平面任意力系的简化.
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平面任意力系的简化
F3 F2
F3
F1
F5
A
F2
F4
正方体A (合力)
F1
F5
B
F4
正方体B (力螺旋)
例：已知力Fi（i =1,2,3,…, n）及其作用点， 求力系向O点简化的结果。
z
y
o
b
c
x
a
解：1、 Fi Fixi Fiy j Fizk ri xii yi j zik
2、
FR
F n
i 1
i
F1i
力螺旋 （wrench)
o
o
o d o’
o d o’
o d o’
M O1
(MO
• FR FR2
)FR
oo'
d
FR
MO FR2
M 力螺旋的三要素: 力矢 FR, 力偶矩矢
, 确定中心轴位置的矢径OO’ 。
O1
例1：确定下列各图示力系的简化结果
F3
A
F2
F3
B
F2
F1
F1
平面椭圆A (合力偶)
平面椭圆B (合力)
F' F" F
作用在刚体上的力是滑移矢量。
定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后， 不改变其作用效应。
刚 体
变 形 体
作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线.
9.29平面任意力系简化
———合力矩定理
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系
中各力对于同一点之矩的代数和。
合力矩定理：
平面任意力系的合力对作用面内任 意一点的矩等于力系中各力对同一点的 矩的代数和。
4-2．平面力系简化结果讨论：
（ 1 ）主矢不为零，主矩为零：汇 交力系。 （ 2 ）主矢不为零，主矩不为零： 任意力系。 可以通过力的平移，确定力的作用点 （即作用线）而简化为一个合力；
主矩 ：O这一点称为简化中心。力偶的 矩等于力系中各力对简化中心的矩的代 数和。 平面任意力系可向平面内任选的简 化中心简化。
简化结果
（ 1 ）等效于一个力和一个力偶的共同 作用，既非一个合力也非一个力偶； （ 2 ）主矢与简化中心位置无关，即对 于任一点主矢都等于原力系各力的矢 量和，确定其大小和方向； （3）主矩一般与简化中心的位置有关
建筑力学
迟耀辉
问题提出
F
当钉子打偏的时候， 会发生什么现象？ 使钉子弯曲的作 用来自哪里呢？
F (a) (b)
F
两圆盘运动形式是否一样？ 二者之间有什么联系呢？
两个问题的相同之处在于：
如何将一个力等效地平移到另外一点？
力的平移定理
•
由力的性质可知：在刚体内，力沿 其作用线滑移，其作用效应不改变。如 果将力的作用线平行移动到另一位置， 其作用效应将发生改变，其原因是力的
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系
中各力对于同一点之矩的代数和。
合力矩定理：
平面任意力系的合力对作用面内任 意一点的矩等于力系中各力对同一点的 矩的代数和。
4-2．平面力系简化结果讨论：
（ 1 ）主矢不为零，主矩为零：汇 交力系。 （ 2 ）主矢不为零，主矩不为零： 任意力系。 可以通过力的平移，确定力的作用点 （即作用线）而简化为一个合力；
主矩 ：O这一点称为简化中心。力偶的 矩等于力系中各力对简化中心的矩的代 数和。 平面任意力系可向平面内任选的简 化中心简化。
简化结果
（ 1 ）等效于一个力和一个力偶的共同 作用，既非一个合力也非一个力偶； （ 2 ）主矢与简化中心位置无关，即对 于任一点主矢都等于原力系各力的矢 量和，确定其大小和方向； （3）主矩一般与简化中心的位置有关
建筑力学
迟耀辉
问题提出
F
当钉子打偏的时候， 会发生什么现象？ 使钉子弯曲的作 用来自哪里呢？
F (a) (b)
F
两圆盘运动形式是否一样？ 二者之间有什么联系呢？
两个问题的相同之处在于：
如何将一个力等效地平移到另外一点？
力的平移定理
•
由力的性质可知：在刚体内，力沿 其作用线滑移，其作用效应不改变。如 果将力的作用线平行移动到另一位置， 其作用效应将发生改变，其原因是力的
平面任意力系
FR ' ( Fx )2 ( Fy )2 709.4kN
cos( FR F ', i ) FR '
x
0.3283 , cos( FR
F ', j ) FR '
y
0.9446
主矩： M O M O ( F ) 3F1 1.5P 1 3.9P 2 2355kN m
8
平面固定端约束
9
平面固定端约束
=
=
固定铰支座
10
三、平面任意力系的简化结果分析
= 0; M O 0 1) FR 0; M O 0 2) FR 0; M O 0 3) FR = 0; M O 0 4) FR
11
= 0; MO 0 1) FR
合力偶 与简化中心的位置无关
35
求解静定平衡问题的步骤
刚体组合）
建议；视实际问题灵活采用
（1）选取恰当的研究对象。（整个物系、单个刚体或局部几个
（2）取分离体作受力图。（尤其要注意二力杆或者三力汇交； 注意只研究外力，不计内力；作用力和反作用力关系的应用。）
