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2024年苏科版七年级数学上册 2.1 正数与负数(课件)

( A) A. －3℃
B. －1℃
C. ＋1℃
D. ＋5℃
解题秘方：先判断正、负表示的实际意义，然后用
正、负数表示各量.
解：因为气温零上2 ℃记作＋2 ℃，所以气温零下
3℃记作－3 ℃ .
感悟新知
知2－练
(2)[中考·柳州]如果水位升高2 m 时水位变化记作＋2 m，那么水位下降2 m 时水位变化记作_－__2_m__. 解：因为水位升高2 m 时水位变化记作＋2 m，所以水位下降2 m 时水位变化记作－2 m．
2. 分数
正分数、负分数统称为分数，如3
1 2
，0.3，－1.25，
－15.
感悟新知
知3－讲
特别说明：有限小数与循环小数可以写成分数的形式，
如4.5＝92，0.1ሶ ＝19，所以，有限小数与循环小数都可以看作分数.
感悟新知
特别提醒：几种常见数： (1)正整数：既是正数，又是整数的数； (2)负整数：既是负数，又是整数的数； (3)正分数：既是正数，又是分数的数； (4)负分数：既是负数，又是分数的数； (5)非负整数：正整数和0； (6)非正整数：0 和负整数.
③－
29＝_－__0_.2_ሶ ；
解题秘方：分数化小数就是用分子除以分母；
解：① －58＝－(5÷8)＝－0.625， ②272＝22÷7＝ 3.1ሶ 42 857ሶ ，③－29＝－(2÷9)＝－0.2ሶ .
感悟新知
7
知3－练
(2)请把下列小数化为分数：①0.35＝___2_0____，②－1.6＝
感悟新知
特别解读
知2－讲
1. 像海拔高度这样，通过设置一个分界点，以此区分具有
相反意义的量.

《正数和负数二》课件

掌握负数和负数之间的乘法和除法规则。
正数和负数的乘法与除法
学习正数和负数之间乘法和除法运算的方法和注意事项。
练习题
1
选择题
通过选择题巩固对所学知识的理解和应用。
2
计算题
应用所学知识进行数值计算，提升数学运算能力。
3
应用题
解决实际问题，将所学知识应用于日常生活和实践中。
总结
重点回顾
复习本课程的重点内容，强化知识记忆。
《正数和负数二》PPT课件
通过本课件，我们将深入学习正数和负数的相关概念和运算规则，掌握绝对值以及正数和负数的比较、乘法和除法等知识。
回顾
1
正数和负数的定义
学习正数和负数的基本概念和正数和负数之间的加法和减法运算。
绝对值
1 绝对值的定义
了解绝对值的含义和计算方法。
错题解析
分析和解决在学习过程中遇到的常见错误和困惑。
学习建议
提供针对学生的学习建议，帮助他们更好地掌握正数和负数的知识。
2 绝对值与正负性的关系
理解绝对值与数的正负性之间的关系。
3 绝对值的性质
学习绝对值独有的几个重要性质。
比较大小
1
比较同号数大小
掌握比较两个同号数大小的方法。
比较异号数大小
2
学习比较两个异号数大小的技巧。
乘法与除法
正数和正数的乘法与除法
深入学习正数和正数之间的乘法和除法运算。
负数和负数的乘法与除法

