浙江省2020年高考数学压轴卷(含解析)
【高中高考数学压轴题预测题-浙江省1】2020年高考数学计算题大题-含详细解析答案、可编辑
【高中高考数学压轴题预测题-浙江省1】2020年高考数学计算题大题-含详细解析答案、可编辑学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、解答题（本题共计 40 小题，每题 3 分，共计120分，）1. 已知实数a≠0，设函数f(x)=a ln x+√1+x,x>0.(1)当a=−34时，求函数f(x)的单调区间；(2)对任意x∈[1e2,+∞)均有f(x)≤√x2a，求a的取值范围.注：e=2.71828⋯为自然对数的底数.2. 如图，已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B 两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求S1S2的最小值及此时点G的坐标.3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=4,a4=S3.数列{b n}满足：对每个n∈N∗,S n+b n,S n+1+b n,S n+2+b n成等比数列.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记c n=√a n2b n, n∈N∗，证明：c1+c2+⋯+c n<2√n,n∈N∗.4. 如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90∘，∠BAC=30∘，A1A=A1C=AC，E, F分别是AC，A1B1的中点. (1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.5. 设函数f(x)=sin x，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x+θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2的值域.6. 已知函数f(x)=√x−ln x．（1）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；（2）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．7. 如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2+y24=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．8. 已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{(b n+1−b n )a n }的前n 项和为2n 2+n ． （1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．9. 如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120∘，A 1A =4，C 1C =l ，AB =BC =B 1B =2．(1)证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．10. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (−35,−45)．(1)求sin (α+π)的值；(2)若角β满足sin (α+β)=513，求cos β的值．11. 设数列满足|a n −a n+12|≤1，n ∈N ∗．（1）求证：|a n |≥2n−1(|a 1|−2)(n ∈N ∗)（2）若|a n |≤(32)n ，n∈N ∗，证明：|a n |≤2，n ∈N ∗．12. 如图，设椭圆C:x 2a 2+y 2=1(a >1)（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得到的弦长（用a ，k 表示）（II ）若任意以点A(0, 1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．13. 已知a ≥3，函数F(x)＝min {2|x −1|, x 2−2ax +4a −2}，其中min (p, q)={p,p ≤q q,p >q ．(Ⅰ)求使得等式F(x)＝x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围； (Ⅱ)(i)求F(x)的最小值m(a)；(ii)求F(x)在[0, 6]上的最大值M(a)．14. 如图，在三棱台ABC −DEF 中，已知平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90∘，BE =EF =FC =1，BC =2，AC =3，（1）求证：EF ⊥平面ACFD ；（2）求二面角B −AD −F 的余弦值．15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b +c =2a cos B ． (1)证明：A =2B ；(2)若△ABC 的面积S =a 24，求角A 的大小．16. 已知数列{a n }满足a 1=12且a n+1＝a n −a n 2(n ∈N ∗)（1）证明：1≤a nan+1≤2(n ∈N ∗)；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明12(n+2)≤S n n≤12(n+1)(n ∈N ∗)．17. 已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点A，B关于直线y=mx+12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．18. 已知函数f(x)=x2+ax+b(a, b∈R)，记M(a, b)是|f(x)|在区间[−1, 1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M(a, b)≥2；（2）当a，b满足M(a, b)≤2时，求|a|+|b|的最大值．19. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1−BD−B1的平面角的余弦值．20. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=π4，b2−a2=12c2．（1）求tan C的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．21. 设函数f(x)=x3+1x+1，x∈[0, 1]，证明：（1）f(x)≥1−x+x2（2）34<f(x)≤32．22. 如图，设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|−1．求p的值；若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．23. 如图，在三棱台ABC−DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90∘，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（1）求证：BF⊥平面ACFD；（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．24. 设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N∗．(1)求通项公式a n；(2)求数列{|a n−n−2|}的前n项和．25. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2a cos B．(1)证明：A=2B；(2)若cos B=23，求cos C的值．26. 设函数f(x)＝x2+ax+b(a, b∈R)．(Ⅰ)当b=a24+1时，求函数f(x)在[−1, 1]上的最小值g(a)的表达式．(Ⅱ)已知函数f(x)在[−1, 1]上存在零点，0≤b−2a≤1，求b的取值范围．27. 如图，已知抛物线C1:y=14x2，圆C2:x2+(y−1)2＝1，过点P(t, 0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．(Ⅰ)求点A，B的坐标；(Ⅱ)求△PAB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．28. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．29. 已知数列{a n}和{b n}满足a1＝2，b1＝1，a n+1＝2a n(n∈N∗)，b1+12b2+13b3+⋯+1nb n＝b n+1−1(n∈N∗)(Ⅰ)求a n与b n；(Ⅱ)记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．30. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan(π4+A)=2．(1)求sin2Asin2A+cos2A的值；(2)若B=π4，a=3，求△ABC的面积．31. 已知函数f(x)=x3+3|x−a|(a∈R)．(1)若f(x)在[−1, 1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)−m(a)；(2)设b∈R，若[f(x)+b]2≤4对x∈[−1, 1]恒成立，求3a+b的取值范围．32. 如图，设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．(Ⅰ)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(Ⅱ)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a−b．33. 如图，在四棱锥A−BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90∘，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC=√2．(Ⅰ)证明：DE⊥平面ACD；(Ⅱ)求二面角B−AD−E的大小．34. 已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3...a n=(√2)b n(n∈N∗)．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．(1)求a n与b n；(2)设c n=1a n−1b n(n∈N∗)．记数列{c n}的前n项和为S n．(i)求S n；(ii)求正整数k，使得对任意n∈N∗，均有S k≥S n．35. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=√3，cos2A−cos2B=√3sin A cos A−√3sin B cos B．(1)求角C的大小；(2)若sin A =45，求△ABC 的面积．36. 已知△ABP 的三个顶点在抛物线C:x 2=4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →=3FM →，（1）若|PF|=3，求点M 的坐标；（2）求△ABP 面积的最大值．37. 已知函数f(x)＝x 3+3|x −a|(a >0)，若f(x)在[−1, 1]上的最小值记为g(a)． (Ⅰ)求g(a)；(Ⅱ)证明：当x ∈[−1, 1]时，恒有f(x)≤g(a)+4．38. 如图，在四棱锥A −BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE =∠BED =90∘，AB =CD =2，DE =BE =1，AC =√2．(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．39. 已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2⋅S 3＝36． (Ⅰ)求d 及S n ；(Ⅱ)求m ，k(m, k ∈N ∗)的值，使得a m +a m+1+a m+2+...+a m+k ＝65．40. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A−B 2+4sin A sin B =2+√2．(1)求角C 的大小；(2)已知b =4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．。
浙江省2020年高考数学压轴卷含解析
浙江省2020年高考数学压轴卷（含解析）一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则{|||2}A x x =<{1,0,1,2,3}B =-A B = A ．B ．{0,1}{0,1,2}C ．D ．{1,0,1}-{1,0,1,2}-2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）21+i i A ．B ．C ．D ．-1+i 1-i 1+i -1-i3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a A ．1B ．2C ．4D ．84．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A ．B ．8CD ．835．若实数满足不等式组，则( ),x y 02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩………3x y -A ．有最大值，最小值B ．有最大值，最小值22-83-83C ．有最大值2，无最小值D ．有最小值，无最大值2-6．“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）()()11x xe f x x e +=-e A ．B ．C ．D ．8．已知、，且，则（ ）a b R ∈a b >A ．B ．C ．D ．11a b<sin sin a b>1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22a b >9．设是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，为中点，过P ABCD -M PC 作平面与线段，分别交于点，（可以是线段端点），则四棱AM AEMF PB PD E F 锥的体积的取值范围为（ ）P AEMF -A ．B ．C ．D ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,210若对圆上任意一点，的取22(1)(1)1x y -+-=(,)P x y 34349x y a x y -++--值与，无关， 则实数a 的取值范围是( )x y A ．B ．C ．或D ．4a ≤46a -≤≤4a ≤6a ≥6a ≥第II 卷（非选择题)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.12．二项式的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为521x __________．13．设双曲线的半焦距为c ，直线过（a ，0），（0，b ）两点，()222210x y b a a b -=>>l 已知原点到直线，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为l_________.14．已知函数，若，则实数_____；若22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩(1)(1)f f -=a =存在最小值，则实数的取值范围为_____.()y f x =a 15．设向量满足，，，．若，则,,a b c 1a = ||2b = 3c = 0b c ⋅= 12λ-≤≤的最大值是________．(1)a b cλλ++- 16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________．17．已知函数若在区间上方程只有一()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩[1,1]-()1f x =个解，则实数的取值范围为______．m三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡18．已知函数.()()222cos 1x R f x x x =-+∈(1)求的单调递增区间;()f x (2)当时,求的值域.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 19．如图，四棱柱的底面是菱形，1111ABCD A B C D -ABCD AC BD O = 底面，.1A O ⊥ABCD 12AA AB ==（1）求证：平面平面；1ACO ⊥11BB D D （2）若，求与平面所成角的正弦值.60BAD ∠=︒OB 11A B C20．等比数列的各项均为正数，且.{}n a 212326231,9a a a a a +==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设 ，求数列的前项和.31323log log ......log nn b a a a =+++1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 21．已知抛物线（）上的两个动点和，焦点为F.22y px =0p >()11,A x y ()22,B x y 线段的中点为，且点到抛物线的焦点F 的距离之和为8AB ()03,My （1）求抛物线的标准方程；（2）若线段的垂直平分线与x 轴交于点C ，求面积的最大值.AE ABC ∆22．已知函数.2()(1)(0)x f x x e ax x =+->（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；()f x (0,)+∞a （2）若函数有两个不同的零点.()f x 12,x x （ⅰ）求实数的取值范围；a （ⅱ）求证：.（其中为的极小值点）12011111x x t +->+0t ()f x参考答案及解析1．【答案】C【解析】由，得，选C.2．【答案】C【解析】因为,所以其共轭复数是，选C.21+i =1-i 1+i 【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3．【答案】C【解析】设公差为，，d 45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，联立解得，故选C.611656615482S a d a d ⨯=+=+=112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩4d =点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，{}n a 若，则.m n p q +=+m n p q a a a a +=+4．【答案】C【解析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2,画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为，高为；224S ==h ==所以该四棱锥的体积是.11433V Sh ==⨯=故选：C.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5．【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；2222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-≥⎩……设，则直线是一组平行线；3z x y =-30x y z --=当直线过点时，有最大值，由，得；A z 022y x y =⎧⎨-=⎩(2,0)A 所以的最大值为，且无最小值.z 3202x y -=-=z 故选：C.6．【答案】C 【解析】直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选0x y +=0x ay -=1()110a ⨯-+⨯=1a =C7．【答案】A【解析】∵f（﹣x）f （x ），()()()111111x x x x x x e e e x e x e x e--+++====-----∴f（x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；又x=1时，<0，()e 111e f +=-∴排除B ，故选A ．8．【答案】C 【解析】对于A 选项，取，，则成立，但，A 选项错误；1a =1b =-a b >11a b >对于B 选项，取，，则成立，但，即，B 选项a π=0b =a b >sin sin 0π=sin sin a b =错误；对于C 选项，由于指数函数在上单调递减，若，则，C 选13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭R a b >1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭项正确；对于D 选项，取，，则，但，D 选项错误.1a =2b =-a b >22a b <故选：C.9. 【答案】D 【解析】依题意表示到两条平行343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+(),P x y 直线和的距离之和与无关，故两条平行直线340x y a -+=3490x y --=,x y 和在圆的两侧，画出图像如下图所示，340x y a -+=3490x y --=22(1)(1)1x y -+-=故圆心到直线的距离，解得或（舍去）()1,1340x y a -+=3415ad -+=≥6a ≥4a ≤-故选：D.10．【答案】B【解析】首先证明一个结论：在三棱锥中，棱上取点S ABC -,,SA SB SC 111,,A B C则，设与平面所成角，111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC --⋅⋅=⋅⋅SB SAC θ，证毕.11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABCB SACSA SC ASC SB V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC ASC SB θθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅四棱锥中，设，P ABCD -,PE PF x y PB PD ==212343P ABCDV -=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEF P ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBC V V V V V V V V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PF xy xy PA PB PD PB PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMF V xy-=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAF P ABCDP ABC P ABC P DAC P ABC P DAC V V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PF x y PA PB PC PA PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMF V x y-=+即，又，3,31x x y xy y x +==-01,0131xx y x ≤≤≤=≤-解得112x ≤≤所以体积，令2313,[,1]312x V xy x x ==∈-131,[,2]2t x t =-∈2(1)111()(2),[,2]332t V t t t t t +==++∈根据对勾函数性质，在递减，在递增()V t 1[,1]2t ∈[1,2]t ∈所以函数最小值，最大值，()V t 4(1)3V =13(2)()22V V ==四棱锥的体积的取值范围为P AEMF -43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B11．【答案】1031165【解析】设该女子每天的织布数量为，由题可知数列为公比为2的等比数列，n a {}n a 设数列的前n 项和为，则，解得，{}n a n S ()51512512a S -==-1531a =所以，.2110231a a ==()10105123116512S -==-故答案为：，.1031165【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.12．【答案】 325【解析】展开式的通项为，5552215521()r rrr r r T C C x x --+==令，解得，55022r -=1r =所以展开式中的常数项为，1255T C ==令，得到所有项的系数和为，得到结果.1x =5232=点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13．【答案】2y =【解析】由题可设直线方程为：，即，则原点到直线的距离l 1x ya b +=0bx ay ab --=，解得，两式同时平方可得，又ab d c ===24ab =224163a b c =，代换可得，展开得：，同时除以222b c a =-()2224163a c a c -=224416162a c a c -=得：，整理得，解得或，又，4a 2416163e e -=()()223440e e --=243e =40b a >>所以，所以；2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>24,2c e e a ===b a ===by x a =±=故答案为：2；y =14．【答案】1[1,0)-【解析】，(1)(1)f f -= ，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=1a ∴=易知时，；0x <()2(0,1)xf x =∈又时，递增，故，0x …2()log ()f x x a =-2()(0)log ()f x f a =-…要使函数存在最小值，只需，()f x 20()0a log a ->⎧⎨-⎩…解得：.10a -<…故答案为：，.1[1,0)-15．【答案】1+【解析】令，则，因为，()1n b cλλ=+- n == 12λ-≤≤所以当，，因此当与同向时的模最大，1λ=-max n == n aa n + max 1a n a n +=+=+16．【答案】36【解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有种，4242A A 48=把“民俗调查”安排在周一，有，3232A A 12⋅=∴满足条件的不同安排方法的种数为，481236-=故答案为：36．17．【答案】或1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩1}m =【解析】当时，由，得，即；当时，由01x ≤≤()1f x =()221x x m +=212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10x -≤<，得，即.()1f x =1221x x m +--=1221x x m +-=+令函数，则问题转化为函数与函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩的图像在区间上有且仅有一个交点.()h x =2x m +[1,1]-在同一平面直角坐标系中画出函数与在区间函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩2y x m =+上的大致图象如下图所示：[1,1]-结合图象可知：当，即时，两个函数的图象只有一个交点；(0)1h =1m =当时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩的取值范围是.m 1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或18．【答案】（1）；（2）.,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦⎡-⎣【解析】(1) 函数，()222cos 122226f x x x cos x in x x s π⎛⎫ ⎪=⎝=-+-=⎭-令，求得，222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈故函数f(x)的增区间为；,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)若，则，故当时，函数f(x)取得最小,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦262x ππ-=-值为−2；当时，函数f(x).263x ππ-=⎡-⎣【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题.19．【答案】（1）证明见解析（2（1）证明：由底面可得，1A O ⊥ABCD 1AO BD ⊥又底面是菱形，所以，ABCD CO BD ⊥因为，所以平面，1A O CO O ⋂=BD ⊥1A CO 因为平面，BD ⊂11BB D D 所以平面平面.1ACO ⊥11BB D D （2）因为底面，以为原点，，，为，，轴建立如图1A O ⊥ABCD O OB OC 1OAx y z 所示空间直角坐标系，O xyz-则，，，，(1,0,0)BC (0,A 1(0,0,1)A ，，11A B AB ==()11A C =- 设平面的一个法向量为，11A B C (,,)m x y z =由，取得，1110000m A B x m A C z ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩ 1x=1,1m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 又，(1,0,0)OB =所以，cos ,||||OB mOB m OB m ⋅===所以与平面.OB 11A B C 20．【答案】（1）（2）13n n a =21nn -+（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由＝9a2a 6得＝9,所以q 2＝．23a23a24a 19由条件可知q ＞0,故q ＝．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝．1313故数列{a n }的通项公式为a n ＝．13n（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－．()21n n +故．()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列的前n 项和为1n b⎧⎫⎨⎬⎩⎭21n n -+21．【答案】（1）（224y x =【解析】（1）由题意知,126x x +=则,1268AF BF x x p p +=++=+=,2p ∴=抛物线的标准方程为∴24y x=（2）设直线:（）,AB x my n =+0m ≠由,得,24x my n y x =+⎧⎨=⎩2440y my n --=124y y m∴+=,即,212426x x m n ∴+=+=232n m =-即,()21221216304812m y y m y y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩,2AB y ∴=-=设的中垂线方程为:,即,AB ()23y m m x -=--()5y m x =--可得点C 的坐标为,()5,0直线:,即,AB 232x my m =+-2230x my m -+-=点C 到直线的距离,∴AB d ()21412S AB d m ∴=⋅=+令,则（,t =223m t =-0t <<令,()()244f t t t=-⋅,令,则,()()2443f t t'∴=-()0ft '∴=t =在上；在上,⎛⎝()0f t '>()0f t '<故在单调递增,单调递减,()ft ⎛ ⎝当,即,∴t =m =maxS =22．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见⎛-∞ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭解析.【解析】（1）由，得，2()(1)x f x x e ax =+-2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=- ⎪⎝⎭设，；则；2()x x g x e x +=⋅(0)x >2222()xx x g x e x +-'=⋅由，解得，()0g x '…1x ≥-所以在上单调递减，在上单调递增，()gx 1)1,)-+∞所以1min()1)(2==+⋅g x g 因为函数在上单调递增，所以在恒成立()f x (0,)+∞()0f x '…(0,)+∞所以；1(22+⋅≥a 所以，实数的取值范围是：.a ⎛-∞ ⎝（2）（i ）因为函数有两个不同的零点，不单调，所以.()f x ()fx a >因此有两个根，设为，且，()0f x '=10,tt 1001t t <<-<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x ()10,t ()10,t t ()0,t +∞又，，当充分大()1(0)1f t f >=()22()(1)(1)x x xf x x e ax a e x x a e =+-=-++-⋅x 时，取值为正，因此要使得有两个不同的零点，则必须有，即()f x ()f x ()00f t <；()200010t t e a t +-⋅<又因为；()()0000220tf t t e at '=+-=所以：，解得，所以；()()000002202t tt t e t e +-⋅+<0t>12>=a g 因此当函数有两个不同的零点时，实数的取值范围是.()f xa ⎫+∞⎪⎪⎭（ⅱ）先证明不等式，若，，则.12,(0,)x x ∈+∞12x x≠211221112x x x xnx nx -+<<-证明：不妨设，即证，210x x >>21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<<+设，，，211x t x =>()ln g t t =-2(1)()ln 1t h t t t -=-+只需证且；()0g t <()0h t >因为，，()0g t '=<22(1)()0(1)t h t t t -'=>+所以在上单调递减，在上单调递增，()g t (1,)+∞()h t (1,)+∞所以，，从而不等式得证.()(1)0g t g <=()(1)0h t h >=再证原命题.12011111x x t +->+由得；()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩所以，两边取对数得：()()2212221211xx x e x e x x ++=；()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦即.()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+因为，()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x-+-+-<--+-++++所以，121221112x x x x +<<+++因此，要证.12011111x x t +->+只需证；1202x x t +<因为在上单调递增，，所以只需证，()f x ()0,t +∞1020x t x <<<()()2022f x f t x <-只需证，即证，其中；()()1012f x f t x <-()()00f t x f t x +<-()0,0x t ∈-设，，只需证；()()00()r x f t x f t x =+--00t x -<<()0r x <计算得；()()00000()224t tr x x t e x x t e x at '=++++-++--.()()2000()33t xr x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦由在上单调递增，()()20033x y x t e x t =+++--()0,0t -得，()()0003030y t e t <++--=所以；即在上单调递减，()0r x ''<()r x '()0,0t -所以：；()0()(0)20r x r f t '''>==即在上单调递增，所以成立，即原命题得证.()r x ()0,0t -()(0)0r x r <=。
2020年浙江省高考数学试卷(解析版)
为
当 时，则 ， ，要使 ，必有 ，且 ，
即 ，且 ，所以 ；
当 时，则 ， ，要使 ，必有 .