（3）建立平衡方程，并求解。（注意适当选取坐标系和矩心的
位置，尽可能使一个方程只有一个未知量。）（一般式，二矩式， 三矩式的灵活应用） （4）结果的校核检验。（可利用余下的刚体的平衡条件来检验 结果的正确性）
2平面任意力系简化2-25
有的力在x轴和y轴上投影的代数和。
平面力偶系，只能合成一合力偶，合力偶
的力偶矩等于各力偶的力偶矩的代数和， 即：
M o M i M o ( Fi )
i 1 i 1
n
n
2．3．2平面一般力系向一点简化
下面应用力向一点平移以及平面汇交力系 和平面力偶系的合成结果，讨论平面力系 的简化。
数、大小和方向）不完全相同，但其所产生的
运动交应却可能是相同的。这时，可以称这些
力系为等效力系。
序
言
为了判断力系是否等效，必须首先确定表示力 系基本特征的最简单、最基本的量——力系基 本特征量。这需要通过力系的简化方能实现。
序言
本章首先在物理学的基础上，对力矩的概念加以 扩展和延伸，同样在物理学的基础上引出力系基 本特征量，然后应用力向一点平移定理和方法对 力秒加以简化，进而导出力系等效定理，并将其
例题2-3 图2-5之刚性圆轮上所受复杂力系可以 简化为一磨擦力F和一力偶矩为M、方向已知的 力偶。已知为F的数值为F=2.4kN。如果要使力 F和力偶各B点简化结果只是沿水平方向的主矢 FR ，而主矩等于零。B点到轮心O的距离 OB=12mm（图中长度单位为mm）。求：作 用在圆轮上的力偶的力偶矩M的大小。
解：根据平面力偶系的简化结果，由式（2-7）得
本例中3个力偶所组成的平面力偶系的合力偶的力 偶矩，等于3个力偶的力偶矩之代数和，即：
平面力偶系，只能合成一合力偶，合力偶
的力偶矩等于各力偶的力偶矩的代数和， 即：
M o M i M o ( Fi )
i 1 i 1
n
n
2．3．2平面一般力系向一点简化
下面应用力向一点平移以及平面汇交力系 和平面力偶系的合成结果，讨论平面力系 的简化。
数、大小和方向）不完全相同，但其所产生的
运动交应却可能是相同的。这时，可以称这些
力系为等效力系。
序
言
为了判断力系是否等效，必须首先确定表示力 系基本特征的最简单、最基本的量——力系基 本特征量。这需要通过力系的简化方能实现。
序言
本章首先在物理学的基础上，对力矩的概念加以 扩展和延伸，同样在物理学的基础上引出力系基 本特征量，然后应用力向一点平移定理和方法对 力秒加以简化，进而导出力系等效定理，并将其
例题2-3 图2-5之刚性圆轮上所受复杂力系可以 简化为一磨擦力F和一力偶矩为M、方向已知的 力偶。已知为F的数值为F=2.4kN。如果要使力 F和力偶各B点简化结果只是沿水平方向的主矢 FR ，而主矩等于零。B点到轮心O的距离 OB=12mm（图中长度单位为mm）。求：作 用在圆轮上的力偶的力偶矩M的大小。
解：根据平面力偶系的简化结果，由式（2-7）得
本例中3个力偶所组成的平面力偶系的合力偶的力 偶矩，等于3个力偶的力偶矩之代数和，即：
平面任意力系的简化实例文本
平面任意力系简化实例分析
(1)固定端支座约束力分析。图1(a)所示一物体的一端完全固定在另一物体上，这种约束称固定端支座。应用平面任意力系的简化理论，对平面固定端支座约束力系进行简化分析。固定端支座对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力，在平面问题中，这些力为一个平面任意力系，如图1(b)所示。将这群力向作用平面内A 点简化，得到一个力和一个力偶，如图1(c)所示。一般情况下，这个力的大小和方向均为未知，可用两个正交分力来代替。因此，在平面力系情况下，固定端支座的约束力可简化为两个正交约束力F Ax 、F Ay 和一个约束力偶M A ，如图1(d)所示。固定端支座的工程结构简图为图1（e ）所示。
图1
(2)线分布荷载的简化。若力分布于物体的表面上或体积内的每一点，则称此力系为分布力。例如屋面上的风压力，水坝受到的静水压力以及梁的自重等。在进行计算时，将杆件用其轴线表示，如梁所受的重力则简化为沿梁轴线分布的分布力，称此荷载称为线分布荷载。每单位长度上所受的力，称为荷载集度，并以q 表示，其单位为N/m 。图2(a)所示三角形分布荷载，对此线分布荷载进行简化。
首先计算力系的主矢。选取坐标系如图示，微段长度dx 上的荷载大小为()dx x q dF =；因为()x l q x q A =，则有xdx l
q dF A =。主矢在两轴上的投影分别为： 0=′Rx
F
l q xdx l q dF F
A l
A l Ry 2100-=-=-='⎰⎰ 主矢的大小为：
l q F F F A Ry Rx R 2
理论力学3-平面任意力系的简化与求解
其中A、C、E为光滑铰链，B、D为光滑接触，E为 中点，各杆自重不计。在水平杆 2 上作用一铅垂 向下的力 F，试证明无论力 F 的位置 x 如何改变， 其竖杆 1 总是受到大小等于F 的压力。
解：本题为求二力杆（杆1）的内力FA1或FC1。为 此先取杆2、4及销钉A为研究对象，受力如图。