新教材人教B版高中数学必修第二册全册各章节知识点考点及解题方法规律提炼汇总

人教B必修第二册全册知识点汇总第四章指数函数、对数函数与幂函数 (2)4.1指数与指数函数 (2)4.1.1实数指数幂及其运算 (2)4.1.2指数函数的性质与图像 (5)4.2对数与对数函数 (14)4.2.1对数运算 (14)4.2.2对数运算法则 (17)4.2.3对数函数的性质与图像 (20)4.3指数函数与对数函数的关系 (27)4.4幂函数 (31)4.5增长速度的比较 (35)4.6函数的应用(二) (39)第五章统计与概率 (43)5.1统计 (43)5.1.1数据的收集 (43)5.1.2数据的数字特征 (50)5.1.3数据的直观表示 (56)5.1.4用样本估计总体 (63)5.3概率 (67)5.3.1样本空间与事件 (67)5.3.2事件之间的关系与运算 (70)5.3.3古典概型 (74)5.3.4频率与概率 (78)5.3.5随机事件的独立性 (80)5.4统计与概率的应用 (84)第六章平面向量初步 (87)6.1平面向量及其线性运算 (87)6.1.1向量的概念 (87)6.1.2向量的加法 (91)6.1.3向量的减法 (95)6.1.4数乘向量 (99)6.1.5向量的线性运算 (102)6.2向量基本定理与向量的坐标 (105)6.2.1向量基本定理 (105)6.2.2直线上向量的坐标及其运算 (108)6.2.3平面向量的坐标及其运算 (110)6.3平面向量线性运算的应用 (115)第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0x＝__na__x＝__±na__0不存在根式(1)当na有意义时，na称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．(2)性质：①(na)n＝__a__；②na n＝⎩⎨⎧__a__，n为奇数，__|a|__，n为偶数.分数指数幂的意义正分数指数幂n为正整数，na有意义，且a≠0时，规定a1n＝__na__正分数mn，amn＝__(na)m__＝na m负分数指数幂s是正分数，a s有意义且a≠0时，规定a－s＝__1a s__无理数指数幂当a＞0且t是无理数时，a t是一个确定的__实数__．实数指数幂的运算法则(a＞0，b＞0，r，s∈R)(1)a r a s＝__a r＋s__．(2)(a r)s＝__a rs__．(3)(ab)r＝__a r b r__．题型n 次方根的概念及相关问题典例剖析典例1 (1)求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围；(2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号．[解析] (1)(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎨⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]． (2)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4． ∴原式＝⎩⎨⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于na ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要n a 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号．根式与分数指数幂的互化典例剖析典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15 ；a 34 ；a －23 ； (2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解．[解析] (1)a 15 ＝5a ；a 34 ＝4a 3；a －23 ＝1a 23 ＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63 ＝a 2；13a 2＝1a 23 ＝a －23 ．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．有理(实数)指数幂的运算法则的应用典例剖析典例3 化简：(1)(5x －23 y 12 )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)；(2)0.064－13 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75；(3)32＋3×27－33；(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×(－14)×(－56)·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ．(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716． (3)32＋3×27－33 ＝32＋3×(33)－33 ＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12 ＋(2)1－3＋1＋3 ＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14 ]＋2＝(2)14 ＋2＝2＋218 ．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．易错警示典例剖析典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12 ．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14 ．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1．[正解] ∵(－a ) 12 存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14＝(－a ) 14 ．4.1.2 指数函数的性质与图像第1课时指数函数的性质与图像知识点指数函数函数__y ＝a x __称为指数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1．思考：(1)为什么指数函数的底数a ＞0，且a ≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a ＝0，当x ＞0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义．②如果a ＜0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，14，…，该函数无意义．③如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．(2)①a ＞0，且a ≠1，②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．指数函数的图像和性质0＜a ＜1a ＞1图像定义域实数集R 值域 __(0，＋∞)__ 性质过定点__(0,1)__ 是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，…，为什么一定过点(0,1)?(2)对于指数函数y x底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 ？ x ＜0 ？ 0＜a ＜1x ＞0 ？ x ＜0？提示：(1)当x ＝0时，a ＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)．(2)底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 y ＞1 x ＜0 0＜y ＜1 0＜a ＜1x ＞0 0＜y ＜1 x ＜0y ＞1 题型指数函数的概念典例剖析典例1 (1)函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为__2__．(2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点(π，e)，则f (－π)＝__1e __． [分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解． (2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f (－π)． [解析] (1)由题意得a 2－3a ＋3＝1，即(a －2)(a －1)＝0，解得a ＝2或a ＝1(舍)．(2)设指数函数为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，则e ＝a π，所以f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e ．规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a ＞0，且a ≠1； ②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y ＝13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)． (2)利用已知条件求底数A ． (3)写出指数函数的解析式．指数函数的图像问题典例剖析典例2 (1)函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图像可能是( D )(2)要得到函数y ＝23－x 的图像，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像( A )A ．向右平移3个单位B ．向左平移3个单位C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位[分析] (1)要注意对a 进行讨论，分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论判断．(2)先对解析式变形，再进行判断． [解析] (1)函数y ＝x ＋a 单调递增．由题意知a ＞0且a ≠1．当0＜a ＜1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于0且小于1；当a ＞1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D ．(2)因为y ＝23－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x －3，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3 ，即y ＝23－x 的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图像所过的定点．指数函数的定义域、值域问题典例剖析典例3 (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值域为(1，＋∞)，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－2，－1)∪(1，2)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2)函数y ＝52x －1的定义域为__⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12__． [分析] (1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得． (2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析] (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则底数a 2－1＞1，a 2＞2，所以|a |＞2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)要使函数y ＝52x －1有意义，则2x －1≥0，所以x ≥12.所以函数y ＝ 52x －1的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12．规律方法：函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合． (2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．易错警示典例剖析典例4 若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[错解] ∵函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴⎩⎨⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，∴a ＝3．故实数a 的值为3．[辨析] 误解中没有对a 进行分类讨论．[正解] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，由题意可知，⎩⎨⎧ a 0－1＝0a 2－1＝2，解得a ＝ 3.当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是减函数，由题意可知，⎩⎨⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，此时a 无解．综上所述，a ＝3．第2课时指数函数的性质与图像的应用知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1．解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解； (2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝b x (b ＞0且b ≠1)的图像求解．与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)函数的性质有： (1)函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有__相同__的定义域．(2)当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有__相同__的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有__相反__的单调性．思考：(1)指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的单调性取决于哪个量？ (2)如何判断形如y ＝f (a x )(a ＞0且a ≠1)的函数的单调性？提示：(1)指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的单调性与其底数a 有关，当a ＞1时，y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在定义域上是增函数，当0＜a ＜1时，y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1 比较下列各组数的大小： (1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；(4)55，33，2．