【成才之路】2020版高中数学 2-1-1同步练习新人教B版选修2-2

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成才之路高中数学人教B,选修22练习：第1课时

第一章 1.4 第1课时一、选择题1．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列结论中正确的个数是( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大小S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系不确定 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] A[解析] 只有①正确．故选A.2．求由曲线y ＝e x ，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1][答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e xy ＝1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1.所以积分区间为[0,2]．故选B.3.⎠⎛011d x 的值为( )A ．0B ．1 C.12 D ．2[答案] B[解析] 由定积分的几何意义可得⎠⎛011d x 是由x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝1围成的矩形的面积．4．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 近似代替； ③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 代替f (x )在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C [解析] 用f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.5．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD ．⎠⎛0112d x[答案] C[解析] ⎠⎛011d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.6．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f (x )d x 是( )A.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi ) B ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi)·b －an C.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·ξi D ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B[解析] 由定积分的定义可知B 正确．7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A.33B ．32C.34D ．1[答案] A8．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正[答案] D[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.二、填空题9.lim n →＋∞ ⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n ＋1n ·1n 写成定积分是________． [答案] ⎠⎛01x d x10．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛02[f (x )＋6]d x ＝________.[答案] 1511．定积分⎠⎛243d x 的几何意义是________．[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积三、解答题12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．[解析] 由曲线所围成的区域图形一、选择题1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0)[答案] C2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛ab f (x )d x ( )A ．一定为正B ．一定为负C ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负D ．以上结论都不对 [答案] A [解析] ∵f (x )>0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛ab f (x )d x >0.故选A.4．(2014·太原模拟)已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[答案] D[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.二、填空题5．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．[答案] ∫2π0|sin x |d x6．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于________．[答案] 367．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛ab f (x )d x 等于________．[答案] 8 三、解答题8．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛－22 4－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x .[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，∴有⎠⎛2－24－x 2d x ＝π·222＝2π. (2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14π.9．求⎠⎛01x 3d x 的值．[解析] (1)分割0＜1n ＜2n ＜…＜n －1n ＜n n ＝1. (2)求和⎝⎛⎭⎫1n 3·1n ＋⎝⎛⎭⎫2n 3·1n ＋…＋⎝⎛⎭⎫n n 3·1n . ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i n 3·1n ＝1n 4∑i ＝1n i 3＝1n 4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22 ＝(n ＋1)24n 2.(3)取极限lim n →∞ (n ＋1)24n 2＝14lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＝14. ∴⎠⎛01x 3d x ＝14.。

【成才之路】2020版高中数学 1-1-2同步练习新人教B版选修2-2

选修2-2 1.1.2一、选择题1．已知物体做自由落体运动的方程为s (t )＝12gt 2，若Δt →0时，s1＋Δt －s 1Δt无限趋近于9.8m/s ，则正确的说法是( )A ．9.8m/s 是物体在0～1s 这段时间内的速度B ．9.8m/s 是物体在1s ～(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．9.8m/s 是物体在t ＝1s 这一时刻的速度D ．9.8m/s 是物体从1s ～(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度 [答案] C[解析] 由瞬时速度的定义可知选C ，某一时刻和某一时间段是两个不同的物理概念． 2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 [答案] B[解析] 由导数的定义可知选B.3．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则t ＝2s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A ．1 B.18 C.12 D.14 [答案] C[解析] Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，Δs Δt ＝12＋18Δt ，则s ′|t ＝2＝lim Δt →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋18Δt ＝12.故选C.4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 [答案] A[解析] f ′(1)＝lim x →1f x －f 1x －1＝lim x →1a ＝a ＝2.故选A. 5．若f ′(x 0)＝2，则lim k →0 f x 0－k －f x 02k等于( )A ．－1B ．－2C ．1 D.12 [答案] A [解析] lim k →0f x 0－k －f x 02k＝－12·lim k →0 f [x 0＋－k ]－f x 0－k＝－12f ′(x 0)＝－1.故选A.6．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C7．已知函数y ＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.448．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0 [答案] B [解析] lim h →0 f x 0＋h －f x 0－hh＝lim h →02⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋h －f x 0－h 2h＝2lim h →0f x 0＋h －f x 0－h2h＝2f ′(x 0)．9．一物体作直线运动，其运动方程为s (t )＝－3t 2＋t ，则该物体的初速度为( ) A ．－3 B ．－2 C ．0 D ．1 [答案] D[解析] ∵Δs ＝－3(0＋Δt )2＋(0＋Δt )－(－3×02＋0) ＝－3(Δt )2＋Δt .Δs Δt ＝－3Δt ＋1.∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(－3Δt ＋1)＝1. 10．设f (x )＝x ·(1＋|x |)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．不存在 [答案] B[解析] f ′(0)＝lim Δx →0f 0＋Δx －f 0Δx＝lim Δx →0 Δx 1＋|Δx |Δx＝lim Δt →0 (1＋|Δx |)＝1.故选B.11．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则 lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx ＝________.lim x →x 0f x －f x 02x 0－x＝________.[答案] －11 －112[解析] lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－f ′(x 0)＝－11；lim x →x 0f x －f x 02x 0－x ＝－12lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝－12f ′(x 0)＝－112.12．已知函数y ＝x 3，当x ＝2时，lim Δx →0 Δy Δx ＝________. [答案] 12[解析] lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2＋Δx 3－23Δx＝lim Δx →0Δx3＋6Δx2＋12ΔxΔx＝lim Δx →0[(Δx )2＋6Δx ＋12]＝12. 13．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy ＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－11＝Δx －1＋11＋Δx ＝Δx21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx1＋Δx， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δx1＋Δx＝0. 14．一物体的运动方程为s ＝7t 2－13t ＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. [答案] 1 [解析] lim Δt →0 Δs Δt＝lim Δt →0 7t 0＋Δt 2－13t 0＋Δt ＋8－7t 20＋13t 0－8Δt＝lim Δt →07Δt 2＋14Δt ·t 0－13ΔtΔt＝lim Δt →0 (7Δt ＋14t 0－13) ＝14t 0－13 令14t 0－13＝1， ∴t 0＝1. 三、解答题15．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度； (2)求质点在t ＝1时的瞬时速度．[解析] (1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)质点在t ＝1时的瞬时速度v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(－6－3Δt )＝－6. 16．利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数． [解析] 因为Δy ＝x ＋Δx2＋1－x 2＋1＝x ＋Δx 2＋1－x 2－1x ＋Δx 2＋1＋x 2＋1 ＝2x Δx ＋Δx2x ＋Δx2＋1＋x 2＋1，所以Δy Δx＝2x ＋Δxx ＋Δx2＋1＋x 2＋1.所以f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝2x x 2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1. 17．已知一物体的运动方程是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，0≤t <3，29＋3t －32，t ≥3，求此物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．[解析] 当t ＝1时，Δs ＝3(Δt ＋1)2＋2－3×12－2＝3Δt 2＋6Δt ， ∴Δs Δt＝3Δt ＋6，∴lim Δt →0 ΔsΔt ＝6，即当t ＝1时的瞬时速度为6.当t ＝4时，Δs ＝29＋3(Δt ＋4－3)2－29－3(4－3)2＝3Δt 2＋6Δt ， ∴ΔsΔt＝3Δt ＋6， ∴lim Δt →0 Δs Δt＝6，即当t ＝4时的瞬时速度为6.18．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋5＝g ′(x 0)的x 0值． [解析] 由导数的定义可知f ′(x 0)＝lim Δx →0＝x 0＋Δx 2－x 2Δx ＝2x 0，g ′(x 0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx 3－x 3Δx＝3x 20，因为f ′(x 0)＋5＝g ′(x 0)，所以2x 0＋5＝3x 20，即3x 20－2x 0－5＝0 解得：x 0＝－1或x 0＝53.。

