【精选】2019学年高中数学课时分层作业6椭圆的标准方程苏教版必修4练习

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2016-2017学年高中数学苏教版选修1-1学业分层测评2.2.1 椭圆的标准方程 Word版含解析

学业分层测评(六) 椭圆的标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.圆x225＋y216＝1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为________.【解析】设椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点分别为F1、F2，不妨令MF1＝4，由MF1＋MF2＝2a＝10，得MF2＝10－MF1＝10－4＝6. 【答案】 62.若a＝6，b＝35，则椭圆的标准方程是________.【解析】椭圆的焦点在x轴上时，方程为x236＋y235＝1，在y轴上时，方程为y236＋x235＝1.【答案】x236＋y235＝1或y236＋x235＝13.(2016·汉中高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项.该椭圆的方程是________.【解析】∵PF1＋PF2＝2F1F2＝2×4＝8，∴2a＝8，∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，∴椭圆方程是x216＋y212＝1.【答案】x216＋y212＝14.过(－3,2)点且与x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆方程为________.【解析】与x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆可设为x29－k＋y24－k＝1且k＜4，将(－3,2)代入得：k＝－6.【答案】x215＋y210＝15.把椭圆x216＋y29＝1的每个点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标缩短到原来的13，则所得曲线方程为________.【导学号：24830028】【解析】原方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝1，所得曲线为x 2＋y 2＝1.【答案】 x 2＋y 2＝16.椭圆4x 2＋9y 2＝1的焦点坐标是________.【解析】椭圆化为标准形式为x 214＋y 219＝1，∴a 2＝14，b 2＝19，∴c 2＝a 2－b 2＝14－19＝536，且焦点在x 轴上，故为⎝ ⎛⎭⎪⎫±56，0.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫±56，07.方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________.【解析】将方程化为x 22m ＋y21－m＝1，由题意得⎩⎨⎧2m >0，1－m >0，2m >1－m ，解之得13<m <1.【答案】 13<m <18.椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1→·PF 2→＝0，则△F 1PF 2的面积为________.【解析】 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22且PF 1＋PF 2＝2a . 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎨⎧PF 21＋PF 22＝64 ①PF 1＋PF 2＝10 ②②2－①，得2PF 1·PF 2＝102－64，∴PF 1·PF 2＝18，∴△F 1PF 2的面积为9. 【答案】 9 二、解答题9.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.【解】 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36. ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.10.已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程.【解】 (1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9. ∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15.故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.[能力提升]1.(2016·绵阳高二检测)设P 是椭圆x 216＋y 29 ＝1上的点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则PF 1·PF 2的最大值是________.【解析】由题意知：PF 1＋PF 2＝2a ＝8，所以PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16，当且仅当PF 1＝PF 2时取“＝”号，故PF 1·PF 2的最大值是16.【答案】 162.已知椭圆的两个焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得PQ ＝PF 2，那么动点Q 的轨迹是________.【解析】如图所示，因为P 是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知：PF 1＋PF 2＝2a 为常数.又因为PQ ＝PF 2，所以PF 1＋PQ ＝2a ，即QF 1＝2a 为常数.即动点Q 到定点F 1的距离为定值，所以动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，以2a 为半径的圆.故Q 的轨迹为圆.【答案】圆3.(2016·长沙高二检测)若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠F 1AF 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________.【解析】如图所示， F 1F 2＝22，AF 1＋AF 2＝6，由AF 1＋AF 2＝6，得AF 21＋AF 22＋2AF 1·AF 2＝36.又在△AF 1F 2中， AF 21＋AF 22－F 1F 22＝2AF 1·AF 2cos 45°，所以36－2AF 1·AF 2－8＝2AF 1·AF 2，所以AF 1·AF 2＝282＋2＝14(2－2)，所以S △AF 1F 2＝12AF 1·AF 2 sin 45°＝12×14(2－2)×22＝7(2－1).【答案】 7(2－1)4.已知点P (6,8)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2为椭圆的两焦点，若PF 1→·PF 2→＝0.试求(1)椭圆的方程. (2)求sin ∠PF 1F 2的值.【解】 (1)因为PF 1→·PF 2→＝0，所以－(c ＋6)(c －6)＋64＝0，所以c ＝10，所以F 1(－10,0)，F 2(10,0)，所以2a ＝PF 1＋PF 2＝(6＋10)2＋82＋(6－10)2＋82＝125，所以a ＝65，b 2＝80.所以椭圆方程为x 2180＋y 280＝1.(2)因为PF 1⊥PF 2，所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝12F 1F 2·y P ＝80，所以PF 1·PF 2＝160，又PF 1＋PF 2＝125，所以PF 2＝45，所以sin ∠PF 1F 2＝PF 2F 1F 2＝4520＝55.。

2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版选修1-1学案：第二章 2-2-1 椭圆的标准方程 -含答案

