#四—功率谱估计现代方法
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于对些随机过程的理论分析的实验研究。 • ⒉根据观测数据估计模型的参数 各种算法研究。 • ⒊用估计得到的模型参数计算功率谱。（PS）
二、模型 例如：实际应用中遇到的随机过程大多数可以用有理传输函 数模型很好地逼近，如图：
U(n)
H(z) B(z)
x(n)
A(z)
q
线性系统：
H (z) B(z) n0 bn z n
1
p
2
anejn
2
n1
来计算
这就需要知道P，P个AM系数以及模型的激励源的方差 2。为 此，必须把这些参数和已知（or估计到的）自相关函数联系 起来这就是著名的Yule-Walker方程。
一、推导：
p
将AR模型的差分方程 x(n)akx(nk)u(n) 的自相关函表
达式 ：
Sxx(Z)2
1 A(z)
A(Rp) 模型，即P阶自回归模型
2
•
p
2
= 1
ai z i
i1
•
or
2
2
Sxx(ejw)A(ejw)2
1
p
2
aiejwi
i1
三、Wold分解定理：
内容：任何广义平衡随机过程可分解成一个完全随机的部分 和一个确定的部分。（所谓确定随机过程是指可根据无限 个过去取样值，完全预测的随机过程。）
R x(xm )N l i2 m N 11n N Nx*(n)x(m n)
• 在大多数应用中，x(n)是实信号：x(n)（x**共(n轭)）
R x(xm )N l i m 2N 11n n Nx(n)x(m n)
• 一般只能观测到随机信号一个取样时间序列的有限个取 样值（例如N个值），表示为：x N ( n ) { x ( 0 )x ( 1 ,) , ,x ( N 1 )}
m0 m0
二、求解
为求出AR模型参数：2和 a1 可,a2 先, 从ap 上式中选择 的P m0
个方程，解出 {a1,a2，, 再,ap代}入 的方m程，0 求 。
a2
也可以解方程组：
R(0)
R(1)
R(2)
R(p)
R(1) R(2) R(p) 1 a2
•
R x(x m )E [x* (n )x (m n )]
• 与它的功率S谱xx() 之间构成一对付里叶变换：
•
Sxx() Rxx(m)ejm
m
1
Rx(xm )2
Sx(x)ejmd
• 若x(n)是各态遍历的，其自相关函数可由它的一个取样时 间序列用时间平均的方法求出，即：
4.2谱估计的参数模型方法
• 通常人们或多或少地掌握了关于被估计过程的某些先验知 识，从而有可能对这做出某些合理的假定。例如为它建立 一个准确或至少近似的模型，而不必象经典谱估计法那样 认为凡未观测到的数据等于零，这就从根本上丢弃了对数 据序列加窗的隐含假设。
• 一、模型法步骤： • 以参数模型为基础的谱估计方法一般按三个步骤进行： • ① 设模型 ；② 算法 ；③ 再计算谱 • ⒈为被估计的随机过程确定一个合理的模型，当然这有赖
•
表示估a计量
E的[ a 均] 值
与真值a之差。
• 若B=0的估计为无偏估计，反之为有偏估计
•
若lim B0 N
为渐近无偏估计（N为观测数据的个数）。
我们总希望，估计是无偏的or渐近无偏的是高质量的估计。
• 2.估计方差
Var[a]E{a[E(a)2 ]}
• 表示各次估计值相对估计均值的分散程度。
• 方差小意味着单次估计的结果为估计量的均值的概率大。
它与估计的偏差不同，若是无偏的，则说明单次估计取真
值的概率大，也只有小方差无偏估计的质量好。B和
V
ar
[
a
]
要同时考虑。
• 3.估计的均方误差
•
定义：D[a]E[(aa)2]
• 不难证明D[a]Var[a]B2 ，我们认为均方误差较小的估
A(z)
p
an z n
n0
b是n 前馈（or动平均）支路的系数，又称MA系数。
