半角模型(八年级人教版)
考点05 半角模型2021学年八年级数学上册期末考点专项复习之全等三角形辅助线解题方法(人教版)
考点5：半角模型
1．（2020·南京师范大学盐城实验学校月考）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM= 1，CN=3，求MN的长．
2．（2020·盐城市盐都区实验初中月考）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD=CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF；
（2）如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
3．（2020·全国专题练习）如图，已知：正方形ABCD，点E，F分别是BC，DC上
的点，连接AE ，AF ，EF ，且45EAF ∠=︒，求证：BE DF EF +=．
4．（2020·山东济南·期末）如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF ＝45°，连接EF ，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中∠ADF 与∠ABG 可以看作绕点A 旋转90°的关系．这可以证明结论“EF ＝BE ＋DF ”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．
（1）延长CB 到点G ，使BG ＝ ，连接AG ； （2）证明：EF ＝BE ＋DF
5．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，将ADF 绕点A 顺时针旋转90︒ 后，得到ABM ，连接EM ，AE ，且使得45∠=︒MAE ．
人教版八年级英语 全等句子之手拉手模型和半角模型 专题讲义
人教版八年级英语全等句子之手拉手模
型和半角模型专题讲义
手拉手模型是英语句子中的一种结构模型，也称为“S+V+O”模型。它由主语、谓语和宾语组成，是最简单的句子结构之一。
手拉手模型的构成如下：
- S（主语）：句子的主要承受者或动作执行者。
- V（谓语）：句子的动作或状态。
- O（宾语）：句子中接受动作的对象或受事者。
例如：I play soccer.（我踢足球。）
在手拉手模型中，主语和谓语之间采用全角状态，即用中文符号表示。谓语和宾语之间采用半角状态，即用英文符号表示。
半角模型是英语句子中另一种结构模型，也称为“SVO”模型。它同样由主语、谓语和宾语组成。
半角模型的构成如下：
- S（主语）：句子的主要承受者或动作执行者。
- V（谓语）：句子的动作或状态。
- O（宾语）：句子中接受动作的对象或受事者。
例如：I play soccer.（我踢足球。）
在半角模型中，主语和谓语之间，谓语和宾语之间都采用半角状态，即用英文符号表示。
手拉手模型和半角模型是英语句子的两种基本结构模型。掌握这两种模型有助于理解和构建句子，提升英语写作和口语能力。
以上是关于人教版八年级英语全等句子之手拉手模型和半角模型的专题讲义。希望对你的学习有所帮助！
八年级数学多边形之手拉手模型和半角模型 专题讲义
八年级数学多边形之手拉手模型和半角模
型专题讲义
一、手拉手模型
1. 理解手拉手模型
手拉手模型是多边形的一种折纸模型，常用于辅助理解和记忆多边形的性质。通过将多边形沿一条边折叠后，将该边两端的顶点对齐，可以得到手拉手模型。
2. 制作手拉手模型
制作手拉手模型的具体步骤如下：
1. 将多边形沿一条边折叠。
2. 将该边两端的顶点对齐。
3. 将折线处剪开。
3. 应用手拉手模型
手拉手模型可用于辅助证明多边形的性质。例如，证明凸多边
形的内角和公式，可以用手拉手模型将多边形分割成若干个三角形，再计算各个三角形的内角和。
二、半角模型
1. 理解半角模型
半角模型是多边形的一种立体模型，常用于辅助理解和记忆多
边形的性质。通过将多边形沿一条边折叠后，将两条邻边上的点对齐，可以得到半角模型。
2. 制作半角模型
制作半角模型的具体步骤如下：
1. 将多边形沿一条边折叠。
2. 将两条邻边上的点对齐。
3. 将折线处剪开。
3. 应用半角模型
半角模型可用于辅助证明多边形的性质，特别是相邻内角互补
的性质。例如，证明正多边形的内角和公式，可以用半角模型将正
多边形分割成若干个等腰三角形，再计算各个等腰三角形的内角和。
全等与相似模型-半角模型(学生版)
全等与相似模型-半角模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型