ME (F) 0 :
FA1
b 2
F(b 2
x)
FNB
b 2
FND
b 2
0
(a)
上式中FND和FNB为未知量，必须先求得；为此再 分别取整体和杆2为研究对象。
a
xF
A
B
2
3
1E
4
C
D
b
F
A
B
FEy
FA1
FEx FNB
E
FND
D
例13 取整体为研究对象，受力如图。
MC (F ) 0 : FNDb Fx 0
FND
Fx b
(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形
R' ＝0，MO≠0
原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化 中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。
MO MO(F)
4.2 平面任意力系简化结果分析
(2)平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理
如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面 力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
解：本题为求二力杆（杆1）的内力FA1或FC1。为 此先取杆2、4及销钉A为研究对象，受力如图。
ME (F) 0 :
FA1
b 2
F(b 2
x)
FNB
b 2
FND
b 2
0
(a)
上式中FND和FNB为未知量，必须先求得；为此再 分别取整体和杆2为研究对象。
a
xF
A
B
2
3
1E
4
C
D
b
F
A
B
FEy
FA1
FEx FNB
E
FND
D
例13 取整体为研究对象，受力如图。
MC (F ) 0 : FNDb Fx 0
FND
Fx b
(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形
R' ＝0，MO≠0
原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化 中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。
MO MO(F)
4.2 平面任意力系简化结果分析
(2)平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理
如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面 力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
建筑力学 第四章 平面力系的简化与平衡方程
P MA A B A FAy B P
固定端（插入端） 固定端（插入端）约束
说明 认为F ①认为 i这群力在同一 平面内; 平面内 ② 将Fi向A点简化得一 点简化得一 力和一力偶; 力和一力偶
MA A MA A FAy
FAR
③FAR方向不定可用正交 分力F 表示; 分力 Ax, FAy表示 ④ FAx, FAy, MA为固定端 约束反力; 约束反力 限制物体平动, ⑤ FAx, FAy限制物体平动 MA为限制转动。 为限制转动。
平面力系的合力对任一点的矩， 平面力系的合力对任一点的矩，等于力 系各力对同一点的矩的代数和。 系各力对同一点的矩的代数和。
三、平面一般力系简化结果应用： 平面一般力系简化结果应用： 思考：机构如图，不计自重， 点受主动力 思考：机构如图，不计自重，B点受主动力 P，求：A点的受力。 点的受力。 ， 点的受力
若将力F 若将力FAx和FAy合成，得 合成，
FC = 2F
o
= 28.28 kN
FRA = F + F
2 Ax
2 Ay
= 22.36 kN
1）取整个刚架作为研究对象，绘出受力图：
练习：
计算如图所示悬臂梁的支座反力：ຫໍສະໝຸດ Baidu
1．取分离体，画受力图
练习：
计算如图所示简支梁的支座反力：
小结
静力分析的根本目的是根据平衡条件求作用 于物体上的未知力。 从根本上，平衡的充分与必要条件是：力系 的主矢和力系对任意一点的主矩均为零。 实际应用中——采用平衡方程形式的平衡条 件。
固定端（插入端） 固定端（插入端）约束
说明 认为F ①认为 i这群力在同一 平面内; 平面内 ② 将Fi向A点简化得一 点简化得一 力和一力偶; 力和一力偶
MA A MA A FAy
FAR
③FAR方向不定可用正交 分力F 表示; 分力 Ax, FAy表示 ④ FAx, FAy, MA为固定端 约束反力; 约束反力 限制物体平动, ⑤ FAx, FAy限制物体平动 MA为限制转动。 为限制转动。
平面力系的合力对任一点的矩， 平面力系的合力对任一点的矩，等于力 系各力对同一点的矩的代数和。 系各力对同一点的矩的代数和。
三、平面一般力系简化结果应用： 平面一般力系简化结果应用： 思考：机构如图，不计自重， 点受主动力 思考：机构如图，不计自重，B点受主动力 P，求：A点的受力。 点的受力。 ， 点的受力