a是n 后馈（or自回归）支路的系数，又称AR系数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
该模型的输出和输入间满足差分方程：
p
q
x(n) akx(nk) bl(n)g l (a 00)
K1
l0
• 输出功率谱和输入功率谱之间满足：
• 尽管有三种改进方法（Bartlett法、Welch法和Nattall法） 仍不能从根本上解决问题，这也促进了功率谱估计现代方 法的研究和应用。
• 现代谱估计技术始于60年代，有自回归法（AR）、线性预 测法（LP）和最大熵（ME）法等三种互相等效的方法和最 大似然法（ML法）。
• 目前现代谱估计研究仍侧重于一维谱分析，其它如多维谱 估计，多通道谱估计，和高阶谱估计等的研究正在兴起， 理论也在不断完善和发展中。
计，质量更好些。
•
若l有im：D[a] 0
a
，称 是a的
一致估计N，显然一致估计包含了偏差和方差都渐近0。
• 功率谱估计的方法很多，但分为二类：一类是经典法，另 一类是现代方法
• 经典方法主要包括有自相关法（也称间接法）和周期图法 （又称直接法）下面分别简单说明一下。
• 三、自相关法：（理论基础是维纳——率钦定理） • 即：对于一平稳离散随机信号来说，它的自相关函数
• 则x(-n)的傅立叶变换为 对上式两端去傅立叶变换：
S x( x w )1X (ej)X * (ej)1X (ej)2
N
N
• 将上式的 e j 在单位圆上等间隔取值得：
2
jk
Sxx(e N )
1
N
XNej2Nk
2
•
简记为： Sxx(k)N 1 XN(k)2
•
构造1阶预备方程： R(0) R(1)
R R((01))10D002 行 列 式 变换
章功率谱估计的现代方法
• 4.1从经典谱估计到现代谱估计 • • 4.2谱估计的参数模型方法 • • 4.3AR模型的Yule-Walker方程 • • 4.4Levinson-Durbin算法 • • 4.5AR模型的稳定性及其阶的确定
• 4.7格型滤波器 • 4.8AR模型参数提取方法 • 4.9AR谱估计的异常现象及其补救措施 • 4.10MA和ARMA模型谱估计 • 4.11白噪声中正弦波频率估计
Sxx(Z)2H(z)2
•
或：
Sxx(ejw )
2H(ej w )2
2B(ej w )2 A(ej w )
• 前面这三个式子H(Z)（传输函数）、x(n)（差分方程）、功
• 率谱，表示“极点一零点”模型，称为ARMA（p,q）模型。
• 1.当只有零点时，模型为：
q
H (z) B (z) b lz l l 0
Wold分解定理的一个推论是：如果功率谱完全是连续的，那 么任何ARMA or AR过程，可以用一个无限阶的MA过程表示。
Kolmogorov定理也有类似结论：任何ARMA or MA过程可以用 一个无限阶的AR过程表示。
这两个定理有很重要的意义： 1.如够果高选，择它了仍一然个能错比误较模好型地（逼即近被建模的M A随RA 机M 过A A程R o。)A A r,只R R要M 模A M 型A 的阶足
R ˆx(xm )ejm |M| N1
m M
• 可以证明，对于固定延m 迟 Rx，x(m)是Rxx(m) 计。
的一致估
• •
四由、R ˆ式x周x(m)期N 1 图N n —1 0|m —|x(可n直)x见(接n ：法m)式子右端，实际上是
X(e j )
• x(n)与x(-n)的卷积运算Z，*(e若jwx)(n)的傅立叶变换为 ，
k1
Rxx(m)E[x(n)x(mn)]
p
E{x(n)[akx(nmk)u(mn)]} k1
p
akRxx(mk)E[x(n)u(nm)] k1
设AR模型的冲激响应是h(n)，在方差 2 的白噪声序列 u(n)
