北京市清华附中将台路校区2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析).doc
2021-2022学年北京清华附中高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年北京清华附中高一上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{|20}A x x =-<，{|1}x B x =>e ，则A B = A ．R B ．(,2)-∞ C ．(0,2) D ．(2,)+∞【答案】C【详解】因为集合{|20}{|2}A x x x x =-<=<，{}{}1x 0xB x e x ==,所以,故选C.2．已知命题:(0,)p a ∀∈+∞，12a a+>则p ⌝是（ ） A ．0,()a ∃∈+∞，12a a+> B ．(0,)a ∃∉+∞，12a a+> C ．0,()a ∃∈+∞，12a a +≤ D ．(0,)a ∃∉+∞，12a a+≤ 【答案】C【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得结果.【详解】由全称命题的否定是特称命题知：:(0,)p a ∀∈+∞，12a a+>， p ⌝是0,()a ∃∈+∞，12a a+≤，故选：C.3．已知ln3a =，0.3log 2b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】C【解析】根据函数的性质，指对数,,a b c 先和0，1比较大小，再比较,,a b c 的大小. 【详解】由函数单调性可知ln3ln 1a e =>=，0.3log 20b =<， 0.200.30.31c =<=，01c ∴<<，所以b c a <<. 故选：C4．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,)2ππ上为减函数的是A ．2|sin |y x =B ．cos y x =C ．sin 2y x =D ．|cos |y x =【答案】A【详解】2sin y x =最小正周期π，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，适合；cos y x =最小正周期为2π，不适合；sin2y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，不适合；cos y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，不适合.故选A5．已知1()f x -是函数()10x f x =的反函数，则1(1)f -的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．10 D ．100【答案】A【分析】根据给定条件求出1()f x -的解析式，再代入求函数值作答.【详解】因1()f x -是函数()10x f x =的反函数，则1()lg f x x -=，1(1)lg10f -==， 所以1(1)f -的值为0. 故选：A6．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点，则()cos πα+=（ ）A ．BC ．D 【答案】A【解析】根据任意角三角函数的概念可得出cos α，然后利用诱导公式求解.【详解】因为角α以Ox 为始边，且终边与单位圆交于点，所以cos α=()cos cos παα+=-=故选：A.【点睛】当α以Ox 为始边，已知角α终边上一点的坐标为(),x y 时，则sin α=cos α7．已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解.【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈， 由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集.8．已知指数函数()xf x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（ ）A ．32B ．23C D 【答案】D【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数a 的等式，进而可求得实数a 的值.【详解】由题意可得()3xg x a =，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，得到函数()23x f x a -=，又因为()xf x a =，所以，23x x a a -=，整理可得23a =，因为0a >且1a ≠，解得a =故选：D.9．已知函数1()sin()f x x ωφ=+（0,2ωφπ><）的部分图象如图所示，则,ωφ的值分别为A ．2,3π B ．2, 3π-C ．1,6π D ．1, 6π-【答案】B【详解】由条件知道：27,36x x ππ== 均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到27sin()0,sin()036w w πφπφ+=+=，由图像知道周期是π ，故2w =，故47sin()0,sin()033πφπφ+=+=，再根据三角函数的对称中心得到4+=k 3πφπ ，故.3πφ=- 如果7433k πφπφπ+=⇒=- ，根据2πφ<，得到.3πφ=-故答案为B ．点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法．10．已知函数()12x f x =-，2()43g x x x =-+，若存在实数a ，b 使得()()f a g b =，则b 的取值范围是（ ） A ．[22,22] B ．(22,22)+C ．[1,3]D ．(1,3)【答案】B【分析】根据给定条件求出函数()f x 的值域，由()g b 在此值域内解不等式即可作答. 【详解】因函数2x y =的值域是(0,)+∞，于是得函数()12x f x =-的值域是(,1)-∞， 因存在实数a ，b 使得()()f a g b =，则()()(,1)g b f a =∈-∞， 因此，2431b b -+<，解得2222b < 所以b 的取值范围是(22,22). 故选：B 二、填空题 11．已知1tan 2x =，则tan 2x 的值为___________.【答案】43113【分析】根据给定条件结合二倍角的正切公式计算作答.【详解】因1tan 2x =，则22122tan 42tan 2131tan 1()2x x x ⨯===--，所以tan 2x 的值为43.故答案为：4312．已知函数ln ,0()e 1,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x m =-恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________.【答案】12m <≤【分析】作出函数()y f x =的图象，把函数()g x 的零点转化为直线y m =与函数()y f x =图象交点问题解决.【详解】由()0g x =得()f x m =，即函数()g x 的零点是直线y m =与函数()y f x =图象交点横坐标，当0x ≤时，()e 1x f x =+是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当0x >时，()ln f x x =是增函数，函数值为一切实数，在坐标平面内作出函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当12m <≤时，直线y m =与函数()y f x =图象有2个交点，即函数()g x 有2个零点，所以实数m 的取值范围是：12m <≤. 故答案为：12m <≤13．已知{}12max ,,,n x x x ⋅⋅⋅表示1x ，2x ，…，n x 这n 个数中最大的数.能够说明“a ∀，b ，c ，d ∈R ，{}{}{}max ,max ,max ,,,a b c d a b c d +≥”是假命题的一组整数a ，b ，c ，d 的值依次为___________.【答案】2，1，-1，-2【分析】根据给定条件不妨规定a ，b ，c ，d 的大小，确定命题为真的条件即可推理作答.【详解】依题意，不妨令a b c d >>>，则有{}max ,a b a =，{}max ,c d c =，{}max ,,,a b c d a =，则原命题等价于a c a +≥，因此当0c <时，不等式a c a +≥不成立，即满足条件的只需排序后的第三个数小于0即可，所以，所求的一组整数a ，b ，c ，d 的值依次为：2，1，-1，-2. 故答案为：2，1，-1，-214．已知函数()sin()cos 22f x x xπ=+，给出下列四个命题：①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 的图象关于点(,0)π成中心对称； ③函数()f x 的图象关于直线2x π=-成轴对称； ④函数()f x 在区间3(,)2ππ上单调递增. 其中，所有正确命题的序号是___________. 【答案】①②③【分析】利用诱导公式化简函数()f x ，借助周期函数的定义判断①；利用函数图象对称的意义判断②③；取特值判断④作答.【详解】依题意，()cos cos 2f x x x =，因4(4)cos(4)cos cos cos ()22x xf x x x f x πππ++=+==，()f x 是周期函数，4π是它的一个周期，①正确；因()cos()coscos sin 22πx xf πx πx x +=+=+，()cos()cos2f πx πx πx =---cos sin 2x x =-， 即()()f x f x ππ+=--，因此()f x 的图象关于点(,0)π成对称中心，②正确； 因(2)cos(2)coscos cos 222πxf πx πx x x -+=-+=--+，(2)cos(2)coscos cos 222πx f πx πx x x --=--=---， 即(2)(2)f πx f πx -+=--，因此()f x 的图象关于直线2x π=-成轴对称，③正确； 因()cos cos 02f πππ==，4421()cos cos 3334f πππ==，333()cos cos 0224f πππ==，显然有4332πππ<<，而34()()()23f f f πππ=<，因此函数()f x 在区间3(,)2ππ上不单调递增，④不正确，所以，所有正确命题的序号是①②③. 故答案为：①②③【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，(1)存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.(2)存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称. 三、双空题15．已知[3,1]x ∈--，则函数42y xx =++的最大值为___________，最小值为___________. 【答案】 2- 3-【分析】利用对勾函数的单调性直接计算函数的最大值和最小值作答.【详解】因函数42y x x =++在(,2)-∞-上单调递增，在(2,0)-上单调递减，当[3,1]x ∈--时，函数42y xx =++在[3,2]--上单调递增，在[2,1]--上单调递减，即有当2x =-时，max 2y =-，而当3x =-时，73y =-，当1x =-时，3y =-，则min 3y =-，所以函数42y xx =++的最大值为2-，最小值为3-.故答案为：2-；3- 四、解答题16．求下列关于x 的不等式的解集： (1)517x ≥--； (2)222320a x ax -->【答案】(1){2x x ≤或}7x >； (2)答案见解析.【分析】（1）将原不等式变形为207x x -≥-，再利用分式不等式的解法可得原不等式的解集；（2）分0a =、0a <、0a >三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集. (1)解：由517x ≥--得521077x x x -+=≥--，解得2x ≤或7x >， 故不等式517x ≥--的解集为{2x x ≤或}7x >. (2)解：当0a =时，原不等式即为20->，该不等式的解集为∅； 当0a ≠时，220a >，原不等式即为()()2120ax ax +->. ①若0a <，则122a a ->，原不等式的解集为2x x a ⎧<⎨⎩或12x a ⎫>-⎬⎭；②若0a >，则122a a -<，原不等式的解集为12x x a ⎧<-⎨⎩或2x a ⎫>⎬⎭. 综上所述，当0a =时，原不等式的解集为∅； 当0a <时，原不等式的解集为2x x a ⎧<⎨⎩或12x a ⎫>-⎬⎭；当0a >时，原不等式的解集为12x x a ⎧<-⎨⎩或2x a ⎫>⎬⎭. 17．己知集合{}24xA x =>，{}2B x x a =-<，其中0a >且 1. a ≠(1)当2a =时，求A B 及A B ；(2)若集合{}log 0a C x x =<且C B ⊆，求a 的取值范围. 【答案】(1){}0A B x x ⋃=>，{}24A B x x ⋂=<<； (2)12a <≤.【分析】（1）当2a =时，解出集合A 、B ，利用交集和并集的定义可求得集合A B 及A B ；（2）解出集合B ，分01a <<、1a >两种情况讨论，解出集合C ，由C B ⊆可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. (1)解：当2a =时，由22x -<可得222x -<-<，解得04x <<，即{}04B x x =<<，因为{}{}242xA x x x =>=>，故{}0AB x x ⋃=>，{}24A B x x ⋂=<<.(2)解：由2x a -<得22x a -<-<，即22a x a -<<+，所以，{}22B x a x a =-<<+. 当01a <<时，{}{}log 01a C x x x x =<=>，此时C B ⊄；当1a >时，{}{}log 001a C x x x x =<=<<， 由C B ⊆可得20211a a a -≤⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得12a <≤.综上所述，实数a 的取值范围是12a <≤. 18．已知函数()2sin sin f x x x x =+. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】(1)函数()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)最大值为32，最小值为12-.【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期，解不等式()222Z 262k x k k πππππ-≤-≤+∈可得出函数()f x 的单调递增区间；（2）由236x ππ-≤≤可求得26x π-的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数()f x 的最大值和最小值.(1)解：因为()21cos 2sin sin 22xf x x x x x -=+=+1112cos 2sin 22262x x x π⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭. 所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 由()222Z 262k x k k πππππ-≤-≤+∈，解得()Z 63k x k k ππππ-≤≤+∈，因此，函数()f x 的单调递增区间为(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.(2) 解：因为236x ππ-≤≤，所以，32266x πππ-≤-≤， 所以，当262x ππ-=-时，函数()f x 取最小值，即()min 11122f x =-+=-，当3262x ππ-=-时，函数()f x 取最大值，即()max 13122f x =+=. 19．已知函数2()21f x x ax a =++-.(1)若()f x 的图象恒在直线1y =-上方，求实数a 的取值范围； (2)若不等式()0f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)08a <<； (2)1a ≥.【分析】(1)根据给定条件可得2211x ax a ++->-恒成立，再借助判别式列出不等式求解即得.(2)根据给定条件列出不等式，再分离参数，借助函数的单调性求出函数值范围即可推理作答. (1)因函数2()21f x x ax a =++-的图象恒在直线1y =-上方，即R x ∀∈，2221120x ax a x ax a ++->-⇔++>， 于是得280a a ∆=-<，解得08a <<， 所以实数a 的取值范围是：08a <<. (2)依题意，(0,)∀∈+∞x ，()222121010f x x ax a a x x -++-≥⇔≥≥-+⇔，令11x t +=>，22212(1)11241x t t x t t---==+-+， 令函数1()24g t t t=+-，(1,)t ∈+∞，1212,(1,),t t t t ∀∈+∞<，1212121212111()()22()(2)g t g t t t t t t t t t -=+--=--，而121t t <<，即120t t -<，12120t t ->， 则有12()()0g t g t -<，即12()()g t g t <，于是得()g t 在(1,)t ∈+∞上单调递增，因此，1t ∀>，()(1)1g t g >=-，即22111x x ->-+，从而有22111x x --<+，则1a ≥， 所以实数a 的取值范围是1a ≥.20．已知02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 42πβ⎛⎫= ⎪⎝⎭-(1)求cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求sin β的值： (3)求αβ-的值.【答案】； (2)13-；(3)4π.【分析】（1）同角三角函数平方关系求得sin 4πα⎛⎫= ⎪⎝⎭+，sin 42πβ⎛⎫⎪⎝⎭-[()()]2442βπααπβ--+=+及差角余弦公式求值即可.（2）由诱导公式、二倍角余弦公式可得2sin cos()2cos ()1242ππβββ=-=--，即可求值.（3）由（1）及和角正余弦公式求cos α、sin α，由（2）及平方关系求cos β，最后应用差角余弦公式求cos()αβ-，结合角的范围求αβ-. (1) 由题设，3444πππα<+<，4422ππβπ<-<，∴sin 4πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+，sin 42πβ⎛⎫= ⎪⎝⎭-又cos cos[()()]cos()cos()sin()sin 42424()24424πβπβπβπππαβααα⎛⎫+=+-=+---++=⎪⎝⎭. (2)21sin cos()2cos ()12423ππβββ=-=--=-.(3)由1cos sin )43πααα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则cos sin αα-=由sin sin )4πααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭4cos sin 3αα+=，∴cos α=sin α=1sin 3β=-，02πβ-<<，则cos β=，∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+=0αβπ<-<，故4αβ-=π.21．己知函数()f x 的定义域为D ，若存在实数a ，使得对于任意1x D ∈都存在2x D ∈满足()122x f x a +=，则称函数()f x 为“自均值函数”，其中a 称为()f x 的“自均值数”.(1)判断函数()2x f x =是否为“自均值函数”，并说明理由：(2)若函数()sin()(0)6g x x πωω=+>，[0,1]x ∈为“自均值函数”，求ω的取值范围；(3)若函数2()23h x tx x =++，[0,2]x ∈有且仅有1个“自均值数”，求实数t 的值. 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)5[,)6π+∞； (3)12-.【分析】(1)假定函数()2x f x =是 “自均值函数”，由函数2()f x 的值域与函数12y a x =-的值域关系判断作答.(2)根据给定定义可得函数2()g x 在[0,1]上的值域包含函数12y a x =-在[0,1]上的值域，由此推理计算作答.(3)根据给定定义可得函数2()h x 在[0,2]上的值域包含函数12y a x =-在[0,2]上的值域，再借助a 值的唯一性即可推理计算作答. (1)假定函数()2x f x =是 “自均值函数”，显然()2x f x =定义域为R ，则存在R a ∈，对于1x ∀∈R ，存在2R x ∈，有2122x x a +=， 即2122x a x =-，依题意，函数22()2xf x =在R 上的值域应包含函数12y a x =-在R 上的值域，而当2R x ∈时，2()f x 值域是(0,)+∞，当1R x ∈时，12y a x =-的值域是R ，显然(0,)+∞不包含R ，所以函数()2x f x =不是 “自均值函数”. (2)依题意，存在R a ∈，对于1[0,1]x ∀∈，存在2[0,1]x ∈，有12()2x g x a +=，即21sin()26x a x πω+=-，当1[0,1]x ∈时，12y a x =-的值域是[21,2]a a -，因此22()sin()6g x x πω=+在2[0,1]x ∈的值域包含[21,2]a a -， 当2[0,1]x ∈时，而0>ω，则2666x πππωω≤+≤+，若62ππω+≤，则2min 1()2g x =，2()1g x ≤，此时2()g x 值域的区间长度不超过12，而区间[21,2]a a -长度为1，不符合题意， 于是得62ππω+>，2max ()1g x =，要22()sin()6g x x πω=+在2[0,1]x ∈的值域包含[21,2]a a -，则22()sin()6g x x πω=+在2[0,1]x ∈的最小值小于等于0，又23[,]622x πππω+∈时，2()g x 递减，且()0π=g ， 从而有6πωπ+≥，解得56πω≥，此时，取12a =，12y a x =-的值域是[0,1]包含于2()g x 在2[0,1]x ∈的值域， 所以ω的取值范围是5[,)6π+∞. (3)依题意，存在R a ∈，对于1[0,2]x ∀∈，存在2[0,2]x ∈，有12()2x h x a +=，即2221232tx x a x ++=-，当1[0,2]x ∈时，12y a x =-的值域是[22,2]a a -，因此2222()23h x tx x =++在2[0,2]x ∈的值域包含[22,2]a a -，并且有唯一的a 值，当0t ≥时，2()h x 在[0,2]单调递增，2()h x 在2[0,2]x ∈的值域是[3,47]t +，由[22,2][3,47]a a t -⊆+得223247a a t -≥⎧⎨≤+⎩，解得57222a t ≤≤+，此时a 的值不唯一，不符合要求，当0t <时，函数2222()23h x tx x =++的对称轴为21x t=-，当12t -≥，即102t -≤<时，2()h x 在[0,2]单调递增，2()h x 在2[0,2]x ∈的值域是[3,47]t +， 由[22,2][3,47]a a t -⊆+得223247a a t -≥⎧⎨≤+⎩，解得57222a t ≤≤+，要a 的值唯一，当且仅当57222t =+，即15,22t a =-=，则12t =-， 当102t <-<，即12t <-时，2max 11()()3h x h t t =-=-，2min ()min{(0),(2)}h x h h =，(0)3h =，(2)47h t =+，由1[22,2][3,3]a a t -⊆-且112t -≤<-得：531222a t≤≤-，此时a 的值不唯一，不符合要求，由1[22,2][47,3]a a t t-⊆+-且1t <-得，9312222t a t +≤≤-，此时a 的值不唯一，不符合要求，综上得：12t =-，所以函数2()23h x tx x =++，[0,2]x ∈有且仅有1个“自均值数”，实数t 的值是12-.【点睛】结论点睛：若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集.。
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北京市清华附中将台路校区2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.若集合{|12}A x x =-<<，{2,0,1,2}B =-，则A B =（ ）A. ∅B. {0,1}C. {0,1,2}D.{2,0,1,2}-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用交集定义直接求解。
【详解】集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =。
【点睛】本题主要考查集合交集的运算。
2.已知函数2()f x x =，{}1,0,1x ∈-，则函数的值域为（ ）A. {}1,0,1-B. [0,1]C. {}0,1D.[0,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】分别代入1,0,1-求得()f x 即可.【详解】由题222(1)(1)1,(0)(0)0,(1)11f f f -=-=====,故值域为{}0,1故选：C【点睛】本题主要考查函数的值域,属于简单题型.3.已知命题p ：“2,20x R x ∀∈+>”，则命题p 的否定为A. 2,20x R x ∀∈+≤B. 200,20x R x ∃∈+>C. 200,20x R x ∃∈+≤D. 2,20x R x ∀∈+<【答案】C 【解析】 【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定． 【详解】由全称命题的否定为特称命题可得命题p ：“2,20x R x ∀∈+>”的否定为200,20x R x ∃∈+≤，故选C ．【点睛】本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题． 4.在区间()0,∞+上是减函数的是（） A. 31yxB. 231y x =+C. 2y x=D.2y x x =+【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数性质即可得到结果. 【详解】31yx 在()0,∞+上单调递增，A 错误；231y x =+在()0,∞+上单调递增，B 错误2y x=()0,∞+上单调递减，C 正确；2y x x =+在()0,∞+上单调递增，D 错误本题正确选项：C【点睛】本题考查常见函数单调性的判断，属于基础题. 5.已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用集合间的关系推出p q 、之间的关系.【详解】{|1}x x>{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件,故选：B.【点睛】p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ：p 是q 的充分不必要条件则有：A B ；p 是q 的必要不充分条件则有：BA .6.若0a >，0b >，2ab =，则2+a b 的最小值为（）A. B. 4C. D. 6【答案】B 【解析】 【分析】由a +2ba +2b 的最小值． 【详解】∵a ＞0，b ＞0，ab ＝2， ∴a +2b4=， 当且仅当a ＝2b ＝2时取等号， ∴a +2b 的最小值为4． 故选：B ．【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是等号成立的条件，属基础题．7.定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =-，则函数()f x 的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可知2x =，0x =为()f x 的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推()f x 在(,0)-∞这个区间上的零点，即可得出答案。
2019-2020学年北京市清华附中将台路校区高一上学期期中考试数学试题
2019-2020学年北京市清华附中将台路校区高一上学期期中考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.若集合{|12}A x x =-<<，{2,0,1,2}B =-，则A B =I （ ） A. ∅B. {0,1}C. {0,1,2}D.{2,0,1,2}-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用交集定义直接求解。
【详解】集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =I 。
【点睛】本题主要考查集合交集的运算。