若将力F 若将力FAx和FAy合成，得 合成，
FC = 2F
o
= 28.28 kN
FRA = F + F
2 Ax
2 Ay
= 22.36 kN
1）取整个刚架作为研究对象，绘出受力图：
练习：
计算如图所示悬臂梁的支座反力：ຫໍສະໝຸດ Baidu
1．取分离体，画受力图
练习：
计算如图所示简支梁的支座反力：
小结
静力分析的根本目的是根据平衡条件求作用 于物体上的未知力。 从根本上，平衡的充分与必要条件是：力系 的主矢和力系对任意一点的主矩均为零。 实际应用中——采用平衡方程形式的平衡条 件。
平面力系的简化
平面 力系 的简
化
知识拓展
空间任意力系简化的方法和过程与平 面任意力系的简化相同，只是对应的附加 力偶系由矢量构成，合成时应遵循矢量合 成的法则。物体处于平衡状态时所应满足 的条件是相同的，必须是力系的主矢和主 矩同时为零。
平面 力系 的简
化
平面 力系 的简
化
设合力在两个坐标轴上的投影分别为Rx，Ry，根据合 力投影定理，它们与各分力在两个坐标轴上的投影满足
下式要求。
Rx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fix Ry=F1y+F2y+…+Fny=∑Fiy
（2-12）
由合力的投影可以求出合力的大小和方向。
大小：
（2-13）
Biblioteka Baidu
方向：
（2-14）
平面汇交力系的简化的合力的大小和方向等于各分
力的矢量和，即R=F1+F2+…+Fn=∑Fi
（2-15）
平面 力系 的简
化
1.平面任意力系向一点的简化
平面任意力系向其作用面内任意一 点简化，可得到一个力和一个力偶。该 力作用于简化中心，其大小和方向等于 原力系的各力的矢量和；该力偶的力偶 矩等于原力系中各力对简化中心力矩的 代数和。
化
（3）R≠0，MO=0。原力系简化为一个力，主矢R就是 原力系的合力，其大小和方向等于原力系中各分力的矢量 和。原力系只对物体产生移动效应。
化
知识拓展
空间任意力系简化的方法和过程与平 面任意力系的简化相同，只是对应的附加 力偶系由矢量构成，合成时应遵循矢量合 成的法则。物体处于平衡状态时所应满足 的条件是相同的，必须是力系的主矢和主 矩同时为零。
平面 力系 的简
化
平面 力系 的简
化
设合力在两个坐标轴上的投影分别为Rx，Ry，根据合 力投影定理，它们与各分力在两个坐标轴上的投影满足
下式要求。
Rx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fix Ry=F1y+F2y+…+Fny=∑Fiy
（2-12）
由合力的投影可以求出合力的大小和方向。
大小：
（2-13）
Biblioteka Baidu
方向：
（2-14）
平面汇交力系的简化的合力的大小和方向等于各分
力的矢量和，即R=F1+F2+…+Fn=∑Fi
（2-15）
平面 力系 的简
化
1.平面任意力系向一点的简化
平面任意力系向其作用面内任意一 点简化，可得到一个力和一个力偶。该 力作用于简化中心，其大小和方向等于 原力系的各力的矢量和；该力偶的力偶 矩等于原力系中各力对简化中心力矩的 代数和。
化
（3）R≠0，MO=0。原力系简化为一个力，主矢R就是 原力系的合力，其大小和方向等于原力系中各分力的矢量 和。原力系只对物体产生移动效应。
平面任意力系 简化与平衡
Fl
M
[例3] 外伸梁 AB 如图所示，沿全长有均布载荷 q = 8 kN/m 作用，两
支座中间有一集中力 F = 8 kN 作用。已知 a = 1 m ，若不计梁自重，
试求铰支座 C、B 的约束力。
qF
解： 1）选取外伸梁 AB 为研究对
2）受象力分析
B
A
C
3）选取坐标轴，列平衡方程
a
a
a
MC (Fi ) 0,
FB
2a
F
a
3qa
a 2
0
Fiy 0 , FC FB 3qa F 0
4）求解未知量
y
3qa
q
F
B
AC
FC
FB
解得铰支座 C、B 的约束力分别为 FB 10 kN FC 22 kN
[例2-4] 如图，重 P = 5 kN 的电动机放在水平梁 AB 的中央，梁的 A 端 受固定铰支座的约束，B 端以撑杆BC 支持。若不计梁与撑杆自重， 试求铰支座 A 处的约束力以及撑杆 BC 所受的力。
本章讨论平面任意力系的简化（合成）与平衡问题
平面任意力系实例
第一节 平面任意力系向一点的简化
一、力的平移定理
作用于刚体上的力可等效地平移至任一指定点，但必须附加一力 偶，附加力偶的矩就等于原力对指定点的矩
F
F
平面任意力系的简化及重心
解: 建立图示坐标系 x1=－15, y1=45, A1=300
10mm
30mm
30mm
o
x
xi Aiy3=x x A2 x3 A3 1A 1 2 300 x = 15, 5, A = 3 3 xc 2mm Ai A1 A2 A3 yi Ai y1 A1 y2 A2 y3 A3 yc 27mm Ai A1 A2 A3
● F′ R≠ 0，MO ≠0
1.
