【数学】2019年高考二轮考点专题突破检测：概率与统计专题(含详细答案1

2019年高考全国卷及各省单独命题真题概率统计专题总结与突破

2019年高考数学真题——概率统计专题整理1.（2019年全国卷1,文数6题,满分5分）某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A . 8号学生B . 200号学生C .616号学生D .815号学生【答案】C .【解析】依题意可知组距间隔为100010100d ==，各组间被抽到号码的绝对值差应为间隔d 的倍数，即能被10整除.只有C 项：616465710-=能被10整除，故选C . 2.（2019年全国卷1,文数17题,满分12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯． ∵4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.3.（2019年全国卷1,理数6题,满分5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516 B . 1132 C . 2132D . 1116 【答案】A .【解析】易知出现阳爻的概率服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴每卦6爻中恰好有3个阳爻的概率333611512216P C ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选A . 4.（2019年全国卷1,理数21题,满分12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【答案解析】（1）X 的所有可能取值为1,0,1-.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P X P X P X αβαβαβαβ=-=-==+--==-，，，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===.因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+，故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-，即()114i i i i p p p p +--=-.又因为1010p p p -=≠，所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+()()()88776101413p p p p p p p -=-+-++-=.由于8=1p ，故18341p =-，所以 ()()()()44433221101411.325 7p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.5.（2019年全国卷2,文数4题,满分5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A .23 B . 35 C . 25 D . 15【答案】B .【解析】“恰有2只测量过该指标”指的是事件“两只通过指标且另外一只没有通过指标”，∴21323535C C P C ==，故选B .6.（2019年全国卷2,文数14、理数13题,满分5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有2 0个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 . 【答案】0.98.【解析】依题意共有10201040++=个车次，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为1020100.970.980.990.98404040⨯+⨯+⨯=. 7.（2019年全国卷2,文数19题,满分12分）某行业主管部门为了解本行业中小。

2019年高考专题：概率与统计试题及答案

2019年高考专题：概率与统计1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（） A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，解得15n =，不合题意；若200610n =+，解得19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（） A ．23B ．35 C ．25D ．15【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B ，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B ，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，故选B ．4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 6．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为 A ．18B ．14 C ．38D ．12【解析】抛掷三枚古钱币出现的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故所求概率为38．故选C ． 7．【山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试】某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为（）A ．32 B ．33 C ．41 D ．42 【解析】因为相邻的两个组的编号分别为14，23，所以样本间隔为23149-=，所以第一组的编号为1495-=，所以第四组的编号为53932+⨯=，故选A ． 8．【河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（） A ．100，10B ．100，20C ．200，10D ．200，20【解析】由题得样本容量为(350020004500)2%100002%200++⨯=⨯=，抽取的高中生人数为20002%40⨯=人，则近视人数为400.520⨯=人，故选D ．9．【西藏拉萨中学2019届高三第六次月考】某次知识竞赛中，四个参赛小队的初始积分都是10分，在答题过程中，各小队每答对1题加0.5分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是3道，7道，7道，3道，则四个小队积分的方差为（） A ．0.5B ．0.75C ．1D ．1.25【解析】四个小队积分分别为11.5，13.5，13.5，11.5，平均数为11.513.513.511.512.54+++=，故四个小队积分的方差为221[(11.512.5)2(13.512.5)2]14⨯-⨯+-⨯=，故选C ． 10．【陕西省2019届高三第三次联考】口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，那么摸出黑球的概率是（） A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.7【解析】在口袋中摸球，摸到红球、摸到黑球、摸到白球这三个事件是互斥的，因为摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，且摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，所以摸出黑球的概率是10.380.320.3--=．故选C ．11．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则42x y +的值是（）A ．12 B ．14 C ．16 D ．18【解析】因为中位数为12，所以4x y +=，数据的平均数为1(223420191910x y ⨯+++++++++2021)11.4+=，要使该总体的标准差最小，即方差最小，所以22(1011.4)(1011.4)x y +-++-=2222.8( 1.4)( 1.4)2()0.722x y x y +--+-≥=，当且仅当 1.4 1.4x y -=-，即2x y ==时取等号，此时总体标准差最小，4212x y +=，故选A ． 12．【江西省新八校2019届高三第二次联考】某学校高一年级1802人，高二年级1600人，高三年级1499人，先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（） A ．35,33,30B ．36,32,30C ．36,33,29D ．35,32,31【解析】先将每个年级的人数凑整，得高一：1800人，高二：1600人，高三：1500人，则三个年级的总人数所占比例分别为1849，1649，1549，因此，各年级抽取人数分别为18983649⨯=，16983249⨯=，15983049⨯=，故选B ． 13．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)】在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（）A ．成绩在[70,80]分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1000人C ．考生竞赛成绩的平均分约70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分【解析】由频率分布直方图可得，成绩在[70,80]的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为40000.251000⨯=，故B 正确；由频率分布直方图可得：平均分等于450.1550.15650.2750.3850.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+950.170.5⨯=，故C 正确；因为成绩在[40,70)的频率为0.45，由[70,80]的频率为0.3，所以中位数为0.05701071.670.3+⨯≈，故D 错误．故选D ． 14．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（） A ．270,75x s =C ．270,75x s ><D ．270,75x s ><【解析】由题意，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)500]50x x x =-+-++-+， 22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)100]7550x x x =-+-++-+<，所以275s <．故选A ．15．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）由题可得22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．16．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.018.602≈．【解析】（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=．产值负增长的企业频率为20.02100=．用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%．（2）1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ()52211100i i i s n y y ==-∑222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100⎡⎤=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦ =0.0296，0.020.17s ==≈，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．17．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【解析】（1）由已知得0.700.200.15a =++，故0.35a =．10.050.150.700.10b =---=．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.15 6.00⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．【2019年高考天津卷文数】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F．享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．【答案】（1）应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（2）（i）见解析，（ii）11 15．【分析】本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．【解析】（1）由已知，老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．（2）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },A B A C A D A E A F B C{, },{, },{, },{, {,}},,B D B E B FCD C E{,},C F {,},{,},{,}D E D F E F，共15种．（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },{, {,},{,},{,},{,},}A B A D A E A F B D B CE BF E C F D F E F，共11种．所以，事件M发生的概率11 ()15P M ．19．【北京市清华大学附属中学2019届高三第三次模拟考试】手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性、300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“是否是评分良好用户”与性别有关？参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【解析】（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下图所示：女性用户男性用户由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）由题可得22⨯列联表如下：则22500(14012018060)1255.208 2.70620030032018024K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯=，所以有90%的把握认为“是否是评分良好用户”与性别有关．20．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关？参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【解析】（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，可得该市“热烈参与者”的人数约为40 200004000200⨯=．（2）由题可得22⨯列联表如下：则22200(35551055)1757.292 6.635401601406024K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关．21．【四川省成都七中2019届高三5月高考模拟测试】某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T（单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．（1）求图中m的值；（2）估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；（3）在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．【解析】（1）依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：50(0.00400.00500.00660.00160.0008)1m⨯+++++=，解得0.0020m=．（2）设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t．因为前2组的频率之和为(0.00200.0040)500.30.5+⨯=<，前3组的频率之和为(0.00200.00400.0050)500.550.5++⨯=>，所以350400t <<，由0.30.0050(350)0.5t +⨯-=，得390t =．所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟．（3）由题意，可得在[450,500)内抽取0.0016640.00160.0008⨯=+人，分别记为a b c d ,,,，在[500,550]内抽取2人，记为,e f ，则6人中抽取2人的取法有：{,}a b ，{,}a c ，{,}a d ，{,}a e ，{,}a f ，{,}b c ，{,}b d ，{,}b e ，{,}b f ，{,}c d ，{,}c e ，{,}c f ，{,}d e ，{,}d f ，{,}e f ，共15种等可能的取法．其中抽取的2人恰在同一组的有{,}a b ，{,}a c ，{,}a d ，{,}b c ，{,}b d ，{,}c d ，{,}e f ，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率715P =． 22．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考（六）】某种产品的质量按照其质量指标值M 进行等级划分，具体如下表：质量指标值M80M < 80110M ≤< 110M ≥ 等级三等品二等品一等品现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M 进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）记A 表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A 的概率；（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；（3）根据该产品质量指标值M 的频率分布直方图，求质量指标值M 的中位数的估计值（精确到0．01）．【解析】（1）记B 表示事件“一件这种产品为二等品”，C 表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B ，C 互斥，且由频率分布直方图估计()0.20.30.150.65P B =++=，()0.10.090.19P C =+=，又()()()()0.84P A P B C P B P C =+=+=，所以事件A 的概率估计为0.84．（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19，0.65，故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16，从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件，故利润估计为190010650061600261200⨯+⨯+⨯=元．（3）因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，质量指标值90M<的频率为0.060.10.20.360.5++=<，质量指标值100M<的频率为0.060.1020.30.660.5+++=>，故质量指标值M的中位数估计值为0.50.369094.670.03-+≈．。

2019年高考数学(理)二轮专题练习：概率与统计(含答案)