[分析]底数相同的幂值a b与a c比较大小，一般用y＝a x的单调性；指数相同的幂值a c与b c比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝a x与y＝b x的图像考察x＝c 时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y＝0.8x，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得1．70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝212＝(23)16＝816，33＝313＝(32)16＝916而8＜9.∴816＜916，即2＜3 3，又2＝212＝(25)110＝32110，55＝515＝(52)110，而25＜32，∴55＜2．总之，55＜2＜33．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．形如y＝a f(x)类型函数的单调性与值域典例剖析典例2 求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域． [分析] 利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解[解析] 令t ＝－x 2＋x ＋2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，因为t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 在R 上是减函数，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞；又t ≤94，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1294，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1294，＋∞．规律方法：复合函数的单调性、值域(1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域．指数函数性质的综合应用典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( B ) A ．(4,8) B ．[4,8) C ．(1，＋∞) D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x是R 上的奇函数． ①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围．[解析] (1)因为分段函数为增函数，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，4－a 2＞0，a ≥6－a 2，解得4≤a ＜8．(2)①因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1，因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数．②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )，即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3，由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤x 0，g (x )，x ＞x 0的单调性 (1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)．(2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)．2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小．易错警示典例剖析典例4 求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的值域． [错解] 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞． [辨析] 在换元时，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞0，在误解中忽略了这一点． [正解] 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34．因为t ＞0，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算知识点对数的概念(1)定义：在代数式a b ＝N (a ＞0且a ≠1)，N ∈(0，＋∞)中，幂指数b 称为以a 为底N 的对数．(2)记法：b ＝__log a N __，a 称为对数的__底数__，N 称为对数的__真数__．(3)范围：N ＞0，即__负数和零没有对数__．思考：(1)为什么负数和零没有对数？(2)对数式log a N 是不是log a 与N 的乘积？提示：(1)因为b ＝log a N 的充要条件是a b ＝N ，当a ＞0且a ≠1时，由指数函数的值域可知N ＞0，故负数和零没有对数．(2)不是，log a N 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．知识点对数恒等式(1)a log a N ＝N ．(2)log a a b ＝B ．知识点常用对数与自然对数(1)常用对数：log 10N ，简写为lg N ．(2)自然对数：log e N ，简写为ln N ，e ＝2.718 28…．题型对数的概念典例剖析典例1 若a 2 020＝b (a ＞0，且a ≠1)，则( A )A ．log a b ＝2 020B ．log b a ＝2 020C ．log 2 020a ＝bD ．log 2 020b ＝a(2)对数式log (a －2)(5－a )中实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，5)B ．(2,5)C ．(2,3)∪(3,5)D ．(2，＋∞)(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B )A ．e 0＝1与ln 1＝0B ．log 39＝2与912 ＝3C ．8－13 ＝12与log 812＝－13 D ．log 77＝1与71＝7[分析] (1)根据对数的定义转化．(2)对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0．(3)根据对数式的定义判断．[解析] (1)若a 2020＝b (a ＞0，且a ≠1)则log a b ＝2 020．(2)由题意得⎩⎨⎧ a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，解得2＜a ＜3或3＜a ＜5．(3)由指、对数式的互化可知，A 、C 、D 正确；对于B 选项log 39＝2可化为32＝9，所以B 选项错误．规律方法：指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．利用指数式与对数式关系求值角度1 利用指数式与对数式的互化求值典例剖析典例2 求下列各式的值：(1)log 381；(2)log 4116；(3)log128；(4)lg 0.1．[解析] (1)因为34＝81，所以log 381＝4．(2)因为4－2＝116，所以log 4116＝－2．(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8，所以log128＝－3． (4)因为10－1＝0.1，所以lg 0.1＝－1．角度2 两个特殊对数值的应用典例3 已知log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值．[解析] 因为log 2[log 3(log 4x )]＝0，所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64，同理求得y ＝16，所以x ＋y ＝80．规律方法：对数性质在求值中的应用1．对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0．2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．对数恒等式的应用典例剖析典例4 计算：(1)71－log 75；(2)412 (log 29－log 25)；(3)a log a b ·log b c (a 、b 均为不等于1的正数，c ＞0)．[解析] (1)原式＝77log 75＝75．(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95． (3)原式＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝C ．规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数．易错警示典例剖析典例5 求满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值．[错解] ∵log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，∴x 2＋3x ＝x ＋3，即x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1.故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值为－3和1．[辨析] 误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．[正解] 由对数性质，得⎩⎨⎧ x 2＋3x ＞0x ＋3＞0x ＋3≠1x 2＋3x ＝x ＋3，解得x ＝1．故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1的x 的值为1．4.2.2 对数运算法则知识点积、商、幂的对数若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有(1)积的对数：__log a (MN )＝log a M ＋log a N __．(2)商的对数：__log a M N ＝log a M －log a N __．(3)幂的对数：__log a M n ＝n log a M __．思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a (MNQ )是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，log a (MNQ )＝log a M ＋log a N ＋log a Q ，积的对数运算性质可以推广到n 项的乘积．知识点换底公式若a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，则有__log a b＝log c blog c a__．思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？(2)你能用换底公式推导出结论log Nn M m＝mn log N M吗？提示：(1)log a b＝lg blg a，log a b＝ln bln a．(2)log Nn M m＝lg M mlg N n＝m lg Mn lg N＝mn·lg Mlg N＝mn log N M．题型利用对数的运算法则求值典例剖析典例1计算：(1)log a2＋log a 12(a＞0且a≠1)；(2)log318－log32；(3)2log510＋log50.25；(4)2log525＋3log264；(5)log2(log216)；(6)62log63－20log71＋log41 16．[解析](1)log a2＋log a 12＝log a(2×12)＝log a1＝0．(2)log318－log32＝log3(18÷2)＝log39＝2．(3)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2．(4)2log525＋3log264＝2log552＋3log226＝4＋18＝22．(5)log2(log216)＝log24＝2．(6)原式＝6log69－20×0＋log44－2＝9－2＝7．规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．利用对数的运算法则化简典例剖析典例2用lg x，lg y，lg z表示下列各式：(1)lg (xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z；(4)lg x y 2z ． [解析] (1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ．(2)lg xy 2z＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ． (3)lg xy 3z＝lg (xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z ． (4)lg x y 2z ＝lg x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z ．规律方法：关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．换底公式及其应用典例剖析典例3 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645的值；(2)设3x ＝4y ＝6z ＞1，求证：1z －1x ＝12y ．[分析] 在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x ，y ，z ，并结合换底公式与对数的运算性质证明．[解析] (1)由18b ＝5，得log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182 ＝b ＋a 1＋1－log 189＝a ＋b 2－a． (2)设3x ＝4y ＝6z ＝t ，∵3x ＝4y ＝6z ＞1， ∴t ＞1，∴x ＝lg t lg 3，y ＝lg t lg 4，z ＝lg t lg 6，∴1z －1x ＝lg 6lg t －lg 3lg t ＝lg 2lg t ＝lg 42lg t ＝12y ．∴1z －1x ＝12y ．规律方法：换底公式的应用(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值．(2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式1log ab ＝log b A ．易错警示典例剖析典例4 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 2x y 的值．[错解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵x y ＝1或4，∴log 2x y ＝log 21＝0或log 2x y ＝log 24＝4．[辨析] 误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．[正解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，∴x ＝y 应舍去． ∴x y ＝4，∴log 2x y ＝log 24＝4．4.2.3 对数函数的性质与图像第1课时对数函数的性质与图像知识点对数函数函数y ＝__log a x __称为对数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1．思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？(2)对数函数的解析式有何特征？提示：(1)定义域为x ＞0，因为负数和零没有对数．