列表法解决分部积分法的教学探索

作者简介:张汝美（1975~），女，云南普洱人，硕士，副教授，

研究方向：非线性泛函分析；普粉丽（1980~），女，云南江川人，硕士，副教授，

研究方向：数学教育。收稿日期:2016-09-12

2016年12月普洱学院学报

Dec.2016第32卷第6期Journal of Puer University Vol.32No.6

分部积分法是借助乘法求导而得到的，两个函数乘积的层数的逆运算，

其基本思想是将一个难以用直接积分法和凑微分法求出的积分，通过公式ʃudv=uv-ʃvdu 求出结果[1]，解题关键为把被积表达式ʃf(x)dx 写成ʃf(x)dx=ʃu(x)dv(x)的形式，而其中关键是如何选取u 和dv ，其中u 和dv 选取的目的只有一个，这样选取后等式右边的积分ʃu'(x)v(x)dx 要么形式比ʃu(x)v'(x)dx 更简单，要么它的积分容易计算出结果，其中，u(x)的选取，可以按“反、对、幂、三、指”[2][3]

的顺序来选择。

1求ʃxe x dx

分析：被积函数是幂函数与指数函数的乘积，我们按得“反、对、幂、指、三”的顺序来选择u(x)，得u(x)=x ，e x dx=v(x)dx 。

解：设u(x)=x ，e x

dx=v(x)dx ，则dv=de x

，v=e x

利用

分部积分公式有ʃxe x dx=ʃxde x =xe x -ʃe x dx=xe x -e x +C

2求ʃx 2sin xdx

分析：被积函数是幂函数与三角函数的乘积，我们按得“反、对、幂、指、三”的顺序来选择u(x)，得u(x)=x 2，由v'(x)dx=sin xdx ，得v(x)=-cosx 。

解：

设u(x)=x 2

，由v'(x)dx=sinxdx ，得v(x)=-cosx ，则利用分部积分公式有

ʃx 2sinxdx=ʃx 2d(-cosx)

=-x 2cosx+ʃcosxdx 2

=-x 2cosx+2ʃxcosxdx 右边积分形式比左边更简单，

再用一次分部积分法有：

=-x 2cosx+2ʃxdsinx

=-x 2cosx+2xsinx-2ʃsinxdx

=-x 2cosx+2xsinx+2cosx+C

3求ʃxlnxdx

分析：被积函数是幂函数与对数函数的乘积，我们按得“反、对、幂、指、三”的顺序来选择u(x)，得u(x)=lnx ，由v'(x)dx=xdx ，

得v(x)=12

x 2

。解：

设u(x)=lnx ，由v'(x)dx=xdx ，得v(x)=12

x 2

，则利用分部积分公式有ʃxlnxdx=ʃlnxd(12x 2)=12

x 2

lnx-ʃx 2dlnx

=

12x 2lnx-12ʃxdx=12x 2lnx-1

4

x 2+C 但对于上述u(x)的选取顺序也并非是绝对的，若被积函数都是易求原函数的函数，则u(x)的选取具有任意性。

4求ʃcosxe x dx

解法一：被积函数是三角函数与指数函数的乘

列表法解决分部积分法的教学探索

张汝美，

普粉丽普洱学院数学与统计学院，

云南普洱

665000

摘要：不定积分是求导的逆运算，是整个积分法的基础，其中分部积分法是乘积求导运算的逆运算，是一种极为重要的各分法，对它的掌握程度直接关系着不定积分的运算能力。本文对此方法作了一些总结，归纳出一些教学方法，并对分部积分法中的公式法和列表法作了比较。

关键词:分部积分法；列表法；公式法中图分类号：O172.2

文献标识码：A

文章编号：2095-7734（2016）06-0026-03

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张汝美,普粉丽：列表法解决分部积分法的教学探索

积，若选u(x)=e x，利用分部积分公式有

ʃcosxe x dx=ʃe x dsinx=e x sinx-ʃsinxde x

=e x sinx-ʃsinxe x dx=e x sinx+ʃe x dcosx=e x sinx+ e x cosx-ʃcosxe x dx

移项得：ʃcosxe x dx=12e x(sinx+cosx)+C

解法二：被积函数是三角函数与指数函数的乘积，若选u(x)=cosx，利用分部积分公式有

ʃcosxe x dx=ʃcosxde x=e x cosx-ʃe x dcosx

=e x cosx+ʃe x sinxdx

=e x cosx+ʃsinxde x=e x cos x+e x sinx-ʃe x cosxdx

称项得：ʃcosxe x dx=12e x(sinx+cosx)+C

上述方法为利用分部积分公式求出函数的不定积分，称为分部积分公式法，对于公式法，通过观察我们发现运用分部积分公式ʃf(x)dx=ʃu(x)g(x)dx 时，运用分部积分公式的第一步，是将其中的一个因子g写成v'的形式，而按原函数的定义：v就是g 的一个原函数，即v=ʃg(x)dx，第二步才是利用公式ʃug(x)dx=ʃuv'dx=uv-ʃu'vdx。

将此过程写成下列形式，其中两个因子u，g如下表左右排列

符号求导列积分列

(+)u→g

↘

(-)u'→v=ʃgdx

列表法的运算法则为：

（1）左列函数依次求层数；

（2）右列函数依次求积分；

（3）横向函数相乘求积分，即求ʃugdx，ʃu'vdx；

（4）斜向函数相乘不求积，即uv

（5）符号依次取正负相间，即一正一负相间取得。

对于需要多次分部积分的不定积分，可将上表同法继续往下排列，直到足够简单为止。

利用上表求不定积分的方法称为分部积分的列表法。

例如：ʃxe x dx

分析：被积函数是幂函数与指数函数的乘积，我们按得“反、对、幂、指、三”的顺序来选择u(x)，得u(x)=x。

解：设u(x)=x,利用列表法有

符号求导列积分列

(+)x→e x

↘

(-)1e x

↘

(+)0→e x

所以，利用列表法的运算法则得：ʃxe x dx=xe x-e x+C

求ʃx2sin xdx

分析：被积函数是幂函数与三角函数的乘积，我们按得“反、对、幂、指、三”的顺序来选择u(x)，得u(x)=x2。

解：设u(x)=x2，则利用列表法有

符号求导列积分列

(+)x2→sinx

↘

(-)2x-cosx

↘

(+)2-sinx

↘

(-)0→-cosx

所以，利用列表法的运算法则得：

ʃx2sin xdx=-x2cosx+2xsinx+2cosx+C

5求ʃxln xdx

分析：被积函数是幂函数与对数函数的乘积，我们按得“反、对、幂、指、三”的顺序来选择u(x)，得u(x)=lnx。

解：设u(x)=lnx，则利用列表法有

符号求导列积分列

(+)lnx→x

↘

(-)1x→12x2

所以，利用列表法的运算法则得：

ʃxlnxdx=12x2lnx-ʃ1x·12x2dx

=12x2lnx-12ʃxdx

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