高考数学精品复习资料2019.5概率与统计1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．答案 24解析由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了． [问题2] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________．答案 203．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和．标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．(2)简化计算公式①s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]，或写成s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．[问题3] 已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13，0.15，0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是________．答案 0.15、0.145 4．变量间的相关关系假设我们有如下一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n (x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y∑i ＝1n x 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .[问题4] 回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必经过点________．答案 (x ，y )5．独立性检验的基本方法一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表如表：根据观测数据计算由公式k ＝n (ad －bc )(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )所给出的检验随机变量K 2的观测值k ，并且k 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X 与Y 有关系”的可信程度．[问题5] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：则至少有________附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )答案 6．互斥事件有一个发生的概率P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) (1)公式适合范围：事件A 与B 互斥． (2)P (A )＝1－P (A )．[问题6] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．答案 237．古典概型P (A )＝mn (其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数)[问题7] 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________．答案1128．几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0，其中“度量”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等．即P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积和体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积和体积)[问题8] 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12B ．1－π12C.π6 D ．1－π6答案 B解析记“点P 到点O 的距离大于1”为A ， P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12. 9．解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配分步法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法． (1)排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…[n －(m －1)]＝n ！(n －m )！，其中m ，n ∈N *，m ≤n .当m ＝n 时，A n n ＝n ·(n －1)·……·2·1＝n ！，规定0！＝1. (2)组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…[n －(m －1)]m ！＝n ！m ！(n －m )！.(3)组合数性质C m n ＝C n－mn，C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1，规定C 0n ＝1，其中m ，n ∈N *，m ≤n .[问题9] (1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有________种．(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有________种．答案 (1)35 (2)70 10．二项式定理(1)定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n －1n ab n －1＋C n n b n (n ∈N *)．通项(展开式的第r ＋1项)：T r ＋1＝C rna n －r b r ，其中C r n (r ＝0,1，…，n )叫做二项式系数．(2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －r n .②二项式系数的和等于2n (组合数公式)，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.特别提醒：二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错． [问题10] 设⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中x 3的系数为A ，二项式系数为B ，则A ∶B ＝________. 答案 4∶1解析 T r ＋1＝C r 6x6－r(－1)r ⎝⎛⎭⎫2x r＝C r 6(－1)r 2r362r x-，6－32r ＝3，r ＝2，系数A ＝60，二项式系数B ＝C 26＝15，所以A ∶B ＝4∶1.4∶1.11．要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别：(1)在P (A |B )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在P (AB )中，事件A ，B 同时发生．(2)样本空间不同，在P (A |B )中，事件B 成为样本空间；在P (AB )中，样本空间仍为Ω，因而有P (A |B )≥P (AB )．[问题11] 设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________．答案 3512．求分布列，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正．还要注意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k ·(1－p )n －k . [问题12] 若随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)的值为________.答案209解析根据概率之和为1，求出x ＝118，则E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋…＋5x ＝40x ＝209.13．一般地，如果对于任意实数a <b ，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝ʃba φμ，σ(x )d x ，则称X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.[问题13] 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 答案 C解析 ∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x ＝2， P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.易错点1 统计图表识图不准致误例1 如图所示是某公司(共有员工300人)20xx 年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的大约有________人．错解由频率分布直方图，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10＋0.10＋0.08)＝0.62.∴估计年薪在1.4万元～1.6万元之间约有300×0.62＝186(人)．找准失分点本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义，频率分布直方图中，纵轴(矩形高)表示“频率组距”，每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率，由于概念不清，识图不准导致计算错误．正解由所给图形可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24.所以员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72(人)．答案 72易错点2 在几何概型中“测度”确定不准致误例2 如图所示，在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．错解记AM <AC 为事件E ，设CA ＝CB ＝a ，因为△ABC 是直角三角形，所以，AB ＝2a ，在AB 上取一点D ，使AD ＝AC ＝a ，那么对线段AD 上的任意一点M 都有AM <AD ，即AM <AC ，因此AM <AC 的概率为P (E )＝AD AB ＝a 2a ＝22. 找准失分点据题意，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，射线CM 在∠ACB 内部均匀分布，但是点M 在AB 上的分布不是均匀的．正解在AB 上取一点D ，使AD ＝AC ，因为AD ＝AC ＝a ，∠A ＝π4，所以∠ACD ＝∠ADC ＝3π8，则P (E )＝∠ACD ∠ACB ＝3π8π2＝34.易错点3 分不清是排列还是组合致误例3 如图所示，A ，B ，C ，D 是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？错解对于有一个中心的结构形式有A 44，对于四个岛依次相连的形式有A 44，∴共有2A 44＝48(种)．找准失分点没有分清是排列还是组合．正解由题意可能有两种结构，如图：第一种：，第二种：对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的情况，共有C 14种方法．对于第二种结构，有C 24A 22种方法． ∴总共有C 14＋C 24A 22＝16(种)．易错点4 均匀分组与非均匀分组混淆致误例4 4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种．(用数字作答) 错解 288错误！未找到引用源。

2019年高考数学二轮复习概率与统计解答题专题训练(含解析)

2019年高考数学二轮复习概率与统计解答题专题训练（含解析）1．(xx·保定调研)近年来，我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A 、B 两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：00－9：00,9：00－10：00两个时段内各发一趟列车由A 城到B 城(两车发生情况互不影响)，A 城发车时间及其概率如下表所示：8：00和周日8：20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)(1)设乙侯车所需时间为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望； (2)求甲、乙二人候车时间相等的概率．解 (1)X 的所有可能取值为10、30、50、70、90(分钟)，其概率分布列如下X 的数学期望E (X )＝10×12＋30×13＋50×136＋70×112＋90×118＝2459(分钟)．(2)甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为 P 甲10＝16，P 甲30＝12，P 甲50＝13；P 乙10＝12，P 乙30＝13，P 乙50＝16×16＝136.所以所求概率P ＝16×12＋12×13＋13×136＝28108＝727，即甲、乙二人候车时间相等的概率为727.2．(xx·皖南八校联考)从正方体的各个表面上的12条面对角线中任取2条，设ξ为2条面对角线所成的角(用弧度制表示)，如当2条面对角线垂直时，ξ＝π2.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．解 (1)当ξ＝0时，即所选的2条面对角线平行，则P (ξ＝0)＝6C 212＝111.(2)ξ的可能取值为0，π3，π2.则P (ξ＝0)＝6C 212＝111，P ⎝⎛⎭⎫ξ＝π3＝48C 212＝811，P ⎝⎛⎭⎫ξ＝π2＝12C 212＝211. ξ的分布列如下：ξ 0 π3 π2 P111811211E (ξ)＝0×111＋π3×811＋π2×211＝π3.3．(xx·广州调研)空气质量指数PM2.5(单位：μg/m 3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：PM2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 >250 空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染从甲城市xx 年9月份的30天中随机抽取15天的PM 2.5日均浓度指数数据茎叶图如图所示．(1)试估计甲城市在xx 年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；(2)在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良的天数，求X 的分布列及数学期望．解 (1)由茎叶图可知，甲城市在xx 年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5.所以可估计甲城市在xx 年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10. (2)X 的所有可能取值为0,1,2，因为P (X ＝0)＝C 05C 210C 215＝37，P (X ＝1)＝C 15C 110C 215＝1021，P (X ＝2)＝C 25C 010C 215＝221，所以X 的分布列为：X 0 1 2 P371021221数学期望E (X )＝0×37＋1×1021＋2×221＝23.4．(xx·浙江名校联考)甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率； (2)设总决赛中获得门票总收入为X ，求X 的均值E (X )．解 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．设此数列为{a n }，则易知a 1＝40，a n ＝10n ＋30，所以S n ＝n10n ＋702＝300.解得n ＝－12(舍去)或n ＝5，所以总决赛共比赛了5场．则前4场比赛中，一支球队共赢了3场，且第5场比赛中，领先的球队获胜，其概率为C 14⎝⎛⎭⎫124＝14. (2)随机变量X 可取的值为S 4，S 5，S 6，S 7，即220,300,390,490.又P (X ＝220)＝2×⎝⎛⎭⎫124＝18， P (X ＝300)＝C 14⎝⎛⎭⎫124＝14， P (X ＝390)＝C 25⎝⎛⎭⎫125＝516， P (X ＝490)＝C 36⎝⎛⎭⎫126＝516，所以X 的分布列为X 220 300 390 490 P1814516516所以X 的均值E (X )＝5．自驾游从A 地到B 地有甲、乙两条线路，甲线路是A －C －D －B ，乙线路是A －E －F －G －H －B ，其中CD 段、EF 段、GH 段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．经调查发现，堵车概率x 在⎝⎛⎭⎫23，1上变化，y 在⎝⎛⎭⎫0，12上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD 段平均堵车时间，调查了100名走甲路线的司机，得到表2数据．CD 段 EF 段 GH 段(1)求CD 段平均堵车时间a 的值；(2)若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．解 (1)a ＝12×8100＋32×6100＋52×38100＋72×24100＋92×24100＝3.(2)设走甲线路所花汽油费为ξ元，则E (ξ)＝500(1－x )＋(500＋60)x ＝500＋60x . 设走乙线路多花的汽油费为η元， ∵EF 段与GH 段堵车与否相互独立，∴P (η＝0)＝(1－y )×⎝⎛⎭⎫1－14， P (η＝20)＝(1－y )×14，P (η＝40)＝y ×⎝⎛⎭⎫1－14， P (η＝60)＝14y ，∴E (η)＝0×(1－y )×⎝⎛⎭⎫1－14＋20×(1－y )×14＋40×y ×⎝⎛⎭⎫1－14＋60×14y ＝40y ＋5. ∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为E (545＋η)＝545＋E (η)＝550＋40y . 依题意，选择走甲线路应满足(550＋40y )－(500＋60x )≥0，即6x －4y －5≤0，又23<x <1,0<y <12，∴P (选择走甲线路)＝⎝⎛⎭⎫1－23×12－12×⎝⎛⎭⎫1－56×14⎝⎛⎭⎫1－23×12＝78.。