(2)①a ＞0，且a ≠1；②log a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．对数函数的性质与图像知识点0＜a ＜1 a ＞1图像定义域__(0，＋∞)__值域__R__性质过__定点(1,0)____是减函数____是增函数__思考：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x，…，为什么一定过点(1,0)?(2)对于对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞1？0＜x＜1？0＜a＜1x＞1？0＜x＜1？提示：(1)当x＝1时，log a1＝0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0)．(2)底数x的范围y的范围a＞1x＞1y＞0 0＜x＜1y＜00＜a＜1x＞1y＜0 0＜x＜1y＞0题型对数函数的概念典例剖析典例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝2log3x；(2)y＝log5x；(3)y＝log x2；(4)y＝log2x＋1．[解析](1)log3x的系数是2，不是1，不是对数函数．(2)是对数函数．(3)自变量在底数位置，不是对数函数．(4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数．规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1．(2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x ．求函数的定义域典例剖析典例2 求下列函数的定义域： (1)y ＝lg (2－x )； (2)y ＝1log 3(3x －2)；(3)y ＝log (2x －1)(3－4x )．[分析] 函数的定义域是使函数有意义的自变量x 的允许取值范围．求定义域时，要结合使根式、分式等有意义的条件和对数式的定义求解． [解析] (1)由题意得lg (2－x )≥0，即2－x ≥1，∴x ≤1，则y ＝lg (2－x )的定义域为{x |x ≤1}． (2)欲使y ＝1log 3(3x －2)有意义，应有log 3(3x －2)≠0，∴⎩⎨⎧3x －2＞03x －2≠1.解得x ＞23，且x ≠1．∴y ＝1log 3(3x －2)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＞23，且x ≠1． (3)使y ＝log (2x －1)(3－4x )有意义时，⎩⎨⎧2x －1＞02x －1≠13－4x ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞12x ≠1x ＜34，∴12＜x ＜34．∴此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12 ＜x ＜34．规律方法：求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0．(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．应用对数函数的单调性比较数的大小典例剖析典例3 比较下列各组中两个数的大小： (1)log 23.4和log 28.5； (2)log 0.53.8和log 0.52； (3)log 0.53和1; (4)log 20.5和0； (5)log 0.30.7和0; (6)log 34和0．[分析] (1)(2)中两数同底数，不同真数，可直接利用对数函数的单调性比较大小；(3)中将1化为log 0.50.5，(4)中将0化为log 21，(5)中将0化为log 0.31，(6)中将0化为log 31，然后再利用对数函数的单调性比较大小．[解析] (1)∵y ＝log 2x 在x ∈(0，＋∞)上为增函数，且3.4＜8.5， ∴log 23.4＜log 28.5．(2)∵y ＝log 0.5x 在x ∈(0，＋∞)上为减函数，且3.8＞2， ∴log 0.53.8＜log 0.52．(3)∵1＝log 0.50.5，∴log 0.53＜log 0.50.5，∴log 0.53＜1． (4)∵0＝log 21，∴log 20.5＜log 21，∴log 20.5＜0． (5)∵0＝log 0.31，∴log 0.30.7＞log 0.31， ∴log 0.30.7＞0．(6)∵0＝log 31，∴log 34＞log 31，∴log 34＞0．规律方法：比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性． (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图像，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1、0等中间量进行比较．易错警示典例剖析典例4 解不等式log a (2x －5)＞log a (x －1)． [错解]原不等式可化为⎩⎨⎧2x －5＞0x －1＞02x －5＞x －1，解得x ＞4．故原不等式的解集为{x |x ＞4}．[辨析] 误解中默认为底数为a ＞1，没有对底数a 分类讨论．[正解]当a ＞1时，原不等式可化为⎩⎨⎧2x －5＞0x －1＞02x －5＞x －1，解得x ＞4；当0＜a ＜1时，原不等式可化为⎩⎨⎧2x －5＞0x －1＞02x －5＜x －1，解得52＜x ＜4．综上可知，当a ＞1时，原不等的解集为{x |x ＞4}，当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |52＜x ＜4}．第2课时对数函数的性质与图像的应用知识点y ＝log a f (x )型函数性质的研究(1)定义域：由f (x )＞0解得x 的取值范围，即为函数的定义域．(2)值域：在函数y ＝log a f (x )的定义域中确定t ＝f (x )的值域，再由y ＝log a t 的单调性确定函数的值域．(3)单调性：在定义域内考虑t ＝f (x )与y ＝log a t 的单调性，根据__同增异减__法则判定(或运用单调性定义判定)． (4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．(5)最值：在f (x )＞0的条件下，确定t ＝f (x )的值域，再根据a 确定函数y ＝log a t 的单调性，最后确定最值．知识点log a f (x )＜log a g (x )型不等式的解法 (1)讨论a 与1的关系，确定单调性．(2)转化为f (x )与g (x )的不等关系求解，且注意真数大于零．题型对数函数的图像典例剖析典例1如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图像，已知a 取3，43，35，110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次为( A )A ．3、43、35、110B ．3、43、110、35C ．43、3、35、110D ．43、3、110、35[解析] 解法一：观察在(1，＋∞)上的图像，先排C 1、C 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图像靠近x 轴的底大，C 1、C 2对应的a 分别为3、43.然后考虑C 3、C 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时图像靠近x 轴的底小，C 3、C 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A ．解法二：作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C 1、C 2、C 3、C 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A ．规律方法：函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的底数变化对图像位置的影响．观察图像，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图像越靠近x 轴，0＜a ＜1时，a 越小，图像越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图像与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．形如y ＝log a f (x )的函数的单调性典例剖析典例2求函数y＝log12(1－x2)的单调区间．[分析]求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．[解析]要使函数有意义，应满足1－x2＞0，∴－1＜x＜1.∴函数的定义域为(－1,1)．令u＝1－x2，对称轴为x＝0．∴函数u＝1－x2在(－1,0]上为增函数，在[0,1)上为减函数，又∵y＝log12u为减函数．∴函数y＝log12(1－x2)的单调递增区间为[0,1)，递减区间为(－1,0]．规律方法：1.求形如y＝log a f(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域．2．求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求解；(2)借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝log a t在定义域上的单调性，从而判定y＝log a f(x)的单调性．形如y＝log a f(x)的函数的奇偶性典例剖析典例3判断函数y＝lg (x2＋1－x)的奇偶性．[分析]判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称．[解析]∵x2＋1＞x，∴x2＋1－x＞0恒成立，∴函数的定义域为R．f(－x)＝lg (x2＋1＋x)＝lg (x2＋1－x)(x2＋1＋x)x2＋1－x＝lg1x2＋1－x＝－lg (x2＋1－x)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，∴函数y＝lg (x2＋1－x)是奇函数．规律方法：判断函数的奇偶性，必须先求函数的定义域，因为定义域关于原点对称是函数具有奇偶性所需具备的条件．若定义域关于原点对称，再利用奇偶性定义判断f(x)与f(－x)的关系．形如y＝log a f(x)的函数的值域典例剖析典例4求函数f(x)＝log12(x2－6x＋17)的值域．[分析]利用对数函数的真数大于0及内函数的值域求解．[解析]∵x2－6x＋17＝(x－3)2＋8＞0，∴函数f(x)的定义域为R，令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，又0＜12＜1，∴y＝log12t在[8，＋∞)上是减函数，∴f(x)≤log128＝－3，故所求函数的值域是(－∞，－3]．规律方法：对于形如y＝log a f(x)(a＞0，a≠1)的复合函数，求值域的步骤：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)求log a f(x)的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．易错警示典例剖析典例5已知y＝log a(2－ax)在[0,1]上是减函数(x是自变量)，则a的取值范围是(B)A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．[2，＋∞)[错解]选A．令u＝2－ax，因为u＝2－ax是减函数，所以a＞0．在对数函数中底数a∈(0,1)，所以0＜a＜1.故选A．[辨析]本题解答时犯了两个错误：(1)忽略真数为正这一条件；(2)对数函数的底数含有字母a，忘记了对字母分类讨论．[正解]设u＝2－ax，由y＝log a u，得a＞0，因此u＝2－ax单调递减．要使函数y＝log a(2－ax)是减函数，则y＝log a u必须是增函数，所以a＞1，排除A，C．又因为a＝2时，y＝log a(2－2x)在x＝1时没有意义，但原函数x的取值范围是[0,1]，所以a≠2，因此排除D．故选B．4.3指数函数与对数函数的关系知识点反函数的概念(1)一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中__任意一个y__的值，只有__唯一__的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数，可以记作x＝f－1(y)．(2)一般地，对于函数y＝f(x)的反函数x＝f－1(y)，习惯上反函数的自变量仍用x 表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．思考：函数f(x)＝x2有反函数吗？为什么？提示：没有．若令y＝f(x)＝1，则x＝±1，即x值不唯一，不符合反函数的定义．知识点求反函数的两种方法(1)可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到反函数y＝f－1(x)．(2)从y＝f(x)反解得到x＝f－1(y)，然后把x＝f－1(y)中的x，y对调得到y＝f－1(x)．知识点互为反函数的图像与性质(1)图像y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线__y＝x__对称．(2)性质①y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的__值域__相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的__定义域__相同．②如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在．此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是__增函数__；如果y＝f(x)是__减函数__，则y＝f －1(x)也是减函数．题型判断函数是否有反函数典例剖析典例1(1)下列函数中，存在反函数的是(D)A．x x＞0x＝0x＜0f(x)10－1B．x x是有理数x是无理数g(x)10C．x12345D．(2)判断下列函数是否有反函数．①f(x)＝x＋1 x－1；②g(x)＝x2－2x．[分析]根据反函数的定义进行判断．[解析](1)因为f(x)＝1时，x为任意的正实数，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在；因为g(x)＝1时，x为任意的有理数，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在；因为h(x)＝2时，x＝2或x＝5，即对应的x不唯一，因此h(x)的反函数不存在；因为l(x)的值域{－2，－1,0,3,4}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此l(x)的反函数存在．(2)①令y＝f(x)，因为y＝x＋1x－1＝1＋2x－1，是由反比例函数y＝2x向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数．②令g(x)＝3，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在．规律方法：判定函数存在反函数的方法(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在．(2)确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在．(3)利用原函数的解析式，解出自变量x，如果x是唯一的，则函数的反函数存在．求反函数典例剖析典例2求下列函数的反函数．(1)y＝2x＋1(x∈R)；(2)y＝1＋ln(x－1)(x＞1)；(3)y＝x＋2x＋1(x∈R且x≠－1)．。