【成才之路】2020版高中数学阶段性测试题10 新人教B版选修1-2

阶段性测试题十(选修1－2综合能力检测) 时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是( )A．a＋1b>b＋1aB.ba>b＋1a＋1C．a＋1a>b＋1bD.2a＋ba＋2b>ab[答案] A[解析] 由a>b>0得1b>1a>0，两式相加得a＋1b>b＋1a.2．变量y与x之间的回归方程( )A．表示y与x之间的确定关系B．表示y与x之间的不确定关系C．反映y与x之间的真实关系D．反映y与x之间真实关系达到的最大限度的吻合[答案] D3．下列说法中，正确的是( )①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A．①②B．②③C．③④ D．①③[答案] B[解析] ①回归方程只适用于我们所研究的样本和总体，故①错误．④回归方程得到的预报值可能是取值的平均值，故④是错误的．4．已知数列{an }的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a 4，猜想an＝( )A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－1[答案] B[解析] 当n＝2时，S2＝22·a2，a1＋a2＝4a2又∵a1＝1，∴a2＝13＝22×(2＋1)当n＝3时，S3＝9a3，∴a1＋a2＋a3＝9a3∴1＋13＋a3＝9a3，∴a3＝16＝23×(3＋1)当n＝4时，S4＝16a4，∴a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，∴a4＝110＝24×(4＋1)猜想an＝2n(n＋1).5．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( ) A．a k＋a k＋1＋…＋a2kB．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2kD．a k－1＋a k＋…＋a2k－2[答案] D[解析] 由归纳推理可知D正确．6．复数z满足方程|z＋21＋i|＝4，那么复数z的对应点P组成的图形为( ) A．以(1，－1)为圆心，4为半径的圆B．以(1，－1)为圆心，2为半径的圆C．以(－1,1)为圆心，4为半径的圆D．以(－1,1)为圆心，2为半径的圆[答案] C[解析] |z＋21＋i|＝|z＋(1－i)|＝|z－(－1＋i)|＝4，设－1＋i的对应点为C(－1,1)，则|PC|＝4，因此动点P的轨迹是以C(－1,1)为圆心，4为半径的圆．7．(2020·浙江文，3)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z＋z2＝( )A．1＋i B．－1＋iC．1－i D．－1－i[答案] A[解析] 本小题主要考查复数及其运算．∵z＝1＋i，∴2z＋z2＝21＋i＋(1＋i)2＝2(1－i)2＋2i＝1＋i.故选A.8．“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”是“b≠0”的( )A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．非必要非充分条件[答案] C[解析] 由复数的有关概念，复数为纯虚数的充要条件是实部为零而虚部不为0.9．使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n(n＋1)12(an2＋bn＋c)对一切正整数n都成立的常数a、b、c的值为( ) A．a＝3，b＝11，c＝10B．a＝2，b＝11，c＝10C．a＝3，b＝9，c＝10D．满足条件的a、b、c不存在[答案] A[解析] 由等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n(n＋1)12(an2＋bn＋c)对一切正整数n 都成立的常数a 、b 、c 一定满足n ＝1，n ＝2，n ＝3成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧1·22＝1×(1＋1)12(a ＋b ＋c)1·22＋2·32＝2(2＋1)12(4a ＋2b ＋c)1·22＋2·32＋3·(3＋1)2＝3(3＋1)12(9a ＋3b ＋c)，∴a＝3，b ＝11，c ＝10，故选A. 10．下述流程图输出d 的含义是( )A ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离B ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的平方 C ．点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离倒数D ．两条平行线间的距离 [答案] A[解析] 由流程图知d 表示点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离． 11．已知f(x)＝sin π3(x ＋1)－3cos π3(x ＋1)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝( )A ．2 3 B. 3 C ．1D ．0[答案] D[解析] ∵f(x)＝2sin π3x，∴f(x)的周期T＝6，∴原式＝335×(f(1)＋f(2)＋…＋f(6))＝0，故选D.12．某一算法流程图如图，输入x＝1的结果( )A.32B．0C．－112D．－92[答案] D[解析] 由流程图可得y＝12×1－5＝－92.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．观察下列等式：1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5，……猜想第n个式子为________．[答案] 1－22＋32＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)．14．设z ＝(4－3i)4(3－i)6(1－i)12，则|z|＝__________.[答案] 625[解析] ∵z＝(4－3i)4(3－i)6(1－i)12∴|z|＝|4－3i|4·|3－i|6|1－i|12＝54·26(2)12＝54＝625. 15．(2020·安徽文，12)程序框图(即算法流程图)如右图所示，其输出结果是________．[答案] 127[解析] 本题考查程序框图的基本知识．输入a ＝1，循环一次时，a ＝3，循环二次时，a ＝7，循环三次时，a ＝15，循环四次时，a ＝31，循环五次时，a ＝63，循环六次时，a ＝127，此时循环终止，输出127.16．有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法．②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．③通过回归方程y ^＝b ^x ＋a ^及其回归系数b ^，可以估计和观测变量的取值和变化趋势．④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验．其中正确命题是________．[答案] ①②③三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)调查某桑场采桑员和辅助工关于桑毛虫皮炎发病情况结果如表：利用2×2认为两者有关系会犯错误的概率是多少？[解析] 因为a＝18，b＝12，c＝5，d＝78，所以a＋b＝30，c＋d＝83，a＋c＝23，b＋d＝90，n＝113.所以χ2＝n(ad－bc)3(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝113×(18×78－5×12)230×83×23×90≈39.6>6.635.所以有99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是1%.18．(本题满分12分)求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．[证明] ∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，∴a2＋b2≥22|a＋b|≥22(a＋b)，同理b2＋c2≥22(b＋c)，c2＋a2≥22(c＋a)，∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c)．19．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1. (1)求a 2、a 3、a 4.(2)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式． [解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得a n ＝2－1a n －1，代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)，即1a n －1－1a n －1－1＝1，所以{1a n －1}是等差数列．由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1，变形得a n －1＝22n －1，所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的通项公式． 20．(本题满分12分)2020年一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间位于192吨到3246吨，船员的人数从5人到32人，船员的人数关于船的吨位的回归分析得到如下结果：船员人数＝9.1＋0.006×吨位．(1)假定两艘轮船相差1000吨，船员平均人数相差是多少？(2)对于最小的船估计的船员数为多少？对于最大的船估计的船员数是多少？[解析] (1)船员平均人数之差＝0.006×吨位之差＝0.006×1000＝6，∴船员平均相差6；(2)最小的船估计的船员数为9．1＋0.006×192＝9.1＋1.152＝10.252≈10(人)．最大的船估计的船员数为9．1＋0.006×3246＝9.1＋19.476＝28.576≈28(人)．21．(本题满分12分)设i是虚数单位，f(x)＝ix.(1)求f(i)，f(f(i))，f(f(f(i)))，f(f(f(f(i))))；(2)求f(i)＋f(f(i))＋…＋的值．[解析] (1)由题意可知f(x)＝ix，∴f(i)＝i2＝－1，∴f(f(i))＝f(－1)＝－i，f(f(f(i)))＝f(－i)＝1，f(f(f(f(i))))＝f(1)＝i.(2)结合(1)可知＝f(i)＝－1，从而f(x)＝ix是周期为T＝4的周期函数，且f(i)＋f(f(i))＋f(f(f(i)))＋f(f(f(f(i))))＝－1－i＋1＋i＝0，又2020＝501×4＋3∴f(i)＋f(f(i))＋…＋＝f(i)＋f(f(i))＋f(f(f(i))) ＝－1＋(－i)＋1＝－i.22．(本题满分14分)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若m，n∈[－1,1]，m＋n≠0时，有f(m)＋f(n)m＋n>0.(1)证明：f(x)在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f(x＋12)<f(1x－1)；(3)若f(x)≤t2－2at＋1对任意x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)任取－1≤x1<x2≤1，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)＋f(－x2)x1－x2·(x1－x2)．因为－1≤x1<x2≤1，所以x1＋(－x2)≠0.由已知f(x 1)＋f(－x 2)x 1－x 2>0，又x 1－x 2<0，所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x)在[－1,1]上为增函数．(2)因为f(x)在[－1,1]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x＋12≤1－1≤1x －1≤1x ＋12<1x －1.解得{x|－32≤x <－1，x∈R}．(3)由(1)可知，f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(1)＝1，故对x∈[－1,1]，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t 2－2at ＋1对任意x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，需t 2－2at ＋1≥1成立，故t 2－2at≥0，记g(a)＝t 2－2at ，对a∈[－1,1]，g(a)≥0恒成立，只需g(a)在[－1,1]上的最小值大于等于0，所以⎩⎨⎧g(－1)≥0g(1)≥0，即⎩⎨⎧t 2＋2t≥0t 2－2t≥0.所以⎩⎨⎧t≥0或t≤－2t≥2或t≤0.所以t≥2或t≤－2或t ＝0.即实数t 的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。

