高考数学一模试题杨浦2016届高三一模数学卷(理、附答案)

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上海市杨浦区控江中学2016届高考数学模拟试卷(理科)(5月份) Word版含解析

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2016年上海市杨浦区控江中学高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一.填空题(每小题4分,共56分).1.集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|x2<1},则A∪B等于.2.函数y=的定义域是.3.已知函数f(x)=,则f﹣1(1)=.4.若复数+b(b∈R)所对应的点在直线x+y=1上,则b的值为.5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为.6.已知平面上四点O、A、B、C,若=+,则=.7.若对任意正实数a,不等式x2≤1+a恒成立,则实数x的最小值为.8.对于抛物线C,设直线l过C的焦点F,且l与C的对称轴的夹角为.若l被C所截得的弦长为4,则抛物线C的焦点到顶点的距离为.9.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,PA⊥平面ABCD.若PA=a,则直线PB与平面PCD所成的角的大小为.10.在极坐标系中,曲线ρ=4cos(θ﹣)与直线ρcosθ=2的两个交点之间的距离为.11.某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后,大学提供了3个专业由这4名学生选择,每名学生只能选择一个专业,假设每名学生选择每个专业都是等可能的,则这3个专业都有学生选择的概率是.12.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足PF2=F1F2,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为.13.函数f(x)=2x+sin2x﹣1图象的对称中心是.14.如图,l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l3与l2间的距离是2,正△ABC的三顶点分别在l1,l2,l3上,则△ABC的边长是.二.选择题(每小题5分,共20分).15.下列函数中,与函数y=x3的值域相同的函数为()A.y=()x+1B.y=ln(x+1)C.y=D.y=x+16.一无穷等比数列{a n}各项的和为,第二项为,则该数列的公比为()A.B.C.D.或17.角α终边上有一点(﹣1,2),则下列各点中在角3α的终边上的点是()A.(﹣11,2)B.(﹣2,11)C.(11,﹣2)D.(2,﹣11)18.已知矩形ABCD,AB=1,BC=2,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中()A.存在某个位置,使得直线AB和直线CD垂直B.存在某个位置,使得直线AC和直线BD垂直C.存在某个位置,使得直线AD和直线BC垂直D.无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直三.解答题(五题分别为12,14,14,16,18分,共74分).19.已知复数﹣1+3i、cosα+isinα(0<α<,i是虚数单位)在复平面上对应的点依次为A、B,点O是坐标原点.(1)若OA⊥OB,求tanα的值;(2)若B点的横坐标为,求S△AOB.20.某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度,长度单位为米),其中储油罐的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,l=2r+1(l为圆柱的高,r为球的半径,l≥2).假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元,半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)若预算为8万元,求所能建造的储油罐中r的最大值(精确到0.1),并求此时储油罐的体积V(单位:立方米,精确到0.1立方米).21.已知f (x )=x n +x n ﹣1+…+x ﹣1,x ∈(0,+∞).n 是不小于2的固定正整数.(1)当n=2时,若不等式f (x )≤kx 对一切x ∈(0,1]恒成立,求实数k 的取值范围;(2)试判断函数f (x )在(,1)内零点的个数,并说明理由.22.如图,在平面直角坐标系xOy 中,过y 轴正方向上一点C (0,c )任作一直线,与抛物线y=x 2相交于A ,B 两点,一条垂直于x 轴的直线分别与线段AB 和直线l :y=﹣c 交于点P ,Q .(1)若•=2,求c 的值;(2)若P 为线段AB 的中点,求证:直线QA 与该抛物线有且仅有一个公共点.(3)若直线QA 的斜率存在,且与该抛物线有且仅有一个公共点,试问P 是否一定为线段AB 的中点?说明理由.23.在数列{a n }中,若a 1,a 2是正整数,且a n =|a n ﹣1﹣a n ﹣2|,n=3,4,5,…,则称{a n }为“D ﹣数列”.(1)举出一个前六项均不为零的“D ﹣数列”(只要求依次写出该数列的前六项);(2)若“D ﹣数列”{a n }中,a 2015=3,a 2016=0,数列{b n }满足b n =a n +a n+1+a n+2,n=1,2,3,…,分别判断当n →∞时,a n 与b n 的极限是否存在?如果存在,求出其极限值(若不存在不需要交代理由);(3)证明:任何“D ﹣数列”中总含有无穷多个为零的项.2016年上海市杨浦区控江中学高考数学模拟试卷(理科)(5月份)参考答案与试题解析一.填空题(每小题4分,共56分).1.集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|x2<1},则A∪B等于(﹣1,2).【考点】并集及其运算.【分析】化简集合A、B,求出A∪B即可.【解答】解:集合A={x|x2﹣2x<0}={x|0<x<2}=(0,2);B={x|x2<1}={x|﹣1<x<1}=(﹣1,1);所以A∪B=(﹣1,2).故答案为:(﹣1,2).2.函数y=的定义域是(﹣∞,0].【考点】函数的定义域及其求法.【分析】由根式内部的代数式大于等于0,求解指数不等式得答案.【解答】解:由,得,∴2x≤0,即x≤0.∴函数y=的定义域是:(﹣∞,0].故答案为:(﹣∞,0].3.已知函数f(x)=,则f﹣1(1)=1.【考点】反函数;二阶矩阵.【分析】本题由矩阵得到f(x)的表达式,再由反函数的知识算出.【解答】解:由f(x)==2x﹣1,由反函数的性质知2x﹣1=1,解得x=1所以f﹣1(1)=1.故答案为:1.4.若复数+b(b∈R)所对应的点在直线x+y=1上,则b的值为0.【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义.【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【解答】解:复数+b=+b=+b=b+i所对应的点(b,1)在直线x+y=1上,∴b+1=1,解得b=0.故答案为:0.5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为\frac{1}{3}.【考点】等比数列的性质.【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3,利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1,S2和S3,代入即可求得q.【解答】解:∵等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,∴a n=a1q n﹣1,又4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),解.故答案为6.已知平面上四点O、A、B、C,若=+,则=\frac{2}{3}.【考点】向量的线性运算性质及几何意义.【分析】变形已知式子可得,即,问题得以解决.【解答】解:∵=+,∴,∴,∴∴=.故答案为:.7.若对任意正实数a,不等式x2≤1+a恒成立,则实数x的最小值为﹣1.【考点】二次函数的性质.【分析】由恒成立转化为最值问题,由此得到二次函数不等式,结合图象得到x的取值范围.【解答】解:∵对任意正实数a,不等式x2≤1+a恒成立,∴等价于a≥x2﹣1,∴a≥(x2﹣1)max0≥(x2﹣1)max﹣1≤x≤1∴实数x的最小值为﹣1.8.对于抛物线C,设直线l过C的焦点F,且l与C的对称轴的夹角为.若l被C所截得的弦长为4,则抛物线C的焦点到顶点的距离为\frac{1}{2}.【考点】抛物线的简单性质.【分析】设抛物线方程为y2=2px(p>0),得出直线l的方程,联立方程组得出根与系数的关系,利用弦长公式列方程解出p.则焦点到顶点的距离为.【解答】解:不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),则抛物线的焦点F(,0),则直线l的方程为y=x﹣.联立方程组,消元得y2﹣2py﹣p2=0.∴y1+y2=2p,y1y2=﹣p2.∴直线l被抛物线解得弦长为=4.∴=4,解得p=1.∴F(,0).即抛物线C的焦点到顶点的距离为.故答案为:.9.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,PA⊥平面ABCD.若PA=a,则直线PB与平面PCD所成的角的大小为\frac{π}{6}.【考点】直线与平面所成的角.【分析】求出B到平面PCD的距离,即可求出直线PB与平面PCD所成的角大小.【解答】解:设B到平面PCD的距离为h,直线PB与平面PCD所成的角为α,由等体积可得••a•a•h=••a•a•a,∴h=a,∵PB=a,∴sinα=,∴α=.故答案为:.10.在极坐标系中,曲线ρ=4cos(θ﹣)与直线ρcosθ=2的两个交点之间的距离为2\sqrt{3}.【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】把所给的直线和曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,再把直线方程代入曲线方程,求得交点的坐标,可得弦长【解答】解:曲线ρ=4cos(θ﹣)即ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ,化为直角坐标方程为(x﹣1)2+=4,表示以(1,)为圆心,半径等于2的圆.直线ρcosθ=2的直角坐标方程为x=2,把x=2代入圆的方程可得y=0,或y=2,故弦长为2,故答案为:.11.某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后,大学提供了3个专业由这4名学生选择,每名学生只能选择一个专业,假设每名学生选择每个专业都是等可能的,则这3个专业都有学生选择的概率是\frac{4}{9}.【考点】等可能事件的概率.【分析】设“这3个专业都有学生选择”为事件A,首先计算4名学生选择3个专业,可能出现的结果数目,注意是分步问题,再由排列、组合计算这3个专业都有学生选择的可能出现的结果数,结合等可能事件的概率公式,计算可得答案.【解答】解:设“这3个专业都有学生选择”为事件A,由题知,4名学生被复旦大学自主招生录取后,大学提供了3个专业由这4名学生选择,可能出现的结果共有34=81种结果,且这些结果出现的可能性相等,3个专业都有学生选择的可能出现的结果数为C42A33=36,则事件A的概率为,故答案为:.12.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足PF2=F1F2,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为4x±3y=0.【考点】双曲线的简单性质.