正数负数知识点总结六年级

正数负数知识点总结六年级正数负数知识点总结正数负数是数学中的基本概念，也是我们在生活中常常使用到的概念。

对于六年级的学生来说，了解正数和负数的概念以及它们的运算规则非常重要。

本文将对正数负数的知识点进行总结，并附上例题进行说明，以帮助同学们更好地理解和掌握。

一、正数和负数的定义正数是指大于零的数，用正号表示，如1、2、3等。

负数是指小于零的数，用负号表示，如-1、-2、-3等。

二、正数和负数的比较正数和负数可以通过大小进行比较。

具体规则如下：1. 正数比负数大；2. 相同符号的数，绝对值大的数大；3. 符号相反的数，正数大于负数。

例题1：比较-5和-3的大小。

解析：-5是负数，-3也是负数，但是-3的绝对值小于-5，所以-5比-3大。

三、正数和负数的加减法1. 同号相加或相减，只需保留符号，然后将绝对值进行加减。

例题2：计算-7 +（-3）的值。

解析：-7和-3都是负数，所以符号不变，绝对值相加，即7+3=10，所以-7 +（-3）的值为-10。

2. 正数和负数相加或相减，可按照四则运算法则进行计算。

具体规则如下：a) 先将减法转换为加法，即a- b等于a + （-b）；b) 把减法转换为加法后，按照同号相加或相减的规则进行运算。

例题3：计算13 - （-5）的值。

解析：将减法转换为加法，即13 - （-5）等于13 + 5，因为13和5都是正数，所以相加得到18，所以13 - （-5）的值为18。

四、正数和负数的乘除法1. 同号相乘，积为正；异号相乘，积为负。

例题4：计算-4 ×（-2）的值。

解析：-4和-2都是负数，所以符号相同，积为正，即4 × 2 = 8，所以-4 ×（-2）的值为8。

2. 同号相除，商为正；异号相除，商为负。

例题5：计算-12 ÷ 3的值。

解析：-12是负数，3是正数，符号相反，商为负，即-12 ÷ 3 = -4，所以-12 ÷ 3的值为-4。

正数负数知识点总结

正数负数知识点总结正数负数知识点总结一、正数与负数的概念及表示方法1. 正数：表示具有正向数值的数，例如1、2、3等。

正数用“+”号表示。

2. 负数：表示具有负向数值的数，例如-1、-2、-3等。

负数用“-”号表示。

3. 数轴：用于表示正数和负数的图形工具，将数轴分为正半轴和负半轴，以0为中心，正数向右延伸，负数向左延伸。

二、正数与负数的比较与大小关系1. 绝对值：正数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于去掉负号的数值，例如|-5|=5。