平面任意力系简化为一个力偶的情形
M O M O ( Fi )
i 1 n
● F′ R=0，MO≠0 选择题：
当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择 (a）有关 （b）无关 （c）不能确定
2 .
平面任意力系简化为一个合力的情形
合力的作用线通过简化中心
FR FR
合成结果是一个合力FR。
MO
O
FR
FR
C
x
合力FR到O点的距离
２. 重心的概念及其坐标公式
由合力矩定理，得
Pi x i xC Pi Pi y i yC Pi Pi z i zC Pi
O
z
△Vi
Pi
zi xi
C
P
zC y
xC
yi yC x
若物体是均质的，得
xC
10mm
30mm
30mm
o
x
xi Aiy3=x x A2 x3 A3 1A 1 2 300 x = 15, 5, A = 3 3 xc 2mm Ai A1 A2 A3 yi Ai y1 A1 y2 A2 y3 A3 yc 27mm Ai A1 A2 A3
● F′ R≠ 0，MO ≠0
1.
平面任意力系简化为一个力偶的情形
M O M O ( Fi )
i 1 n
● F′ R=0，MO≠0 选择题：
当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择 (a）有关 （b）无关 （c）不能确定
2 .
平面任意力系简化为一个合力的情形
合力的作用线通过简化中心
FR FR
合成结果是一个合力FR。
MO
O
FR
FR
C
x
合力FR到O点的距离
２. 重心的概念及其坐标公式
由合力矩定理，得
Pi x i xC Pi Pi y i yC Pi Pi z i zC Pi
O
z
△Vi
Pi
zi xi
C
P
zC y
xC
yi yC x
若物体是均质的，得
xC
平面一般力系的简化
其中，主矢的大小和方向余弦可按下式求解：
（2-12）
平面一般力系的简化
1.2 平面任意力系简化结果的讨论
（1）当F′R=0,MO≠0时，简化为一个力偶。显见：作用在 简化中心O点的平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n是一个平衡力系， 可以减去。原力系等效为平面力偶系M1、M2、…、Mn，此时的 合力偶矩与简化中心的位置无关，主矩MO为原力系的合力偶。
（2-11b）
平面一般力系的简化
结论：平面任意力系向力系所在平面内任意一点简化，得到主 矢和主矩，如图2-8(c)所示，主矢的大小和方向只与原力系中各力 的大小和方向有关，与简化中心的位置无关，其作用线经过简化中 心；而主矩的大小和转向不仅与原力系中各力的大小和方向有关， 一般还和简化中心的位置有关。
F′1=F1,F′2=F2,…,F′n=Fn M1=MOF1,M2=MOF2,…,Mn=MOFn
（2-10a） （2-10b）
平面一般力系的简化
平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n可以合成为一个力F′R，F′R的作 用线通过简化中心O点，此力称为主矢。根据公式（2-10a），可 知
（2-11a） 平面力偶系M1、M2、…、Mn可以合成一个力偶，其矩为MO， 此力偶称为主矩。代入公式（2-10b），得
工程力学
平面一般力系的简化
1.1 平面任意力系向作用面内任意一点简化：主矢与主矩
（2-12）
平面一般力系的简化
1.2 平面任意力系简化结果的讨论
（1）当F′R=0,MO≠0时，简化为一个力偶。显见：作用在 简化中心O点的平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n是一个平衡力系， 可以减去。原力系等效为平面力偶系M1、M2、…、Mn，此时的 合力偶矩与简化中心的位置无关，主矩MO为原力系的合力偶。
（2-11b）
平面一般力系的简化
结论：平面任意力系向力系所在平面内任意一点简化，得到主 矢和主矩，如图2-8(c)所示，主矢的大小和方向只与原力系中各力 的大小和方向有关，与简化中心的位置无关，其作用线经过简化中 心；而主矩的大小和转向不仅与原力系中各力的大小和方向有关， 一般还和简化中心的位置有关。
F′1=F1,F′2=F2,…,F′n=Fn M1=MOF1,M2=MOF2,…,Mn=MOFn
（2-10a） （2-10b）
平面一般力系的简化
平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n可以合成为一个力F′R，F′R的作 用线通过简化中心O点，此力称为主矢。根据公式（2-10a），可 知
