2121ln()(。

（a 为常数，0>a ）（1）若21=x 是函数)(x f 的一个极值点，求a 的值； （2）求证：当20≤<a 时，)(x f 在),21[+∞上是增函数；（3）若对任意的)2,1(∈a ，总存在]1,21[0∈x ，使不等式)1()(20a m x f ->成立，求实数m 的取值范围。

江西省红色六校2018届高三第一次联考数学（理）答案一、选择题二、选做题（5'×1=5')11(1) A 11(2) C 三、填空题(5'×4=20')12、π 13、160 14、②③ 15、2n 2-n三、解答题16题（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得：21cos 2()sin cos 22x f x x x x x -==- 1sin(2)26x π=-+ ，13()-,22f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域， (5)（Ⅱ）由)(A f 23)62sin(21=-++πA 得：23)62sin()62sin(1=-++-ππA A ，化简得：212cos -=A , 又因为02A π<<，解得：3π=A …………………8分由题意知：32sin 21==∆A bc S ABC ，解得8=bc ，………………10分 又7=+c b ,所以22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+14928(1)252=-⨯⨯+=故所求边a 的长为5。

……12分17：（本小题满分12分）解（1）设等比数列{n a ｝的公比为q由13224323,2(2)a a a a a a +=⎧⎨+=+⎩得2113211(2)3()24a q a q a q q a q ⎧+=⎪⎨+=+⎪⎩①②………2分 由①得2320,q q -+=解得1q =或2q =………4分 当1q =时，不合题意舍去当2q =时，代入②得12,a =则1222n n n a -=⋅=………6分 （2）因为2211log 2log 2,2n n n n n n b a n a =+=+=-………7分 所以23132122232n n n n S b b b b n =++++=-+-+-++-=232(12)(1)(2222)(123)122n nn n n -+++++-++++=-=-12112222n n n +---……………10分因为12470,n n S +-+<所以1211122247022n n n n ++----+<即2900n n +->，解得9n >或10n <-.又*N n ∈故使12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值为10.……………12分.18.（本小题满分12分）解：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ的可能取值为1，2，3，…… 1分P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15，………………3分∴考生甲正确完成题数的分布列为E ξ＝1×15＋2×35＋3×5＝2. ………………4分又η～B (3，23)，其分布列为P (η＝k )＝C k3·(23)k ·(13)3－k ，k ＝0，1，2，3；∴E η＝np ＝3×23＝2.…6分(II)∵D ξ＝(2－1)2×15＋(2－2)2×35＋(2－3)2×15＝25，D η＝npq ＝3×23×13＝23，………………8分∴D ξ<D η.∵P (ξ≥2)＝35＋15＝0.8，P (η≥2)＝1227＋827≈0.74，∴P (ξ≥2)>P (η≥2)．………………10分从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验通过能力较强．………………12分19、解：（1）证明：∵AB ⊥平面ACD ，AB ∥DE ，∴DE ⊥平面ACD ，∵AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF ．又∵AC=AD=CD ，F 为CD 中点， ∴AF ⊥CD ．∵DE ⊂平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，CD ∩DE ＝D ， ∴AF ⊥平面CDE ． …………………4分（2）解法一：∵AB ∥DE ，AB ⊂/平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，∴AB ∥平面CDE ，设平面ABC ∩平面CDE ＝l ，则l ∥AB ．即平面ABC 与平面CDE 所成的二面角的棱为直线l ．[学.科.网]∵AB ⊥平面ADC ，∴l ⊥平面ADC ．∴l ⊥AC ，l ⊥DC ． ∴∠ACD 为平面ABC 与平面CDE 所成二面角的平面角． ∵AC ＝AD ＝CD ，∴∠ACD ＝60︒，∴平面ABC 和平面CDE 所成的小于90︒的二面角的大小为60︒ ………8分解法二：如图，以F 为原点，过F 平行于DE 的直线为x 轴，以直线FC ，FA 为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．