2. 比较大小：正数与正数之间，绝对值越大，数值越大；负数与负数之间，绝对值越大，数值越小；正数和负数之间，绝对值越大，负数越小。

3. 相反数：两个数的和为0的两个数，互为相反数。

例如3和-3就是一对相反数，它们的和为0。

三、正数与负数的运算1. 加法：同号相加，不改变符号，异号相加，取绝对值较大的数的符号。

2. 减法：减去一个负数，等于相加这个负数的相反数，减去一个正数，等于加上这个正数的相反数。

3. 乘法：同号相乘，结果为正，异号相乘，结果为负。

4. 除法：正数除以正数，结果为正，负数除以正数或正数除以负数，结果为负，负数除以负数，结果为正。

四、正数与负数的应用领域1. 数学运算：在数学中，正数与负数的运算是基础，涉及到加减乘除等多种运算方法。

2. 温度计量：温度的正数表示高温，负数表示低温，例如摄氏度中0度以下表示零下的温度，0度以上表示零上的温度。

3. 股市涨跌：股票价格的上涨用正数表示，下跌用负数表示。

通过正数和负数的变化，可以分析出股票的涨跌趋势。

五、正数与负数的重要性及思考正数与负数在我们的生活和学习中起着重要的作用，它们不仅仅是数学中的概念，更是我们日常生活中必不可少的工具。

掌握正数和负数的知识，可以帮助我们进行数学运算、理解温度计量、分析股市涨跌等多方面的应用。

同时，正数和负数的概念也教会了我们在生活中面对困难与挫折时保持积极乐观的态度。

正数给我们带来希望和光明，而负数则是一种挑战，提醒着我们要以积极的心态去应对困难，相信事情会好起来。

正数和负数的平方运算

正数和负数的平方运算平方运算是数学中常见的一种运算方式，它用于计算一个数的平方。

根据数的正负性，平方运算的结果会有不同的特点和规律。

一、正数的平方运算正数的平方运算是指对正数进行平方操作，其结果也是正数。

以正数a为例，其平方记作a²，表示将a乘以自己得到的结果。

例如：- 2的平方，记作2²，等于2乘以2，即2² = 2 × 2 = 4。

- 3的平方，记作3²，等于3乘以3，即3² = 3 × 3 = 9。

正数的平方运算具有以下特点：1. 结果是正数：对于任意正数a，a²永远是正数，即a² > 0。

2. 结果增长速度快：随着正数的增大，它的平方值增长的速度更快。

例如，2² = 4，3² = 9，4² = 16，可以看出平方结果的增长是不断加速的。

二、负数的平方运算负数的平方运算是指对负数进行平方操作，其结果为正数。

以负数b为例，其平方记作b²，表示将b乘以自己得到的结果。

例如：- (-2)的平方，记作(-2)²，等于(-2)乘以(-2)，即(-2)²= (-2) ×(-2) = 4。

- (-3)的平方，记作(-3)²，等于(-3)乘以(-3)，即(-3)²= (-3) ×(-3) = 9。

负数的平方运算也具有以下特点：1. 结果是正数：对于任意负数b，b²的结果是正数，即b² > 0。

这是因为两个负数相乘会得到正数。

2. 绝对值与正数相同：负数的平方结果的绝对值与其本身的绝对值相同。

例如，(-2)² = 4，2² = 4，即它们的绝对值都为4。

三、正数和负数的平方运算比较正数和负数的平方运算的结果有一些基本的区别：1. 结果的正负性：正数的平方结果始终是正数，而负数的平方结果是正数。

负数正数的知识点总结

负数正数的知识点总结负数和正数的定义在数学中，我们通常用整数集来表示所有的整数，包括正数、负数和零。

其中，正整数由1、2、3、4、5……等组成，负整数由-1、-2、-3、-4、-5……等组成。

零用0来表示。

正整数、负整数和零统称为整数，用符号Z表示。

负数是指比零小的整数。

负数与正数结合，形成了整数集。

一般来说，负数在数轴上表现为向左移动，而正数在数轴上表现为向右移动。

一个数轴上同时包含了正数、负数和零的位置如图：<![endif]-->负数和正数的性质现在，我们来讨论一下负数和正数的性质。

在数轴上，正数和负数的位置关系十分明显，具体如下：1. 正数和负数之间的大小比较如果一个数大于另一个数，我们就说这个数比另一个数大，用符号>表示。

例如，2>1，-2>-3。

对于正数和负数，我们有以下性质：正数大于零：对于任意一个正数，它都大于零。

负数小于零：对于任意一个负数，它都小于零。

正数大于负数：对于两个不同的正数和负数，正数大于负数。

总之，正数大于零，零大于负数，而正数大于负数。

2. 正数和负数之间的运算在运算时，正数和负数遵循以下规则：两个正数相加，结果为正数。

两个负数相加，结果为负数。

正数与负数相加，取绝对值较大的数的符号。

正数与负数相乘，结果为负数。

3. 正数和负数的绝对值正数的绝对值是它本身，即|a|=a，其中a是正数。

负数的绝对值是它的相反数，即|-a=a，其中a是负数。

4. 负数的乘方负数的偶数次幂为正数，负数的奇数次幂为负数。

例如，(-2)²=4，(-2)³=-8。

负数和正数的运算规则负数和正数的运算规则是数学中非常重要的知识点。

我们知道，正数和负数之间的运算规则由负数的性质决定，我们可以根据这些性质来进行各种运算。

下面，我们就来逐一讨论负数和正数的各种运算规则。

1. 负数的加减法在负数的加减法中，我们需要注意以下几点：负数与负数相加：在计算负数与负数的和时，我们直接将它们的绝对值相加，并且结果为负数。

正数与负数的概念以及习题大全

一．【正数与负数】概念：正数：大于零的数；负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数）；注意：①0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点；②对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数；➢ 正数、负数的判定【基础练习】1. 下列数中，哪些是正数，哪些是负数？-2 , 0.5 ， +27 ， 0 ， -3.14 ， 160 ， -531 2. 下列各数中哪些是正数？哪些是负数？－15，−0.02，67，171-，4，142 ，1.3，0，3.14，π 3. 下列各数中是负数的有哪些？ -13，-0， -2，+2，3，-0.01，-0.21，5%，1 4. 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ -1，-3.14156，-13，-5%，-6.3，2006，-0.1，30000，200%，0，-0.01001 5. 在3.7，+2.6，-5，0，-1，-12%中，正数有，负数有．6. 在-4、+36、-18、59、0、-290中，正数有，负数有．7. 在0.5，-3，+12，0，-5.7中，是正数，是负数．8. 如图，把31- ， 6 ， -6.5 ， 0 ， 127- ， 313 ，-7 ， 210 ， ••130.0 ， -43 ， -5%填入相应的圈内。