半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
思想方法：通过旋转(或截长补短)构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转--证全等--得到相关结论。
【模型展示】
1)正方形半角模型
条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；
结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF=BE+DF；④ΔAEF的周长=2AB；
⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
2)等腰直角三角形半角模型
条件：ΔABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2=BD2+EC2；
3)等边三角形半角模型(120°-60°型)
条件：ΔABC是等边三角形，ΔBDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF=BE+FC；④ΔAEF的周长=2AB；
人教版八年级政治 全等制度之手拉手模型和半角模型 专题讲义
人教版八年级政治全等制度之手拉手模
型和半角模型专题讲义
本文档是关于人教版八年级政治课程中的全等制度之手拉手模型和半角模型的专题讲义。下面将介绍这两种模型的定义、特点以及在教学中的作用。
一、全等制度之手拉手模型
全等制度之手拉手模型是指在全等制度下，各个机关、部门、群团、个人之间形成了紧密的联系，彼此合作、相互协调，形成了合力，实现了全等制度的良好运行。
特点：
- 合作协调：各个机关、部门、群团、个人之间通过沟通和协作，形成了紧密的联系，在工作中相互支持、协同合作，实现了工作的高效执行。
- 信息共享：全等制度之手拉手模型强调信息的共享与流通，通过及时传递相关信息，各方能够更好地了解并适应全等制度下的要求。
- 监督自律：各个机关、部门、群团、个人相互监督，自觉遵
守全等制度的规定和要求，确保全等制度的有效运行和实施。
作用：
- 提升效率：全等制度之手拉手模型可以促进各个机关、部门、群团、个人之间的合作与沟通，提供了高效率的工作平台，有利于
任务的完成和目标的实现。
- 加强协同：通过全等制度之手拉手模型，不同部门之间能够
充分协调合作，形成合力，共同应对各种问题和挑战。
- 推动发展：全等制度之手拉手模型能够促进信息共享和资源
整合，提高组织的综合竞争力，进一步推动社会的发展和进步。
二、半角模型
半角模型是在全等制度下，各个机关、部门、群团、个人之间
的权力关系是相对平衡的，没有出现明显的主次关系，相互之间的
权限和地位相对平等。
特点：
- 权力平衡：半角模型中，各个机关、部门、群团、个人的权
力地位相对平衡，不存在绝对的统治和被统治关系。
人教版八年级上册数学 第12章 全等三角形 等线夹半角模型 专项训练
等线夹半角模型
基本图形：指的是一个大角夹着一个大小只有它的一半的角.
常见类型:①90°夹45°;②120°夹60°;③2α°夹α°.
板块一90°角夹45°角
典例精讲
例1.如图,B(4,4),.BC⊥y轴于点C,BA⊥x轴于点A,E为BC上一动点(不与B,C重合),F为AB上一动点,且满足.∠OEF=∠AOE,，在运动过程中，△BEF的周长变吗?若不变求其值；若变化求其变化范围.
例2.正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,∠EAF=45°.
(1)求证:EF=BE+DF;
(2)求证:EA平分∠BEF,FA平分∠DFE.
实战演练
1.如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠C=90°,,E,F分别为BC,CD上的点,∠EAF=45°..探究E F,BE,DF之间的数量关系并证明.
D
2.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(2,0),点C在.∠ABO的平分线上，∠ACO=67.5°,求∠AOC的度数.
3.在例1的条件下，若点E在BC的延长线上，点F在CD的延长线上，其余条件不变.
(1)探究EF和BE，DF三条线段之间的数量关系并证明；
(2)探究∠AFD与∠AFE之间的数量关系并证明.
板块二120°角夹60°角
典例精讲
例1.如图,四边形ABCD中,BC=CD,∠BCD=120°,,E,F分别为AB,AD上的点,∠ECF=∠A=60°.
(1)求证:.EF=BE+DF;
(2)求证:点C在.∠BAD的平分线上.