2.2.1椭圆的标准方程[学习目标] 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程[思考]121212件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之和等于F1F2时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在．(2)a，b的值及焦点所在的位置．题型一用待定系数法求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和是10； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝10，所以a ＝5.又因为c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.反思与感悟求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即先要判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪训练1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程．解方法一 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，12a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解．故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.题型二椭圆定义的应用例2 已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足PF 1＋PF 2＝2F 1F 2. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解 (1)依题意知F 1F 2＝2， PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4>2＝F 1F 2， ∴点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3，故所求点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设m ＝PF 1，n ＝PF 2，则m ＋n ＝2a ＝4.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2，∴4＝(m ＋n )2－2mn (1＋cos 120°)，解得mn ＝12. ∴S △12PF F ＝12mn sin ∠F 1PF 2＝12×12sin 120°＝3 3.反思与感悟在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多．要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把PF 1·PF 2看作一个整体来处理．跟踪训练2 如图所示，已知过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB 垂直于x轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点．求△AF 1B 的周长．解如题图所示，由题意知，点A ，B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以a ＝5，故有AF 1＋AF 2＝2a ＝10，BF 1＋BF 2＝2a ＝10， AF 2＋BF 2＝AB ，所以△AF 1B 的周长为AF 1＋BF 1＋AB ＝AF 1＋BF 1＋AF 2＋BF 2 ＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2) ＝2a ＋2a ＝20.题型三与椭圆有关的轨迹问题例3 已知B 、C 是两个定点，BC ＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．由BC ＝8可知点B (－4,0)，C (4,0)．由AB ＋AC ＋BC ＝18得AB ＋AC ＝10>8＝BC ，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．反思与感悟利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程．跟踪训练3 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．解如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ， ∴PB ＝r .又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距PA ＝10－r ，即PA ＋PB ＝10(大于AB ＝6)．∴圆心P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝AB ＝6.∴a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.分类讨论思想的应用例4 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点．P 为椭圆上的一点，已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，求PF 1PF 2的值．分析已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，并未指明哪个角是直角，由PF 1＞PF 2，知∠PF 2F 1＞∠PF 1F 2，因此∠PF 1F 2不会是直角，但是∠F 1PF 2与∠PF 2F 1都有可能为直角，故应分类讨论．解由题意，得PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝2 5. 根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF 2F 1为直角，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，即PF 21＝(6－PF 1)2＋20，解得PF 1＝143，PF 2＝43，故PF 1PF 2＝72；若∠F 1PF 2为直角，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22，即20＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2(由于PF 1＞PF 2，故舍去PF 1＝2，PF 2＝4)，故PF 1PF 2＝2.综上所述，PF 1PF 2的值为72或2.解后反思分类讨论思想在解决椭圆的有关问题时经常用到，如在求椭圆的标准方程时，常对焦点所在的坐标轴进行分类讨论．1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________．答案线段解析 ∵MF 1＋MF 2＝6＝F 1F 2， ∴动点M 的轨迹是线段．2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是________．答案 2解析由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1，又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k －1＝1，解得k ＝2.3．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2的面积为________．答案 6解析根据椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝8. 又PF 1－PF 2＝2，所以PF 1＝5，PF 2＝3. 而F 1F 2＝4，所以F 1F 22＋PF 22＝PF 21，所以△12pF F ∆2是直角三角形，则S △12pF F ∆＝12×3×4＝6.4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的__________条件．答案充要解析方程可化为x 21m ＋y 21n＝1.若m >n >0，则0<1m <1n ，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆．若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.5．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则PF 1·PF 2＝________. 答案 48解析依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，F 1F 2＝2c ＝10. 由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即PF 21＋PF 22＝100.又由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝14，所以(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝100，即196－2PF 1·PF 2＝100. 解得PF 1·PF 2＝48.1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即MF1＋MF2＝2a，当2a>F1F2时，轨迹是椭圆；当2a＝F1F2时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<F1F2时，轨迹不存在．2．求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的．。

2018-2019学年高一数学苏教版必修四课件：第2章 2.2.1 椭圆的标准方程

2 a ＝4，解得 2 b ＝1.
y2 2 故椭圆的标准方程为 4 ＋x ＝1. y2 2 综上，所求椭圆的标准方程为 4 ＋x ＝1.
法二：设所求椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0 且 m≠n)， 4n＝1，把 A、B 两点坐标代入得m ＋3n＝1， 4 m＝1， y2 2 解得故所求椭圆的标准方程为 4 ＋x ＝1. 1 n＝4，
y2 x2 法三：设椭圆的标准方程为a2＋ 2 ＝1(a>2)， a －4 25 9 3 5 4 4 ∵点－2，2在椭圆上，∴ a2 ＋ 2 ＝1， a －4 整理得 2a4－25a2＋50＝0， 5 解得 a ＝2(舍)，a2＝10，
2
y2 x2 ∴所求椭圆的标准方程为10＋ 6 ＝1.
[再练一题] 1．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)坐标轴为对称轴，并且经过两点
1 A(0,2)，B2， 3 .
x2 y2 [解] (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b 25 ＞0)，因为椭圆经过点(5,0)，所以 a2 ＝1，a2＝25，又 c＝4，b2＝a2－c2＝25－ x 2 y2 16＝9，所以椭圆方程为25＋ 9 ＝1.
y2 x2 ②若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)， 5 2 2 2 2＝1， a ＝6， y x 则有b 解得 2 故椭圆的标准方程为 6 ＋ 5 ＝1. 2 2 b ＝5. a － b ＝ 1 ， x2 y2 y2 x 2 故所求椭圆的方程是 5 ＋ 4 ＝1 或 6 ＋ 5 ＝1.
第 2章

2018_2019学年高中数学课时分层作业7椭圆的几何性质苏教版必修4

课时分层作业(七) 椭圆的几何性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．若椭圆x236＋y2a＝1(0＜a ＜36)的焦距为4，则a ＝________.[解析]∵0＜a ＜36，∴36－a ＝22，∴a ＝32.[答案]322．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是________.【导学号：71392069】[解析]方程可化为y225＋x29＝1，易知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以长轴长为10，短轴长为6，离心率为45.[答案]10,6，453．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1与椭圆x225＋y216＝1有相同的长轴，椭圆x2a2＋y2b2＝1的短轴长与椭圆y221＋x29＝1的短轴长相等，则a 2＝________，b 2＝________. [解析]因为椭圆x225＋y216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y221＋x29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.[答案]2594．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．[解析]由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x236＋y29＝1.[答案]x236＋y29＝15．椭圆x2m ＋y24＝1的离心率为12，则实数m 的值为________．[解析]当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，且m ＞4，则e 2＝c2a2＝1－b2a2＝1－4m ＝14，∴m ＝163；当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，且0＜m ＜4，则e 2＝c2a2＝1－b2a2＝1－m 4＝14，∴m ＝3.[答案]3或1636．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a ，0)，B (0，b )的直线的距离等于b 7，则椭圆的离心率为________.【导学号：71392070】[解析]由题意知直线AB 的方程为x －a ＋yb ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.左焦点为F (－c,0)，则|－cb ＋ab|a2＋b2＝b7.∴7(a －c )＝a2＋b2，∴7(a －c )2＝a 2＋b 2＝a 2＋a 2－c 2＝2a 2－c 2，即5a 2－14ac ＋8c 2＝0， ∴8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54.又∵0<e <1，∴e ＝12.[答案]127．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200 km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．图224[解析]可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得2a ＝1 700＋2×1 800＋200，∴a ＝2 750.又a ＋c ＝1 700＋1 800，∴c ＝750.∴e ＝c a ＝7502 750＝311.[答案]3118．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A ，B 两点，则弦长AB＝________.[解析]椭圆左焦点为(－2，0)，∴直线方程为y ＝33(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x ＋2)，x2＋2y2＝4得5x 2＋42x －8＝0，∴x 1＋x 2＝－425，x 1x 2＝－85，∴弦长AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4252－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－85＝165.[答案]165 [答案]165二、解答题9．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．[解] 令x ＝－c ，代入x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c2a2＝b4a2，∴y ＝±b2a .设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b2a ，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP＝k AB，∴－b2ac ＝－ba，∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5，∴所求椭圆的标准方程为x210＋y25＝1.。