【分析】过F2点作F2Q⊥PF1于Q点,得△PF1F2中,PF2=F1F2=2c,高F2Q=2a,PQ=PF1=c+a,利用勾股定理列式,解之得a与c的比值,从而得到的值,得到该双曲线的渐近线方程.【解答】解:∵PF2=F1F2=2c,∴根据双曲线的定义,得PF1=PF2+2a=2c+2a过F2点作F2Q⊥PF1于Q点,则F2Q=2a,等腰△PF1F2中,PQ=PF1=c+a,∴=PQ2+,即(2c)2=(c+a)2+(2a)2,解之得a=c,可得b== c∴=,得该双曲线的渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0故答案为:4x±3y=013.函数f(x)=2x+sin2x﹣1图象的对称中心是(0,﹣1).【考点】函数的图象.【分析】先研究函数g(x)=2x+sin2x的对称性,在研究函数f(x)与函数g(x)图象间的关系,最后由g(x)的对称中心推出f(x)的对称中心.【解答】解:设g(x)=2x+sin2x,则g(﹣x)=﹣2x+sin(﹣2x)=﹣2x﹣sin2x=﹣(2x+sin2x)=﹣g(x)∴g(x)为奇函数,其对称中心为(0,0)∵f(x)=g(x)﹣1∴函数f(x)的图象是由函数g(x)的图象再向下平移1个单位得到的,故f(x)的对称中心为(0,﹣1)故答案为:(0,﹣1).14.如图,l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l3与l2间的距离是2,正△ABC的三顶点分别在l1,l2,l3上,则△ABC的边长是\frac{2\sqrt{21}}{3}.【考点】两点间的距离公式.【分析】过A,C作AE,CF垂直于L2,点E,F是垂足,将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处,延长DA交L2于点G,由此可得结论.【解答】解:如图,过A,C作AE,CF垂直于L2,点E,F是垂足,将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处,延长DA交L2于点G.由作图可知:∠DBG=60°,AD=CF=2.在Rt△BDG中,∠BGD=30°.在Rt△AEG中,∠EAG=60°,AE=1,AG=2,DG=4.∴BD=在Rt△ABD中,AB==故答案为:二.选择题(每小题5分,共20分).15.下列函数中,与函数y=x3的值域相同的函数为()A.y=()x+1B.y=ln(x+1)C.y=D.y=x+【考点】函数的值域.【分析】知道已知函数的值域是R,再观察四个选项的y的取值情况,从而找出正确答案.【解答】解:∵函数y=x3的值域为实数集R,又选项A中y>0,选项B中y取全体实数,选项C中的y≠1,选项D中y≠0,故选B.16.一无穷等比数列{a n}各项的和为,第二项为,则该数列的公比为()A.B.C.D.或【考点】等比数列的性质.【分析】设无穷等比数列{a n}的公比为q,由题意可得,联立消去a1解方程可得.【解答】解:设无穷等比数列{a n}的公比为q,则,联立消去a1可得,整理可得9q2﹣9q+2=0,分解因式可得(3q﹣2)(3q﹣1)=0,解得q=或q=故选:D17.角α终边上有一点(﹣1,2),则下列各点中在角3α的终边上的点是()A.(﹣11,2)B.(﹣2,11)C.(11,﹣2)D.(2,﹣11)【考点】任意角的三角函数的定义.【分析】利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα的值,再利用3倍角公式求得tan3α的值,从而得出结论.【解答】解:∵角α终边上有一点(﹣1,2),由三角函数的定义可知:sinα=,cosα=,∴sin3α=3sinα﹣4sin3α=,cos3α=4cos3α﹣3cosα=,∴tan3α==,故点(11,﹣2)在角3α的终边上,故选:C.18.已知矩形ABCD,AB=1,BC=2,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中()A.存在某个位置,使得直线AB和直线CD垂直B.存在某个位置,使得直线AC和直线BD垂直C.存在某个位置,使得直线AD和直线BC垂直D.无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】假设各选项成立,根据线面位置关系推导结论,若得出矛盾式子,则假设错误,得出正确选项.【解答】解:对于A,若存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直,∵CD⊥BC,∴CD⊥平面ABC,∴平面ABC⊥平面BCD,过点A作平面BCD的垂线AE,则E在BC上,∴当A在平面BCD上的射影在BC上时,AB⊥CD.故A正确;对于B,若存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直,作AF⊥BD,则BD⊥平面AFC,∴BD⊥EC,显然这是不可能的,故B错误;对于C,若存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,则BC⊥平面ACD,BC⊥AC,∴AB>BC,即1>2,显然这是不可能的,故C错误.故选:A.三.解答题(五题分别为12,14,14,16,18分,共74分).19.已知复数﹣1+3i、cosα+isinα(0<α<,i是虚数单位)在复平面上对应的点依次为A、B,点O是坐标原点.(1)若OA⊥OB,求tanα的值;(2)若B点的横坐标为,求S△AOB.【考点】复数代数形式的混合运算;复数的代数表示法及其几何意义.【分析】(1)由已知得到A,B的坐标,进一步求得的坐标,由OA⊥OB得,代入坐标后整理可得tanα的值;(2)由已知求出|OA|,|OB|,由两角差的正弦求得sin∠AOB,代入三角形的面积公式得答案.【解答】解:(1)由题可知:A(﹣1,3),B(cosα,sinα),∴,由OA⊥OB,得,∴﹣cosα+3sinα=0,∴;(2)由(1),记∠AOx=β,,∴,,∵|OB|=1,,得,sin∠AOB=sin(β﹣α)=.∴S△AOB==.20.某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度,长度单位为米),其中储油罐的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,l=2r+1(l为圆柱的高,r为球的半径,l≥2).假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元,半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)若预算为8万元,求所能建造的储油罐中r的最大值(精确到0.1),并求此时储油罐的体积V(单位:立方米,精确到0.1立方米).【考点】组合几何体的面积、体积问题.【分析】(1)求出半球与圆柱的面积,得出y关于r的函数;(2)令y≤80,解出r的最大值,从而得出体积V的最大值.【解答】解:(1)半球的表面积,圆柱的表面积S2=2πr•l.于是.定义域为.(2)16πr2+2πr≤80,即,解得.,经计算得V≈22.7(立方米).故r的最大值为1.2(米),此时储油罐的体积约为22.7立方米.21.已知f(x)=x n+x n﹣1+…+x﹣1,x∈(0,+∞).n是不小于2的固定正整数.(1)当n=2时,若不等式f(x)≤kx对一切x∈(0,1]恒成立,求实数k的取值范围;(2)试判断函数f(x)在(,1)内零点的个数,并说明理由.【考点】函数恒成立问题.【分析】(1)代入得表达式.只需求出左式的最大值即可;(2)先求出端点值f()<0,f(1)>0,判断存在零点,根据函数在区间内递增,故仅有一个零点.【解答】解:(1)n=2时,f(x)=x2+x﹣1,﹣﹣f(x)≤kx即.﹣在(0,1]上递增,﹣﹣故即要求,即k≥1.﹣(2).﹣f(1)=n﹣1>0.﹣故f(x)在上有零点.﹣又f(x)在上增,故零点不会超过一个.﹣所以f(x)在上有且仅有一个零点.﹣(722.如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于A,B两点,一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l:y=﹣c交于点P,Q.(1)若•=2,求c的值;(2)若P为线段AB的中点,求证:直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点.(3)若直线QA的斜率存在,且与该抛物线有且仅有一个公共点,试问P是否一定为线段AB 的中点?说明理由.【考点】抛物线的简单性质.【分析】(1)设出直线AB:y=kx+c,代入抛物线的方程,运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示,解方程可得c的值;(2)运用中点坐标公式可得Q的坐标,运用两点的斜率公式,可得QA的斜率,求得抛物线对应函数的导数,可得切线的斜率,即可得证;(3)设A(t,t2),这里x A=t≠0,由(2)知过A的与y=x2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx﹣t2.求得Q的横坐标,P的横坐标,求得AC的方程,联立抛物线的方程,求得B的横坐标,运用中点坐标公式,即可判断P为线段AB的中点.【解答】解:(1)设直线AB:y=kx+c,与y=x2联立,得x2﹣kx﹣c=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=﹣c,从而y1y2=x12x22=c2,由•=2,可得c 2﹣c=2得c=2或﹣1(舍去),得c=2;(2)证明:由(1)可得,故直线PQ :x=,可得.设,k QA ==,由(1)可得x 1x 2=﹣c ,即有x 2=﹣,可得k QA ==2x 1,由y=x 2的导数为y ′=2x ,可得过A 的切线的斜率为2x 1,故直线QA 与该抛物线有且仅有一个公共点;(3)设A (t ,t 2),这里x A =t ≠0,由(2)知过A 的与y=x 2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx ﹣t 2.与y=﹣c 相交,得.故,,所以.与y=x 2联立,得x 2﹣(t ﹣)x ﹣c=0,即,故.这样,即P 是AB 的中点.23.在数列{a n }中,若a 1,a 2是正整数,且a n =|a n ﹣1﹣a n ﹣2|,n=3,4,5,…,则称{a n }为“D ﹣数列”.(1)举出一个前六项均不为零的“D ﹣数列”(只要求依次写出该数列的前六项); (2)若“D ﹣数列”{a n }中,a 2015=3,a 2016=0,数列{b n }满足b n =a n +a n+1+a n+2,n=1,2,3,…,分别判断当n →∞时,a n 与b n 的极限是否存在?如果存在,求出其极限值(若不存在不需要交代理由);(3)证明:任何“D ﹣数列”中总含有无穷多个为零的项.【考点】数列的极限.【分析】(1)由新定义,比如如10,9,1,8,7,1;(2){a n}的极限不存在,{b n}的极限存在.运用分段形式写出a n与b n的通项公式,即可得到结论;(3)运用反证法证明.假设{a n}中只有有限个零,则存在K,使得当n≥K时,a n>0.运用推理论证得到{b n}单调,即可证明.【解答】解:(1)如10,9,1,8,7,1等等.(2){a n}的极限不存在,{b n}的极限存在.事实上,因为|3﹣0|=3,|0﹣3|=3,|3﹣3|=0,当n≥2015时,a n=,k∈Z,因此当n≥2015时,b n=6.所以b n=6.(3)证明:假设{a n}中只有有限个零,则存在K,使得当n≥K时,a n>0.当n≥K时,记b n=max{a n,a n+1}.于是a n+1≤b n,a n+2=|a n﹣a n+1|<max{a n,a n+1}<b n,故b n+1≤b n,而a n+3=|a n+2﹣a n+1|<max{a n+2,a n+1}≤b n+1≤b n,从而b n+2<b n.这样b K>b K+2>b K+4>…形成了一列严格递减的无穷正整数数列,这不可能,故假设不成立,{a n}中必有无限个0.2016年7月14日。