实战演练
(1)如图1，将例题中点E移至BA延长线上，点F移至AD延长线上，其余条件不变，写出EF和BE，DF 之间的数量关系并证明；
2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)半角模型综合应用(原卷版)
半角模型综合应用
模型一等角=要三角形中得半角模型
模型二正方形中的半角模型
应用：①利用旋转构造全等三角形；
②利用翻折构造全等三角形。
【类型一：等腰三角形中的半角模型】
【典例1】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起从而方便解决问题．已知△ABC中AB＝AC∠BAC＝α点D、E 在边BC上且．
（1）如图a当α＝60°时将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置连结DF．
①∠DAF＝；②求证：DF＝DE；
（2）如图b当α＝90°时猜想BD、DE、CE的数量关系并说明理由．
【变式1】已知∠MBN＝60°等边△BEF与∠MBN顶点B重合将等边△BEF绕顶点B 顺时针旋转边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C并在BM边上截取AB＝BC 连接AE．
（1）将等边△BEF旋转至如图①所示位置时求证：CE＝BE+AE；
（2）将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时请分别直接写出AE BE CE 之间的数量关系不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下若BF＝4 AE＝1 则CE＝3或5．
【典例2】等边△ABC D为△ABC外一点∠BDC＝120°BD＝DC∠MDN＝60°射
线DM与直线AB相交于点M射线DN与直线AC相交于点N
①当点M、N在边AB、AC上且DM＝DN时直接写出BM、NC、MN之间的数量关
系．
②当点M、N在边AB、AC上且DM≠DN时猜想①中的结论还成立吗？若成立请
证明．
③当点M、N在边AB、CA的延长线上时请画出图形并写出BM、NC、MN之间的
人教版八年级历史 全等三国之手拉手模型和半角模型 专题讲义
人教版八年级历史全等三国之手拉手模
型和半角模型专题讲义
一、引言
在八年级历史教材中，我们研究到了三国时期的历史，这是中国历史上一个非常重要的时期。为了帮助同学们更好地理解和记忆这段历史，我们设计了手拉手模型和半角模型。本文档将详细介绍这两种模型的制作过程和使用方法。
二、手拉手模型
1. 制作材料
- 纸板
- 剪刀
- 色纸或彩笔
- 胶水
2. 制作步骤
1. 使用纸板将三个人物的轮廓切割出来。
2. 在纸板上用彩笔或色纸填充人物的服饰和面部特征。
3. 将每个人物折叠，使得手可以相互拉起来。
4. 使用胶水将每个人物的手连接在一起，形成手拉手的模型。
3. 使用方法
将手拉手的模型放在课桌上，同学们可以通过拉动其中一人的手，观察其他人物的动作。这样可以更直观地理解三国时期各个势
力之间的关系和相互作用。
三、半角模型
1. 制作材料
- 方形纸板
- 剪刀
- 彩笔或色纸
2. 制作步骤
1. 将纸板剪成一个方形。
2. 在纸板上用彩笔或色纸分别填充三个人物的服饰和面部特征。
3. 将方形纸板对折，使得每个人物只展示半个身体，而其他半
个身体被折叠在内部。
3. 使用方法
将半角模型放在课桌上，同学们可以通过展示其中一人的半个
身体，观察其他人物的动作。这样可以更形象地理解三国时期各个
势力之间的相互影响和半角关系。
四、总结
手拉手模型和半角模型是一种简单而有效的教学工具，可以帮
助同学们更好地理解和记忆人教版八年级历史教材中关于三国时期
的内容。通过亲身体验和观察，同学们可以更深入地掌握这段历史，并加深对三国时期各个势力之间关系的理解。相信同学们通过制作
八年级数学第九章 半角模型
第九章半角模型
模型1【倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形】已知如图：
2∠2=1
2∠AOB；
②OA=OB。
连接F′B，将△FOB绕点O旋转
至△FOA的位置，连接F′E、FE，
可得△OEF′≌△OEF。
模型分析
（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；
（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。
模型实例
例1．如图，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC 于点M、N。
（1）求证：BM+DN=MN；
（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB。
例2．在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=60°，BD=DC。探究：当M、N分别在线段AB、AC
上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。
（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明。
例3．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是BC、CD延长
线上的点，且∠EAF=1
2∠BAD。求证：EF=BE-FD。
热搜精练
1．如图，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线，∠MAN=45°。
求证：MN=DN-BM。
2．已知，如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°。探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系。小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得劲解决。请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB的延长线上时，如图②，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。
第12章全等三角形重难点专题2：半角模型(课件)八年级数学上册(人教版)
(3)正方形含45°模型还可通过补短法解决问题，即找出相等的两 条线段所在的两个直角三角形，延长其中一个直角三角形较短的 直角边，使其等于另一个直角三角形较短的直角边的长度，连接 公共端点与延长后的端点.