作用下产生输出x(n):
x(n)h(l)u(nl) l0
q
x (n ) b lu (n l) l 0
•
Sxx(z)2B-(-Z模)2型（阶M滑A(动q)平均模型）
•
(除外 ，所有MA系b0数=10)
•
• 2.当都为极点时，模型为：
H(z) 1 1 A(z)
p i0
aizi
p
x(n)qkx(nk)u(n) k1
2
•
• X （N k可）以用FFT快速计算——周期图法。
• 五、经典法的缺点
• 不管数据记录多长（N多大），周期图法和自相关法都不 是功率谱的良好估计，主要因为存在以下两个难以克服的 固有缺点：
⒈ 频率分辨率不高（频率分辨率是指区分两个邻近频率分
量的能力）
因为：
f 1 TR
f 频率分辨率（Hz）反比于数据记录持续时间（长度，
• • 自相关函数只能由这N个取样数据来估计，自相关法是常
用的一种估计方法。
• 自相关法步骤：
•
首先由 xN (n)估计出
R xx
(m )
R ˆx(xm )N 1N n1 0|m |xN(n)xN(nm )
•
再对
R
xx
(m
)求其傅立叶变换，即得x(n)的功率谱：
M
Sx(x)
0 m
0
h(n)因果 n0 h (n)0
h(m)在 m0时0为
p
h(0)lz i m H (z)lz i m (1k 1akzk) 11
根据初值定理： p
Rxx(m)kp1akRxx(mk)2 akRxx(mk)
k1
以秒计）。而实际中，不可能获得长的数据记录。
2.经典法都是取一个长为N的取样序列，除此之外的序列值 都看成0，相当于在进行FFT前对无限长的数据序列进行了 加窗处理（加了一个有限宽的矩形窗）。我们知道：矩形 窗的频谱主瓣不是无限窄，且有旁瓣存在，这就造成了能 量向旁瓣中“泄漏”，且使分辨率降低，产生假的谱峰。
4.1功率谱估计的经典方法 一、功率谱概念：一个离散平稳随机过程，
在时域用自协方差序列或者自相关序列描 述。在频域中，是用功率谱来描述的。
功率谱反映随机过程的功率密度随频率变化 的规律。——功率密度谱
而实际中，我们只能观测到有限个数据，它 们往往是随机过程的一个取样序列中的一 般数据，我们必须根据这些数据来估计随 机过程的功率谱，也就是说从有限长信号 中估计出来。
• 二、估计理论中的几个基本概念 • 设a是广义平稳随机信号x(n)的一个特征量（可以是均值
方也差是，一自个相随关机出变数量，or那功么率谱a ）对。aa 估是计我的们质得 量到（的近估似计程值度，）
可以从以下一个方面考虑：
• 1.估计的偏差（也叫偏倚）用B表示
• 定义为：BE[aˆ]a
2.估计ARMA or MA参数一般需解一组曲线性方程。而估计AR模型参数 通常只需解一组线性方程。所以我们都可以用AR模型来逼近，只是 选择足够高的阶。
4.3 AR模型的Yule-Walker方程
以AR模型为基础的谱估计：
2
Sxx(z)A(z)A*(1/z*)
or
Sxx(ej)
2
A(ej)2
4.4 Levinson-Durbin 算法
• 解上节讲的矩阵方程（用高斯消元法）需要的运算量为 p 3 过大，为此我们引入Levinson-Durbin 算法。
• Levinson算法推导：
• 1.解0阶Yule-Walker方程 R ：( 0 ) [ 1 ] [0 2 ]
0 2 R ( 0 )
u(n) h(n)
x(n)
设h(n)是因果的
E[x(n)u(nm)]E{[ h(l)u(nl)]u(nm)} l0
h(l)E[u(nl)u(nm)] l0
h(l)Ruu(ml) l0
l0
h(l)2(m1)
2h(m)
0 m
2h(0)
R(0)
R(1)
R(p1)
a1
0
R(1)
R(0)
R(p2)a20
R(p1) R(p2)