2016年上海市高考(理科)数学真题及答案()

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2016年上海市高考(理科)数学真题及答案(word版)2016年上海市高考(理科)数学真题及答案(word版)2016年上海市高考(理科)数学真题及答案和解析 ,,则3(a+bi)+a-bi=1+i4a=1且2b=Z【考点定位】复数相等,共轭复数3、若线性方程组的增广矩阵为、解为,则.【答案】16【解析】由题意得:c1=2x+3y=2x3+3x5=21,c2=0.x+y=5,c1-c2=21-5=16【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为,则a=_____ .【答案】4【解析】【考点定位】正三棱柱的体积5、抛物线()上的动点到焦点的距离的最小值为1,则p=_________ .【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离,因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离,【考点定位】抛物线定义6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 ,则其母线与轴的夹角的大小为_____ .【答案】【解析】由题意得:母线与轴的夹角为【考点定位】圆锥轴截面7、方程的解为____________ .【答案】2【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为___________(结果用数值表示).【答案】120【解析】由题意得,去掉选5名女教师情况即可:【考点定位】排列组合9、已知点P和Q的横坐标相同,P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍,P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2.若C1的渐近线方程为,则C2的渐近线方程为【答案】【考点定位】双曲线渐近线10、设为,的反函数,则的最大值为.【答案】【解析】由题意得:在上单调递增,值域为,所以在上单调递增,因此在上单调递增,其最大值为【考点定位】反函数性质11、在的展开式中,项的系数为(结果用数值表示).【答案】【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有,,,,的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位:元);随后放回该卡片,再随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金(单位:元).若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则(元).【答案】该试题及答案加解析(Word版)完整。

高考数学一模试题浦东2016届高三一模数学卷(附答案)

高考数学一模试题浦东2016届高三一模数学卷(附答案)

浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷 (含答案) 2016.1注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有32道试题,满分150分,考试时间130分钟.一、填空题(本大题共有12题,满分36分)只要求直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分. 注:填写其他等价形式则得分1.已知集合{}{}=3,2A x x B x x ≤=<,则R A C B =I []2,32.已知向量()2,1,(1,)a b m =-=r r 平行,则m = 12-3.关于,x y 的一元二次方程组23122x y x y +=⎧⎨-=⎩的系数矩阵 2312⎛⎫⎪-⎝⎭4.计算:1132lim 32n nnn n ++→∞-+ 3 5.若复数z 满足1012ii z=-(i 为虚数单位),则z6.()1021x +的二项展开式中的第八项为 3960x7.某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒方向,与A 相距6.0海里.船由A 向正北方向航行8.1海里达到C 处,这时灯塔B 与船相距_____4.2______海里(精确到0.1海里) 8.已知3cos(),,252ππααπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭,则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭9.如图,已知正方体1111D C B A ABCD -,21=AA ,E 为棱1CC 的中点,则AE与平面11BCC B 所成的角为552arctan .(2arcsin 3,)(结果用反三角表示)10.已知函数()f x 的图像与()2xg x =的图像关于直线y x =对称,令()(1)h x f x =-,则关于函数()h x 有下列命题:①()h x 的图像关于原点对称; ②()h x 的图像关于y 轴对称; ③()h x 的最大值为0; ④()h x 在区间(1,1)-上单调递增。

其中正确命题的序号为____②③_____(写出所有正确命题的序号)。

2016上海市高考数学试卷及答案(理数)

2016上海市高考数学试卷及答案(理数)