2.已知函数2()f x x =，{}1,0,1x ∈-，则函数的值域为（ ） A. {}1,0,1-B. [0,1]C. {}0,1D.[0,)+∞【答案】C【解析】 【分析】分别代入1,0,1-求得()f x 即可.【详解】由题222(1)(1)1,(0)(0)0,(1)11f f f -=-=====,故值域为{}0,1故选：C【点睛】本题主要考查函数的值域,属于简单题型.3.已知命题p ：“2,20x R x ∀∈+>”，则命题p 的否定为 A. 2,20x R x ∀∈+≤B. 200,20x R x ∃∈+>C. 200,20x R x ∃∈+≤D. 2,20x R x ∀∈+<【答案】C 【解析】 【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定． 【详解】由全称命题的否定为特称命题可得命题p ：“2,20x R x ∀∈+>”的否定为200,20x R x ∃∈+≤，故选C ．【点睛】本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题． 4.在区间()0,∞+上是减函数的是（） A. 31y x =+B. 231y x =+C. 2y x=D.2y x x =+【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数性质即可得到结果.【详解】31y x =+在()0,∞+上单调递增，A 错误；231y x =+在()0,∞+上单调递增，B 错误2y x=()0,∞+上单调递减，C 正确；2y x x =+在()0,∞+上单调递增，D 错误本题正确选项：C【点睛】本题考查常见函数单调性的判断，属于基础题. 5.已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用集合间的关系推出p q 、之间的关系.【详解】{|1}x x >Ý{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件, 故选：B .【点睛】p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ：p 是q 的充分不必要条件则有：A B Ü； p 是q 的必要不充分条件则有：B A Ü.6.若0a >，0b >，2ab =，则2+a b 的最小值为（）A. B. 4C. D. 6【答案】B 【解析】 【分析】由a +2b a +2b 的最小值． 详解】∵a ＞0，b ＞0，ab ＝2，∴a +2b 4=， 当且仅当a ＝2b ＝2时取等号， ∴a +2b 的最小值为4． 故选：B ．【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是等号成立的条件，属基础题．7.定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =-…，则函数()f x 的零点个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可知2x =，0x =为()f x 的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推()f x 在(,0)-∞这个区间上的零点，即可得出答案。
2021-2022学年北京市清华附中朝阳学校高一(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年北京市清华附中朝阳学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）1．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ＜2}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0} B ．{﹣2，﹣1，0，1}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{x |﹣2≤x ＜2}2．下列函数是偶函数的是（ ） A ．f(x)=√x B ．f （x ）＝log 2xC ．f （x ）＝x 2D ．f （x ）＝x 33．若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ．ac 2＞bc 2 B ．ac＞bcC ．a +c ＜b +cD ．a ＞b ﹣c4．设a ，b ∈R ，则“a ＞|b |”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知a ＝0.5，b ＝0.50.6，c ＝log 0.60.5，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a6．函数f （x ）＝x 3﹣x ﹣7的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）7．已知函数y ＝f （x ）可表示为（ ）则下列结论正确的是（ ） A ．f （f （4））＝3B ．f （x ）的值域是{1，2，3，4}C ．f （x ）的值域是[1，4]D ．f （x ）在区间[4，8]上单调递增8．已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=12log3O100，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100B．900C．81D．910．已知函数f1(x)=2x，f2（x）＝2x+1，g1（x）＝log a x（a＞1），g2（x）＝kx（k＞0），则下列结论正确的是（）A．函数f1（x）和f2（x）的图象有且只有一个公共点B．∃x0∈R，当x＞x0时，恒有g1（x）＞g2（x）C．当a＝2时，∃x0∈（0，+∞），f1（x0）＜g1（x0）D．当a=1k时，方程g1（x）＝g2（x）有解二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．11．函数f(x)=1x−1+log12x的定义域是．12．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2，则xy的最大值为．13．3×2−1+lg√2+12lg5+(27)13=．14．已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈（0，1]时，f（x）＝2x，则当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝；函数f（x）在定义域内的值域为．15．方程x+2x＝2的根为a，方程x+log2x＝2的根为b，则a+b＝．16．已知函数f(x)={2x−1，x ＜a−x 2+2a ，x ≥a ，如果函数f （x ）满足对任意x 1∈（﹣∞，a ），都存在x 2∈（a ，+∞），使得f （x 2）＝f （x 1），称实数a 为函数f （x ）的包容数． 在①−12；②12；③1；④√2；⑤32中，函数f （x ）的包容数是 ．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 17．（13分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |0≤x ﹣1≤3}． （Ⅰ）求A ∪B ；（Ⅱ）设非空集合D ＝{x |a ＜x ＜2a +3，a ∈R }，若D ⊆∁U A ，求实数a 的取值范围．18．（13分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣2．（Ⅰ）若f（x）≥0的解集{x|x≤﹣1或x≥2}，求a的值．（Ⅱ）分类讨论不等式f（x）≥0的解集．19．（13分）已知函数f（x）＝a•2x+b的图象过原点，且f（1）＝1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）判断并用定义证明函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上的单调性．20．（13分）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品．在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为R （x ）万元，且 R （x ）={500−2x ，0＜x ≤20370+2140x −6250x2，x ＞20． （1）写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本） （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．21．（14分）已知函数y＝f（x）的定义域为R，且满足（1）f（1）＝3；（2）对于任意的u，v∈R，总有f（u+v）＝f（u）+f（v）﹣1；（3）对于任意的u，v∈R，u﹣v≠0，（u﹣v）[f（u）﹣f（v）]＞0．（Ⅰ）求f（0）及f（﹣1）的值；（Ⅱ）求证：函数y＝f（x）﹣1为奇函数；（Ⅲ）若f(12m2)−2f(m−12)＞−2，求实数m的取值范围．22．（14分）定义：给定整数i，如果非空集合A满足如下3个条件：①A⊆N*；②A≠{1}；③∀x，y∈N*，若x+y∈A，则xy﹣i∈A．则称集合A为“减i集”（Ⅰ）P＝{1，2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？（Ⅱ）证明：不存在“减2集”；（Ⅲ）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有的“减1集”；如果不存在，请说明理由．2021-2022学年北京市清华附中朝阳学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）1．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ＜2}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0} B ．{﹣2，﹣1，0，1}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{x |﹣2≤x ＜2}解：∵A ＝{x |﹣2≤x ＜2}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∩B ＝{﹣2，﹣1，0，1}． 故选：B ．2．下列函数是偶函数的是（ ） A ．f(x)=√xB ．f （x ）＝log 2xC ．f （x ）＝x 2D ．f （x ）＝x 3解：函数f(x)=√x 的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，所以f （x ）为非奇非偶函数，故选项A 错误；函数f （x ）＝log 2x 的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以f （x ）为非奇非偶函数，故选项B 错误；函数f （x ）＝x 2定义域为R ，且f （﹣x ）＝f （x ），所以函数f （x ）为偶函数，故选项C 正确； 函数f （x ）＝x 3定义域为R ，且f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数f （x ）为奇函数，故选项D 错误． 故选：C ．3．若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ．ac 2＞bc 2 B ．a c＞bcC ．a +c ＜b +cD ．a ＞b ﹣c解：∵a ＞b ，c ＜0，∴ac 2＞bc 2，a c与bc大小关系不确定，a +c ＞b +c ，a 与b ﹣c 的大小关系不确定．则下列不等式成立的是A ． 故选：A ．4．设a ，b ∈R ，则“a ＞|b |”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：“a ＞|b |”⇒“a ＞b “，反之不成立． ∴“a ＞|b |”是“a ＞b “的充分不必要条件． 故选：A ．5．已知a＝0.5，b＝0.50.6，c＝log0.60.5，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解：根据y＝0.5x在R上单调递减得0.5＝0.51＜0.50.6＜0.50＝1，根据y＝log0.6x在（0，+∞）上单调递减得log0.60.5＞log0.60.6＝1，所以a＜b＜c．故选：A．6．函数f（x）＝x3﹣x﹣7的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：函数f（x）＝x3﹣x﹣7是连续函数，∵f（2）＝8﹣1﹣7＝﹣1＜0，f（3）＝27﹣2﹣7＝18＞0，∴f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知函数的零点在（2，3）．故选：C．7．已知函数y＝f（x）可表示为（）则下列结论正确的是（）A．f（f（4））＝3B．f（x）的值域是{1，2，3，4}C．f（x）的值域是[1，4]D．f（x）在区间[4，8]上单调递增解：由题意知f（4）＝3，得f（f（4））＝f（3）＝2，故A错误，函数的值域为{1，2，3，4}，故B正确，C错误，f（x）在定义域上不单调，故D错误，故选：B．8．已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）解：不等式f（x）＞0，即2x＞x+1．由于函数y＝2x和直线y＝x+1的图象都经过点（0，1）、（1，2），如图所示：不等式f （x ）＞0的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞），故选：D ．9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为v =12log 3O 100，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ）A ．8100B ．900C ．81D ．9 解：鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量为：令v ＝2=12log 3o 100，即4=log 3o 100， 即o 100=34=81，即o ＝8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v ＝0=12log 3o′100，即o′100=1，即o '＝100， 故鲑鱼游速为2m /s 时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为8100100=81，故选：C ． 10．已知函数f 1(x)=2x ，f 2（x ）＝2x +1，g 1（x ）＝log a x （a ＞1），g 2（x ）＝kx （k ＞0），则下列结论正确的是（ ）A ．函数f 1（x ）和f 2（x ）的图象有且只有一个公共点B ．∃x 0∈R ，当x ＞x 0时，恒有g 1（x ）＞g 2（x ）C ．当a ＝2时，∃x 0∈（0，+∞），f 1（x 0）＜g 1（x 0）D ．当a =1k 时，方程g 1（x ）＝g 2（x ）有解解：选项A ：∵f 1(x)=2x ，f 2（x ）＝2x +1， ∴f 1（0）＝1，f 2（0）＝1，f 1（2）＝4＜f 2（2）＝5，f 1（3）＝8＞f 2（3）＝7，则函数f 1（x ）和f 2（x ）的图象有一个交点（0，1），还有一个交点横坐标在（2，3）上，故选项A 不正确；选项B ：当a ＝2，k ＝1时，g 1（x ）＝log 2x ＜g 2（x ）＝x 恒成立，故不∃x 0∈R ，当x ＞x 0时，恒有g 1（x ）＞g 2（x ），故选项B 不正确；选项C ：当a ＝2时，f 1（x ）与g 1（x ）的图象关于y ＝x 对称，f 1（x ）的图象恒在直线y ＝x 上方， g 1（x ）的图象恒在直线y ＝x 下方，故不存在x 0∈（0，+∞），f 1（x 0）＜g 1（x 0），故选项C 不正确； 选项D ：a =1k 时，g 2（x ）=1a x ，故g 1（x ）＝log a x （a ＞1）和g 2（x ）＝kx （k ＞0）均过点（a ，1），所以方程g 1（x ）＝g 2（x ）有解，故选项D 正确．故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．11．函数f(x)=1x−1+log 12x 的定义域是 （0，1）∪（1，+∞） ．解：要使得函数f(x)=1x−1+log 12x 有意义， 则x ＞0且x ﹣1≠0，解得：x ∈（0，1）∪（1，+∞）．故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．12．已知x ＞0，y ＞0，且x +y ＝2，则xy 的最大值为 1 ．解：因为x ＞0，y ＞0，且x +y ＝2，所以由基本不等式可得，xy ≤（x+y 2）2＝1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，故xy 最大值为1．故答案为：1．13．3×2−1+lg √2+12lg5+(27)13= 5 ． 解：原式=32+lg √2+lg √5+33×13=32+lg （√2×√5）+3=32+lg 1012+3=32+12+3＝5． 故答案为：5．14．已知奇函数f （x ）的定义域为[﹣1，1]，当x ∈（0，1]时，f （x ）＝2x ，则当x ∈[﹣1，0）时，f （x ）＝ ﹣2﹣x ；函数f （x ）在定义域内的值域为 [﹣2，﹣1）∪{0}∪（1，2] ． 解：函数f （x ）为奇函数，且定义域为[﹣1，1]，则f （0）＝0，因为当x ∈（0，1]时，f （x ）＝2x ，则当x ∈[﹣1，0）时，﹣x ∈（0，1]，所以f （﹣x ）＝2﹣x ＝﹣f （x ）， 故f （x ）＝﹣2﹣x ， 所以f(x)={−2−x ，x ∈[−1，0)0，x =02x ，x ∈(0，1]， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝2x 为单调递增函数，所以f （x ）∈（1，2]；当x ＝0时，f （x ）＝0；当x ∈[﹣1，0）时，f （x ）＝﹣2﹣x 为单调递增函数，所以f （x ）∈[﹣2，﹣1）．综上所述，f （x ）在定义域内的值域为[﹣2，﹣1）∪{0}∪（1，2]．故答案为：﹣2﹣x ；[﹣2，﹣1）∪{0}∪（1，2]． 15．方程x +2x ＝2的根为a ，方程x +log 2x ＝2的根为b ，则a +b ＝ 2 ．解：由x +2x ＝2，得2x ＝2﹣x ，由x +log 2x ＝2，得log 2x ＝2﹣x ，在同一平面直角坐标系中画出y ＝2x ，y ＝log 2x 和y ＝2﹣x 的图像，如图所示，设直线y ＝x 与y ＝2﹣x 的交点为A ，联立方程{y =x y =2−x ，解得A （1，1），∵a 为点B 的横坐标，b 为点C 的横坐标，而点A 为点B ，C 的中点，∴a +b ＝2，故答案为：2．16．已知函数f(x)={2x−1，x ＜a −x 2+2a ，x ≥a，如果函数f （x ）满足对任意x 1∈（﹣∞，a ），都存在x 2∈（a ，+∞），使得f （x 2）＝f （x 1），称实数a 为函数f （x ）的包容数．在①−12；②12；③1；④√2；⑤32中，函数f （x ）的包容数是 12，1，√2 ．解：由题意可知：a 应满足{f （x ）|x ＜a }⊆{f （x ）|x ≥a }，当x ＜a 时，f （x ）＝2x ﹣1单调递增，故0＜f （x ）＜2a ﹣1； 当x ≥a 时，f （x ）＝﹣x 2+2a ，若a ≥0，则f （x ）单调递减，则f （x ）≤f （a ）＝﹣a 2+2a ；当a ＜0时，f （x ）在（a ，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，故f （x ）≤f （0）＝2a ， 由题意，只需2a ﹣1≤﹣a 2+2a ， 当a ≥0时，此时a =12，1，√2满足，a =32不满足；当a ＜0时，a =−12不满足，故f （x ）的包容数为：12，1，√2． 故答案为：12，1，√2． 三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17．（13分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |0≤x ﹣1≤3}．（Ⅰ）求A ∪B ；（Ⅱ）设非空集合D ＝{x |a ＜x ＜2a +3，a ∈R }，若D ⊆∁U A ，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |0≤x ﹣1≤3}＝{x |1≤x ≤4}，所以A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤4}；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∁U A ＝{x |x ≤﹣1或x ≥3}，因为非空集合D ＝{x |a ＜x ＜2a +3，a ∈R }，且D ⊆∁U A ，则2a +3≤﹣1或a ≥3且2a +3＞a ，解得﹣3＜a ≤﹣2或a ≥3，故实数a 的取值范围为（﹣3，﹣2]∪[3，+∞）．18．（13分）已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣2．（Ⅰ）若f （x ）≥0的解集{x |x ≤﹣1或x ≥2}，求a 的值．（Ⅱ）分类讨论不等式f （x ）≥0的解集．解：（Ⅰ）∵f （x ）≥0的解集{x |x ≤﹣1或x ≥2}，∴f （x ）＝0的两根为﹣1和2，∴4a +2（a ﹣2）﹣2＝0，∴a ＝1．（Ⅱ）f （x ）≥0⇔（ax ﹣2）（x +1）≥0，①当a ＝0时，则﹣2（x +1）≥0，∴x ≤﹣1，②当a ＞0时，则2a＞−1，∴x ≥2a 或x ≤﹣1， ③当a ＜0时，若2a =−1，即a ＝﹣2时，∴x ＝﹣1，若2a＞−1，即a ＜﹣2时，﹣1≤x ≤2a ， 若2a ＜−1，即﹣2＜a ＜0时，2a ≤x ≤﹣1， 综上，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤﹣1}，当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ≥2a 或x ≤﹣1}，当a ＝﹣2时，不等式的解集为{x |x ＝﹣1}，当﹣2＜a ＜0时，不等式的解集为{x |2a ≤x ≤﹣1}， 当a ＜﹣2时，不等式的解集为{x |﹣1≤x ≤2a }．19．（13分）已知函数f （x ）＝a •2x +b 的图象过原点，且f （1）＝1．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）判断并用定义证明函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上的单调性． 解：（Ⅰ）因为函数f （x ）＝a •2x +b 的图象过原点，且f （1）＝1，则{a +b =02a +b =1，解得a ＝1，b ＝﹣1； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，f （x ）＝2x ﹣1，则g （x ）=12x −1， 函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上单调递减．证明如下：设0＜x 1＜x 2，则g(x 1)−g(x 2)=12x 1−1−12x 2−1=2x 2−2x1(2x 1−1)(2x 2−1)， 因为0＜x 1＜x 2，所以2x 2−2x 1＞0，2x 1−1＞，2x 2−1＞0，故g （x 1）＞g （x 2），所以函数g(x)=1f(x)在区间（0，+∞）上单调递减．20．（13分）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平台，成为全球共享的国际公共产品．在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x 万台且全部售完，每万台的销售收入为R （x ）万元，且R （x ）={500−2x ，0＜x ≤20370+2140x −6250x 2，x ＞20． （1）写出年利润S （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本）（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大？并求出最大利润．解：（1）当0＜x ≤20时，S ＝xR （x ）﹣（380x +150）＝500x ﹣2x 2﹣380x ﹣150＝﹣2x 2+120x ﹣150，当x ＞20时，S ＝xR （x ）﹣（380x +150）＝370x +2140−6250x −380x ﹣150＝﹣10x −6250x +1990，∴函数S 的解析式为S ={−2x 2+120x −150，0＜x ≤20−10x −6250x +1990，x ＞20．（2）当0＜x ≤20时，S ＝﹣2x 2+120x ﹣150＝﹣2（x ﹣30）2+1650，∴函数S 在（0，20]上单调递增，∴当x ＝20时，S 取得最大值，为1450，当x ＞20时，S ＝﹣10x −6250x +1990＝﹣（10x +6250x ）+1990≤﹣2√10x ⋅6250x +1990＝﹣500+1990＝1490，当且仅当10x =6250x ，即x ＝25时，等号成立，此时S 取得最大值，为1490，∵1490＞1450，∴当年产量为25万台时，该企业获得的利润最大，最大利润为1490万元．21．（14分）已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，且满足（1）f （1）＝3；（2）对于任意的u ，v ∈R ，总有f （u +v ）＝f （u ）+f （v ）﹣1；（3）对于任意的u ，v ∈R ，u ﹣v ≠0，（u ﹣v ）[f （u ）﹣f （v ）]＞0．（Ⅰ）求f （0）及f （﹣1）的值；（Ⅱ）求证：函数y ＝f （x ）﹣1为奇函数；（Ⅲ）若f(12m 2)−2f(m −12)＞−2，求实数m 的取值范围．解：（I ）令u ＝v ＝0，可得f （0）＝f （0）+f （0）﹣1，解得f （0）＝1；令u ＝1，v ＝﹣1，可得f （0）＝f （1）+f （﹣1）﹣1，可得f （﹣1）＝2﹣f （1）＝2﹣3＝﹣1；（II ）证明：令u ＝x ，v ＝﹣x ，即有f （0）＝f （x ）+f （﹣x ）﹣1，即f （x ）+f （﹣x ）＝2，即有f （﹣x ）﹣1＝﹣[f （x ）﹣1]，可得函数y ＝f （x ）﹣1为奇函数；（III ）由对于任意的u ，v ∈R ，u ﹣v ≠0，（u ﹣v ）[f （u ）﹣f （v ）]＞0，可得f （x ）在R 上递增，f(12m 2)−2f(m −12)＞−2⇔f （12m 2）﹣[f （2m ﹣1）+1]＞﹣2⇔ f （12m 2）+2﹣f （2m ﹣1）﹣1＞0⇔f （12m 2）+f （1﹣2m ）﹣1＞0 ⇔f （12m 2+1﹣2m ）＞0， 由于f （﹣1）＝f （−12）+f （−12）﹣1＝﹣1，即f （−12）＝0，即有f （12m 2+1﹣2m ）＞f （−12）， 由f （x ）在R 上递增，可得12m 2+1﹣2m ＞−12， 解得m ＞3或m ＜1，即m 的范围是（﹣∞，1）∪（3，+∞）．22．（14分）定义：给定整数i ，如果非空集合A 满足如下3个条件：①A ⊆N *；②A ≠{1}；③∀x ，y ∈N *，若x +y ∈A ，则xy ﹣i ∈A ．则称集合A 为“减i 集”（Ⅰ）P ＝{1，2}是否为“减0集”？是否为“减1集”？（Ⅱ）证明：不存在“减2集”；（Ⅲ）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有的“减1集”；如果不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）∵P ⊆N *，P ≠{1}，1+1＝2∈P ，1×1﹣0∈P ，∴P 是“减0集”同理，∵P ⊆N *，P ≠{1}，1+1＝2∈P ，1×1﹣1∉P ，∴P 不是“减1集”．（Ⅱ）假设存在A 是“减2集”，则若x +y ∈A ，那么xy﹣2∈A，①当x+y＝xy﹣2时，有（x﹣1）（y﹣1）＝3，则x，y一个为2，一个为4，所以集合A中有元素6，但是3+3∈A，3×3﹣2∉A，与A是“减2集”，矛盾；②当x+y≠xy﹣2时，则x+y＝xy﹣1或者x+y＝xy﹣m（m＞2），若x+y＝xy﹣1，m＝1时M为除1以外的最小元素，则x＝M﹣1，y＝1时，xy﹣2＝M﹣3小于M，如果要符合题意必须M＝4，此时取x＝2，y＝2，xy﹣2＝2不属于A，故不符合题意．m＞2时，（x﹣1）（y﹣1）＝m+1，同样得出矛盾．综上可得：不存在A是“减2集”．（Ⅲ）存在“减1集”A．A≠{1}．①假设1∈A，则A中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2∈A，1+1∈A，而1×1﹣1∉A，因此2∉A．假设3∈A，1+2∈A，而1×2﹣1∈A，因此3∈A．因此可以有A＝{1，3}．假设4∈A，1+3∈A，而1×3﹣1∉A，因此4∉A．假设5∈A，1+4∈A，1×4﹣1∈A，2+3＝5，2×3﹣1∈A，因此5∈A．因此可以有A＝{1，3，5}．以此类推可得：A＝{1，3，5，……，2n﹣1，……}，（n∈N*），以及A的满足以下条件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，……．。
北京市2023-2024学年高一上学期期中考试 数学含解析