【成才之路】2020版高中数学 1-3-1同步练习新人教B版选修2-2

选修2-2 1.3.1一、选择题1．函数y＝x3的递减区间是( )A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．不存在[答案] D[解析] ∵y′＝3x2≥0，(x∈R)恒成立，∴函数y＝x3在R上是增函数．2．函数f(x)＝x－e x的单调增区间是( )A．(1，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，1)[答案] C[解析] f′(x)＝1－e x，令f′(x)>0，即1－e x>0.得x<0.故选C.3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )[答案] D[解析] 当x∈(－∞，0)时，f(x)为减函数，则f′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，f(x)为减函数，则f′(x)<0.故选D.4．三次函数y＝f(x)＝ax3＋x在x∈(－∞，＋∞)内是增函数，则( ) A．a>0B．a<0C．a<1D．a<1 3[答案] A[解析] 由题意可知f′(x)≥0恒成立，即3ax2＋1≥0恒成立，显然B，C，D都不能使3ax2＋1≥0恒成立，故选A.5．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a，b)内有( ) A．f(x)＞0B．f(x)＜0C．f(x)＝0D ．不能确定[答案] A[解析] ∵在区间(a ，b)内有f′(x)>0，∴函数f(x)在区间(a ，b)内是递增的，∵f(a)≥0，∴f(x)>f(a)≥0.故选A.6．函数y ＝xsinx ＋cosx ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π[答案] A[解析] y′＝xcosx ，当－π<x<－π2时，cosx<0，∴y′＝xcosx>0，当0<x<π2时，cosx>0，∴y′＝xcosx>0.故选A.7．设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f(x)为增函数的充要条件是() A ．b 2－4ac≥0B ．b 2－4ac≤0C ．b 2－3ac≤0D ．b 2－3ac≥0[答案] C[解析] ∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c≥0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b 2－12ac≤0，∴b 2－3ac≤0.故选C.8．函数f(x)＝2x 2－ln2x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，24 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0及⎝⎛⎭⎪⎫0，12 [答案] C[解析] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x －1x，令f′(x)>0，得x>12， ∴函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．故选C. 9．已知f(x)＝－x 3－x ，x ∈[m ，n]，且f(m)·f(n)<0，则方程f(x)＝0在区间[m ，n]上( )A ．至少有三个实数根B ．至少有两个实根C ．有且只有一个实数根D ．无实根[答案] C[解析] ∵f′(x)＝－3x 2－1<0，∴f(x)在区间[m ，n]上是减函数，又f(m)·f(n)<0，故方程f(x)＝0在区间[m ，n]上有且只有一个实数根．故选C.10．设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图象如图所示，则导函数y ＝f′(x)的图象可能为( )[答案] D[解析] 函数y ＝f(x)在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y ＝f′(x)在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A 、C ，原函数y ＝f(x)在区间(0，＋∞)上先增再减，最后再增，其导函数y ＝f′(x)在区间(0，＋∞)上函数值先正、再负、再正，排除B ，故选D.二、填空题11．函数y ＝(x ＋1)(x 2－1)的单调减区间为________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－1，13 [解析] ∵y ＝x 3＋x 2－x －1∴y′＝3x 2＋2x －1令y′＝0，得x ＝－1或x ＝13易知函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13上y′<0，函数为减函数． 12．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．[答案] [3，＋∞)[解析] y′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax≤0在区间(0,2)内恒成立，即a≥32x 在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3. 13．若函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________.[答案] －32－6 [解析] f′(x)＝3x 2＋2bx ＋c∵f(x)的单调区间是[－1,2]，∴－1,2是f′(x)＝0的两根．∴－1＋2＝－2b 3，－1×2＝c 3即b ＝－32，c ＝－6. 14．若函数f(x)＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ [解析] f′(x)＝3x 2＋2x ＋m ，依题意可知f(x)在R 上只能单调递增，所以Δ＝4－12m≤0，∴m≥13. 三、解答题15．求函数f(x)＝13x 3＋12x 2－6x 的单调区间． [解析] ∵f′(x)＝x 2＋x －6＝(x ＋3)(x －2)，令f′(x)>0得，x>2或x<－3.∴函数f(x)在(2，＋∞)和(－∞，－3)上是增函数，令f′(x)<0，得－3<x<2，∴函数f(x)在(－3,2)上是减函数，∴函数f(x)＝13x 3＋12x 2－6x 的单调递增区间为(－∞，－3)和(2，＋∞)，单调递减区间为(－3,2)．16．已知函数f(x)＝x 3＋ax ＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的递增区间．[解析] f′(x)＝3x 2＋a.∵(－5,5)是函数y ＝f(x)的单调递减区间，则－5、5是方程3x 2＋a ＝0的根，∴a ＝－75.此时f′(x)＝3x 2－75.令f′(x)>0，则3x 2－75>0.解得x>5或x<－5.∴函数y ＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．17．已知x＞0，求证：x＞sinx.[证明] 设f(x)＝x－sinx (x＞0)，f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立．∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数．又f(0)＝0∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立．即：x＞sinx (x＞0)．18．(2020·山东卷文，21)已知函数f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≤12时，讨论f(x)的单调性．[解析] 本题考查了导数的概念、导数的应用以及函数与方程的关系问题．考查了学生对导数的理解运算能力，运用导数分析研究函数的能力，体现了分类讨论思想，数形结合思想，等价变换思想，函数与方程的思想．(1)a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋2x－1，x∈(0，＋∞)．f′(x)＝x2＋x－2x2，x∈(0，＋∞)，因此f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.又f(2)＝ln2＋2，所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程应为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y ＋ln2＝0.(2)因为f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1，所以f′(x)＝1x－a＋a－1x2＝－ax2－x＋1－ax2x∈(0，＋∞)．令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)①当a＝0时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)，有x∈(0,1)，g(x)>0，f′(x)<0，f(x)递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，f(x)递增；②当a≠0时，f′(x)＝a(x－1)[x－(1a－1)]，(ⅰ)当a＝12时，g(x)≥0恒成立，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上递减；(ⅱ)当0<a<12时，1a－1>1>0，x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，f(x)递减；x∈(1，1a－1)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，f(x)递增；x∈(1a－1，＋∞)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，f(x)递减；③当a<0时，由1a－1<0，x∈(0,1)时，g(x)>0，有f′(x)<0，f(x)递减；x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，有f′(x)>0，f(x)递增．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上递减，(1，＋∞)上递增；当a＝12时，f(x)在(0，＋∞)上递减；当0<a<12时，f(x)在(0,1)上递减，在(1，1a－1)上递增，在(1a－1，＋∞)上递减．注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚．。

【成才之路】2020版高中数学 1-1-1同步练习新人教B版选修2-2

选修2-2 1.1.1一、选择题1．函数y＝f(x)，当自变量从x0到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x处的变化率C．在x1处的变化率D．在[x0，x1]上的变化率[答案] A2．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为( )A．Δx＋2B．2Δx＋(Δx)2C．Δx＋3D．3Δx＋(Δx)2[答案] C3．物体做直线运动所经过的路程s可表示为时间t的函数s＝s(t)＝2t2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt]上的平均速度为( )A．8＋2ΔtB．4＋2ΔtC．7＋2ΔtD．－8＋2Δt[答案] A4．函数y＝1x在x＝1到x＝2之间的平均变化率为( )A．－1B．－1 2C．－2D．2[答案] B5．函数f(x)＝2x＋1在区间[1,5]上的平均变化率为( )A.11 5B．－11 5C．2 D．－2 [答案] C[解析] ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1＝f5－f15－1＝2.6．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx为( )A．Δx＋1Δx＋2B．Δx－1Δx－1C．Δx＋2D．Δx－1Δx＋2[答案] C[解析] ΔyΔx＝1＋Δx2＋1－12－1Δx＝Δx＋2.7．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度是( )A．2Δt＋4B．－2Δt＋4C．2Δt－4D．－2Δt－4[答案] D [解析] Δs Δt＝4－21＋Δt 2－4＋2×12Δt＝－2Δt－4.8．在x ＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x 、②y＝x 2、③y＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( ) A ．④ B ．③ C ．② D ．① [答案] B[解析] Δx＝0.3时，①y＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4.故选B. 9．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx，14Δx2B.⎝⎛⎭⎪⎫Δx，14Δx2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx，14Δx＋12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx，141＋Δx2[答案] C10．函数y ＝－x 2、y ＝1x 、y ＝2x ＋1、y ＝x 在x ＝1附近(Δx 很小时)，平均变化率最大的一个是( )A ．y ＝－x 2B ．y ＝1xC ．y ＝2x ＋1D ．y ＝x [答案] C[解析] y ＝－x 2在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝－(2＋Δx)；y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率为k 2＝－11＋Δx；y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率为k 3＝2；y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率为k 4＝11＋Δx＋1；当Δx 很小时，k 1<0，k 2<0,0<k 4<1，∴最大的是k 3.故选C.二、填空题11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，ΔyΔx＝________. [答案] (Δx)2＋6Δx＋12 [解析] ΔyΔx＝2＋Δx3－2－23＋2Δx＝(Δx)2＋6Δx＋12.12．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx＝12时平均变化率为________．[答案] 6－2[解析]Δy Δx ＝1＋Δx－1Δx ＝11＋Δx＋1＝6－2. 13．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1,1＋Δr]时，圆面积S 的平均变化率为________．[答案] 2π＋πΔr [解析] ΔSΔr＝1＋Δr2·π－π·12Δr＝2π＋π·Δr.14．函数y ＝cosx 在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时的变化率为________；在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2时的变化率为________．[答案]33－6π －3π[解析] 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，Δy Δx ＝cosπ6－cos0π6－0＝33－6π；当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2时，Δy Δx ＝cosπ2－cos π3π2－π3＝0－12π6＝－3π. 因此，y ＝cosx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6和区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上的平均变化率分别是33－6π和－3π.三、解答题15．已知函数f(x)＝2x ＋1，g(x)＝－2x ，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率：(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．[解析] (1)函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为f －1－f －3－1－－3 ＝[2×－1＋1]－[2×－3＋1]2＝2，g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为 g－1－g －3－1－－3＝[－2×－1]－[－2×－3]2＝－2.(2)函数f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为 f5－f 05－0＝2×5＋1－2×0＋15＝2，g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为g5－g05－0＝－2×5－－2×05＝－2.16．过曲线f(x)＝x3上两点P(2,8)和Q(2＋Δx,8＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．[解析] ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)3－8＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx，∴割线PQ的斜率k＝ΔyΔx＝Δx3＋6Δx2＋12ΔxΔx＝Δx2＋6Δx＋12.设Δx＝0.1时割线的斜率为k1，则k1＝0.12＋6×0.1＋12＝12.61.17．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．[解析] 第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)；第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)．18．已知某质点按规律s＝2t2＋2t(单位m)做直线运动，求：(1)该质点在前3s内的平均速度；(2)该质点在2s到3s内的平均速度．[解析] (1)由题设知，Δt＝3s，Δs＝s(3)－s(0)＝24，∴平均速度为v＝ΔsΔt＝243＝8m/s.(2)由题意知，Δt＝3－2＝1s，Δs＝s(3)－s(2)＝12m，Δs Δt ＝12m/s.∴平均速度为v＝。

