第6章线性空间练习题.doc

第6章 线性空间练习题
一、填空题（3515''⨯=）
1. 已知三维向量空间的一组基是123(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1)ααα==-=，则向量(3,2,1)β=在这组基下的坐标是 ．
2. 从
R 2的基
1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭到基1211,12ββ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的过渡矩阵为 ．
3. 已知132326583945A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则0AX =解空间的维数是 ，解空间一组基
是 ．
4. 设2
R 中定义11(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k k a b ka kb αβα⊕=⊕=++++⋅=⋅=，则
2(,,)R R ⊕⋅，不作成线性空间的理由可以为 ．
5. 设Q 是有理数域，{,}Q a a b Q =+∈，关于实数的加法和乘法作成线性空间
(,,)Q Q +⋅，该空间的维数是 ．
二、单项选择题（3515''⨯=）
1. 在下列集合中，对指定的运算不能构成实数域R 上的一个线性空间的是 ( )．
(A) 所有m ×n 的实矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (B) 所有n 阶实对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (C) 所有n 阶实反对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (D) 所有n 阶可逆矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 2. 设V ＝R 3，下列集合为V 的子空间的是 ( )． (A) {}(,,)0a b c a b c ++= (B) {}
(,,)0a b c a ≥
(C) {
}
222
(,,)1a b c a b c ++≤ (D) {}
(,,),,a b c a b c Q ∈(Q 为有理数域) 3. 下列线性空间中， ( )与其它三个空间不同构． (A) 2
(,,,)R R +⋅ (B) (,,,)C R C +⋅是复数域 (C) 230{(,,)|}V x y z x y z =+-= (D) (,,,)C C C +⋅是复数域 4. 向量空间{}12123(,,
,)20n W x x x x x x =-+=，则W 的维数为( ) ．
(A) 1 (B) 2 (C) n (D) n -1 5. 在n
R 中，由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C ，则C ＝ ( )．
(A) 112
12()()n n αααβββ- (B) 11212()()n n αααβββ-
(C) 11212()()n n βββααα- (D) 11212()()n n βββααα-
三、计算题（41040''⨯=）
1. 在线性空间3R 中，（1）求基向量组123(1,0,1),(0,1,0),(1,2,2)T T T
ααα===到基向量组
123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)T T T βββ===的过渡矩阵C ；（2）求(1,3,0)T γ=在基123,,a a a 下的坐标． 2. 设3[]P x 的有两个基向量组222
123()1,()2,()1f x x f x x x f x x x =-=++=++和
22123(),()1,()12g x x x g x x g x x x =+=-+=++，(1) 求2()965h x x x =++在这两组基下的坐
标；(2) 求向量()k x ，使它在这两组基下有相同的坐标． 3. 在23R ⨯中，求子空间000{|,,,,}x y W x y z x y z t R t z ⎛⎫
=++=∈
⎪⎝⎭
的一组基和维数．
4.在4
P 中，12(1,1,0,1),(1,0,2,3)T T αα=-=，两个子空间
11221234124(,),{(,,,)|20}T V L V x x x x x x x αα==+-=
分别求1212,V V V V +⋂一组基和维数．
四、证明题()6530''⨯=
1．设线性空间V 中12,,
,,(1)s s αααβ>为1s +向量，且12s βααα=+++，证明：向量组
12,,,s βαβαβα---线性无关的充分必要条件是12,,,s ααα线性无关．
2．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12V V ⋃是V 的子空间的充分必要条件是
1221V V V V ⊂⊂或．
3．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12+V V 是直和的充分必要条件是12+V V 中至少有一个向量α可以唯一地表示为12+αα，其中1122V V αα∈∈，． 4．叙述并证明有限维线性空间上关于两个子空间的维数公式．
5．设{(,,)|,}W a a b a b a b R =+-∈，证明：（1）W 是3
R 的子空间；（2）W 与2
R 同构．
参考答案
一、填空题（3515''⨯=)
1. (-1，0，2)；
2. 2312⎛⎫
⎪--⎝⎭
；3. 2 ，12(3,1,0,0),(1,0,2,1)T T
ηη=-=-（不唯一）
； 4. ()k k k αβαβ⊕≠⊕；5. 2．
二、选择题(3515''⨯=)
1. D ；
2. A ；
3. D
4. D ；
5. B
三、计算题（41040''⨯=）
1.（1）221231110C ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪--⎝⎭
，（2） (2, 5, -1)T
2.(1) 011132244⎛⎫ ⎪
--- ⎪ ⎪⎝⎭
；(2) Y ＝(0, -4, 5) T ，X ＝(1, 2, 4) T ；(3) ()0k x =。

3. 基1231100001003000100001,,;dim A A A W --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
====
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4. 2V 的一组基为123(2,1,0,0),(0,0,1,0),(1,0,0,1)T T T
ηηη=-==，
12V V +的一组基1212,,,ααηη，维数是4； 12V V ⋂的一组基0122(,,,)T β= 维数是1．
四、证明题()6530''⨯=
1．利用向量组的线性表示。

2．充分性：显然，必要性：考虑反证法 3．必要性：显然，充分性：考虑反证法 4．（略）
5．对照子空间条件，考虑维数。