北京2023-2024学年第一学期期中练习（答案在最后）高一数学2023.10说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则M N ⋂=（）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1 C.{}2- D.{}2,1--2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，20012x x +≤”的否定为A.(0,)x ∀∈+∞，21x x +>2 B.(0,)x ∀∈+∞，212x x +≤C.(,0)x ∀∈-∞，212x x+≤ D.(],0x ∀∈-∞，21x x+>23.已知关于x 的方程220x x m -+=的两根同号，则m 的取值范围是（）A.1m ≤B.0m ≤C.01m <≤D.01m ≤≤4.已知函数()()()22111x x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则()()1f f -的值为（）A.3B.0C.1- D.2-5.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增且是奇函数的是（）A.1y x =+B.1y x x=-C.y x= D.2y x =7.已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A.b a c a-<+ B.2c ab< C.c c b a> D.b c a c<8.设()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，()31f x x =-，则(0)(4)f f +=（）A.12B.12- C.13D.13-9.已知当0x >时，不等式2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.(),8∞- B.(],8∞- C.[)8,+∞ D.()6,+∞10.对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A U x A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是()A.若,A B ⊆则()()A B f x f x ≤B.()()1R A A f x f x =-ðC.()()()A B A B f x f x f x =⋅ D.()()()A B A B f x f x f x =+ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()f x =__________．12.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为()()0,4,2,0,()6,4，则()2f x ≤的解集为________.13.定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个论断：①()f x 在R 上单调递增；②1x >；③()()1f x f >.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：__________，_________推出___________.（把序号写在横线上）14.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过312m 的部分3元/3m 超过312m 但不超过318m 的部分6元/3m 超过318m 的部分9元/3m 若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.15.设函数()243,01,0x x x f x x x⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩.给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是R ；②()1212,(2,)x x x x ∀∈-+∞≠，有()()12120f x f x x x ->-；③00x ∃>，使得()()00f x f x -=；④若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是()3,-+∞.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式260x x --<的解集为B .（1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.17.已知函数()231x f x x -=+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在()1,-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[]1,4上的值域.18.已知二次函数()f x 的最小值为1，且()()023f f ==.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]3,1--上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，确定实数m 的取值范围.19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()3R,0845mP x x x =∈≤≤+．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S 为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m 的值及用x 表示S ；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．20.已知()f x 是定义域为R 的函数，若对任意12,x x ∈R ，12x x S -∈，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联.（1）判断和证明函数()21f x x =+是否是[)0,∞+关联?是否是[]0,1关联?（2）若()f x 是{}3关联，当[)0,3x ∈时，()22f x x x =-，解不等式：()23f x ≤≤.北京2023-2024学年第一学期期中练习高一数学2023.10说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则M N ⋂=（）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1 C.{}2- D.{}2,1--【答案】D 【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合M N ⋂.【详解】因为集合{}2,1,0,1M =--，{}30N x x =-≤<，则{}2,1M N ⋂=--.故选：D.2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，20012x x +≤”的否定为A.(0,)x ∀∈+∞，21x x +>2B.(0,)x ∀∈+∞，212x x +≤C.(,0)x ∀∈-∞，212x x +≤D.(],0x ∀∈-∞，21x x+>2【答案】A 【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题，并将结论否定，即可得答案.【详解】命题“0(0,)x ∃∈+∞，20012x x +≤”的否定为“(0,)x ∀∈+∞，21x x +>2”.故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定的书写，是基础题.3.已知关于x 的方程220x x m -+=的两根同号，则m 的取值范围是（）A.1m ≤B.0m ≤C.01m <≤D.01m ≤≤【答案】C【解析】【分析】利用判别式和韦达定理解决.【详解】关于x 的方程220x x m -+=的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零，则有Δ4400m m =-≥⎧⎨>⎩，解得01m <≤.故选：C4.已知函数()()()22111x x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则()()1f f -的值为（）A.3B.0C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】先求()1f -，进而求出()()1ff -.【详解】由题意得，()()()211213f -=--⨯-=，则()()()13312f f f -==-+=-.故选：D.5.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先求11a <的解集，再利用充分必要条件的概念即可判断.【详解】由11a <得10a a->，此不等式与不等式(1)0a a ->同解，解得a<0或1a >.所以，当1a >时，11a<一定成立，故充分性成立；当11a<即a<0或1a >时，1a >不一定成立，故必要性不成立.综上所述，“1a >”是“11a<”的充分不必要条件.故选：A.6.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增且是奇函数的是（）A.1y x =+ B.1y x x=-C.y x =D.2y x =【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性的定义即可得到答案.【详解】对于A ，当0x =时，10y =≠，所以1y x =+不是奇函数，故A 错误；对于B ，因为()1y f x x x==-的定义域为{}|0x x ≠，又()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭，所以1y x x =-为奇函数，因为1,y x y x==-在区间()0,∞+上单调递增，所以1y x x=-在区间()0,∞+上单调递增，故B 正确；对于C ，因为()y f x x ==的定义域为R ，又()()f x x f x -=-=，所以y x =为偶函数，故C 错误.对于D ，因为()2y f x x ==的定义域为R ，又()()()2f x x f x -=-=，所以2y x =为偶函数，故D 错误.故选：B.7.已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A.b a c a -<+B.2c ab< C.c c b a> D.b c a c<【答案】D 【解析】【分析】由数轴知0c b a <<<，不妨取=3,2,1c b a -=-=-检验选项得解.【详解】由数轴知0c b a <<<，不妨取=3,2,1c b a -=-=-，对于A ，2121-+>-- ，∴不成立.对于B ，2(3)(2)(1)->-- ，∴不成立.对于C ，3231-<---，∴不成立.对于D ，(3)1(3) 2-<´--´-，因此成立.故选：D ．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．8.设()f x 为R 上的奇函数，且当0x <时，()31f x x =-，则(0)(4)f f +=（）A.12B.12- C.13D.13-【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 为R 上的奇函数，求出()()0,4f f .【详解】因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，()()4413f f =--=，所以()()0413f f +=.故选：C9.已知当0x >时，不等式2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.(),8∞- B.(],8∞- C.[)8,+∞ D.()6,+∞【答案】A 【解析】【分析】将参数m 与自变量分离，利用基本不等式求得最值即可得出实数m 的取值范围.【详解】根据题意当0x >时，不等式2160x mx -+>恒成立，则2,01616m x x x xx +=+<>恒成立，只需min 16m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭<即可；易知当0x >时，由基本不等式可得168x x +≥=，当且仅当4x =时取等号；所以min816x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即8m <，所以实数m 的取值范围是(),8∞-.故选：A10.对于全集U 的子集A 定义函数()()()1A Ux A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð为A 的特征函数,设,A B 为全集U 的子集,下列结论中错误的是()A.若,A B ⊆则()()A B f x f x ≤B.()()1R A A f x f x =-ðC.()()()A B A B f x f x f x =⋅D.()()()A B A B f x f x f x =+ 【答案】D 【解析】【分析】根据()()()1A Ux A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð,逐项分析,即可求得答案.【详解】 ()()()1A Ux A f x x A ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩ð对于A, A B ⊆,分类讨论：①当x A ∈,则,x B ∈此时()()1A B f x f x ==②当x A ∉且x B ∉,即U x B ∈ð,此时()()0A B f x f x ==，③当x A ∉且x B ∈,即()U x A B ∈⋂ð时,()0,()1A B f x f x ==,此时()()A B f x f x ≤综合所述,有()()A B f x f x ≤,故A 正确;对于B ,1, ()1()0,A UU A x A f x f x x A∈⎧==-⎨∈⎩ðð,故(2)正确；对于C ,1,()0,()A B U x A Bf x x C A B ⋂∈⋂⎧=⎨∈⋂⎩()1,0,U U x A B x C A C B ∈⋂⎧=⎨∈⋃⎩1,1,0,0,U U x A x B x C A x C B ⎧∈∈⎧⎪=⋅⎨⎨∈∈⎪⎩⎩()()A B f x f x =⋅,故C 正确;对于D ,0,()()()1,()A B A B U x A Bf x f x f x x C A B ⋃∈⋃⎧=≠+⎨∈⋃⎩,故D 错误.故选:D.【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()f x =__________．【答案】1[,)2+∞【解析】【详解】依题意，1210,2x x -≥≥.12.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为()()0,4,2,0,()6,4，则()2f x ≤的解集为________.【答案】{|14}x x ≤≤【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.【详解】当()2f x ≤时，由图象可知14x ≤≤，即()2f x ≤的解集为{|14}x x ≤≤.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.13.定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个论断：①()f x 在R 上单调递增；②1x >；③()()1f x f >.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：__________，_________推出___________.（把序号写在横线上）【答案】①.①（答案不唯一）②.②（答案不唯一）③.③（答案不唯一）【解析】【分析】根据单调性和范围即可推出不等式.【详解】①②推出③；证明：当()f x 在R 单调递增且当1x >时，有()(1)f x f >，得证.①③推出②；证明：当()f x 在R 单调递增且当()(1)f x f >时，有1x >，得证.①②无法推出③；取()()21f x x =-，此时满足1x >且()(1)f x f >，但不满足()f x 在R 单调递增.故答案为：①；②；③.（答案不唯一）14.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过312m 的部分3元/3m 超过312m 但不超过318m 的部分6元/3m 超过318m 的部分9元/3m 若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.【答案】320m ##20立方米【解析】【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量.【详解】设用水量为x 立方米，水价为y 元，则()3,01236612,1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得到：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当012x ≤≤时，036y ≤≤；1218x <≤时，3672y <≤；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，令99090x -=，则20x =（立方米），故答案为：320m .15.设函数()243,01,0x x x f x x x⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩.给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是R ；②()1212,(2,)x x x x ∀∈-+∞≠，有()()12120f x f x x x ->-；③00x ∃>，使得()()00f x f x -=；④若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是()3,-+∞.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①③④【解析】【分析】对于①，利用二次函数与反比例函数的图像性质画出函数图1，结合图像即可判断；对于②，举反例排除即可；对于③，将问题转化为243y xx =-+与1y x=-有交点，作出图2即可判断；对于④，结合图1对123,,x x x 进行分析即可.【详解】对于①，因为()243,01,0x x x f x x x⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，所以由二次函数与反比例函数的图像性质可画出函数图象，如图1，由()f x 的图像易知()f x 的值域是R ，故①正确；对于②，易得()03f =，()11f =-，显然()f x 在()2,-+∞上并不单调递增，所以②说法不成立，故②错误；对于③，假设存在00x ∃>，()()00f x f x -=，则()()2000143x x x -+-+=-，即200143x x x -+=-，即243y xx =-+与1y x=-有交点，作出图像，如图2，显然假设成立，故③正确；对于④，由图1易知1222+=-x x ，则124x x +=-，因为()21f -=-，所以()310f x -<<，即3110x -<-<，解得31x >，所以12334413x x x x ++=-+>-+=-，即123x x x ++的取值范围是()3,-+∞，故④正确；综上：①③④正确.故答案为：①③④.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式260x x --<的解集为B .（1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|22}A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<（2）[0,1]【解析】【分析】（1）解绝对值不等式和二次不等式即可得解；（2）利用集合的包含关系得到关于a 的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】因为||2x a -<，所以22x a -<-<，则22a x a -<<+，所以{|22}A x a x a =-<<+，因为260x x --<，所以(2)(3)0x x +-<，解得23x -<<，所以{|23}B x x =-<<【小问2详解】因为A B ⊆，因为22a a -<+恒成立，所以A ≠∅，所以2223a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，故a 取值范围为[0,1].17.已知函数()231x f x x -=+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在()1,-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[]1,4上的值域.【答案】（1）证明见解析（2）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）任取()12,1,x x ∈-+∞，且12x x <，通过计算()()12f x f x -的正负来判断单调性；（2）由函数()f x 在区间[]1,4上单调性求出最值即可.【小问1详解】任取()12,1,x x ∈-+∞，且12x x <，则()()()()()()()()()()()122112121212121223123152323111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x -+--+----=-==++++++，因为()12,1,x x ∈-+∞，12x x <，所以120x x -<，110x +>，210x +>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,-+∞上是增函数.【小问2详解】由（1）知()f x 在区间[]1,4上单调递增，所以()()min 112f x f ==-，()()max 41f x f ==，所以函数()f x 在区间[]1,4上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.已知二次函数()f x 的最小值为1，且()()023f f ==.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]3,1--上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，确定实数m 的取值范围.【答案】（1）()2243f x x x =-+，x ∈R（2）5m <【解析】【分析】（1）利用二次函数解析式的顶点式、待定系数法分析运算即可得解.（2）由题意将图象的位置关系转化为不等式，利用分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【小问1详解】解：由题意，设二次函数()()21=-+f x a x m ，0a >，∵()()023f f ==，∴()()22013213a m a m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：21a m =⎧⎨=⎩，∴()()22211243f x x x x =-+=-+，x ∈R .【小问2详解】解：∵在区间[]3,1--上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，∴2243221x x x m -+>++在区间[]3,1--上恒成立，即231m x x <-+在区间[]3,1--上恒成立，令()231g x x x =-+，则在区间[]3,1--上()m g x <恒成立，∴()min m g x <，∵函数()231g x x x =-+图象的对称轴为32x =，开口向上，∴函数()231g x x x =-+在区间[]3,1--上单调递减，∴()()min 15=-=g x g ，则5m <，∴实数m 的取值范围是(),5-∞.19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()3R,0845mP x x x =∈≤≤+．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S 为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m 的值及用x 表示S ；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．【答案】（1）15m =，1800845S x x =++（08x ≤≤）；（2）当隔热层的厚度为6.25cm 时，总费用S 取得最小值110万元.【解析】【分析】（1）利用给定条件，求出m 的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.（2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.【小问1详解】设隔热层厚度x ，依题意，每年的能源消耗费用为：345mP x =+，而当0x =时，9P =，则395m=，解得15m =，显然建造费用为8x ，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：45180040840884545S P x x x x x =+=⨯+=+++（08x ≤≤）.【小问2详解】由（1）知()180018008245104545S x x x x =+=++-++1026010110≥=⨯-=，当且仅当()180024545x x =++，即 6.25x =时取等号，所以当隔热层的厚度为6.25cm 时，总费用S 取得最小值110万元．20.已知()f x 是定义域为R 的函数，若对任意12,x x ∈R ，12x x S -∈，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联.（1）判断和证明函数()21f x x =+是否是[)0,∞+关联?是否是[]0,1关联?（2）若()f x 是{}3关联，当[)0,3x ∈时，()22f x x x =-，解不等式：()23f x ≤≤.【答案】（1）()f x 是[)0,∞+关联，不是[]0,1关联（2）{}15x x +≤≤【解析】【分析】（1）根据关联定义直接判断即可；（2）先根据关联定义确定函数()f x 满足的性质，再结合[)0,3x ∈时的解析式画出函数图像，结合图像即可求解.【小问1详解】任取12,x x ∈R ，若[)120,x x -∈+∞，则()()()[)121220,f x f x x x -=-∈+∞所以()f x 是[)0,∞+关联；若[]120,1x x -∈，则()()()[]121220,2f x f x x x -=-∈，所以()f x 不是[]0,1关联.【小问2详解】由题意知，当123x x -=时，()()123f x f x -=，即()()33f x f x +-=，由于当[)0,3x ∈时，()22f x x x =-，所以画出()f x 的图像如图，当[)0,3x ∈时，令()222f x x x =-=得1x =，令()220f x x x =-=得0x =或2x =，结合图像求出点()12A +，()5,3B ，所以当()23f x ≤≤时，15x +≤≤，。
高一第一学期期中数学试卷含答案(共3套,北京)
北京师大附中高一年级上学期期中考试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合}2,1,0{=A ，}3,2{=B ，则集合=B AA. }3,2,1{B. }3,2,1,0{C. }2{D. }3,1,0{2. 下列函数中，在其定义域内是减函数的是 A. 3x y = B. 2x y =C. 1+-=x yD. xy 2=3. 若0<a ，10<<b ，则有 A. 2ab ab a >> B. a ab ab >>2C. 2ab a ab >>D. a ab ab >>24. “a=0”是“21)(xaxx f -=为奇函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 5. 下列不等式中，不正确的是A. 21≥+xxB. 012>++x xC.254522≥++x x D. 若3>x ，则531≥-+x x 6. 函数q px x x f ++=2)(满足对任意的x ，均有)1()1(x f x f -=+，那么)0(f ，)1(-f ，)1(f 的大小关系是 A. )0()1()1(f f f <-< B. )1()1()0(f f f <-< C. )1()0()1(-<<f f fD. )1()0()1(f f f <<-7. 若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到0.1）为A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.58. 已知)(x f 为定义在[-1，1]上的奇函数，且)(x f 在[0，1]上单调递减，则使不等式0)31()(<-+x f x f 成立的x 的取值范围是A. )21,(-∞B. )21,0[C. )21,31[D. ),21(+∞二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
北京市2021-2022学年高三上学期期中模拟考试数学试卷(2) 含答案