R(0) ap
0
只要已知or估计出（P+1）个自相关函数值，即可由此方程
组解出（P+1）个模型参数 (a1,a2, ,ap,2)
二、模型 例如：实际应用中遇到的随机过程大多数可以用有理传输函 数模型很好地逼近，如图：
U(n)
H(z) B(z)
x(n)
A(z)
q
线性系统：
H (z) B(z) n0 bn z n
1
p
2
anejn
2
n1
来计算
这就需要知道P，P个AM系数以及模型的激励源的方差 2。为 此，必须把这些参数和已知（or估计到的）自相关函数联系 起来这就是著名的Yule-Walker方程。
一、推导：
p
将AR模型的差分方程 x(n)akx(nk)u(n) 的自相关函表
达式 ：
Sxx(Z)2
1 A(z)
A(Rp) 模型，即P阶自回归模型
2
•
p
2
= 1
ai z i
i1
•
or
2
2
Sxx(ejw)A(ejw)2
1
p
2
aiejwi
i1
三、Wold分解定理：
内容：任何广义平衡随机过程可分解成一个完全随机的部分 和一个确定的部分。（所谓确定随机过程是指可根据无限 个过去取样值，完全预测的随机过程。）
R x(xm )N l i2 m N 11n N Nx*(n)x(m n)
• 在大多数应用中，x(n)是实信号：x(n)（x**共(n轭)）
R x(xm )N l i m 2N 11n n Nx(n)x(m n)
• 一般只能观测到随机信号一个取样时间序列的有限个取 样值（例如N个值），表示为：x N ( n ) { x ( 0 )x ( 1 ,) , ,x ( N 1 )}
m0 m0
二、求解
为求出AR模型参数：2和 a1 可,a2 先, 从ap 上式中选择 的P m0
个方程，解出 {a1,a2，, 再,ap代}入 的方m程，0 求 。
a2
也可以解方程组：
R(0)
R(1)
R(2)
R(p)
R(1) R(2) R(p) 1 a2
•
R x(x m )E [x* (n )x (m n )]
• 与它的功率S谱xx() 之间构成一对付里叶变换：
•
Sxx() Rxx(m)ejm
m
1
Rx(xm )2
Sx(x)ejmd
• 若x(n)是各态遍历的，其自相关函数可由它的一个取样时 间序列用时间平均的方法求出，即：
4.2谱估计的参数模型方法
• 通常人们或多或少地掌握了关于被估计过程的某些先验知 识，从而有可能对这做出某些合理的假定。例如为它建立 一个准确或至少近似的模型，而不必象经典谱估计法那样 认为凡未观测到的数据等于零，这就从根本上丢弃了对数 据序列加窗的隐含假设。
• 一、模型法步骤： • 以参数模型为基础的谱估计方法一般按三个步骤进行： • ① 设模型 ；② 算法 ；③ 再计算谱 • ⒈为被估计的随机过程确定一个合理的模型，当然这有赖
•
表示估a计量
E的[ a 均] 值
与真值a之差。
• 若B=0的估计为无偏估计，反之为有偏估计
•
若lim B0 N
为渐近无偏估计（N为观测数据的个数）。
我们总希望，估计是无偏的or渐近无偏的是高质量的估计。
• 2.估计方差
Var[a]E{a[E(a)2 ]}
• 表示各次估计值相对估计均值的分散程度。
• 方差小意味着单次估计的结果为估计量的均值的概率大。
它与估计的偏差不同，若是无偏的，则说明单次估计取真
值的概率大，也只有小方差无偏估计的质量好。B和
V
ar
[
a
]
要同时考虑。
• 3.估计的均方误差
•
定义：D[a]E[(aa)2]
• 不难证明D[a]Var[a]B2 ，我们认为均方误差较小的估
A(z)
p
an z n
n0
b是n 前馈（or动平均）支路的系数，又称MA系数。
a是n 后馈（or自回归）支路的系数，又称AR系数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