2016年上海高考数学(理科)试卷一、填空题(本大题共有14题,满分56分) 1.计算:ii+-13= (i 为虚数单位). 2.若集合}012|{>+=x x A ,}21|{<-=x x B ,则B A = .3.函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是 .4.若)1,2(-=是直线l 的一个法向量,则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示).5.在6)2(xx -的二项展开式中,常数项等于 .6.有一列正方体,棱长组成以1为首项,21为公比的等比数列,体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…,则=+++∞→)(lim 21n n V V V .7.已知函数||)(a x ex f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是 .8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为 . 9.已知2)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ,则=-)1(g . 10.如图,在极坐标系中,过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式,则=)(θf .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示). 12.在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD CN BC BM =,则⋅的取值范围是 . 13.已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,5),C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14.如图,AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,BC=2.若AD=2c ,且AB+BD=AC+CD=2a ,其中a 、c 为常数,则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题(本大题共有4题,满分20分) 15.若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则( )(A )3,2==c b . (B )3,2=-=c b . (C )1,2-=-=c b .(D )1,2-==c b . 16.在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是( )(A )锐角三角形. (B )直角三角形. (C )钝角三角形. (D )不能确定.17.设443211010≤<<<≤x x x x ,5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2,随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差,则( )(A )1ξD >2ξD . (B )1ξD =2ξD . (C )1ξD <2ξD . (D )1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18.设251sin πn n n a =,n na a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中,正数的个数是 ( ) (A )25. (B )50. (C )75.(D )100. 三、解答题(本大题共有5题,满分74分)19.如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形, P A ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.已知AB=2, AD=22,P A=2.求:(1)三角形PCD 的面积;(6分)(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.(6分)20.已知函数)1lg()(+=x x f .(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(6分)(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.(8分)ABCDABCPE21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为t 7.(1)当5.0=t 时,写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(822.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线12:221=-y x C .(1)过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积;(4分)(2)设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点,若l 与圆122=+y x 相切,求证: OP ⊥OQ ;(6分)(3)设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点,且OM ⊥ON , 求证:O 到直线MN 的距离是定值.(6分)23.对于数集},,,,1{21n x x x X -=,其中n x x x <<<< 210,2≥n ,定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1,存在Y a ∈2,使得021=⋅a a ,则称X具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P .(1)若x >2,且},2,1,1{x -,求x 的值;(4分)(2)若X 具有性质P ,求证:1∈X ,且当x n >1时,x 1=1;(6分)(3)若X 具有性质P ,且x 1=1,x 2=q (q 为常数),求有穷数列n x x x ,,,21 的通 项公式.(8分)2016年上海高考数学(理科)试卷解答一、填空题(本大题共有14题,满分56分)1.计算:ii+-13= 1-2i (i 为虚数单位).2.若集合}012|{>+=x x A ,}21|{<-=x x B ,则B A =)3,(21- . 3.函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是],[2325-- .4.若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量,则l 的倾斜角的大小为 arctan2 (结果用反三角函数值表示). 5.在6)2(xx -的二项展开式中,常数项等于 -160 .6.有一列正方体,棱长组成以1为首项,21为公比的等比数列,体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…,则=+++∞→)(lim 21n n V V V 78 .7.已知函数||)(a x ex f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是 (-∞, 1] .8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为π33 .9.已知2)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ,则=-)1(g -1 .10.如图,在极坐标系中,过点)0,2(M 的直线l6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式,则=)(θf )sin(16θπ- . 11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是32(结果用最简分数表示). 12.在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD CN BC BM =,则⋅的取值范围是 [2, 5] . 13.已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,5),C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为45. 14.如图,AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,BC=2.若AD=2c ,且AB+BD=AC+CD=2a ,其中a 、c 为常数,则四面体ABCD 的体积的最大值是12232--c a c . 二、选择题(本大题共有4题,满分20分) 15.若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则 ( B ) (A )3,2==c b . (B )3,2=-=c b . (C )1,2-=-=c b .(D )1,2-==c b .16.在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是 ( C ) (A )锐角三角形. (B )直角三角形. (C )钝角三角形. (D )不能确定.ABCD17.设443211010≤<<<≤x x x x ,5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2,随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差,则( A )(A )1ξD >2ξD . (B )1ξD =2ξD . (C )1ξD <2ξD . (D )1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18.设251sin πn n n a =,n na a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中,正数的个数是 ( D ) (A )25. (B )50. (C )75. (D )100.三、解答题(本大题共有5题,满分74分)19.如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形, P A ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.已知AB=2, AD=22,P A=2.求: (1)三角形PCD 的面积;(6分)(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.(6分) [解](1)因为P A ⊥底面ABCD ,所以P A ⊥CD ,又AD ⊥CD ,所以CD ⊥平面P AD , 从而CD ⊥PD . ……3分 因为PD=32)22(222=+,CD =2,所以三角形PCD 的面积为3232221=⨯⨯. (2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系, 则B (2, 0, 0),C (2, 22,0),E (1, 2, 1),)1,2,1(=AE ,)0,22,0(=BC . ……8 设AE 与的夹角为θ,则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ,θ=4π. 由此可知,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分 [解法二]取PB 中点F ,连接EF 、AF ,则 EF ∥BC ,从而∠AEF (或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分在AEF ∆中,由EF =2、AF =2、AE =2知AEF ∆是等腰直角三角形, 所以∠AEF =4π.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分20.已知函数)1lg()(+=x x f .(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(6分)(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.(8分)[解](1)由⎩⎨⎧>+>-01022x x ,得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ,所以1010221+<-<+x x x ,3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分 (2)当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分AB CD PE yAB CDP EF由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=,所以所求反函数是xy 103-=,]2lg ,0[∈x . ……14分21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 24912x y =;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救 援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为.(1)当5.0=t 时,写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8[解](1)5.0=t 时,P 的横坐标x P =277=t ,代入抛物线方程y =中,得P 的纵坐标y P =3. 由|AP |=2949,得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+,得∠OAP =arctan 307,故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分(2)设救援船的时速为v 海里,经过t 小时追上失事船,此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ,整理得337)(1442122++=t t v .……10分 因为2212≥+t t ,当且仅当t =1时等号成立,所以22253372144=+⨯≥v ,即25≥v .因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线12:221=-y x C .(1)过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积;(4分) (2)设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点,若l 与圆122=+y x 相切,求证: OP ⊥OQ ;(6分) (3)设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点,且OM ⊥ON , 求证:O 到直线MN 的距离是定值.(6分) [解](1)双曲线1:21212=-y C x ,左顶点)0,(22-A ,渐近线方程:x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(222+=x y ,即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……2分所以所求三角形的面积1为8221||||==y OA S . ……4分(2)设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切,故12||=b ,即22=b . ……6分由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ,得01222=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2),则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x . 又2,所以221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ,故OP ⊥OQ . ……10分(3)当直线ON 垂直于x 轴时, |ON |=1,|OM |=22,则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时,设直线ON 的方程为kx y =(显然22||>k ),则直线OM 的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ,得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ,所以22412||k k ON ++=.同理121222||-+=k k OM . ……13分 设O 到直线MN 的距离为d ,因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+, 所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ,即d =33.综上,O 到直线MN 的距离是定值. ……16分 23.对于数集},,,,1{21n x x x X -=,其中n x x x <<<< 210,2≥n ,定义向量集},),,(|{X t X s t s Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1,存在Y a ∈2,使得021=⋅a a ,则称X 具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P . (1)若x >2,且},2,1,1{x -,求x 的值;(4分)(2)若X 具有性质P ,求证:1∈X ,且当x n >1时,x 1=1;(6分) (3)若X 具有性质P ,且x 1=1,x 2=q (q 为常数),求有穷数列n x x x ,,,21 的通 项公式.(8分)[解](1)选取)2,(1x a =,Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. ……2分 所以x =2b ,从而x =4. ……4分 (2)证明:取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a .由0)(1=+x t s 得0=+t s ,所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数,所以s 、t 中之一为-1,另一为1,故1∈X . ……7分 假设1=k x ,其中n k <<1,则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11,并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ,即01=+n tx sx , 则s 、t 异号,从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1,则2,矛盾;若t =-1,则n n x s sx x ≤<=1,矛盾.所以x 1=1. ……10分(3)[解法一]猜测1-=i i q x ,i =1, 2, …, n . ……12分记},,,1,1{2k k x x A -=,k =2, 3, …, n . 先证明:若1+k A 具有性质P ,则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =,s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时,显然有2a 满足021=⋅a a ; 当1-≠s 且1-≠t 时,s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ,所以有),(112t s a =,1s 、1t ∈1+k A ,使得021=⋅a a ,从而1s 和1t 中有一个是-1,不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ,则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ,得11++≥=k k x tx s ,与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P. ……15分现用数学归纳法证明:1-=i i q x ,i =1, 2, …, n .当n =2时,结论显然成立;假设n=k 时,},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ,则1-=i i q x ,i =1, 2, …, k ;当n=k +1时,若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ,则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P ,所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=,并设),(2t s a =满足021=⋅a a ,即01=++qt s x k .由此可得s 与t中有且只有一个为-1.若1-=t ,则1,不可能;所以1-=s ,k k k q q q qt x =⋅≤=-+11,又11-+>k k q x ,所以kk q x =+1. 综上所述,1-=i i q x 1-=i i q x ,i =1, 2, …, n . ……18分[解法二]设),(111t s a =,),(222t s a =,则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=,则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于 原点对称. ……14分注意到-1是X 中的唯一负数,},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数, 所以),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<-- ,已有n -1个数,对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<……12x x 注意到12111x x x x x x n n >>>- ,所以12211x x x x x x n n n n ===--- ,从而数列的通项公式为111)(12--==k k x xk q x x ,k =1, 2, …, n . ……18分。