解：(1)证明：如图，延长CB至E使得BE=DN，
连接AE，易证△ABE≌△ADN
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°
∵∠MAN=45°
∴∠EAM=∠MAN
A
D
∵AM是公共边，
∴△AEM≌△ANM
N
∴ME=MN 即BM+BE=MN
EB M
C
∴BM+DN=MN.
AB=AD
∠D=∠ABE
A
D
BE=DN
∴ △AND≌△AEB（SAS），
N
∴∠DAN=∠BAE，
∴ ∵
AN=AE， ∠BAD=9
源自文库
0
°
，
∠
M
A
N
=
4
5
E °
，B
M
C
∴∠BAM+∠DAN=45°，
已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋 转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M、N.
人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析)
几何图形之半角模型
主题半角模型
教学内容
教学目标
1。掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
4.通过四边形的从属关系渗透集合思想.
5。通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点.
知识结构
正方形的性质
因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，
所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结）。
正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质,一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点,在应用时需要哪个结论就用哪个结论,并非把结论写全。
小结:
（1）正方形与矩形，菱形,平行四边形的关系如上图
（2）正方形的性质：
①正方形对边平行。
②正方形四边相等.
③正方形四个角都是直角.
④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
典型例题精讲
例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ,先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．
【解析】：作GM ⊥BD,垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM, 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．
而BM=BD —DM=22—2=2（2—1)， ∴AG=BM=2（2—1)．
例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点,10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10,求正方形ABCD 的面积？
专题 相似三角形中的半角模型(学生版)
专题10相似三角形中的半角模型
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型（相似模型）
【常见模型及结论】
1）半角模型（正方形中的半角相似模型）
条件：已知，如图，在正方形ABCD 中，∠EAF 的两边分别交BC 、CD 边于M 、N 两点，且∠EAF ＝45°
结论：如图1，△AMN ∽△AFE 且AF AE EF AM AN MN
===．（思路提示：∠ANM=∠AEF ，∠AMN=∠AFE ）；
图1
图2
结论：如图2，△MAN ∽△MDA ，△NAM ∽△NBA ；
结论：如图3，连接AC ，则△AMB ∽△AFC ，△AND ∽△AEC ．且AF AC AM AB
==；
图3
图4
结论：如图4，△BME ∽△AMN ∽△DFN.
（2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）
（1）含45°半角模型
图1
条件：如图1，已知∠BAC ＝90°，45ABC ACB DAE ∠=∠=∠=︒；
结论：①△ABE ∽△DAE ∽△DCA ；
②AB AD CD BE AE AC
==；③AB AC BE CD ⋅=⋅（2AB BE CD =⋅）
（2）含60°半角模型
条件：如图2，已知∠BAC ＝120°，60ADE DAE ∠=∠=︒；
结论：①△ABD ∽△CAE ∽△CBA ；
②AD CE AC BD AE AB
人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结资料
人教版八年级数学全等三角形的常见模型
总结
人教版八年级数学全等三角形常见模型总结
要点梳理
全等三角形的判定与性质
类型一：角平分线模型应用 1.角平分性质模
型：（利用角平分线的性质） 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC
例题解析
例：（1）如图1，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠
CAB ，BC=6cm ，BD=4cm ，那么点D 到直线AB 的距离是 cm.
（2）如图2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP 平分∠
BAC.
图1图2
【答案】①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ） ②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，
BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.