2019年高考专题：概率与统计试题及答案

2019年高考专题：概率与统计1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（） A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，解得15n =，不合题意；若200610n =+，解得19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（） A ．23B ．35 C ．25D ．15【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B ，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B ，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，故选B ．4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 6．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为 A ．18B ．14 C ．38D ．12【解析】抛掷三枚古钱币出现的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故所求概率为38．故选C ． 7．【山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试】某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为（）A ．32 B ．33 C ．41 D ．42 【解析】因为相邻的两个组的编号分别为14，23，所以样本间隔为23149-=，所以第一组的编号为1495-=，所以第四组的编号为53932+⨯=，故选A ． 8．【河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（） A ．100，10B ．100，20C ．200，10D ．200，20【解析】由题得样本容量为(350020004500)2%100002%200++⨯=⨯=，抽取的高中生人数为20002%40⨯=人，则近视人数为400.520⨯=人，故选D ．9．【西藏拉萨中学2019届高三第六次月考】某次知识竞赛中，四个参赛小队的初始积分都是10分，在答题过程中，各小队每答对1题加0.5分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是3道，7道，7道，3道，则四个小队积分的方差为（） A ．0.5B ．0.75C ．1D ．1.25【解析】四个小队积分分别为11.5，13.5，13.5，11.5，平均数为11.513.513.511.512.54+++=，故四个小队积分的方差为221[(11.512.5)2(13.512.5)2]14⨯-⨯+-⨯=，故选C ． 10．【陕西省2019届高三第三次联考】口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，那么摸出黑球的概率是（） A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.7【解析】在口袋中摸球，摸到红球、摸到黑球、摸到白球这三个事件是互斥的，因为摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，且摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，所以摸出黑球的概率是10.380.320.3--=．故选C ．11．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则42x y +的值是（）A ．12 B ．14 C ．16 D ．18【解析】因为中位数为12，所以4x y +=，数据的平均数为1(223420191910x y ⨯+++++++++2021)11.4+=，要使该总体的标准差最小，即方差最小，所以22(1011.4)(1011.4)x y +-++-=2222.8( 1.4)( 1.4)2()0.722x y x y +--+-≥=，当且仅当 1.4 1.4x y -=-，即2x y ==时取等号，此时总体标准差最小，4212x y +=，故选A ． 12．【江西省新八校2019届高三第二次联考】某学校高一年级1802人，高二年级1600人，高三年级1499人，先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（） A ．35,33,30B ．36,32,30C ．36,33,29D ．35,32,31【解析】先将每个年级的人数凑整，得高一：1800人，高二：1600人，高三：1500人，则三个年级的总人数所占比例分别为1849，1649，1549，因此，各年级抽取人数分别为18983649⨯=，16983249⨯=，15983049⨯=，故选B ． 13．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)】在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（）A ．成绩在[70,80]分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1000人C ．考生竞赛成绩的平均分约70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分【解析】由频率分布直方图可得，成绩在[70,80]的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为40000.251000⨯=，故B 正确；由频率分布直方图可得：平均分等于450.1550.15650.2750.3850.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+950.170.5⨯=，故C 正确；因为成绩在[40,70)的频率为0.45，由[70,80]的频率为0.3，所以中位数为0.05701071.670.3+⨯≈，故D 错误．故选D ． 14．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（） A ．270,75x s =C ．270,75x s ><D ．270,75x s ><【解析】由题意，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)500]50x x x =-+-++-+， 22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)100]7550x x x =-+-++-+<，所以275s <．故选A ．15．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）由题可得22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．16．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.018.602≈．【解析】（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=．产值负增长的企业频率为20.02100=．用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%．（2）1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ()52211100i i i s n y y ==-∑222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100⎡⎤=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦ =0.0296，0.020.17s ==≈，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．17．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【解析】（1）由已知得0.700.200.15a =++，故0.35a =．10.050.150.700.10b =---=．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.15 6.00⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．【2019年高考天津卷文数】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F．享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．【答案】（1）应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（2）（i）见解析，（ii）11 15．【分析】本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．【解析】（1）由已知，老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．（2）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },A B A C A D A E A F B C{, },{, },{, },{, {,}},,B D B E B FCD C E{,},C F {,},{,},{,}D E D F E F，共15种．（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },{, {,},{,},{,},{,},}A B A D A E A F B D B CE BF E C F D F E F，共11种．所以，事件M发生的概率11 ()15P M ．19．【北京市清华大学附属中学2019届高三第三次模拟考试】手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性、300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“是否是评分良好用户”与性别有关？参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【解析】（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下图所示：女性用户男性用户由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）由题可得22⨯列联表如下：则22500(14012018060)1255.208 2.70620030032018024K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯=，所以有90%的把握认为“是否是评分良好用户”与性别有关．20．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关？参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【解析】（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，可得该市“热烈参与者”的人数约为40 200004000200⨯=．（2）由题可得22⨯列联表如下：则22200(35551055)1757.292 6.635401601406024K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关．21．【四川省成都七中2019届高三5月高考模拟测试】某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T（单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．（1）求图中m的值；（2）估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；（3）在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．【解析】（1）依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：50(0.00400.00500.00660.00160.0008)1m⨯+++++=，解得0.0020m=．（2）设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t．因为前2组的频率之和为(0.00200.0040)500.30.5+⨯=<，前3组的频率之和为(0.00200.00400.0050)500.550.5++⨯=>，所以350400t <<，由0.30.0050(350)0.5t +⨯-=，得390t =．所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟．（3）由题意，可得在[450,500)内抽取0.0016640.00160.0008⨯=+人，分别记为a b c d ,,,，在[500,550]内抽取2人，记为,e f ，则6人中抽取2人的取法有：{,}a b ，{,}a c ，{,}a d ，{,}a e ，{,}a f ，{,}b c ，{,}b d ，{,}b e ，{,}b f ，{,}c d ，{,}c e ，{,}c f ，{,}d e ，{,}d f ，{,}e f ，共15种等可能的取法．其中抽取的2人恰在同一组的有{,}a b ，{,}a c ，{,}a d ，{,}b c ，{,}b d ，{,}c d ，{,}e f ，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率715P =． 22．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考（六）】某种产品的质量按照其质量指标值M 进行等级划分，具体如下表：质量指标值M80M < 80110M ≤< 110M ≥ 等级三等品二等品一等品现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M 进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）记A 表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A 的概率；（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；（3）根据该产品质量指标值M 的频率分布直方图，求质量指标值M 的中位数的估计值（精确到0．01）．【解析】（1）记B 表示事件“一件这种产品为二等品”，C 表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B ，C 互斥，且由频率分布直方图估计()0.20.30.150.65P B =++=，()0.10.090.19P C =+=，又()()()()0.84P A P B C P B P C =+=+=，所以事件A 的概率估计为0.84．（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19，0.65，故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16，从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件，故利润估计为190010650061600261200⨯+⨯+⨯=元．（3）因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，质量指标值90M<的频率为0.060.10.20.360.5++=<，质量指标值100M<的频率为0.060.1020.30.660.5+++=>，故质量指标值M的中位数估计值为0.50.369094.670.03-+≈．。

2019年高考真题概率统计专题总结与突破(可下载) 附详细答案解析

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2.【答案解析】
（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 40 0.8 ，因此男顾 50
客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为 30 0.6 ，因此女顾客对该商场服务满 50
意的概率的估计值为0.6．
(ii)求 p4 ，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理Байду номын сангаас．
5.（2019 年全国卷 2,文数 4 题,满分 5 分）生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3
只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标
的概率为
A.
2 3
B.
3 5
C.
2 5
D.
1 5
6.（2019 年全国卷 2,文数 14、理数 13 题,满分 5 分）我国高铁发展迅速，技术
D . 11 16
4.（2019 年全国卷 1,理数 21 题,满分 12 分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两
种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮
选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一
只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的
10 人
14 人
1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式
都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2
人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 A

2019高考数学二轮复习专题七概率与统计2.7.3正态分布、统计与统计案例课件理

2．正态分布 X～N(μ，σ2)的三个常用数据 (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； (2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； (3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.
[解题指导]
[解]
(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ， μ＋3σ)之内的概率
为 0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ， μ＋3σ)之外的概率为 0.0026，故 X～B(16,0.0026)．因此 P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408. X 的数学期望为 E(X)＝16×0.0026＝0.0416.
[对点训练]
2 1．(2018· 兰州检测)设 X～N(μ1，σ2 1)，Y～N(μ2，σ2)，这两个
正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(
)
A． P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数 t，P(X≥t)≥P(Y≥t) D．对任意正数 t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
3．方差公式 1 －－－ s ＝ [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2] n
2
[对点训练] 1．(2018· 安徽皖南八校联考)某校为了解 1000 名高一新生的健康状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取 40 名同学进行检查，将学生从 1～1000 进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为 443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( A．16 B．17 C．18 D．19 )
[答案]
C
2．某校组织了“2017 年第 15 届希望杯数学竞赛(第一试)”，已知此次选拔赛的数学成绩 X 服从正态分布 N(72,121)(单位：分)，此次考生共有 500 人，估计数学成绩在 72 分到 83 分之间的人数约为(参数数据：P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝ 0.9544.)( A．238 ) B．170 C．340 D．477

2019版高考数学二轮复习专题六统计专题突破练19统计与概率文.docx

专题突破练19统计与概率1•某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7 组：［20, 30), ［30, 40),…，［80, 90］,并整理得到如下频率分布直方图:(1)从总体的400名学生屮随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间［40, 50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等•试估计总体屮男生和女生人数的比例.2.一班409 3 x481627 3 7361(2018河南六市联考一，文18)高三一班、二班各有*6名学生参加学校组织的高小数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示.(1)若一班、二班6名学生的平均分相同，求;i值；(2)若将竞赛成绩在［60, 75), ［75, 85), ［85, 100］内的学生在学校推优时,分别赋1分,2分,3 分，现在一班的6名参赛学生中取两名，求推优时这两名学生赋分的和为4分的概率.3.近年来，我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识，某市血向全市征召门名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织•现把该组织的成员按年龄分成5组:笫1组［20, 25), 第2组［25, 30),第3组［30, 35),第4组［35, 40)，第5组［40, 45］,得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.(1)求该组织的人数；(2)若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动,应从第3, 4, 5组各抽取多少名志愿者？(3)在(2)的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3 组至少有1名志愿者被抽中的概率.4.(2018山东潍坊一模，文19)某公司共有10条产品生产线，不超过5条生产线正常工作时，每条生产线每天纯利润为1 100元，超过5条生产线正常工作时，超过的生产线每条纯利润为800元，原生产线利润保持不变.未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共100元.用才表示每天正常工作的生产线条数，用y表示公司每天的纯利润.(1)写出y关于％的函数关系式，并求出纯利润为7 700元时工作的生产线条数.(2)为保证新开的生产线正常工作，需对新开的生产线进辽检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数五=14,标准差s2绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估计值.为检测该生产线生产状况，现从加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X依据以下不等式评判丄户表示对应事件的概率)⑦用-s<rds)M0.682 6②也或 $0. 954 4③尸3-3S<Z N+3S)20.997 4评判规则为:若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修;否则需检修生产线•试判断该生产线是否需要检修.5.某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15花5岁的人群抽取了刀人，回答问题统计(1)分别求出2 b,x,y的值；(2)从笫2, 3, 4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽収6人，则第2, 3, 4组每组应各抽収多少人？(3)在(2)的前提下，电视台决定在所抽取的6人屮随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.6. (2018北京卷，文17)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:好评率是指:一类电影屮获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选収1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资冋报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化, 假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0. 1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本屮的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)7.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽查(1)由以上统计数据填写下面的2 X2列联表，并问能否在犯错误的概率不超过0. 01的前提下认(2)若对年龄在［5, 15)的被调查人屮随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”政策的概率是多少？参考数据：n(ad - be)2斤二(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)其中n=a+b+c+d& （2018湖南衡阳一模，文19）空气质量主要受污染物排放量及大气扩散等因素的影响，某市环保监测站2018年1月连续10天（从左到右对应1号至10号）采集该市某地平均风速及空气中污染物的日均浓度数据，制成散点图如下图所示.25201510535 40 45 50 55 6Q 65平均风速（千米/时）（1）同学甲从这10天中随机抽取连续5天的一组数据，计算回归直线方程，试求连续5天的一组数据中恰好同时包含污染物日均浓度最大与最小值的概率；（2）现有30名学生，每人任取5天数据，并已对应计算出30个不同的回归直线方程，且30组数据中包含污染物日均浓度最值的有15组，现采用这30个回归方程对某一天平均风速下的污染物口均浓度进行预测,若预测值与实测值差的绝对值小于2,则称之为“拟合效果好”，否则为“拟合效果不好”，学生通过检验已经获得了下列2X2列联表的部分信息，请你进一步补充完善2 X2列联表，并分析是否有95%以上的把握认为拟合效果与选取数据是否包含污染物日均浓度最值有关.参考数据:n(ad - be)2启(a + b)(c + d)(a + c)(b 十d)(其屮呼a+b+c+d).参考答案专题突破练19统计与概率1.解(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02X).04)X100.6, 所以样本中分数小于70的频率为1 -0. 6-0. 4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0. 014). 02X). 040 02) X10-0. 9,分数在区间［40, 50)内的人数为100-100 X0. 9-5=5.5所以总体中分数在区间［40, 50)内的人数估计为400x100-20.(3)由题意可知，样本屮分数不小于70的学生人数为(0. 024). 04) X10X100-60,所以样1本中分数不小于70的男生人数为60x2=30.所以样本中的男生人数为30X2-60,女生人数为100_60Y0,男生和女生人数的比例为60 ；40-3 ：2.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3 ；2,2.解(1)由93 冯0 权梧1 +73+77 疋1-90 幻4 梧4+72+76 代3,得x=\.(2)由题意知一班赋3, 2, 1分的学生各有2名，设赋3分的学生为人仏,赋2分的学生为〃，民赋1分的学生为G, 则从6人中抽取两人的基本事件为仏佔,AB, JiG, AG,砧,必,AzQ, BB, BG, BG, BG, BG, GG共15 种，其中赋分的和为4分的有5种，5 _ 1•:这两名学生赋分的和为4的概率为P二15 33.解(1)由题意，得第2组的人数为35-5 X0. 07 X门,得到刀二100,故该组织有100人.(2)第3组的人数为0. 06 X5 X100-30,第4组的人数为0. 04 X5 X100-20,第5组的人数为0.02 X5 XI00二10,所以第3, 4, 5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名30 20 10志愿者，每组抽収的人数分别为:第3组60x63笫4组60x62第5组60x6=1.所以应从第3, 4, 5组中分别抽取3人,2人，1人.(3)记第3组的3名志愿者为A., A2, A3,第4组的2名志愿者为B b B2,第5组的1名志愿者为G,则从6 名志愿者中抽取2 名志愿者有(A I,A2),(A I,AJ,(A I, BO, (A I, B2), %, Ci), (A2, A3), (A2,B.), (A2, B2), (A2, Ci), (A：“BJ, (A3, B2),( A B,C.), (Bl, B2), (Bl, Cl), (B2, Ci),共有15 种.其中第3组的3名志愿者A b A2, A S至少有一名志愿者被抽中的有(Ai, A2), (Ai, A3), (Ai, Bi), (Ai, B2), (Ai, Ci), (A2, A3), (A2, Bi), (A2, B2), (A2, G), (A3, Bi), (A3, B2),( A B, CD,共有12种.12 _ 4则第3组至少有1名志愿者被抽中的概率为15 54.解(1)由题意知：当穴5 时,100^-100X(10-0二1 200%-1 000,当5OW10 时，尸1 100X5+800X0-5) —100X(10—0 -900^^500,1 1 200% ・1 0 00丸55 且兀G "._ 900% + 500,5 < % < 10^.% e N ,.当尸7 700时，由900^00-7 700,得尸8,即8条生产线正常工作.(2) 〃=14,。