2020学年高中数学课时分层作业6正弦函数的性质(含解析)北师大版必修4(2021-2022学年)

课时分层作业（六）正弦函数的性质（建议用时：60分钟)［合格基础练］一、选择题1.已知a∈R,函数f（ｘ)＝ｓiｎx+|a|－1，x∈R为奇函数,则a等于(）A.0B．１C．－1 Ｄ.±1Ｄ [由题意，得f(０)=0，即|a|-1=0，所以ａ＝±１，即当a=±1时,f(x)=sin x为R上的奇函数．]2．函数ｙ=4siｎx+3在[-π,π］上的递增区间为（ )Ａ。

错误!未定义书签。

B。

错误!C.错误!Ｄ。

错误!B [y=ｓiｎｘ的递增区间就是y＝4ｓin x+3的递增区间.]３.已知函数y=sｉn x，ｘ∈错误!,则y的取值范围是()A。

[-1，1]ﻩB。

错误!C.错误!未定义书签。

D。

错误!C［y＝sｉｎx在错误!上递增,在错误!未定义书签。

上递减,∴当x＝错误!未定义书签。

时,y max=１,当ｘ＝错误!时,y mｉn＝错误!，∴y∈错误!。

］4.函数y=２－ｓin ｘ的最大值及取最大值时x的值分别为（ )Ａ．y mａｘ＝3，ｘ=错误!Ｂ.y mａｘ=1，x=错误!未定义书签。

＋2ｋπ(k∈Z)Ｃ.y mａx＝３，x＝－错误!未定义书签。

+２ｋπ(k∈Ｚ)D．y max=3，x＝＼f(π,２）＋2kπ(k∈Z）ﻬＣ[当sｉn ｘ=－1即x＝-错误!未定义书签。

＋2kπ,ｋ∈Ｚ时,y mａx＝2-（-1)＝3.］5.函数y=｜ｓin x｜＋sinｘ的值域为（ )A.[-1，１]B.［-２，２]C．［－２，０］ﻩ D.［０,2］D[y=|sin x|+sin ｘ=错误!∴其值域为［0，２］．］二、填空题6．y=a＋b sin x的最大值是错误!未定义书签。

,最小值是-错误!未定义书签。

,则ａ＝_＿_＿＿_＿_，b=____＿＿_＿。

错误!未定义书签。

±1 ［若b〉０，由-１≤sin ｘ≤1知错误!解得错误!若ｂ〈0,则错误!未定义书签。

解得错误!]7．函数f(x)＝x3＋siｎｘ＋1，x∈R，若ｆ（a)=2，则f（-a)的值为__＿_＿___．0 [f(a）＝a3+sinａ＋1=2,所以a3+sinａ=1，f(-a)=（-a)3+sin(-a）+1＝-(ａ3＋sin a)＋1=－１+1＝０.]8．cｏｓ10°，sin 1１°,sｉn １68°从小到大的排列顺序是＿_＿＿＿___．siｎ11°＜sin 1６8°＜ｃos 1０° ［因为sin 168°=sｉｎ（18０°－12°)=ｓiｎ１2°，cos 10°=cｏs(９０°－80°）=ｓｉn80°，当0°≤x≤90°时，正弦函数y＝ｓｉn x是增函数,因此sｉn 1１°<sin 12°＜ｓin 80°,即siｎ 1１°<sｉn １6８°＜ｃos １０°。

2019学年高中数学学业分层测评12 圆、椭圆的参数方程的应用苏教版选修4-4

学业分层测评(十二) 圆、椭圆的参数方程的应用(建议用时：45分钟)[学业达标]1．当x 2＋y 2＝4时，求u ＝x 2＋23xy －y 2的最值．【解】设⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ<2π)，于是u ＝x 2＋23xy －y 2＝4cos 2θ＋83cos θsin θ－4sin 2θ＝4cos 2θ＋43sin 2θ＝8sin(2θ＋π6)．所以，当θ＝π6，x ＝3，y ＝1时，或θ＝7π6，x ＝－3，y ＝－1时，u max ＝8；当θ＝2π3，x ＝－1，y ＝3时，或θ＝5π3，x ＝1， y ＝－3时，u min ＝－8.2．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．【解】令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)(tan φ＝2)．∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.3．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【导学号：98990037】【解】直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋32s ，y ＝12s(s 为参数)，曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.将直线的参数方程代入上式，得s 2－63s ＋10＝0.设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2，∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10.AB ＝|s 1－s 2|＝s 1＋s 22－4s 1s 2＝217.4．已知A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解】设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，A (a,0)，设P (a cos θ，b sin θ)是椭圆上一点，则AP →＝(a cos θ－a ，b sin θ)，OP →＝(a cos θ，b sin θ)，由于∠OPA ＝90°，所以AP →·OP →＝0，即(a cos θ－a )a cos θ＋b 2sin 2θ＝0， a 2(cos 2θ－cos θ)＋b 2sin 2θ＝0，a 2cos θ(cos θ－1)＋b 2(1＋cos θ)(1－cos θ)＝0.因为P 与A 不重合，所以cos θ－1≠0，则a 2cos θ＝b 2(1＋cos θ)， b 2a 2＝cos θ1＋cos θ， c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－cos θ1＋cos θ＝11＋cos θ. 因为θ∈(0，π2)∪(32π，2π)，所以c 2a 2∈(12，1)，e ∈(22，1)． 5．已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：OP ·OQ 为定值．【证明】设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)， B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即OP ＝|2cos φ1＋sin φ|. MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ. ∴OQ ＝|2cos φ1－sin φ|. ∴OP ·OQ ＝|2cos φ1＋sin φ|×|2cos φ1－sin φ|＝4. 即OP ·OQ ＝4为定值．6．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解】 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎨⎧ y ＝3x －，x 2＋y 2＝1.解得C 1与C 2的交点为(1,0)，(12，－32)． (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)， P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116，故P 点的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆． 7．求椭圆C ：x 216＋y 29＝1上的点P 到直线l ：3x ＋4y ＋18＝0的距离的最小值．【解】设点P 的坐标为(4cos θ，3sin θ)，其中θ∈[0,2π)，则点P 到直线l 的距离d ＝|12cos θ＋12sin θ＋18|5＝|122θ＋π4＋18|5＝122θ＋π4＋185≥－122＋185，当sin(θ＋π4)＝－1时，等号成立．因为θ∈[0,2π)，所以θ＝5π4. 所以当θ＝5π4时，d 取得最小值18－1225. [能力提升]8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θy ＝sin θ，其中θ为参数．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos(θ＋π3)＝3 6.求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值．【解】直线l 的普通方程为：x －3y －36＝0，设椭圆C 上的点到直线l 距离为d . d ＝|3cos θ－3sin θ－36|2＝6θ－π4＋362 ∴当sin(θ－π4)＝1时，d max ＝26，当sin(θ－π4)＝－1时，d min ＝ 6.。