综上一定有 .
故选：C
【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.
10.设集合S，T，S N*，T N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
【详解】依题意 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交.
当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而 ，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面.
综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理 和公理 的运用，属于中档题.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
5.某几何体 三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I） ；（II）
【解析】
【分析】
（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小；
2020浙江省高考压轴卷数学理(解析版)
绝密★启封前2020浙江省高考压轴卷数 学 理 科数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、 解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U ＝，，，，，集合134{}}35{A B ＝，，，＝，，则U A B ⋂（）ð═ ． 2．已知i 是虚数单位，若12i a i a R +∈（﹣)(）＝，，则a ＝ ． 3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y 的取值范围是 ．5．已知函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f （m ）＝﹣6，则f （m ﹣61）＝ ． 6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ． 10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x ）＝x ，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且23AB ＝，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB |+u u u r u u u r 的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =u u u r u u u r，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+u u u u r u u u u r u u u u r （﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x （f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把 答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点． （1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值； （2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b：+＝0a b （＞＞）的离心率为22，短轴长为22． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM面积为23，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。
2020年浙江省高考数学压轴试卷 (含答案解析)
2020年浙江省高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x||x|<2}，B ={−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {−1,0，1，2} 2. 复数5i−2的共轭复数是( )A. 2+iB. −2−iC. −2+iD. 2−i3. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 4D. 84. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则四棱锥的表面积为( )A. 83B. 4√3C. 4√5+1D. 4(√5+1)5. 已知x 、y ∈R ，不等式组{x +2y ≥0x −y ≤00≤y ≤k 所表示的平面区域的面积为6，则实数k 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知直线l 1:mx +y −1=0，直线l 2:(m −2)x +my −1=0，则“l 1⊥l 2”是“m =1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 7. 函数f(x)=(e x +1)lnx 2e x −1(e 是自然对数的底数)的图象大致为( )A. B. C. D.8. 已知实数a >b >0,m ∈R ，则下列不等式中成立的是( )A. (12)a <(12)bB. a −2>b −2C. m a >m bD. b+m a+m >ba 9. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB =2PN ，则三棱锥N −PAC 与四棱锥P −ABCD 的体积比为( )A. 1：2B. 1：3C. 1：6D. 1：810. 若对圆(x −1)2+(y −1)2=1上任意一点P(x,y)，|3x −4y +a|+|3x −4y −9|的取值与x ，y无关，则实数a 的取值范围是( )A. a ≤−4B. −4≤a ≤6C. a ≤−4或a ≥6D. a ≥6二、填空题（本大题共7小题，共36.0分） 11. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为______ ．12. 在二项式(√2+x)9的展开式中，常数项是_____________，系数为有理数的项的个数是______________．13. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(b >a >0)，焦距为2c ，直线l 经过点(a,0)和(0,b)，若(−a,0)到直线l 的距离为2√23c ，则离心率为______． 14. 已知函数f(x)={|x +a|+|x −1|,x >0x 2−ax +2,x ≤0的最小值为a +1，则实数a 的取值范围为____________． 15. 若平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|2a ⃗ +b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b⃗ 的取值范围是______． 16. 从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务活动，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人中至少有一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务活动的日期不相邻，那么不同的安排方法种数为________(用数字作答)．17. 若方程x +m =√4−x 2有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围为________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=(sinx +cosx)2+2cos 2x −1．(1)求函数f(x)的递增区间；(2)当x ∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，∠BAD =60∘．(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)若PA=AB，求PC与平面PBD所成角的正弦值20.等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列{1b n21.已知点F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，一点M(0,√2)满足线段MF的中点在抛物线C2上．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线MF与抛物线C相交于A、B两点，求线段AB的长．22.已知函数f(x)=lnx+ax，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)的两个零点为x1，x2,且x2x1⩾e2，求证：(x1−x2)f′(x1+x2)>65．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B.解：∵集合A={x||x|<2}={x|−2<x<2}，B={−1,0，1，2，3}，∴A∩B={−1,0，1}．故选C．2.答案：C解析：解：复数5i−2=5(−2−i)(−2+i)(−2−i)=5(−2−i)5=−2−i的共轭复数为−2+i．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.答案：C解析：本题主要考查等差数列公式及等差数列求和的基本量运算，属于简单题．利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，∵a4+a5=24，S6=48，∴{a 1+3d +a 1+4d =246a 1+6×52d =48, 解得a 1=−2，d =4，∴{a n }的公差为4．故选C ．4.答案：D解析：解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长2，高为2，则四棱锥的斜高为√22+12=√5．所以该四棱锥侧面积为：4×12×2×√5=4√5，底面积为：2×2=4，故表面积S =4+4√5=4(√5+1)，故选：D由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，进而可得答案． 本题考查三视图复原几何体形状的判断，几何体的表面积与体积的求法，考查空间想象能力与计算能力． 5.答案：B解析：解：作出不等式组对应的平面区域：则k >0由{x +2y =0y =k，解得{x =−2k y =k ，即A(−2k,k)， 由{x −y =0y =k，解得{x =k y =k ，即B(k,k) ∵平面区域的面积是9，∴12(3k)k =6，即k 2=4解得k =±2，解得k =2或k =−2(舍)，故选：B ．作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域的形状，结合面积公式即可得到结论．本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，以及三角形的面积公式的计算，比较基础． 6.答案：B解析：解：直线l 1：mx +y −1=0，直线l 2：(m −2)x +my −1=0，若“l 1⊥l 2”， 则m(m −2)+m =0，解得m =0或m =1，故“l 1⊥l 2”是“m =1”的必要不充分条件，故选：B ．利用两条直线相互垂直的充要条件求出m 的值，再根据充分必要条件的定义即可得出．本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：f(−x)=(e −x +1)ln(−x)2e −x −1=(1+e x )lnx 21−e x =−(e x +1)lnx 2e x −1=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，C ．当x >1时，f(x)>0，排除D ，故选：A ．判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值的符号是否对应进行排除．本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性以及对称性是解决本题的关键． 8.答案：A解析：解：∵函数y =(12)x 在R 上单调递减，∴当a >b >0时，(12)a <(12)b ．故选：A ．根据函数y =(12)x 在R 上单调递减知当a >b >0时，(12)a <(12)b ．本题考查了利用函数的单调性判断比较大小和不等式的基本性质，属基础题．。
2020年浙江省高考数学试卷(解析版)
1 3
1 2
2
1
1
1 2
2
1
2
1 3
2
7 3
.
故选：A
【点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.
6. 已知空间中不过同一点的三条直线 m，n，l，则“m，n，l 在同一平面”是“m，n，l 两两相交”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
台体的体积公式V
1 3 (S1
S1S2 S2 )h
其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高
柱体的体积公式V Sh 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高 锥体的体积公式V 1 Sh
3 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 球的表面积公式
S 4 R2
【合等差数列的性质即可判断各等式是否成立． 【详解】对于 A，因为数列 an 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 4 4 2 6 可得， 2a4 a2 a6 ，A 正确； 对于 B，由题意可知， bn1 S2n2 S2n a2n1 a2n2 ， b1 S2 a1 a2 ， ∴ b2 a3 a4 ， b4 a7 a8 ， b6 a11 a12 ， b8 a15 a16 ． ∴ 2b4 2 a7 a8 ， b2 b6 a3 a4 a11 a12 ． 根据等差数列的下标和性质，由 3 11 7 7, 4 12 8 8 可得 b2 b6 a3 a4 a11 a12 =2a7 a8 =2b4 ，B 正确； 对于 C， a42 a2a8 a1 3d 2 a1 d a1 7d 2d 2 2a1d 2d d a1 ，
2020年高考数学浙江卷附答案解析版
(n
N
)
的前
3
项和是
．
12.设 1 2x5 a1 a2x a3x 2 a4x3 a5x 4 a6x5 ， 则 a5
； a1 2 3a a
．
13.已知tan 2 ，则 cos2
； tan( π)
．
4
14.已知圆锥的侧面积（单位： cm2 ）为 2 ，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个
其中S1 ， S2 分别表示台体的上、下底面积， h
3
题
表示台体的高
其中 R 表示球的半径
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
无
有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 P {x |1＜x＜4} ， Q 2＜x＜3，则 P Q
D.6
6.已知空间中不过同一点的三条直线m ， n ， l ，则“ m ， n ， l 在同一平面”是“ m ，
n ， l 两两相交”的
（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
7.已知等差数列 an的前n 项和 S ，n 公差d 0 ，
D.既不充分也不必要条件
a1 d
≤1
．记
b1
S 2 ，n1
毕业学校
姓名
考生号
绝密★启用前
在
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学此Βιβλιοθήκη 参考公式：如果事件 A ， B 互斥，那么
柱体的体积公式V Sh
PA B PA PB
其中S 表示柱体的底面积，h 表
卷 如果事件 A ， B 相互独立，那么
浙江省高考数学压轴试卷
高考数学压轴试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁U B）（）A. ∅B. {5}C. {3}D. {3，5}2.已知双曲线（a＞0）的离心率为，则a的值为（）A. B. C. D.3.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A. 4+2B. 2C. 4+4D. 6+44.若复数z满足：1+（1+2z）i=0（i是虚数单位），则复数z的虚部是（）A. B. C. D.5.函数y=2x2-e|x|在[-2，2]的图象大致为（）A. B.C. D.6.已知平面α与两条不重合的直线a，b，则“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.（1-x）4（1+x）5的展开式中x3的系数为（）A. 4B. -4C. 6D. -68.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了查．根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是．现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，则期望E（X）和方差D（X）分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，9.已知A，B，C是球O球面上的三点，且，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）A. B. C. D.10.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a7=5，S5=-55，则nS n的最小值为（）A. B. C. D.11.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种二、填空题（本大题共6小题，共32.0分）12.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款．问他们的人数和物品价格？答：一共有______人；所合买的物品价格为______元．13.已知x，y满足条件则2x+y的最大值是______，原点到点P（x，y）的距离的最小值是______14.在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积，则c＝________；三角形外接圆的半径为________．15.已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|-|的最小值是______，最大值是______．16.已知实数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围为______．17.已知直线y=-x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[，]，则a的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.设函数f（x）=sin（ωx-）+sin（ωx-），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[-，]上的最小值．19.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求首项a1与m的值；（2）若数列{b n}满足，求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．20.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=120°，PA⊥平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点．（1）证明：AM⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，MH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角M-AN-C的余弦值．21.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为5．（1）求该抛物线C的方程；（2）已知抛物线上一点M（t，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由．22.已知函数．若函数是单调递减函数,求实数a的取值范围；若函数在区间上既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，B={1，2}，∴∁U B═{3，4，5，6}，又集合A={1，3，5}，∴A∩∁U B={3，5}，故选：D．先由补集的定义求出∁U B，再利用交集的定义求A∩∁U B．本题考查交、并补集的混合运算，解题的关键是熟练掌握交集与补集的定义，计算出所求的集合．2.【答案】B【解析】解：双曲线，可得c=1，双曲线的离心率为：，∴，解得a=．故选：B．直接利用双曲线求出半焦距，利用离心率求出a即可．本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线的简单性质的应用．3.【答案】D【解析】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC-A′B′C′，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积S=2×+2×2+2×=6+4，故选：D．根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．4.【答案】B【解析】解：由1+（1+2z）i=0，得z=，∴复数z的虚部是，故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是函数的图象，属于基础题.根据已知函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵，∴，故函数为偶函数，当时，，故排除A，B；当时，，则有解为x0，当时，时，故函数在[0，2]不是单调的，故排除C，故选D.6.【答案】A【解析】解：a⊥α，且b⊥α⇒a∥b，反之不成立．可能a，b分别于α，β斜交．∴“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的充分不必要条件．故选：A．a⊥α，且b⊥α⇒a∥b，反之不成立．可能a，b分别于α，β斜交．本题考查了空间线面位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：（1-x）4（1+x）5=（1-4x+6x2-4x3+x3）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），故展开式中x3的系数为10-40+30-4=-4，故选：B．把（1-x）4和（1+x）5按照二项式定理展开，可得展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率．从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，所以．X0123p均值，方差．从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率．说明每次抽取的结果是相互独立的，推出．得到分布列，然后求解期望即可．本题考查独立重复实验的概率的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．9.【答案】D【解析】解：如图，在△ABC中，∵AB=AC=3，BC=3，∴由余弦定理可得cos A==-，则A=120°，∴sin A=．设△ABC外接圆的半径为r，则，得r=3．设球的半径为R，则，解得R=2．∵×3×3×=，∴三棱锥D-ABC体积的最大值为=，故选：D．由题意画出图形，求出三角形ABC外接圆的半径，设出球的半径，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半径，则三棱锥D-ABC体积的最大值可求．本题主要考查空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，是中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意可得，解可得a1=-19，d=4，∴S n=-19n=2n2-21n，∴nS n=2n3-21n2，设f（x）=2x3-21x2，f′（x）=6x（x-7），当0＜x＜7时，f′（x）＜0；函数是减函数；当x＞7时，f′（x）＞0，函数是增函数；所以n=7时，nS n取得最小值：-343．故选：A．分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得a1，d，在代入求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素，是简单题.根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论，依次分析乙丙的加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有=6种安排方法，则此时有4×2×6=48种编排方法；②甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；③甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种；故选：A．12.【答案】7 ；53【解析】解：设人数为x，物品价格为y，则，解得x=7，y=53．故答案为：7，53．列方程组求解．本题考查了方程的应用，属于基础题．13.【答案】6【解析】解：作出x，y满足条件的可行域如图：目标函数z=2x+y在的交点A（2，2）处取最大值为z=2×2+1×2=6．原点到点P（x，y）的距离的最小值是：|OB|=．故答案为：6；；画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2x+y的位置，求出最大值．利用可行域转化求解距离即可．本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．14.【答案】2；2【解析】【分析】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式，属于基础题.由条件求得c =2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sin A=c•，∴c=2=b，故B=（180°-A）=30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2.故答案为2；2.15.【答案】4【解析】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：|+|=，|-|=，令x=，y=，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=-x+z，则直线y=-x+z过M、N时z最小为z min=1+3=3+1=4，当直线y=-x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max=×=．