【成才之路】2020版高中数学 1-2-1同步练习新人教B版选修2-2

选修2-2 1.2.1一、选择题1．函数f(x)＝－10的导数是( ) A ．0 B ．负数 C ．正数 D ．不确定 [答案] A2．若f(x)＝3x ，则3f′(1)等于( ) A ．0 B.13 C ．1 D.32 [答案] C3．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为3π4的点是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，π28B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14 [答案] D4．若函数f(x)＝x ，则f′(1)等于( )A．0B．－1 2C．2D.1 2[答案] D5．直线y＝x5的斜率等于5的切线的方程为( ) A．5x－y＋4＝0B．x－y－4＝0C．x－y＋4＝0或x－y－4＝0D．5x－y＋4＝0或5x－y－4＝0[答案] D[解析] ∵y′|x＝x0＝5x4＝5，∴x＝±1.∴切点坐标为(1,1)，(－1，－1)．又切线斜率为5，由点斜式得切线方程为5x－y＋4＝0或5x－y－4＝0.故选D.6．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝5t，则质点在t＝4时的速度为( )A.125 23B.1105 23C.25523D.110523[答案] B[解析] ∵s′|t ＝4＝15t －45|t ＝4＝110523.故选B.7．已知函数f(x)＝x 3的切线斜率等于1，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 [答案] B[解析] 设切点为(x 0，x 30)，∵f′(x)＝3x 2， ∴k＝f′(x 0)＝3x 20，即3x 20＝1，∴x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线，故选B.8．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0 [答案] A9．(2020·江西文，4)若函数f(x)＝ax 4＋bx 2＋c 满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0 [答案] B[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)＝4ax 3＋2bx ，f′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b)，f′(1)＝4a ＋2b ，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2，要善于观察，故选B.10．若对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为( ) A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1D．f(x)＝x4－1[答案] B[解析] 由f′(x)＝4x3知，f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入四个选项中验证，B正确，故选B.二、填空题11．物体的运动方程为s＝t3，则物体在t＝1时的速度为________，在t＝4时的速度为________．[答案] 3 48[解析] s′＝3t2，s′|t＝1＝3，s′|t＝4＝48.12．在曲线y＝4x2上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．[答案] (2,1)[解析] ∵y＝4x－2，∴y′＝－8x－3，∴－8x－3＝－1，∴x3＝8，∴x＝2，∴P点坐标为(2,1)．13．函数y＝x2过点(2,1)的切线方程为________．[答案] (4＋23)x－y－7－43＝0或(4－23)x－y－7＋43＝0.[解析] y′＝2x，设切点P(x0，y)，则y＝x2.切线斜率为2x0＝x2－1x－2，∴x20－4x＋1＝0，∴x＝2±3，∴斜率k＝2x＝4±23，∴切线方程为y －1＝(4±23)(x －2)．14．已P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．[答案] 4x －4y －1＝0[解析] y ＝x 2的导数为y′＝2x ，设切点M(x 0，y 0)，则y′|x＝x 0＝2x 0.∵PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，又切线平行于PQ ，∴k＝y′|x＝x 0＝2x 0＝1.∴x 0＝12. ∴切点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.三、解答题15．求曲线y ＝x 3上过点M(2,8)的切线与坐标轴围成的三角形面积． [解析] ∵y′＝(x 3)′＝3x 2， ∴k＝f′(2)＝3·22＝12，则切线方程为y －8＝12(x －2)，即12x －y －16＝0. 令x ＝0，得y ＝－16，令y ＝0，得x ＝43，∴S＝12|x|·|y|＝323.即所围成的三角形的面积为323.16．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程．[解析] ∵y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，点⎝⎛⎭⎪⎫2，12在曲线y ＝1x 上，∴曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为y′|x ＝2＝－122＝－14，由直线方程的点斜式，得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即y ＝－14x ＋1.17．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．[解析] ∵过抛物线上一点的切线且与直线x －y －2＝0平行的直线与x －y －2＝0的距离最短．y′＝2x ，令2x ＝1 ∴x＝12代入y ＝x 2得y ＝14，∴切点为⎝⎛⎭⎪⎫12，14，则切线方程为y －14＝x －12，即x －y －14＝0.∴x－y －14＝0与x －y －2＝0的距离为|2－14|12＋－12＝728， ∴728即为所求的最短距离． 18．过点P(－2,0)作曲线y ＝x 的切线，求切线方程． [解析] 设切点为Q(x 0，x 0)，∵y′＝12x，∴过点Q 的切线斜率为：12x 0＝x 0x 0＋2∴x 0＝2，∴切线方程为：y －2＝122(x －2) 即：x －22y ＋2＝0.。

2022成才之路·人教B版数学·选修2-1练习：第2章圆锥曲线与方程2.2.1

其次章 2.2 2.2.1一、选择题1．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0，a 是常数)；命题乙：点P 的轨迹是椭圆，甲是乙的导学号 64150287 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 若点P 轨迹是椭圆，则肯定有|P A |＋|PB |＝2a (a >0)，反过来，若|P A |＋|PB |＝2a (a >0)，点P 的轨迹可能是线段，或不存在．2．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一个焦点F 2构成△ABF 1的周长是导学号 64150288 ( )A ．2B ．4 C.2 D ．2 2[答案] B[解析] 依据题意画出图形(如图所示)， ∵|AF 1|＋|AF 2|＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2， ∴|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4，即|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4.3．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是导学号 64150289 ( )A ．－2<a <2B ．a <－2或a > 2C ．－2<a <2D ．－1<a <1 [答案] A[解析] 由于点A 在椭圆内部，故将点A 的坐标代入x 24＋y 22应满足a 24＋12<1，所以a 2<2，即－2<a <2，故选A.4．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是导学号64150290 ( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] 由|MF 1|－|MF 2|＝1，且|MF 1|＋|MF 2|＝4，得|MF 1|＝52，|MF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2，明显△MF 1F 2为直角三角形．5．已知A ，B 两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线AM 与MB 的斜率之积为－49，则点M 的轨迹方程是导学号 64150291 ( )A.x 225＋y 21009＝1 B.x 225＋y 21009＝1(x ≠±5) C.x 22254＋y 225＝1 D.x 22254＋y 225＝1(x ≠0) [答案] D[解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，则k MA ＝y ＋5x ，k BM ＝y －5x ，由题意，得y ＋5x ·y －5x ＝－49(x ≠0)，整理得x 22254＋y 225＝1(x ≠0)．故选D.6．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一动点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是导学号 64150292( )A.12B.19 C ．－59D ．－19[答案] D[解析] 由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|① 又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝25，∴①式可化为cos ∠F 1PF 2＝ (|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|＝162|PF 1||PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9.当|PF 1|＝|PF 2|时，取等号，∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，当|PF 1|＝|PF 2|时取等号，∴cos ∠F 1PF 2的最小值为－19.二、填空题7．椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点为F 1，M 为椭圆上一点，且|MF 1|＝2，N 是线段MF 1的中点，则|ON |为(O为坐标原点)________．导学号 64150293[答案] 4 [解析] 如图所示∵|MF 1|＋|MF 2|＝10，|MF 1|＝2， ∴|MF 2|＝8，又ON 为△F 1F 2M 的中位线， ∴|ON |＝12|MF 2|＝4.8．已知F 1、F 2是椭圆x 29＋y 25＝1的左右焦点，P 为椭圆上一个点，且|PF 1|︰|PF 2|＝1︰2，则∠F 1PF 2＝______________.导学号 64150294[答案] arccos 14[解析] 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，又|PF 1|︰|PF 2|＝1︰2，则|PF 1|＝2，|PF 2|＝4，而|F 1F 2|＝4 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝14，∴∠F 1PF 2＝arccos 14.三、解答题9．求过点P (3,0)且与圆x 2＋6x ＋y 2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．导学号 64150295[解析] 将点(3,0)代入x 2＋6x ＋y 2－91＝－64<0，所以点P 在圆内，圆方程配方整理得(x ＋3)2＋y 2＝102，圆心为C 1(－3,0)，半径为R ＝10.设所求动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧|PC |＝r ，|CC 1|＝R －r ，消去r 得R －|PC |＝|CC 1|⇒|PC |＋|CC 1|＝R ，即|PC |＋|CC 1|＝10.又P (3,0)，C 1(－3,0)，且|PC 1|＝6<10.可见C 点是以P ，C 1为两焦点的椭圆，且c ＝3,2a ＝10，所以a ＝5，从而b ＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.一、选择题1．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是导学号 64150296 ( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 [答案] C[解析] 由题意知|F 1F 2|＝2，而|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项．则2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2| 即|PF 1|＋|PF 2|＝4>2 则P 点的轨迹方程为椭圆，则a ＝2，c ＝1. ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2．已知方程x 2k ＋1＋y 23－k ＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是导学号 64150297 ( ) A ．k <1或k >3 B ．1<k <3 C ．k >1 D ．k <3[答案] B[解析] 由于方程x 2k ＋1＋y23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆．所以⎩⎪⎨⎪⎧3－k >0k ＋1>0k ＋1>3－k ，解得1<k <3.3．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是导学号 64150298 ( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2[答案] C[解析] 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)， ∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值为2.故选C. 二、填空题4．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．导学号 64150299[答案] x 2＋32y 2＝1[解析] 如图，由题意，A 点横坐标为c ， ∴c 2＋y 2b 2＝1，又b 2＋c 2＝1，∴y 2＝b 4，∴|AF 2|＝b 2，又∵|AF 1|＝3|BF 1|，∴B 点坐标为(－53c ，－13b 2)，代入椭圆方程得，⎩⎪⎨⎪⎧(－53c )2＋(－13b 2)2b 2＝1，b 2＝1－c 2，∴⎩⎨⎧c 2＝13，b 2＝23方程为x 2＋32y 2＝1.5．若方程x 2k －2＋y 25－k ＝1表示椭圆，则实数k 的取值范围是________．导学号 64150300[答案] (2，72)∪(72，5)[解析] 由方程x 2k －2＋y 25－k ＝1表示椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，5－k >0，k －2≠5－k ，解得2<k <5且k ≠72.即当2<k <72或72<k <5时，方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆．6．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．导学号 64150301[答案] x 25＋y 24＝1[解析] 本题主要考查圆的切线方程以及椭圆的标准方程，点⎝⎛⎭⎫1，12在圆外过点(1，12)与圆相切的一条直线方程为x ＝1，一个切点为(1,0)，设另一条的方程为y ＝⎝⎛⎭⎫12－m x ＋m ，由1＝|m |⎝⎛⎭⎫12－m 2＋1得m ＝54，故另一条切线的方程为y ＝－34x ＋54代入圆的方程联立解得切点为⎝⎛⎭⎫35，45，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c ＝1，b ＝2，a ＝5，所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．导学号 64150302[答案] 2 120°[解析] 考查椭圆定义及余弦定理．由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝16＋4－2816＝－12.∴∠F1PF2＝120°.三、解答题8．如图所示，已知经过椭圆x225＋y216＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．导学号64150303(1)求△ABF1的周长；(2)若AB不垂直于x轴，则△AF1B的周长有变化吗？为什么？[解析](1)由题意知A，B两点在椭圆x225＋y216＝1上，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|，∴△ABF1的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝10＋10＝20.∴△ABF1的周长为20.(2)若AB不垂直于x轴，则△ABF1的周长不变．理由：|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，这与AB是否与x轴垂直无关．9．如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1<t<3，与椭圆C2：x29＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2与x轴的交点．导学号64150304(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．[解析](1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S＝4|x0||y0|.由x209＋y20＝1得y20＝1－x209，从而x20y20＝x20(1－x209)＝－19(x2－92)2＋94.当x20＝92，y20＝12时，S max＝6，从而t＝5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.(2)由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)知直线AA1的方程为y＝y0x0＋3(x＋3)．①直线A2B的方程为y＝－y0x0－3(x－3)．②由①②得y2＝－y20x20－9(x2－9)．③又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y20＝1－x209.④将④代入③得x29－y2＝1(x<－3，y<0)．因此点M的轨迹方程为x29－y2＝1(x<－3，y<0)．。