2019高中数学课时分层作业6 椭圆及其标准方程新人教A版选修1-1

课时分层作业(六) 椭圆及其标准方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标为( )A ．(5,0)，(－5,0)B ．(0,5)，(0，－5)C ．(0,12)，(0，－12)D ．(12,0)，(－12,0)C [c 2＝169－25＝144.c ＝12，故选C.]2．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( ) A ．x 2＋y 225＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对A [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝125.∴椭圆的方程为x 2＋y 225＝1.]3．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )【导学号：97792056】A ．5B ．4C ．3D ．1B [由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线B [|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝12(|MF 1|＋|MF 2|)＝a >|F 1O |，因此点P 的轨迹是椭圆．]5．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2) D [由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a －＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D.] 二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________.【导学号：97792057】x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3a －c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.3 [依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3.]8．已知P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程是________．(x ＋1)2＋y 2＝16 [如图，依题意，|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a 是常数且a ＞0)．又|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .由题意知，a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. ∴|QF 1|＝4，F 1(－1,0)，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，4为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程是(x ＋1)2＋y 2＝16.] 三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4， ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点， ∴324＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知点A (0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM |＝|PA |，求动点P 的轨迹方程.【导学号：97792058】[解] 因为|PM |＝|PA |，|PM |＋|PO 1|＝4，所以|PO 1|＋|PA |＝4，又因为|O 1A |＝23<4，所以点P 的轨迹是以A ，O 1为焦点的椭圆，所以c ＝3，a ＝2，b ＝1. 所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.[能力提升练]1．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x轴的距离为( )A.233 B.263C.33D. 3C [设M (x 0，y 0)，由F 1(－3，0)，F 2(3，0)得MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，由MF 1→·MF 2→＝0得x 20＋y 20＝3，又x 204＋y 20＝1，解得y 0＝±33. 即点M 到x 轴的距离为33，故选C.] 2.如图213，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．图213x 28＋y 22＝1 [设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ， ∴|BF |＝a .∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b .∴S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，解得b 2＝2，则a ＝2b ＝2 2. ∴所求椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.]3．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________.【导学号：97792059】k ＝132 [易知k >0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k＝1，所以1k －12k ＝16，解得k ＝132.] 4．如图214所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.图21423 [设正三角形POF 2的边长为c ，则34c 2＝3，解得c ＝2，从而|OF 2|＝|PF 2|＝2，连接PF 1(略)，由|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |知，PF 1⊥PF 2 则|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝42－22＝2 3 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝23＋2，即a ＝3＋1 所以b 2＝a 2－c 2＝(3＋1)2－4＝2 3.]5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点(如图215所示)，∠F 1F 2B ＝2π3，△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍．若|AB |＝152，求椭圆C 的方程．图215[解] 由题意可得S △F 1F 2A ＝2S △F 1F 2B ， ∴|F 2A |＝2|F 2B |，由椭圆的定义得 |F 1B |＋|F 2B | ＝|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，设|F 2A |＝2|F 2B |＝2m ，在△F 1F 2B 中，由余弦定理得(2a －m )2＝4c 2＋m 2－2·2c ·m ·cos 2π3⇒m ＝a 2－c 22a ＋c.在△F 1F 2A 中，同理可得m ＝a 2－c 22a －c，所以a 2－c 22a ＋c ＝a 2－c 22a －c，解得2a ＝3c ，可得m ＝5c 8，|AB |＝3m ＝15c 8＝152，c ＝4.由c a ＝23，得a ＝6，b 2＝20，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 220＝1.。