综上所述，|+|+|-|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|+|=、|-|=，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．16.【答案】（-∞，-2]【解析】解：原问题等价于f2（x）+f（x）=-t有三个不同的实根，即y=-t与y=f2（x）+f（x）有三个不同的交点，当x≥0时，y=f2（x）+f（x）=e2x+e x为增函数，在x=0处取得最小值为2，与y=-t只有一个交点．当x＜0时，y=f2（x）+f（x）=lg2（-x）+lg（-x），根据复合函数的单调性，其在（-∞，所以，要有三个不同交点，则需-t≥2，解得t≤-2．原问题等价于f2（x）+f（x）=-t有三个不同的实根，即y=-t与y=f2（x）+f（x）有三个不同的交点，然后分x≥0和x＜0两种情况代入解析式可得．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．17.【答案】【解析】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），由，消去y，可得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，∴则x1+x2=，x1x2=，由△=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）＞0，整理得a2+b2＞1．∴y1y2=（-x1+1）（-x2+1）=x1x2-（x1+x2）+1．∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），可得•=0∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（-x1+1）（-x2+1）=0，化简得2x1x2-（x1+x2）+1=0．∴2•-+1=0．整理得a2+b2-2a2b2=0．∵b2=a2-c2=a2-a2e2，∴代入上式，化简得2a2=1+，∴a2=（1+）．∵e∈[，]，平方得≤e2≤，∴≤1-e2≤，可得≤≤4，因此≤2a2=1+≤5，≤a2≤，可得a2的最大值为，满足条件a2+b2＞1，∴当椭圆的离心率e=时，a的最大值为．故答案为：．将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得2a2=1+，由离心率的取值范围，即可求得a的最大值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx-）+sin（ωx-）=sinωx cos-cosωx sin-sin（-ωx）=sinωx-cosωx=sin（ωx-），又f（）=sin（ω-）=0，∴ω-=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin （x-）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+-）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x-）；当x∈[-，]时，x-∈[-，]，∴sin（x-）∈[-，1]，∴当x=-时，g（x）取得最小值是-×=-．【解析】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[-，]时g（x）的最小值．19.【答案】解：（1）由已知得a m=S m-S m-1=4，且a m+1+a m+2=S m+2-S m=14，设数列{a n}的公差为d，则有2a m+3d=14，∴d=2由S m=0，得，即a1=1-m，∴a m=a1+（m-1）×2=m-1=4∴m=5，a1=-4（2）由（1）知a1=-4，d=2，∴a n=2n-6∴n-3=log2b n，得．∴．设数列{（a n+6）b n}的前n项和为T n∴①②①-②得==∴【解析】（1）利用a m=S m-S m-1，转化求出数列的公差，然后利用已知条件求解m．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，可得∠ABC=60°，△ABC 为正三角形．因为M为BC的中点，所以AM⊥BC．…（2分）又BC∥AD，因此AM⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以PA⊥AM．而PA∩AD=A，所以AM⊥平面PAD．…（4分）（2）解：AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，MH．由（1）知：AM⊥平面PAD，则∠MHA为MH与平面PAD所成的角．在Rt△MAH中，AM=，∴当AH最短时，∠MHA最大，即当AH⊥PD时，∠MHA最大．此时，tan∠MHA==又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2．由（1）知AM，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），，，，则，，，设AC的中点为E，则，故就是面PAC的法向量，．设平面MAN的法向量为n=（x，y，1），二面角M-AN-C的平面角为θ．．，∴二面角M-AN-C的余弦值为．…（12分）【解析】（1）利用菱形与等边三角形的性质可得：AM⊥BC，于是AM⊥AD．利用线面垂直的性质可得PA⊥AM．再利用线面垂直的判定与性质定理即可得出；（2）连接AH，MH．由（1）知：AM⊥平面PAD，可得：∠MHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AM=，可知：当AH最短时，∠MHA最大，即当AH⊥PD时，∠MHA最大．利用直角三角形边角关系可得PA=2．由（1）知AM，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求出法向量，利用向量夹角求解即可．本题考查了直线与平面垂直的判定．在题中出现了探究性问题，在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想，属于中档题．21.【答案】解：（1）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为，∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴，∴p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）由（1）可得点M（4，4），可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为：x=my+t，联立，得y2-4my-4t=0，则△=16m2+16t＞0①．设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=-4t．∵•=（x1-4，y1-4）•（x2-4，y2-4），=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16，=，=，=t2-16m2-12t+32-16m=0即t2-12t+32=16m2+16m，得：（t-6）2=4（2m+1）2，∴t-6=±2（2m+1），即t=4m+8或t=-4m+4，代入①式检验均满足△＞0，∴直线DE的方程为：x=my+4m+8=m（y+4）+8或x=m（y-4）+4．∴直线过定点（8，-4）（定点（4，4）不满足题意，故舍去）．【解析】（1）求出抛物线的焦点坐标，结合题意列关于p的等式求p，则抛物线方程可求；（2）由（1）求出M的坐标，设出直线DE的方程x=my+t，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后D，E两点纵坐标的和与积，利用⊥得到t与m的关系，进一步得到DE方程，由直线系方程可得直线DE所过定点．本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属中档题．22.【答案】解：（1），∵函数f（x）是单调递减函数，∴f'（x）≤0对（0，+∞）恒成立，∴-2x2+ax-1≤0对（0，+∞）恒成立，即对（0，+∞）恒成立，∵（当且仅当2x=，即x=时取等号），∴；（2）∵函数f（x）在（0，3）上既有极大值又有极小值．∴在（0，3）上有两个相异实根，即2x2-ax+1=0在（0，3）上有两个相异实根，，则，得，即．【解析】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．（1）求出导函数，通过f'（x）≤0对（0，+∞）恒成立，分离变量推出a，利用基本不等式求解函数的最小值，得到a的范围．（2）通过函数f（x）在（0，3）上既有极大值又有极小值，则说明导函数有由两个零点，列出不等式组求解即可．。
浙江省2020年高考数学压轴卷(含解析)
2
1
1 1
SA SB SC
SA SC sin ASC SB sin
3 2
，证毕.
PE
PF
1
x,
y VP ABCD 22 3 4
PD
3
四棱锥 P ABCD 中，设 PB
，
VP AEMF VP AEF VP MEF VP AEF
8选项，取 a 1 ， b 1 ，则 a b 成立，但 a b ，A 选项错误；
对于 B 选项，取 a ， b 0 ，则 a b 成立，但 sin sin 0 ，即 sin a sin b ，B 选项
错误；
x
a
b
1
1 1
.
的单调递增区间;
x ,
6 4 时,求 f x 的值域.
(2)当
19．如图，四棱柱
A1O
ABCD A1 B1C1 D1
底面 ABCD ，
（1）求证：平面
AA1 AB 2
A1CO
平面
的底面 ABCD 是菱形 AC BD O ，
.
BB1 D1 D
C
7．【答案】A
【解析】
∵f（﹣x）
e x 1
1 ex
ex 1
x 1 e x
x ex 1
x 1 ex
f（x），
∴f（x）是偶函数，故 f（x）图形关于 y 轴对称，排除 C，D；
又 x=1 时，
∴排除 B，
f 1
e 1
2020年浙江省高考数学压轴试卷(含答案解析)
2020年浙江省高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，集合0，1，2，，则A. B. 1， C. 0， D. 0，1，2.复数的共轭复数是A. B. C. D.3.记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 84.底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是A.B. 8C.D.5.若实数x，y满足不等式组，则A. 有最大值，最小值B. 有最大值，最小值2C. 有最大值2，无最小值D. 有最小值，无最大值6.“”是“直线和直线互相垂直”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.函数其中e为自然对数的底数的图象大致为A. B.C. D.8.已知a，，且，则A. B. C. D.9.设是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M为PC中点，过AM作平面AEMF与线段PB，PD分别交于点E，可以是线段端点，则四棱锥的体积的取值范围为A. B. C. D.10.若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是A. B.C. 或D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.九章算术中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺．12.二项式的展开式中常数项为______所有项的系数和为______．13.设双曲线的半焦距为c，直线l过，两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为______；渐近线方程为______．14.已知函数，若，则实数______；若存在最小值，则实数a的取值范围为______．15.设向量，，满足，，，若，则的最大值是______．16.某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是______．17.已知函数，若在区间上方程只有一个解，则实数m的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数．求的单调递增区间；当时，求的值域．19.如图，四棱柱的底面ABCD是菱形，，底面ABCD，．求证：平面平面；若，求OB与平面所成角的正弦值．20.等比数列的各项均为正数，且，．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．21.已知抛物线上的两个动点和，焦点为线段AB的中点为，且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8．求抛物线的标准方程；若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求面积的最大值．22.已知函数．Ⅰ若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；Ⅱ若函数有两个不同的零点，，求实数a的取值范围；求证：其中为的极小值点-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用，属基础题．先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出．【解答】解：集合，0，1，2，，0，．故选C．2.答案：A解析：解：复数的共轭复数．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查等差数列通项公式及等差数列求和的基本量运算，属于简单题．利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的公差．【解答】解：为等差数列的前n项和，设公差为d，，，解得，，的公差为4．故选C．4.答案：C解析：解：根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为，高为；所以该四棱锥的体积是．故选：C．根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．5.答案：C解析：解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；设，则直线是一组平行线；当直线过点A时，z有最大值，由，得；所以z的最大值为，且z无最小值．故选：C．画出不等式组表示的平面区域，设，则直线是一组平行线，找出最优解，求出z有最大值，且z无最小值．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．6.答案：C解析：解：“”时，直线为，和互相垂直，充分条件成立；“直线和直线互相垂直”，两线斜率乘积为，，所以“”，必要条件成立，因而是充分必要条件．故选：C．验证比较易，对于只须两线斜率乘积为即可．本题主要考查直线与直线垂直的判定，以及充要条件，是基础题目．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法进行排除是解决本题的关键，属于基础题．根据函数值的符号是否对应，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当时，，则；当时，，则，所以的图象恒在x轴下方，排除B，C，D，故选A．8.答案：C解析：解：设，由指数函数的性质知，函数为R上的减函数，又，故．故选：C．由不等式的性质及指数函数的图象及性质直接判断得解．本题考查不等式的性质及指数函数的图象及性质，属于基础题．9.答案：B解析：解：为了建立四棱锥的体积与原三棱锥的体积的关系，我们先引用下面的事实，如图设，，分别在三棱锥的侧棱SA，SB，SC上，又与的体积分别为和V，则事实上，设C，在平面SAB的射影分别为H，，则又所以下面回到原题：设，的体积，于是由上面的事实有：，得：，于是，而由，，得，则，又得，所以，当时，，V为减函数，当时，，V为增函数所以得：，又，得，故答案为，故选：B．由三棱锥被截四面体的体积与原四棱锥的体积的结论，转化到本题中，进而转化成函数求最值问题，求导分析单调性后即可求得最值，本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度较大10.答案：D解析：【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题．由题意可得可以看作点P到直线m：与直线l：距离之和的5倍，，根据点到直线的距离公式解得即可．【解答】解：设，故可以看作点P到直线m：与直线l：距离之和的5倍，取值与x，y无关，这个距离之和与P无关，如图所示：当圆在两直线之间时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，，化简得，解得或舍去，．故选：D．11.答案：165解析：解：设该女子每天的织布数量为，由题可知数列为公比为2的等比数列，设数列的前n项和为，则，解得，所以，．故答案为：，165．设该女子每天的织布数量为，由题可知数列为公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式以及前n项和公式即可求解．本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题．12.答案：5 32解析：解：展开式的通项为：，令，解得，所以展开式中的常数项为：．令，得到所有项的系数和为．故答案为：5，32．利用展开式的通项公式可得展开式中的常数项；令，得到所有项的系数和．本题考查了二项式的展开式的通项公式及其性质、方程的解法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.答案：2解析：解：由题可设直线l方程为：，即，则原点到直线的距离，解得，两式同时平方可得，又，代换可得，展开得：，同时除以得：，整理得，解得或4，又，所以，所以；，所以渐近线方程为：．故答案为：2；．利用已知条件结合点到直线的距离，求出a，b，c关系，然后求解离心率，然后求解渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，考查计算能力．14.答案：解析：解：，，，．易知时，；又时，递增，故，要使函数存在最小值，只需，解得：．故答案为：，．根据题意列出关于a的方程即可；在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．本题考查分段函数的值域的求法．分段函数问题本着先分段研究，再综合的原则解决问题，属于基础题．15.答案：解析：解：，，，，不妨设，，，，，，表示线段上的点到圆的距离，在直角坐标系中画出线段线段和圆，如下：由图象知当．故答案为：．不妨设，，，则，表示线段上的点到圆的距离，然后求出最大距离即可．本题考查了平面向量的坐标运算和向量模的几何意义，考查了转化思想与数形结合思想，属中档题．16.答案：36解析：解：把“参观工厂”与“环保宣讲”这两个项目当做一个整体，共有种方法，其中，把“民俗调查”安排在周一，有种方法，满足条件的不同安排方法的种数为，故答案为：36．利用“捆绑法”、“间接法”及排列组合的计算公式即可得出结果．本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，熟练掌握排列组合的意义及其计算公式是解题的关键．对于相邻问题经常使用“捆绑法”对于排除不符合条件的选法可用排除法，属于中档题．17.答案：或解析：解：当时，由，得到，即：，当时，由，得到：，令函数，转换为：与函数的图象在区间上有且只有一个交点．在同一坐标系内画出，与函数的图象，结合函数的图象，即，由于函数的图象只有一个交点，如图所示：故：，解得：．故函数有一个交点，则：m的取值范围是：或故答案为：或利用分类讨论思想对函数的关系式进行应用，进一步利用函数的图象的应用求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：函数的图象的应用，函数的图象的交点的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：解：函数，令，求得，故函数的增区间为；若，则，故当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为，所以函数的值域为．解析：直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出结果．利用函数的定义域的应用求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.答案：证明：由底面ABCD可得，又底面ABCD是菱形，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面D.解：因为底面ABCD，以O为原点，，，为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则0，，，，0，，，，设平面的一个法向量为，由，即，取得，又，所以，所以OB与平面所成角的正弦值为．解析：证明，，推出平面，然后证明平面平面D.以O为原点，，，为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，结合，利用空间向量的数量积求解OB与平面所成角的正弦值即可．本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.答案：解：设数列的公比为q，由．得．所以．由条件可知，故．由，得，所以．故数列的通项式为．．故，数列的前n项和：．所以数列的前n项和为：．解析：本题考查数列求和以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，为中档题．利用已知条件求出数列的公比与首项，然后求数列的通项公式．利用对数运算法则化简，然后化简数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可．21.答案：解：由题意可知，则，，抛物线的标准方程为：；设直线AB的方程为：，联立方程，消去x得：，，，即，即，，设AB的中垂线方程方程为：，即，可得点C的坐标为，直线AB的方程为：，即，点C到直线AB的距离，，令，则，，令，，令得，，在上，，函数单调递增；在上，，函数单调递减，当，即时，．解析：利用抛物线的定义可得，求出p的值，从而得到抛物线的方程；设直线AB的方程为：，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得，利用AB的中垂线方程可得点C的坐标，再利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离d，所以，令，则，利用导数得到当，即时，．本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．22.答案：解：Ⅰ由，得，设，；则；由，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上单调递增，，所以；所以，实数a的取值范围是：Ⅱ因为函数有两个不同的零点，不单调，所以．因此有两个根，设为，，且，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；又，，当x充分大时，取值为正，因此要使得有两个不同的零点，则必须有，即；又因为；所以：，解得，所以；因此当函数有两个不同的零点时，实数a的取值范围是．先证明不等式，若，，，则．证明：不妨设，即证，设，，只需证且；因为，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，从而不等式得证．再证原命题．由得；所以，两边取对数得：；即．因为，所以，因此，要证．只需证；因为在上单调递增，，所以只需证，只需证，即证，其中；设，，只需证；计算得；．由在上单调递增，得，所以；即在上单调递减，所以：；即在上单调递增，所以成立，即原命题得证．解析：Ⅰ先求其导函数，转化为，即求的最小值即可；Ⅱ结合第一问的结论得不单调，故；设有两个根，设为，，且，可得原函数的单调性，把问题转化为，即可求解结论．转化为先证明不等式，若，，，则再把原结论成立转化为证；构造函数一步步推其成立即可．本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，是对导数知识的综合考查，属于难题．。
2020年浙江省高考数学压轴试卷(有答案解析)