该模型的输出和输入间满足差分方程：
p
q
x(n) akx(nk) bl(n)g l (a 00)
K1
l0
• 输出功率谱和输入功率谱之间满足：
• 尽管有三种改进方法（Bartlett法、Welch法和Nattall法） 仍不能从根本上解决问题，这也促进了功率谱估计现代方 法的研究和应用。
• 现代谱估计技术始于60年代，有自回归法（AR）、线性预 测法（LP）和最大熵（ME）法等三种互相等效的方法和最 大似然法（ML法）。
• 目前现代谱估计研究仍侧重于一维谱分析，其它如多维谱 估计，多通道谱估计，和高阶谱估计等的研究正在兴起， 理论也在不断完善和发展中。
计，质量更好些。
•
若l有im：D[a] 0
a
，称 是a的
一致估计N，显然一致估计包含了偏差和方差都渐近0。
• 功率谱估计的方法很多，但分为二类：一类是经典法，另 一类是现代方法
• 经典方法主要包括有自相关法（也称间接法）和周期图法 （又称直接法）下面分别简单说明一下。
• 三、自相关法：（理论基础是维纳——率钦定理） • 即：对于一平稳离散随机信号来说，它的自相关函数
• 则x(-n)的傅立叶变换为 对上式两端去傅立叶变换：
S x( x w )1X (ej)X * (ej)1X (ej)2
N
N
• 将上式的 e j 在单位圆上等间隔取值得：
2
jk
Sxx(e N )
1
N
XNej2Nk
2
•
简记为： Sxx(k)N 1 XN(k)2
•
构造1阶预备方程： R(0) R(1)
R R((01))10D002 行 列 式 变换
章功率谱估计的现代方法
• 4.1从经典谱估计到现代谱估计 • • 4.2谱估计的参数模型方法 • • 4.3AR模型的Yule-Walker方程 • • 4.4Levinson-Durbin算法 • • 4.5AR模型的稳定性及其阶的确定
• 4.7格型滤波器 • 4.8AR模型参数提取方法 • 4.9AR谱估计的异常现象及其补救措施 • 4.10MA和ARMA模型谱估计 • 4.11白噪声中正弦波频率估计
Sxx(Z)2H(z)2
•
或：
Sxx(ejw )
2H(ej w )2
2B(ej w )2 A(ej w )
• 前面这三个式子H(Z)（传输函数）、x(n)（差分方程）、功
• 率谱，表示“极点一零点”模型，称为ARMA（p,q）模型。
• 1.当只有零点时，模型为：
q
H (z) B (z) b lz l l 0
Wold分解定理的一个推论是：如果功率谱完全是连续的，那 么任何ARMA or AR过程，可以用一个无限阶的MA过程表示。
Kolmogorov定理也有类似结论：任何ARMA or MA过程可以用 一个无限阶的AR过程表示。
这两个定理有很重要的意义： 1.如够果高选，择它了仍一然个能错比误较模好型地（逼即近被建模的M A随RA 机M 过A A程R o。)A A r,只R R要M 模A M 型A 的阶足
R ˆx(xm )ejm |M| N1
m M
• 可以证明，对于固定延m 迟 Rx，x(m)是Rxx(m) 计。
的一致估
• •
四由、R ˆ式x周x(m)期N 1 图N n —1 0|m —|x(可n直)x见(接n ：法m)式子右端，实际上是
X(e j )
• x(n)与x(-n)的卷积运算Z，*(e若jwx)(n)的傅立叶变换为 ，
k1
Rxx(m)E[x(n)x(mn)]
p
E{x(n)[akx(nmk)u(mn)]} k1
p
akRxx(mk)E[x(n)u(nm)] k1
设AR模型的冲激响应是h(n)，在方差 2 的白噪声序列 u(n)
作用下产生输出x(n):
x(n)h(l)u(nl) l0
q
x (n ) b lu (n l) l 0