北京2021-2022学年度第一学期考试期中模拟试题本试卷共9页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 （选择题共40分）一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1．在0~360°范围内，与73︒-角终边相同的角是（ ） A ．17°B ．107°C ．197°D ．287°2．设集合{}2|4A x Z x =∈≤，{}1,2,B a =，且A B ⊇，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}2,1,0--B ．{}2,1--C ．{}1,0-D ．{}2,1,1--3．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上为增函数的是（ ）A ．()1f x x=-B ．()f xC ．()f x x =D ．()31f x x =+4．函数3()log 3f x x x =+-的零点所在的区间是 A ．B ．C ．()2,3D ．5．在等差数列{}n a 中，54a =，数列{}n a 的前9项的和为（ ） A ．4 B ．8C ．36D ．726．已知ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b <<7．“sin cos αβ=”是“()22k k Z παβπ+=+∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+,3C π=则ABC 的面积为（ ） A ．3BCD．9．已知函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t （0t >）个单位长度，得到函数()y f x =的图象．若函数()y f x =的图象关于原点对称，则t 的最小值（ ）A ．π12 B ．π6C ．π4D ．π310．国家质量监督检验检疫局发布的相关规定指出，饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml ，小于80mg/100ml 的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100ml 的驾驶行为. 一般的，成年人喝一瓶啤酒后，酒精含量在血液中的变化规律的“散点图”如图所示，且图中的函数模型为： ()0.5π40sin 13,02390e 14,2x x x f x x -⎧⎛⎫+≤<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+≥⎩，假设某成年人喝一瓶啤酒后至少经过*(N )n n ∈小时才可以驾车，则n 的值为（ ） （参考数据：ln15 2.71≈，ln30 3.40≈）A ．5B ．6C ．7D ．8第二部分（非选择题共110分）二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)11．函数()sin x f x e x =的图象在点()()0,0f 处切线的方程为___________. 12．设∈，x y R ,且5x y +=,则33x y +的最小值为______.13．各项都为正数的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，则59a a +=___________.14．已知平面向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角为π6，|a ⃗|=√3，|b ⃗⃗|=1，则a ⃗⋅b⃗⃗=_____；若平行四边形ABCD 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+b ⃗⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗−b⃗⃗，则平行四边形ABCD 的面积为_____． 15．若110a b <<，则下列不等式：①22a b c c >；②11b b a a ->-；③2b a a b +>；④22a a b b <-中，正确的不等式序号有____________．三、解答题(共6小题，共85分。
北京市海淀清华附中实验班高一数学上学期中试题(含解析)
高一第一学期期中试卷（创新班）数学一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则A B I （）．A ．{}1,3B ．{}2,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．∅【答案】A【解析】解：∵集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =， ∴{}1,3A B =I ， 故选：A ．2．计算238=-（）． A ．4-B ．14-C ．4D ．14【答案】D 【解析】解：22323318(2)24---===． 故选：D ．3．函数()f x =．A ．(,2]-∞B ．(,2)-∞C ．(0,2]D ．(0,2)【答案】【解析】解：要使函数有意义，则x 需满足930x ->，解得：2x <， ∴函数()f x 的定义域是(,2)-∞． 故选：B ．4．满足条件{}{},,,,,,A a b c a b c d e =U 的集合A 共有（）．A ．6个B ．7个C ．8个D ．10个【答案】C【解析】解：∵{}{},,,,,,A a b c a b c d e =U ，∴d A ∈，e A ∈，a ，b ，c 每一个元素都有属于A ，不属于A 2种可能， ∴集合A 共有328=种可能，故选：C ．5．函数1()24xf x x =+的零点在区间（）．A ．(3,2)--B ．(2,1)--C ．(1,0)-D ．(0,1)【答案】B【解析】解：∵2111(2)2(2)0442f --=+⨯-=-<，1111(1)20424f --=-=->，∴函数()f x 的零点在区间(2,1)--．故选：B ．6．函数2()21f x x ax =-+，且有(1)(2)(3)f f f <<，则实数a （）． A ．32a <B ．32a ≤ C ．1a <D ．1a ≤【答案】A【解析】解：∵2()21f x x ax =-+，∴(1)22f a =-，(2)54f a =-，(3)106f a =-， ∵(1)(2)(3)f f f <<， ∴2254106a a a -<-<-， 解得32a <． 故选：A ．7．某企业的生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则这两年该企业生产总值的年均增长率为（）．A ．2p q +B ．(1)(1)12p q ++-C D 1【答案】D【解析】解：设该企业生产总值的年增长率为x ，则2(1)(1q)(1)p x ++=+，解得：1x =． 故选：D ．8．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x Af x x A∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊆，下列说法错误的是（）．A ．若AB ⊆，则()()A B f x f x ≤，对于任意的x U ∈成立B ．()()()A B A B f x f x f x =I ，对于任意的x U ∈成立C ．()()()AUB A B f x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立D ．若U A B =ð，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立 【答案】C【解析】解：当x A ∈且x B ∈时，()1A B f x =U ，()1A f x =，()1B f x =， 所以()()()A B A B f x f x f x ≠+U ， 所以C 选项说法错误，故选C ．二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨->⎪⎩≤，则[](2)f f -=__________．【答案】16-【解析】解：[(2)](4)16f f f -==-．10．已知函数()1f x kx =+，若对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】[1,1]-【解析】解：若()1f x kx =+，对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥， 则(1)10(1)10f k f k -=-+⎧⎨=+⎩≥≥， 解得：11k -≤≤，故：实数k 的取值范围是[1,1]-．11．若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集为__________． 【答案】(,10)[0,1]-∞-U【解析】解：作出()y f x =的图像如图所示：故不等式()0f x ≤的解集为：(,10)[0,1]-∞-U ．12．已知函数2()21f x ax ax =++在[3,2]-上的最大值为4，则实数a =__________．【答案】38或3-【解析】解：当0a =时，()1f x =，不成立．当0a >时，2()21f x ax ax =++，开口向上，对称轴1x =-， 当2x =时取得最大值，所以(2)4414f a a =++=，解得38a =．当0a <时，2()21f x ax ax =++，开口向下，对称轴1x =-， 当1x =-时，取得最大值，所以(1)214f a a -=-+=，解得3a =-．综上所述：38或3-．13．已知映射:f ++→N N 满足：①(1)2f =，(2)3f =；②对于任意的n +∈N ，()(1)f n f n <+；③对于任意的3n ≥，n +∈N ，存在i ，j +∈N ，1i j n <<≤，使得()()()f n f i f j =+ （1）(5)f 的最大值__________．（2）如果()2016f m =，则m 的最大值为__________． 【答案】（1）13；（2）2013【解析】解：（1）由题意得：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =或(4)8f =， ∴(5)(3)(4)5813f f f =+=+=最大．【注意有文字】（2）若m 取最大值，则()f n 可能小，所以：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =，(5)8f =， (6)9f =，(7)10f =L 3n ≥时()3f n n =+，令32016m +=，2013m =． 故m 的最大值为2013．14．已知函数()2x f x -=，给出下列命题： ①若0x >，则()1f x <；②对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则必有1212()[()()]0x x f x f x --<； ③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <； ④若对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，其中所有正确命题的序号是_____． 【答案】见解析【解析】解：1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 对于①，当0x >时，1(0,1)2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故①错误．对于②，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以当12x x <时2()()f x f x >，即：1212()[()()]0x x f x f x --<，故②正确．对于③()f x x 表示图像上的点与原点连线的斜率，由1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像可知，当120x x <<时，1212()()f x f x x x >，即：2112()()x f x x f x >，故③错误． 对于④，由()f x 得图像可知，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故④正确． 综上所述，正确命题的序号是②④．三、解答题15．已知全集U =R ，集合{}2|10A x x =->，{}|0B x x a =+>．（Ⅰ）当1a =时，求集合()U A B I ð．（Ⅱ）若()U A B =∅I ð，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（1）当1a =时，集合{}{2|10|1A x x x x =->=<-或}1x >，{}{}|10|1B x x x x =+>=>-，{}|11U A x x =-≤≤ð， ∴{}()|11U A B x x =-<I ≤ð．（2）集合{}|11U A x x =-≤≤ð，{}|B x x a =>-， 若()U A B =∅I ð，则1a -<，即：1a >-． 故实数a 的取值范围是：(1,)-+∞．16．已知集合{}2|0A x x ax x a =--+≤，{}2|680B x x x =-+<．（Ⅰ）当3a =时，求A B I ．（Ⅱ）若A B I 中存在一个元素为自然数，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】解：（1）当3a =时，集合{}{}2|430|13A x x x x x =-+=≤≤≤，{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<，∴{}|23A B x x =<I ≤．（2）集合{}{}2|0|()(1)0A x x ax x a x x a x =--+=--≤≤，{}|24B x x =<<，若A B I 中存在一个元素为自然数，则3A ∈． 当1a =时，{}1A =，显然不符合题意．当1a <时，{}|1A x a x =≤≤，3A ∈，不符合题意， 当1a >时，{}|1A x x a =≤≤，若3A ∈，则a ≥3． 综上所述，实数a 的取值范围是[3,)+∞．17．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠． （Ⅰ）若5(1)(1)2f f +-=，求(2)(2)f f +-的值． （Ⅱ）若函数()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的差为83，求实数a 的值．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵()x f x a =，5(1)(1)2f f +-=， ∴15(1)(1)2f f a a +-=+=，解得：2a =或12， 当2a =时，()2x f x =，2217(2)(2)224f f -+-=+=， 当12a =时，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，221117(2)(2)224f f -⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故17(2)(2)4f f +-=． （Ⅱ）当1a >时，()x f x a =在[1,1]-上单调递增，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a --=，解得：13a =-（舍去）或3a =．当01a <<时，()x f x a =在[1,1]-上单调递减，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a +-=．解得：3a =-（舍去）或13a =．综上，实数a 的值为3或13．18．已知()y f x =的图像可由2y x x =+的图像平移得到，对于任意的实数t ，均有()(4)f t f t =-成立，且存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式．（Ⅱ）函数()y f x =的图像与直线y kx k =+有两个不同的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，若11x <，23x <，求实数k 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2y x x =+的图像关系12x =-对称，()f x 关于2x =对称，∴可设255()622f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2255542x x x b =-++-+ 21544x x b =-++， 又存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数， ∴()f x 不含常数项． 故2()4f x x x =-．（Ⅱ）∵()f x 的图像与y kx k =+有两个不同交点， ∴24x x kx k -=+有两个解， ∴2(4)40k k ∆=++>，解得：6k <--6k >-+∵11x <，23x >，(3)3f =-，(1,0)-和(3,3)-连线的斜率为34-，∴34k >-．综上所述，实数k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．19．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足： （1）(1)3f =．（2）对于任意的u ，v ∈R ，总有()()()1f u v f u f v +=+-．（3）对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->． （Ⅰ）求(0)f 及(1)f -的值．（Ⅱ）求证：函数()1y f x =-为奇函数．（Ⅲ）若2112222f m f m ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求实数m 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意u ，v ∈R ，都有()()()1f u v f u f v +=+-， ∴令0u =，1v =，得(1)(0)(1)1f f f =+-， ∴(0)1f =．令1u =，1v =-，则(0)(1)(1)1f f f =+--， ∴(1)1f -=-．（Ⅱ）令u x =，v x =-，则有(0)()()1f f x f x =+--， ∴()()2f x f x +-=，令()()1g x f x =--，则()()1g x f x -=--，∴()()()()20g x g x f x f x +-=+--=，即：()()g x g x =--． 故()()1y g x f x ==-为奇函数．（Ⅲ）∵对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->， ∴()f x 为单调增函数， ∵2112222f m f m ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21[(21)1]22f m f m ⎛⎫⇔--+>- ⎪⎝⎭212(21)102f m f m ⎛⎫⇔+---> ⎪⎝⎭21(1)102f m f m ⎛⎫⇔+--> ⎪⎝⎭211202f m m ⎛⎫⇔+-> ⎪⎝⎭．且11(1)1122f f f ⎛⎫⎛⎫-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2111222f m m f ⎛⎫⎛⎫+->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2111222m m +->-， 即：2430m m -+>， 解得1m <或3m >．故实数m 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞U ．20．对于给定的正整数n ，{}{}*123(,,,,)|0,1,,n n i S x x x x x i i n =∈∈N L ≤．对于123(,,,...,)n X x x x x =，123(,,,...,)n Y y y y y =，有：（1）当且仅当2222112233()()()()0n n x y x y x y x y -+-+-++-=L ，称X Y =． （2）定义112233..n n X Y x y x y x y x y ⋅=++++L ．（Ⅰ）当3n =时，(1,1,0)X =，请直接写出所有的3Y S ∈，满足1X Y ⋅=．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅=，求集合A 中元素个数的最大值．（Ⅲ）若非空集合n B S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅≠，求集合B 中元素个数的最大值． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）{}11,0,0Y =，{}21,0,1Y ，{}30,1,0Y ，{}40,1,1Y ．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X F ⋅=，则A 中任意两个元素相同位置不能同时出现1，满足这样的元素有(0,0,00)L ，(1,0,0,00)L ，(0,1,00)L ，(0,0,10)L L (0,0,01)L 共有1n +个．故A 中元素个数的最大值为1n +．（Ⅲ）不妨设{}123,n X x x x x =L 其中{}30,1x ∈，0n λ<≤，{}121,11n X x x x =---L ， 显然若X S ∈，则0X X ⋅=， ∴X B ∈与X B ∈不可能同时成立， ∵S 中有2n 个元素， 故B 中最多有12n -个元素．。
2023-2024学年北京市清华大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
2023-2024学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（）A.{﹣1}B.{0}C.{﹣1，0}D.{﹣1，0，1}2.命题()21,0,0x x x ∀∈-+<的否定是（）A.()21,0,0x x x ∀∈-+> B.()21,0,0x x x ∀∈-+≤C.()21,0,0x x x ∃∈-+> D.()21,0,0x x x ∃∈-+≥3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x=- B.2y x = C.3y x = D.1y x=-4.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()31f x x x=+，则()()10f f -+=（）A.2-B.0C.2D.45.已知a b c >>，0a b c ++=，则下列结论一定正确的是（）A.0a c +> B.0a b +< C.0ab > D.0ac <6.函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的值域是（）A.[]1,0- B.[]0,8 C.[]1,8D.[]1,8-7.已知正数x ，y 满足1x y +=，则112x y+的最小值是（）A.B. C.32D.2+8.若函数()22f x x ax =-+与函数()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是（）A.()()1,00,1-U B.()(]1,00,1-U C.()0,1 D.(]0,19.对R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，我们把[]()f x x =，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（）A .R x ∃∈，[][]442x x =+ B.R x ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.,x y ∀∈R ，[][][]+≤+x y x yD.,x y ∀∈R ，[][]x y =，则1x y -<10.已知集合{}115M x N x =∈≤≤，集合A 1，A 2，A 3满足：①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M ⋃⋃=．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（）A.56B.72C.87D.96二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()1f x x=-的定义域是___________.12.已知二次函数()f x 同时具有以下性质：①()f x 有2个零点；②()f x 在()0,∞+上是增函数．写出符合上述条件的一个函数f （x ），其解析式为()f x =______．13.已知函数()2,,0x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩（0t >）．①当1t =时()f x 的值域为__________；②若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是__________．14.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数是__________.15.已知函数()2||f x x x a =-+，下列命题中：①R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数；②R a ∃∈，使得()f x 是R 上偶函数；③若()f x 的最小值是54-，则1a =-；④0a ∃<，使得()f x 有三个零点．则所有正确的命题的序号是_____．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.求下列关于x 的不等式的解集．（1）23100x x -->；（2）4101x +≤-；（3）22(2)0x x a a ++-<．17.设集合{}{}2|230,|A x x x B x x a =--=＜＜．（1）当2a =时，分别求R ,A B A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）当1k =时，求2212x x +的值；（3）若212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数k 的值．19.某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润1y 与投资金额x 的函数关系为11801810y x =-+，B 产品的利润2y 与投资金额x 的函数关系为25xy =（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中且均有投，其中x 万元资金投入A 产品．（1）请把A ，B 两种产品利润总和y 表示为x 的函数，并直接写出定义域；（2）在（1）的条件下，当x 取何值时才能使公司获得最大利润？20.已知二次函数()f x 最小值为9-，且1-是其一个零点，R x ∀∈都有()()22f x f x -=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,a -上的最小值；（3）是否存在实数a 满足：对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．21.对非空整数集合M 及N k ∈，定义{}|,,1,,M k m t m M t k k k ⊕=+∈=--+ ，对于非空整数集合A ，B ，定义(){},min N|,d A B k A B k B A k =∈⊆⊕⊆⊕.（1）设{}2,4,6M =，请直接写出集合1M ⊕；（2）设{}1,2,3,4,,100A = ，(),1d A B =，求出非空整数集合B 的元素个数的最小值；（3）对三个非空整数集合A ，B ，C ，若(),4d A B =且(),1d B C =，求(),d A C 所有可能取值．2023-2024学年北京市清华附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ＝{﹣1，0}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩B ＝（）A.{﹣1}B.{0}C.{﹣1，0}D.{﹣1，0，1}【答案】B【分析】根据交集的定义运算即可.【详解】集合{}1,0A =-，集合{}11B x x =-<<，所以{}0A B ⋂=，故选：B2.命题()21,0,0x x x ∀∈-+<的否定是（）A.()21,0,0x x x ∀∈-+> B.()21,0,0x x x ∀∈-+≤C.()21,0,0x x x ∃∈-+> D.()21,0,0x x x ∃∈-+≥【答案】D【分析】全称命题的否定为特称命题.【详解】命题为全称命题，则命题的否定为()2100x x x ∃∈-+≥，，.故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x =-B.2y x = C.3y x = D.1y x=-【答案】B【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.【详解】函数3y x =和函数1y x=-是奇函数，不符合题意，CD 选项错误.函数,0,0x x y x x x -≥⎧=-=⎨<⎩是偶函数，且在()0,∞+上递减，不符合题意，A 选项错误.函数2y x =是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意，B 选项正确.故选：B4.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()31f x x x=+，则()()10f f -+=（）A.2-B.0C.2D.4【答案】A【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.【详解】依题意，()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，且()()3111121f f ⎛⎫-=-=-+=- ⎪⎝⎭，所以()()102f f -+=-.故选：A5.已知a b c >>，0a b c ++=，则下列结论一定正确的是（）A.0a c +>B.0a b +< C.0ab > D.0ac <【答案】D【分析】根据已知得00a c ><，，由此可判断得选项.【详解】解：因为a b c >>，0a b c ++=，所以一定有00a c ><，，b 的符号不能确定，所以a c +，ab 的符号不能确定,0a b +>，一定成立的是0ac <，故选：D.6.函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的值域是（）A.[]1,0- B.[]0,8 C.[]1,8D.