2022成才之路·人教B版数学·选修2-2练习：第1章 1.2 第2课时

第一章 1.2 第2课时一、选择题1．若f (x )＝cos π4，则f ′(x )为导学号05300134( )A ．－sin π4B ．sin π4C ．0D ．－cos π4答案] C解析] f (x )＝cos π4＝22，∴f ′(x )＝0.2．函数f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值为导学号05300135( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案] A解析] f ′(x )＝α·x α－1，∴f ′(－1)＝α·(－1)α－1＝－4，∴α＝4. 3．给出下列命题： ①y ＝ln2，则y ′＝12②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ·ln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2其中正确命题的个数为导学号05300136( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案] C解析] 由求导公式知②③④正确．4．设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝导学号05300137( )A. 2B ．－ 2C ．0D ．22答案] A解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.5．设函数f (x )＝cos x 则⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2′等于导学号05300138( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．以上均不正确答案] A解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2＝0， ∴⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2′＝0′＝0，故选A. 6．设函数f (x )＝sin x ，则f ′(0)等于导学号05300139( ) A ．1 B ．－1C ．0D ．以上均不正确答案] A解析] ∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x ， ∴f ′(0)＝cos0＝1.故选A.7．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是导学号05300140( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．12答案] D解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝12，故图象在x ＝2处的切线斜率为12.8．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为导学号05300141( ) A.12 B ．－12C ．1eD ．－1e答案] C解析] ∵y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1，又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e . 二、填空题9．函数f (x )＝sin x 在x ＝π3处的切线方程为________．导学号05300142答案] x －2y ＋3－π3＝010．(2021·新课标Ⅱ文，16)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.导学号05300143答案] 8解析] 由y ′＝1＋1x 可得曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y ＝2x －1，与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1联立得ax 2＋ax ＋2＝0，明显a ≠0，所以由Δ＝a 2－8a ＝0⇒a ＝8.11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是______________．导学号05300144 答案] y ＝x －1解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0) ∴y ′|x ＝1＝1，切线的斜率为1，所求切线方程为：y ＝x －1. 三、解答题12．(1)y ＝e x在点A (0,1)处的切线方程；导学号05300145 (2)y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线方程．解析] (1)∵(e x )′＝e x ，∴y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. (2)∵(ln x )′＝1x，∴y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线的斜率为1. ∴切线方程为y ＝1×(x －1)，即x －y －1＝0.一、选择题1．物体运动的图象(时间x ，位移y )如图所示，则其导函数图象为导学号05300146( )答案] D解析] 由图象可知，物体在OA ，AB ，BC 三段都做匀速运动，位移是时间的一次函数，因此其导函数为常数函数，并且直线OA ，直线AB 的斜率为正且k OA >k AB ，直线BC 的斜率为负，故选D.2．下列函数中，导函数是奇函数的是导学号05300147( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12答案] D解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.3．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2021(x )的值是导学号05300148( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x答案] D解析] 依题意：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ， f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，按以上规律可知：f2021(x)＝f3(x)＝－cos x，故选D.4．(2022·山东文，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是导学号 05300149()A ．y＝sin x B．y＝ln xC．y＝e x D．y＝x3答案] A解析]设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．选项A中，y′＝cos x，cos x1cos x2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故选项A中的函数具有T性质；选项B、C、D中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不行能为－1，故选A.二、填空题5．过原点作曲线y＝e x的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．导学号05300150答案](1，e)y＝e x解析]设切点为(x0，e x0)，又y′＝(e x)′＝e x，∴切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝e x0，∴切线方程为y－e x0＝e x0(x－x0)．又切线过原点，∴－e x0＝－x0·e x0，即(x0－1)·e x0＝0，∴x0＝1，∴切点为(1，e)，斜率为e，∴切线方程为y＝e x.6．函数y＝log2x图象上一点A(a，log2a)处的切线与直线(2ln2)x＋y－3＝0垂直，则a＝________.导学号05300151答案] 2解析]y＝log2x在点A(a，log2a)处的切线斜率为k1＝y′|x＝a＝1x ln2|x＝a＝1a ln2.已知直线斜率k2＝－2ln2.∵两直线垂直，∴k1k2＝－2a＝－1，∴a＝2.7．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为________．导学号05300152答案](2，＋∞)解析]由f(x)＝x2－2x－4ln x，得函数定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－2－4x＝2x2－2x－4x＝2·x2－x－2x＝2·(x＋1)(x－2)x，f′(x)>0，解得x>2，故f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．三、解答题8．设点P是y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最短距离．导学号05300153解析]依据题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，即求在曲线y＝e x上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．令P(x0，y0)，∵y′＝(e x)′＝e x，∴由题意得e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最短距离为22.9．已知两条曲线y＝sin x、y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线相互垂直？并说明理由．导学号05300154解析]由于y＝sin x、y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.若使两条切线相互垂直，必需cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不行能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线相互垂直．。