•
Sxx(z)2B-(-Z模)2型（阶M滑A(动q)平均模型）
•
(除外 ，所有MA系b0数=10)
•
• 2.当都为极点时，模型为：
H(z) 1 1 A(z)
p i0
aizi
p
x(n)qkx(nk)u(n) k1
2
•
• X （N k可）以用FFT快速计算——周期图法。
• 五、经典法的缺点
• 不管数据记录多长（N多大），周期图法和自相关法都不 是功率谱的良好估计，主要因为存在以下两个难以克服的 固有缺点：
⒈ 频率分辨率不高（频率分辨率是指区分两个邻近频率分
量的能力）
因为：
f 1 TR
f 频率分辨率（Hz）反比于数据记录持续时间（长度，
• • 自相关函数只能由这N个取样数据来估计，自相关法是常
用的一种估计方法。
• 自相关法步骤：
•
首先由 xN (n)估计出
R xx
(m )
R ˆx(xm )N 1N n1 0|m |xN(n)xN(nm )
•
再对
R
xx
(m
)求其傅立叶变换，即得x(n)的功率谱：
M
Sx(x)
0 m
0
h(n)因果 n0 h (n)0
h(m)在 m0时0为
p
h(0)lz i m H (z)lz i m (1k 1akzk) 11
根据初值定理： p
Rxx(m)kp1akRxx(mk)2 akRxx(mk)
k1
以秒计）。而实际中，不可能获得长的数据记录。
2.经典法都是取一个长为N的取样序列，除此之外的序列值 都看成0，相当于在进行FFT前对无限长的数据序列进行了 加窗处理（加了一个有限宽的矩形窗）。我们知道：矩形 窗的频谱主瓣不是无限窄，且有旁瓣存在，这就造成了能 量向旁瓣中“泄漏”，且使分辨率降低，产生假的谱峰。
4.1功率谱估计的经典方法 一、功率谱概念：一个离散平稳随机过程，
在时域用自协方差序列或者自相关序列描 述。在频域中，是用功率谱来描述的。
功率谱反映随机过程的功率密度随频率变化 的规律。——功率密度谱
而实际中，我们只能观测到有限个数据，它 们往往是随机过程的一个取样序列中的一 般数据，我们必须根据这些数据来估计随 机过程的功率谱，也就是说从有限长信号 中估计出来。
• 二、估计理论中的几个基本概念 • 设a是广义平稳随机信号x(n)的一个特征量（可以是均值
方也差是，一自个相随关机出变数量，or那功么率谱a ）对。aa 估是计我的们质得 量到（的近估似计程值度，）
可以从以下一个方面考虑：
• 1.估计的偏差（也叫偏倚）用B表示
• 定义为：BE[aˆ]a
2.估计ARMA or MA参数一般需解一组曲线性方程。而估计AR模型参数 通常只需解一组线性方程。所以我们都可以用AR模型来逼近，只是 选择足够高的阶。
4.3 AR模型的Yule-Walker方程
以AR模型为基础的谱估计：
2
Sxx(z)A(z)A*(1/z*)
or
Sxx(ej)
2
A(ej)2
4.4 Levinson-Durbin 算法
• 解上节讲的矩阵方程（用高斯消元法）需要的运算量为 p 3 过大，为此我们引入Levinson-Durbin 算法。
• Levinson算法推导：
• 1.解0阶Yule-Walker方程 R ：( 0 ) [ 1 ] [0 2 ]
0 2 R ( 0 )
u(n) h(n)
x(n)
设h(n)是因果的
E[x(n)u(nm)]E{[ h(l)u(nl)]u(nm)} l0
h(l)E[u(nl)u(nm)] l0
h(l)Ruu(ml) l0
l0
h(l)2(m1)
2h(m)
0 m
2h(0)
R(0)
R(1)
R(p1)
a1
0
R(1)
R(0)
R(p2)a20
R(p1) R(p2)
R(0) ap
0
只要已知or估计出（P+1）个自相关函数值，即可由此方程
组解出（P+1）个模型参数 (a1,a2, ,ap,2)