2018年高考考前适应性训练考试(三)理科答案

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临汾市 2018 年第三次高考考前适应性训练试卷

理科数学试题参考答案和评分参考

评分说明：

π b c

（2）由于 A = ，所以sin B = ， sin C = ，

2 a a

根据题设 25sin B sin C = 12 ，

知 25 b ⋅ c = 12 ，即bc = 12 a 2 ． ............................. 6 分

1. 本解答只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根 a a 25 据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超 又由于a + b + c = 12 ， 所以b + c = 12 − a ，

所以(b + c )2 = (12 − a )2 ，即b 2 + c 2 + 2bc = 144 − 24a + a 2

．（*） ... 8 分

过该部分正确解答分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就 不再给分．

3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

将b 2

+ c 2 = a 2 ，

b c = 12 a 2 25

代入（*）式并整理得， 4. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

第 I 卷

一．选择题：

a 2 + 25a −150 = 0 ， 解之得a = 5 ，或 a = −30 （舍去）． ...................................................... 10 分

所以bc = 12 a 2

= 12 ，

25

二．填空题： π

第 II 卷

所以∆ABC 的面积S = 1

bc = 6 ． ............................................................................................ 12 分

2

18、解：

（1）证明：因为四边形 ABB 1 A 1 、 ACC 1 A 1 是正方形， 13、

14、3 15、 20

16、

所以 AA ⊥ AB ， AA ⊥ AC ．

2

8

三. 解答题:

17、解：

（1） 在∆ABC 中，由于 A + B + C = π ， 所以sin( A + B ) = sin C ，

由题设(a − b )(sin A + sin B ) = c sin( A + B ) ，

得(a − b )(sin A + sin B ) = c s in C ． .......................................... 1 分 再根据正弦定理得 (a − b )(a + b ) = c 2

，

整理得 a 2

= b 2

+ c 2

， ............................................................................................................... 3 分 1

1

因为 BB 1 // AA 1 ，

所以 BB 1 ⊥ AB ， BB 1 ⊥ AC ， ............................... 2 分

又因为 AB ∩ AC = A ， AB 、 AC ⊂ 平面 ABC ， 所以 BB 1 ⊥ 平面 ABC ， 因为 BB 1 ⊂ 平面 BCC 1 B 1 ，

所以平面 ABC ⊥ 平面 BCC 1 B 1 ． ............................................. 4 分

（2）

设 BC 中点为O ，连接 AO ． 因为 AB = AC ，所以 AO ⊥ BC ，

因为平面 ABC ⊥ 平面 BCC B ， 平面 ABC ∩ 平面 BCC B = BC ，

所以 A =

π

．......................................................................................................................................................... 4 分

2

9 2

1

1

1

1 AO ⊂

平面

ABC ，

B 3

∑ x = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 ，

1

⎩

2 x y 2 2

所以 AO ⊥ 平面 BCC 1 B 1 ，

以O 为原点， OB 、过点O 平行于 BB 1 的射线、OA 分别为 x 、 y 、 z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示． ...................... 6 分

19、解：

（1）由题中数据可得： x = 3 ， y = 8 ，

∑ x i y i

= 10 + 16 + 27 + 24 + 35 = 112 ， i =1 5

2 i i =1 5x y = 5 × 3× 8 = 120 ， 5x 2 = 45 ，

所以b ˆ = 112 − 120

= −0.8 ， a ˆ = 8 + 0.8 × 3 = 10.4 ，

55 − 45

所以 y ˆ = −0.8x + 10.4 ， ............................................................................. 5 分 设 BC = 2a ， OA = h ，（ a ， h > 0 ） 则 A (0,0, h ) 、 B 1 (a , a + h ,0) 、 A (0,

a 2

+ h 2

, h ) 、C (−a ,0,0) ， 所以可以预测第 8 天生产的不合格疫苗数为4 支．

（2）（ⅰ）由频率分布直方图可得免疫保护效果不低于 91.5%的概率为： 0.2+0.15=0.35，

AB 1 = (a , a + h ,−h ， A C = (−a ,− 2 2

a 2 + h 2 ,−h ) ． ............. 7 分

所以免疫保护效果不低于 91.5%的概率为 0.35． ..................... 8 分 （ⅱ）由频率分布直方图可得免疫保护效果的平均值为：

因为直线 AB 1 与 A 1C 所成角为60° 所以

86.5 × 0.1 + 88.5 × 0.15 + 90.5× 0.4 + 92.5 × 0.2 + 94.5× 0.15 = 90.8 ， | AB ⋅ A C | a 2

1 即免疫保护效果的平均值为90.8% > 90% ，

| cos < AB 1 , A 1C >|= 1 1 = = ，

| AB 1 || A 1C | a 2 + h

2

2 所以该疫苗可以投入生产． ............................................................ 12 分 所以 a = h ． ......................................................................................... 9 分 20、解：

所以 A (0,0, a ) 、 B (a ,0,0) 、 B 1 (a , 2a ,0) 、C 1 (−a , 2a ,0) ， （1） 由题意可得：

AB = (a ,0,−a ) 、 AB = (a ,−a ) 、C B = (2a ,0,0) ．

⎧2ab = 4 2, ⎧a = 2,

1

1 1

⎪ 设平面 AB 1C 1 的一个法向量为 n = ( x , y , z ) ，则

⎧

⎨ ab ⎪ = 2 3 , 3 解得： ⎨ ⎩b = 2, ⎪n ⋅ AB 1 = 0,

⎧ax + 2ay − az = 0, ⎩ ⎨ ⎪⎩⋅ C 1 B 1 = 0, 即⎨2ax = 0, 可取 n = ．

所以椭圆 E 的标准方程为 x + y

4 2 = 1． .................................................. 3 分

cos < AB , n = − 3 ． ........................................................................... 11 分 3 2 2

（2） 设过点 P (x 0 , y 0 ) 可作出椭圆 4 + 2

= 1的两条相互垂直的切线，

当两条互相垂直的切线斜率不存在或为 0 时， 可得点 P 的坐标为 所以直线 AB 与平面 AB 1C 1 所成角的正弦值为 3

． ................... 12 分

(±2, 2) ，或(±2,− 2) ．

1

5 a 2 + b 2

1 2