2020年浙江省高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁U B）（）A. ∅B. {5}C. {3}D. {3，5}2.已知双曲线（a＞0）的离心率为，则a的值为（）A. B. C. D.3.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A. 4+2B. 2C. 4+4D. 6+44.若复数z满足：1+（1+2z）i=0（i是虚数单位），则复数z的虚部是（）A. B. C. D.5.函数y=2x2-e|x|在[-2，2]的图象大致为（）A. B.C. D.6.已知平面α与两条不重合的直线a，b，则“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.（1-x）4（1+x）5的展开式中x3的系数为（）A. 4B. -4C. 6D. -68.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查．根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是．现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，则期望E（X）和方差D（X）分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，9.已知A，B，C是球O球面上的三点，且，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）A. B. C. D.10.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a7=5，S5=-55，则nS n的最小值为（）A. B. C. D.11.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种二、填空题（本大题共6小题，共32.0分）12.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款．问他们的人数和物品价格？答：一共有______人；所合买的物品价格为______元．13.已知x，y满足条件则2x+y的最大值是______，原点到点P（x，y）的距离的最小值是______14.在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积，则c＝________；三角形外接圆的半径为________．15.已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|-|的最小值是______，最大值是______．16.已知实数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围为______．17.已知直线y=-x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[，]，则a的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.设函数f（x）=sin（ωx-）+sin（ωx-），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[-，]上的最小值．19.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求首项a1与m的值；（2）若数列{b n}满足，求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．20.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=120°，PA⊥平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点．（1）证明：AM⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，MH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角M-AN-C的余弦值．21.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为5．（1）求该抛物线C的方程；（2）已知抛物线上一点M（t，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由．22.已知函数．若函数是单调递减函数,求实数a的取值范围；若函数在区间上既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵U={1，2，3，4，5，6}，B={1，2}，∴∁U B═{3，4，5，6}，又集合A={1，3，5}，∴A∩∁U B={3，5}，故选：D．先由补集的定义求出∁U B，再利用交集的定义求A∩∁U B．本题考查交、并补集的混合运算，解题的关键是熟练掌握交集与补集的定义，计算出所求的集合．2.答案：B解析：解：双曲线，可得c=1，双曲线的离心率为：，∴，解得a=．故选：B．直接利用双曲线求出半焦距，利用离心率求出a即可．本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线的简单性质的应用．3.答案：D解析：【分析】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力，属于基础题．根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积=2×+2×2+2×=6+4．故选：D．4.答案：B解析：解：由1+（1+2z）i=0，得z=，∴复数z的虚部是，故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．解析：【分析】本题考查的知识点是函数的图象，属于基础题.根据已知函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵，∴，故函数为偶函数，当时，，故排除A，B；当时，，则有解为x0，当时，时，故函数在[0，2]不是单调的，故排除C，故选D.6.答案：A解析：解：a⊥α，且b⊥α⇒a∥b，反之不成立．可能a，b分别于α，β斜交．∴“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的充分不必要条件．故选：A．a⊥α，且b⊥α⇒a∥b，反之不成立．可能a，b分别于α，β斜交．本题考查了空间线面位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：B解析：解：（1-x）4（1+x）5=（1-4x+6x2-4x3+x3）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），故展开式中x3的系数为10-40+30-4=-4，故选：B．把（1-x）4和（1+x）5按照二项式定理展开，可得展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.答案：B解析：解：由题意，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率．从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，所以．X0123p均值，方差．从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率．说明每次抽取的结果是相互独立的，推出．得到分布列，然后求解期望即可．本题考查独立重复实验的概率的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．9.答案：D解析：解：如图，在△ABC中，∵AB=AC=3，BC=3，∴由余弦定理可得cos A==-，则A=120°，∴sin A=．设△ABC外接圆的半径为r，则，得r=3．设球的半径为R，则，解得R=2．∵×3×3×=，∴三棱锥D-ABC体积的最大值为=，故选：D．由题意画出图形，求出三角形ABC外接圆的半径，设出球的半径，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半径，则三棱锥D-ABC体积的最大值可求．本题主要考查空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，是中档题．10.答案：A解析：解：由题意可得，解可得a1=-19，d=4，∴S n=-19n=2n2-21n，∴nS n=2n3-21n2，设f（x）=2x3-21x2，f′（x）=6x（x-7），当0＜x＜7时，f′（x）＜0；函数是减函数；当x＞7时，f′（x）＞0，函数是增函数；所以n=7时，nS n取得最小值：-343．故选：A．分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得a1，d，在代入求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11.答案：A解析：【分析】本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素，是简单题.根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论，依次分析乙丙的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有=6种安排方法，则此时有4×2×6=48种编排方法；②甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；③甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种；故选：A．12.答案：7 ；53解析：解：设人数为x，物品价格为y，则，解得x=7，y=53．故答案为：7，53．列方程组求解．本题考查了方程的应用，属于基础题．13.答案：6解析：解：作出x，y满足条件的可行域如图：目标函数z=2x+y在的交点A（2，2）处取最大值为z=2×2+1×2=6．原点到点P（x，y）的距离的最小值是：|OB|=．故答案为：6；；画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2x+y的位置，求出最大值．利用可行域转化求解距离即可．本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．14.答案：2；2解析：【分析】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式，属于基础题.由条件求得c =2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sin A=c•，∴c=2=b，故B=（180°-A）=30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2.故答案为2；2.15.答案：4解析：解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：|+|=，|-|=，令x=，y=，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=-x+z，则直线y=-x+z过M、N时z最小为z min=1+3=3+1=4，当直线y=-x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max=×=．综上所述，|+|+|-|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|+|=、|-|=，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．16.答案：（-∞，-2]解析：解：原问题等价于f2（x）+f（x）=-t有三个不同的实根，即y=-t与y=f2（x）+f （x）有三个不同的交点，当x≥0时，y=f2（x）+f（x）=e2x+e x为增函数，在x=0处取得最小值为2，与y=-t只有一个交点．当x＜0时，y=f2（x）+f（x）=lg2（-x）+lg（-x），根据复合函数的单调性，其在（-∞，0）上先减后增．所以，要有三个不同交点，则需-t≥2，解得t≤-2．原问题等价于f2（x）+f（x）=-t有三个不同的实根，即y=-t与y=f2（x）+f（x）有三个不同的交点，然后分x≥0和x＜0两种情况代入解析式可得．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．17.答案：解析：解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），由，消去y，可得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，∴则x1+x2=，x1x2=，由△=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）＞0，整理得a2+b2＞1．∴y1y2=（-x1+1）（-x2+1）=x1x2-（x1+x2）+1．∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），可得•=0∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（-x1+1）（-x2+1）=0，化简得2x1x2-（x1+x2）+1=0．∴2•-+1=0．整理得a2+b2-2a2b2=0．∵b2=a2-c2=a2-a2e2，∴代入上式，化简得2a2=1+，∴a2=（1+）．∵e∈[，]，平方得≤e2≤，∴≤1-e2≤，可得≤≤4，因此≤2a2=1+≤5，≤a2≤，可得a2的最大值为，满足条件a2+b2＞1，∴当椭圆的离心率e=时，a的最大值为．故答案为：．将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得2a2=1+，由离心率的取值范围，即可求得a的最大值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx-）+sin（ωx-）=sinωx cos-cosωx sin-sin（-ωx）=sinωx-cosωx=sin（ωx-），又f（）=sin（ω-）=0，∴ω-=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin （x-）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+-）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x-）；当x∈[-，]时，x-∈[-，]，∴sin（x-）∈[-，1]，∴当x=-时，g（x）取得最小值是-×=-．解析：本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[-，]时g（x）的最小值．19.答案：解：（1）由已知得a m=S m-S m-1=4，且a m+1+a m+2=S m+2-S m=14，设数列{a n}的公差为d，则有2a m+3d=14，∴d=2由S m=0，得，即a1=1-m，∴a m=a1+（m-1）×2=m-1=4∴m=5，a1=-4（2）由（1）知a1=-4，d=2，∴a n=2n-6∴n-3=log2b n，得．∴．设数列{（a n+6）b n}的前n项和为T n∴①②①-②得==∴解析：（1）利用a m=S m-S m-1，转化求出数列的公差，然后利用已知条件求解m．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．20.答案：（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，可得∠ABC=60°，△ABC 为正三角形．因为M为BC的中点，所以AM⊥BC．…（2分）又BC∥AD，因此AM⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以PA⊥AM．而PA∩AD=A，所以AM⊥平面PAD．…（4分）（2）解：AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，MH．由（1）知：AM⊥平面PAD，则∠MHA为MH与平面PAD所成的角．在Rt△MAH中，AM=，∴当AH最短时，∠MHA最大，即当AH⊥PD时，∠MHA最大．此时，tan∠MHA==又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2．由（1）知AM，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），，，，则，，，设AC的中点为E，则，故就是面PAC的法向量，．设平面MAN的法向量为n=（x，y，1），二面角M-AN-C的平面角为θ．．，∴二面角M-AN-C的余弦值为．…（12分）解析：（1）利用菱形与等边三角形的性质可得：AM⊥BC，于是AM⊥AD．利用线面垂直的性质可得PA⊥AM．再利用线面垂直的判定与性质定理即可得出；（2）连接AH，MH．由（1）知：AM⊥平面PAD，可得：∠MHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AM=，可知：当AH最短时，∠MHA最大，即当AH⊥PD时，∠MHA最大．利用直角三角形边角关系可得PA=2．由（1）知AM，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求出法向量，利用向量夹角求解即可．本题考查了直线与平面垂直的判定．在题中出现了探究性问题，在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想，属于中档题．21.答案：解：（1）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为，∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴，∴p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）由（1）可得点M（4，4），可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为：x=my+t，联立，得y2-4my-4t=0，则△=16m2+16t＞0①．设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=-4t．∵•=（x1-4，y1-4）•（x2-4，y2-4），=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16，=，=，=t2-16m2-12t+32-16m=0即t2-12t+32=16m2+16m，得：（t-6）2=4（2m+1）2，∴t-6=±2（2m+1），即t=4m+8或t=-4m+4，代入①式检验均满足△＞0，∴直线DE的方程为：x=my+4m+8=m（y+4）+8或x=m（y-4）+4．∴直线过定点（8，-4）（定点（4，4）不满足题意，故舍去）．解析：（1）求出抛物线的焦点坐标，结合题意列关于p的等式求p，则抛物线方程可求；（2）由（1）求出M的坐标，设出直线DE的方程x=my+t，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后D，E两点纵坐标的和与积，利用⊥得到t与m的关系，进一步得到DE方程，由直线系方程可得直线DE所过定点．本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属中档题．22.答案：解：（1），∵函数f（x）是单调递减函数，∴f'（x）≤0对（0，+∞）恒成立，∴-2x2+ax-1≤0对（0，+∞）恒成立，即对（0，+∞）恒成立，∵（当且仅当2x=，即x=时取等号），∴；（2）∵函数f（x）在（0，3）上既有极大值又有极小值．∴在（0，3）上有两个相异实根，即2x2-ax+1=0在（0，3）上有两个相异实根，，则，得，即．解析：本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．（1）求出导函数，通过f'（x）≤0对（0，+∞）恒成立，分离变量推出a，利用基本不等式求解函数的最小值，得到a的范围．（2）通过函数f（x）在（0，3）上既有极大值又有极小值，则说明导函数有由两个零点，列出不等式组求解即可．。
2020届浙江省高三下学期高考压轴卷数学试题(解析版)
2020届浙江省高三下学期高考压轴卷数学试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,0,1,2}-【答案】C【解析】试题分析：由，得，选C.【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集． 2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解. 【详解】 因为,所以其共轭复数是，选C.【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.4．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A ．43B ．8C ．433D ．83【答案】C【解析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2，求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积. 【详解】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2, 画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为224S ==，高为22213h -=；所以该四棱锥的体积是114343333V Sh==⨯⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5．若实数,x y满足不等式组2222yx yx y⎧⎪-⎨⎪-⎩，则3x y-( )A．有最大值2-，最小值83-B．有最大值83，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值2-，无最大值【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域，设3z x y=-，则直线30x y z--=是一组平行线，找出最优解，求出z有最大值，且z无最小值．【详解】画出不等式组2222yx yx y⎧⎪-⎨⎪-≥⎩表示的平面区域，如图阴影所示；设3z x y=-，则直线30x y z--=是一组平行线；当直线过点A时，z有最大值，由22yx y=⎧⎨-=⎩，得(2,0)A；所以z的最大值为3202x y-=-=，且z无最小值.故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．6．“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直的充要条件是1()110a ⨯-+⨯=，即1a =，故选C7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）A ．11a b<B ．sin sin a b >C ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22a b >【答案】C【解析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.【详解】对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但11a b>，A 选项错误；对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；对于C 选项，由于指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若a b >，则1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C选项正确；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.9．设P ABCD -是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M 为PC 中点，过AM 作平面AEMF 与线段PB ，PD 分别交于点E ，F （可以是线段端点），则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为（ ）A ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,2【答案】B【解析】设出比例关系,PE PFx y PB PD==，利用比例关系表示所求锥体体积，利用函数单调性即可求解. 【详解】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC -中，棱,,SA SB SC 上取点111,,A B C则111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC--⋅⋅=⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角θ，11111111111111sin sin3211sin sin32S A B C B SA CS ABC B SACSA SC ASC SBV V SA SB SCV V SA SB SCSA SC ASC SBθθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅，证毕. 四棱锥P ABCD-中，设,PE PFx yPB PD==，212343P ABCDV-=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEFP ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBCV V V V V V VV V V V V V -------------⎛⎫+==+=+⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PFxy xyPA PB PD PB PC PD⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMFV xy-=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAFP ABCD P ABC P ABC P DAC P ABC P DACV V V V V V VV V V V V V -------------⎛⎫+==+=+⎪⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PFx yPA PB PC PA PC PD⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMFV x y-=+即3,31xx y xy yx+==-，又01,0131xx yx≤≤≤=≤-，解得112x≤≤所以体积2313,[,1]312xV xy xx==∈-，令131,[,2]2t x t=-∈2(1)111()(2),[,2]332tV t t tt t+==++∈根据对勾函数性质，()V t在1[,1]2t∈递减，在[1,2]t∈递增所以函数()V t最小值4(1)3V=，最大值13(2)()22V V==，四棱锥P AEMF-的体积的取值范围为43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】此题考查用平面截四棱锥形成新的锥体的体积问题，关键在于通过一种恰当的方式表示出所求锥体的体积，利用函数关系求解最值，此题涉及三棱锥体积的引理，需要在平常学习中多做积累.10．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关， 则实数a 的取值范围是( ) A ．4a ≤ B ．46a -≤≤C ．4a ≤或6a ≥D ．6a ≥【答案】D【解析】根据点到直线距离公式，转化34349x y a x y -++--为点P 到两条平行直线的距离之和来求解实数a 的取值范围 【详解】依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去） 故选：D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、双空题11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺. 【答案】1031165 【解析】设该女子每天的织布数量为n a ，转化条件得数列{}n a 为公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式和前n 项和公式求得1531a =后即可得解. 【详解】设该女子每天的织布数量为n a ，由题可知数列{}n a 为公比为2的等比数列， 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()51512512a S -==-，解得1531a =， 所以2110231a a ==，()10105123116512S -==-.故答案为：1031，165. 【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.12．二项式521)x 的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________． 【答案】5 32【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出531)x展开式的通项，令x 的指数为0，求出r 的值，将r 的值代入通项求出展开式的常数项，令1x =，得到所有项的系数和.详解：展开式的通项为5552215521()r r rr r r T C C xx--+==， 令55022r -=，解得1r =， 所以展开式中的常数项为1255T C ==，令1x =，得到所有项的系数和为5232=，得到结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13．设双曲线()222210x y b a a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l ，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为_________.