三角函数知识点汇总

三角函数知识点
考点1、弧度制
1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α=
⋅，扇形面积21
122
S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）.
2．角度制与弧度制的换算：
180π=；180
10.017451()57.305718'180
rad rad rad π
π
=
≈=≈=；
考点2、任意角的三角函数
1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记22r OP x y ==+
则sin y r α=
, cos x r α=, tan y x
α= 2. 三角函数值在各个象限内的符号：(一全二正弦，三切四余弦)
考点3、同角三角函数间的基本关系式
1. 平方关系： 1cos sin 2
2
=+αα 2. 商数关系： α
α
αcos sin tan =
考点4、诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”
sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .πααπααπαα+=-+=-+= sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .αααααα-=--=-=- sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .
πααπααπαα-=-=--=- sin()cos ,
2
cos()sin .2π
ααπαα-=-= sin()cos ,2cos()sin .2πααπαα+=+=-3sin()cos ,23cos()sin .2πααπαα-=--=- 3sin()cos ,
2
3cos()sin .
2
πααπαα+=-+=
考点5、三角函数的图象和性质 名称 sin y x =
cos y x = tan y x =
定义域 x R ∈
x R ∈
{|,}2
x x k k Z π
π≠+
∈
值 域
[1,1]-
[1,1]-
(,)-∞+∞
图象
奇偶性
奇函数 偶函数
奇函数
单
调 性 单调增区间: [2,2]22
k k π
π
ππ-
+(k Z ∈)
单调减区间: 3[2,2]2
2
k k π
π
ππ+
+
k Z ∈) 单调增区间:
[2,2]k k πππ-(k Z ∈)
单调减区间:
[2,2]k k πππ+(k Z ∈)
单调增区间：
(,)22
k k π
π
ππ-
+(k Z ∈)
周期性
2T π=
2T π=
T π=
对 称 性 对称中心: (,0)k π,k Z ∈
对称轴: 2
x k π
π=+
，k Z ∈
对称中心:(,0)2
k π
π+
,k Z ∈ 对称轴: x k π=, k Z ∈
对称中心:(
,0)2
k π
,k Z ∈ 对称轴：无
最
值 2,2x k k z π
π=+
∈时，max 1y =； 32,2
x k k z π
π=+∈时，min 1y =- 2,x k k z π=∈时，max 1y =；
2,x k k z ππ=+∈，min 1y =- 无
考点6、“五点法”作图
正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象，五个关键点是(0,0)，(,1)2
π
，(,0)π，3(
,-1)2
π
，(2,0)π 考点7、周期
①函数sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的周期2T π
ω
=
；
②函数tan()y A x ωϕ=+的周期T π
ω
=
；③函数sin y x =的周期=T π； ④函数tan y x =的周期=T π.
考点8、函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的图象的作法
1.五点作图法：
作sin()y A x ωϕ=+的简图时，常常用五点法，五点的取法是设t x ωϕ=+，由t 取0、2π
、π、32
π、
2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

2．图象变换法：
（1）振幅变换:把sin y x =的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍（横坐标不变），得到sin y A x =的图象；
（2）相位变换:把sin y A x =的图象上所有点向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平行移动|ϕ|个单位，得到
sin()y A x ϕ=+的图象；
（3）周期变换:把sin()y A x ϕ=+的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω
1
倍（纵坐标不变），可得到sin()y A x ωϕ=+的图象.
（4）若要作sin()y A x b ϕ=++，可将sin()y A x ϕ=+的图象向上(0)b >或向下(0)b <平移b 个单位，可得到sin()y A x b ϕ=++的图象．记忆方法仍为“左加右减，上正下负，纵伸(A>1)横缩(ω>1)”。

要点诠释：
由sin y x =的图象利用图象变换作函数sin()y A x ωϕ=+的图象时要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量有区别. 考点9、sin()y A x ωϕ=+的解析式
sin()y A x ωϕ=+(0A >, 0ω>)，[0,)x ∈+∞表示一个振动量时，A 叫做振幅，2T π
ω
=叫做周
期，12f T ωπ
=
=叫做频率，x ωϕ+叫做相位，0x =时的相位ϕ称为初相. 考点10、函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的性质
1. 定义域: x R ∈,值域:y ∈[-A,A].
2．周期性: 2T π
ω
=
3. 奇偶性:2
k π
ϕπ=+
时为偶函数；k ϕπ=时为奇函数，k Z ∈.
考点11、三角函数的最值
求三角函数的值域，除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下常用方法：
辅助角公式sin cos )a b θθθϕ++，其中tan b
a
ϕ=
，都可以考虑利用有界性处理. 1. 2
2
sin sin cos cos y a x b x x x C =+++型，经过降次、整理，
得到sin 2cos2)y A x B x C x C ϕ=++=
++，其中tan B
A
ϕ=
，再利用有界性处理. 2. 形如2
sin sin y a x b x c =++或2
cos sin y a x b x c =++的函数求最值时都可以通过适当变换，通过
配方来求解.
3. 形如sin cos x x ±，sin cos x x ⋅在关系式中时，可考虑换元法处理，如令sin cos t x x =+，则
21
sin cos 2
t x x -⋅=，把三角问题化归为代数问题解决.
考点12、两角和、差的正、余弦公式
()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβ
αβ±±=
()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ
αβαβ
±±±=
-
考点13、二倍角公式
1. sin 22sin cos ααα= 2()S α；
ααα22sin cos 2cos -=2()C α；
2
2tan tan 21tan α
αα
=
-2()T α。

考点14、二倍角公式的推论 降幂公式：ααα2sin 21
cos sin =
； 22cos 1sin 2α
α-=；
2
2cos 1cos 2α
α+=.
万能公式：α
α
α2tan 1tan 22sin +=； ααα22tan 1tan 12cos +-=.。