成才之路高中数学人教B,选修22练习：21 第2课时

第二章 2.1 第2课时一、选择题1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，计算a 2、a 3、a 4，由此猜测通项a n[答案] A[解析] A 是演绎推理，它是由一般到特殊的推理形式，B 是类比推理，C 与D 均为归纳推理．故选A.2．(2013·华池一中高二期中)“三角函数是周期函数，y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是三角函数，所以y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是( ) A ．推理完全正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．推理形式不正确[答案] D[解析] 大前提和小前提中的三角函数不是同一概念，犯了偷换概念的错误，即推理形式不正确．3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A ．类比推理B ．归纳推理C ．演绎推理D ．一次三段论[答案] C[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．故选C.4．(2014·洛阳市高二期中)观察下面的演绎推理过程，判断正确的是( )大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b.小前提：正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1.结论：A1B1∥AD.A．推理正确B．大前提出错导致推理错误C．小前提出错导致推理错误D．仅结论错误[答案] B[解析]由l⊥a，l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误．5．下面的推理是关系推理的是()A．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠CB．因为2是偶数，并且2是素数，所以2是素数C．因为a∥b，b∥c，所以a∥cD．因为2是有理数或无理数，且2不是有理数，所以2是无理数[答案] C[解析]A是三段论推理，B、D是假言推理．故选C.6．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等．”补充上述推理的大前提()A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析]由结论可得要证的问题是“对角线相等”，因此它应在大前提中体现出来．故选B.7．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误[答案] D[解析]应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．8.如图，因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，又因为∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠3＝180°.所用的推理规则为()A．假言推理B．关系推理C．完全归纳推理D．三段论推理[答案] D[解析]关系推理的规则是“若a＝b，b＝c，则a＝c”，或“若a∥b，b∥c，则a∥c”．故选D.二、填空题9．设f(x)定义如下数表，{x n}满足x0＝5，且对任意自然数n均有x n＋1＝f(x n)，则x2 010的值为________.x 1234 5f(x)4135 2[答案] 1[解析]由数表可知x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(x1)＝f(2)＝1，x3＝f(x2)＝f(1)＝4，x4＝f(x3)＝f(4)＝5，x5＝f(x4)＝f(5)＝2，……∴{x n}的周期为4.∴x2 010＝x2＝1.10．用演绎推理证明“y＝sin x是周期函数”时的大前提为________，小前提为________．[答案]三角函数是周期函数y＝sin x是三角函数[解析] y ＝sin x 是三角函数，而三角函数是周期函数，因此大前提为三角函数是周期函数．小前提应该为y ＝sin x 是三角函数．11．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．[答案] log 2x －2≥0 三、解答题12.如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．[证明] 在△ABD 中，因为E ，H 分别是AB ，AD 的中点，所以EH ∥BD ，EH ＝12BD ，同理，FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形.一、选择题1．(2014·淄博市临淄区学分认定考试)下面是一段演绎推理：大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；小前提：已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α；结论：所以直线b ∥直线a . 在这个推理中( ) A ．大前提正确，结论错误 B ．小前提与结论都是错误的 C ．大、小前提正确，只有结论错误 D ．大前提错误，结论错误 [答案] D[解析] 如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α时，直线b 与直线a 可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.2．(2014·淄博市临淄区学分认定考试)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，……，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92[答案] B[解析] 记|x |＋|y |＝n (n ∈N *)的不同整数解(x ，y )的个数为f (n )，则依题意有f (1)＝4＝4×1，f (2)＝8＝4×2，f (3)＝12＝4×3，……，由此可得f (n )＝4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为f (20)＝4×20＝80，选B.3．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A sin B ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] A[解析] 由sin C ＝2cos A sin B 得：c ＝2·b 2＋c 2－a 22bc ·b ，即：a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形，故选A.4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝log 5(n ＋4)，则数列{a n }从第二项起是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．以上都错 [答案] B[解析] 因S n ＝log 5(n ＋4)，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝log 5n ＋4n ＋3＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋3，∴a n 的值随n 的增大而减小． ∴{a n }为递减数列，故选B. 二、填空题5．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n 的大小关系为________． [答案] m >n[解析] ∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab >a ＋b ， ∴a ＋b2>a ＋b2，∴m >n . 6．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，则a ·1＋b 2的最大值为________． [答案]324[解析] a ·1＋b 2＝22·2a 2·1＋b 2 ≤22×2a 2＋1＋b 22＝324. 7．已知sin α＝m －3m ＋5，cos α＝4－2m m ＋5，其中α是第二象限角，则m 的取值为________．[答案] 8[解析] 由⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，整理，得m 2－8m ＝0， ∴m ＝0或8.∵α是第二象限角，则sin α>0，cos α<0. 经验证知m ＝8. 三、解答题8．设函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )>f (b )，求证：ab <1. [证明] 证法1：由已知f (x )＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.∵0<a <b ，f (a )>f (b )，∴a 、b 不能同时在区间[1，＋∞)上．又由于0<a <b ，故必有a ∈(0，＋∞)．若b ∈(0,1)，显然有ab <1；若b ∈(1，＋∞)，由f (a )－f (b )>0，有－lg a －lg b >0.∴lg(ab )<0.∴ab <1.证法2：由题设f (a )>f (b )，即|lg a |>|lg b |，上式等价于(lg a )2>(lg b )2，即(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )>0. ∴lg(ab )·lg ab >0.由已知b >a >0，∴ba <1.∴lg ab<0.∴lg(ab )<0.∴0<ab <1. 9．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是前n 项和．求证：log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋22>log 0.5S n ＋1.[证明] 设数列{a n }的公比为q ，由题设知a 1>0，q >0.当q ＝1时，S n ＝na 1，从而S n ·S n ＋2－S 2n ＋1＝na 1·(n ＋2)a 1－(n ＋1)2a 21＝－a 21<0.当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q，从而S n ·S n ＋2－S 2n ＋1＝a 21(1－q n )(1－qn ＋2)(1－q )2－a 21(1－qn ＋1)2(1－q )2＝－a 21q n<0.综上，得S n ·S n ＋2<S 2n ＋1.故log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋22>log 0.5S n ＋1.。

【成才之路】高中数学人教B版选修2-2配套课件： 2章末归纳总结

设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8， S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n T16 项积为Tn，则T4，________，________，T 成等比数列． 12
[ 答案] T8 T4 T12 T8
[解析]
此题是一个数列与类比推理相结合的问题，既
[解析] 圆与球具有下列相似性质． 1 ．圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合，球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构

成的集合．
2 ．圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．
与圆的有关性质相比较，可以推测球的有关性质：圆 (1)圆心与弦(非直径) 中点的连线垂直于弦 (2)与圆心距离相等的两条弦长相等 (3)圆的周长c＝πd π 2 (4)圆的面积S＝4d 球球心与截面圆(非轴截面) 圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两个截面圆面积相等球的表面积S＝πd2 π 3 球的体积V＝6d
第二章
推理与证明
第二章章末归纳总结
1
知识结构
3
专题探究
2
知识梳理
4
即时巩固
知识结构
知识梳理
推理与证明要解决的主要问题：运用合情推理的思维方
式探索、发现一些数学结论，可运用演绎推理来加以证
明．学会了综合法、分析法及反证法，能够运用数学归纳法证明与正整数相关的命题．解决上述问题的关键：一是要掌握合情推理与演绎推理的思维模式，熟悉分析法、综合法、反证法、数学归纳法的
1 (2)∵集合A非空，故存在a∈A，a≠1，有 ∈A， 1－a 1 1 ∴ ∈A且 ≠1， 1－a 1－a a－1 即a≠0时，有 1 ＝ a ∈A，即如此循环出现三个 1－ 1－a 1 a－1 1 1 数a，， a ∈A.若a＝，则a2－a＋1＝0，方程无实 1－a 1－a 根．

成才之路高中数学人教B,选修22练习：第2课时

第一章 1.4 第2课时一、选择题1．(2014·陕西理，3)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1[答案] C[解析] 本题考查定积分的计算、微积分基本定理． ⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x )|10＝1＋e －1＝e. 2．下列各式中，正确的是( ) A.⎠⎛ab f ′(x )d x ＝f ′(b )－f ′(a )B.⎠⎛a b f ′(x )d x ＝f ′(a )－f ′(b )C.⎠⎛ab f ′(x )d x ＝f (b )－f (a ) D.⎠⎛ab f ′(x )d x ＝f (a )－f (b )[答案] C[解析] 要分清被积函数和原函数．3．已知自由落体的运动速度v ＝gt (g 为常数)，则当t ∈[1,2]时，物体下落的距离为( ) A.12g B ．g C.32g D ．2g[答案] C[解析] 物体下落的距离s ＝⎠⎛12gt d t ＝12gt 2| 21＝32g .故选C. 4．(2013·华池一中高二期中)⎠⎛122x d x 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3[答案] D[解析] ⎠⎛122x d x ＝x 2|21＝3.5．(2013·景德镇市高二质检)若曲线y ＝x 与直线x ＝a 、y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则正实数a 为( )A.49 B ．59C.43 D ．53[答案] A[解析] 由题意知，⎠⎛0a x d x ＝a 2，∵(23x 32 )′＝x 12 ，∴⎠⎛0a x d x ＝23x 32 |a 0＝23a 32 ， ∴23a 32 ＝a 2，∴a ＝49. 6．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.52 D ．3[答案] D[解析] 由y ＝cos x 图象的对称性可知， y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围面积是3cos x d x ＝＝3.故选D.7．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323 D ．353[答案] C[解析] ⎠⎛－31 (3－x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫3x －13x 3－x 2| 1－3＝323.故选C.8.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213 B ．223C.233 D ．253[答案] C[解析] ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3| 20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x | 32＝233 .故选C. 二、填空题 9．[答案] 12(e －1)[解析]10．如图，阴影部分面积用定积分表示为________．[答案] ⎠⎛13(f (x )－g (x ))d x11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝x 3| 10＝1，则P ＝S 阴S 1＝13.三、解答题 12．求下列定积分．(1)⎠⎛121x d x ；(2)⎠⎛01x 3d x ；(3)⎠⎛－11 e x d x . [解析] (1)因为(ln x )′＝1x ，所以⎠⎛121xd x ＝ln x | 21＝ln2－ln1＝ln2.(2)∵⎝⎛⎭⎫14x 4′＝x 3，∴⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14. (3)∵(e x )′＝e x ，∴⎠⎛－11e x d x ＝e x| 1－1＝e －1e.一、选择题1．(2014·江西理，8)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13 D ．1[答案] B[解析] 本题考查定积分的求法．根据题设条件可得⎠⎛1f (x )d x ＝－x 33|10＝－13. 2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 410＝112.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (0≤x <1)2－x (1<x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B ．45C.56 D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x ，∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭⎫2×1－12×12＝56.故选C.4．(2013·江西理，6)若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1[答案] B [解析] S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73. S 2＝⎠⎛121xd x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2. S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．∵e>2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B. 二、填空题5.⎠⎛－11 (x 2＋sin x )dx ＝________.[答案] 23[解析] 本题考查了定积分的知识，由于⎠⎛－11 (x 2＋sin x )d x ＝⎪⎪(13x 3－cos x )1－1＝13－cos1－(－13－cos1)＝23，定积分在高考题中题目较为简单，要熟练记住一些函数的导数与积分式．6．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B (12，5)、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[答案] 54[解析] 本题考查待定系数法与定积分的计算．设直线为y ＝kx ＋b ，代入点B 的坐标，∴y ＝10x . 代入B ，C 两点的坐标，则⎩⎪⎨⎪⎧5＝12k ＋b0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.∴y ＝⎩⎨⎧10x (0≤x ≤12)－10x ＋10(12<x ≤1) ，∴f (x )＝⎩⎨⎧10x 2 (0≤x ≤12)－10x 2＋10x(12<x ≤1).定积分的几何意义即曲边梯形的面积．7．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________．[答案] c <a <b[解析] a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3| 20＝83；b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4| 20＝4；c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x | 20＝1－cos2＜2.∴c ＜a ＜b .三、解答题8．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1min 内所行驶的路程．[解析] 由速度—时间曲线易知， v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t t ∈[0，10)，30 t ∈[10，40)，－1.5t ＋90 t ∈[40，60].由变速直线运动的路程表达式可得取H (t )＝3t 22，F (t )＝30t ，G (t )＝－34t 2＋90t ，则H ′(t )＝3t ，F ′(t )＝30，G ′(t )＝－1.5t ＋90. 从而s ＝∫1003t d t ＋⎠⎛104030d t ＋⎠⎛4060(－1.5t ＋90)d t＝H (10)－H (0)＋F (40)－F (10)＋G (60)－G (40) ＝1350(m)．答：该汽车在这1min 内所行驶的路程是1350m. 9．(1)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值；(2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c的值．[解析] (1)因为⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，所以⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2| 1＝23a －12a 2. 所以f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29. 所以当a ＝23时，f (a )有最大值29.(2)∵f (－1)＝2，f ′(0)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2b ＝0 ①而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ，取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c .∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2②解①②得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。