【答案】2 y =【解析】可设过（a ，0），（0，b ）两点的直线方程为1x ya b+=，结合点到直线距离公式可得24ab =，两式同时平方后，通过222c a b =+代换可转化为关于2e 的一元二次方程，即可求解 【详解】由题可设直线l 方程为：1x ya b+=，即0bx ay ab ，则原点到直线的距离4ab d c ===，解得24ab =，两式同时平方可得224163a b c =，又222b c a =-，代换可得()2224163a c a c -=，展开得：224416162a c a c -=，同时除以4a 得：2416163e e -=，整理得()()223440e e --=，解得243e =或4，又0b a >>，所以2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>，所以24,2ce e a===；b a ===b y x a =±=故答案为：2；y = 【点睛】本题考查由直线与双曲线的位置关系求解离心率，渐近线，点到直线距离公式的应用，属于中档题14．已知函数22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩，若(1)(1)f f -=，则实数a =_____；若()y f x =存在最小值，则实数a 的取值范围为_____.【答案】1 [1,0)-【解析】()1根据题意列出关于a 的方程即可；()2在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．【详解】(1)(1)f f -=，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=，1a ∴=-易知0x <时，()2(0,1)xf x =∈；又0x 时，2()log ()f x x a =-递增，故2()(0)log ()f x f a =-， 要使函数()f x 存在最小值，只需2()0a log a ->⎧⎨-⎩，解得：10a -<.故答案为：1，[1,0)-. 【点睛】本题考查分段函数的值域的求法．分段函数问题本着先分段研究，再综合的原则解决问题，属于中档题．三、填空题15．设向量,,a b c 满足1a =，||2b =，3c =，0b c ⋅=．若12λ-≤≤，则(1)a b c λλ++-的最大值是________．【答案】101+【解析】令()1n b c λλ=+-，计算出n 模的最大值即可，当n 与a 同向时a n +的模最大． 【详解】令()1n b c λλ=+-，则()2211318n b c λλλλ⎡⎤=+-=-⎣⎦12λ-≤≤，所以当1λ=-，max 13n ==，因此当n 与a 同向时a n +的模最大，max 2101a n a n +=+=+ 【点睛】本题主要考查了向量模的计算，以及二次函数在给定区间上的最值．整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析． 16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________． 【答案】36【解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=，作差即可求解【详解】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=，∴满足条件的不同安排方法的种数为481236-=， 故答案为：36． 【点睛】本题考查了简单排列应用问题，熟练掌握排列组合的意义及其计算公式是解题的关键，对于相邻问题经常使用“捆绑法”，注意“直接法”“间接法”的灵活选用，属于基础题.17．已知函数()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩若在区间[1,1]-上方程()1f x =只有一个解，则实数m 的取值范围为______． 【答案】1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩或1}m = 【解析】令11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则方程()1f x =等价于()2g x x m =+有且只有一个实数根，在同一平面直角坐标系中画出函数()g x 的图像和()2h x x m =+的图像，动态平移()h x 的图像可得实数m 的取值范围. 【详解】当01x ≤≤时，由()1f x =，得()221xx m +=，即212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当10x -≤<时，由()1f x =，得1221x x m +--=，即1221x x m +-=+.令函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则问题转化为函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与函数()h x =2x m +的图像在区间[1,1]-上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与2y x m =+在区间函数[1,1]-上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当(0)1h =，即1m =时，两个函数的图象只有一个交点；当(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数m 的取值范围是1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或.【点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．四、解答题18．已知函数()()23sin 22cos 1x R f x x x =-+∈.(1)求()f x 的单调递增区间; (2)当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域. 【答案】（1）,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3⎡-⎣. 【解析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的增区间；（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得()f x 的最大值和最小值． 【详解】(1) 函数()2322cos 1322226f x x sin x cos x in x x s π⎛⎫⎪=⎝=-+-=⎭-，令222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ，求得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数f (x )的增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)若,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当262x ππ-=-时，函数f (x )取得最小值为−2；当263x ππ-=时，函数f (x )取得最大值为3，所以函数的值域为2,3⎡⎤-⎣⎦. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题. 19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形AC BD O =，1A O ⊥底面ABCD ，12AA AB ==.（1）求证：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）若60BAD ∠=︒，求OB 与平面11A B C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（221【解析】（1）由线面垂直的性质可得1AO BD ⊥，由菱形的性质可得CO BD ⊥，由线面垂直的判定可得BD ⊥平面1A CO ，再由面面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，再求出平面11A B C 的一个法向量为m ，OB 的方向向量OB ，由cos ,||||OB mOB m OB m ⋅=即可得解.【详解】（1）证明：由1A O ⊥底面ABCD 可得1AO BD ⊥， 又底面ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥， 因为1AO CO O ⋂=，所以BD ⊥平面1A CO ，因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面1ACO ⊥平面11BB D D . （2）因为1A O ⊥底面ABCD ，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)B ，3,0)C ，(0,3,0)A ，1(0,0,1)A ，11(1,3,0)A B AB ==，()10,3,1AC =-， 设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =，由111030030m A B x m ACz ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩，取1x =得31,13m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 又(1,0,0)OB =，所以21cos ,7||||123OB mOB m OB m ⋅===+，所以OB 与平面11A B C 21. 【点睛】本题考查了面面垂直的证明以及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力，属于中档题.20．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 31323log log ......log nn b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）13n n a =（2）21n n -+【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由23269a a a =，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为1nb 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1nb }的前n项和试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19． 由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()21n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 【考点】等比数列的通项公式；数列的求和21．已知抛物线22y px =（0p >）上的两个动点()11,A x y 和()22,B x y ，焦点为F .线段AB 的中点为()03,M y ，且A ，B 两点到抛物线的焦点F 的距离之和为8.（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）24y x =；（2）39. 【解析】（1）利用抛物线的定义可得12||||68AF BF x x p p +=++=+=，求出p 的值，从而得到抛物线的方程；（2）设直线AB 的方程为：x my n =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得22||413AB m m =+-AB 的中垂线方程可得点C 的坐标，再利用点到直线距离公式求出点C 到直线AB 的距离d ，所以()221||4132S AB d m m =⋅=+-23t m -()244S t t =-⋅，利用导数可得最值. 【详解】（1）由题意知126x x +=，则12||||68AF BF x x p p +=++=+=， ∴2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =； （2）设直线:AB x my n =+（0m ≠） 由24x my n y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=， ∴124y y m +=，∴()121224226x y x y m n n m =+++=+=，即232n m =-，即()21221216304812m y y m y y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩，∴12||AB y y =-=设AB 的中垂线方程为：2(3)y m m x -=--，即(5)y m x =--， 可得点C 的坐标为(5,0)，∵直线2:32AB x my m =+-，即2230x my m -+-=，∴点C 到直线AB的距离d ==，∴()21||412S AB d m =⋅=+令t =223(0m t t =-<<，()244S t t ∴=-⋅令()2()44f t tt =-⋅，∴()2()443f t t'=-，令()0f t '=，则t =，在⎛ ⎝⎭上()0f t '>；在⎝上()0f t '<， 故()f t在0,3⎛ ⎝⎭单调递增，3⎛⎝单调递减，∴当3t =，即3m =±max 9S =. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题. 22．已知函数2()(1)(0)x f x x e ax x =+->.（1）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x . （ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：12011111x x t +->+.（其中0t 为()f x 的极小值点）【答案】（1）⎛-∞ ⎝⎭；（2）（ⅰ）12⎛⎫⋅+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（ⅱ）证明见解析.【解析】(1)先求其导函数，转化为()'0f x ≥，即求()22xx g x e a x+=⋅-的最小值即可；(2())ⅰ结合第一问的结论得()f x不单调，故(122a +⋅>；设()'0f x =有两个根，设为1t ，0t，且1001t t <<<，可得原函数的单调性，把问题转化为()00f t <，即可求解结论．()ⅱ转化为先证明不等式，若1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，则211221.2x x x xlnx lnx -+<<-再把原结论成立转化为证1202x x t +<；构造函数()()()00r x f t x f t x =+--一步步推其成立即可．【详解】（1）由2()(1)x f x x e ax =+-，得2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=-⎪⎝⎭，设2()x x g x e x +=⋅，(0)x >；则2222()xx x g x e x +-'=⋅； 由()0g x '，解得1x ≥-，所以()g x在1)上单调递减，在1,)+∞上单调递增，所以1min ()1)(2==⋅g x g因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()0f x '在(0,)+∞恒成立所以1(22⋅≥a ；所以，实数a的取值范围是：⎛-∞ ⎝⎭. （2）（i ）因为函数()f x 有两个不同的零点，()f x不单调，所以a >.因此()0f x '=有两个根，设为10,t t，且1001t t <<<，所以()f x 在()10,t 上单调递增，在()10,t t 上单调递减，在()0,t +∞上单调递增； 又()1(0)1f t f >=，()22()(1)(1)xxxf x x e ax a e xx a e =+-=-++-⋅，当x 充分大时，()f x 取值为正，因此要使得()f x 有两个不同的零点，则必须有()00f t <，即()200010t t e a t +-⋅<； 又因为()()0000220tf t t e at '=+-=；所以：()()000002202ttt t e t e +-⋅+<，解得0t >所以1122+>=a g 因此当函数()f x 有两个不同的零点时，实数a的取值范围是12⎛⎫⋅+∞ ⎪⎪⎝⎭. （ⅱ）先证明不等式，若12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠211221112x x x xnx nx -+<<-.证明：不妨设210x x >>，即证2212211211ln 1x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<<+，设211x t x =>，()ln g t t =-2(1)()ln 1t h t t t -=-+，只需证()0g t <且()0h t >；因为2()0g t '=<，22(1)()0(1)t h t t t -'=>+， 所以()g t 在(1,)+∞上单调递减，()h t 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)0g t g <=，()(1)0h t h >=，从而不等式得证.再证原命题12011111x x t +->+. 由()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩； 所以()()2212221211xx x e x e xx++=，两边取对数得：()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦；第 21 页 共 21 页 即()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+. 因为()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x -+-+-<--+-++++，所以121221112x x x x +<<+++， 因此，要证12011111x x t +->+. 只需证1202x x t +<；因为()f x 在()0,t +∞上单调递增，1020x t x <<<，所以只需证()()2022f x f t x <-， 只需证()()1012f x f t x <-，即证()()00f t x f t x +<-，其中()0,0x t ∈-； 设()()00()r x f t x f t x =+--，00t x -<<，只需证()0r x <；计算得()()00000()224t tr x x t e x x t e x at '=++++-++--； ()()2000()33t x r x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦.由()()20033x y x t ex t =+++--在()0,0t -上单调递增， 得()()0003030y t e t <++--=，所以()0r x ''<；即()r x '在()0,0t -上单调递减，所以：()0()(0)20r x r f t '''>==；即()r x 在()0,0t -上单调递增，所以()(0)0r x r <=成立，即原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，是对导数知识的综合考查，属于难题．。
2020年高考浙江卷数学试题(含解析)
1.已知集合{|14}P x x =<<，{|23}Q x x =<<，则P Q =（ ） A.{|12}x x <≤ B.{|23}x x << C.{|34}x x ≤< D.{|14}x x << 【答案】B【解析】由题易知，{|23}P Q x x =<<，故选B.2.已知a R ∈，若1(2)a a i -+-（i 是虚数单位）是实数，则a =（ ） A.1 B.1- C.2 D.2- 【答案】C【解析】因为1(2)a a i -+-是实数，则虚部为0，所以20a -=，即2a =.故选C.3.若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A.(,4]-∞B.[4,)+∞C.[5,)+∞D.(,)-∞+∞【答案】B【解析】根据约束条件，画出可行域，如图所示，将2z x y =+化为22x zy =-+，由图可知，当直线22x zy =-+经过点(2,1)时，截距z 最小，此时，z 取得最小值，即min 2214z =+⨯=，z 的最大值可取到无穷大， 则2z x y =+的取值范围为[4,)+∞.故选B.4.函数cos sin y x x x =+在区间[,]ππ-上的图象可能是（ ）A. B.C. D.【解析】函数()cos sin f x x x x =+，则()cos()sin()cos sin ()f x x x x x x x f x -=--+-=--=-， 则()f x 为奇函数，可排除C ，D 项；当x π=时，()cos sin 0f πππππ=+=-<，故选A.5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A.73 B.143 C.3 D.6 【答案】A【解析】由三视图易知，原几何体由一个三棱锥和一个三棱柱两部分组成， 该几何体的直观图如图所示，三棱锥的体积1111211323V =⨯⨯⨯⨯=，三棱柱的体积2121222V =⨯⨯⨯=，则该几何体的体积为1217233V V V =+=+=.故选A.6.已知空间中不过同一点的三条直线,,l m n ，“,,l m n 共面”是“,,l m n 两两相交”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】,,m n l 两两相交⇒,,m n l 在同一平面内，,,m n l 在同一平面内,,m n l ⇒两两相交，比如////m n l ，所以,,m n l 在同一平面内是,,m n l 两两相交的必要不充分条件.故选B.7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且11ad≤.记12b S =，*1222,n n n b S S n N ++=-∈，下列等式不可能成立的是（ ）A.4262a a a =+B.4262b b b =+C.2428a a a =D.2428b b b = 【答案】D【解析】等差数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d =+-，因为1n n b b +-222222()()n n n n S S S S +-=---2221221()4(2)n n n n a a a a d n ++-=+-+=≥，又214b b d -=，所以{}n b 是公差为4d 的等差数列，11(1)42(43)n b b n d a n d =+-⋅=+-，选项A ，B 由等差数列性质可知正确；选项C ，若2428a a a =，则2111(3)()(7)a d a d a d +=++， 化简得21a d d =，满足0d ≠，11ad≤，所以C 正确；选项D ，若2428b b b =，则2111(213)(25)(229)a d a d a d +=++，化简得2123a d d =，不满足0d ≠，11ad≤，所以D 正确.故选D.8.已知点(0,0)O ，(2,0)A -，(2,0)B .设点P 满足||||2PA PB -=，且P为函数y =图象上的点，则||OP =（ ）【答案】D【解析】由题知，(2,0)A -，(2,0)B ，点P 满足||||2PA PB -=， 由双曲线的定义可知，则22a =，即1a =，又||42AB c ==，则2c =，b ，所以点P 在双曲线22113x y -=右支上，而y =229(4)y x =-，则2222162y x +=，所以点P 又在椭圆221436x y +=上半部分(0)y ≥， 联立2222131436y x x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P ，则||OP ==故选D. 9.已知a ，b R ∈且0ab ≠，对于任意0x ≥均有()()(2)0x a x b x a b ----≥，则（ ） A.0a < B.0a > C.0b < D.0b > 【答案】C【解析】根据标根法分类讨论，三个根分别为123,,2x a x b x a b ===+，①当1230,0,0x x x ≤≤≤时，0,0a b ≤≤； ②当1230,x x x ≤=时，0,a b R =∈；③当2130,x x x ≤=时，0,b a b ≤=-，即0,0b a ≤≥； ④当3120,x x x ≤=时，0b ≤或0a ≤； 综上，0b ≤.10.设集合S ，T ，*S N ⊆，*T N ⊆，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足： ①对于任意的,x y S ∈，若x y ≠，则xy T ∈；②对于任意的,x y T ∈，若x y <，则yS x∈.下列命题正确的是（ ）A.若S 有4个元素，则S T 有7个元素B.若S 有4个元素，则S T 有6个元素C.若S 有3个元素，则S T 有5个元素D.若S 有3个元素，则S T 有4个元素 【答案】A【解析】取{1,2,4}S =，{2,4,8}T =，此时{1,2,4,8}S T =有4个元素，排除D ； 取{2,4,8}S =，{8,16,32}T =，此时{2,4,8,16,32}S T =有5个元素，排除C ；取{2,4,8,16}S =，{8,16,32,64,128}T =，此时{2,4,8,16,32,64,128}S T =有7个元素，排除B.故选A. 二、填空题11.我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1){}2n n +就是二阶等差数列，数列*(1){}()2n n n N +∈的前3项和是 . 【答案】10【解析】设(1)2n n n a +=，则11212a ⨯==，22332a ⨯==，33462a ⨯==，∴313610S =++=.12.二项展开式52345102354(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则4a = ，315a a a ++= . 【答案】80,122【解析】444445(2)5280C x x x =⨯⨯=，∴480a =，15(2)10C x x =，3533(2)80C x x ⋅=，5555(2)32C x x =，∴110a =，380a =，532a =， ∴513122a a a =++.13.已知tan 2θ=，则cos2θ= ；)an(t 4πθ-= .【答案】35-,13【解析】222222cos sin 1tan 143cos2cos sin 1tan 145θθθθθθθ---====-+++，tan tan2114tan 412131tan t (n 4)a πθπθπθ---===+⨯+. 14.已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是 . 【答案】1【解析】设圆锥母线长为l ，底面半径为r ， 由圆锥展开图的侧面积为2π可得2rl ππ=，由圆锥展开图的侧面为半圆可得1222r l ππ=⋅⋅，可解得1r =.15.已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k = ；b【解析】根据对称性直线AB 过线段12O O 中点(2,0)C ，故直线:(2)AB y k x =-，再由1||1O A =，且190O AC ∠=，得1230O CA O CB ∠=∠=，所以2tan k O CB =∠=，故b =16.