类型二：角平分线模型应用
2.角平分线，分两边，对称全等(截长补短构造全等)
两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使△OAC≌△OBC.
例题解析
例1：在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。
证明：如图（1），
过O作OD∥BC交AB于D，
∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，
又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，
∴∠ADO=∠AQO，
又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，
∴△ADO≌△AQO，
∴OD=OQ，AD=AQ，
又∵OD∥BP，
∴∠PBO=∠DOB，
又∵∠PBO=∠DBO，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD，
又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，
∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，
2024专题3.3旋转---半角模型-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
A
D
2
2
⑤CE= 2 DM,DF= BG,EF= GM, ⑥ = =
CE FC 2
M
⑦△AEF的边EF上的高等于正方形的边长；
⑧△EFC的周长等于正方形的边长的2倍.
F
角度之间的关系： ①∠AEB=∠AEF,∠AFE=∠AFD
G
O
②根据下面共圆,每个共圆都至少可以得到四队相等的角.
四点共圆：①ABEM ②ADFG ③GEFM ④CEMF ⑤CEGMF
∴∠ADE´=∠B=90º,∠E´AD=BAE,AE´=AE,DE´=BE,F´
∵∠EAF=45º,∠BAD=90º.∴∠BAE+∠DAF=45º.
∴∠E´AF=∠E´AD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45º.
∴△AEF≌△AE´F.(SAS) ∴EF=E´F=DF+BE
E´
A
D
45º
F
B
E
C
典例精讲
B
由半角模型得：EG=BE+DG,∴EG²≠BE²+DG²,故结论②错误；设BE=ma,则
AH=FH=ma,S△AEF=0.5AE·HF=0.5(1-m)a·ma=0.5(-m2+m)a2当m=0.5时,可
C
3.解题思路: ①以公共端点为旋转中心,相等的两条线段的夹角为旋转角；
人教版八年级数学上册《全等变化模型-半角模型》专题练习-附含答案
人教版八年级数学上册《全等变化模型-半角模型》专题练习-附含答案
【模型展示】 【模型条件】BCD ECF D B DC BC ABCD ∠=∠︒=∠+∠=2
1180，，中，四方形 【模型结论】FD BE EF +=①
BEF CE EFD CF ∠∠平分，平分②
证明：
【例6-1】如图正方形ABCD中∠EAF的两边分别与边BC、CD交于点E、F AE、AF分别交BD 于点G、H且∠EAF＝45°．
（1）当∠AEB＝55°时求∠DAH的度数；
（2）设∠AEB＝α则∠AFD＝（用含α的代数式表示）；
（3）求证：∠AEB＝∠AEF．
【解答】解：（1）由ABCD为正方形则∠DAB＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°
当∠AEB＝55°时∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣55°＝35°
∴∠DAH＝90°﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°
（2）由四边形ABCD为正方形可知∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°
∵∠AEB＝α∴∠EAB＝90°﹣α
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAB﹣∠EAF＝90°﹣（90°﹣α）﹣45°＝α﹣45°
∴∠AFD＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（α﹣45°）＝135°﹣α．
故答案为：135°﹣α．
（3）证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABI
可得E、B、I三点共线
由旋转可知∠DAF＝∠BAI AF＝AI
∵∠DAF+∠EAB＝90°﹣∠EAF＝45°
∴∠BAI+∠EAB＝45°＝∠IAE
在△EAF和△EAI中
∴△EAF≌△EAI（SAS）．
∴∠AEF＝∠AEI＝∠AEB．
专题12 半角模型(原卷版)
专题12半角模型
半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现12倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。
基本模型：
1）90°的半角模型（常考）
已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点O、P，则：
①EF=BE+DF②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE③C∆CEF=2倍正方形边长
④S∆ABE+S∆ADF=S∆AEF⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G）
⑥OP2=OB2+OD2⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点
⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆
⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形(11)EF=2OP
(12)S∆AEF=2S∆APO(13)AB2=BP×OD
(14)CE•CF=2BE•DF(15)∆EPC为等腰三角形
(16)PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X)