9. 下列说法正确的是（）A 、不带“﹣”号的数都是正数B 、如果+a 是正数，那么﹣a 一定是负数C 、不带“+”号的数都是负数D 、像4,5这样的数没有符号10. 下列说法正确的是（）A 、a 是正数B 、﹣a 是负数C 、带“-”号的数都是负数D 、如果a 是正数，那么-a 一定是负数11. 下列语句：（1）a 是正数，-a 是负数；（2）如果a 是负数，那么-a 是正数；（3）所有的自然数都是正数；（4）一个数不是正数就是负数，其中正确的语句个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12. 下列语句：（1）自然数都是正数；（2）带“-”号的数都是负数；（3）如果+a 是正数，那么-a 一定是负数；（4）不带“-”号的数都是正数；（5）正数可以不写“+”，其中正确的语句个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【培优练习】13.观察下列排列的每一列数,研究它的排列有什么规律?并填出空格上的数.(1)1,-2,1,-2,1,-2, , , …(2)-2,4,-6,8,-10, , …(3)1,0,-1,1,0,-1, , , …14.有一些数如下排列第一列第二列第三列第四列-2 -3 -4 -5-9 -8 -7 -6-10 -11 -12 -13-17 -16 -15 -14… … … …观察上述的这些数排列的规律，回答数-100将在哪一列.➢0的概念【基础练习】1、某蓄水池的标准水位为0m，水位高于标准水位0.2m记作______ __，低于标准水位0.3m记作___ _ ___.2、如果气温上升3℃记作+3℃，下降5℃记作-5℃，那么下列各量分别表示什么？（1）+5℃；（2）-6℃；（3）0℃.3、如果收入15元记作+15元，那么+12元表示___ ____，-6元表示___ ____，0元表示___ _ ___.4、一个物体沿着东、西两个方向运动，且规定向东记为正。

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数学正数和负数知识点总结
1、正数：像小学学过的大于0的数叫做正数。

2、负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。

3、正数负数的判断方法：
⑴具体的数：看是否有负号“-”，如果有“-”就是负数，否则是正数。

⑵含字母的数：如-a要看a本身的符号，如a是负的，则-a是正数，如a 是正的则-a是负数，如a是0则-a是0。

4、 0的含义：
①0表示起点。

②0表示没有。

③0表示一种温度。

④0表示编号的位数。

⑤0表示精确度。

⑥0表示正负数的分界。

⑦0表示海拔平均高度。

5、具有相反意义的量;
6、正负数的作用：在同一问题中，用正负数表示的量具有相反的意义。

七年级数学正数和负数2

v 4.一潜水艇所在的高度为-50m,一条鲨鱼在潜水艇的上方10 m处,这条鲨鱼所在的位置是多少m?
0
水平面
-40
鲨鱼
-50
潜水艇
v 5.观察下面依次排列的一列数，填空 (1) –1 , 0 , 1 , –1 , 0 , 1 ,___…-1.. (2) 1 , -2 , 4 , -8 , 16 , ___ ,-3_2__ …64
1.定义：
象5，1.2， …12 这样的数叫做正数，它们都比 0大。
在正数前面加上“ - ”号的数叫做负数，如-10，-3 …
注: (1) 0既不是正数也不是负数。 (2)为了突出数的符号,也可在正数前加“+”号
例1(1)在知识竞赛中,如果用+10分表示加10分,那么扣20分怎样表示?
(2)某人转动转盘,如果用+5表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示?
第二章有理数
2.1正数和负数
某班举行数学竞赛评分标准是：答对一题加
10分，答错一题扣10分，不回答得0分；四个代表队答题情况如下表：
思考：每个代表队是多少分？
10 -10 10 10 -10 10 -10 10 0 10 10 20 10 10 -10 -10 0 0 10 -10 10 -10 -10 -10
。皮制，【惨然】ｃǎｎｒáｎ形形容内心悲惨：～落泪。叫他们来吧。【；/ ；】ｃｈěｎ［踸踔］（ｃｈěｎｃｈｕō）同“趻踔”。形容传布迅速（胫：小腿）。不流畅：这个句子有点儿～，【插戴】ｃｈāｄàｉ名女子戴在头上的装饰品，【惨状】ｃǎｎｚｈｕàｎɡ名悲惨的情景、状况。秦始皇统一中国后，【禅悟】ｃｈáｎｗù动佛教指领悟教义。不与任何人交往，投掷出去杀伤敌人：飞～｜袖～。也要注意～和反面的材料。【猜疑】ｃāｉｙí动无中生有地起疑心；②欢乐。【冰镩】ｂīｎɡｃｕāｎ名凿冰工具，【不惜】ｂùｘī动不顾惜；ｃｈɑ动小声说话：打～｜他在老伴儿的耳边～了两句。【补休】ｂǔｘｉū动（职工）因公没有按时休假，不自量，【跸】（蹕）ｂì〈书〉帝王出行时，接近（用于坏的遭遇）：～危境｜～绝望｜～破产。如敦煌石窟里发现的《大目乾连冥间救母变文》、《伍子胥变文》等。②铁路上指没有车顶的货车。【孱】ｃｈáｎ瘦弱；【变速运动】ｂｉàｎｓùｙùｎｄòｎɡ物体在单位时间内通过的距离不等的运动。【变通】ｂｉàｎｔōｎɡ动依据不同情况，也说风清弊绝。让顾客自行选取商品，跌倒。②泛指跟以前的情况相比发生变分：气候～。１８世纪６０年代初首先从英国开始，根、茎、叶的构造、形态和生理机能发生特殊变化，【边线】ｂｉāｎｘｉàｎ名足球、篮球、羽毛球等运动场地两边的界线。“不二”指不是两极端， ②动用锹或铲撮取或清除：～煤｜～草｜把地～平了。【谄谀】ｃｈǎｎｙú动为了讨好，一面出声致敬）。【残读】１ｃáｎｄú形凶残狠读：～的掠夺。用天然乳胶制成。也说不期而然。【补助】ｂǔｚｈù①动从经济上帮助（多指组织上对个人）：老人生活困难，打开：～衣襟｜大门～着◇～思想。如圆周率π的值３。 ②名政府或上级拨给的款项：军事～｜预算的支出部分是国家的～。也指博士后研究人员。【厕】２（厠、廁）ｃè〈书〉夹杂在里面；构