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止，设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ== ，()E ξ= .【答案】13,1【解析】第一次红球114P =，第一次绿球第二次红球21114312P =⨯=，111(0)4123P ξ==+=， 红球在两黄球左边，中间，右边的概率为13，当红球在两黄球之外之内不同位置所取出的黄球数不同，∴111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.17.已知平面单位向量12,e e 满足12|2|2e e -≤，设12a e e =+，123b e e =+，设,a b 夹角为θ，则2cos θ的最小值为 .【答案】2829【解析】法一：22121122|2|24()4()2e e e e e e -≤⇒-⋅+≤，∴1234e e ⋅≥， ()()2212222121244()cos 22(106)||||e e a b e e e e a b θ+⋅⋅==⋅++⋅⋅，令1234k e e =⋅≥， 则224(1)4(1)424228cos 113(1)(53)533533295()()34k k k k k k θ++===⋅-≥-=+++++⨯. 法二：设1(1,0)e =，2(cos ,sin )e αα=， 2212|2|2(2cos )sin 2e e αα-≤⇒-+≤，∴3cos 4α≥， ||||cos ,a b a b a b ⋅=⨯⨯〈〉22(44cos )cos ,(22cos )(106cos )a b ααα+⇒〈〉=++88cos 44cos 106cos 53cos αααα++==++.设443(14()53)x f x x x +=≤≤+， 4(1)424228()113533533()(2)9534x f x x x +==⋅-≥-=+++⨯，即2min 28cos (9)2θ=. 三、解答题18.在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin 0b A=. （1）求角B 的大小；（2）求cos cos cos A B C ++的取值范围.【解析】（1）由正弦定理得2sin sin B A A ，故sin B 3B π=.（2）由A B C π++=得23C A π=-，由ABC ∆是锐角三角形得(,)62A ππ∈，由21cos cos()cos 32C A A A π=-=-+得1113cos cos cos cos sin()]22622A B C A A A π++=++=++∈.故cos cos cos A B C ++的取值范围是3]2.19.如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ACFD ⊥面ABC ，45ACB ACD ∠=∠=︒，2DC BC =. （1）证明：EF DB ⊥；（2）求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值.【解析】（1）如图，过点D 作DO AC ⊥，交直线AC 于点O ，连结OB .由45ACD ∠=︒，DO AC ⊥得CD ，由平面ACFD ⊥平面ABC 得DO ⊥平面ABC ，所以DO BC ⊥.由45ACB ∠=︒，12BC CD ==得BO BC ⊥，所以BC ⊥平面BDO ，故BC DB ⊥.由三棱台ABC DEF -得//BC EF ，所以EF DB ⊥.（2）方法一：过点O 作OH BD ⊥，交直线BD 于点H ，连结CH . 由三棱台ABC DEF -得//DF CO ，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角. 由BC ⊥平面BDO 得OH BC ⊥，故OH ⊥平面BCD ， 所以OCH ∠为直线CO 与平面DBC 所成角.设CD =，由2DO OC ==，BO BC ==得BD =，OH =sin OH OCH OC ∠==，因此，直线DF 与平面DBC . 方法二：由三棱台ABC DEF -得//DF CO ，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角，记为θ.如图，以O 为原点，分别以射线OC ，OD 为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -.设22CD =.由题意知各点坐标如下：(0,0,0)O ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)D . 因此(0,2,0)OC =，(1,1,0)BC =-，(0,2,2)CD =-. 设平面BCD 的法向量(,,)n x y z =，由00n BC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，可取(1,1,1)n =，所以||3sin |cos ,|3||||OCn OC n OC n θ⋅=<>==⋅. 因此，直线DF 与平面DBC . 20.已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足1111a b c ===，1n n n c a a +=-，12nn n n b c c b ++=，*()n N ∈. （1）若数列{}n b 为等比数列，公比0q >，且1236b b b +=，求q 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，公差0d >，证明：*12311,n c c c c n N d++++<+∈….【解析】（1）由1236b b b +=得216q q +=，解得12q =，由14n n c c +=得14n n c -=.由114n n n a a -+--得121421443n n n a a --+=++++=. （2）由12n n n n b c c b ++=得12111111()nn n n n b b c d c b b d b b +++==-， 所以123111(1)n n d c c c c d b ++++++=-， 由11b =，0d >得10n b +>，因此12311n c c c c d++++<+，*n N ∈. 21.如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （,B M 不同于A ）.（1）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标；（2）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值.【解析】（1）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32.（2）由题意可设直线l ：x my t =+（0m ≠，0t ≠），点00(,)A x y .将直线l 的方程代入椭圆1C ：2212x y +=得222(2)220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标22M mty m =-+. 将直线l 的方程代入抛物线2C ：22y px =得2220y pmy pt --=， 所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m +=，因此，22022(2)p m x m +=. 由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m t =时，p . 22.已知12a <≤，函数()x f x e x a =--，其中 2.71828e =是自然对数的底数.（1）证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点； （2）记0x 是函数()y f x =在(0,)+∞上的零点，证明：（i 0x ≤（ii ）()00(1)(1)xx f e e a a ≥--.【解析】（1）因为(0)10f a =-<，22(2)240f e a e =--≥->，所以()y f x =在(0,)+∞上存在零点.因为()1x f x e '=-，所以当0x >时，()0f x '>，故函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点.（2）（i ）令21()1(0)2xg x e x x x =---≥，()1()1x g x e x f x a '=--=+-，由（1）知函数()g x '在[0,)+∞上单调递增，故当0x >时，()(0)0g x g ''>=，所以函数()g x 在[0,)+∞单调递增，故()(0)0g x g ≥=.由0g ≥得00()f a f x =-≥=，因为()f x 在[0,)+∞0x ≥. 令1()21(01)x h x e x x =--≤≤，1()2x h x e '=-，所以故当01x <<时，1()0h x <，即1()0h x '<，所以()h x 在[0,1]单调递减，因此当01x ≤≤时，()(0)0h x h ≤=.由0h ≤得00()f a f x =≤=，因此()f x 在[0,)+∞0x ≤.0x ≤≤（ii ）令()(1)1x u x e e x =---，()(1)x u x e e '=--，所以当1x >时，()0u x '>，故函数()u x 在区间[1,)+∞上单调递增，因此()(1)0u x u ≥=.由00x e x a =+可得022000000()()(1)(2)(1)x a a x f e x f x a e x a e x e ax =+=-+-≥-，由0x ≥得00()(1)(1)x x f e e a a ≥--.。
2020年浙江省高考数学押题试卷(一) (含答案解析)
2020年浙江省高考数学押题试卷(一)一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.设全集U={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A={−2,0，1}，B={−3,0，1，2，3}，则A∪(∁U B)=()A. U={−3,−2,0，1，2，3}B. {−2}C. {0,1}D. {−2,−1,0，1}2.双曲线y2−x2=1的焦点坐标是()3A. (0,2)，(0,−2)B. (0,√2)，(0,−√2)C. (2,0)，(−2,0)D. (√2,0)，(−√2,0)3.某几何体的三视图如图所示，则其体积为()A. 3π4B. π+24C. π+12D. 3π+244.给出下列结论：①命题“∀x∈R,sinx≠1”的否定是“∃x∈R,sinx=1”；②命题“α=π”6是“sinα=1”的充分不必要条件；③数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”2的充分必要条件．其中正确的是()A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③5.设随机变量X～B(2,p)，随机变量Y～B(3,p)，若P(X⩾1)=5，则D(3Y−1)=()9A. 2B. 3C. 6D. 96.函数f(x)=e|x|+1的图象大致为()3x2+1A. B.C. D.7.设变量x，y满足约束条件{x−y⩾−1x+y⩽4y⩾2，则目标函数z=2x+4y的最大值为()A. 10B. 13C. 12D. 148.已知抛物线y2=4x的焦点为F，O为原点，若M是抛物线上的动点，则|OM||MF|的最大值为()A. √33B. √63C. 2√33D. 2√639.已知f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，若f(x)对任意的x1，x2∈[0,+∞)(x1≠x2)都满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则不等式f(x+1)−f(2x−1)<0的解集为()A. (0,2)B. (−2,+∞)C. (−∞,0)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)10.在三棱锥S−ABC中，AB⊥AC，AB=AC=SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为()A. √55B. √66C. √306D. 以上结论都不对二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.已知复数z满足zi=1−i，则|z|=______ ．12.用数学归纳法证明1+12+13+⋯+12n−1∗，n>1)时，第一步应验证________．13.若二项式(xx)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______．14.已知：△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，∠A=60°，S△ABC=√3，则b+c=______ ．15.若平面向量a⃗,b⃗ 满足：|2a⃗−b⃗ |≤3，则a⃗·b⃗ 的最小值是________．16.甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有种．17.已知数列{a n}的前n项和为S n=5n2+kn−19，且a10=100，则k=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知函数f(x)=sin2(ωx+π2)−sinωx⋅[sinωx−2√3cos(ωx+π)](其中ω>0)的最小正周期为2π．(1)求ω的值及f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)得到函数y=g(x)的图象．若关于x的方程g(x)+m=0在区间[−π4,π6]上有且只有一个解，求实数m的取值范围．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，AB=BC=2，∠ACB=30°，∠C1CB=60°，BC1⊥A1C，E为AC的中点，侧棱CC1=2．(1)求证：A1C⊥平面C1EB；(2)求直线CC1与平面ABC所成角的余弦值．20.已知数列{a n}的前n项和S n满足：a1a n=S1+S n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a n>0，数列{log2a n32}的前n项和为T n，试问当n为何值时，T n取得最小值？并求出最小值．21.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点P(√3,√32)在C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设F1,F2分别是椭圆C的左，右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B，求ΔF1AB的内切圆的半径的最大值．22.已知函数f(x)=ax3+bx2−3x在x=±1处取得极值．(1)求a，b的值；(2)若函数y=f(x)−t只有一个零点，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∁U B={−2,−1}；∴A∪(∁U B)={−2,−1,0，1}．故选：D．进行补集、并集的运算即可．考查列举法的定义，以及补集、并集的运算．2.答案：A解析：本题主要考查双曲线的基本性质，考查了学生的分析与计算能力，属基础题．在求双曲线的焦点时，一定要先判断出焦点所在位置，再下结论，以免出错．−x2=1，解：因为双曲线方程为y23所以a2=3,b2=1，且焦点在y轴上，∴c=√a2+b2=2，故双曲线的焦点坐标为(0,−2)，(0,2)，故选A．3.答案：D解析：本题考查了几何体的三视图，要求对应的几何体体积，关键是正确还原几何体．由已知三视图得到几何体是一个圆锥沿两条母线切去部分后得到的几何体，因此计算体积．解：由已知三视图得到几何体是一个圆锥沿两条母线切去部分后得到的几何体，如图所示，则圆锥的底面圆半径为1，高为3，该几何体的体积为34×13×π×12×3+13×12×1×1×3=3π+24；故选：D ．4.答案：A解析：对于①命题“∀x ∈R,sinx ≠1”的否定是“∃x ∈R,sinx =1”正确；对于②，当“α=π6”能得到“sinα=12”，由“sinα=12”不能得到“α=π6”，命题“α=π6”是“sinα=12”的充分不必要条件，正确；对于③，当“a n+1=3a n ”不能得到“数列{a n }为等比数列”如a n =0为常数列时，由“数列{a n }为等比数列”不能得到“a n+1=3a n ”，错误，正确的为①②，故答案为A ．5.答案：C解析：本题考查二项分布与离散型随机变量的方差的知识，属中档题．由X ～B(2,p)和P(X ≥1)可得到关于p 的方程，解出p 的值，再由方差公式可得到结果． 解：∵随机变量X ～B(2,p)，∴P(X ≥1)=1−P(X =0)=1−C 20(1−p)2=59，又0<p <1，解得p =13， 又Y ～B(3,p)，∴D(Y)=3×13×23=23，∴D(3Y−1)=9×23=6．故选C.6.答案：D解析：【试题解析】本题考查了函数的奇偶性和函数图象的作法，善用排除法，是基础题．函数f(x)为偶函数，故排除A；又f(1)=e4+1>32，故排除B，C．解：因为f(−x)=e|−x|3(−x)2+1+1=e|x|3x2+1+1=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故排除A；又f(1)=e4+1>32，故排除B，C．故选D．7.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．画出可行域，利用目标函数对应的直线在y轴上的截距求最大值即可．解：约束条件满足的可行域如图：，当直线y =−12x +z4经过图中A 时z 最大 由{x −y =−1x +y =4，得到A(32,52)， 所以z 的最大值为2×32+4×52=13． 故选B ．8.答案：C解析：解：由抛物线方程为：y 2=4x ，则准线x =−1， 设M(14m 2,m)，m >0，设M 到准线x =−1的距离等于d ， 则|OM||MF|=|OM|d=√m 416+m 214m 2+1=√m 4+16m 2(m 2+4)2=√(m 2+4)2+8(m 2+4)−48(m 2+4)2=√1+8m 2+4−48(m 2+4)2设m 2+4=t ， ∴|OM||MF|=√1+8t−48t 2=√1−48(1t−112)2+13=√43−48(1t−112)2， 当1t =112时，即t =12时，有最大值，最大值为√43=2√33故选：C由抛物线方程为：y 2=4x ，可得准线x =−1，由抛物线的定义可得|OM||MF|=|OM|d，化简再换元，利用函数的性质求得最大值本题考查抛物线的定义，考查换元的思想，解题的关键是表达出|OM||MF|，再利用函数的性质，属于中档题．9.答案：C解析：本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，关键是得到关于x 的不等式，属于基础题． 根据题意，由函数为偶函数可得f(x +1)−f(2x −1)<0⇒f(|x +1|)<f(|2x −1|)，进而分析可得在[0,+∞)上为增函数，据此可得f(|x +1|)<f(|2x −1|)⇒|x +1|<|2x −1|，解可得x 的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数， 则f(x +1)−f(2x −1)<0⇒f(|x +1|)<f(|2x −1|)，若f(x)对任意的x1，x2∈[0,+∞)(x1≠x2)都满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(|x+1|)<f(|2x−1|)⇒|x+1|<|2x−1|，变形可得：(x+1)2<(2x−1)2，解可得：x<0或x>2，即不等式的解集为(−∞,0)∪(2,+∞)；故选C．10.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．取AC中点为E，连接DE，SE，则DE//AB，∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，由此能求出异面直线AB与SD所成角的余弦值．解：如图，取AC中点为E，连接DE，SE，∵D，E分别为BC，AC的中点，所以DE//AB，∴∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，令AB=AC=SA=2，由勾股定理得SE=√5，∵SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴SA⊥AB，又AB⊥AC，AC∩SA=A，AC,SA⊂平面SAC，∴BA⊥平面SAC，∴DE⊥平面SAC，SE⊂平面SAC，∴DE⊥SE，又DE=1.∴SD=√6．在Rt△SDE中，cos∠SDE=DESD =√6=√66．∴异面直线AB与SD所成角的余弦值为√66．故选B．11.答案：√2解析：解：复数z满足zi=1−i，|zi|=|1−i|，则|z|=√2．故答案为：√2；直接利用复数的求模的法则求解即可．本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．12.答案：1+12+13<2解析：本题考查数学归纳法，在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误，直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到122−1，不要漏掉项．解：∵n∈N∗，n>1，∴n取的第一个数为2，左端分母最大的项为122−1=13．故答案为1+12+13<2．13.答案：15解析：解：∵二项式(x√x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴n=6，则展开式中的通项公式为Tr+1=C6r⋅(−1)r⋅x6−32r.令6−32r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为C64=15，故答案为：15先求出n的值，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14.答案：4解析：解：∵S△ABC=12bcsinA=12bcsin60°=√3，∴bc=4由余弦定理知：a2=b2+c2−2bccosA，从而有4=b2+c2−bc，解得b2+c2=8∴(b+c)2=b2+c2+2bc=8+8=16，从而解得b+c=4．故答案为：4．由S△ABC=12bcsinA=12bcsin60°=√3，可解得bc=4，由余弦定理知：a2=b2+c2−2bccosA，从而解得b2+c2=8，从而(b+c)2=b2+c2+2bc=16，从而解得b+c=4．解决三角形问题，正、余弦定理是我们常用的定理，利用余弦定理，通常需知道三角形的两边及其夹角或已知三边，本题属于基本知识的考查．15.答案：−98解析：本题考查向量的数量积以及向量的模，属于基础题．将|2a⃗−b⃗ |≤3两边平方，得4a⃗2+b⃗ 2≤9+4a⃗⋅b⃗ ，结合4a⃗2+b⃗ 2≥4|a⃗||b⃗ |≥−4a⃗·b⃗⃗⃗⃗ ，可求a⃗·b⃗ 的最小值．解：因为|2a⃗−b⃗ |≤3，所以(2a⃗ )2+b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗ ≤9，即4a⃗2+b⃗ 2≤9+4a⃗⋅b⃗ ，而4a⃗2+b⃗ 2≥4|a⃗||b⃗ |≥−4a⃗·b⃗⃗⃗⃗ ，则9+4a⃗⋅b⃗ ≥−4a⃗⋅b⃗ ，即−8a⃗·b⃗ ≤9，所以a⃗·b⃗ ≥−98，即a⃗·b⃗ 的最小值是−98．故答案为−98．16.答案：24解析：本题主要考查排列组合及分步乘法原理，正确运用捆绑法是关键，属于基础题．将甲、乙看做一个元素安排中间位置，其余3人排其他3个位置，利用乘法原理可得答案．解：根据题意，甲、乙看做一个元素安排中间位置，共有C21A22=4种排法，其余3人排其他3个位置，共有A33=6种排法，利用乘法原理，可得不同的排法有4×6=24种．故答案为24．17.答案：5解析：解：∵S n=5n2+kn−19，由a10=100，得S10−S9=5×102+10k−19−(5×92+9k−19)=100，解得：k=5．故答案为：5．直接由a10=S10−S9列式求得k的值．本题考查了数列的求和，考查了数列的通项与前n项和的关系，是基础题．18.答案：解析：(1)f(x)=cos2(ωx)−sin2(ωx)+2√3sinωx⋅cos(ωx+π)=cos2ωx−2√3sinωx⋅cosωx=cos2ωx−√3sin2ωx=−2sin(2ωx−π6 )由f(x)最小正周期为2π|2ω|=2π，知ω=12此时f(x)=−2sin(x−π6)令π2+2kπ≤x−π6≤3π2+2kπ(k∈Z)解得x∈[2kπ+2π3,2kπ+5π3](k∈Z)所以其单调递增区间为[2kπ+2π3,2kπ+5π3](k∈Z)．(2)由题得函数y=g(x)=−2sin(2x−π3)∴m=2sin(2x−π3)在[−π4,π6]上有且只有一个解，当x∈[−π4,π6]时，令t=2x−π3∈[−5π6,0]由y=2sint的图象可知m∈(−1,0]．故答案为(−1,0]．解析：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，y=Asin(ωx+⌀)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．(1)利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的表达式为2sin(2ωx−π6)，再根据它的最小正周期为2π，求得ω=12，从而求得f(x)的表达式．(2)根据函数y=Asin(ωx+⌀)的图象变换规律，可得g(x)=−2sin(x−π6)，由题意可得函数y=g(x)与y=m在区间[−π4,π6]上有且只有一个交点，结合正弦函数的图象求得实数m的取值范围．19.答案：(1)证明：如图：∵AB=BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，∴BE⊥平面A1ACC1，∵A1C⊂平面A1ACC1，∴BE⊥A1C.又BC1⊥A1C，BE∩BC1=B，∴A1C⊥面C1EB．(2)解：∵面A1ACC1⊥面ABC，∴C1在面ABC上的射影H在AC上，∴∠C1CA为直线C1C与面ABC所成的角．过H作HM⊥BC于M，连C1M，在Rt△C1CM中，CM=CC1cos∠C1CM=2cos60°=1．在Rt△CMH中，CH=CMcos∠ACB =2√33．∴在Rt△C1CH中，cos∠C1CH=CHCC1=23√32=√33．∴直线C1C与面ABC所成的角的余弦值为√33．解析：(1)证明BE⊥平面A1ACC1，可得BE⊥A1C，即可证明：A1C⊥平面C1EB；(2)判断∠C1CA为直线C1C与面ABC所成的角．过H作HM⊥BC于M，连C1M，即可求直线CC1与平面ABC所成角的余弦值．本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.答案：解：(1)由已知a1a n=S1+S n，可得当n=1时，a12=a1+a1，可解得a1=0，或a1=2，当n≥2时，由已知可得a1a n−1=S1+S n−1，两式相减得a1(a n−a n−1)=a n，若a1=0，则a n=0，此时数列{a n}的通项公式为a n=0．若a1=2，则2(a n−a n−1)=a n，化简得a n=2a n−1，即此时数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n=2n．综上所述，数列{a n}的通项公式为a n=0或a n=2n．(2)因为a n>0，故a n=2n，设b n=log2a n32，则b n=n−5，显然{b n}是等差数列，由n−5≥0解得n≥5，当n=4或n=5，T n最小，最小值为T n =5(−4+0)2=−10．解析：本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．