3.1 平行射影 课件(人教A选修4-1)

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[研一题] [例2] 有下列4个命题：
①矩形的平行投影一定是矩形；
②矩形的正投影一定是矩形； ③梯形的平行投影一定是梯形； ④梯形的正投影一定是梯形，其中正确命题的个数是( A．0 B．1 )
C．2
D．3
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解析：本题考查平行射影的概念，解答本题需要考虑 到投影面的位置不同，则投影的形状会不同．①矩形的平
钝角或平角，因而正确的结果为①②③④⑤.
答案：①②③④⑤ 返回
[例3]
设四面体ABCD各棱长均相等，E、F分别
为AC、AD的中点，如图，则△BEF在该四面体的面 ABC上的射影是下列中的 ( )
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解析：本题考查正射影的应用．解答此题的关键是确 定F在平面ABC上的射影的位置． 由于BE＝BF，所以△BEF为等腰三角形，故F点在平 面ABC上的正射影不在AC上而在△ABC内部，又由于EF
[小问题·大思维] 1．正射影与平行射影之间有什么关系？ 提示：正射影是平行射影中方向与平面垂直的一种特殊
情况．
2．一个圆在一个平面上的正射影是什么形状？平行射 影呢？ 提示：若一个圆所在平面β与平面α平行，该圆在平面α 内的正射影为一个圆；如果β与平面α垂直，则圆在平面α的 正射影为一条线段；若平面β与平面α不平行也不垂直时，该 圆在平面α上的正射影为一个椭圆．综上可知，一个圆在一 个平面上的射影可能为一条线段、椭圆或圆． 返回
∴Rt△PAO≌Rt△PBO， ∴AO＝BO.同理BO＝CO， ∴AO＝BO＝CO，∴O为△ABC的外心． 即P在面ABC内的射影是△ABC的外心．
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[悟一法]
因为点在任何平面上的投影仍然是点，所以解决此类 问题的关键是正确作出点在平面内的射影．
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[通一类] 1.如图，P是△ABC所在平面α外一点， O是点P在平面α内的正射影． (1)若P点到△ABC的三边距离相等，
返回返回[命题Fra bibliotek意]本题考查点是正射影的应用及几何图
形正射影形状的确定问题，考查学生的空间想象能力及 抽象思维能力． 解：①是四边形在平面ABB′A′或CDD′C′上的投影； ②是四边形在平面ADD′A′或BCC′B′上的投影；③是四 边形在平面ABCD或A′B′C′D′上的投影．
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与CD平行，而CD与平面ABC不垂直，所以F点在平面
ABC上的正射影不在直线BE上，从而只有B图形成立． 答案：B
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[悟一法] 确定一个几何图形的正投影，其实质是确定其边界 点的正投影的位置．在解决此类问题时，一定要全面考 虑，否则极易出错．
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[通一类]
3．如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中 心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是下 图中的________． (要求：把可能的图的序号都填上)
系的判定问题.2012年深圳模拟以填空题的形式考查了 正投影在立体几何中的应用，是高考模拟命题的一个 新亮点．
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[考题印证] (2012· 深圳模拟)如图，点O为正 方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为 面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，
则空间四边形D′OEF在该正方体的面
上的正投影可能是________(填出所有 可能的序号)．
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解析：四边形BFD1E在平面ABCD和平面A1B1C1D1上的射 影均为②图，四边形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1 上的射影均为图③，四边形BFD1E在平面ABB1A1和平面
DCC1D1上的射影均为②，故正确的为②和③.
答案：②③
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本课时考点常与立体几何相结合考查线面位置关
全面．
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[通一类] 2．关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可
能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能
是钝角；⑤可能是180°的角，其中正确判断的序号是 ________(注：把你认为是正确判断的序号都填上)． 解析：设直角AOB所在平面为β，在α与β垂直时直角 AOB射影为一条射线，从而射影为0°的角，α与β平行 时射影为直角，随着α与β所成角的变化也可以为锐角、
且O点在△ABC的内部，那么O点是
△ABC的什么心？ (2)若PA、PB、PC两两互相垂直，O点是△ABC的什 么心？ 返回
解：(1)由P到△ABC的三边距离相等，故有O到△ABC的
三边距离相等，∴O为△ABC的内心． (2)∵PA⊥PB，PA⊥PC， ∴PA⊥BC， 又∵PO⊥BC， ∴OA⊥BC，同理OB⊥AC，OC⊥AB， ∴O为△ABC的垂心.
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[读教材·填要点] 1．正射影 (1)点A是平面α外一点，过点A向平面α作垂线，设垂 足为点A′，那么把 A′ 称作点A在平面α上的正射影． (2)一个图形F上的各点在平面α上的 正射影组成一个
图形F′，则
图形F′ 称作图形F在平面α上的正射影．
2．平行射影 设直线l与平面α相交，把直线l的方向称 投影方向，过点 A作平行于l的直线，与平面α交于点A′，点A′称作点A 沿直线l的方向 在平面α上的平行射影． 返回
[研一题] [例1] P为△ABC外一点且PA＝PB＝PC.
求证：P在面ABC内的射影为△ABC的外心．
分析：本题考查射影的概念，解答本题需先作出 点P在面ABC内的射影，然后证明该射影为△ABC的 外心．
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证明：如图．过P作PO⊥面ABC于O. 则O为P在面ABC内的射影，
∵PA＝PB，PO＝PO，
行投影可以是矩形、平行四边形或线段，不正确；②矩形
的正投影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，不正确； ③梯形的平行投影可以是梯形、线段，不正确；④梯形的 正投影也可能是梯形、线段，不正确． 答案：A
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[悟一法]
不论是正射影还是平行射影都应考虑图形所在的平
面与投影方向的夹角的变化关系，注意不漏、不缺，要