2016上海市杨浦高三数学一模

2016上海市杨浦高三数学一模

上海市杨浦区2016届高三一模数学试卷2016.01一. 填空题(本大题共14题,每题4分,共56分)1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,2413B ⎛⎫=⎪-⎝⎭,则A B += ; 2.(文)已知全集U R =,集合{|12}A x x =-≤<,则集合U C A = ; (理)已知全集U R =,集合1{|0}2x A x x +=≤-,则集合U C A = ; 3. 已知函数34()log (2)f x x=+,则方程1()4f x -=的解x = ;4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具,该球表面用白布包裹,则至少需 要白布 平方米;5.(文)无穷等比数列{}n a *()n N ∈的首项11a =,公比13q =,则前n 项和n S 的极限lim n n S →∞= ;(理)无穷等比数列{}n a *()n N ∈的前n 项的和是n S ,且1lim 2n n S →∞=,则首项1a 的取值范 围是 ;6. 已知虚数z 满足216z z i -=+,则||z = ;7. 执行如图所示的流程图,则输出S 的值为 ;8.(文)8(1展开式中x 的系数为 ; (理)学校有两个食堂,现有3名学生前往就餐,则 三人不在同一食堂就餐的概率为 ;9.(文)学校有两个食堂,现有3名学生前往就餐, 则三人在同一食堂就餐的概率为 ;(理)(1n 展开式的二项式系数之和为256,则 展开式中x 的系数为 ;10.(文)若数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 的标准差为2,则数132a -、232a -、332a -、432a -、532a -的标准差为 ;(理)若数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 的标准差为2,则数132a -、232a -、332a -、432a -、532a -的方差为 ;11. 如图,在矩形OABC 中,点E 、F 分别在线段AB 、BC 上,且满足3AB AE =,3BC CF =,若OB OE OF λμ=+(,)R λμ∈,则λμ+= ;12.(文)已知2243,0()23,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩,当[2,2]x ∈-时不等式()(2)f x a f a x +≥-恒成立,则实数a 的最小值是 ;(理)已知2243,0()23,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩,当[,1]x aa ∈+时不等式()(2)f x a f a x +≥-恒成立,则实数a 的最大值是 ;13.(文)抛物线C 的顶点为原点O ,焦点F 在x 轴正半轴,过焦点且倾斜角为4π的直线l交抛物线于点A 、B ,若8AB =,则抛物线C 的方程为 ;(理)抛物线C 的顶点为原点O ,焦点F 在x 轴正半轴,过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点A 、B ,若AB 中点的横坐标为3,则抛物线C 的方程为 ;14.(文)已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当01x ≤≤时,2()f x x =,当0x >时,(1)()(1)f x f x f +=+,若直线y kx =与函数()y f x =的图像恰有7个不同的公共点,则实数k 的取值范围是 ;(理)已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当01x ≤≤时,2()f x x =,当0x >时,(1)()(1)f x f x f +=+,若直线y kx =与函数()y f x =的图像恰有11个不同的公共点,则实数k 的取值范围是 ;二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分) 15. 下列四个命题中,为真命题的是( )A. 若a b >,则22ac bc > B. 若a b >,c d >,则a c b d ->- C. 若||a b >,则22a b > D. 若a b >,则11a b< 16. 设a 、b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“63ππθ<<”是“||1a b -< ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件17.(文)对于平面α和两条直线m 、n ,下列命题中真命题是( )A. 若m α⊥,m n ⊥,则n ∥αB. 若m ∥α,n ∥α,则m ∥nC. 若m 、n 与α所成的角相等,则m ∥nD. 若m α⊆,m ∥n ,且n α⊆/,则n ∥α(理)对于两个平面α、β和两条直线m 、n ,下列命题中真命题是( )A. 若m α⊥,m n ⊥,则n ∥αB. 若m ∥α,αβ⊥,则m β⊥C. 若m ∥α,n ∥β,αβ⊥,则m n ⊥D. 若m α⊥,n β⊥,αβ⊥,则m n ⊥18. 下列函数中,既是偶函数,又在(0,)π上递增的函数的个数是( ) ①tan ||y x = ②cos()y x =- ③sin()2y x π=-④|cot|2x y = A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个三. 解答题(本大题共5题,共12+14+14+16+18=74分)19. 如图,某人打算做一个金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充;已知金字塔的每一条棱和边都相等;(1)求证:直线AC 垂直于直线SD ;(2)若搭边框共使用木料24米,则需要多少立方米的填充材料才能将金字塔内部填满?20. 某农场规划将果树种在正方形的场地内,为了保护果树不被风吹,决定在果树的周围种松树;在下图里,你可以看到规划种植果树的列数()n ,果树数量及松树数量的规律:(1)按此规律,5n =时果树数量及松树数量分别为多少;并写出果树数量n a 及松树数量n b 关于n 的表达式;(2)定义:(1)()f n f n +-*()n N ∈为()f n 增加的速度;现农场想扩大种植面积,问:哪种树增加的速度会更快?并说明理由;21. 如图,在一条景观道的一端有一个半径为50米的摩天轮O ,逆时针15分钟转一圈,从A 处进入摩天轮的座舱,OA 垂直于地面AM ,在距离A 处150米处设置了一个望远镜B ;(1)同学甲打算独自乘坐摩天轮,但是其母亲不放心,于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后,在座舱内向其母亲挥手致意,而其母亲则在望远镜B 中仔细观看;问望远镜B 的仰角θ应调整为多少度?(精确到1度)(2)在同学甲向其母亲挥手致意的同时,同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD ,发现取景的视角α恰为45︒,求绿化带BD 的长度;(精确到1米)22. 如图,曲线Γ由两个椭圆22122:1x y T a b +=(0)a b >>和22222:1(0)y x T b c b c+=>>组成,当,,a b c 成等比数列时,称曲线Γ为“猫眼曲线”;(1)若猫眼曲线Γ过点(0,M ,且,,a b c,求猫眼曲线Γ的方程; (2)对于(1)中的猫眼曲线Γ,任作斜率为k (0)k ≠且不过原点的直线与该曲线相交, 交1T 所得弦的中点为M ,交2T 所得弦的中点为N ,求证:OMONk k 为与k 无关的定值; (3l 为2T 的切线,且交1T 于点A 、B ,N 为1T 上的任意一点(不与点A 、B 重合),求△ABN 面积的最大值;23. 已知函数()f x ()x D ∈,若存在常数T (0)T >,对任意x D ∈有()()f x T T f x +=⋅,则称函数()f x 为T 倍周期函数;(1)判断()h x x =是否是T 倍周期函数,并说明理由; (2)证明1()()4xg x =是T 倍周期函数,且T 的值是唯一的;(3)(文)若()f n *()n N ∈是2倍周期函数,(1)1f =,(2)4f =-,n S 表示()f n 的前n 项和,221nn n S C S -=,求lim n n C →∞;(理)若()f n *()n N ∈是2倍周期函数,(1)1f =,(2)4f =-,n S 表示()f n 的前n 项 和,221nn n S C S -=,若log (1)10n a C a <++恒成立,求a 的取值范围;。

2016届杨浦区高三一模数学卷及答案(理科)

2016届杨浦区高三一模数学卷及答案(理科)

______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷(理科) 2016.1.考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.2.本试卷共有23道题,满分150分,考试时间120分钟.一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则=+B A _____________.2. 已知全集U=R ,集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩,则集合U A =ð_____________.3. 已知函数()34l o g 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则方程()14f x -=的解x = _____________.4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具,该球表面 用白布包裹,则至少需要白布_________平方米.5. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ,且1lim 2n n S →∞=,则首项1a 的取值范围是_____________. 6. 已知虚数z 满足i 61z z 2+=-,则 =z __________. 7.执行如右图所示的流程图,则输出的S 的值为________. 8.学校有两个食堂,现有3名学生前往就餐,则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. (1n展开式的二项式系数之和为256,则展开式中x 的系数为______________.10. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2,则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的 方差为____________.______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家2 11. 如图,在矩形OABC 中,点E 、F 分别在线段AB 、BC 上,且满足AB=3AE ,BC=3CF ,若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈,则=μ+λ____________.12. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤,当[]1a ,a x +∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立,则实数a 的最大值是____________.13. 抛物线C 的顶点为原点O ,焦点F 在x 轴正半轴,过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ,若AB 中点的横坐标为3,则抛物线C 的方程为_______________. 14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当01x ≤≤时,()2fx x=,当0x >时,()()()11f x f x f +=+,若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点,则实数k 的取值范围为____________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.15. 下列四个命题中,为真命题的是 ( )A. 若a b >,则22ac bc > B. 若a b >,c d >则a c b d ->- C. 若a b >,则22a b > D. 若a b >,则11a b< 16. 设,a b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,αβ和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A.若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B.若m α‖, αβ⊥, 则m β⊥C. 若m α‖,n β‖,αβ⊥,则m n ⊥D. 若m α⊥,n β⊥,αβ⊥,则m n ⊥______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家3SDCB A18. 下列函数中,既是偶函数,又在π,0 上递增的函数的个数是 ( )① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题6分 .如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充。

2016年高考上海理科数学试题与答案(word解析版)