(1)运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；(2)因为a n >0，故a n =2n ，设b n =log 2an 32，则b n =n −5，运用等差数列的求和公式，即可得到所求最小值．21.答案：解：(1)由题意可得{3a 2+34b 2=1c a =12a 2=b 2+c 2, 解得a =2,b =√3，故椭圆的标准方程为x 24+y 23=1，(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设△F 1AB 的内切圆的半径为R ，因为△F 1AB 的周长为4a =8，S △F 1AB =12(|AB|+|F 1A|+|F 1B|)R =4R ，因此S △F 1AB 最大，R 就最大，S △F 1AB =12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=|y 1−y 2|， 由题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x =my +1，由{x =my +1x 24+y 23=1得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， 所以，y 1+y 2=−6m 3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4，又因直线l 与椭圆C 交于不同的两点，故△>0，即(6m)2+36(3m 2+4)>0，m ∈R ，则S △F 1AB =12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12√m 2+13m 2+4， 令t =√m 2+1，则t ≥1，S △F 1AB =12√m 2+13m 2+4=12t 3t 2+1=4t+13t ． 令f(t)=t +13t，由函数的性质可知，函数f(t)在[√33,+∞)上是单调递增函数， 即当t ≥1时，f(t)在[1,+∞)上单调递增，因此有f(t)≥f(1)=43，所以S △F 1AB ≤3，即当t =1，m =0时，S △F 1AB 最大，此时R max =34，故当直线l 的方程为x =1时，△F 1AB 内切圆半径的最大值为34，解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，开心分析问题解决问题的能力．(1)利用已知条件列出方程组求出a ，b ，然后求解椭圆的方程．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设△F 1AB 的内切圆的半径为R ，表示出△F 1AB 的周长与面积，设直线l 的方程为x =my +1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，表示三角形面积，令t =√m 2+1，利用基本不等式求解面积的最大值，然后求解△F 1AB 内切圆半径的最大值为34． 22.答案：(1)解：由f(x)得f′(x)=3ax 2+2bx −3， (1)依题意有：f′(1)=f′(−1)=0即{3a +2b −3=03a −2b −3=0解得{a =1b =0………………………………4 (2)函数y =f(x)−t 只有一个零点，即函数y =f(x)与直线y =t 只有一个交点 (5)由 (1)得∴f(x)=x 3−3x ，f′(x)=3x 2−3，令f′(x)=0得x =−1，x =1 (7)若f′(x)>0得 x <−1或x >1故f(x)在(−∞,−1)和(1,+∞)上是增函数若f′(x)<0得−1<x <1故f(x)在(−1,1)上是减函数． (8)所以 f(−1)=2是极大值，f(1)=−2是极小值． (9)函数y =f(x)的大致图象如图：此时，t <−2或t >2，所以，t 的取值范围是：(−∞,−2)∪(2,+∞) (10)解析：(1)求出函数的导数，利用函数的极值得到方程组，即可求a，b的值；(2)函数y=f(x)−t只有一个零点，即函数y=f(x)与直线y=t只有一个交点，通过函数的单调性以及函数的极值，转化求解实数t的取值范围．本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查分析问题解决问题的能力．。
2020年高考数学临考押题卷(浙江专版)(解析版)(02)
2020年高考临考押题卷（六）数学（浙江卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．设集合{}{|01}|2M x x x R N x x x R =<<∈=<∈，，，，则（ ） A ．M N M ⋂= B ．M N N ⋂= C ．M N M ⋃= D ．M N R ⋃=【答案】A【解析】由题意{}{}2,22,N x x x R x x x R =<∈=-<<∈，{}01,M x x x R =<<∈， 所以{}01,M N x x x R M ⋂=<<∈=，{}22,M N x x x R N ⋃=-<<∈=. 2．过点()1,1-的抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x = B ．2y x =- C ．2x y = D ．2y x =-或2x y =【答案】D【解析】由题意可设抛物线方程为2y ax =或2x ay =，∵抛物线过点（﹣1，1）， ∴当抛物线方程为2y ax =时，得a ＝﹣1；当抛物线方程为2x ay =时，得a ＝1． ∴抛物线的标准方程是2y x =-或2x y =.3．设,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A ．0B ．-4C ．-8D ．-6【答案】D【解析】作出可行域，如下图所示：当目标函数3z x y =-经过(0,2)A 时， z 取得最小值-6.4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．5C ．20D ．30【答案】C【解析】由几何体的三视图可得几何体的直观图： 三棱柱111ACD AC D -截去一个三棱锥1D ACD -，如图：该几何体的体积：111111143543520232ACD A C D D ACD V V V --=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 5．已知1223p x q x +><<：，：，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意:1212p x x +>⇔+>或121x x +<-⇔>或3x <-， 由“1x >或3x <-”不能推出“23x <<”； 由“23x <<”可推出“1x >或3x <-”； 故p 是q 的必要不充分条件.6．函数()(22)sin 2x x f x x -=-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()(22)sin 2x xf x x -=-，()()(22)sin 2xx f x x f x --=--=，函数为偶函数，排除BD ；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0,22sin 20x x x ->->，故()0f x >，排除C .7．已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是( )A ．存在x ，y ∈(0，1)，E (ξ)>12B ．对任意x ，y ∈(0，1)，E (ξ)≤14C ．对任意x ，y ∈(0，1)，D (ξ)≤E (ξ) D ．存在x ，y ∈(0，1)，D (ξ)>14【答案】C【解析】依题意可得()2E xy ξ=，()()()()()()()222222222212121212D x xy y y xy x y x y x y x y x x y yx ξ⎡⎤=-+-=-+-=-+-⎣⎦因为1x y +=所以()21222x y xy +≤=即()12E ξ≤故A ，B 错误；()()()()()()222221121212D x x x y yx x x y yx x yx ξ⎡⎤∴=-+-=-+=-⎣⎦01x <<Q1211x ∴-<-<()20211x ∴<-< ()D yx ξ∴<即()()12D E ξξ<，故C 成立； ()()()2211244x y D x yx xy ξ+=-<≤=Q 故D 错误8．如图，三棱锥V ABC -的底面ABC 是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，二面角P AC B --的平面角为β，则αβ+不可能是( )A ．34πB ．23π C ．2π D ．3π 【答案】D【解析】如图，由题意，三棱锥V ABC -为正三棱锥，过P 作//PE AC ，则BPE ∠为直线PB 与直线AC 所成角为α，当P 无限靠近A 时，PBE ∠无限接近3π，但小于3π，则3BPE BEP πα∠=∠=>. 当棱锥的侧棱无限长，P 无限靠近V 时，α无限趋于2π但小于2π； 二面角P AC B --的平面角为β，即V AC B --的平面角为β， 由三棱锥存在，得0β>，随着棱长无限增大，β无限趋于2π. ,3παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭.则αβ+不可能是3π. 9．已知函数()f x 是定义在[100,100]-的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-.当[0,2]x ∈时，()(2)xf x x e =-，若方程2[()]()10f x mf x -+=有300个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．15,2e e⎛⎫--- ⎪⎝⎭B ．15,2e e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦C ．(,2)-∞-D ．1,2e e⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由(2)(2)f x f x +=-知函数的周期为4，当[0,2]x ∈时，()(2)x f x x e =-，则'()(1)x f x x e =-，当01x ≤<时，'()0f x <，()f x 递减，当12x <≤时，'()0f x >，()f x 递增，()(1)f x f e ==-极小值，又()f x 是偶函数，作出()f x 在[2,2]-上的图象，如图． 函数()f x 的周期是4，定义域为[100,100]-，含有50个周期，方程2[()]()10f x mf x -+=有300个不同的实数根，因此在一个周期内有6个根（这里(2)0f ±=，2±不是方程的根）．令()f x t =，方程210t mt -+=有两个不等实根12,t t ，且1(,2)t e ∈--，2(2,0)t ∈-，设2()1g t t mt =-+，则()0(2)0(0)0g e g g ->⎧⎪-<⎨⎪>⎩，解得152e m e --<<-．故选：A ．10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【答案】B 【解析】依题意n a ：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得n b ：3，4，6，9，13，18，……两两作差得n c ：1，2，3，4，5，……设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C .易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以2(1)133222n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n B n +-=+，所以11n n a B +=+，所以191024a =.二、填空题11．i 是虚数单位，则51ii-+的值为__________. 13【解析】5(5)(1)23131(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-．12．已知直线()20y kx k =->与抛物线C ：28x y =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =______. 【答案】324【解析】由已知，直线()20y kx k =->过点(0,2)P - ，恰好是抛物线 C ：28x y =的准线:2l y =- 与y 轴的交点，如下图所示，过点A ，B 分别作AM l ⊥ 于M ，BN l ⊥ 于N ，由2FA FB =，则2AM BN =.∴ 点B 为AP 的中点，连接OB ，则12OB AF =，∴OB BF =，∴点B 的纵坐标为1，∴()22,1B ∴32422022AB PB k k ====- 13．已知周期为6的函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当[]1,4x ∈时，()ln xf x x=，323a e <≤时（e 为自然对数的底数），关于x 的不等式()()20f x af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为______．【答案】7【解析】由()()44f x f x +=-得：()f x 关于4x =对称， 又()f x Q 是周期为6的周期函数，()f x ∴关于1x =对称， 当[]1,4x ∈时，()21ln xf x x -'=， ∴当[)1,x e ∈时，()0f x '>；当(],4x e ∈时，()0f x '<；()f x ∴在[)1,e 上单调递增，在(],4e 上单调递减，()()max 1f x f ee ∴==，且()10f =，()114ln 4ln 242f ==，()12ln 22f =，()13ln 33f =，由此可得()f x 图象如下图所示：323a e <≤11ln 2ln 323a <≤，()()20f x af x ∴-<等价于()0f x a <<，∴当[]1,4x ∈时，整数解为：2x =和4x =；∴当(]4,15x ∈时，整数解为：6x =、8x =、10x =、12x =和14x =；综上所述：不等式()()20fx af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为7个.14．设直线y kx =与圆C ：()2221x y -+=相交于A ，B 两点，若3AB ，则k =______，当k 变化时，弦AB 中点轨迹的长度是______. 【答案】1515±23π【解析】由垂径定理可得222311k ⎛⎫+=+⎝⎭，解得1515k =±； 设()()1122,,,A x y B x y ，弦AB 中点00(,)M x y ， 则1201202,2x x x y y y +=+=，联立22(2)1y kx x y =⎧⎨-+=⎩，消去y 得()221430k x x +-+=， ()2161210k ∴∆=-+>，解得213k <，12241x x k ∴+=+，()1212241ky y k x x k +=+=+，即02022121x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去k 得()220011x y -+=， 又由213k <得032x >， 故弦AB 中点轨迹长度为半径为1的圆的周长的13，如图：所以弦AB 中点轨迹长度为12233ππ⨯=， 15．已知6625601256(1)(2)x x a a x a x a x a x +-+=+++++L L ，则6a =_____，01256a a a a a +++++=L L _______.【答案】0 665【解析】因为6625601256(1)(2)x x a a x a x a x a x +-+=+++⋯++L ， 令1x =可得：660125623665a a a a a +++⋯⋯++=-=-. 所以：666660a C C =-=；060066263a C C =-⋅=-Q ； 1511662186a C C =-=-；22422662225a x C C +=-=-；……5556626a C C =-⋅=-； 60666620a C C =-⋅=；故0125601256665a a a a a a a a a a +++++=------=L L L L .16．在ABC V 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若22sin sin cos sin A B C C =，则（1）222a b c+=__________，（2）C ∠的最大弧度数为___________. 【答案】23π【解析】∵22sin sin cos sin A B C C =，∴222222222cos 2a b ab C c a b c c c +=⇒+-=⇒=； 又222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥，∵0C π<<，∴C π≤3，当且仅当a b =时取等号.17．设函数2()2x x f x =，点()*(,())n A n f n n N ∈，0A 为坐标原点，向量01121n n n a A A A A A A -=+++u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r L ，设(1,0)i =r ，且n θ是n a u u r 与i r的夹角，记n S 为数列{}tan n θ的前n 项和，则3tan θ=_____；n S =_____. 【答案】38 222n n +-【解析】依题意()22n n f n =，即2,2n n n A n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且n A 在第一象限，n θ为锐角.所以0112210,2n n n n n a A A A A A A A A n n -=+++==⎛⎫ ⎪⎝⎭u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r u u u u u r L .所以cos n n n a i a i θ⋅==⋅u u r r u u r r，所以sin tan cos n θθθ====2nn ===. 所以3333tan 28θ==. 212222n n n S =+++L ①，2311122222n n nS +=+++L ②，两式相减得21111122222n n n n S +=+++-L 1111111222111222212n n n n n n n n +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--=--，所以222n n n S +=-.三、解答题18．ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c =，且满足absinCasinA bsinB csinC=+-（1）求角C 的大小； （2）求2b a +的最大值．【解析】（1）由题意及正弦定理可得：222abca b c =+-，由余弦定理得：2222cos a b c ab C +-=⋅，所以2221cos 22a b c C ab +-===，由()0,C π∈可得3C π=；（2）由正弦定理可得：2sin sin sin 2a b cA B C====， 所以2sin a A =，2sin b B =，又A B C π++=，所以22sin 2sin 2sin 33b B A A ππ⎛⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22sin 4sin sin 4sin 5sin 3b a A A A A A A A π⎛⎫+=++=++=+ ⎪⎝⎭()A ϕ=+,由tan ϕ=可得0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,3A πϕϕϕ⎛⎫+∈+⎪⎝⎭，2,23ππϕϕ⎛⎫∈+⎪⎝⎭， 所以()sin 1max A ϕ+=，所以2b a +≤. 故2b a +的最大值为19．如图1，在边长为2的等边ABC V 中，D E ，分别为边AC AB ，的中点，将∆AED 沿ED 折起，使得AB AD ⊥ ， AC AE ⊥，得到如图2的四棱锥A -BCDE ，连结BD CE ，，且BD 与CE 交于点H ．（1）求证：AH ⊥平面BCDE ; （2）求二面角B AE D --的余弦值．【解析】（1）证明：由题意1AE AD ==，3CE BD ==，因为D 、E分别为AC 、BD 的中点，所以EHD CHB △△∽且相似比为2，所以33EH DH ==，233BH CH ==， 所以3AE EH CE AE ==，3AD DHBD AD ==， 所以EHA EAC △△∽，DHA DAB △△∽，又因为AB AD ⊥，AC AE ⊥，所以AH BD ⊥，AH EC ⊥， 由BD CE H =I 可得AH ⊥平面BCDE ，得证.（2）如图，过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系；所以()000D ，，，)30B ，，，()010C ，，，由（1）知226AH AD DH =-=，则36033A ⎛ ⎝⎭，， 由131,0222DE CB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r 可知31022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，所以12AE =-⎝⎭u u u r ，，0AB =-⎝⎭u u u r ，，0DA =⎝⎭u u u r ， 设平面AED 的一个法向量为()1111n x y z =u r，，，所以110 0AE n DA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u v u v，即11111102 033x y z x z -=⎨⎪+=⎪⎩，取11z =-得)11n =-u r ，同理可得平面AEB的一个法向量(21n =-u u r，，所以121212cos n n n n n n ⋅==u r u u ru r u u r u r u u r ，， 由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B AE D --的余弦值为-20．甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知_____， （1）判断1S ，2S ，3S 的关系； （2）若133a a -=，设12n n n b a =，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：43n T <.甲同学记得缺少的条件是首项a 1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是1S ，3S ，2S 成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题.【解析】（1）由题意可得11S a =，2121111122S a a a a a =+=-=，31231111113244S a a a a a a a =++=-+=，可得1232S S S +=，即1S ，3S ，2S 成等差数列； （2）证明：由133a a -=，可得11134a a -=，解得14a =， 112141212232n nn n n n b a n -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则2111112332482n n T n ⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭L ，11211111232348162n n T n +⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪⎝⎭L ， 上面两式相减可得112111111232481622n n n T n +⎛⎫=+++++-⋅ ⎪⎝⎭L 1111212213212n n n +⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=-⋅⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 化简可得142132n n n T ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由12112n n ++-<，可得43nT <. 21．已知M e过点)A，且与(2216N x y ++=e ：内切，设M e 的圆心M 的轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点()20B ，且与曲线C 交于点P Q ，两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为12-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由． 【解析】（1）由题意M e过点)A，且与(2216N x y +=e ：内切，易知点()N ，N e 半径为4， 设两圆切点为D ，所以4MD MN ND +==，在M e 中，MD MA =，所以4MA MN MA +=>，所以M的轨迹为椭圆，由椭圆定义可知24a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2221b a c =-=，所以轨迹C 的方程为2214x y +=；（2）①当l 的斜率不存在的时，设()00P x y ，，所以()00Q x y -，， 所以000022001222 14PB QB y y k k x x x y -⎧⋅=⋅=-⎪--⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得0023x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或002 0x y =⎧⎨=⎩（舍），所以l 与x 轴的交点为203⎛⎫ ⎪⎝⎭，； ②当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元可得()222148440k x kbx b +++-=， ()()()222228414446416160kb k b k b ∆=-+-=-+>，所以2241k b >-， 由韦达定理122814kb x x k -+=+，21224414b x x k-=+， 则()()()()()222121212112121212()222224PB QBkx b k x x kb x x b y y kx b k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅=-----++ ()()()()2222222222222244822414144484242241414b k b k b b k b k b k k k b kb k b k b k k ⋅⋅--+-+-++===--++-+++， 又因为20k b +≠，所以()21422b k b k -=-+，即23b k =-，所以22221143b k k ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，所以23b k =-成立，所以2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当23x =时，0y =，所以l 过203⎛⎫⎪⎝⎭，， 综上所述，l 过定点203⎛⎫⎪⎝⎭，. 22．已知函数()()()3214613x f x x ex x g x a x lnx -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，．（1）求函数()f x 在()0+∞，上的单调区间； （2）用{}max m n ，表示m n ，中的最大值，()f x '为()f x 的导函数，设函数()()(){}h x max f x g x '=，，若()0h x ≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()*11111ln 312313n N n n n n n+++++>∈++-L ． 【解析】（1）因为()()3246x f x x ex x -=-+-，所以()()()()3332632x x f x x ex x e --=-+-='-+，令()0f x '=得3x =，当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以函数()f x 在()0+∞，上的单调递增区间为()3+∞，，单调递减区间为()03，； （2）由（1）知()()()332x f x x e-'=-+，当3x ≥时，()0f x '≥恒成立，故()0h x ≥恒成立；当3x <时，()0f x '<，又因为()()(){}0h x max f x g x '=≥，恒成立，所以()0g x ≥在()03，上恒成立， 所以11ln 03a x x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭，即11ln 3xa x+-≥在()03，上恒成立， 令()()1ln 03x F x x x +=<<，则()13max a F x -≥， 由()()221ln 1ln x xF x x x -+-'==， 令()0F x '=得1x =，易得()F x 在()01，上单调递增，在[)13，上单调递减，所以()()11max F x F ==，所以113a -≥，即43a ≥， 综上可得43a ≥.（3）证明：设()()10xm x e x x =-->，则()10xm x e '=->，所以()m x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00m x m >=，即1x e x >+， 所以1111111111312312333112313n n n nn n n nn n n n n ee eeen n n n n++++++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-L 123331231n n n nn n n n +++>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++-， 所以11111ln 312313n n n n n +++++>++-L .。