（2-11a） 平面力偶系M1、M2、…、Mn可以合成一个力偶，其矩为MO， 此力偶称为主矩。代入公式（2-10b），得
工程力学
平面一般力系的简化
1.1 平面任意力系向作用面内任意一点简化：主矢与主矩
平面任意力系简化
FRx′ = ∑Fx
FR′
FRy′ = ∑Fy
(∑Fx)2+ (∑Fy)2 cos (F , i ) = ∑Fx / FR′ cos (F , j ) = ∑Fy / FR′
FR′方向余弦
第三章 平面任意力系
平面力偶系
M1=MO（F1） M2=MO（F2） … Mn=MO（Fn）
O
MO FR′
—可合成为一个力偶 MO （主矩） MO = M1 + M2 +…+ Mn= ∑Mi =MO（F1）+ MO（F2）+… +MO（Fn）
第三章 平面任意力系
§3.2 平面任意力系的简化结果分析
三、FR′≠ 0，MO≠0 此时可进一步简化为一个合力 O d O′ FR
平移 FR′到O′点
FR = FR′= ∑F MO′ = FR′.d 如果 MO′ = MO d = MO /FR′
则FR 称为原力系的合力
此时 MO（FR） = FR.d = MO = ∑MO（Fi）
= ∑MO（Fi）
平面任意力系向一平面内任一点简化，一般 可得到一个力和一个力偶。力通过简化中心， 为力系中各力的矢量和，力偶的矩等于力系 中各力对简化中心之矩的代数和。
第三章 平面任意力系
§3.2 平面任意力系的简化结果分析
一、FR′= 0，MO≠0
平面任意力系的简化.
(1) FR 0, MO 0
(2) FR 0, MO 0
(3) FR 0, MO 0
(4) FR 0, MO 0
1.主矢不等于零，主矩等于零，即
FR 0, MO 0
F1
F'R
F'R
O
F2 =
MO
=
O
O
Fn
F'R 就是原力系的合力，而合力的作用线过简化中心 O 。
其作用线位置的 d 值为
d MO 2355kN m 3.32m FR 709.4kN
y C
d O
A 70.84º x
FR
MO≠0 MO＝0
FR 0, MO 0
最后结果
合力 合力
合力偶 平衡
说明
合力作用线过简化中心
合力作用线距简化中心
d
Mo FR'
与简化中心的位置无关
与简化中心的位置无关
例：已知：P1=450kN，P2=200kN，F1=300kN，F2=70kN。求 力系简化的结果。
解：（1）先将力系向点 O 简化
FR = 0, MO 0
F1
O Fn
F2 =
F'R
MO
=
O
MO O
则原力系合成为合力偶。合力偶矩为
n
MO MO (Fi ) i1
平面力系的简化
三、简化结果的进一步讨论 合力矩定理的证明
情况（2） FR 0，MO 0 ，说明原力系的简化结果是一个力，而且这个力 的作用线恰好通过简化中心（否则 ）。这个力就是原力系的合力。 在这种情况下，记为 FR FR ，以将它与一般力系的主矢相区别。
情况（3） FR 0，MO 0 ，这种情况还可以进一步简化：由力的平移定理 知，FR与 MO可以由一个 等效代替。这个力 ，但作用线不通过简化中心
理论力学
平面力系的简化
一、力平移的定理 作用在刚体上A点处的力F，可以平移到刚体内任一点B，但必须同时附加
一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点B的矩。 这就是力线平移定理。
F F F
证 设刚体上A点作用着一个力F，在刚体内任选B点，现在把力F平移到B点。
根据加减平衡力系公理
在B点处加上一对平衡力 F ，F ，使得 F F F 故
设刚体上作用着一个平面力系F1 ，F2 ， ，Fn ，如图2-12所示。
图 2-12
（1）在平面力系内任选一点O，称为简化中心。
（2）将平面汇交力系中的各个力作矢量和，得到一个合力矢，称为原
力系的主矢，记为 FR 。由简化过程知
n
n
FR Fi Fi
i 1
i 1
（3）附加的平面力偶系中各力偶的力偶矩由力线平移定理知
注意
固定端约束与平面铰链约束中的固定铰链是有本质区别的。 从约束效果上看，固定端约束既限制被约束体移动又限制其转动， 而平面铰链约束则只限制被约束体移动，并不限制其转动； 从约束力的表示方法上看，固定端约束除与铰链约束一样， 用一对正交分力表示约束力的主矢之外， 还必须加上一个约束力偶，正是这个约束力偶起着限制转动的作用。
说明平面任意力系向任意一点简化的结果。
平面任意力系向任意一点简化的结果
1. 概述