2019年高考数学第二轮专项专题排列、组合、二项式定理与概率统计复习及解析湖南师大附中共11页

高考数学二轮复习专项排列、组合、二项式定理与概率统计（含详解）1. 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码, 设号码为n 的球的重量为344342+-n n (克). 这些球以等可能性(不受重量, 号码的影响)从袋里取出.（Ⅰ）如果任意取出1球, 求其号码是3的倍数的概率. （Ⅱ）如果任意取出1球, 求重量不大于号其码的概率; （Ⅲ）如果同时任意取出2球, 试求它们重量相同的概率.2. 从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为53.试求：（I ）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；（II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率.3. 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不在放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数。

（1）求ξ的分布列，期望及方差；（2）求η的分布列，期望及方差；4.（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有三天以上（含三天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问，该商场是否需要增加结算窗口？5. 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8，0.7．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：（1）只有丙柜面需要售货员照顾的概率；（2）三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率；（3）三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．6. 某同学上楼梯的习惯每步走1阶或2阶，现有一个11阶的楼梯，该同学从第1阶到第11阶用7步走完。

(1)求该同学恰好有连着三步都走2阶的概率；(2)记该同学连走2阶的最多步数为ζ，求随机事件ζ的分布列及其期望。

2019年高考真题概率统计专题整理小题+大题详细答案解析

2019年高考数学真题——概率统计专题整理1.（2019年全国卷1,文数6题,满分5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A .8号学生B .200号学生C .616号学生D .815号学生【答案】C .【解析】依题意可知组距间隔为100010100d ==，各组间被抽到号码的绝对值差应为间隔d 的倍数，即能被10整除.只有C 项：616465710-=能被10整除，故选C .2.（2019年全国卷1,理数6题,满分5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516B .1132C .2132D .1116【答案】A .【解析】易知出现阳爻的概率服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴每卦6爻中恰好有3个阳爻的概率333611512216P C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选A .3.（2019年全国卷2,文数4题,满分5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A .23B .35C .25D .15【答案】B .【解析】“恰有2只测量过该指标”指的是事件“两只通过指标且另外一只没有通过指标”，∴21323535C C P C ==，故选B .4.（2019年全国卷2,文数14、理数13题,满分5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.【答案】0.98.【解析】依题意共有10201040++=个车次，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为1020100.970.980.990.98404040⨯+⨯+⨯=.5.（2019年全国卷2,理数5题,满分5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A .【解析】根据一组数据中中位数的找法可知，极端值变化不改变整组数据的中位数，故选A .6.（2019年全国卷3,文数3题,满分5分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D .【解析】把两名女同学“捆绑”在一起看成一个特殊的同学有222A =种方法，再与剩下的两名男同学全排列共有336A =种方法，而两男两女四名同学所有的排列方法有4424A =种，故两位女同学相邻的概率23234412A A P A ⋅==，故选D .7.（2019年全国卷3,文数4、理数3题,满分5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C .【解析】阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，而阅读过《红楼梦》的学生共有80位，由此可知只阅读过红楼梦的学生有20人。

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题19概率与统计热点难点突破文含解析

概率与统计1．在新一轮的素质教育要求下，各地高中陆陆续续开展了选课走班的活动，已知某高中学校提供了3门选修课供该校学生选择，现有5名同学参加该校选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则这5名同学选课的种数为( )A ．120B ．150C ．240D ．540答案 B解析因为将5个人分成3组有两种情形，5＝3＋1＋1,5＝2＋2＋1，所以这5名同学选课的种数为⎝ ⎛⎭⎪⎫C 35C 12C 11A 22＋C 15C 24C 22A 22·A 33＝150，故选B. 2．某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为( )A ．4B ．8C ．12D ．243．将A ，B ，C ，D ，E 这5名同学从左至右排成一排，则A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有一名同学的排法有( )A ．18种B ．20种C ．21种D ．22种答案 B解析当A ，C 之间为B 时，看成一个整体进行排列，共有A 22·A 33＝12(种)，当A ，C 之间不是B 时，先在A ，C 之间插入D ，E 中的任意一个，然后B 在A 之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有C 12·A 22·A 22＝8(种)，所以共有20种不同的排法．民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是( )A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值答案 D解析根据走势图可知，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不呈周期性变化，A 错；这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度增减不确定，B 错；从网民对该关键词的搜索指数看，去年10月份的搜索指数的稳定性小于11 月份的搜索指数的稳定性，所以去年10月份的方差大于11 月份的方差，C 错；从网民对该关键词的搜索指数看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，D 正确．16．下列说法中正确的是( )①相关系数r 用衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r |越接近于1，相关性越弱；②回归直线y ^＝b ^＋a ^一定经过样本点的中心(x ，y )；③随机误差e 满足E (e )＝0，其方差D (e )的大小用衡量预报的精度；④相关指数R 2用刻画回归的效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③答案 D解析 ①线性相关系数r 是衡量两个变量之间线性关系强弱的量，|r |越接近于1，这两个变量线性相关关系越强，|r |越接近于0，线性相关关系越弱，①错误；②回归直线y ^＝b ^＋a ^一定通过样本点的中心⎝⎛⎭⎫x ，y ，②正确；③随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足E (e )＝0，③正确；④相关指数R 2用刻画回归的效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，④不正确，故选D.17．某公司有30名男职员和20名女职员，公司进行了一次全员参与的职业能力测试，现随机询问了该公司5名男职员和5名女职员在测试中的成绩(满分为30分)，可知这5名男职员的测试成绩分别为16,24,18,22,20,5名女职员的测试成绩分别为18,23,23,18,23，则下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是分层抽样B．这种抽样方法是系统抽样C．这5名男职员的测试成绩的方差大于这5名女职员的测试成绩的方差D．该测试中公司男职员的测试成绩的平均数小于女职员的测试成绩的平均数答案 C解析根据抽样方法的特点，可知这种抽样既不是分层抽样，也不是系统抽样，故A，B是错误的；由这5名男职员和5名女职员的测试成绩得不出该公司男职员和女职员的测试成绩的平均数，故D是错误的；根据公式，可以求得这5名男职员的测试成绩的方差为s21＝8,5名女职员的测试成绩的方差为s22＝6，所以C正确．故选C.18．某青少年成长关爱机构为了调查所在地区青少年的年龄与身高状况，随机抽取6岁，9岁，12岁，15岁，18岁的青少年身高数据各1 000个，根据各年龄段平均身高作出如图所示的散点图和回归直线l.根据图中数据，下列对该样本描述错误的是( )A．据样本数据估计，该地区青少年身高与年龄成正相关B．所抽取数据中，5 000名青少年平均身高约为145 cmC．直线l的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量D．从这5种年龄的青少年中各取一人的身高数据，由这5人的平均年龄和平均身高数据作出的点一定在直线l上答案 D解析在给定范围内，随着年龄增加，年龄越大身高越高，故该地区青少年身高与年龄成正相关，故A 正确；用样本数据估计总体可得平均数大约是145 cm，故B正确；根据直线斜率的意义可知，斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量，故C正确；各取一人具有随机性，根据数据作出的点只能在直线附近，不一定在直线上，故D错误．19．已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是________．答案140解析根据题意可得抽样比为50750＝115，则这次抽样调查抽取的人数是115(450＋750＋900)＝115×2 100＝140.20．若(1－2)2 017＝a 0＋a 1＋…＋a 2 0172 017(∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为________．21．若(＋y )(2－y )5＝a 16＋a 25y ＋a 34y 2＋a 43y 3＋a 52y 4＋a 6y 5＋a 7y 6，则a 4＝________，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝________.答案 40 2解析 ()2x －y 5的二项展开式的通项为T ＋1＝C k 5(2)5－(－y )＝C k 525－(－1)5－y ，令＝3，得T 4＝－402y 3；令＝2，得T 3＝803y 2，再与＋y 相乘，可得3y 3的系数为－40＋80＝40，∴a 4＝40.在(＋y )(2－y )5＝a 16＋a 25y ＋a 34y 2＋a 43y 3＋a 52y 4＋a 6y 5＋a 7y 6中，令＝y ＝1，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(1＋1)(2－1)5＝2.22．元宵节灯展后，如图悬挂有9盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有________种不同取法．(用数字作答)答案 1 680解析 A 99A 33A 33A 33＝1 680.。