2021学年高中数学课时分层作业6椭圆的标准方程苏教版必修4

课时分层作业(六) 椭圆的标准方程(建议用时：40分钟)[根底达标练]一、填空题1．点P 为椭圆x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，假设∠F 1PF 2为直角，那么PF 1·PF 2＝________.[解析] 由∠F 1PF 2为直角得PF 21＋PF 22＝F 1F 22.由椭圆方程得a 2＝49，b 2＝24，所以2PF 1·PF 2＝(PF 1＋PF 2)2－(PF 21＋PF 22)＝(2a )2－(2c )2＝4(a 2－c 2)＝4b 2，所以PF 1·PF 2＝2b 2＝2×24＝48.[答案] 482．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，那么m 的值为________．[解析] ∵2c ＝2，∴c ＝1，∴m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝3或5. [答案] 3或53．设F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 225＝1(a >5)的两个焦点，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，那么△ABF 2的周长为________．[解析] 易知|F 1F 2|＝8＝2c ，即c ＝4，∴a 2＝25＋16＝41，∴a ＝41，因为弦AB 过点F 1，所以△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝AF 1＋AF 2＋BF 1＋BF 2＝4a ＝441.[答案] 4414．假设方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是________.【导学号：71392060】[解析] ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1. [答案] (0,1)5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，点P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，那么△PF 1F 2是________三角形(填“直角〞“锐角〞或“钝角〞)[解析] 不妨设PF 1>PF 2，由条件知PF 1－PF 2＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ＝8，解得PF 1＝5，PF 2＝3.又∵F 1F 2＝2c ＝216－12＝4，∴F 1F 22＋PF 22＝PF 21，故△PF 1F 2是直角三角形． [答案] 直角6．设F 1，F 2是椭圆4x 249＋y26＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，那么△PF 1F 2的面积为________．[解析] 根据椭圆定义有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，|PF 1|＋|PF 2|＝7，因此|PF 1|＝4，|PF 2|＝3.又因为|F 1F 2|＝5，因此△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12×3×4＝6.[答案] 67．过点(3，－5)且与椭圆y 225＋x 29＝1有一样焦点的椭圆的标准方程为________.【导学号：71392061】[解析] 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.[答案]y 220＋x 24＝1 8．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．[解析] 设椭圆的另一焦点为F 2，由条件可知PF 2∥OM ，∴PF 2⊥x 轴．设P 点纵坐标为y ，那么由x 212＋y 23＝1，得y ＝±32， ∴点M 的纵坐标为±34. [答案] ±34二、解答题9．F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，假设△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．[解] 如下图，PF 1⊥PF 2，F 1F 2＝2c ，根据椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝2a ，在Rt△F 1PF 2中，PF 21＋PF 22＝4c 2.又S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝9，即PF 1·PF 2＝18.∴(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4c 2＋36＝4a 2， ∴4a 2－4c 2＝36，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，∴b ＝3. 10．求符合以下条件的参数的值或取值范围．(1)假设方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，求k 的取值范围； (2)假设椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，7)，求k 的值.【导学号：71392062】[解] (1)原方程可化为x 22＋y 22k＝1.∵其表示焦点在x 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k<2，解得kk 的取值范围是(1，＋∞)．(2)原方程可化为x 21k 2＋y 28－k＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－8k >0，－8k >1k 2，－8k －1k 2＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k <－18，k ＝－1或k ＝－17.故k 的值为－1或－17.[能力提升练]1．在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，那么sin A ＋sin Csin B的值为________．[解析] 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x 轴上，且半焦距c ＝a 2－b 2＝25－9＝4,2a ＝10.∴A (－4,0)和C (4,0)是椭圆的左、右焦点． ∵点B 在椭圆上， ∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10， ∴sin A ＋sin C sin B ＝2R sin A ＋2R sin C2R sin B＝|BC |＋|BA ||AC |＝108＝54(R 为△ABC 外接圆的半径)．[答案] 542．点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与x 轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，那么椭圆的方程为________．[解析] 由题意知椭圆焦点在x 轴上，设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12.故所求方程为x 216＋y 212＝1.[答案]x 216＋y 212＝1 3．“mn >0〞是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆〞的________条件．[解析] 由方程mx 2＋ny 2＝1，得x 21m＋y 21n＝1，所以要使方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆，那么⎩⎪⎨⎪⎧1m >0，1n >0，m ≠n ，即m >0，n >0且m ≠n .所以“mn >0〞是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆〞的必要不充分条件．[答案] 必要不充分4．椭圆的标准方程为x 225＋y 2m2＝1(m >0)，焦距为6，求实数m 的值.【导学号：71392063】[解] ①当椭圆焦点在x 轴上时，由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m2＝1(m >0)，得a 2＝25，b 2＝m 2，所以m 2＝25－9＝16. 因为m >0，所以m ＝4.②当椭圆焦点在y 轴上时，由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m2＝1(m >0)，得a 2＝m 2，b 2＝25，所以m 2＝25＋9＝34. 因为m >0，所以m ＝34.综上所述，实数m 的值为4或34.。

K12推荐学习(江苏专用)2018-2019学年高中数学课时分层作业6 椭圆的标准方程苏教版选修

课时分层作业(六) 椭圆的标准方程(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、填空题1．圆x 225＋y 216＝1上一点M 到一个焦点的距离为4，则M 到另一个焦点的距离为________.【导学号：95902082】【解析】设椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，不妨令MF 1＝4，由MF 1＋MF 2＝2a ＝10，得MF 2＝10－MF 1＝10－4＝6. 【答案】 62．若a ＝6，b ＝35，则椭圆的标准方程是________．【解析】椭圆的焦点在x 轴上时，方程为x 236＋y 235＝1，在y 轴上时，方程为y 236＋x 235＝1.【答案】x 236＋y 235＝1或y 236＋x 235＝13．已知椭圆的两焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，P 为椭圆上的一点，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项．该椭圆的方程是________.【导学号：95902083】【解析】 ∵PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×4＝8，∴2a ＝8，∴a ＝4， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12，∴椭圆方程是x 216＋y 212＝1.【答案】x 216＋y 212＝1 4．过(－3,2)点且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程为________．【解析】与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆可设为x 29－k ＋y 24－k ＝1且k ＜4，将(－3,2)代入得：k ＝－6.【答案】x 215＋y 210＝1 5．把椭圆x 216＋y 29＝1的每个点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标缩短到原来的13，则所得曲线方程为________.【导学号：95902084】【解析】原方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝1，所得曲线为x 2＋y 2＝1.【答案】 x 2＋y 2＝16．椭圆4x 2＋9y 2＝1的焦点坐标是________．【解析】椭圆化为标准形式为x 214＋y 219＝1，∴a 2＝14，b 2＝19，∴c 2＝a 2－b 2＝14－19＝536，且焦点在x 轴上，故为⎝ ⎛⎭⎪⎫±56，0. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫±56，0 7．方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．【解析】将方程化为x 22m ＋y21－m＝1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m >0，1－m >0，2m >1－m ，解之得13<m <1.【答案】 13<m <18．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1→·PF 2→＝0，则△F 1PF 2的面积为________.【导学号：95902085】【解析】 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22且PF 1＋PF 2＝2a .又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧PF 21＋PF 22＝64 ①PF 1＋PF 2＝10 ②②2－①，得2PF 1·PF 2＝102－64，∴PF 1·PF 2＝18， ∴△F 1PF 2的面积为9. 【答案】 9 二、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.【解】 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36. ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1. 10．已知椭圆8x 281＋y236＝1上一点M 的纵坐标为2.(1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程.【导学号：95902086】【解】 (1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15.故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.[能力提升练]1．在平面直角坐标xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B的值为__________．【解析】由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x 轴上，且半焦距c ＝a 2－b 2＝25－9＝4,2a ＝10，所以A (－4，0)和C (4,0)是椭圆的左、右焦点．因为点B 在椭圆上，所以|BA |＋|BC |＝2a ＝10，所以sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝108＝54.【答案】 542．已知椭圆的两个焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得PQ ＝PF 2，那么动点Q 的轨迹是________.【导学号：95902087】【解析】如图所示，因为P 是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知：PF 1＋PF 2＝2a 为常数．又因为PQ ＝PF 2，所以PF 1＋PQ ＝2a ，即QF 1＝2a 为常数．即动点Q 到定点F 1的距离为定值，所以动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，以2a 为半径的圆．故Q 的轨迹为圆．【答案】圆3．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠F 1AF 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为________．【解析】如图所示， F 1F 2＝22，AF 1＋AF 2＝6，由AF 1＋AF 2＝6，得AF 21＋AF 22＋2AF 1·AF 2＝36.又在△AF 1F 2中，AF 21＋AF 22－F 1F 22＝2AF 1·AF 2cos 45°，所以36－2AF 1·AF 2－8＝2AF 1·AF 2，所以AF 1·AF 2＝282＋2＝14(2－2)，所以S △AF 1F 2＝12AF 1·AF 2 sin 45°＝12×14(2－2)×22＝7(2－1)．【答案】 7(2－1)4．已知点P (6,8)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2为椭圆的两焦点，若PF 1→·PF 2→＝0.试求(1)椭圆的方程． (2)求sin∠PF 1F 2的值.【导学号：95902088】【解】 (1)因为PF 1→·PF 2→＝0，所以－(c ＋6)(c －6)＋64＝0，所以c ＝10，所以F 1(－10,0)，F 2(10,0)，所以2a ＝PF 1＋PF 2＝＋2＋82＋－2＋82＝125，所以a ＝65，b 2＝80.所以椭圆方程为x 2180＋y 280＝1.(2)因为PF 1⊥PF 2，所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝12F 1F 2·y P ＝80，所以PF 1·PF 2＝160，又PF 1＋PF 2＝125，所以PF 2＝45，所以sin∠PF 1F 2＝PF 2F 1F 2＝4520＝55.。

