半角模型(八年级人教版)

半角模型（八上人教版）
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夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型，其证明过程值巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。

其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。

学会截长补短可以解决基本问题，而理解旋转才能真正理解这种模型．
已知如图：
1. 1
2=
AOB 2
∠∠ 2. OA OB =。

连接FB ，将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置， 连接F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。

模型分析
（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； 夹半角模型分类： （1）90度夹45度；（2）120度夹60度；（3）2α夹α．
题型一 90度夹45度
例1.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠B =∠C =∠D =90°，AB =BC =CD =AD ，E 在BC 上，F 在
CD 上，且∠EAF =45°，求证：（1）BE +DF =EF （
2）∠AEB =∠AEF ．
例2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，45
∠=︒．
EAF
（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），若AH EF
⊥于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．
例3. 如图，正方形ABCD中，1
AB=，以线段BC、CD上两点P、Q和方形的点A为顶点作正方形的内接等边APQ
∆的边长．
∆，求APQ
例4.（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且
45EAF ∠=︒．猜测线段EF 、BE 、FD 三者存在哪种数量关系？直接写出结论．（不用证
明）结论： ．
（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的一半．（1）中猜测的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
例5. 如图， 在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边
BC 、CD 上的点， 且1
2
EAF BAD ∠=∠． 求证：EF BE FD =+．
例6.（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且
45EAF ∠=︒，把ADF ∆绕着点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，请直接写出图中所有的全等
三角形；
（2）在四边形ABCD中，AB AD
=，90
∠=∠=︒．
B D
①如图2，若E、F分别是边BC、CD上的点，且2EAF BAD
∠=∠，求证：
EF BE DF
=+；
②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2EAF BAD
∠=∠，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
例7. 已知在正方形ABCD中，45
∠绕点A顺时针旋转．
∠=︒，EAF
EAF
（1）当点E，F分别在边CB，DC上时（如图①)，线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当EAF
∠绕点A旋转到如图②的位置时，线段BE，DF和EF之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想．
例8. 已知如图1，四边形ABCD 是正方形，45EAF ∠=︒．
（1）如图1，若点E 、F 分别在边BC 、CD 上，延长线段CB 至G ，使得BG DF =，若
3BE =，2BG =，求EF 的长；（2）如图2，若点E 、F 分别在边CB 、DC 延长线上时，
求证：EF DF BE =−．
（3）如图3，如果四边形ABCD 不是正方形，但满足AB AD =，90BAD BCD ∠=∠=︒，
45EAF ∠=︒，且7,6DF EF ==，请你直接写出BE 的长．
例9. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的一点，90
∠=︒，且EF交正
AEF
方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，当点E是BC的中点时，猜测AE与EF的关系，并说明理由．
（2）如图2，当点E是边BC上任意一点时，（1）中所猜测的AE与EF的关系还成立吗？请说明理由．
题型二120度夹60度
例1. 已知如图，△ABC为等边三角形，∠BDC=120°，DB=DC，M、N分别是AB、AC上的动点，且∠MDN=60°，求证：MB+CN=MN．
例2. 如图，D是等边三角形ABC外一点，且满足DB DC
∠=︒，M，N分
BDC
=，120
别是AB，AC上的点，且60
∠绕点D旋转时，MN，BM，CN的
∠=︒，当MDN
MDN
关系是否发生变化？请简述理由．
例3. 如图，等边ABC
MDN
∠=︒，其
∠=︒，现有60
∆的边长为2，且DB DC
BDC
=，120
两边分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，将MDN
∠绕着D点旋转，使得M，N 始终在边AB和边AC上．试判断在这一过程中，AMN
∆的周长是否发生变化，若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
例4. 如图①，ABC
∠=︒的等腰三角形，以D为
BDC
∆是顶角120
∆是等边三角形，BDC
顶点作60︒的角，它的两边分别与AB，AC交于点M和N，连结MN．
（1）探究：BM，MN，NC之间的关系，并加以证明；
（2）若点M，N分别在射线AB，CA上，其他条件不变，再探究线段BM，MN，NC 之间的关系，在图②中画出相应的图形，并就结论说明理由．
例5. 在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为三角形
∠=︒，BD DC
BDC
=，探究：当M、N分别在直线MDN
ABC外一点，且60
∠=︒，120
AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．
（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM DN
=时，BM、NC、MN之间的数量关系；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM DN
≠时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．
例6. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=BC，E、F分别在AD、DC
延长线上，且∠EBF=60°，求证：AE=EF+CF．
例7. 在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且
∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系以及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是
（2）当点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个接刘海成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=2，则Q=__________（用含有L的式子表示）
题型三2α夹α
例1.（1）如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，说明理由．
（2）在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，当AB AD =，180B D ∠+∠=，1
2
EAF BAD ∠=∠时，EF BE DF =+成立吗？请直接写出结论．
例2. 如图，在四边形ABDC 中，M 、N 分别为AB 、AC 上的点，若∠BAC +∠BDC =180°，
例3. 如图，若四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E ，F 分别是BC ，CD 上
的点，且3BE =，4DF =，12
EAF BAD ∠=∠，求EF 的长度．
例4.（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，若EF BE FD =+． 求证：12
EAF BAD ∠=∠ （2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12
EAF BAD ∠=∠，试探究线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系，证明你的结论．
例5. 问题背景：
（1）如图①：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E ，
F分别是BC，CD上的点，且60
EAF
∠=︒．探究图中线段BE，FE，FD之间的数量关系，请在右面横线上直接写出结论．
（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB AD
=，180
B ADC
∠+∠=︒．E、F分别是
BC、CD上的点，且
1
2
EAF BAD
∠=∠，上述结论是否仍然成立？说明理由．。