【成才之路】2020版高中数学第2章知能基础测试新人教B版选修2-2

第二章知能基础测试时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋kD ．f (k )＋k －2[答案] A[解析] 增加的一条侧棱与其不相邻的k －2条侧棱形成k －2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了k －1个对角面，∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1.故选A.2．“金导电、银导电、铜导电、铁导电、锡导电，金、银、铜、铁、锡都是金属，所以一切金属都导电”．此推理方法是( )A ．完全归纳推理B ．归纳推理C ．类比推理D ．演绎推理 [答案] B[解析] 一切金属除上面列举的几种以外还有许多，故此推理过程为归纳推理．故选B.3．已知a >0，b >0，a 、b 的等差中项为12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] 由已知得a ＋b ＝1，∴α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋a ＋b a ＋a ＋b b ＝3＋b a ＋ab≥3＋2＝5.故选C.4．已知f (x )＝x 3＋x (x ∈R )，a 、b 、c ∈R ，且a ＋b >0，b ＋c >0，c ＋a >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的符号为( )A ．正B ．负C ．等于0D ．无法确定[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )在R 上是增函数．又a ＋b >0，∴a >－b .∴f (a )>f (－b )．又f (x )＝x 3＋x 是奇函数， ∴f (a )>－f (b )，即f (a )＋f (b )>0. 同理：f (b )＋f (c )>0，f (c )＋f (a )>0， ∴f (a )＋f (b )＋f (c )>0，故选A.5．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…12n －1<f (n ) (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项[答案] D[解析] n ＝k ＋1时，左边为1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋2k －1，故共增加了2k项．故选D.6．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c [答案] A[解析] 令n ＝1，得1＝3(a －b )＋c ，令n ＝2，得1＋2×3＝9(2a －b )＋c ，令n ＝3，得1＋2×3＋3×32＝27(3a －b )＋c . 即⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c －118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34，∴a ＝12，b ＝c ＝14.故选A.7．若m ，n 是正整数，则m ＋n >mn 成立的充要条件是( )A．m，n都等于1B．m，n都不等于2C．m，n都大于1D．m，n至少有一个等于1[答案] D[解析] ∵m＋n>mn，∴(m－1)(n－1)<1.∵m，n∈N*，∴(m－1)(n－1)∈Z，∴(m－1)(n－1)＝0.∴m＝1或n＝1，故选D.8．给出以下类比推广，其中类比推广符合类比推理要求的有( )(1)在平面内：如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交．推广到空间中：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．(2)在平面直角坐标系中点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离为|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.类比上述结论在空间直角坐标系中，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则有A、B两点间的距离为|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)建立了向量的坐标表示后，平面直角坐标系中的点就与向量的坐标建立了一一对应关系，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．类比上述结论，建立复数与平面直角坐标系中的点的一一对应关系后，复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，则应有z1＋z2＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)i.A．1个B．2个C．3个D．0个[答案] C[解析] ①将平面类比直线正确；②平面内两点间距离与空间中两点的距离类比正确；③将复数的坐标表示与向量的坐标表示类比，复数的加法与向量的加法类比，正确．故选C.9．平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f(n)块区域，有f(1)＝2，f(2)＝4，f(3)＝8，则f(n)的表达式为( ) A．2nB．n2－n＋2C．2n－(n－1)(n－2)(n－3)D．n3－5n2＋10n－4[解析] 四个选项的前三项是相同的，但第四项f (4)＝14(如图)就只有B 符合，从而否定A ，C ，D ，选B ，一般地，可用数学归纳法证明f (n )＝n 2－n ＋2.故选B.10．已知等比数列a n ＝13n －1，其前n 项和为S n ＝∑k ＝1na k ，则S k ＋1与S k 的递推关系不满足( )A ．S k ＋1＝S k ＋13k ＋1B ．S k ＋1＝1＋13S kC ．S k ＋1＝S k ＋a k ＋1D ．S k ＋1＝3S k －3＋a k ＋a k ＋1 [答案] A[解析] S k ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1 ＝S k ＋a k ＋1.C 真．S k ＋1＝1＋13＋…＋13k＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋13k －1＝1＋13S k .B 真．3S k ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋13k －1＝3＋1＋13＋…＋13k －2＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋13k －2＋13k －1＋13k －a k －a k ＋1＝3＋S k ＋1－a k －a k ＋1.D 真．事实上，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝S k ＋13k .A 不真．故选A.11．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值[解析] A 错在lg x 的正负不清；C 错在等号成立的条件不存在；根据函数f (x )＝x －1x的单调性，当x ＝2时，f (2)max ＝32，故D 错．故选B.12．有一个奇数列1,3,5,7,9…现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…观察每组内各数之和与其组的编号数n 的关系为( )A ．等于n 2B ．等于n 3C ．等于n 4D ．等于(n ＋1)n[答案] B二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案] sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.[说明] 可以证明此结论是正确的，证明如下： sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α) ＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°] ＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin(30°＋2α)－12 ＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin(30°＋2α)－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34.14．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)…(1－a n )，通过计算f (1)、f (2)、f (3)、f (4)的值，由此猜想f (n )＝________________________.[答案]n ＋22n ＋2[解析] ∵a 1＝14、a 2＝19、a 3＝116、a 4＝125，∴f (1)＝34、f (2)＝23＝46、f (3)＝58、f (4)＝35＝610，于是猜想f (n )＝n ＋22n ＋2.15．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝________.[答案] 30[解析] 类比规律∴a ＝21，b ＝9故a ＋b ＝30.16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等，如果集合A 中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：(1)自反性：对于任意a ∈A ，都有a ＝a ； (2)对称性：对于a ，b ∈A ，若a >b ，则有b <a ； (3)传递性：对于a ，b ，c ∈A ，若a >b ，b >c 则有a >c .则称“～”是集合A 的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)，请你再列出三个等价关系：________.[答案] 答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等[解析] (1)令A 为所有三角形构成的集合，定义A 中两三角形的全等为关系“～”，则其为等价关系．(2)令B 为所有正方形构成的集合，定义B 中两个元素相似为关系“～”，则其为等价关系．(3)令C 为一切非零向量的构成的集合，定义C 中任两向量共线为关系“～”，则其为等价关系．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)求证：当m 为实数时，关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋m ＝0与方程2x 2＋x －6－m ＝0至少有一个方程有实根．[证明] 假设上述两方程都无实根，则⎩⎪⎨⎪⎧25－4m <0，1＋4×2×(6＋m )<0.化简得⎩⎪⎨⎪⎧m >254，m <－498.显然满足该不等式组的实数m 不存在，因此假设不成立．所以当m ∈R 时，所给两方程至少有一个有实根．18．(本题满分12分)已知a 、b ∈R ，求证：|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |.[证明] 设f (x )＝x1＋x ，x ∈[0，＋∞)．设x 1、x 2是[0，＋∞)上的任意两个实数，且0≤x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 2－x 11＋x 1＝x 2－x 1(1＋x 1)(1＋x 2).因为x 2>x 1≥0，所以f (x 2)>f (x 1)．所以f (x )＝x1＋x 在[0，＋∞)上是增函数．(大前提)由|a |＋|b |≥|a ＋b |≥0(小前提) 知f (|a |＋|b |)≥f (|a ＋b |) 即|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |成立．19．(本题满分12分)设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. [证明] 证法1：用分析法．要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立．又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立．只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立．即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．证法2：用综合法．a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.20．(本题满分12分)如图，A 是△BCD 所在平面外一点，∠ABD ＝∠ACD ＝90°，AB ＝AC ，E 是BC 的中点．求证：(1)AD ⊥BC ；(2)△AED 是钝角三角形．[证明] (1)∵∠ABD ＝∠ACD ＝90°， ∴BD ＝AD 2－AB 2，CD ＝AD 2－AC 2，又∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD .又∵E 为BC 的中点，∴DE ⊥BC ，AE ⊥BC . ∴BC ⊥平面ADE ，∴AD ⊥BC . (2)设CD ＝a ，AC ＝b ，CE ＝x ，则AD 2＝a 2＋b 2，DE 2＝a 2－x 2，AE 2＝b 2－x 2.在△AED 中，由余弦定理得cos∠AED ＝AE 2＋DE 2－AD 22AE ·DE＝a 2－x 2＋b 2－x 2－(a 2＋b 2)2AE ·DE ＝－x 2AE ·DE<0，∴∠AED 为钝角．∴△AED 是钝角三角形．21．(本题满分12分)(1)已知x ，y ∈R ，求证下列不等式： ①12x 2＋12y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12y 2； ②13x 2＋23y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋23y 2； ③14x 2＋34y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋34y 2. (2)根据上述不等式，请你推出更一般的结论，并证明你的结论． [解析] (1)证明：①12x 2＋12y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12y 2＝12x 2＋12y 2－14x 2－12xy －14y 2 ＝14x 2－12xy ＋14y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12y 2≥0， ∴12x 2＋12y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12y 2. ②13x 2＋23y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋23y 2＝29x 2＋29y 2－49xy ＝29(x 2－2xy ＋y 2)＝29(x －y )2≥0， ∴13x 2＋23y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋23y 2. ③14x 2＋34y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋34y 2 ＝14x 2＋34y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫116x 2＋38xy ＋916y 2＝316(x －y )2≥0，∴14x 2＋34y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋34y 2. (2)一般的结论是：已知x ，y ∈R ，a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，则(ax 2＋by 2)≥(ax ＋by )2.证明：∵a ＋b ＝1，∴a ＝1－b >0，b ＝1－a >0.∵(ax 2＋by 2)－(ax ＋by )2＝(a －a 2)x 2－2abxy ＋(b －b 2)y 2＝a (1－a )x 2－2a (1－a )xy ＋a (1－a )y 2＝a (1－a )(x 2－2xy ＋y 2)＝a (1－a )(x －y )2，又∵a >0,1－a >0，(x －y )2≥0， ∴(ax 2＋by 2)－(ax ＋by )2≥0，即ax 2＋by 2≥(ax ＋by )2.22．(本题满分14分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． [解析] (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1得a 21＝1，∵a n >0，∴a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2得a 22＋2a 2－1＝0.∴a 2＝2－1.由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3得a 23＋22a 3－1＝0.∴a 3＝3－ 2.(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0命题成立． ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1ak，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时，命题成立，由①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.。