2016年高考上海理科数学试题与答案(word解析版)
22
解法2:∵
S
n
n
a11q
1q

SlimS
n
n
a
1
1q
n
,1q1,2
SS,∴a12q10,
n
若a10,则
1
n
q,故A与C不可能成立;若a10,则
2
1
n
q,故B成立,D不成立.
2
【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.
(18)【2016年上海,理18,5分】设fx、gx、hx是定义域为R的三个函数,对于命题:①若fxgx、
3
C,若b3,则
3
2
C,
3
综上满足条件的有序实数组a,b,c为2,3,
5
3
,2,3,
4
3
,2,3,
3

2,3,
2
3
,共有4组.
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,结合三角函数恒成立,利用三角函数的性质,结合三角函数的诱
导公式进行转化是解决本题的关键.
(14)【2016年上海,理14,4分】如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)考生应在答题纸相应编号位置填涂,每题只有一个正确选项,选对
得5分,否则一律得零分.
(15)【2016年上海,理15,5分】设aR,则“a1”是“21
a”的()
(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
22
[f(x)g(x)][f(x)h(x)][g(x)h(x)]
f(x)必为周期为的函数,所以②正确;增函

[高考总复习资料]数学一模试卷 理(含解析)1

[高考总复习资料]数学一模试卷 理(含解析)1

2016年上海市静安区高考数学一模试卷(理科)一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.抛物线y=ax2的准线方程为,则实数a的值为.2.在等差数列{a n}(n∈N*)中,已知公差d=2,a2007=2007,则a2016= .3.设x=cosα,且,则arcsinx的取值范围是.4.已知球的半径为24cm,一个圆锥的高等于这个球的直径,而且球的表面积等于圆锥的表面积,则这个圆锥的体积是cm3.5.方程的解为.6.直线x﹣y﹣2=0关于直线x﹣2y+2=0对称的直线方程是.7.已知复数z满足z+|z|=2+8i,其中i为虚数单位,则|z|= .8.(x+y+z)8的展开式中项x3yz4的系数等于.(用数值作答)9.在产品检验时,常采用抽样检查的方法.现在从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查,恰好有2件是不合格品的抽法有种.(用数值作答)10.经过直线2x﹣y+3=0与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的两个交点,且面积最小的圆的方程是.11.在平面直角坐标系xOy中,坐标原点O(0,0)、点P(1,2),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量,则点Q的横坐标是.12.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,若△ABC的面积S=a2﹣b2﹣c2+2bc,则sinA= .(用数值作答)13.已知各项皆为正数的等比数列{a n}(n∈N*),满足a7=a6+2a5,若存在两项a m、a n使得,则的最小值为.14.在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位,沿y轴正方向平移5个单位,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位,沿y轴负方向平移2个单位,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.15.组合数恒等于()A.B.C.D.16.函数的反函数是()A.B.C.D.17.已知数列{a n}的通项公式为,则=()A.﹣2 B.0 C.2 D.不存在18.下列四个命题中,真命题是()A.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线B.和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线C.和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线D.若a、b是异面直线,b、c是异面直线,则a、c是异面直线三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为AB的中点.求:(1)异面直线BD1与CE所成角的余弦值;(2)点A到平面A1EC的距离.20.李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”.某创客,白手起家,2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的10%,每月的生活费等开支为3000元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.(1)问到2015年年底(按照12个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元)(2)如果银行贷款的年利率为5%,问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款?21.设P1和P2是双曲线上的两点,线段P1P2的中点为M,直线P1P2不经过坐标原点O.(1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2,求证:k1k2=;(2)若双曲线的焦点分别为、,点P1的坐标为(2,1),直线OM的斜率为,求由四点P1、F1、P2、F2所围成四边形P1F1P2F2的面积.22.在平面直角坐标系xOy中,点A在y轴正半轴上,点P n在x轴上,其横坐标为x n,且{x n} 是首项为1、公比为2的等比数列,记∠P n AP n+1=θn,n∈N*.(1)若,求点A的坐标;(2)若点A的坐标为(0,8),求θn的最大值及相应n的值.23.已知定义在实数集R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x+1.(1)求f(x)与g(x)的解析式;(2)若定义在实数集R上的以2为最小正周期的周期函数φ(x),当﹣1≤x≤1时,φ(x)=f(x),试求φ(x)在闭区间[2015,2016]上的表达式,并证明φ(x)在闭区间[2015,2016]上单调递减;(3)设h(x)=x2+2mx+m2﹣m+1(其中m为常数),若h(g(x))≥m2﹣m﹣1对于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范围.2016年上海市静安区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.抛物线y=ax2的准线方程为,则实数a的值为 1 .【考点】抛物线的简单性质.【专题】计算题.【分析】先化抛物线y=ax2为标准方程:x2=y,得到焦点坐标为F(0,),准线方程:y=﹣,再结合题意准线方程为,比较系数可得a=1.【解答】解:∵抛物线y=ax2化成标准方程为x2=y,∴2p=,可得=,焦点坐标为F(0,),准线方程:y=﹣再根据题意,准线方程为,∴﹣=﹣,可得a=1故答案为:1【点评】本题给出含有字母参数的抛物线方程,在已知准线的情况下求参数的值,着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质,属于基础题.2.在等差数列{a n}(n∈N*)中,已知公差d=2,a2007=2007,则a2016= 2025 .【考点】等差数列的性质.【专题】计算题;函数思想;方程思想;等差数列与等比数列.【分析】直接利用等差数列的性质写出结果即可.【解答】解:在等差数列{a n}(n∈N*)中,已知公差d=2,a2007=2007,则a2016=a2007+(2016﹣2007)d=2007+9×2=2025.故答案为:2025.【点评】本题考查等差数列的简单性质的应用,是基础题.3.设x=cosα,且,则arcsinx的取值范围是.【考点】反三角函数的运用.【专题】计算题;方程思想;综合法;三角函数的求值.【分析】由x=cosα,,可得﹣≤cosα≤1,即﹣≤x≤1.利用反正弦函数的定义可得﹣≤arcsinx≤,即可得出结论.【解答】解:∵x=cosα,,∴﹣≤cosα≤1,即﹣≤x≤1.由反正弦函数的定义可得﹣≤arcsinx≤,即arcsinx的取值范围为[﹣,].故答案为:[﹣,].【点评】本题主要考查余弦函数的定义域和值域,反正弦函数的定义,属于基础题.4.已知球的半径为24cm,一个圆锥的高等于这个球的直径,而且球的表面积等于圆锥的表面积,则这个圆锥的体积是12288πcm3.【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【专题】计算题;空间位置关系与距离;立体几何.【分析】设圆锥的底面半径为r,结合已知可得圆锥的表面积S=πr(r+)=4π×242,求出底面半径,代入圆锥体积公式,可得答案.【解答】解:∵球的半径为24cm,圆锥的高等于这个球的直径,∴圆锥的高h=48cm,设圆锥的底面半径为r,则圆锥的母线长为: cm,故圆锥的表面积S=πr(r+)=4π×242cm2,解得:r=16cm,故圆锥的体积V==12288πcm3,故答案为:12288π【点评】本题考查的知识点是旋转体,圆锥的几何特征,球的表面积公式,难度中档.5.方程的解为x=3 .【考点】对数的运算性质.【专题】计算题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.【分析】利用换底公式变形,转化为一元二次方程,求解后验根得答案.【解答】解:由方程,得=3,即,∴,∴2lg(x﹣1)=lg(x2+x﹣8).∴(x﹣1)2=x2+x﹣8解得:x=3.验证当x=3时,原方程有意义,∴原方程的解为x=3.故答案为:x=3.【点评】本题考查对数的运算性质,考查了对数方程的解法,关键是注意验根,是基础题.6.直线x﹣y﹣2=0关于直线x﹣2y+2=0对称的直线方程是x﹣7y+22=0 .【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程.【专题】方程思想;转化思想;直线与圆.【分析】联立,可得交点M(6,4).取直线x﹣y﹣2=0上的一点P(2,0),设点P关于直线x﹣2y+2=0对称点P′(a,b),利用垂直平分线的性质即可得出.