2019年高考真题概率统计专题总结小题+大题详细答案解析

2019年高考数学真题——概率统计专题整理1.（2019年全国卷1,文数6题,满分5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A .8号学生B .200号学生C .616号学生D .815号学生2.（2019年全国卷1,理数6题,满分5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516B .1132C .2132D .11163.（2019年全国卷2,文数4题,满分5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A .23B .35C .25D .154.（2019年全国卷2,文数14、理数13题,满分5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.5.（2019年全国卷2,理数5题,满分5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6.（2019年全国卷3,文数3题,满分5分）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．127.（2019年全国卷3,文数4、理数3题,满分5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.88.（2019年江苏卷5题,满分5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.9.（2019年江苏卷6题,满分5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.10.（2019年浙江卷7题,满分4分）设01α<<，则随机变量X 的分布列是则当α在()0,1内增大时，.A ()D X 增大B ．()D X 减小C .()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大11.（2019年全国卷1,文数17题,满分12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82812.（2019年全国卷1,理数21题,满分12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．13.（2019年全国卷2,文数19题,满分12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.018.602≈.14.（2019年全国卷2,理数18题,满分12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.P X=；（1）求()2（2）求事件“4X=且甲获胜”的概率.15.（2019年全国卷3,文数、理数17题,满分12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()P C的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．16.（2019年北京卷,文数17题,满分12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额不大于2000元大于2000元支付方式仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．17.（2019年北京卷,理数17题,满分13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．18.（2019年天津卷,文数15题,满分13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记A B C D E F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不为,,,,,享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工A B C D E F项目子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.19.（2019年天津卷,理数16题,满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．答案解析1.【答案】C .【解析】依题意可知组距间隔为100010100d ==，各组间被抽到号码的绝对值差应为间隔d 的倍数，即能被10整除.只有C 项：616465710-=能被10整除，故选C .2.【答案】A .【解析】易知出现阳爻的概率服从二项分布16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴每卦6爻中恰好有3个阳爻的概率333611512216P C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选A .3.【答案】B .【解析】“恰有2只测量过该指标”指的是事件“两只通过指标且另外一只没有通过指标”，∴21323535C C P C ==，故选B .4.【答案】0.98.【解析】依题意共有10201040++=个车次，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为1020100.970.980.990.98404040⨯+⨯+⨯=.5.【答案】A .【解析】根据一组数据中中位数的找法可知，极端值变化不改变整组数据的中位数，故选A .6.【答案】D .【解析】把两名女同学“捆绑”在一起看成一个特殊的同学有222A =种方法，再与剩下的两名男同学全排列共有336A =种方法，而两男两女四名同学所有的排列方法有4424A =种，故两位女同学相邻的概率23234412A A P A ⋅==，故选D .7.【答案】C .【解析】阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，而阅读过《红楼梦》的学生共有80位，由此可知只阅读过红楼梦的学生有20人。

2019届高考数学二轮复习阶段提升突破练(三)概率与统计文新人教A版.doc

2019届高考数学二轮复习阶段提升突破练（三）概率与统计文新人教A版一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·宜宾二模)某生产车间的甲、乙两位工人生产同一种零件,这种零件的标准尺寸为85mm,现分别从他们生产的零件中各随机抽取8件检测,其尺寸用茎叶图表示如图(单位:mm),则估计( )A.甲、乙生产的零件尺寸的中位数相等B.甲、乙生产的零件质量相当C.甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好D.乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好【解析】选D.甲的零件尺寸是:93,89,88,85,84,82,79,78;乙的零件尺寸是:90,88,86,85,85,84,84,78;故甲的中位数是:=84.5,乙的中位数是:=85;故A错误;根据数据分析,乙的数据稳定,故乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好,故B,C错误.2.(2017·长沙二模)一个样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b分别是数列{2n-2}(n∈N*)的第2项和第4项,则这个样本的方差是( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.因为样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b分别是数列{2n-2}(n∈N*)的第2项和第4项,所以a=22-2=1,b=24-2=4,所以s2=[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.3.(2017·黄冈一模)电子钟一天显示的时间从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.一天显示的时间总共有24×60=1440种,和为23有09:59,19:58,18:59,19:49总共有4种,故所求概率为P==.4.在矩形ABCD中,AB=2AD,在CD上任取一点P,△ABP的最大边是AB的概率是( )A. B. C.-1 D.-1【解析】选D.设AD=a,当AB=AP时,(2a)2=a2+(2a-PC)2⇒PC=(2-)a或PC=(2+)a(舍去),所以所求概率为1-=-1.5.(2017·大同一模)有一底面半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为( )A. B. C. D.【解析】选 B.设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1,由几何概型,则P1===,故点P到点O的距离大于1的概率P=1-=.6.为保障春节期间的食品安全,某市质量监督局对超市进行食品检查,如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图,已知该组数据的平均数为11.75,则+的最小值为( )A.9B.C.3D.【解析】选 C.根据茎叶图中的数据,该组数据的平均数为=×(a+11+13+20+b)=11.75,所以a+b=3;所以+==+++=++≥+2=+2×=3,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时取“=”;所以+的最小值为3.7.利用计算机产生120个随机正整数,其最高位数字(如:34的最高位数字为3,567的最高位数字为5)的频数分布直方图如图所示,若从这120个正整数中任意取出一个,设其最高位数字为d(d=1,2,…,9)的概率为P.下列选项中,最能反映P与d的关系的是( )A.P=lgB.P=C.P=D.P=×【解析】选 A.P是d的减函数,所以排除C;由P(1)+P(2)+…+P(9)=1得,对于P=lg,P(1)+P(2)+…+P(9)=lg=lg10=1;对于P=, P(1)+P(2)+…+P(9)=++…+>1;对于P=×,P(1)+P(2)+…+P(9)=·<1,所以最能反映P与d的关系的是A.8.如图,正方形ABCD是由四个全等的小直角三角形与中间的一个小正方形拼接而成,现随机地向大正方形内部区域投掷小球,若直角三角形的两条直角边的比是2∶1,则小球落在小正方形区域的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意可知:直角三角形的两条直角边的比是2∶1,设直角边分别为2k,k,因此,正方形的边长为k,内部小正方形的边长为k,因此小球落在小正方形区域的概率为P==.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2017·资阳一模)某厂在生产某产品的过程中,产量x(吨)与生产能耗y(吨)的对应数据如表所示.根据最小二乘法求得回归直线方程为=0.7x+.当产量为80吨时,预计需要生产能耗为________吨.【解析】由题意,=45,=35,代入=0.7x+,可得=3.5,所以当产量为80吨时,预计需要生产能耗为0.7×80+3.5=59.5(吨).答案:59.510.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________.【解析】样本数据的平均数为5.1,所以方差为s2=×[(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2]=×[(-0.4)2+(-0.3)2+02+0.32+0.42]=×(0.16+0.09+0.09+0.16)=×0.5=0.1.答案:0.111.从2,3,8,9中任取两个不同的数值,分别记为a,b,则log a b为整数的概率为________.【解析】从2,3,8,9中任取两个数记为a,b,作为对数的底数与真数,共有=12个不同的基本事件,其中为整数的只有log28,log39两个基本事件,所以其概率P==.答案:12.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.【解析】从4只球中一次随机摸出2只,共有6种摸法,其中两只球颜色相同的只有1种,不同的共有5种,所以其概率为.答案:三、解答题(每小题10分,共40分)13.(2017·南充一模)某城市要建成宜商、宜居的国际化新城,该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家,现对两个区域的16个厂家进行评估,综合得分情况如茎叶图所示.(1)根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高.(2)规定综合得分85分以上(含85分)为优秀厂家,若从该两个区域各选一个优秀厂家,求得分差距不超过5分的概率.【解析】(1)根据茎叶图知,东城区的平均分为=(78+79+79+88+88+89+93+94)=86,西城区的平均分为=(72+79+81+83+84+85+94+94)=84,所以东城区的平均分较高.(2)从两个区域各选一个优秀厂家,所有的基本事件数为5×3=15种,满足得分差距不超过5的事件(88,85)(88,85)(89,85)(89,94)(89,94)(93,94)(93,94)(94,94)(94,94)共9种,所以满足条件的概率为P==.14.(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:经计算得=x i=9.97,s==≈0.212,≈18.439,(x i-)(i-8.5)=-2.78,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?②在(-3s,+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)附:样本(x i,y i)(i=1,2,…,n)的相关系数r=,≈0.09.【解析】(1)因为1,2,3,…,16的平均数为8.5,所以样本(x i,i)(i=1,2,…,n)的相关系数r==≈-0.178,|r|=0.178<0.25,所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)①-3s=9.97-3×0.212=9.334,+3s=9.97+3×0.212=10.606,第13个零件的尺寸为9.22,9.22<9.334,所以从这一天抽检的结果看,需对当天的生产过程进行检查.②剔除9.22,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为==10.02, 标准差为s==≈0.09.15.(2017·衡水一模)互联网背景下的“懒人经济”和“宅经济”渐成声势,推动了互联网餐饮行业的发展,而“80后”“90后”逐渐成为餐饮消费的主力,年轻人的餐饮习惯的改变,使省时、高效、正规的外送服务逐渐进入消费者的视野,美团外卖为了调查市场情况,对50人进行了问卷调查得到了如下的列联表,按照出生年龄,对喜欢外卖与否,采用分层抽样的方法抽取容量为10的样本,则抽到喜欢外卖的人数为6.(1)请将下面的列联表补充完整:(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢外卖与年龄有关?说明你的理由.(3)把“80后”中喜欢外卖的10个消费者从2到11进行编号,从中抽取一人,先后两次抛掷一枚骰子,出现的点数之和为被抽取的序号,试求抽到6号或10号的概率.下面的临界值表供参考:≥(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)【解题导引】(1)由题意,喜欢外卖的人数为50×0.6=30,不喜欢外卖的人数为20,我们易得到表中各项数据的值.(2)我们可以根据列联表中的数据,代入参考公式,计算出K2的值,然后对比临界值表,即可得到答案.(3)本小题考查的知识点是古典概型,关键是要找出满足条件的基本事件的个数,及总的基本事件的个数,再代入古典概型公式进行计算求解.【解析】(1)由题意,喜欢外卖的人数为50×0.6=30,不喜欢外卖的人数为20,(2)根据列联表中的数据,得到K2=≈8.333>7.879.因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢外卖与年龄有关.(3)设“抽到6或10号”为事件A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,y).所有的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36个.事件A包含的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(4,6),(5,5),(6,4),共8个,所以P(A)==.16.(2017·贵阳二模)为检测空气质量,某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天PM2.5日平均浓度(单位:微克/立方米)监测数据,得到甲地PM2.5日平均浓度频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表.乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表(1)根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频数分布表作出相应的频率分布直方图,并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可).(2)通过调查,该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级:记事件C:“甲地市民对空气质量的满意度等级高于乙地市民对空气质量的满意度等级”,假设两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立,根据所给数据,利用样本估计总体的统计思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求事件C的概率.【解题导引】(1)根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频数分布表能作出相应的频率分布直方图,由频率分布直方图能求出结果.(2)记A1表示事件:“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”,A2表示事件:“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”,B1表示事件:“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”,B2表示事件:“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”,则A1与B1独立,A2与B2独立,B1与B2互斥,C=B1A1∪B2A2,由此能求出事件C的概率.【解析】(1)根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频数分布表作出相应的频率分布直方图,如图:由频率分布直方图得:甲地PM2.5日平均浓度的平均值低于乙地PM2.5日平均浓度的平均值,而且甲地的数据比较集中,乙地的数据比较分散.(2)记A1表示事件:“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”,A2表示事件:“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”,B1表示事件:“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”,B2表示事件:“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”,则A1与B1独立,A2与B2独立,B1与B2互斥,C=B1A1∪B2A2,P(C)=P(B1A1∪B2A2)=P(B1)P(A1)+P(B2)P(A2),由题意P(A1)=,P(A2)=,P(B1)=,P(B2)=,所以P(C)=×+×=.。