【成才之路】2021学年高中数学 2.1 第1课时合情推理同步测试新人教B版选修2-2(1)

【成才之路】2021-2021学年高中数学 2.1 第1课时合情推理同步测试新人教B版选修2-2一、选择题1．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝( ) A ．n B ．n 2 C ．n 3 D ．n ＋3－n[答案] B[解析] ∵a 1＝1，∴(a 2－1)2－2(a 2＋1)＋1＝0， ∴a 2(a 2－4)＝0，又a n ＋1>a n ，∴a 2＝4，同理a 3＝9. 猜想a n ＝n 2.应选B.2．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，…的第100项的值是( ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 [答案] B[解析] ∵1＋2＋3＋4＋5＋…＋13＝13×13＋12＝91，∴第100项的值是14.3．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③教室内有一把椅子坏了，那么该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④ [答案] C[解析] ①是合情推理中的类比法，排除D ；②是归纳推理，排除B ；④是归纳推理．应选C.4．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n －1＋1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的一个表达式是( )A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1[答案]C[解析]a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1，应选C.5．观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：假设概念在R上的函数f(x)知足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，那么g(－x)＝( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[答案]D[解析]此题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，表现了对学生观看能力，归纳归纳推理能力的考查．6．咱们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数量的点子能够排成一个正方形(如以下图)，那么第n－1个正方形数是( )A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2[答案]C[解析]第n－1个正方形数的数量点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，∴点数为n2.应选C.7．依照给出的数塔猜想123456×9＋7等于( )1＋9×2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113[答案] B8．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边； (2)中位线长等于底边的一半； (3)三内角平分线交于一点．可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一极点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方式正确的有( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3) D ．都不对[答案] C[解析] 以上类比推理方式都正确，需注意的是类比推理取得的结论是不是正确与类比推理方式是不是正确并非等价，方式正确结论也不必然正确．应选C.二、填空题9．假设三角形内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，那么三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，依照类比思想，假设四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1，S 2，S 3，S 4，那么四面体的体积V ＝________.[答案]13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)[解析] 将球心与四面体连结，组成四个棱锥，棱锥底面积别离为S 1，S 2，S 3，S 4，高都是R ， ∴V ＝13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)．10．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n 个图有________个原子，有________个化学键．[答案] 4n ＋2 5n ＋1[解析] 图①中有6个原子，6个化学键；图②中增加了4个原子，5个化学键；图③中又增加了4个原子，5个化学键；设第n 个图中原子个数为a n ，化学键个数为b n ，则a n ＝6＋(n －1)×4＝4n ＋2，b n ＝6＋(n －1)×5＝5n ＋1. 11．(2021·陕西文，13)观看以劣等式： (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为________________________． [答案] (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)[解析] 观看规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是2n 与等差数列{2n －1}前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．三、解答题12．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d (n >m ，n ，m ∈N *)(2)假设m ＋n ＝p ＋q ，其中，m 、n 、p 、q ∈N *，那么a m ＋a n ＝a p ＋a q . (3)假设m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N *，那么a m ＋a n ＝2a p . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 组成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质． [解析] 等比数列{b n }中，设公比为q ，前n 项和为S n . (1)a n ＝a m ·q n －m (n >m ，n ，m ∈N *)．(2)假设m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *，则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)假设m ＋n ＝2p ，其中，m ，n ，p ∈N *，那么a 2p ＝a m ·a n. (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n (各项均不为零)组成等比数列. 一、选择题1．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，那么猜想a n ＝( )A ．2cos θ2nB ．2cosθ2n －1C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2n[答案] B[解析] ∵a 1＝2cos θ，a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2，a 3＝2＋2a 2＝21＋cosθ22＝2cos θ4……，猜想a n ＝2cos θ2n －1.应选B.2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的以下哪些性质，你以为比较适当的是( )①各棱长相等，同一极点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一极点上的任两条棱的夹角都相等． A ．① B ．①② C ．①②③ D ．③[答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共极点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．应选C.3．把3、六、10、1五、2一、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数量的点子能够排成一个正三角形(如以下图)，试求第六个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 [答案] B[解析] 观看归纳可知第n －1个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12个，∴第六个三角形数为7×7＋12＝28.应选B.4．(2021·华池一中期中)平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A.43a B.63aC.54a D.64a[答案]B[解析]将正三角形一边上的高32a类比到正四面体一个面上的高63a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方式类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．二、填空题5．在平面上，假设两个正三角形的边长比为12，那么它们的面积比为1 4.类似地，在空间中，假设两个正四面体的棱长比为12，那么它们的体积比为________．[答案]18[解析]V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18.6．(2021·三峡名校联盟联考)观看以下不等式：1＋122<3 2，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为__________________．[答案]1＋122＋132＋142＋152＋162<116[解析] 此题考查了归纳的思想方式．观看能够发觉，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n ＋12<2n ＋1n ＋1，因此第五个不等式为： 1＋122＋132＋142＋152＋162<116.三、解答题7．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有如何的不等式成立？[解析] 依照已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一样性的规律：n 2n －2π(n ≥3且n ∈N *)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2n －2π(n ≥3且n ∈N *)． 8．(2021·西宁质检)已知等式sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一样性的等式，使你写出的等式包括已知的等式，并证明结论的正确性．[解析] 等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝sin 2α＋1＋cos 60°＋2a2＋sin α(cos30°·cos α－sin30°·sin α)＝12＋sin 2α＋cos 60°＋2α2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34.。

【成才之路】2020版高中数学 2-1-1同步练习 新人教B版选修2-2

成才之路高中数学人教B,选修22练习： 第1课时

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2022成才之路·人教B版数学·选修2-1练习：第2章 圆锥曲线与方程2.2.1