高中数学椭圆及其标准方程解析几何同步练习4 苏教版选修2-1

解析几何同步练习（椭圆及其标准方程）知识要点： ① 定义：()||22||||2121F F a a PF PF >=+；② 标准方程：()012222>>=+b a b y a x ；()012222>>=+b a bx a y 。

一、选择题1、椭圆122x +32y =1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的 [ ]A.4倍B.5倍C.7倍D.3倍2.已知圆O ：422=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段1PP （1P 在y 轴上），M 在直线1PP 上且P P 112=，则动点M 的轨迹方程是 [ ] A.4x 2+16y 2=1 B.16x 2+4y 2=1 C.42x +16y =1 D.162x +42y =1 3.椭圆252x +92y =1上一点P 到两焦点距离之积为m ，则m 取最大值时P 点坐标为[ ] A.（5，0）或（-5，0） B.（25，233）或（25，-233） C.（0，3）或（0，-3） D.(235,23)或（-235，-23） 4.椭圆162x +92y =1的左右焦点分别是21,F F ，点P 在椭圆上，若P,21,F F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 [ ] A 59 B 3 C 779 D 49二、填空题5．椭圆的两焦点为)0,4(1-F ，)0,4(2F ，过F 1作弦AB ，且2ABF ∆的周长为20，则此椭圆的方程为6.已知圆C:25)1(22=++y x 及点)0,1(A ，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则M 点的轨迹方程为 7.设椭圆的方程为12222=+b y ax )0(>>b a ，椭圆与Y 轴正半轴的一个交点B 与两焦点21,F F 组成的三角形的周长为324+，且3221π=∠BF F ，则此椭圆的方程为。

苏教版高中数学必修4版学业分层测评11.docx

学业分层测评(十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．【解析】 y ＝cos x ―――――――――――――→ 横坐标变为原来的2倍y ＝cos 12x .【答案】122．将y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为________．【解析】 y ＝cos 2x →y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3.【答案】 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π33．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3向右平移________个单位长度得到y ＝sin x 的图象. 【导学号：48582053】【解析】 y ＝sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象变换为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图象应向右平移π6个单位．【答案】π64．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．【答案】 y ＝cos 2x ＋1 5．某同学给出了以下论断： ①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．【解析】由图象平移变换可知①③正确．【答案】 ①③6．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－2，⎝⎛⎭⎪⎫5π6，0，则ω＝________.【解析】周期T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴2πω＝π，ω＝2.【答案】 27．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是________．【解析】 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6化为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，相位x ＋5π6，初相5π6.【答案】 x ＋5π6，5π68．设ω>0，函数y ＝sin ωx ＋π3＋2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为________．【解析】由题意知4π3是函数周期的整数倍，又ω>0， ∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )， ∴ω的最小值为32.【答案】32二、解答题9．用“五点法”画函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的图象. 【导学号：48582054】【解】 ①列表：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0. ③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的简图，如图所示．10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x (x ∈R )．(1)求f (x )的单调减区间．(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)【解】 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π(k ∈Z )， ∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )．(2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12. ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度即可． [能力提升]1．将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象，则f (x )＝________.【解析】将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象向左平移π3个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π4＝2sin4x ＋13π12的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1的图象，即f (x )＝2sin4x ＋13π12－1. 【答案】 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1 2．某同学用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内简图时，列表如下：【解析】由表格得A ＝2，34π－π12＝2πω，∴ω＝3，∴ωx ＋φ＝3x ＋φ. 当x ＝π12时，3x ＋φ＝π4＋φ＝0，∴φ＝－π4. 【答案】 2 3 －π43．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象上的所有点的________．①横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度；②横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度；③横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度； ④横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度．【答案】 ②4．已知f (x )＝2sin 2x ，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值. 【导学号：48582055】【解】 f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。

2018-2019学年高一数学苏教版必修4学业分层测评 1.3.3.1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

