第6章线性空间练习题.doc

第6章 线性空间练习题

一、填空题（3515''⨯=）

1. 已知三维向量空间的一组基是123(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1)ααα==-=，则向量(3,2,1)β=在这组基下的坐标是 ．

2. 从

R 2的基

1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭到基1211,12ββ⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

的过渡矩阵为 ．

3. 已知132326583945A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则0AX =解空间的维数是 ，解空间一组基

是 ．

4. 设2

R 中定义11(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k k a b ka kb αβα⊕=⊕=++++⋅=⋅=，则

2(,,)R R ⊕⋅，不作成线性空间的理由可以为 ．

5. 设Q 是有理数域，{,}Q a a b Q =+∈，关于实数的加法和乘法作成线性空间

(,,)Q Q +⋅，该空间的维数是 ．

二、单项选择题（3515''⨯=）

1. 在下列集合中，对指定的运算不能构成实数域R 上的一个线性空间的是 ( )．

(A) 所有m ×n 的实矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (B) 所有n 阶实对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (C) 所有n 阶实反对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (D) 所有n 阶可逆矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 2. 设V ＝R 3，下列集合为V 的子空间的是 ( )． (A) {}(,,)0a b c a b c ++= (B) {}

(,,)0a b c a ≥

(C) {

}

222

(,,)1a b c a b c ++≤ (D) {}

(,,),,a b c a b c Q ∈(Q 为有理数域) 3. 下列线性空间中， ( )与其它三个空间不同构． (A) 2

(,,,)R R +⋅ (B) (,,,)C R C +⋅是复数域 (C) 230{(,,)|}V x y z x y z =+-= (D) (,,,)C C C +⋅是复数域 4. 向量空间{}12123(,,

,)20n W x x x x x x =-+=，则W 的维数为( ) ．

(A) 1 (B) 2 (C) n (D) n -1 5. 在n

R 中，由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C ，则C ＝ ( )．

(A) 112

12()()n n αααβββ- (B) 11212()()n n αααβββ-

(C) 11212()()n n βββααα- (D) 11212()()n n βββααα-

三、计算题（41040''⨯=）

1. 在线性空间3R 中，（1）求基向量组123(1,0,1),(0,1,0),(1,2,2)T T T

ααα===到基向量组

123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)T T T βββ===的过渡矩阵C ；（2）求(1,3,0)T γ=在基123,,a a a 下的坐标． 2. 设3[]P x 的有两个基向量组222

123()1,()2,()1f x x f x x x f x x x =-=++=++和

22123(),()1,()12g x x x g x x g x x x =+=-+=++，(1) 求2()965h x x x =++在这两组基下的坐

标；(2) 求向量()k x ，使它在这两组基下有相同的坐标． 3. 在23R ⨯中，求子空间000{|,,,,}x y W x y z x y z t R t z ⎛⎫

=++=∈

⎪⎝⎭

的一组基和维数．

4.在4

P 中，12(1,1,0,1),(1,0,2,3)T T αα=-=，两个子空间

11221234124(,),{(,,,)|20}T V L V x x x x x x x αα==+-=

分别求1212,V V V V +⋂一组基和维数．

四、证明题()6530''⨯=

1．设线性空间V 中12,,

,,(1)s s αααβ>为1s +向量，且12s βααα=+++，证明：向量组

12,,,s βαβαβα---线性无关的充分必要条件是12,,,s ααα线性无关．

2．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12V V ⋃是V 的子空间的充分必要条件是

1221V V V V ⊂⊂或．

3．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12+V V 是直和的充分必要条件是12+V V 中至少有一个向量α可以唯一地表示为12+αα，其中1122V V αα∈∈，． 4．叙述并证明有限维线性空间上关于两个子空间的维数公式．

5．设{(,,)|,}W a a b a b a b R =+-∈，证明：（1）W 是3

R 的子空间；（2）W 与2

R 同构．

参考答案

一、填空题（3515''⨯=)

1. (-1，0，2)；

2. 2312⎛⎫

⎪--⎝⎭

；3. 2 ，12(3,1,0,0),(1,0,2,1)T T

ηη=-=-（不唯一）

； 4. ()k k k αβαβ⊕≠⊕；5. 2．

二、选择题(3515''⨯=)

1. D ；

2. A ；

3. D

4. D ；

5. B

三、计算题（41040''⨯=）

1.（1）221231110C ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪--⎝⎭

，（2） (2, 5, -1)T

2.(1) 011132244⎛⎫ ⎪

--- ⎪ ⎪⎝⎭

；(2) Y ＝(0, -4, 5) T ，X ＝(1, 2, 4) T ；(3) ()0k x =。

3. 基1231100001003000100001,,;dim A A A W --⎛⎫⎛⎫⎛⎫

====

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

4. 2V 的一组基为123(2,1,0,0),(0,0,1,0),(1,0,0,1)T T T

ηηη=-==，

12V V +的一组基1212,,,ααηη，维数是4； 12V V ⋂的一组基0122(,,,)T β= 维数是1．

四、证明题()6530''⨯=

1．利用向量组的线性表示。

2．充分性：显然，必要性：考虑反证法 3．必要性：显然，充分性：考虑反证法 4．（略）

5．对照子空间条件，考虑维数