∵AC ＝2，∴A(0，0，3)，设AB x =，B(x ，0，3)，C(0，1，0)(),0,0AB x =，(0,1,AC = ，设平面ABC 的一个法向量为(),,n a b c =，则由0AB n ⋅= ，0AC n ⋅=，解得0,a b ==，不妨取1c =，则()n = ，∵又AF ⊥平面CDE ，∴平面CDE的一个法向量为(FA =，∴1cos ,2FA n FA n FA n ⋅<>==⋅∴平面ABC 与平面CDE 所成的小于90︒的二面角的大小为60︒ ……………8分（3）解法一：设AB ＝x ，则x ＞0．∵AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥CD ．又∵AF ⊥CD ，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，AB ∩AF ＝A ，∴CD ⊥平面ABF ．∵CD ⊂平面BCD ，∴平面ABF ⊥平面BCD ．连BF ，过A 作AH ⊥BF ，垂足为H ，则AH ⊥平面BCD ．线段AH 的长即为点A 到平面BCD 的距离．在Rt △AFB 中，AB ＝x ，AF ＝32CD ＝3， ∴BF ＝3＋x 2，AH ＝3x3＋x 2＝31＋3x 2∈(0，3) ……………………………12分解法二：设AB ＝x ，∵AC ＝CD ＝DA ＝2，AB ⊥平面ACD ．∴V B －ADC ＝13⋅S △ADC ⋅BA ＝13⋅34⋅22⋅x ＝33x ．∵BC ＝BD ＝4＋x 2，CD ＝2，∴S △BCD ＝12⋅2⋅x 2＋3＝x 2＋3，设点A 到平面BCD的距离为d ，则V A －BCD ＝13⋅S △BCD ⋅d ＝d3x 2＋3．∵V B －ADC ＝V A －BCD ． ∴33x ＝d 3x 2＋3，解得d ＝3x 3＋x 2∈(0，3) ……………………………12分20. 解：(1)由题意22==a c e ，12422=+b a ，又222c b a +=，……………………… 2分解得4,822==b a ,椭圆的标准方程为14822=+y x (4)分(2)设直线AB 的方程为m kx y +=，设),(),,(2211y x B y x A 联立⎩⎨⎧=++=8222y x m kx y ，得0824)21(222=-+++m kmx x k()2222244(12)(28)8840km k m k m ∆=-+-=-+>（） ----------①⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+22212212182214k m x x k km x x …………………………………………6分2122-=-=⋅a b k k OBOA 212121-=∴x x y y 2222212121421822121k m k m x x y y +--=+-⋅⋅-=-=∴ (7)分2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++==222222142182m kkm km k m k ++-++-222812m k k -=+ ………………………………8分22222218214kk m k m +-=+--∴2228)4(k m m -=--∴ 2242k m ∴+= ……………………………………9分(i)2121y y x x +=⋅2222222222844424421212121212m m m k k k k k k---+-=-===-+++++ 2242OA OB ∴-=-≤⋅<当k =0(此时22=m 满足①式),即直线AB 平行于x 轴时，OB OA ⋅的最小值为-2. 又直线AB 的斜率不存在时2OA OB ⋅= ，所以OB OA ⋅的最大值为2. …………………11分(ii)设原点到直线AB 的距离为d ，则22442)4(16642||218242142||4)(2||1||||121||212222222222212212122=+-=--=+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=+⋅-⋅+=⋅=∆m k mm m k m k m k km m x x x x m k m x x k d AB S AOB 284==∴∆AO B ABCD S S 四边形.即,四边形ABCD 的面积为定值…………………………………………………………13分21．（本小题满分14分）解⑴ax a a x ax a x ax ax f +--=-++=1)22(22212121)('2 （1）由已知，得0)21('=f 且0222≠-aa ，022=--∴a a 0>a 2=∴a …3分 （2）当20≤<a 时，02)1)(2(22212222≤+-=--=--a a a a a a a a aa 22212-≥∴ ∴当21≥x 时，0222≥--a a x 又012>+ax ax 0)('≥∴x f 故)(x f 在),21[+∞上是增函数 ……………6分（3）)2,1(∈a 时，由（2）知，)(x f 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为a a f -++=1)2121ln()1( 于是问题等价于：对任意的)2,1(∈a ，不等式0)11)2121ln(2>-+-++a m a a （恒成立。