学业分层测评(十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．【解析】 y ＝cos x ―――――――――→横坐标变为原来的2倍y ＝cos 12x .【答案】 122．将y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为________．【解析】 y ＝cos 2x →y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3.【答案】 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π33．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3向右平移________个单位长度得到y ＝sin x 的图象．【解析】 y ＝sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象变换为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图象应向右平移π6个单位．【答案】 π64．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．【解析】 y ＝sin 2xy ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ―――→向上平移1个单位y ＝cos 2x ＋1.【答案】 y ＝cos 2x ＋1 5．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．【解析】由图象平移变换可知①③正确．【答案】 ①③6．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，则ω＝________.【解析】周期T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴2πω＝π，ω＝2.【答案】 27．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是________．【解析】 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6化为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，相位x ＋5π6，初相5π6. 【答案】 x ＋5π6，5π68．(2016·南京高一检测)设ω>0，函数y ＝sin ωx ＋π3＋2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为________．【解析】由题意知4π3是函数周期的整数倍，又ω>0， ∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ω的最小值为32. 【答案】 32 二、解答题9．用“五点法”画函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的图象.【导学号：06460032】【解】 ①列表：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0. ③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的简图，如图所示．10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x (x ∈R )．(1)求f (x )的单调减区间．(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可) 【解】 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π(k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )．(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12.∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度即可．[能力提升]1．将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象，则f (x )＝________.【解析】将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象向左平移π3个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π4＝2sin4x ＋13π12的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1的图象，即f (x )＝2sin4x ＋13π12－1.【答案】 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1 2．某同学用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内简图时，列表如下：则A ＝【解析】由表格得A ＝2，34π－π12＝2πω， ∴ω＝3，∴ωx ＋φ＝3x ＋φ.当x ＝π12时，3x ＋φ＝π4＋φ＝0，∴φ＝－π4. 【答案】 2 3 －π43．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象上的所有点的________．①横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度； ②横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度； ③横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度； ④横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度．【解析】 y ＝2cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2.法一：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin 2(x ＋π8)y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2――――→横坐标缩短为原来的12y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. 法二：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4―――――→横坐标缩短为原来的12y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2.【答案】 ②4．已知f (x )＝2sin 2x ，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．【解】 f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.g (x )＝0⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒ x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。

苏教版高中数学(选修1-1)课时分层作业7：椭圆的几何性质(含答案)

课时分层作业(七) 椭圆的几何性质(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、填空题1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，焦距为2，则C 的方程为__________.【解析】根据已知条件知c a ＝12，又2c ＝2，得a ＝2，又b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.【答案】x 24＋y 23＝1 2．设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆的一个交点为M ，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为________．【解析】由题意知圆F 2的半径为c ，在Rt△MF 1F 2中， |MF 2|＝c ，|MF 1|＝2a －c ，|F 1F 2|＝2c 且MF 1⊥MF 2.所以(2a －c )2＋c 2＝4c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，∴e ＝ca＝3－1. 【答案】3－13．直线y ＝k (x －2)＋1与椭圆x 216＋y 29＝1的位置关系是________.【解析】直线y ＝k (x －2)＋1过定点P (2,1)，将P (2,1)代入椭圆方程，得416＋19＜1，∴P (2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．【答案】相交4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________．【解析】根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. 【答案】x 23＋y 22＝15．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________. 【解析】 ∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4，又∵a2－1>0，∴a 2>1，∴1<a ≤2，故长轴长2<2a ≤4.【答案】 (2,4]6．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆方程为________．【解析】因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12，c a ＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，c ＝2，由a 2＝b 2＋c 2，得b 2＝32.故椭圆的方程为：y 236＋x 232＝1.【答案】y 236＋x 232＝1 7．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________.【解析】如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y23＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴S ＝12×3×2＝3.【答案】 38．已知椭圆方程是x 29＋y 24＝1，则以A (1,1)为中点的弦MN 所在的直线方程为________．【解析】方法一：易知直线MN 的斜率存在，设为k ，则其直线方程为y －1＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，x 29＋y24＝1，得(4＋9k 2)x 2－18k (k －1)x ＋9k 2－18k －27＝0，又设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程的两个根，于是x 1＋x 2＝18k k －14＋9k 2＝2，解得k ＝－94，则所求的直线方程为y －1＝－49(x －1)，即4x ＋9y －13＝0.方法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 219＋y 214＝1 ①x 229＋y 224＝1 ②①－②得x 1＋x 2x 1－x 29＝－y 1＋y 2y 1－y 24∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4x 1＋x 29y 1＋y 2＝－4×29×2＝－49. ∴直线l 的方程为y －1＝－49(x －1)，即4x ＋9y －13＝0.【答案】 4x ＋9y －13＝0 二、解答题9．(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率．(2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．【解】 (1)由题意得：b ＝c ，∴e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝c 22c 2＝12，∴e ＝22.(2)由题意得：2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2. 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2，即3a 2－2ac －5c 2＝0，∴3－2·c a －5·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝0，即5·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2·c a －3＝0，∴e ＝c a ＝35.10．过椭圆x 216＋y 24＝1内点M (2,1)引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线的方程.【解】方法一：依题意，该直线l 的斜率存在．设所求直线方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程的两个根，于是x 1＋x 2＝82k 2－k 4k 2＋1.又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝42k 2－k 4k 2＋1＝2，解之得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，M (2,1)为AB 的中点．∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A 、B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2＝－12，即k AB ＝－12.故所求直线方程为x ＋2y －4＝0.[能力提升练]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO＝90°，则椭圆离心率为__________．【解析】令右焦点为F ′，连结BF ′，由题意得A (－a,0)，B (0，b )，F ′(c,0)，由椭圆的对称性知∠BFO ＝∠BF ′O ，又∠BAO ＋∠BFO ＝90°，所以∠BAO ＋∠BF ′O ＝90°，∴AB →·BF ′→＝0，∴(a ，b )·(c ，－b )＝ac －b 2＝ac －a 2＋c 2＝0，得e 2＋e －1＝0，求得e ＝5－12. 【答案】5－122.如图223，P 是椭圆x 225＋y 216＝1在第一象限上的动点，F 1，F 2是椭圆的焦点，M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点，且F 2M →·MP →＝0，则OM 的取值范围是________.图223【解析】延长 F 2M 交PF 1于点N ，由已知条件可知OM ＝12NF 1＝12(PF 1－PF 2)＝a －PF 2，而a －c <PF 2<a ，所以OM ∈(0，c )，即OM ∈(0,3)．【答案】 (0,3)3．已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为________．【解析】设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0，∴2x 1－x 29＝－4y 1－y 29，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 【答案】－124.如图224，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (3,1)在椭圆上，△PF 1F 2的面积为2 2.图224(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点Q 在椭圆C 上，且∠F 1QF 2＝π3，求QF 1·QF 2的值；(3)设直线y ＝x ＋k 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值.【解】 (1)∵椭圆过点P (3,1)， ∴9a 2＋1b2＝1.又S △PF 1F 2＝12×2c ×1＝22，解得c ＝2 2.又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝12，b 2＝4， ∴椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)当∠F 1QF 2＝π3时，有⎩⎪⎨⎪⎧QF 1＋QF 2＝2a ＝43，QF 21＋QF 22－2QF 1·QF 2cos π3＝2c 2＝32，∴QF 1·QF 2＝163.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 24＝1，y ＝x ＋k ，得4x 2＋6kx ＋3k 2－12＝0.故x 1＋x 2＝－3k 2，x 1x 2＝3k 2－124，y 1y 2＝k 2－124.∵以AB 为直径的圆经过坐标原点，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－6＝0解得k ＝±6， ∴此时Δ＝120＞0，满足条件，因此k ＝± 6.。