2019版步步高二轮数学三专题突破核心考点专题三概率与统计第2讲概率

第2讲概率[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合,考查知识的综合应用能力.热点一古典概型和几何概型 1.古典概型的概率P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.2.几何概型的概率P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).例1 (1)党的十九大报告指出,建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程,必须把教育事业放在优先位置,深化教育资源的均衡发展.现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教.将这6名毕业生全部进行安排,每所学校至少安排2名毕业生,则每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为( ) A.425 B.25 C.1425 D.45 答案 C【试题解析】由题意,将这六名毕业生全部进行安排,每所学校至少2名毕业生, 基本事件的总数为N ＝⎝⎛⎭⎫C 26＋C 36C 33A 22×A 22＝50, 每所学校男女毕业生至少安排一名共有2种情况.一是其中一个学校安排一女一男,另一个学校有一女三男,有C 12C 14A 22＝16(种), 二是其中一个学校安排一女二男,另一个学校有一女两男,有C 12C 24＝12(种),共有16＋12＝28(种).所以概率为P ＝2850＝1425.(2)如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,过C ,M ,D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分,则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是( )A.16B.13C.12D.23答案 D【试题解析】以M 为原点,BA 所在直线为y 轴,BA 的垂线为x 轴,建立平面直角坐标系,则过C ,M ,D 的抛物线方程为y 2＝12x ,则图中阴影部分面积为2ʃ2012x d x ＝2×2332x |20＝83,所以落在阴影部分的概率为P ＝834＝23,故选D.【思维升华】(1)解答有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,常用到计数原理与排列、组合的相关知识.(2)在求基本事件的个数时,要准确理解基本事件的构成,这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性.(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解. 跟踪演练1 (1)(2017·山东)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A.518 B.49 C.59 D.79 答案 C【试题解析】方法一 ∵9张卡片中有5张奇数卡片,4张偶数卡片,且为不放回地随机抽取, ∴P (第一次抽到奇数,第二次抽到偶数)＝59×48＝518,P (第一次抽到偶数,第二次抽到奇数)＝49×58＝518,∴P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝518＋518＝59.方法二依题意,得P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝5×4C 29＝59.(2)(2018·咸阳模拟)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机选取一个实数x ,则事件“sin x ≥32”发生的概率为( )A.1B.14C.13D.16答案 D【试题解析】因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2,sin x ≥32,所以π3≤x ≤π2,所以由几何概型的概率公式得事件“sin x ≥32”发生的概率为π2－π3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝16.热点二条件概率与相互独立事件 1.条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率 P (B |A )＝P (AB )P (A ).2.相互独立事件同时发生的概率 P (AB )＝P (A )P (B ).例2 (1)(2018·衡水调研)电路从A 到B 上共连接着6个灯泡(如图),每个灯泡断路的概率是13,整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路,则从A 到B 连通的概率是( )A.1027B.448729C.100243D.4081 答案 B【试题解析】由题图可知,AC 之间未连通的概率是⎝⎛⎭⎫132＝19,连通的概率是1－19＝89.EF 之间连通的概率是⎝⎛⎭⎫232＝49,未连通的概率是1－49＝59,故CB 之间未连通的概率是⎝⎛⎭⎫592＝2581,故CB 之间连通的概率是1－2581＝5681,故AB 之间连通的概率是89×5681＝448729.(2)(2018·新余模拟)从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A ＝“第一次取到的是奇数”,B ＝“第二次取到的是奇数”,则P (B |A )等于( ) A.12 B.25 C.310 D.15答案 A【试题解析】由题意得P (A )＝C 15C 18A 29＝59,P (AB )＝C 15C 14A 29＝518,∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝51859＝12.【思维升华】求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点(1)求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,然后用概率公式求解.(2)注意辨别独立重复试验的基本特征:①在每次试验中,试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中,事件发生的概率相同.跟踪演练2 (1)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12,两次闭合后都出现红灯的概率为15,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.110 B.15 C.25 D.12 答案 C【试题解析】设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ,“第二次闭合后出现红灯”为事件B ,由题意得P (A )＝12,P (AB )＝15.由条件概率的定义可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1512＝25.(2)如图,ABCD 是以O 为圆心、半径为2的圆的内接正方形,EFGH 是正方形ABCD 的内接正方形,且E ,F ,G ,H 分别为AB ,BC ,CD ,DA 的中点.将一枚针随机掷到圆O 内,用M 表示事件“针落在正方形ABCD 内”,用N 表示事件“针落在正方形EFGH 内”,则P (N |M )等于()A.1πB.22C.12D.14 答案 C【试题解析】由题意得,圆O 的半径为2, 所以内接正方形ABCD 的边长为AB ＝22, 则正方形ABCD 的面积为S 1＝(22)2＝8, 因为E ,F ,G ,H 分别为AB ,BC ,CD ,DA 的中点, 所以EF ＝12×2R ＝2,所以正方形EFGH 的面积为S 2＝22＝4, 所以P (N |M )＝48＝12,故选C.热点三离散型随机变量的分布列1.离散型随机变量的分布列的两个性质(1)p i≥0(i＝1,2,…,n)；(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.2.独立重复试验、二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k,k＝0,1,2,…,n.一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X＝k)＝C k n p k q n－k,其中0<p<1,p＋q＝1,k＝0,1,2,…,n,称X服从参数为n,p的二项分布,记作X～B(n,p),且E(X)＝np,D(X)＝np(1－p).3.期望公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n.4.期望的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)若X～B(n,p),则E(X)＝np.5.方差公式D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[x n－E(X)]2·p n,标准差为D(X).6.方差的性质(1)D(aX＋b)＝a2D(X)；(2)若X～B(n,p),则D(X)＝np(1－p).例3(2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的期望达到最大值？解(1)由题意知,X所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知,P (X ＝200)＝2＋1630×3＝0.2,P (X ＝300)＝3630×3＝0.4,P (X ＝500)＝25＋7＋430×3＝0.4.则X 的分布列为(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时,若最高气温不低于25,则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20,25),则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1 200－2n ；若最高气温低于20,则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n , 因此E (Y )＝2n ×0.4＋(1 200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n . 当200≤n <300时,若最高气温不低于20,则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温低于20,则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n , 因此E (Y )＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n . 所以当n ＝300时,Y 的期望达到最大值,最大值为520元. 【思维升华】求解随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类概率公式求概率.(2)求随机变量的期望与方差的关键是正确求出随机变量的分布列.若随机变量服从二项分布,则可直接使用公式法求解.跟踪演练3 (2018·永州模拟)某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品,每年每位职工只要交少量保费,发生意外后可一次性获得若干赔偿金,保险公司把企业的所有岗位共分为A ,B ,C 三类工种,从事这三类工种的人数分别为12 000,6 000,2 000,由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率):已知A ,B ,C 三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元,出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元,保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.(1)求保险公司在该业务所获利润的期望值； (2)现有如下两个方案供企业选择:方案1:企业不与保险公司合作,职工不交保险,出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给发生意外的职工,企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2:企业与保险公司合作,企业负责职工保费的70%,职工个人负责保费的30%,出险后赔偿金由保险公司赔付,企业无额外专项开支. 请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.解 (1)设工种A ,B ,C 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X ,Y ,Z ,则X ,Y ,Z 的分布列为保险公司的期望收益为E (X )＝25⎝⎛⎭⎫1－1105＋(25－100×104)×1105＝15； E (Y )＝25⎝⎛⎭⎫1－2105＋(25－100×104)×2105＝5； E (Z )＝40⎝⎛⎭⎫1－1104＋(40－50×104)×1104＝－10. 保险公司的利润的期望值为12 000×E (X )＋6 000×E (Y )＋2 000×E (Z )－100 000＝90 000, 故保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元.(2)方案1:企业不与保险公司合作,则企业每年安全支出与固定开支共为 12 000×100×104×1105＋6 000×100×104×2105＋2 000×50×104×1104＋12×104＝46×104(元),方案2:企业与保险公司合作,则企业支出保险金额为 (12 000×25＋6 000×25＋2 000×40)×0.7＝37.1×104(元), 46×104>37.1×104,故建议企业选择方案2.真题体验1.(2017·全国Ⅱ改编)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为______. 答案 25【试题解析】从5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张的情况如图:基本事件总数为25,第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10, ∴所求概率P ＝1025＝25.2.(2017·浙江改编)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ,P (ξi ＝0)＝1－p i ,i ＝1,2.若0,<或＝) 答案 < <【试题解析】由题意可知ξi (i ＝1,2)服从两点分布, ∴E (ξ1)＝p 1,E (ξ2)＝p 2,D (ξ1)＝p 1(1－p 1),D (ξ2)＝p 2(1－p 2), 又∵00,根据0<p 1<p 2<12知,D (ξ1)<D (ξ2).3.(2018·全国Ⅲ改编)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D (X )＝2.4,P (X ＝4)0.5,所以p ＝0.6. 押题预测1.某校在2016年的中学数学挑战赛中有1 000人参加考试,数学考试成绩ξ～N (90,σ2)(σ>0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35,则此次数学考试成绩不低于110分的考生人数约为( ) A.200 B.400 C.600 D.800押题依据正态分布多以实际问题为背景,有很强的应用价值,应引起考生关注. 答案 A【试题解析】依题意得P (70≤ξ≤110)＝0.6, P (ξ≤110)＝0.3＋0.5＝0.8,P (ξ≥110)＝0.2, 于是此次数学考试成绩不低于110分的考生约有 0.2×1 000＝200(人).2.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是____.押题依据二项分布模型和独立重复试验是生活中常见概率问题的抽象和提炼,也是高考的热点. 答案516【试题解析】由于质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P 必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为C 35⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫122＝C 35⎝⎛⎭⎫125＝516. 