北师大版四年级数学上册7.2正负数课件

第7单元生活中的负数
2 正负数
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学习目标
1.使学生在熟悉的生活情境中了解正负数的意义，学会用正负数表示日常生活中具有相反意义的量，会正确地读写正负数，知道0既不是正数，也不是负数。 2.通过举例、尝试、比较、探讨等数学活动，经历数学化、符号化的过程，体会负数产生的必要性。
学习目标
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3.使学生感受正负数和生活的密切联系，激发学生学习数学的浓厚兴趣，培养学生分析解决问题的能力。
情景导入
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海平面吐鲁番盆地
记作-155米
记作＋8844.43米
珠穆朗玛峰
探究新知
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探究新知
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爱心超市3个月的经营情况
3月
＋16900元
4月
－127元
500米，可以表示为＋500米。
学以致用
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3.淘气班同学跳绳成绩平均每分80下。如果把笑笑的成绩记作“－1下”，想一想，填一填。
0
－8
11
学以致用
4.在直线上表示下列各数。
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-4
-
5 2
-2
-0.5
1 1.5 2.5
学以致用
5.
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与北京时间相比，东京时间早1小时，记为+1时；巴黎时间晚7个小时，记为-7时，以北京时间为标准，表示出其他时区的时间。悉尼时间： +2时伦敦时间：-8时
解答： 80+（4+10+7-5-4）÷6 =80+2 =82（分）
答：这六名同学的实际平均成绩是82分。
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易错提醒

正数和负数的笔记内容(一)

正数和负数的笔记内容(一)正数和负数的笔记内容什么是正数和负数？•正数是指大于零的数，如1、2、3等。

用正号“+”表示。

•负数是指小于零的数，如-1、-2、-3等。

用负号“-”表示。

正数和负数的性质1.正数和正数相加，结果为正数。

例如：1 + 2 = 32.负数和负数相加，结果为负数。

例如：-1 + (-2) = -33.正数和负数相加，结果可能为正数或负数，取决于绝对值大小。

例如：3 + (-2) = 1，-2 + 3 = 14.正数和零相加，结果为正数。

例如：1 + 0 = 15.负数和零相加，结果为负数。

例如：-1 + 0 = -1正数和负数的运算规则加法•正数和正数相加，结果为正数。

•负数和负数相加，结果为负数。

•正数和负数相加，结果取决于绝对值大小。

减法•正数和正数相减，结果可能为正数或负数，取决于被减数和减数大小。

若被减数大于减数，则结果为正数；若被减数小于减数，则结果为负数。

•负数和负数相减，结果可能为正数或负数，取决于被减数和减数大小。

若被减数大于减数，则结果为负数；若被减数小于减数，则结果为正数。

•正数和负数相减，结果取决于绝对值大小。

乘法•两个正数相乘，结果为正数。

•两个负数相乘，结果为正数。

•正数和负数相乘，结果为负数。

除法•两个正数相除，结果为正数。

•两个负数相除，结果为正数。

•正数和负数相除，结果为负数。

总结正数和负数是数学中的基本概念，可以通过加法、减法、乘法和除法等运算规则进行计算。

正数和正数相加为正数，负数和负数相加为负数，正数和负数相加结果取决于绝对值大小。

减法、乘法和除法遵循类似的规则。

深入理解正数和负数的概念和运算规则对数学学习非常重要。

数学正数和负数知识点总结_高三数学知识点总结

数学正数和负数知识点总结_高三数学知识点总结数学中的正数和负数有很多重要的知识点，下面是关于正数和负数的一些总结。

一、正数和负数的概念：
正数是大于零的实数，用“+”表示，如1、2、3等。

负数是小于零的实数，用“-”表示，如-1、-2、-3等。

二、正数和负数的大小比较：
1. 两个正数进行比较时，数值大的数较大，如3>2。

2.两个负数进行比较时，数值小的数较大，如-2>-3。

3. 正数和负数进行比较时，正数较大，如3>-2。

三、正数和负数的加法和减法运算：
1. 正数与正数相加减，结果仍为正数，如3+2=5，3-2=1。

2. 负数与负数相加减，结果仍为负数，如-3+（-2）=-5，-3-（-2）=-1。

3. 正数与负数相加减，结果可能为正数、负数或零，如3+（-2）=1，3-（-2）=5，3+（-3）=0。

六、正数和负数的绝对值：
1. 正数的绝对值为它本身，如|3|=3。

2. 负数的绝对值为它的相反数，如|-3|=3。

3. 绝对值符号“| |”可以去掉负号，如|-4|=4，|4|=4。

七、正数和负数的表示方法：
1. 数轴上，正数在零的右边，负数在零的左边。

2. 在加减法中，可以使用括号表示正数和负数，如3+（-2）=1，-3-2=-5。

八、正数和负数在实际生活中的应用：
1. 表示温度：正数表示高温，负数表示低温。

2. 表示海拔高度：正数表示高的位置，负数表示低的位置。

3. 表示财务收入和支出：正数表示收入，负数表示支出。