[]1,8-【答案】D【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可．【详解】()22f x x x =-，对称轴为1x =，[]2,2x ∈-，∴函数()f x 在[]2,1-上单调递减，在(]1,2上单调递增，()()min 11f x f ∴==-，由对称性可得()()max 28f x f =-=，所以函数()f x 的值域是[]1,8-.故选：D.7.已知正数x ，y 满足1x y +=，则112x y+的最小值是（）A.B. C.32D.2+【答案】C【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.【详解】由已知可得，()111122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭131222y x x y =+++≥32=当且仅当2y xx y=，且1x y +=，即1x =-，2y =-所以，13212x y ++≥故选：C .8.若函数()22f x x ax =-+与函数()ag x x=在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是（）A.()()1,00,1-U B.()(]1,00,1-U C.()0,1 D.(]0,1【答案】D【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性可得答案.【详解】因为函数()22f x x ax =-+在区间[]1,2上是减函数，所以1a ≤，因为()ag x x=在区间[]1,2上是减函数，所以0a >，所以a 的取值范围是01a <≤，故选：D9.对R x ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，我们把[]()f x x =，x ∈R 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（）A.R x ∃∈，[][]442x x =+B.R x ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.,x y ∀∈R ，[][][]+≤+x y x yD.,x y ∀∈R ，[][]x y =，则1x y -<【答案】C【分析】可取特殊值判断AC ，利用不等式性质及取整数的意义推理可判断选项BD.【详解】对于A ，当0.5x =时，[][][]440.52422x x =⨯==+=，故A 正确；对于B ，设[],x m m =∈Z ，则1131,222m x m m x m ≤≤++≤+<+，12x m ⎡⎤∴+=⎢⎥⎣⎦或1m +.当12m x m ≤<+时，12x m ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，此时[]2221,22m x m x m ≤<+=，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦；当112m x m +≤<+时，13122m x m +≤+<+，112x m ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，此时21222m x m +≤<+，[][]12212x m x x ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦，综上，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，故B 正确.对于C ，当0.5x y ==，[]1x y +=，[][]0x y +=，[][][]x y x y +>+，故C 错误；对于D ，若[][]x y =，设[][],x y n n ==∈Z ，则1n x n ≤<+，1n y n ≤<+()()11,11x y n n x y n n ∴-<+-=->-+=-，从而1x y -<，故D 正确；故选：C.10.已知集合{}115M x N x =∈≤≤，集合A 1，A 2，A 3满足：①每个集合都恰有5个元素；②123A A A M ⋃⋃=．集合A i 中元素的最大值与最小值之和称为集合A i 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（）A.56B.72C.87D.96【答案】D【分析】根据题意分别列出三个集合特征数取得最大值和最小值时的元素情况，再分别进行计算各自的特征值，即可求解.【详解】由题意集合{}{}115=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1213,14,15M x N x =∈≤≤，，当{}{}{}1231,4,5,6,7,3,12,13,14,15,2,8,9,10,11A A A ===时，123X X X ++取得最小值，123=8+18+13=39X X X ++；当{}{}{}1231,2,3,4,15,5,6,7,8,14,9,10,11,12,13A A A ===时，123X X X ++取得最大值，123=16+19+22=57X X X ++；123X X X ∴++的最大值与最小值的和为：395796+=.故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()1f x x=-的定义域是___________.【答案】[)()0,11,⋃+∞【分析】要使函数()1f x x =-有意义，则有010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解出即可.【详解】要使函数()1f x x =-有意义，则有010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0x ≥且1x ≠所以函数()1f x x=-的定义域是[)()0,11,⋃+∞故答案为：[)()0,11,⋃+∞12.已知二次函数()f x 同时具有以下性质：①()f x 有2个零点；②()f x 在()0,∞+上是增函数．写出符合上述条件的一个函数f （x ），其解析式为()f x =______．【答案】21x -（答案不唯一）【分析】根据已知只需满足一元二次方程()0f x =有两个不相等的实数根，且开口方向向上，对称轴为y 轴或y 轴的左侧即可.【详解】设()21f x x =-，解()210f x x =-=可得，1x =±，所以，1-和1是()f x 的2个零点，满足条件①；()21f x x =-的对称轴为0x =，根据二次函数的性质可知，()f x 在()0,∞+上是增函数，满足条件②．所以，()21f x x =-满足题意.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）.13.已知函数()2,,0x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩（0t >）．①当1t =时()f x 的值域为__________；②若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是__________．【答案】①.()0,∞+②.[)1,∞+【分析】当1t =时，分别求出两段函数的值域，取并集即可；若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则有20t t t>⎧⎨≥⎩，解之即可得解.【详解】解：当1t =时，若1x ≥，则()[)21,f x x =∈+∞，若01x <<，则()()0,1f x x =∈，所以当1t =时()f x 的值域为()0,∞+；由函数2,,0x x t x x t⎧≥⎨<<⎩（0t >），可得函数()f x 在()0,t 上递增，在(),t +∞上递增，因为()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以20t t t >⎧⎨≥⎩，解得1t ≥，所以若()f x 在区间()0,∞+上单调递增，则t 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：()0,∞+；[)1,+∞.14.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数是__________.【答案】45【分析】根据条件作出Venn 图，然后即可求解出仅参加了一项活动的学生人数.【详解】如图所示：根据条件可知：甲、乙两项体育活动都参加的有：3025505+-=人，所以单独参加甲活动的有：30525-=人，单独参加乙活动的有：25520-=人，所以仅参加了一项活动的学生人数为：202545+=人，故答案为：45.【点睛】本题考查利用Venn 图解决集合的交、并问题，主要考查学生对Venn 图的理解以及运用，难度较易.15.已知函数()2||f x x x a =-+，下列命题中：①R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数；②R a ∃∈，使得()f x 是R 上偶函数；③若()f x 的最小值是54-，则1a =-；④0a ∃<，使得()f x 有三个零点．则所有正确的命题的序号是_____．【答案】①②④【分析】对于①，分段讨论脱去绝对值符号，结合二次函数的对称性以及单调性可判断；对于②，可取特殊值，结合奇偶性定义进行判断；对于③，分类讨论，结合二次函数的最小值求出a 的值，即可判断；对于④，举特殊值，说明符合题意即可判断.【详解】对于①，当x a ≥-时，()2f x x x a =--，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为12x =，当x a <-时，()2f x x x a =++，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为12x =-，即22,(),x x a x a f x x x a x a⎧--≥-=⎨++<-⎩，且()()22a a a a ----=，()()22a a a a -+-+=，即在x a =-处的函数值相等，由于()2f x x x a =++的对称轴在()2f x x x a =--的对称轴的左侧，则存在区间(,)(,)m a +∞⊆-+∞，使()2f x x x a =--在(,)m +∞上递增，存在区间(,)(,)n a -∞⊆-∞-，使()2f x x x a =++在(,)n -∞上递减，故R,()a f x ∀∈都不是R 上的单调函数，①正确；对于②，当0a =时，()2||f x x x =-，定义域为R ，此时22()()||||()f x x x x x f x =---=-=，即()f x 为偶函数，②正确；对于③，由①的分析可知()f x 的最小值在12x =或12x =-时取到，22,(),x x a x af x x x a x a⎧--≥-=⎨++<-⎩，111||242f a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，111()||242f a -=--，当12a >时，函数最小值在12x =处取到，由1115||2424f a ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，解得1a =或2a =-（舍去）；当12a <-时，函数最小值在12x =-处取到，由1115||2424f a ⎛⎫-=--+=- ⎪⎝⎭，解得1a =-或2a =（舍去）；当1122a -≤≤时，由于115244f a ⎛⎫=-->- ⎪⎝⎭，115244f a ⎛⎫-=-+>- ⎪⎝⎭恒成立，不合题意，舍去；故()f x 的最小值是54-，则1a =-或1a =，③错误；对于④，当0a <时，22,(),x x a x a f x x x a x a ⎧--≥-=⎨++<-⎩，当211022a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即14a =-时，当14x ≥时，令2104x x -+=，解得1124x =>；当14x <时，令2104x x +-=，解得12124x -±=<；即此时()f x 有三个零点，④正确，故答案为：①②④【点睛】难点点睛：本题考查了函数的单调性以及奇偶性以及零点问题，综合性较强，解答时难点在于二次函数的性质的灵活应用，要注意分类讨论，注意函数最值的确定.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.求下列关于x 的不等式的解集．（1）23100x x -->；（2）4101x +≤-；（3）22(2)0x x a a ++-<．【答案】（1）(,2)(5,)-∞-⋃+∞（2）[3,1)-（3）答案见解析【分析】（1）因式分解即可；（2）通分，变形为乘积的形式，结合二次不等式即可；（3）因式分解，讨论两根大小即可.【小问1详解】由23100x x -->，得(5)(2)0x x -+>，则<2x -或5x >，所以解集为(,2)(5,)-∞-⋃+∞【小问2详解】由4101x +≤-，得301x x +≤-，(3)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，解得31x -≤<，所以解集为[3,1)-【小问3详解】由22(2)0x x a a ++-<，得()(2)0x a x a ++-<，当2a a -<-时，即1a >时，解集为(,2)a a --，当1a =时，解集为∅，当1a <时，解集为(2,)a a --.17.设集合{}{}2|230,|A x x x B x x a =--=＜＜．（1）当2a =时，分别求R ,A B A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】17.()[)R 2,3,2,3A B A B =-= ð18.3a ≥【分析】（1）根据交并补的概念求解；（2）根据“充分不必要条件”的定义求解.【小问1详解】由题意：{}()()()2|2301,3,2,2,2,2,3A x x x a B A B =--=-==-∴=- ＜，(][)R ,22,B =-∞-+∞ ð，[)R 2,3A B = ð；【小问2详解】由题意，A 是B 的真子集，,B a ∴≠∅＞0,(),,1,3,3B a a a a a =-∴-≤-≥∴≥；综上，（1）()[)R 2,3,2,3A B A B =-= ð，（2）3a ≥.18.关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ．（1）求实数k 的取值范围；（2）当1k =时，求2212x x +的值；（3）若212118x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数k 的值．【答案】（1）()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）14（3）1k =-【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）（3）利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】因为关于x 的方程()()2221100k x k x k +++=≠有两个不等实根1x ，2x ，所以有()22012Δ2140k k k k ≠⎧⎪⇒>-⎨⎡⎤=+->⎪⎣⎦⎩且0k ≠，所以实数k 的取值范围为()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ ；【小问2详解】当1k =时，根据一元二次方程根与系数的关系可知：()1212222114,1k x x x x k k++=-=-==，所以()222121212216214x x x x x x +=+-=-=；【小问3详解】根据一元二次方程根与系数的关系可知：()121222211,k x x x x k k++=-=，()()222222112122211188841811k x x k k k x x x x k +⎡⎤-⎢⎥⎛⎫⎛⎫++=⇒=⇒=⇒+=⇒=-±⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为实数k 的取值范围为()1,00,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ ，所以1k =-+19.某公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润1y 与投资金额x 的函数关系为11801810y x =-+，B 产品的利润2y 与投资金额x 的函数关系为25x y =（注：利润与投资金额单位：万元）．现在该公司有100万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中且均有投，其中x 万元资金投入A 产品．（1）请把A ，B 两种产品利润总和y 表示为x 的函数，并直接写出定义域；（2）在（1）的条件下，当x 取何值时才能使公司获得最大利润？【答案】19.()180138,0,100105y x x x =--∈+20.20x =时，利润最大.【分析】（1）A ，B 对于投资金额下的利润求和得到总利润的函数关系式即可；（2）结合函数式特点利用均值不等式求函数最值.【小问1详解】由题意，x 万元投入A 产品，则100x -万元投入B 产品，则()12180118011810038105105y y y x x x x =+=-+-=--++，()0,100x ∈.【小问2详解】由（1）得，1801180103840105105x y x x x +⎛⎫=--=-+ ⎪++⎝⎭4028≤-=，当且仅当18010105x x +=+，即20x =时等号成立，所以当20x =时，公司利润最大.20.已知二次函数()f x 最小值为9-，且1-是其一个零点，R x ∀∈都有()()22f x f x -=+．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,a -上的最小值；（3）是否存在实数a 满足：对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()245f x x x =--（2）()()()2min45,129,2a a a f x a ⎧---≤≤⎪=⎨->⎪⎩（3）12a ≤≤【分析】（1）由题意可设二次函数的顶点式，利用待定系数法即可求()f x 的解析式；（2）由函数的单调性，分12a ≤≤和2a >两种情况进行讨论；（3）因()11f x a ≥-对[]1,x a ∀∈-恒成立，故可转化成对[]1,x a ∀∈-，()min 11f x a ≥-恒成立，借助（2）的结论解不等式即可.【小问1详解】因为对R x ∀∈都有()()22f x f x -=+，所以()f x 关于直线2x =对称，又因为二次函数()f x 的最小值为9-，所以可设二次函数的解析式为()()()2290f x a x a =-->，又因为1-是其一个零点，所以()()211290f a -=---=，解得1a =，所以()f x 的解析式为()()222945f x x x x =--=--.【小问2详解】由（1）可知，函数()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以，当12a ≤≤时，()()2min 45f x f a a a ==--，当2a >时，()()min 29f x f ==-，()()()2min 45,129,2a a a f x a ⎧---≤≤⎪=⎨->⎪⎩.【小问3详解】因为对[]1,x a ∀∈-，都有()11f x a ≥-恒成立，由（2）可知，对[]1,x a ∀∈-，()min 11f x a ≥-恒成立，即2124511a a a a -≤≤⎧⎨--≥-⎩或2911a a >⎧⎨-≥-⎩，解得12a ≤≤，故存在实数a 符合题意，实数a 的取值范围12a ≤≤.21.对非空整数集合M 及N k ∈，定义{}|,,1,,M k m t m M t k k k ⊕=+∈=--+ ，对于非空整数集合A ，B ，定义(){},min N|,d A B k A B k B A k =∈⊆⊕⊆⊕.（1）设{}2,4,6M =，请直接写出集合1M ⊕；（2）设{}1,2,3,4,,100A = ，(),1d A B =，求出非空整数集合B 的元素个数的最小值；（3）对三个非空整数集合A ，B ，C ，若(),4d A B =且(),1d B C =，求(),d A C 所有可能取值．【答案】（1）{}11,2,3,4,5,6,7M ⊕=（2）34（3）3或4或5【分析】（1）直接由M k ⊕的定义计算即可求解.（2）若(),1d A B =，则1A B ⊆⊕，则只需每个i b B ∈组成的数组()1,,1i i i b b b -+能够覆盖{}1,2,3,4,,100A =即可，从而min 1001343B ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.（3）首先证明()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+，其次结合(),d A B 的定义得出d 满足距离的三角不等式：()()(),,,d A C d A B d B C ≤+，从而运用到本题中即可得解.【小问1详解】若{}2,4,6M =，则由集合新定义可知{}{}{}{}1,3,52,4,63,7,755,6,M =⊕⋃=⋃.【小问2详解】设B 有B 个元素，下证min 34B =.一方面，{}2,5,8,,98,101B = ，则0A B B ⊆⊕=，所以(),0d A B ≠，即(),1d A B ≥，而{}0,1,2,3,4,,1011B A ⊆⊕= ，{}1,2,3,4,,1021A B ⊆⊕= ，这表明了(),1d A B =满足题意，此时10121343B -=+=，故min 34B =；另一方面：若33B j =≤，不妨设{}`12,,,j B b b b = 且`12j b b b <<< ，由题意可知{}{}{}1112221,,11,,11,,11j j j b b b b b b b B b b A -+⋃⊆-+⋃⋃-⊕=+ ，而1B ⊕最多含有399j ≤个元素，当且仅当{}()1,,1,1k k k b b b k j -+≤≤两两不同且33B j ==时，等号成立，但这与A 有100个元素矛盾，所以34B j =≥.综上所述：非空整数集合B 的元素个数的最小值是34.【小问3详解】一方面：先来证明()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+，{}{}|,,1,,Z |,M k m t m M t k k k n m M n m k ⊕=+∈=--+=∈∃∈-≤ ，因此只要12M M ⊆，就有12M k M k ⊕⊆⊕，而()x M k l ∀∈⊕⊕，p M k ∃∈⊕，x p l -≤，所以,m M p m k ∃∈-≤，所以x m x p p m x p p m l k -=-+-≤-+-≤+，即()x M k l ∀∈⊕+，从而()()M k l M k l ⊕⊕⊆⊕+.另一方面：如果(),d A B p =，(),d B C q =，(),d A C r =，那么A B p ⊆⊕，B C q ⊆⊕，()()B p C q p C p q ⊕⊆⊕⊕⊆⊕+，从而()A C p q ⊆⊕+，同理()C A p q ⊆⊕+，因此由定义可得()()(),,,d A C r d A B d B C p q =≤+=+，即d 满足距离的三角不等式；所以在本题中，()()(),,,415d A C d A B d B C ≤+=+=，()()(),,,413d A C d A B d B C ≥-=-=，即(){},3,4,5d A C ∈，取{}{}{}0,4,5A B C ===，可知(),5d A C =可能成立，取{}{}{}0,4,3A B C ===，可知(),3d A C =可能成立，取{}{}{}0,4,3,4A B C ===，可知(),4d A C =可能成立，综上所述，(),d A C 所有可能取值为3或4或5.【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，直接按定义即可；第二问的关键是要注意到由题意有1A B ⊆⊕，从而只需每个i b B ∈组成的数组()1,,1i i i b b b -+能够覆盖{}1,2,3,4,,100A = 即可；而第三问的关键是要注意到d 表示距离，因此要联想到去证明距离的三角不等式()()(),,,d A C d A B d B C ≤+，从而顺利得解.。
2020-2021北京清华大学附属中学高中必修一数学上期中试题含答案
2020-2021北京清华大学附属中学高中必修一数学上期中试题含答案一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③5．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，，7．已知函数()245fx x x +=++，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥8．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z9．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3x f x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-11．已知定义在R 上的函数()21()x mf x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<12．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞二、填空题13．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 14．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.15．函数()1x f x +=的定义域是______． 16．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．17．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.18．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； ③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上). 19．若4log 3a =，则22a a -+= ． 20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．已知满足(1)求的取值范围； (2)求函数的值域．22．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后，y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？23．已知集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a －5}，B ＝{x|x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A∩B ＝∅；（2）A ⊆（A∩B ）．24．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）25．2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x ty -⎛⎫= ⎪⎝⎭测得数据如下表（部分）： x （单位：克） 0129…y74319…（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大. 26．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．B解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断． 【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．5．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.6．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．7．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】 2x t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.8．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.9．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 10．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.12．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.二、填空题13．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.14．【解析】【分析】不等式的解集与f （x ）g(x)0且g （x ）0的解集相同观察图象选择函数值同号的部分再由f （x ）是偶函数g （x ）是奇函数得到f （x ）g （x ）是奇函数从而求得对称区间上的部分解集最后两部 解析：(]()(]3,21,01,2--⋃-⋃【解析】 【分析】 不等式()()f x 0g x ≥的解集，与f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，得到f （x ）⋅g （x ）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可. 