3.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租的时间不超过两小时免费,超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按 1小时计算).有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,14；两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与期望E (ξ).押题依据利用随机变量求解概率问题是高考的必考点,一般以解答题形式出现,考查离散型随机变量的期望.解 (1)由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14,14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A , 则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)ξ的可能取值为0,2,4,6,8.P (ξ＝0)＝14×12＝18,P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516,P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516,P (ξ＝6)＝14×14＋12×14＝316,P (ξ＝8)＝14×14＝116,故ξ的分布列为E (ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.A 组专题通关1.(2018·邯郸模拟)某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.7,0.6,只有通过前一关才能进入下一关,且每关通过与否相互独立.一选手参加该节目,则该选手只闯过前两关的概率为( )A.0.56B.0.336C.0.32D.0.224 答案 D【试题解析】该选手只闯过前两关的概率为0.8×0.7×(1－0.6)＝0.224.2.(2017·全国Ⅰ)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4 答案 B【试题解析】不妨设正方形ABCD 的边长为2,则正方形内切圆的半径为1,可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2,所以由几何概型知,所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.3.(2018·全国Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30＝7＋23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( ) A.112 B.114 C.115 D.118 答案 C【试题解析】不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,随机选取两个不同的数,共有C 210＝45(种)情况,而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况,∴所求概率为345＝115.故选C. 4.盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,不放回地依次摸出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也摸出新球的概率为( ) A.35 B.59 C.25 D.110答案 B【试题解析】设“第一次摸出新球”为事件A ,“第二次摸出新球”为事件B ,则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35,P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13, P (B |A )＝P (AB )P (A )＝59.5.某游戏中一个珠子从图中的通道(图中实线表示通道)由上至下滑下,从最下面的六个出口(如图所示1,2,3,4,5,6)出来,规定猜中出口者为胜.如果你在该游戏中,猜得珠子从3号出口出来,那么你取胜的概率为()A.516B.532C.16D.以上都不对答案 A【试题解析】我们把从A 到3的路线图(图略)单独画出来:分析可得,从A 到3共有C 25＝10(种)走法,每一种走法的概率都是⎝⎛⎭⎫125,所以珠子从出口3出来的概率是C 25⎝⎛⎭⎫125＝516.6.(2018·上海黄浦区模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次,则恰好有3次出现正面向上的概率是________.(结果用数值表示) 答案516【试题解析】一枚硬币连续抛掷5次,则恰好有3次出现正面向上的概率P ＝C 35⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫122＝516. 7.(2018·日照模拟)在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋2y ≤7，x ≥0的可行域内任取一点(x ,y ),则满足2x －3y ≥0的概率是_____. 答案 29【试题解析】绘制不等式组所表示的平面区域如图所示,由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1，x ＋2y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即A (3,2), 且B ⎝⎛⎭⎫0，72,C (0,－1), 故S △ABC ＝12×⎝⎛⎭⎫72＋1×3＝274. 作出直线2x －3y ＝0,则2x －3y ≥0表示的区域为△OAC ,即不等式2x －3y ≥0所表示的区域为△OAC ,面积为S △AOC ＝12×1×3＝32,所以满足2x －3y ≥0的概率是P ＝S △AOC S △ABC ＝32274＝29.8.(2018·洛阳联考)已知随机变量X ～B ()2，p ,Y ～N ()2，σ2,若P ()X ≥1＝0.64,P (0<Y <2)＝p ,则P (Y >4)＝________. 答案 0.1【试题解析】∵随机变量服从X ～B ()2，p ,∴P ()X ≥1＝1－C 02()1－p 2＝0.64,解得p ＝0.4.又Y ～N ()2，σ2,∴P ()Y >4＝P ()Y <0＝0.5－P ()0<Y <2＝0.1.9.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等),则在男生甲被选中的情况下,男生乙和女生丙至少有一个被选中的概率是________. 答案 35【试题解析】“男生甲被选中”记作事件A ,“男生乙和女生丙至少有一个被选中”记作事件B ,则P (A )＝C 26C 37＝15C 37,P (AB )＝C 14＋C 14＋1C 37＝9C 37, 由条件概率公式可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35.10.(2018·衡水金卷信息卷)2018年元旦期间,某运动服装专卖店举办了一次有奖促销活动,消费每超过400元均可参加1次抽奖活动,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种.方案一:顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图),转盘停止转动时指针指向哪个扇形区域,则顾客可直接获得该区域对应面额(单位:元)的现金优惠,且允许顾客转动3次.方案二:顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图),转盘停止转动时指针若指向阴影部分,则未中奖,若指向白色区域,则顾客可直接获得40元现金,且允许顾客转动3次.(1)若两位顾客均获得1次抽奖机会,且都选择抽奖方案一,试求这两位顾客均获得180元现金优惠的概率；(2)若某顾客恰好获得1次抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得现金奖励的期望； ②从概率的角度比较①中该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？解 (1)若要享受到180元的现金优惠,则必须每次旋转转盘都指向60元对应的区域,由题图可知,每一次转盘指向60元对应区域的概率为p ＝412＝13.设“每位顾客获得180元现金奖励”为事件A , 则P (A )＝C 33⎝⎛⎭⎫133＝127.所以两位顾客均获得180元现金奖励的概率为P ＝P (A )·P (A )＝127×127＝1729.(2)①若选择抽奖方案一,则每一次转盘指向60元对应区域的概率为13,每一次转盘指向20元对应区域的概率为23.设获得现金奖励金额为X 元, 则X 可能的取值为60,100,140,180. 则P ()X ＝60＝C 03⎝⎛⎭⎫233＝827； P ()X ＝100＝C 13⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫232＝49； P ()X ＝140＝C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＝29； P ()X ＝180＝C 33⎝⎛⎭⎫133＝127.所以选择抽奖方案一,该顾客获得现金奖励金额的期望为E ()X ＝60×827＋100×49＋140×29＋180×127＝100.若选择抽奖方案二,设三次转动转盘的过程中,指针指向白色区域的次数为Y ,最终获得现金奖励金额为Z 元,则Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，13,故E ()Y ＝3×13＝1, 所以选择抽奖方案二,该顾客获得现金奖励金额的期望为E ()Z ＝E ()40Y ＝40. ②由①知E ()X >E ()Z ,所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.B 组能力提高11.某同学用“随机模拟方法”计算曲线y ＝ln x 与直线x ＝e,y ＝0所围成的曲边三角形的面积时,用计算机分别产生了10个在区间[1,e]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0,1]上的均匀随机数y i (i ∈N *,1≤i ≤10),其数据如下表的前两行.由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是( ) A.35(e －1) B.25(e －1) C.35(e ＋1) D.25(e ＋1) 答案 A【试题解析】由表可知,向矩形区域⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤e ，0≤y ≤1内随机抛掷10个点,其中有6个点在曲边三角形内,其频率为610＝35.∵矩形区域的面积为e －1,∴曲边三角形面积的近似值为35(e －1).12.记“点M (x ,y )满足x 2＋y 2≤a (a >0)”为事件A ,记“M (x ,y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，5x －2y －4≤0，2x ＋y ＋2≥0”为事件B ,若P (B |A )＝1,则实数a 的最大值为( ) A.12 B.45 C.1 D.13答案 A【试题解析】要使得P (B |A )＝1,则不等式x 2＋y 2≤a 所表示的区域在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，5x －2y －4≤0，2x ＋y ＋2≥0所表示的平面区域内,又圆x 2＋y 2＝a 的圆心为(0,0),半径为a , 圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为d 1＝12≥a ⇒a ≤12；圆心(0,0)到直线5x －2y －4＝0的距离为d 2＝429≥a ⇒a ≤1629；圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋2＝0的距离为d 3＝25≥a ⇒a ≤45.因为d 1<d 2<d 3,所以a ≤12,所以实数a 的最大值为12.13.赌博有陷阱,某种赌博游戏每局的规则是参与者从标有5,6,7,8,9的相同小球中随机摸取一个,将小球上的数字作为其赌金(单位:元),随后放回该小球,再随机摸取两个小球,将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位:元),若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金,则E (ξ)－E (η)＝________. 答案 3【试题解析】赌金ξ的分布列为E (ξ)＝15(5＋6＋7＋8＋9)＝7,奖金的情况:两卡片数字之差的绝对值为1,共有4种,奖金为2元；两卡片数字之差的绝对值为2,共有3种,奖金为4元；两卡片数字之差的绝对值为3,共有2种,奖金为6元；两卡片数字之差的绝对值为4,共有1种,奖金为8元. 则P (η＝2)＝4C 25＝25,P (η＝4)＝3C 25＝310,P (η＝6)＝2C 25＝15,P (η＝8)＝110.奖金η的分布列为∴E (η)＝2×25＋4×310＋6×15＋8×110＝4,∴E (ξ)－E (η)＝7－4＝3.14.如图,小华和小明两个小伙伴在一起做游戏,他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决定谁首先登上第3个台阶,他们规定从平地开始,每次划拳赢的一方登上一级台阶,输的一方原地不动,平局时两个人都上一级台阶,如果一方连续两次赢,那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励,除非已经登上第3个台阶,当有任何一方登上第3个台阶时,游戏结束,记此时两个小伙伴划拳的次数为X .(1)求游戏结束时小华在第2个台阶的概率； (2)求X 的分布列和期望.解 (1)易知对于每次划拳比赛基本事件共有3×3＝9(个),其中小华赢(或输)包含三个基本事件,他们平局也为三个基本事件,不妨设事件“第i (i ∈N *)次划拳小华赢”为A i ；事件“第i 次划拳小华平”为B i ；事件“第i 次划拳小华输”为C i ,所以P (A i )＝P (B i )＝P (C i )＝39＝13.因为游戏结束时小华在第2个台阶,所以这包含两种可能的情况:第一种:小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平；其概率为P 1＝A 22P (B 1)P (C 2)P (B 3)＋P (C 1)P (A 2)P (C 3)P (B 4)＝781, 第二种:小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,其概率为P 2＝P (B 1)P (B 2)P (C 3)＋A 33P (A 1)P (B 2)·P (C 3)P (C 4)＋P (A 1)P (C 2)P (A 3)P (C 4)P (C 5)＋P (C 1)P (A 2)P (C 3)P (A 4)P (C 5)＝29243. 所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为 P ＝P 1＋P 2＝781＋29243＝50243.(2)依题可知X 的可能取值为2,3,4,5, P (X ＝5)＝2P (A 1)P (C 2)P (A 3)P (C 4) ＝2×⎝⎛⎭⎫134＝281,P (X ＝2)＝2P (A 1)P (A 2)＝2×⎝⎛⎭⎫132＝29,P (X ＝3)＝2P (A 1)P (B 2)P (A 3)＋2P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (B 1)P (B 2)P (B 3)＋2P (A 1)P (B 2)P (B 3)＋2P (B 1)·P (A 2)P (B 3)＋2P (B 1)P (B 2)P (A 3)＋2P (C 1)P (A 2)·P (A 3)＝1327,P (X ＝4)＝1－P (X ＝5)－P (X ＝2)－P (X ＝3)＝2281.所以X 的分布列为所以X 的期望为E (X )＝2×29＋3×1327＋4×2281＋5×281＝25181.。