【解答】解:联立,解得x=6,y=4.可得交点M(6,4).取直线x﹣y﹣2=0上的一点P(2,0),设点P关于直线x﹣2y+2=0对称点P′(a,b),则,解得P′,经过点M,P′的直线方程为:y﹣4=(x﹣6),化为:x﹣7y+22=0.则经过点M,P′的直线即为所求.故答案为:x﹣7y+21=0.【点评】本题考查了垂直平分线的性质、直线的交点,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.已知复数z满足z+|z|=2+8i,其中i为虚数单位,则|z|= 17 .【考点】复数求模.【专题】计算题;转化思想;数系的扩充和复数.【分析】设出z=a+bi(a,b∈R),代入z+|z|,然后列出方程组,求解即可得a,b的值,再由复数求模公式即可得答案.【解答】解:设z=a+bi(a,b∈R),则z+|z|=a+bi+=2+8i,∴,解得:.则|z|=.故答案为:17.【点评】本题考查了复数求模,考查了复数相等的基本条件,是基础题.8.(x+y+z)8的展开式中项x3yz4的系数等于280 .(用数值作答)【考点】二项式定理的应用.【专题】转化思想;综合法;二项式定理.【分析】由条件利用二项式的意义以及组合的知识,求得展开式中x3yz4的系数.【解答】解:(x+y+z)8的展开式表示8个因式(x+y+z)的积,故展开式中项x3yz4,即这8个因式中任意选出3个取x,从剩下的5个中任意选4个取z,最后的一个取y,即可得到含项x3yz4的项,故x 3yz 4的系数为等于••=280,故答案为:280.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题9.在产品检验时,常采用抽样检查的方法.现在从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查,恰好有2件是不合格品的抽法有 13968 种.(用数值作答) 【考点】排列、组合的实际应用.【专题】计算题;整体思想;定义法;排列组合.【分析】由题意知本题是一个组合问题,抽出的三件产品恰好有两件次品,则包括两件次品和两件正品.【解答】解:从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查,恰好有2件是不合格品的抽法有,则包括两件次品和两件正品, 共有C 32C 972=13968种结果. 故答案为:13968.【点评】本题考查排列组合的实际应用,本题解题的关键是看清题目抽取的产品与顺序无关,是一个组合问题,教材中出现过类似的问题.10.经过直线2x ﹣y+3=0与圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0的两个交点,且面积最小的圆的方程是 5x 2+5y 2+6x ﹣18y ﹣1=0 . 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;直线与圆.【分析】题意可知,弦长为直径的圆的面积最小.求出半弦长,就是最小的圆的半径,求解即可.【解答】解:∵圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0的方程可化为(x+1)2+(y ﹣2)2=4. ∴圆心坐标为(﹣1,2),半径为r=2;∴圆心到直线2x ﹣y+3=0的距离为d=.设直线2x ﹣y+3=0和圆x 2+y 2+2x ﹣4y+1=0的交点为A ,B .则|AB|=2=2=.∴过点A,B的最小圆半径为.联立得5x2+6x﹣2=0,故,则圆心的横坐标为:,纵坐标为2×(﹣)+3=,∴最小圆的圆心为(,),∴最小圆的方程为(x+)2+(y﹣)2=.即5x2+5y2+6x﹣18y﹣1=0.故答案为:5x2+5y2+6x﹣18y﹣1=0【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系,圆的面积最小就是圆的半径最小,求出圆心坐标,求出半径即可求出圆的方程,是这一类问题的基本方法.11.在平面直角坐标系xOy中,坐标原点O(0,0)、点P(1,2),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量,则点Q的横坐标是﹣﹣.【考点】向量的几何表示.【专题】转化思想;综合法;平面向量及应用.【分析】由P(1,2)可求,结合∠POQ=,OP=OQ=,可知Q在第三象限,设出OQ=(x,y),则cos=,结合x2+y2=5,可求x的值.【解答】解:∵P(1,2)∴OP=, =(1,2)∵OP绕原点按逆时针方向旋转得OQ,∴∠POQ=,OP=OQ=,且Q在第三象限,设=(x,y),则cos===﹣①,结合x2+y2=5②,由①②得:x=﹣﹣2,故答案为:﹣﹣2.【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,解题的关键是向量的数量积的坐标表示的简单应用.12.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,若△ABC的面积S=a2﹣b2﹣c2+2bc,则sinA= .(用数值作答)【考点】余弦定理.【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形.【分析】由已知利用余弦定理,三角形面积公式可解得cosA=1﹣sinA,两边平方结合sinA≠0,即可解得sinA的值.【解答】解:∵由余弦定理可得:b2+c2﹣a2=2bccosA,S=a2﹣b2﹣c2+2bc,∴bcsinA=2bc﹣2bccosA,∴cosA=1﹣sinA,两边平方,整理可得: =sinA,∵A为三角形内角,sinA≠0,∴解得:sinA=.故答案为:.【点评】本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式,同角三角函数基本关系式的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.13.已知各项皆为正数的等比数列{a n}(n∈N*),满足a7=a6+2a5,若存在两项a m、a n使得,则的最小值为.【考点】基本不等式在最值问题中的应用;等比数列的通项公式.【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列.【分析】利用等比数列的通项公式可得m+n=6,再利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:设各项皆为正数的等比数列{a n}的公比为q>0(n∈N*),∵a7=a6+2a5,∴=a5q+2a5,化为q2﹣q﹣2=0,解得q=2.∵存在两项a m、a n使得,∴=4a1,∴2m+n﹣2=24,∴m+n=6.则==≥=,当且仅当n=2m=4时取等号.∴的最小值为.故答案为:.【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.14.在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位,沿y轴正方向平移5个单位,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位,沿y轴负方向平移2个单位,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是6x﹣8y+1=0 .【考点】直线的一般式方程.【专题】数形结合;方程思想;转化思想;直线与圆.【分析】利用直线的平移变换、直线的对称性即可得出.【解答】解:设直线l的方程为:y=kx+b,将直线l沿x轴正方向平移3个单位,沿y轴正方向平移5个单位,得到直线l1:y=k(x﹣3)+5+b,化为y=kx+b+5﹣3k,再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位,沿y轴负方向平移2个单位,y=k(x﹣3﹣1)+b+5﹣2,化为y=kx+3﹣4k+b.又与直线l重合.∴b=3﹣4k+b,解得k=.∴直线l的方程为:y=x+b,直线l1为:y=x++b,设直线l上的一点P(m,b+),则点P关于点(2,3)的对称点P′(4﹣m,6﹣b﹣m),∴6﹣b﹣m=(4﹣m)+b+,解得b=.∴直线l的方程是y=x+,化为:6x﹣8y+1=0.故答案为:6x﹣8y+1=0.【点评】本题考查了垂直平分线的性质、直线的平移变换、直线的对称性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.15.组合数恒等于()A.B.C.D.【考点】组合及组合数公式.【专题】计算题;方程思想;排列组合.【分析】直接利用组合数化简求解即可.【解答】解: ==.故选:D.【点评】本题考查组合数公式的应用,基本知识的考查.16.函数的反函数是()A.B.C.D.【考点】反函数.【专题】计算题;函数的性质及应用.【分析】化简可得x2=log3y+1,从而可得x=﹣,(<y≤1);从而得到反函数.【解答】解:∵,∴x2﹣1=log3y,∴x2=log3y+1,∴x=﹣,(<y≤1);故函数的反函数是,故选B.【点评】本题考查了反函数的应用,注意由的值域确定反函数的定义域.17.已知数列{a n}的通项公式为,则=()A.﹣2 B.0 C.2 D.不存在【考点】数列的极限.【专题】计算题;规律型;函数思想;方程思想;转化思想;等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法.【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可.【解答】解:数列{a n}的通项公式为,则======﹣2.故选:A.【点评】本题考查数列的极限的求法,运算法则的应用,考查计算能力.18.下列四个命题中,真命题是()A.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线B.和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线C.和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线D.若a、b是异面直线,b、c是异面直线,则a、c是异面直线【考点】命题的真假判断与应用.【专题】计算题;规律型;数形结合;简易逻辑.【分析】利用异面直线的定义与性质判断选项即可.【解答】解:和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线,显然不正确,可能两条直线相交于异面直线时的一点.和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线,不满足公垂线的定义,不正确;和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线,正确.