2019-2020学年高中数学课时分层作业19圆的标准方程含解析苏教版必修

课时分层作业(十九)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29 B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29 C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116 D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝116B [圆心为线段AB 的中点(1，－3)，半径为|AB |2＝12×（6＋4）2＋（－1＋5）2＝29，所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝29.]2．点P (a ，10)与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外D ．不确定C [∵(a －1)2＋(10－1)2＝81＋(a －1)2>2. ∴P 点在圆外．]3．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0D [圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0，3)，因为l 与x ＋y ＋1＝0垂直，所以l 斜率为1，故l 方程为y －3＝x －0，即x －y ＋3＝0.]4．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [由题意，知(－a ，－b )为圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心．由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得到a <0，b >0，即－a >0，－b <0，故圆心位于第四象限．]5．方程|x |－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆 D ．两个半圆D [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（|x |－1）2＋（y －1）2＝1，（|x |－1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1，x ≥1 或⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1，故原方程表示两个半圆．] 二、填空题6．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0，0)对称的圆的方程为________．(x －2)2＋y 2＝5 [已知圆的圆心为(－2，0)，它关于P (0，0)的对称点为(2，0)，所以关于P 对称的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.]7．直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是__________．相交 [∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0，1)，又点(0，1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．]8．若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为__________．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 [圆的方程化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，∵过点A (a ，a )可作圆的两条切线， ∴点A (a ，a )在圆外，可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a 2>3－2a ，解得a <－3或1<a <32.]三、解答题9．已知平面直角坐标系中有四个点A (0，1)，B (2，1)，C (3，4)，D (－1，2)，这四个点能否在同一个圆上？为什么？[解] 设经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．代入三点的坐标得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋（b －1）2＝r 2，（a －2）2＋（b －1）2＝r 2，（a －3）2＋（b －4）2＝r 2，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r 2＝5，所以经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 将D 点坐标代入圆的标准方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5，所以点D 在圆上，所以A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上． 10．已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.(1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] (1)原方程表示以点(2，0)为圆心，以3为半径的圆，设y x＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.故y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2± 6.故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.[等级过关练]1．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1C [由圆(x －1)2＋y 2＝1得圆心C 1(1，0)，半径长r 1＝1，设圆心C 1(1，0)关于直线y ＝－x 对称的点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b a －1·（－1）＝－1，－a ＋12＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.]2．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A ．2 B ．1 C. 3D. 2B [x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与原点(0，0)间的距离的平方，由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.]3．若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为__________________．(x －2)2＋(y ±3)2＝4 [设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋b 2＝r 2，（3－a ）2＋b 2＝r 2，|a |＝r ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝±3，r ＝2，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.]4．已知实数x ，y 满足y ＝9－x 2，则t ＝y ＋3x ＋1的取值范围是______________． ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ [y ＝9－x 2表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率．如图，A (－1，－3)，B (3，0)，C (－3，0)，则k AB ＝34，k AC ＝－32，∴t ≤－32或t ≥34.]5．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD 为6 3 m ，行车道总宽度BC 为211 m ，侧墙EA ，FD 高为2 m ，弧顶高MN 为5 m.(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．[解] (1)以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系．(略)则有E (－33，0)，F (33，0)，M (0，3)．由于所求圆的圆心在y 轴上，所以设圆的方程为(x －0)2＋(y －b )2＝r 2， ∵F (33，0)，M (0，3)都在圆上，∴⎩⎨⎧（33）2＋b 2＝r 2，02＋（3－b ）2＝r 2，解得b＝－3，r2＝36.所以圆的方程是x2＋(y＋3)2＝36.(2)设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P(略)，则|CP|＝h＋0.5.将点P的横坐标x＝11代入圆的方程，得112＋(y＋3)2＝36，解得y＝2，或y＝－8(舍)．所以h＝|CP|－0.5＝(y＋|DF|)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．即车辆的限制高度为3.5 m.。

高中数学苏教版 3.1 椭圆课后练习、课时练习

一、单选题1. 篮球在阳光下的投影是椭圆形状.已知太阳光线与水平面的夹角为，篮球在水平面投影的边界线为椭圆，则该椭圆的离心率为（）C．D．A．B．2. 已知A，B是椭圆长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（）A．B．D．C．3. 已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（）A．B．C．D．4. 已知曲线表示焦点在y轴的椭圆，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．5. 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆：上，且其中恰有两个顶点为的顶点．这样的等腰三角形的个数为（）A．8 B．12 C．16 D．206. 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是（）A．B．C．D．二、多选题7. 已知过点的直线与椭圆交于、两点，则弦长可能是（）A．1 B．C．D．38. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（）B．的周长为4A．椭圆的离心率为C．若，则的面积D．若，则为3三、填空题9. 已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，过点的直线交椭圆于A，B两点，则的内切圆面积的最大值为___________.10. 直线与焦点在y轴上的椭圆总有两个公共点，则实数m的取值范围是____.11. 设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则________.12. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆上任意一点，且的取值范围为.当点不在轴上时，设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的最大值为__________.四、解答题13. 已知椭圆的离心率为，右焦点为．(1)求椭圆方程；(2)过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与直线交于点，为等边三角形，求直线的方程．14. 在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．15. 已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求椭圆的标准方程与焦距；(2)若直线与椭圆交于两点，记线段AB的中点为，证明：．16. 已知椭圆过点，过其右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且．(1)求椭圆C的方程；(2)若矩形满足各边均与椭圆C相切，求该矩形面积的最大值，并说明理由．。