【详解】 将不等式()()f x 0g x ≥转化为f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0，如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]∵y=f （x ）是偶函数，y=g （x ）是奇函数∴f （x ）⋅g （x ）是奇函数, 故在y 轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2]U (-1,0) 故不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是(-3,-2]U (-1,0)U （1,2]【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.15．【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案【详解】由得且函数的定义域为：；故答案为【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法是基础的会考题型 解析：[)()1,00,∞-⋃+【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x x=的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞； 故答案为[)()1,00,-⋃+∞． 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型．16．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.17．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值. 【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.18．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主解析：①②③【解析】 【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.19．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算 解析：433【解析】 【分析】 【详解】∵4log 3a =，∴4323a a =⇒=，∴24223333a -+=+=. 考点：对数的计算20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3 【解析】 令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3三、解答题21．(1) (2)【解析】试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域. 试题解析： 解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中因为函数开口向上，且对称轴为函数在上单调递增的最大值为，最小值为函数的值域为. 22．（1）0.8)4,015(,1t t t y t ≤≤⎧=⎨⋅>⎩n ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时.【解析】 【分析】（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点(1,4)，代入点(1,4)的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论将函数值0.25代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为1)2,01(,1t a kt t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n ，又由函数的图象经过点(1,4)，则当1t =时，14k ⨯=，解得4k =， 又由1t =时，11()42a-=，解得3a =，所以函数的解析式为1)324,01(,1t t t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n . （2）由题意，令0.25y ≥，即当01t ≤<时，40.25t ≥，解得116t ≥， 当1t ≥时，31()0.252t -≥，解得15t ≤≤，综上所述，可得实数t 的取值范围是1516t ≤≤， 所以服药一次后治疗有效的时间是17951616-=小时. 【点睛】本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型. 23．（1）{a|a≤7}；（2）{a|a ＜6或a ＞152} 【解析】 【分析】（1）根据A∩B=∅，可得-1≤2a+1≤x≤3a -5≤16，解不等式可得a 的取值范围；（2）由A ⊆（A ∩B ）得A ⊆B ，分类讨论，A ＝∅与A≠∅，分别建立不等式，即可求实数a 的取值范围 【详解】（1）若A ＝∅，则A∩B ＝∅成立． 此时2a ＋1＞3a －5， 即a ＜6．若A≠∅，则2135{2113516a a a a +≤-+≥--≤解得6≤a≤7．综上，满足条件A∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a|a≤7}． （2）因为A ⊆（A∩B ），且（A∩B ）⊆A ， 所以A∩B ＝A ，即A ⊆B ． 显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6．若A≠∅，则2135{351a a a +≤--<-或2135{2116a a a +≤-+> 由2135{351a a a +≤--<-解得a ∈∅；由2135{2116a a a +≤-+>解得a ＞152．综上，满足条件A ⊆（A∩B ）的实数a 的取值范围是{a|a ＜6或a ＞152}． 考点：1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用24．（1）()()2140,4060150,60802x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）30名员工（3）销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分别求出当4060x ≤≤和6080x <≤时的解析式，进而可得所求结果；（2）设该店有职工m 名，根据题意得到关于m 的方程，求解可得所求；（3）由题意得到利润的函数关系式，根据分段函数最值的求法可得所求． 【详解】（1）当4060x ≤≤时，设y ax b =+， 由题意得点()()40,60,60,20在函数的图象上，∴40606020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得2140a b =-⎧⎨=⎩，∴当4060x ≤≤时，2140y x =-+． 同理，当6080x <≤时，1502y x =-+． ∴所求关系式为()()2140,4060150,6080.2x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）设该店有职工m 名，当x=50时，该店的总收入为()()()4010010021404040000y x x x -⨯=-+-=元， 又该店的总支出为1000m+10000元， 依题意得40000=1000m+10000, 解得：m=30.所以此时该店有30名员工． （3）若该店只有20名职工，则月利润()()()()()21404010030000,40601504010030000,60802x x x S x x x ⎧-+-⨯-≤≤⎪=⎨⎛⎫-+-⨯-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩①当4060x ≤≤时，()225515000S x =--+， 所以x=55时，S 取最大值15000元； ②当6080x <≤时，()2170150002S x =--+，所以x=70时，S 取最大值15000元； 故当x=55或x=70时，S 取最大值15000元， 即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大． 【点睛】解决函数应用问题重点解决以下几点：（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等； （2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域； （3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值； （4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．25．（1）()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）4x = 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =； （2）分段求解函数的最大值，比较可得结果. 【详解】（1）当06x ≤<时，由题意，设()2f x ax bx c =++（0a ≠），由表格数据得()()()007142423f c f a b c f a b c ⎧==⎪⎪=++=⎨⎪=++=⎪⎩，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以，当06x ≤<时，()2124f x x x =-+， 当6x ≥时，()13x tf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由表格数据可得()911939tf -⎛⎫==⎪⎝⎭， 解得7t =，所以当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上，()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当06x ≤<时，()()221124444f x x x x =-+=--+，可知4x =时，()()max 44f x f ==，当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单凋递减，可知6x =时，()()67max1633f x f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.综上可得，当4x =时，产品的性能指标值最大. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解及最值，待定系数法是求解析式的常用方法，根据函数的类型设出解析式，结合条件求解未知系数，侧重考查数学抽象26．（Ⅰ）y =225x +2360360(0)x x-〉n（Ⅱ）当x =24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am ，则根据围建的矩形场地的面积为360m 2，易得360a x=，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，我们即可得到修建围墙的总费用y 表示成x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x 值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用。
2021北京清华附中高一(上)期中数学
2021北京清华附中高一（上）期中数 学2021.11（清华附中高21级）一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合}{{}24,1,0,1,2,3A x x B ==−<,则A B ⋂=（ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1−D ．{}1,0,1,2− 2．设命题2:,1p x R x ∈∃<，则p ⌝为（ ）A ．2,1x R x ∈∀<B ．2,1x R x ∈≥∃C ．2,1x R x ∈≥∀D ．2,1x R x ∈=∃3．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ）A ．2y x =B ．21y x =−C ．y x x =D ．1y x= 4．已知函数()21f x x =+,那么(1)f x −=（ ） A ．2xB ．21x +C ．221x x −+D ．222x x −+ 5．若偶函数()f x 在(],1−∞−上是增函数，则（ ）A ．(1.5)(1)(2)f f f −−<<B ．(1)(1.5)(2)f f f −−<<C ．(2)(1)(1.5)f f f −−<<D ．(2)(1.5)(1)f f f −−<<6．已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =（ ）A ．16B ．8C ．4D ．27．下列函数中，能说明“若函数()f x 满足(0)(2)0f f >，则()f x 在(0,2)f 内不存在零点”为假命题的函数是（ ）A ．2(1)y x =−B ．1y x =−C ．221y x x =−++D ．211y x =+8．已知函数()f x 的图像如图所示，则不等式2()0f x x >的解集是（ ）A ．(,1)(0,1)−∞−U B. (1,0)(1,)−+∞UC ．(,1)(1,)−∞−+∞UD ．(1,0)(0,1)−U9．“1x <”是“21x <”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．即不充分也不必要10.设a R ∈，集合}{(,)3,4A x y ax y x ay =+−≤>，则（ ）A ．对任意实数a ，(2,2)A ∉B ．对任意实数a ，(2,2)A ∈C.当且仅当1,(2,2)a A −∉时< D ．当且仅当1,(2,2)2a A ≤∉时二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11.函数2()1f x x =−的定义域是__________.12.若集合{}21,,1x x +−与集合{}1,,1x x −相等，则实数x =_________________ 13．函数[]7()(1,6)f x x x x=+∈的值域是____________ 14.已知22,1()1,1x x f x x x −+≥⎧⎪=⎨−⎪⎩<，若函数()()g x f x ax a =−+恰有一个零点，则实数a 的取值范围是___________. 15.对于实数集合A B 、,定义}{,A B x y x A y B +=+∈∈，给出下列4个命题：①A B B A +=+②()()A B C A B C ++=++③若A A B B +=+，则A B =④若A C B C +=+，则A B =其中，所有正确命题的序号是__________.三、解答题(本大题共6小题，共85分)16.（本小题14分）已知集合}{31A x x a =+>，集合}{2560B x x x =−+>(I) 当3a =−时，求A B ∩；(II) 若A B B =∪，求实数a 的取值范围.17.（本小题14分）求下列关于x 的不等式的解集. （I ）1021x x +≥−； （II ）2223x ax a −<18.（本小题14分）已知函数2()5f x ax bx =+−，对于任意x R ∈，有(2)(2),(2)7f x f x f −=+−=. （I ）求()f x 的解析式；（II ）若函数()f x 在区间[],3t t +上的最小值为-8，求t 的值；19.（本小题14分）已知函数()2f x x x a x =−+.(I) 若()f x 为奇函数，求a 的值；(II) 当1a =时，求函数()f x 在区间[]0,4上的最大值；(III) 若1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀，函数()f x 的图像恒在()2g x x =图像下方，求实数a 的取值范围.20.（本小题14分）已知()f x 是定义在(,0)(0,)−∞+∞U 上的函数，满足下列两个条件： ①当0x <时，()0f x <恒成立； ②对任意的,(,0)(0,)x y ∈−∞+∞U ，都有()()()()yf x f y f xy f x=+. (I) 求(1)f 和(1)f −的值；(II) 证明：()f x 为奇函数，并且1()()f x f x=； (III) 若()f x 在区间(]0,1上单调递减，直接写出关于x 的不等式21(1)()03f x x f +++−≤的解集21.（本小题15分）设n N *∈，集合{}1,2,,n E n =，若k 个互不相同的非空集合，12,,,K A A A 同时满足下面两个条件，则称12,,,K A A A 是集合n E 的“规范k −子集组”①(1,2,,)i n A E i k ⊆=；②对任意的,(1),i j A A i j k ≤≤<要么i j A A ⋂=∅，要么,i j A A 中的一个是另一个的子集. (I)直接写出集合2E 的一个“规范2−子集组”； (II)若12,,,K A A A 是集合n E 的“规范k −子集组”，（i ）求证：12,,,K A A A 中至多有1个集合对{},i j A A ，满足i j A A ⋂=∅且i j n A A E ⋃=； （ii ）求k 的最大值。
北京市清华大学附属中学2020-2021学年高一上学期数学期中试卷及解析
北京市清华大学附属中学2020-2021学年髙一上学期数学期中试卷注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2 -请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）[•已知集合A = [X \X 2<\}9且则a 的值可能为（）3•若函数/（兀）为R 上的奇函数，且当x>0时，/（x ） = 2x-l,则/（0）+ /（-!）=（）5•已知贝tab = 0^a 2+b 2=0"的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6•已知a<b<c.则下列不等式一定成立的是（） A. ac 2< be 2B.a' <b 2<c 2c. ab < ac1 1D. ----- > -------a-c b_c7.下列函数中，在立义域内单调递增的是（)1A.y =—一XB. y = yfxc. y =1x1D.y = x + — (x>0) X&已知函数/（X ）=X 2—4x 在[0"]上的值域为[Y0], 则实数的取值范用是（）A ・(0,2]B ・[2・4]C ・(0,4]D ・[2，S9•玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平Y均仓储时间为了天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备8费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题A.-2 C.0B.-l 2•已知命题PZxwN 、X 3>1,则命题p 的否定为（） D.1c.、%3 < 1D. 3x 纟 N, x 3 < 1A.-4B.-34.函数 /(x)=- 血三的定义域为（）XA. [2,+oo)B. (2,+oo)C.-2D.—1C ・[-2,0)u(0,+oo)D ・(一2,02(0,+OO )A.60 件B.80 件C.100 件D.120 件ax + \.x<020•已知 /(%)=<1 ，则下列关于y = f[fM]+\的零点的判断正确的是（） x ——,x>0A •当a>0时，有4个零点，当“<0时，有1个零点: B. 当。
2022年-有答案-北京市某校高一(上)期中数学试卷
2022学年北京市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1. 已知全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A＝{2, 3, 5}，集合B＝{1, 3, 4, 6}，则集合A∩∁U B＝（）A.{3}B.{2, 5}C.{1, 4, 6}D.{2, 3, 5}2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）D.y=e xA.y=−xB.y=x3C.y＝−1x3. 下列各式正确的是（）A.π2π4＝π8B.C.D.lg4+lg25＝24. 若a＝0.52，2b＝0.5，c＝20.5，则a，b，c的大小关系是（）A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a5. 函数f(x)=2x的反函数y=f−1(x)的图象是( )A. B.C. D.6. 函数的单调递增区间是（）A.(−∞, +∞)B.[1, +∞)C.(0, 1]D.(0, +∞)7. 设x∈R，则“2x>4”是“|x|>2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知定义在R 上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如表对应值表，那么函数f(x)一定存在零点的区间是（ ）A.(−∞, 1)B.(3, +∞)C.(1, 2)D.(2, 3)9. 已知函数f(x)＝x|x|，则f(x)( )A.是奇函数，且在R 上是增函数B.是偶函数，且在R 上是增函数C.是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，且在R 上是减函数10. 定义运算a ⊕b ={a,(a ≤b)，b,(a >b)，则函数f(x)=1⊕2x 的图象是( ) A. B.C.D.二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题纸的相应位置）设命题p:∃n >1，n 2>2n ，则￢p 为________．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2−x −1＝0的两实数根，则x 12+x 22＝________．不等式≤0的解集为________．若不等式log 2x −m ≥0(x ≥4)恒成立，则实数m 的取值范围是________．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝3x +a （a 为常数），则a ＝________；当x <0时，f(x)＝________．已知f(x)=m(x−2m)(x+m+3)，g(x)=2x−2，若满足对于任意x∈R，f(x)<0和g(x)<0至少有一个成立．则m的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|x−a≤0}．(Ⅰ)求A(Ⅱ)若a＝2，求(∁R A)∩B；(Ⅲ)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．（直接写出结论）已知函数f(x)＝x2−(a+2)x+2a，其中a为常数．(Ⅰ)若函数f(x)是偶函数，求a的值；(Ⅱ)解关于x的不等式f(x)>0．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本f(x)（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．（1）写出自变量x的取值范围；（2）为使每吨平均处理成本最低（如处理400吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为），该厂每月处理量垃圾应为多少吨？已知函数f(x)＝x2−ax（1）若在区间[1, +∞)上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求函数f(x)在区间[1, 2]上的最小值．已知函数，其中a、b为常数，且f(1)＝5，f(2)＝4．（1）求a、b的值；（2）利用单调性的定义证明函数f(x)在区间(0, 2)上是减函数；（3）求函数f(x)在区间[1, 3]上的最大值和最小值．已知函数f(x)＝．(Ⅰ)求f（f（f(−1)））的值；(Ⅱ)画出函数f(x)的图象，根据图象写出函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)若，求x的取值范围．参考答案与试题解析2022学年北京市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．【解答】全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合B＝{1, 3, 4, 6}，∁U B＝{2, 5}，又集合A＝{2, 3, 5}，则集合A∩∁U B＝{2, 5}．2.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】由函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．【解答】对于A，y=−x为奇函数，但在R上是减函数，不符合题意；对于B，y=x3为奇函数，且在R上是增函数，符合题意；为奇函数，在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递增，当在整个定义域内不是对于C，y=−1x增函数，不符合题意；对于D，y=e x为非奇非偶函数，不符合题意．3.【答案】D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】利用有理数指数幂和对数的运算性质求解．【解答】对于选项A:π2π4＝π6，所以选项A错误，对于选项B：＝，所以选项B错误，对于选项C：＝log36，所以选项C错误，对于选项D:lg4+lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2，所以选项D正确，4.【答案】C【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】利用指数函数和对数函数的性质求解．【解答】∵0<0.52<0.50＝1，∴0<a<1，∵2b＝0.5，∴b＝log20.5<log21＝0，即b<0，∵20.5>20＝1，∴c>1，综上所述，b<a<c，5.【答案】A【考点】反函数【解析】易得y=f−1(x)=log2x，结合选项可得．【解答】解：令y=2x可得x=log2y，∴函数f(x)=2x的反函数y=f−1(x)=log2x，结合选择项可知只有选项A符合，故选A.6.【答案】B【考点】复合函数的单调性【解析】化简函数的解析式，可得它的单调性．【解答】∵函数＝，故它的单调递增区间为[1, +∞)，7.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由2x>4，解得x>2，由|x|>2，解得x>2或x<−2，则2x>4”是“|x|>2”的充分不必要条件，8.【答案】D【考点】函数零点的判定定理【解析】真假利用函数的零点判定定理，判断零点所在区间，即可得到选项．【解答】由题意可知∵f(3)＝−2.5<0，f(2)＝2.6>0，∴f(2)f(3)<0，在区间(2, 3)内函数f(x)存在零点，9.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，求出当x≥0时的单调性，结合函数奇偶性可得在R上的单调性．【解答】已知函数f(x)＝x|x|，则f(−x)＝−x|−x|＝−x|x|＝−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2为增函数，由奇函数的性质可得当x<0时，f(x)为增函数，所以f(x)在R上是增函数．10.【答案】A【考点】分段函数的应用【解析】本题考查指数函数的图象．【解答】解：当x≥0时，1≤2x，f(x)=1；当x<0时，1>2x，f(x)=2x．故选A．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题纸的相应位置）【答案】∀n>1，n2≤2n【考点】命题的否定【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出即可．【解答】命题p:∃n>1，n2>2n，则￢p为：∀n>1，n2≤2n．【答案】3【考点】函数的零点与方程根的关系函数的零点【解析】根据题意，由根与系数的关系可得x1+x2＝1，x1x2＝−1，又由x12+x22＝(x1+x2)2−2x1x2，计算可得答案．【解答】根据题意，x1，x2是一元二次方程x2−x−1＝0的两实数根，则x1+x2＝1，x1x2＝−1，故x12+x22＝(x1+x2)2−2x1x2＝3，【答案】[−1, 2)【考点】其他不等式的解法【解析】由已知分式不等式可转化为二次不等式即可求解．【解答】由≤0可得，解得−1≤x<2，【答案】m≤2【考点】对数函数的值域与最值【解析】问题转化为m≤log2x在[4, +∞)恒成立，结合对数函数的性质求出m的范围即可．【解答】若不等式log2x−m≥0(x≥4)恒成立，则m≤log2x在[4, +∞)恒成立，而y＝log2x在[4, +∞)递增，故y的最小值是y＝log24＝2，故m≤2，【答案】−1,【考点】函数奇偶性的性质与判断函数解析式的求解及常用方法【解析】根据题意知，奇函数f(x)在原点有定义，从而得出f(0)＝0，进而求出a＝−1．可设x<0，然后即可得出f(−x)＝3−x−1＝−f(x)，从而可得出x<0时的f(x)的解析式．【解答】∵f(x)是R上的奇函数，且x≥0时，f(x)＝3x+a，∴f(0)＝1+a＝0，解得a＝−1，∴x≥0时，f(x)＝3x−1，设x<0，−x>0，则f(−x)＝3−x−1＝−f(x)，∴x<0时，．【答案】(−4, 0)【考点】指数函数的性质【解析】先判断函数g(x)的取值范围，然后根据f(x)<0和g(x)<0至少有一个成立．