任意力系是指作用在一个物体上的多个力, 这些力可能来自于不同的方向, 具有不同的大小和作用点。在实际工程应用中, 经常需要对这些力进行简化, 以便于分析和计算。对于平面任意力系向任意一点的简化, 是一种常见的力学分析方法, 本文将对其进行详细的说明。
2. 平面任意力系的简化
平面任意力系是指作用在同一个平面内的多个力组成的力系。当需要对平面任意力系作用在一点进行简化时, 可以采用以下方法：
3. 平行力的合成
如果平面任意力系中的多个力都是平行的, 则可以使用平行力的合成原理将它们简化为一个等效的合力。合力的大小等于各力的代数和, 方向由各力的相对方向决定。这种简化方法在实际应用中非常常见, 如对梁上的多个集中力进行简化。
4. 共点力的合成
当平面任意力系中的力作用在同一点上时, 可以利用共点力的合成原理将它们简化为一个等效的合力。合力的大小等于各力的代数和, 方向由各力的相对方向决定。这种方法常用于对物体受到的多个外力进行简化。
5. 一般情况下的简化
如果平面任意力系中的力不具有上述特殊情况, 则可以使用力的分解和合成原理进行简化。具体来说, 可以将各力分解为水平方向和垂直方向的分力, 然后分别对水平方向和垂直方向的力进行合成, 最终得到合
力的大小和方向。这种方法在一般情况下都适用, 但需要注意力的方向和正负问题, 以保证简化后的结果是正确的。
6. 结论
平面任意力系向任意一点简化的结果, 可以通过平行力的合成、共点力的合成和力的分解和合成等原理进行。在实际应用中, 需要根据具体情况选择合适的简化方法, 并注意力的大小和方向的计算。通过简化,
平面任意力系
M O M O ( Fi )
平面固定端约束
=
=
≠
=
Байду номын сангаас
3. 平面任意力系的简化结果分析
FR 0 M O 0
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力，作用线距简化中心
MO FR
MO d FR
合力矩定理
M O FRd
FR FR F
M O ( FR ) M O M O ( Fi )
合力作用线方程。
解： （1）主矢：
F F
x y
F1 F2 cos 232.9kN P P2 F2 sin 670.1kN 1
FR ' ( Fx )2 ( Fy )2 709.4kN
Fx Fy cos( FR ', i ) 0.3283 , cos( FR ', j ) 0.9446 FR ' FR ' (FR ', i ) 70.84 , (FR ', j ) 180 19.16
FRx ' Fix ' Fix Fx
FRy ' Fiy ' Fiy Fy
主矢大小
FR ( Fix ) ( Fiy )
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2、力系简化最后结果。
y
解：1、建立如图坐标系
P1
F'Rx Fx P3 200N
A
P2
FR
4
B
6 3C
F'Ry Fy P1 P2 100 50 150N
P3 x
∴主矢 FR (F'Rx )2 (F'Ry )2 2002 1502 250N
另一点的一个力。
3.力的平移定理是平面任意力系简化为平面汇交力系和平面力偶系
的依据。
F′
B dF
＝
F″
B
d
F
＝
A
A
F′ MB
A
2. 平面任意力系向作用面内一点简化·主矢与主矩
F1
y
F2
FR′
O
简化
中心 Fn
y
j
MO
Oi
x
F1 F1
F2 F2
LL
Fn Fn
F1′ M1
M2
O Mn
Fn′
A
最终结果 合力
大小： FR FR 250N 方向: =36.9°
在A点左还是右？
位置图示： d M A 300 1.2cm FR 250
FR FR
C
P3 x
【例2】在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1kN，
F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化
3. 平面任意力系的简化结果分析
1. 平面任意力系简化为一个力偶的情形 如果力系的主矢等于零，而主矩不等于零，即 F'R= 0 ，MO ≠ 0
则原力系合成为合力偶。合力偶矩为 MO=∑MO(Fi )
根据力偶的性质（力偶矩与矩心的选择无关），易知，此时主矩与简 化中心选择无关。
2. 平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理 (1)如果力系的主矢不等于零，而主矩等于零，即 F'R ≠ 0 ，MO = 0
平面任意力系的简化
1. 力的平移定理 2. 平面任意力系向作用面内一点简化·主矢与主矩 3. 平面任意力系的简化结果分析