2019年高考数学(理科)二轮复习讲义：第二部分第五讲概率与统计微专题1统计与统计案例Word版含答案

第五讲概率与统计微专题1统计与统计案例命题者说考向一抽样方法【例1】(1)从编号为01,02，…，49,50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第5个个体的编号为()C．32 D．43(2)某班50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，从全班学生中抽取部分学生进行调查，已知抽到的女生有4名，则本次调查抽取的人数是()A．8 B．10C．12 D．15解析(1)由题意知选定的第一个数为65(第1行的第5列和第6列)，按由左到右选取两位数(大于50的跳过、重复的不选取)，前5个个体编号为08,12,14,07,43。

故选出来的第5个个体的编号为43。

故选D 。

(2)因为50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，抽到的女生有4名，所以本次调查抽取的人数是50×420＝10。

故选B 。

答案 (1)D (2)B(1)解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围。

但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量与总体容量的比值。

(2)在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取n 个个体，样本就需要分成n 个组，则分段间隔即为⎣⎢⎡⎦⎥⎤N n (N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体。

变|式|训|练1．某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1～60号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知3号、33号、48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为( )A ．28B ．23C ．18D ．13解析抽样间隔为604＝15，故另一个学生的编号为3＋15＝18。

故选C 。

答案 C2．某校有高级教师90人，一级教师120人，二级教师75人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为()A．10 B．12C．16 D．18解析根据分层抽样性质，设抽取的一级教师人数为m，则12090＋120＋75＝m38，解得m＝16。

2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题六3高考解答题的审题与答题示范六概率与统计类

高考解答题的审题与答题示范(六)概率与统计类解答题
——审图表、审数据
题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，认真观察分析图表、数据的特征的规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．
典例
(本题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
③写出随机变量的分布列得2分.
第(2)问踩点得分说明
④正确写出在300≤n≤500时的各关系式得1分；
⑤正确写出在300≤n≤500时E(Y)＝640－0.4n得1分；
⑥正确写出在200≤n＜300时的各关系式得1分；
⑦正确写出在200≤n＜300时E(Y)＝160＋1.2n得1分；
⑧得出n＝300时，Y的数学期望达到最大值，并求出最大值得2分.
因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n，⑦
所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．⑧
第(1)问
第(2)问
得
分
点
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
1
3
2
1
1
1
1
2
6分
6分
第(1)问踩点得分说明
①正确写出X所有可能取值得1分；

2019高三数学二轮练习过关检测6概率与统计理

2019高三数学二轮练习过关检测6概率与统计理注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

(时间：90分钟总分值：120分)【一】选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分)1、如图是根据全国人口普查数据得到的我国人口的年龄频率分布直方图：据此可知在一个总人口数为350万的城市中，年龄在[40,60)之间的人大约有()、A 、35.5万B 、77万C 、105万D 、132万2、从集合A ＝{2,3，－4}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2，－3,4}中随机选取一个数记为b ，那么直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限的概率为()、A.29B.13C.49D.593、(2018·山师大附中模拟)设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，假设P (ξ＜2a －3)＝P (ξ＞a ＋2)，那么a 的值为()、A.73B.53C 、5D 、34、(2018·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家、假设每家人坐在一起，那么不同的坐法种数为()、A 、3×3!B 、3×(3！)3C 、(3！)4D 、9!5、假设(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，那么|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝()、A 、1024B 、243C 、32D 、246、(2018·福州质检)设随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，那么函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的概率为()、A.14B.13C.12D.237、(2018·安徽)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品、6位同学之间共进行了13次交换，那么收到4份纪念品的同学人数为()、A、1或3B、1或4C、2或3D、2或48、(2017根据上表可得回归方程y＝b x＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()、A、63.6万元B、65.5万元C、67.7万元D、72.0万元9、(2018·皖南八校联考)(x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为()、A、5B、3C、2D、010、右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，那么甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()、A.25B.710C.45D.910【二】填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分)11、一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为t，那么在第k组中抽取的号码个位数字与t＋k的个位数字相同，假设t＝7，那么在第8组中抽取的号码应是________、12、(2018·山师大附中模拟)在区间[0,10]内任取两个数，那么这两个数的平方和也在[0,10]的概率为________、13、(2018·陕西)(a＋x)5展开式中x2的系数为10，那么实数a的值为________、14、(2018·揭阳三模)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)，(σ＞0)，假设ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，那么ξ在(0,2)内取值的概率为________、【三】解答题(本大题共5小题，共54分)15、(10分)(2018·浙江)箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分、现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和、(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)、16.(10分)(2018·朝阳区模拟)某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如下图，规定85分及其以上为优秀、优秀的学生人数；(3)在(2)中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，求两名学生中至少有一名优秀的概率、17、(10分)(2018·重庆)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球、约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束、设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响、 (1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望、18、(12分)(2018·福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关、某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)假设该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车、假设从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由、19、(12分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次：在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否那么投第三次、某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求q 2(2)求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小、参考答案过关检测(六)概率与统计1、B[由频率分布直方图知年龄在[40,60)之间的频率为0.011×20＝0.22，所以年龄在[40,60)之间的人大约有350×0.22＝77(万)、]2、C[依题意k 和b 的所有可能的取法一共有3×3＝9(种)，其中当直线y ＝kx ＋b 不经过第二象限时应有k ＞0，b ＜0，一共有2×2＝4(种)，所以所求概率为49.]3、A[由2a －3a ＋22＝3，得a ＝73.] 4、C[利用“捆绑法”求解、满足题意的坐法种数为A 33(A 33)3＝(3！)4，应选C.]5、A[令x ＝－1，那么|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝45＝1024.]6、C[函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点，那么Δ＝4－4ξ＜0，ξ＞1，因为ξ～N (1，σ2)，所以μ＝1，P (ξ＞1)＝12.]7、D[不妨设6位同学分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，列举交换纪念品的所有情况为AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共有15种、因为6位同学之间共进行了13次交换，即缺少以上交换中的2种、第一类，某人少交换2次，如DF ，EF 没有交换，那么A ，B ，C 交换5次，D ，E 交换4次，F 交换3次；第二类，4人少交换1次，如CD ，EF 没有交换，那么A ，B 交换5次，C ，D ，E ，F 交换4次、]8、B[样本中心点是(3.5,42)，那么a ^＝y －b ^x ＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^＝65.5.]9、A[常数项为C 22×22×C 05＝4，x 7系数为C 02×C 05(－1)5＝－1，∴常数项与x 7系数的差为5.]10、C[记其中被污损的数字为x ，依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是15(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝15(442＋x )、令90＞15(442＋x )，由此解得x ＜8，即x 的可能取值是0,1,2,3,4,5,6,7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝45.]11、解析t ＋k ＝7＋8＝15，第8组中的个位数字与t ＋k 的个位数字相同，∴填75.答案7512、解析所求概率为P ＝14×10π100＝π40.答案π4013、解析由二项展开式的通项公式可得，T 3＝C 25a 3x 2＝10x 2，解得a ＝1.答案1 14、0.815、解(1)由题意得X 取3,4,5,6，且P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 24C 39＝121. 所以X(2)由(1)知E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133. 16、解(1)依题意，a ＝0.04×5×1000＝200，b ＝0.02×5×1000＝100.(2)设其中成绩为优秀的学生人数为x ，那么x40＝350＋300＋1001 000，解得：x ＝30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名、(3)记“两名学生中至少有一名优秀的学生”为事件A .所以P (A )＝1－C 210C 240＝1－352＝4952.17、解设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，那么P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)、(1)记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1)＋P (A 1B 1A 2)＋P (A 1B 1A 2B 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3) ＝13＋23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×13 ＝13＋19＋127＝1327.(2)ξ的所有可能值为1,2,3.由独立性知P (ξ＝1)＝P (A 1)＋P (A 1B 1)＝13＋23×12＝23.P (ξ＝2)＝P (A 1B 1A 2)＋P (A 1B1A 2B 2)＝23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝29.P (ξ＝3)＝P (A 1B 1A 2B 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝19.综上知，ξ有分布列从而，E (ξ)＝1×23＋2×9＋3×9＝9.18、解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，那么P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1X 2的分布列为(3)由(2)得，E (X 1)＝1×25＋2×50＋3×10＝50＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)、因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车、 19、解(1)由题设知，“ξ＝0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知P (ξ＝0)＝(1－q 1)(1－q 2)2＝0.03，解得q 2＝0.8. (2)根据题意P1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)C12(1－q2)q2＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24，P2＝P(ξ＝3)＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－0.8)2＝0.01，P3＝P(ξ＝4)＝(1－q1)q22＝0.75×0.82＝0.48，P4＝P(ξ＝5)＝q1q2＋q1(1－q2)q2＝0.25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24，因此E(ξ)＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，那么P(C)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝P3＋P4＝0.48＋0.24＝0.72，P(D)＝q22＋C12q2(1－q2)q2＝0.82＋2×0.8×0.2×0.8＝0.896.故P(D)＞P(C)、即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率、。

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