则m的取值范围是【解答】解：∵g(x)=2x−2，当x≥1时，g(x)≥0，又∵∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0，∴f(x)=m(x−2m)(x+m+3)<0在x≥1时恒成立，即m(x−2m)(x+m+3)<0在x≥1时恒成立，则二次函数y=m(x−2m)(x+m+3)图象开口只能向下，且与x轴交点都在(1, 0)的左侧，∴{m<0−m−3<1 2m<1，即{m<0m>−4m<12，解得−4<m<0，∴实数m的取值范围是：(−4, 0)．故答案为：(−4, 0)．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】（1）由题意得：，解得：−1≤x<1，故A＝[−1, 1)；（2）a＝2时，B＝{x|x≤2}，∁R A＝{x|x<−1或x≥1}，故(∁R A)∩B＝{x|x<−1或1≤x≤2}；(Ⅲ)若A∩B＝A，则a≥1．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】(Ⅰ)根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可；(Ⅱ)代入a的值，求出A的补集，从而求出其和B的交集即可；(Ⅲ)根据A∩B＝A，求出a的范围即可．【解答】（1）由题意得：，解得：−1≤x<1，故A＝[−1, 1)；（2）a＝2时，B＝{x|x≤2}，∁R A＝{x|x<−1或x≥1}，故(∁R A)∩B＝{x|x<−1或1≤x≤2}；(Ⅲ)若A∩B＝A，则a≥1．【答案】（1）∵f(x)为偶函数，∴f(−x)＝f(x)，∴a＝−2．（2）f(x)>0，即x2−(a+2)x+2a>0，即(x−a)(x−2)>0，当a<2时，不等式的解集为(−∞, a)∪(2, +∞)；当a＝2时，不等式的解集为(−∞, 2)∪(2, +∞)；当a>2时，不等式的解集为(−∞, 2)∪(a, +∞)．【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】(Ⅰ)由偶函数的定义，可得a的值；(Ⅱ)将不等式化为(x−a)(x−2)>0，对a进行分类讨论，即可求解不等式．【解答】（1）∵f(x)为偶函数，∴f(−x)＝f(x)，∴a＝−2．（2）f(x)>0，即x2−(a+2)x+2a>0，即(x−a)(x−2)>0，当a<2时，不等式的解集为(−∞, a)∪(2, +∞)；当a＝2时，不等式的解集为(−∞, 2)∪(2, +∞)；当a>2时，不等式的解集为(−∞, 2)∪(a, +∞)．【答案】由题意可得，300≤x≤600；∵，∴每吨平均处理成本w＝，当且仅当，即x＝400吨时，上式等号成立．∴该厂每月处理垃圾应为400吨．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）直接由题意可得自变量x的取值范围；（2）写出每吨平均处理成本，利用基本不等式求最值．【解答】由题意可得，300≤x≤600；∵，∴每吨平均处理成本w＝，当且仅当，即x＝400吨时，上式等号成立．∴该厂每月处理垃圾应为400吨．【答案】函数f(x)的对称轴是x＝，若在区间[1, +∞)上是增函数，则≤1，解得：a≤2；①≤1即a≤2时，f(x)在[1, 2]递增，故f(x)min＝f(1)＝1−a，②1<<2即2<a<4时，f(x)在[1，）递减，在（，2]递增，故f(x)min＝f（）＝-，③≥2即a≥4时，f(x)在[1, 2]递减，故f(x)min＝f(2)＝4−2a．【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】（1）求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．【解答】函数f(x)的对称轴是x＝，若在区间[1, +∞)上是增函数，则≤1，解得：a≤2；①≤1即a≤2时，f(x)在[1, 2]递增，故f(x)min＝f(1)＝1−a，②1<<2即2<a<4时，f(x)在[1，）递减，在（，2]递增，故f(x)min＝f（）＝-，③≥2即a≥4时，f(x)在[1, 2]递减，故f(x)min＝f(2)＝4−2a．【答案】由f＝5，f＝4，得，解得；证明：（1）由（2）得，f(x)＝x+，设x1，x2∈(0, 2)，且x1>x2，则f(x1)−f(x2)＝-＝(x1−x2)−＝，∵x1，x2∈(0, 2)，且x1>x2，∴x1−x2>0，0<x1x2<4，>1，1−<0，f(x1)−f(x2)＝<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在区间(0, 2)上是减函数；（3）f(x)＝x+，x∈[1, 3]，由对勾函数的单调性可知，函数f(x)在[1, 2]上单调递减，在[2, 3]上单调递增．又f(4)＝5，f(5)＝4，f(6)＝，∴函数f(x)在区间[1, 3]上的最大值为5，最小值为4．【考点】函数单调性的性质与判断函数的最值及其几何意义【解析】（1）直接由f(1)＝5，f(2)＝4列关于a，b的方程组求解；（2）把（1）中求得的a与b的值代入函数解析式，再由函数单调性的定义证明；（3）利用对勾函数的单调性及f(1)、f(2)、f(3)的值求得函数f(x)在区间[1, 3]上的最大值和最小值．【解答】由f＝5，f＝4，得，解得；证明：（1）由（2）得，f(x)＝x+，设x1，x2∈(0, 2)，且x1>x2，则f(x1)−f(x2)＝-＝(x1−x2)−＝，∵x1，x2∈(0, 2)，且x1>x2，∴x1−x2>0，0<x1x2<4，>1，1−<0，f(x1)−f(x2)＝<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在区间(0, 2)上是减函数；（3）f(x)＝x+，x∈[1, 3]，由对勾函数的单调性可知，函数f(x)在[1, 2]上单调递减，在[2, 3]上单调递增．又f(4)＝5，f(5)＝4，f(6)＝，∴函数f(x)在区间[1, 3]上的最大值为5，最小值为4．【答案】由图象可得单调递增区间为(−∞, +∞)，(Ⅲ)①当x≤0时，x−≤0，∴f(x)＝x+1，f(x−）＝(x−）+1＝x+，∴f(x)+f(x−）＝2x+>1，解得x>−，∴ -<x<0，②当0<x≤，x−<0，∴f(x)＝2x，f(x−）＝(x−）+1＝x+，∴f(x)+f(x−）＝2x+x+>1恒成立，③当x>时，x−>0，∴f(x)+f(x−）>1恒成立，综上所述x的取值范围为（-，+∞)【考点】函数的图象与图象的变换【解析】(Ⅰ)代值计算即可；(Ⅱ)根据函数的解析式即可画出图象，根据图象可得函数的单调区间；(Ⅲ)分段讨论即可解出不等式．【解答】（1）f(−1)＝−1+1＝0，f(0)＝0+1＝1，f(1)＝21＝2，∴f（f（f(−1)））＝2，（2）图象。
北京市清华附中将台路校区2019-2020学年高一上学期期中数学试题
绝密★启用前 北京市清华附中将台路校区2019-2020学年高一上学期期中数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．若集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =（ ） A ．∅ B ．{0,1} C ．{0,1,2} D ．{2,0,1,2}- 2．已知函数2()f x x =，{}1,0,1x ∈-，则函数的值域为（ ） A ．{}1,0,1- B ．[0,1] C ．{}0,1 D ．[0,)+∞ 3．已知命题 ：“ ”，则命题 的否定为 A ． B ． C ． D ． 4．在区间()0,∞+上是减函数的是（） A ．31y x =+ B ．231y x =+ C ．2y x = D ．2y x x =+ 5．已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．若0a >，0b >，2ab =，则2+a b 的最小值为（） A ． B ．4 C ．D ．6 7．定义在上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =-…，则函数()f x 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- C D 1 第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．集合{1,2,3}的非空子集共有__个.10．不等式|2|3x -<的解集是__.11．已知函数2()31f x x x =+-，则(2)f -=__；若()9f α=，则α的值为__. 12．若1x 和2x 分别是一元二次方程22530x x +-=的两根．则12||x x -=__． 13．定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x …，()2f x x =-，则(3)f -=__.14．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．三、解答题15．已知2{3,22,1}A a a a =+++，若5A ∈，求a 所有可能的值.16．已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩…………订…………○班级：___________考号：__________…………订…………○（2）若1()4f x ≥，求x 的取值范围； （3）直接写出()y f x =的值域． 17．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≤时,2()2f x x x =+．现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图像，如图所示． （1）画出函数()f x 在y 轴右侧的图像，并写出函数()f x 在R 上的单调递增区间； （2）求函数()f x 在R 上的解析式． （3）解不等式()0xf x >. 19．已知函数()2f x x ax b =++为偶函数，且有一个零点为2. （1）求实数a ，b 的值. （2）若()()g x f x kx =-在[]0,3上的最小值为－5，求实数k 的值. 20．已知函数()y f x =的定义域为D ，若存在区间[,]a b D ⊆，使得{|(),[,]}[,]y y f x x a b a b =∈=称区间[,]a b 为函数()y f x =的“和谐区间”. （1）请直接写出函数3()f x x =的所有的“和谐区间”； （2）若[,]()m m >00为函数()||f x x =-312的一个“和谐区间”，求m 的值； （3）求函数2()2f x x x =-的所有的“和谐区间”.参考答案1．B【解析】【分析】根据题意，利用交集定义直接求解。
2020-2021北京市清华大学附属中学高中必修一数学上期中模拟试卷(及答案)
2020-2021北京市清华大学附属中学高中必修一数学上期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭3．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1274．已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)75．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ）A ．1-B ．13-C ．12-D ．136．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．507．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 9．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]10．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-11．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b ab aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 12．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 二、填空题13．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.14．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()g x =的定义域是__________．15．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n= . 16．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．17．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 18．已知函数1)4f x +=-，则()f x 的解析式为_________. 19．已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________. 20．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．三、解答题21．已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值；(2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．22．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤> （Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）. 23．已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若方程()0f x =两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求()0f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(2,1)-. （ⅰ）求解关于x 的不等式20cx bx a ++>（ⅱ）设函数2(1)(),(1)(1)b x cg x x a x +-=<-，求函数()g x 的最大值 24．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 25．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 26．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出 f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．4．C解析：C 【解析】 【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.5．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增， 则由()()1f x f x m -≤+，得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立，则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩，解得113m -≤≤-， 即m 的最大值为13-. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+ 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.6．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．7．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．9．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.10．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．11．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 12．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】由题意得：当时恒成立即；当时恒成立即；当时即综上x 的取值范围是【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值解决此类问题时要注解析：1(,)4-+∞ 【解析】 由题意得： 当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即014x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.14．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．15．2【解析】【分析】把要求零点的函数变成两个基本初等函数根据所给的ab 的值可以判断两个函数的交点的所在的位置同所给的区间进行比较得到n 的值【详解】设函数y=logaxm=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4解析：2 【解析】 【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a ，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值. 【详解】设函数y=log a x ，m=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4，对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1在同一坐标系中画出两个函数的图象， 判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2．故答案为2.考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．16．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值17．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析：()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.18．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点 解析：2()23(1)f x x x x =--≥【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】 令11t x =≥，则()21x t =-故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥故答案为2()23(1)f x x x x =--≥【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点 19．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决 解析：(0,1),【解析】(),,2x x a x a x af x a x a ≥++-⎧==⎨<⎩， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围20．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题 解析：3【解析】【分析】先由()()43f f x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】由题意，得()()()()()243f f x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-， 即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此()23f =，故答案为3. 【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（1）1,0a b ==；（2）4k <.【解析】【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩. 解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有（1）知()221112224222x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.22．（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）()20,32{42,2a m a a a a ≤≤=-+->．（ⅱ）()348,34{2,4a a a a -≤<M =≥． 【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故 当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，当1x >时，()()()22422122x ax a x x x a -+---=--． 所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ． （Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-， 则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-， 所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+-> （ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=．所以，()348,34{2,4a a M a a -≤<=≥． 【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ．23．（1）{}13x x ≤≤；（2）（ⅰ）1(,)(1,)2-∞-⋃+∞；（ⅱ）2-.【解析】【分析】 （1）由韦达定理及函数过点(2,－1)，列方程组()432421b a c a f a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩求解即可； （2）（ⅰ）由不等式的解集与方程的根可得012a b ac a ⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，则20cx bx a ++>可化为2210x x -->，再解此不等式即可；（ⅱ）由（ⅰ）得()g x =4(1)()21x x⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦，再利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，得解.【详解】 （1）由题意可得()432421b a c a f a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，()243f x x x ∴=-+， 解不等式()0f x ≤，即2430x x -+≤，即()()130x x --≤，解得13x ≤≤， 因此，不等式()0f x ≤的解集为{}13x x ≤≤； （2）（ⅰ）由题意可知012a b ac a⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以20cx bx a ++>可化为210c b x x a a ++<， 即2210x x -++<，得2210x x -->，解得21x <-或1x > 所求不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞. （ⅱ）由（ⅰ）可知22(1)(1)2()(1)(1)b x c a x a g x a x a x +-++==--=231x x +=- 2(1)2(1)41x x x -+-+=-=4(1)()21x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦ , 因为1,x <所以10x ->，所以4(1)()41x x -+≥-，当且仅当411x x -=-时即1x =-时取等号 , 所以4(1)()41x x ⎡⎤-+≤-⎢⎥-⎣⎦，4(1)()221x x ⎡⎤-≤-++≤-⎢⎥-⎣⎦所以当1x =-时，()max 2g x =- .【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法及不等式的解集与方程的根的关系，重点考查了利用均值不等式求函数的最大值及取等的条件，属中档题.24．（Ⅰ）y =225x +2360360(0)x x-〉n（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得360ax=，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．考点：函数模型的选择与应用25．（1）B∩A=[1，4），B∩(∁U A)= [-4,1)∪[4,5)；（2）1 [,) 2+∞ .【解析】【分析】(1)利用补集的定义求出A的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B是否是空集，列出不等式组求解即可.【详解】（1）∵A={x|1≤x＜4}，∴∁U A={x|x＜1或x≥4}，∵B={x|2a≤x＜3-a}，∴a=-2时，B={-4≤x＜5}，所以B∩A=[1，4），B∩(∁U A)={x|-4≤x＜1或4≤x＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A∪B=A⇔B⊆A，①B=∅时，则有2a≥3-a，∴a≥1,②B≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.26．（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B)∪(∁U C)＝{1,2,6,7,8}．【解析】试题分析：（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求∁U B，∁U C；再求(∁U B)∪(∁U C)．试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)由∁U B＝{6,7,8}，∁U C＝{1,2}；故有(∁U B)∪(∁U C)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．。
2021-2022学年北京市高一年级上册学期期中考试数学试题【含答案】