平面任意力系的简化
各力的作用线在同一平面内且任意分布的力系称为平面任意力系。
1. 力的平移定理
F′
B
d
F
＝
F″
B
d
F
＝
ABiblioteka Baidu
A
F′ MB
A
F' F'' F M Fd M B (F )
一物体的一端完全固定在另一物体上，这种约束称为固定端约束。
A
A
FA A MA
MA
FAy FAx
A
几点说明
①认为Fi这群力在同一平面内； ②将Fi向A点简化得一力和一力偶； ③FA方向不定，可用正交分力FAx, FAy表示； ④FAx，FAy，MA为固定端约束反力； ⑤FAx, FAy限制物体平动，MA限制物体转动。
FR′
MO
O
O′
FR′
FR
O
O′
d
FR
O
O′
d
FR″
3. 平面任意力系平衡的情形 如果力系的主矢和主矩都等于零，即 F'R= 0 ，MO = 0
则原力系是平衡力系，物体在该力系作用下处于平衡状态。
【例1】图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,图中距离单位：cm。 求：1、力系主矢及对A点之矩？
F2′
M1 M O (F1)
M 2 MO (F2 )
x LL
M n MO (Fn )
平面任意力系 向一点简化 平面汇交力系+平面力偶系
平面汇交力系可以合成为一个作用于点O的力，用矢量表示为
F'R F'1 F'2 L F'n F1 F2 L Fn Fi
此时，简化中心恰好选在力系合力的作用线上，显然，F'R就是原力系 的合力。
(2)如果力系的主矢和主矩都不等于零，即 F'R ≠ 0 ，MO ≠ 0
此时，原力系可进一步简化成只剩下作用于O '点的一个力 ，该力称为 原力系的合力。如图所示
FR′
MO
O
O′
FR′
FR
O
O′
d
F'R F''R FR FR″
结果，以及该力系的最后合成结果。
y
解：1、求主矢F'R，建立如图坐标系Oxy
F2
F'Rx Fx
A 60°
B
F3
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
2m
4.598kN
F1
F4
F'Ry Fy
F1 F2 sin 60 F4 sin 30 0.768kN
合力FR的作用线到简化中心O的距离d 为
d
MO FR '
O d
FR O′
从图中可以看出 由主矩的定义知
MO (FR ) FRd MO
MO MO (Fi )
所以
MO (FR ) MO (Fi )
平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于力系中各力对
同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。
主矢的解析表达式为
F'R F'Rx + F'Ry Fxi Fy j
主矢FR'的大小及方向余弦为
FR ( Fx )2 ( Fy )2
cos(F'R ,
i)
Fx FR
cos(F'R
,
j)
Fy FR
主矩的大小为
MO MO (Fi )
实例 分析
固定端约束
cos
cos(F'R , i)
F'Rx FR
200 250
0.8
∴ =36.9°
MA MA(Fi ) P2 6 506 300Ngcm
2、简化最终结果 主矢 FR 250N 方向： =36.9°
主矩 M A 300N gcm
y
P2
P1
MA B
称为原力系的主矢，主矢与简化中心的选择无关。
附加力偶系可以合成为一个力偶，其力偶矩为
MO M1 M2 L Mn MO (F1) MO (F2 ) L MO (Fn ) MO (Fi )
称为原力系对简化中心O的主矩，主矩与简化中心的选择有关。
结论：
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这 个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O ；这力偶的矩等于该力系 对简化中心O的主矩。主矢与简化中心位置无关，而主矩一般与简化中心 位置有关。
作用在刚体上的力,可以向刚体内任一点平移,但必须同时附加一 力偶,这个附加力偶的矩等于原来的力对新作用点的矩。
对力的平移定理的几点说明
1.当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小 与正负一般要随指定B点的位置的不同而不同。
2.力的平移的过程是可逆的，由此可得重要结论： 作用在同一平面内的一个力和一个力偶，也可以简化为作用于