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浙江省2020年高考数学压轴卷（含解析）一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =I A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{1,0,1}- D ．{1,0,1,2}-2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．B ．C ．D ．3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4D ．84．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A ．43B ．8C ．433D ．835．若实数,x y 满足不等式组02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩…„…，则3x y -( )A ．有最大值2-，最小值83- B ．有最大值83，最小值2 C ．有最大值2，无最小值D ．有最小值2-，无最大值6．“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数()()11x xe f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）A ．11a b<B ．sin sin a b >C ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22a b >9．设P ABCD -是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M 为PC 中点，过AM 作平面AEMF 与线段PB ，PD 分别交于点E ，F （可以是线段端点），则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为（ ）A ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,210若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关， 则实数a 的取值范围是( ) A ．4a ≤ B ．46a -≤≤C ．4a ≤或6a ≥D ．6a ≥第II 卷（非选择题)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺. 12．二项式521()x x的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________．13．设双曲线()222210x y b a a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l 3，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为_________.14．已知函数22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩，若(1)(1)f f -=，则实数a =_____；若()y f x =存在最小值，则实数a 的取值范围为_____.15．设向量,,a b c v v v 满足1a =v ，||2b =v ，3c =v，0b c ⋅=v v ．若12λ-≤≤，则(1)a b c λλ++-v v v的最大值是________．16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________．17．已知函数()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩若在区间[1,1]-上方程()1f x =只有一个解，则实数m 的取值范围为______．三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 18．已知函数()()23sin 22cos 1x R f x x x =-+∈.(1)求()f x 的单调递增区间; (2)当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域. 19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形AC BD O =I ，1A O ⊥底面ABCD ，12AA AB ==.（1）求证：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）若60BAD ∠=︒，求OB 与平面11A B C 所成角的正弦值.20．等比数列{}a 的各项均为正数，且2231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设 31323log log ......log nn b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .21．已知抛物线22y px =（0p >）上的两个动点()11,Ax y 和()22,B x y ，焦点为F.线段AB 的中点为()03,M y ，且点到抛物线的焦点F 的距离之和为8（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AE 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.22．已知函数2()(1)(0)xf x x e ax x =+->.（1）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x . （ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：12011111x x t +->+.（其中0t 为()f x 的极小值点）参考答案及解析1．【答案】C【解析】由，得，选C.2．【答案】C【解析】因为,所以其共轭复数是，选C.【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3．【答案】C【解析】设公差为d，45111342724a a a d a d a d+=+++=+=，611656615482S a d a d⨯=+=+=，联立112724,61548a da d+=⎧⎨+=⎩解得4d=，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a为等差数列，若m n p q+=+，则m n p qa a a a+=+.4．【答案】C【解析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2,画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为224S==，高为22213h-=；所以该四棱锥的体积是114343333V Sh==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5．【答案】C【解析】画出不等式组2222yx yx y⎧⎪-⎨⎪-≥⎩…„表示的平面区域，如图阴影所示；设3z x y=-，则直线30x y z--=是一组平行线；当直线过点A时，z有最大值，由22yx y=⎧⎨-=⎩，得(2,0)A；所以z的最大值为3202x y-=-=，且z无最小值.故选：C.6．【答案】C【解析】直线0x y+=和直线0x ay-=互相垂直的充要条件是1()110a⨯-+⨯=，即1a=，故选C7．【答案】A【解析】∵f（﹣x）()()()111111x x xx x xe e ex e x e x e--+++====-----f（x），∴f（x）是偶函数，故f（x）图形关于y轴对称，排除C，D；又x=1时，()e111ef+=-<0，∴排除B，故选A．8．【答案】C【解析】对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但11a b>，A 选项错误； 对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；对于C 选项，由于指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若a b >，则1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误. 故选：C. 9. 【答案】D 【解析】依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去） 故选：D. 10．【答案】B【解析】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC -中，棱,,SA SB SC 上取点111,,A B C则111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC--⋅⋅=⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角θ，11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABC B SAC SA SC ASC SB V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC ASC SB θθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅，证毕.四棱锥P ABCD -中，设,PE PF x y PB PD ==，212343P ABCD V -=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEFP ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBCV V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PF xy xy PA PB PD PB PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMF V xy -=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAFP ABCD P ABC P ABC P DAC P ABC P DACV V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PF x y PA PB PC PA PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMF V x y -=+ 即3,31x x y xy y x +==-，又01,0131xx y x ≤≤≤=≤-， 解得112x ≤≤ 所以体积2313,[,1]312x V xy x x ==∈-，令131,[,2]2t x t =-∈ 2(1)111()(2),[,2]332t V t t t t t +==++∈根据对勾函数性质，()V t 在1[,1]2t ∈递减，在[1,2]t ∈递增所以函数()V t 最小值4(1)3V =，最大值13(2)()22V V ==， 四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B 11．【答案】1031165 【解析】设该女子每天的织布数量为n a ，由题可知数列{}n a 为公比为2的等比数列， 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()51512512a S -==-，解得1531a =， 所以2110231a a ==，()10105123116512S -==-. 故答案为：1031，165. 【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题. 12．【答案】5 32【解析】展开式的通项为5552215521()r rrr r r T C C xx--+==， 令55022r -=，解得1r =， 所以展开式中的常数项为1255T C ==，令1x =，得到所有项的系数和为5232=，得到结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果. 13．【答案】2 y =【解析】由题可设直线l 方程为：1x ya b+=，即0bx ay ab --=，则原点到直线的距离ab d c ===，解得24ab =，两式同时平方可得224163a b c =，又222b c a =-，代换可得()2224163a c a c -=，展开得：224416162a c a c -=，同时除以4a 得：2416163e e -=，整理得()()223440e e --=，解得243e =或4，又0b a >>，所以2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>，所以24,2ce e a===；b a a a===b y x a =±= 故答案为：2；y =14．【答案】1[1,0)-【解析】(1)(1)f f -=Q ，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=，1a ∴=-易知0x <时，()2(0,1)xf x =∈；又0x …时，2()log ()f x x a =-递增，故2()(0)log ()f x f a =-…， 要使函数()f x 存在最小值，只需2()0a log a ->⎧⎨-⎩„，解得：10a -<„.故答案为：1-[1,0)-. 15．【答案】1【解析】令()1n b c λλ=+-v v v ，则n ==v 12λ-≤≤，所以当1λ=-，max n ==vn r 与a r 同向时a n +v v 的模最大，max 2101a n a n +=+=+v v v v16．【答案】36【解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=，∴满足条件的不同安排方法的种数为481236-=， 故答案为：36．17．【答案】1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩或1}m = 【解析】当01x ≤≤时，由()1f x =，得()221xx m +=，即212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当10x -≤<时，由()1f x =，得1221x x m +--=，即1221x x m +-=+.令函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则问题转化为函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与函数()h x =2x m +的图像在区间[1,1]-上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与2y x m =+在区间函数[1,1]-上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当(0)1h =，即1m =时，两个函数的图象只有一个交点； 当(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数m 的取值范围是1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或.18．【答案】（1）,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）⎡-⎣. 【解析】(1) 函数()222cos 122226f x x x cos x in x x s π⎛⎫ ⎪=⎝=-+-=⎭-，令222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ，求得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数f(x)的增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)若,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当262x ππ-=-时，函数f(x)取得最小值为−2；当263x ππ-=时，函数f(x)，所以函数的值域为⎡-⎣. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题.19．【答案】（1）证明见解析（2 【解析】（1）证明：由1A O ⊥底面ABCD 可得1AO BD ⊥， 又底面ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥， 因为1AO CO O ⋂=，所以BD ⊥平面1A CO ， 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面1ACO ⊥平面11BB D D . （2）因为1A O ⊥底面ABCD ，以O 为原点，OB uuu r ，OC u u u r ，1OA u u u r为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz-，则(1,0,0)B，3,0)C，(0,3,0)A，1(0,0,1)A，113,0)A B AB==u u u u r u u u r，()13,1AC=-u u u r，设平面11A B C的一个法向量为(,,)m x y z=u r，由111030030m A B xm AC z⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩u u u u vvu u u vv，取1x=得31,13m⎛⎫=--⎪⎝⎭u r，又(1,0,0)OB=u u u r，所以21cos,||||123OB mOB mOB m⋅===+u u u r u ru u u r u ru u u r u r所以OB与平面11A B C21.20．【答案】（1）13n na=（2）21nn-+【解析】（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q,由23a＝9a2a6得23a＝924a,所以q2＝19．由条件可知q＞0,故q＝13．由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝13．故数列{a n}的通项公式为a n＝13n．（Ⅱ）b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n＝－（1＋2＋…＋n）＝－()21n n+．故()1211211nb n n n n⎛⎫=-=--⎪++⎝⎭．121111111122122311n n b b b n n n L L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 21．【答案】（1）24y x =（2）9【解析】（1）由题意知126x x +=,则1268AF BF x x p p +=++=+=,2p ∴=,∴抛物线的标准方程为24y x =（2）设直线AB :x my n =+（0m ≠）,由24x my n y x=+⎧⎨=⎩,得2440y my n --=, 124y y m ∴+=212426x x m n ∴+=+=,即232n m =-,即()21221216304812m y y m y y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩, 12AB y y ∴=-=设AB 的中垂线方程为:()23y m m x -=--,即()5y m x =--, 可得点C 的坐标为()5,0,Q 直线AB :232x my m =+-,即2230x my m -+-=, ∴点C 到直线AB的距离d ==()21412S AB d m ∴=⋅=+令t =则223m t =-（0t <<,令()()244f t tt =-⋅,()()2443f t t '∴=-,令()0f t '∴=,则t =,在0,3⎛ ⎝⎭上()0f t '>；在3⎛⎝上()0f t '<,故()f t 在0,3⎛⎝⎭单调递增,3⎛ ⎝单调递减,∴当3t =,即3m =±时,max 9S =22．【答案】（1）⎛-∞ ⎝⎭；（2）（ⅰ）12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（ⅱ）证明见解析. 【解析】（1）由2()(1)x f x x e ax =+-，得2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=-⎪⎝⎭，设2()x x g x e x +=⋅，(0)x >；则2222()xx x g x e x +-'=⋅；由()0g x '…，解得1x ≥-，所以()g x 在1)上单调递减，在1,)+∞上单调递增，所以1min ()1)(2==⋅g x g因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()0f x '…在(0,)+∞恒成立所以1(22⋅≥a ；所以，实数a 的取值范围是：⎛-∞ ⎝⎭.（2）（i ）因为函数()f x 有两个不同的零点，()f x 不单调，所以a >因此()0f x '=有两个根，设为10,t t，且1001t t <<<，所以()f x 在()10,t 上单调递增，在()10,t t 上单调递减，在()0,t +∞上单调递增； 又()1(0)1f t f >=，()22()(1)(1)xxxf x x e ax a e xx a e=+-=-++-⋅，当x 充分大时，()f x 取值为正，因此要使得()f x 有两个不同的零点，则必须有()00f t <，即()200010t t e a t +-⋅<； 又因为()()0000220tf t t e at '=+-=；所以：()()000002202ttt t e t e +-⋅+<，解得0t >1122+>=a g ； 因此当函数()f x 有两个不同的零点时，实数a的取值范围是12⎛⎫++∞ ⎪⎪⎝⎭. （ⅱ）先证明不等式，若12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠211221112x x x xnx nx -+<<-.证明：不妨设210x x >>，即证2212211211ln 1x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<<+，设211x t x =>，()ln g t t =-2(1)()ln 1t h t t t -=-+，只需证()0g t <且()0h t >；因为2()0g t '=<，22(1)()0(1)t h t t t -'=>+， 所以()g t 在(1,)+∞上单调递减，()h t 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)0g t g <=，()(1)0h t h >=，从而不等式得证.再证原命题12011111x x t +->+. 由()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩；所以()()2212221211x x x e x e x x ++=，两边取对数得：()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦；即()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+. 因为()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x -+-+-<--+-++++，所以121221112x x x x +<<+++， 因此，要证12011111x x t +->+. 只需证1202x x t +<；因为()f x 在()0,t +∞上单调递增，1020x t x <<<，所以只需证()()2022f x f t x <-， 只需证()()1012f x f t x <-，即证()()00f t x f t x +<-，其中()0,0x t ∈-； 设()()00()r x f t x f t x =+--，00t x -<<，只需证()0r x <； 计算得()()00000()224ttr x x t e x x t e x at '=++++-++--；()()2000()33t xr x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦.由()()20033xy x t ex t =+++--在()0,0t -上单调递增，得()()0003030y t e t <++--=，所以()0r x ''<；即()r x '在()0,0t -上单调递减， 所以：()0()(0)20r x r f t '''>==；即()r x 在()0,0t -上单调递增，所以()(0)0r x r <=成立，即原命题得证.。