2021-2022学年北京市东城区高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设全集，，，则（ ）{2,1,0,1,2}U =--{|1}A x x =≤{2,0,2}B =-()U A B =A ．B ．C ．D ．{2,0}-{2,0,2}-{1,1,2}-{1,0,2}-【答案】C【分析】利用集合的交、补运算求即可.()U A B ⋂ 【详解】由题设，，又，{2,0}A B =- {2,1,0,1,2}U =--∴.(){1,1,2}U A B =- 故选：C2．命题“，都有”的否定是（ ）1x ∀≥ln 10x x +-≥A ．“，都有”B ．“，使”1x ∀≥ln 10x x +-<01x ∃<00ln 10x x +-<C ．“，使”D ．“，使”01x ∃≥00ln 10x x +-≥01x ∃≥00ln 10x x +-<【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题来得答案.【详解】根据全称命题的否定是特称命题得命题“，都有”的否定是“，使”1x ∀≥ln 10x x +-≥01x ∃≥00ln 10x x +-<故选：D.3．已知函数有（ ）()f x x =+()f x A ．最小值1，无最大值B ．最大值，无最小值32C ．最小值，无最大值D ．无最大值，无最小值32【答案】C【分析】先用换元法将变形为二次函数的形式，然后根据对称轴求解出二次函数的最值，则()f x 的最值情况可知.()f x【详解】因为，所以，()f x x =[)0,t =∈+∞232t x +=所以，()()()[)()2231110,22t f x g t t t t +==+=++∈+∞因为的对称轴为，所以在上递增，()g t 1t =-()g t [)0,∞+所以，无最大值，()()min 302g t g ==所以的最小值为，无最大值，()f x 32故选：C.4．对于任意实数，，，，命题：a b c d ①若，，则；a b >0c ≠ac bc >②若，则；a b >22ac bc >③若，则；22ac bc >a b >④若，则. a b >11a b <其中正确的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．1234【答案】A【分析】根据不等式的性质判断各个命题，错误的可举反例说明．【详解】时，若，则，①错误；a b >0c <ac bc <若，则，②错误；0c =22ac bc =若，则，∴，③正确；22ac bc >20c >a b >，若，仍然有，④错误．a b >0a b >>11a b >正确的只有1个．故选：A5．已知，，且，则的最小值为（ ）0x >0y >41x y +=x y yx +A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】B【分析】将展开利用基本不等式即可求解.1111(4)x y x y xy x y x y ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭【详解】由，，且得0x >0y >41x y +=，11114(4)559x y y x x y xy x y x y x y ⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当即，时等号成立，的最小值为，414x y y x x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩13x =16y =x y y x +9故选：B.6．若定义域为的奇函数满足，且，则 （ ）R ()f x (2)()f x f x -=(3)2f =(4)(1)f f +=A ．B ．C ．D ．212-【答案】D 【分析】根据函数为的奇函数和满足，得到函数，再结合()f x R ()f x (2)()f x f x -=4T =求解.()32f =【详解】因为函数为的奇函数，()f x R 所以，()()f x f x -=-又满足，()f x (2)()f x f x -=所以，即，()()2f x f x -=--()()2f x f x +=-所以，即，()()4f x f x +=4T =因为，，(3)2f =(0)0f =所以，，(4)0f =()()312f f =-=所以(4)(1)2f f +=-故选：D7．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]【答案】D【详解】由题意可知：当m =0时，由f (x )=0知，−3x +1=0，∴，符合题意；103x =>当m >0时，由f (0)=1可知：，解得0<m ⩽1；2(3)40302m m m m ⎧=--⎪⎨-->⎪⎩ 当m <0时，由f (0)=1可知，函数图象恒与轴正半轴有一个交点x 综上可知，m 的取值范围是：(−∞,1].故选D.点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上大于0的有解问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于x 轴的交点个数；四是，区间端点值.8．已知，则“”是“”的（ ）,a b +∈R ln ln 0a b ⋅>()()110a b -⋅->A ．充分而不必可条件B ．必要而不充分他件：C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】可求出的等价条件，根据充分必要条件的定义判断．ln ln 0a b >【详解】解析：由题，因为，所以，即或，所以或,a b +∈R ln ln 0a b ⋅>ln 0ln 0a b >⎧⎨>⎩ln 0ln 0a b <⎧⎨<⎩11a b >⎧⎨>⎩，即等价于，即是"的充分必要条件，0101a b <<⎧⎨<<⎩()()110a b -->“ln ln 0"a b ⋅>()()“110a b -⋅->故选：C.9．已知函数是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是()21(1)3,(1),(1)x a x ax a x f x a x -⎧-++≥=⎨<⎩（ ）A ．B ．C ．D ．2,15⎛⎫⎪⎝⎭20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦22,53⎛⎤ ⎝⎦2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由指数函数的单调性知，即二次函数是开口向下的，利用二次函数的对称轴与101a <<比较，再利用分段函数的单调性，可以构造一个关于a 的不等式，解不等式即可得到实数a 的取值范围．【详解】函数是定义域上的递减函数，()21(1)3,(1),(1)x a x ax a x f x a x -⎧-++≥=⎨<⎩当时，为减函数，故；1x <()1x f x a -=01a <<当时，为减函数，由，得，开口向下，对称轴为1x ≥()2(1)3f x a x ax a =-++1a <10a -<，即，解得；12(1)a x a -=≤-2(1)a a -≥-23a ≤当时，由分段函数单调性知，，解得；1x =211(1)113a a a a--⨯+⋅+≤25a ≤综上三个条件都满足，实数a 的取值范围是20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查分段函数的单调性，函数单调性的性质，其中解答时易忽略函数在整个定义域上为减函数，则在分界点处（）时，前一段的函数值不小于后一段的函数值，考查学1x =生的分析能力与运算能力，属于中档题.10．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与最接近的是MN （参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【详解】试题分析：设，两边取对数，36180310M x N ==，所以，即最接近，故选D.36136180803lg lg lg 3lg10361lg 38093.2810x ==-=⨯-=93.2810x =MN 9310【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算36180310x =公式包含，，.log log log aa a M N MN +=log log log a a a MM N N -=log log n a a M n M =二、解答题11．函数的定义域为_________.lg(1)y x =+【答案】(]1,4-【分析】根据真数大于零，被开方数不小于零列不等式求解.【详解】由已知，解得1040x x +>⎧⎨-≥⎩14x -<≤即函数的定义域为.lg(1)y x =++(]1,4-故答案为：.(]1,4-三、填空题12．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为_________.()f x R 0x >2()log f x x =1(4f f ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】1【分析】根据奇函数可得到，然后利用题意中的解析式即可求解11()()44f f --=【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，，()f x R 0x >2()log f x x =所以，2111(()244g 4lo f f =-=--=所以21()(4log 22)1f f f ⎡⎤-==⎢⎥⎦=⎣故答案为：113．已知奇函数在上是增函数，.若，，，()f x R ()()g x xf x =()3a g =()0.82b g =()2log 5c g =-则、、的大小关系为___________.（用连接）a b c <【答案】b<c<a 【分析】分析出函数为偶函数且在上为增函数，比较、、的大小关系，由()g x ()0,∞+30.822log 5此可得出、、的大小关系.a b c 【详解】因为奇函数在上是增函数，则当时，，()f x R 0x >()()00f x f >=且，故函数为偶函数，()()()()g x xf x xf x g x -=--==()g x 任取、且，则，1x ()20,x ∈+∞12x x >()()120f x f x >>由不等式的性质可得，即，()()11220x f x x f x >>()()120g x g x >>所以，函数在上为增函数，()g x ()0,∞+因为，，，()3a g =()0.82b g =()()22log 5log 5c g g =-=又因为，即，故.0.822222log 4log 5log 83<=<<=0.822log 53<<b<c<a 故答案为：.b<c<a 四、双空题14．函数的图像是如图所示的折线段，点的坐标为，点的坐标为. 定义函()f x OAB A (1,2)B (3,0)数，则_________，函数的最大值为_________.()()(1)g x f x x =⋅-(1)g =()g x【答案】 0 1【分析】根据点的坐标得到函数，继而得到，()()2,013,13x x f x x x ≤≤⎧=⎨--<≤⎩()2222,0143,13x x x g x x x x ⎧-≤≤=⎨-+-<≤⎩然后利用二次函数性质即可求解【详解】设线段的方程为，AB y kx b =+由点的坐标为，点的坐标为可得，解得，A (1,2)B (3,0)203k bk b =+⎧⎨=+⎩13k b =-⎧⎨=⎩所以函数，()2,013,13x x f x x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩又∵，∴函数，()()()1g x f x x =⋅-()2222,0143,13x x x g x x x x ⎧-≤≤=⎨-+-<≤⎩所以，220(1)g =-=当时，，∴此时；01x ≤≤()2112(22g x x =--()()()max 100g x g g ===当时，，∴此时；13x <≤()()221g x x =--+()()max 21g x g ==∴函数最大值为1，()g x 故答案为：0；1五、填空题15．已知，若方程有四个不同的解，则下面结论正确21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x a =1234x x x x <<<的代号为_________.①122x x +=-②121=x x ③341x x =④341152,2x x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦【答案】①③④【分析】作出函数的图象，根据图象得出，，，再利用对()f x 122x x +=-341122x x ≤<<≤341x x =勾函数的单调性求得的取值范围即可.3411x x +【详解】作出函数的图象如图所示：()f x 由图象可知关于对称，，故①正确；12,x x =1x -122x x +=-当，满足，但不满足，故②不正确；112x =-232x =-122x x +=-121=x x ，即，2324log log x x = 341122x x ≤<<≤2324log log 0x x +=，故③正确，341x x ∴=，333431111,,12x x x x x ⎡⎫∴+=+∈⎪⎢⎣⎭又对勾函数在单调递减，1y x x =+()0,1所以，即，④正确，331522x x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦,341152,2x x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦故答案为：①③④六、解答题16．计算：（1）；20211)02-⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）.()()4839log 3log 3log 2log 2++【答案】（1）；（2）．1054【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解；（2）利用对数的运算性质求解．【详解】解：（1）原式；()41505510=+--+=+=（2）原式．223323111535log 3log 3log 2log 2log 3log 2232624⎛⎫⎛⎫=++=⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭17．已知集合，函数的定义域为.{}123A x m x m =-≤≤+()2()lg 28f x x x =-++B （1）当时，求；2m =()R A B⋂ （2）若，求实数的取值范围.A B A = m 【答案】（1）；（2）.{}21x x -<<()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【分析】（1）先求出集合A ，再求出其补集，由，求出集合B ，然后求出，2280x x -++>()R A B⋂ （2）由得，然后分和两种情况求解即可A B A = A B ⊆A =∅A ≠∅【详解】.解：（1）根据题意，当时，，则或，2m ={}17A x x =≤≤{1R A x x =< }7x >由，得，2280x x -++>24-<<x 所以，{}24B x x =-<<所以；(){}21RA B x x ⋂=-<< （2）根据题意，若，则，A B A = A B ⊆分2种情况讨论：①当时，有，解可得，A =∅123m m ->+4m <-②当时，A ≠∅若有，必有，解可得，A B ⊆12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩112m -<<综上可得：的取值范围是：.m ()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭18．已知函数，且，.2()ax b f x x +=(1)2f =5(2)2f =(1)确定函数的解析式，并判断奇偶性；()f x (2)用单调性定义证明函数在区间上单调递增.()f x (,1)-∞-【答案】(1)，奇函数21()x f x x +=(2)证明见解析【分析】（1）先通过，列方程求出函数的解析式，再利用奇偶性的定义证明(1)2f =5(2)2f =()f x 即可；（2）令，做差判断的正负来确定函数单调性.121x x <<-12()()f x f x -【详解】（1）由，得(1)2f =5(2)2f =24522a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得，1a b ==，其定义域为21()x f x x +∴=()(),00,∞-+∞ ，2211()()x x f x f x x x ++∴-=-=-=--故函数为定义域上的奇函数；()f x （2）令，121x x <<-则，()()()22121212121211212211111()()x x x x x x f x f x x x x x x x x x --⎛⎫++∴-=-=-+-= ⎪⎝⎭，121x x <<- 12120,10x x x x ∴-<->，即，12()()0f x f x ∴-<12()()f x f x <故函数在区间上单调递增()f x (,1)-∞-19．设函数，已知的解集为.()()2,R f x x bx c b c =++∈()0f x <()1,3-(1)求，的值；b c (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值.()()g x f x ax =-[]0,24-a 【答案】(1)23b c =-⎧⎨=-⎩(2)0a =【分析】（1）根据二次不等式的解和二次方程的的根的关系，利用韦达定理列方程求解；（2）先通过，，求出，再验证是否在对应的处取到最小值即(0)4g =-(2)4g =-2(42a g +=-a x 可.【详解】（1）由已知的解集为，()0f x <()1,3-则方程的根为，20x bx c ++=1,3-由韦达定理得，()1313b c -+=-⎧⎨-⨯=⎩；23b c =-⎧∴⎨=-⎩（2）由（1）得函数，()23(2)g x a x x =-+-由于开口向上的二次函数的最小值只能在区间端点或者对称轴处取到，若，即，不符，舍去；(0)4g =-34-=-若，即，得，(2)4g =-()42234a -+-=-12a =此时，对称轴为，故函数应该在时取到最小值，不符，舍去；253()2x x x g -=-[]50,24x =∈54x =若，即，得或2()42a g +=-()24222232a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+-=-4a =-0a = 当时，，对称轴为，不符合在对称轴处取到最小值，舍去；4a =-2()23g x x x =+-[]10,2x =-∉当时，，对称轴，符合在对称轴处取到最小值.0a =2()23g x x x =--[]10,2x =∈综合得.0a =20．设是上的奇函数，且当时，，.()f x R 0x >2()lg(1)f x x ax =-+R a ∈(1)若，求的解析式；(1)1f =()f x (2)若在区间单调，求实数的取值范围.()f x (1,2)a 【答案】(1)22lg(1),0()lg(1),0x ax x f x x ax x ⎧-+>=⎨-++≤⎩(2)1a ≤【分析】（1）先根据求出，再通过时求函数解析式；(1)1f =a 0x <()()f x f x =--（2）根据对称轴的位置，以及在区间上恒成立来列不等式求解.210x ax -+≥(1,2)【详解】（1）由已知，得(1)lg(11)1f a =-+=8a =-故当时，0x >2()l 8g(1)f x x x +=+又是上的奇函数，()f x R 当时，，∴0x <()()()()()22lg 81lg 81f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-+=--+⎣⎦，()()000f f += ()00f ∴=22lg(81),0()lg(81),0x x x f x x x x ⎧++>∴=⎨--+≤⎩（2）在区间单调，即在上单调，()f x (1,2)2()lg(1)f x x ax =-+(1,2)则，()()()1lg(11)02lg(421)01,22f a f a a ⎧⎪=-+≥⎪=-+≥⎨⎪⎪∉⎩.1a ∴≤21．非空有限集合S 是由若干个正实数组成，集合S 的元素个数不少于2个．对于任意，,a b S ∈，若数或中至少有一个属于S ，则称集合S 是“好集”；否则，称集合S 是“坏集”．a b ¹b a ab （1）断和是好集，还是坏集，并简单说明理由；{1,3,9}A =1111,,,2416B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（2）题设的有限集合S 中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合S 是“坏集”；（3）若题设中的或都属于S ，则称集合S 为“超级好集”，求出所有的“超级好集”．b a ab【答案】（1）是“坏集”； 是“好集”；（2）证明过程见解析；（3），A B {}1,S a =其中且.0a >1a ≠【解析】（1）根据“好集”和“坏集”的定义进行判断即可；（2）利用小于的所有元素中的最小元素以及大于的所有元素中的最小元素，根据定义以及指数11函数的单调性进行证明即可.（3）结合（2）中的结论，可以证明出，其中且.{}1,S a =0a >1a ≠【详解】（1）且是“坏集”；93A ∉ 39A A ∉∴，因为，都有，，而，x B ∈11x =1x x =111224111111(),(),()42164162===所以中任意两个元素，满足且数或中至少有一个属于，B ,a b a b ¹ba ab B 因此是“好集”.B （2）若是中小于1的元素中的最小元素，是中大于1的元素中的最小元素，a Sb S 则由指数函数的单调性可得：，从而且，111b a a a a b b b <=<<<=b a S ∉a b S ∉∴集合是“坏集”.S （3）显然，其中且，是符合题意的“超级好集”．{}1,S a =0a >1a ≠现在证明集合中不可能存在其它元素.S 由（2）可知不可能同时存在既有大于1的元素，又有小于1的元素，S 不妨设且，且为中大于1的元素中最大的元素，,1a b >,a b S ∈b S 因此有，所以，矛盾，a b b >a b S ∉同理且时也矛盾，故集合中不可能存在其它元素.,1a b <,a b S ∈S 因此，其中且.{}1,S a =0a >1a ≠【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义问题，对于新定义的集合问题，关键是要理解新定义的内容，然后在求解问题时，利用结合集合以外的知识解答问题.本例中定义的“好、坏集”，实际上是研究元素与集合的关系，中间借助指数函数的相关内容解答问题.。
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北京市清华附中将台路校区2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.若集合{|12}A x x =-<<，{2,0,1,2}B =-，则A B =（ ）A. ∅B. {0,1}C. {0,1,2}D.{2,0,1,2}-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用交集定义直接求解。
【详解】集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =。
【点睛】本题主要考查集合交集的运算。
2.已知函数2()f x x =，{}1,0,1x ∈-，则函数的值域为（ ）A. {}1,0,1-B. [0,1]C. {}0,1D.[0,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】分别代入1,0,1-求得()f x 即可.【详解】由题222(1)(1)1,(0)(0)0,(1)11f f f -=-=====,故值域为{}0,1故选：C【点睛】本题主要考查函数的值域,属于简单题型.3.已知命题p ：“2,20x R x ∀∈+>”，则命题p 的否定为A. 2,20x R x ∀∈+≤B. 200,20x R x ∃∈+>C. 200,20x R x ∃∈+≤D. 2,20x R x ∀∈+<【答案】C 【解析】 【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定． 【详解】由全称命题的否定为特称命题可得命题p ：“2,20x R x ∀∈+>”的否定为200,20x R x ∃∈+≤，故选C ．【点睛】本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题． 4.在区间()0,∞+上是减函数的是（） A. 31yxB. 231y x =+C. 2y x=D.2y x x =+【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数、二次函数和反比例函数性质即可得到结果. 【详解】31yx 在()0,∞+上单调递增，A 错误；231y x =+在()0,∞+上单调递增，B 错误2y x=()0,∞+上单调递减，C 正确；2y x x =+在()0,∞+上单调递增，D 错误本题正确选项：C【点睛】本题考查常见函数单调性的判断，属于基础题. 5.已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用集合间的关系推出p q 、之间的关系.【详解】{|1}x x>{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件,故选：B.【点睛】p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ：p 是q 的充分不必要条件则有：A B ；p 是q 的必要不充分条件则有：BA .6.若0a >，0b >，2ab =，则2+a b 的最小值为（）A. B. 4C. D. 6【答案】B 【解析】 【分析】由a +2ba +2b 的最小值． 【详解】∵a ＞0，b ＞0，ab ＝2， ∴a +2b4=， 当且仅当a ＝2b ＝2时取等号， ∴a +2b 的最小值为4． 故选：B ．【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是等号成立的条件，属基础题．7.定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =-，则函数()f x 的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可知2x =，0x =为()f x 的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推()f x 在(,0)-∞这个区间上的零点，即可得出答案。
【详解】根据题意，可知2x =，0x =为()f x 的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推得2x =-也为()f x 的零点，所以()f x 的零点共有三个，故答案选D 。
【点睛】本题主要考查奇函数图像关于零点对称的性质和函数零点个数的求解。
8.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A. 2p q+ B.(1)(1)12p q ++-1【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为x ，因此2(1)(1)(1)p q x ++=+解得1x =．考点：函数模型的应用． 【此处有视频，请去附件查看】二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.集合{1,2,3}的非空子集共有__个. 【答案】7 【解析】 【分析】集合{1,2,3}共三个元素,故用元素个数为n 的集合的非空子集个数为21n -可得. 【详解】由元素个数为n 的集合的非空真子集个数为21n -得,集合{1,2,3}的非空子集共有3217-=个.故答案：7【点睛】本题主要考查了元素个数为n 的集合的非空真子集个数为21n -,属于简单题型. 10.不等式|2|3x -<的解集是__. 【答案】{}|15x x -<< 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可.【详解】由|2|3x -<得323,15x x -<-<-<<,故解集为{}|15x x -<< 故答案为：{}|15x x -<<【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,属于基础题型.11.已知函数2()31f x x x =+-，则(2)f -=__；若()9f α=，则α的值为__.【答案】 (1). -3 (2). 2或-5 【解析】 【分析】直接令2x =-求解(2)f -,再根据()9f α=列出关于α的关系式进行求解即可.【详解】2(2)3(2)1(2)3f -+--==--,又()9f α=故2319,(5)(2)0αααα+-=+-=,所以α=2或-5故答案为：(1)-3 (2) 2或-5【点睛】本题主要考查二次函数的基本运算,属于基础题型.12.若1x 和2x 分别是一元二次方程22530x x +-=的两根．则12||x x -=__． 【答案】72【解析】 【分析】利用韦达定理与12||x x -=.【详解】因为1x 和2x 分别是一元二次方程22530x x +-=的两根,故121253,22x x x x +=-=-,所以127||2x x -===故答案为：72【点睛】本题主要考查韦达定理的运用,属于基础题型.13.定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ，()2f x x =-，则(3)f -=__. 【答案】-1【解析】 【分析】根据奇函数的性质()()f x f x =--求解即可． 【详解】由函数()f x 是奇函数,所以()()f x f x =-- 故(3)(3)(32)1f f -=-=--=- 故答案为：-1【点睛】本题考查了函数的性质在求解函数值中的应用,属于简单题． 14.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 【答案】 (1). 6 (2). 12 【解析】试题分析：设男生人数、女生人数、教师人数分别为a b c 、、，则*2,,,c a b c a b c N >>>∈. ①max 846a b b >>>⇒=，②min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.已知2{3,22,1}A a a a =+++，若5A ∈，求a 所有可能的值. 【答案】32a =，或2a =- 【解析】 【分析】分三种情况23,22,1a a a +++分别等于5进行讨论,注意集合的互异性即可. 【详解】∵5∈A ,∴35a +=,或225a +=,或215a +=, 解得：2a =,32a =,或2a =±． 经过验证：a ＝2时{5,6,5}A =不满足题意,舍去． ∴32a =,或2a =-． 【点睛】本题主要考查集合的元素分类讨论与互异性,注意算得的答案要代入原集合进行互异性的讨论.16.已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩（1）画出函数()y f x =的图象； （2）若1()4f x ≥，求x 的取值范围； （3）直接写出()y f x =的值域． 【答案】（1）图像见解析（2）12x ≥或12x ≤-（3）值域是[)0,+∞ 【解析】 【分析】(1)根据分段函数的表达式画图即可. (2)观察图像求解不等式1()4f x ≥即可. (3)根据图像求得最值再写出值域即可.【详解】(1)函数()y f x =的图像如图；(2)当1x <-时,满足()14f x ≥, 当11x -≤≤,由()14f x ≥得214x ≥,得12x ≥或12x ≤-, 此时112x -≤≤-或112x ≤≤, 当1x >时,()14f x ≥恒成立, 综上得12x ≥或12x ≤-,即x 的取值范围是得12x ≥或12x ≤-；(3)由图像知()0f x ≥,即y ＝f (x )的值域是[)0,+∞．【点睛】本题主要考查分段函数的图像问题,注意在画图的时候计算区间端点值与最大最小值等,属于基础题型.17.已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）A ∪B ＝{x |－2<x <3}（2）(,2]-∞-（3）[0,)+∞ 【解析】试题分析：（1）m ＝－1 ，用轴表示两个集合，做并集运算，注意空心点，实心点。
（2）由于A ⊆B ，首先要保证1-m>2m,即集合B 非空，然后由数轴表示关系，注意等号是否可取122113m mm m ->⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩。
（3）空集有两种情况，一种是集合B 为空集，一种是集合B 非空，此时用数灿表示，写出代数关系，注意等号是否可取。