证明：
①思路：延长CD到点M，使DM=BE，连接AM
先根据已知条件∆ABE≌∆ADM(SAS)，由此可得AE=AM，∠BAE=∠DAM
而∠BAE+∠FAD=45°，所以∠DAM+∠FAD=45°，可证明∆AEF≌∆AMF(SAS)，
由此可得EF=MF，而MF=DM+DF=BE+DF，因此EF=BE+DF
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半角模型（八上人教版）
知识导航
夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型，其证明过程值巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。学会截长补短可以解决基本问题，而理解旋转才能真正理解这种模型．
已知如图：
1. 1
2=
AOB 2
∠∠ 2. OA OB =。
连接FB ，将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置， 连接F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。
模型分析
（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； 夹半角模型分类： （1）90度夹45度；（2）120度夹60度；（3）2α夹α．
题型一 90度夹45度
例1.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠B =∠C =∠D =90°，AB =BC =CD =AD ，E 在BC 上，F 在
CD 上，且∠EAF =45°，求证：（1）BE +DF =EF （
2）∠AEB =∠AEF ．
例2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，45
∠=︒．
EAF
（1）如图（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），若AH EF
⊥于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．
例3. 如图，正方形ABCD中，1
AB=，以线段BC、CD上两点P、Q和方形的点A为顶点作正方形的内接等边APQ
∆的边长．
∆，求APQ
例4.（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且
45EAF ∠=︒．猜测线段EF 、BE 、FD 三者存在哪种数量关系？直接写出结论．（不用证
明）结论： ．
（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的一半．（1）中猜测的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
例5. 如图， 在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边
BC 、CD 上的点， 且1
2
EAF BAD ∠=∠． 求证：EF BE FD =+．
例6.（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且
45EAF ∠=︒，把ADF ∆绕着点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，请直接写出图中所有的全等
三角形；
（2）在四边形ABCD中，AB AD
=，90
∠=∠=︒．
B D
①如图2，若E、F分别是边BC、CD上的点，且2EAF BAD
∠=∠，求证：
EF BE DF
=+；
②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2EAF BAD
∠=∠，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
例7. 已知在正方形ABCD中，45
∠绕点A顺时针旋转．
∠=︒，EAF
EAF
（1）当点E，F分别在边CB，DC上时（如图①)，线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当EAF
∠绕点A旋转到如图②的位置时，线段BE，DF和EF之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想．
例8. 已知如图1，四边形ABCD 是正方形，45EAF ∠=︒．
（1）如图1，若点E 、F 分别在边BC 、CD 上，延长线段CB 至G ，使得BG DF =，若
3BE =，2BG =，求EF 的长；（2）如图2，若点E 、F 分别在边CB 、DC 延长线上时，
求证：EF DF BE =−．
（3）如图3，如果四边形ABCD 不是正方形，但满足AB AD =，90BAD BCD ∠=∠=︒，
45EAF ∠=︒，且7,6DF EF ==，请你直接写出BE 的长．
例9. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的一点，90
∠=︒，且EF交正
AEF
方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，当点E是BC的中点时，猜测AE与EF的关系，并说明理由．
（2）如图2，当点E是边BC上任意一点时，（1）中所猜测的AE与EF的关系还成立吗？请说明理由．
题型二120度夹60度
例1. 已知如图，△ABC为等边三角形，∠BDC=120°，DB=DC，M、N分别是AB、AC上的动点，且∠MDN=60°，求证：MB+CN=MN．
例2. 如图，D是等边三角形ABC外一点，且满足DB DC
∠=︒，M，N分
BDC
=，120
别是AB，AC上的点，且60
∠绕点D旋转时，MN，BM，CN的
∠=︒，当MDN
MDN
关系是否发生变化？请简述理由．
例3. 如图，等边ABC
MDN
∠=︒，其
∠=︒，现有60
∆的边长为2，且DB DC
BDC
=，120
两边分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，将MDN
∠绕着D点旋转，使得M，N 始终在边AB和边AC上．试判断在这一过程中，AMN
∆的周长是否发生变化，若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．