若a、b是异面直线,b、c是异面直线,则a、c是异面直线也可能是平行线,所以D不正确.故选:C.【点评】本题考查异面直线的定义与性质的应用,是基础题.三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为AB的中点.求:(1)异面直线BD1与CE所成角的余弦值;(2)点A到平面A1EC的距离.【考点】异面直线及其所成的角;点、线、面间的距离计算.【专题】数形结合;转化思想;等体积法;定义法;空间位置关系与距离;空间角.【分析】(1)延长DC至G,使CG=DC,连结BG、D1G,得出四边形EBGC是平行四边形,找出∠D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角,求出它的余弦值;(2)过A1作A1H⊥CE,交CE的延长线于H.连结AH,求出AH的值,再利用等积法求出点A 到平面A1EC的距离.【解答】解:(1)如图①所示;延长DC至G,使CG=DC,连结BG、D1G,CG∥EB,且CG=EB,∴四边形EBGC是平行四边形;∴BG∥EC,∴∠D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角;又△D1BG中,D1B=,;即异面直线BD1与CE所成角的余弦值是;(2)如图②所示;过A1作A1H⊥CE,交CE的延长线于H.连结AH,在底面ABCD中,∵∠AHE=∠CBE=90°,∠AEH=∠CEB,则△AHE∽△CBE,∴=,且CE=,AE=,∴AH===;在直角△A1AH中,A1A=1,AH=,∴A1H=;设点A到平面A1EC的距离为d,由三棱锥体积公式可得:,即;解得,即点A到平面A1EC的距离为.【点评】本题考查了空间中的点、线、面的位置关系以及空间想象能力与计算能力,解题时找角是关键,是综合性题目.20.李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”.某创客,白手起家,2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的10%,每月的生活费等开支为3000元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.(1)问到2015年年底(按照12个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元)(2)如果银行贷款的年利率为5%,问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款?【考点】数列与函数的综合.【专题】计算题;函数思想;方程思想;转化思想;函数的性质及应用;等差数列与等比数列.【分析】(1)法1:设n个月的余款为a n,求出a1,a2,两边求出a12.法2:通过a1,得到a n与a n﹣1的关系式,构造{a n+c}是等比数列,然后求解a12≈.(2)利用数值比较大小,判断能还清银行贷款.【解答】解:法1:(1)设n个月的余款为a n,则a1=100000×1.2×0.9﹣3000=105000,,…,=(元),法2:a1=100000×1.2×0.9﹣3000=105000,一般的,a n=a n﹣1•1.2•0.9﹣3000,构造a n+c=1.2×0.9(a n﹣1+c),c=﹣37500,a12≈194890.(2)194890﹣100000×1.05=89890(元),能还清银行贷款.【点评】本题考查函数的综合应用,数列以及等比数列类比推理的应用,也可以用a k+1﹣a k=1.2×0.9(a k﹣a k﹣1)通过等比数列求和解决.考查分析问题解决问题的能力.21.设P1和P2是双曲线上的两点,线段P1P2的中点为M,直线P1P2不经过坐标原点O.(1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2,求证:k1k2=;(2)若双曲线的焦点分别为、,点P1的坐标为(2,1),直线OM的斜率为,求由四点P1、F1、P2、F2所围成四边形P1F1P2F2的面积.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【专题】计算题;函数思想;方程思想;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)法1:设不经过点O的直线P1P2方程为y=k1x+l,代入双曲线,消去y,设 P1坐标为(x1,y1),P2坐标为(x2,y2),中点坐标为M (x,y),通过韦达定理,推出,即可证明k1k2=.法2:设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点M (x,y),利用且利用平方差法通过直线P1P2和直线OM的斜率都存在,化简求解即可证明k1k2=.(2)通过,求得双曲线方程,求出直线P1 P2方程为,然后求解面积.另解:线段P1P2中点M在直线上.所以由中点M((x,y),可得点P2的坐标为P2(2x﹣2,3x﹣1),代入双曲线方程可求出以.然后求解面积.【解答】解:(1)证明:法1:设不经过点O的直线P1P2方程为y=k1x+l,代入双曲线方程得:.设 P1坐标为(x1,y1),P2坐标为(x2,y2),中点坐标为M (x,y),则,,,所以,,k1k2=.法2:设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点M (x,y),则且(1)﹣(2)得:.因为,直线P1P2和直线OM的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1﹣x2)≠0,等式两边同除以(x1+x2)(x1﹣x2),得:即k1k2=.(2)由已知得,求得双曲线方程为,直线P1 P2斜率为,直线P1 P2方程为,代入双曲线方程可解得(中点M坐标为.面积.另解:线段P1P2中点M在直线上.所以由中点M((x,y),可得点P2的坐标为P2(2x﹣2,3x﹣1),代入双曲线方程可得,即7x2﹣2x=0,解得(),所以.面积.【点评】本题考查直线与双曲线方程的综合应用,直线的斜率的求法,设而不求方法的应用,考查计算能力以及转化思想的应用.22.在平面直角坐标系xOy中,点A在y轴正半轴上,点P n在x轴上,其横坐标为x n,且{x n} 是首项为1、公比为2的等比数列,记∠P n AP n+1=θn,n∈N*.(1)若,求点A的坐标;(2)若点A的坐标为(0,8),求θn的最大值及相应n的值.【考点】数列与函数的综合;基本不等式;两角和与差的正切函数.【专题】压轴题;等差数列与等比数列.【分析】(1)利用{x n} 是首项为1、公比为2的等比数列,确定通项,利用差角的正切公式,建立方程,即可求得A的坐标;(2)表示出tanθn=tan(∠OAP n+1﹣∠OAP n),利用基本不等式,结合正切函数的单调性,即可求得结论.【解答】解:(1)设A(0,t)(t>0),根据题意,x n=2n﹣1.由,知,而tanθ3=tan(∠OAP4﹣∠OAP3)==,所以,解得t=4或t=8.故点A的坐标为(0,4)或(0,8).(2)由题意,点P n的坐标为(2n﹣1,0),tan∠OAP n=.∴tanθn=tan(∠OAP n+1﹣∠OAP n)==.因为≥,所以tanθn≤=,当且仅当,即n=4时等号成立.∵0<θn<,y=tanx在(0,)上为增函数,∴当n=4时,θn最大,其最大值为.【点评】本题考查等比数列,考查差角的正切函数,考查基本不等式的运用,正确运用差角的正切公式是关键.23.已知定义在实数集R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x+1.(1)求f(x)与g(x)的解析式;(2)若定义在实数集R上的以2为最小正周期的周期函数φ(x),当﹣1≤x≤1时,φ(x)=f(x),试求φ(x)在闭区间[2015,2016]上的表达式,并证明φ(x)在闭区间[2015,2016]上单调递减;(3)设h(x)=x2+2mx+m2﹣m+1(其中m为常数),若h(g(x))≥m2﹣m﹣1对于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范围.【考点】函数恒成立问题.【专题】函数思想;换元法;函数的性质及应用.【分析】(1)根据函数的奇偶性可得f(﹣x)+g(﹣x)=2﹣x+1,通过联立求解可得出函数的解析式;(2)φ(x)是R上以2为正周期的周期函数,可得2016也为函数的周期,x﹣2016∈[﹣1,0],可得,利用定义法判断函数的单调性即可;(3)利用换元法t=g(x)在x∈[1,2]单调递增,得出t的范围,不等式可整理为对于恒成立,只需求出右式的最大值即可.【解答】解:(1)f(x)+g(x)=2x+1①,因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数所以有f(﹣x)+g(﹣x)=2﹣x+1,即f(x)﹣g(x)=2﹣x+1②∵f(x),g(x)定义在实数集R上,由①和②解得,,.(2)φ(x)是R上以2为正周期的周期函数,所以当x∈[2015,2016]时,x﹣2016∈[﹣1,0],,即φ(x)在闭区间[2015,2016]上的表达式为.下面证明φ(x)在闭区间[2015,2016]上递减:,当且仅当2x﹣2016=1,即x=2016时等号成立.对于任意2015≤x1<x2≤2016,,因为2015≤x1<x2≤2016,所以,,,,,从而φ(x1)﹣φ(x2)>0,所以当2015≤x1<x2≤2016时,φ(x)递减.(3)∵t=g(x)在x∈[1,2]单调递增,∴.∴h(t)=t2+2mt+m2﹣m+1≥m2﹣m﹣1对于恒成立,∴对于恒成立,令,则,当且仅当时,等号成立,且所以在区间上单调递减,∴,∴为m的取值范围.【点评】本题综合性强,考查了函数的奇偶性,周期性,单调性和恒成立问题的转化,换元法的应用.属于难度较大的题型.。

杨浦高三数学一模

杨浦高三数学一模
二 选择题 大题共 4 题,满 ,否则一律零 20 . 题 且仅 一个 确答案,考生 在答题纸的相 题 ,填 确
的答案,选对得 5 13 若 a
b − c 都是非零向 ,则
a ⋅b = a ⋅c

a ⊥ (b − c)
(C)充要条件

A - 15 B -3 C 3 号 12 A 充 但非必要条件 B 必要但非充
次,得到的数
依次记作 a, b, c ,则 a + bi
i 为虚数单位
是方程 x − 2 x + c = 0 的根的概率是_____________. 8
a 6 设常数 a > 0 , x + lim ( a + a 2 + ⋯ + a n ) = _____________. 展开式中 x 的系数为 4,则 n →∞ x
19 如图所示,椭圆 C : 1 定值 工 当直线 l1 的斜率 k1
x2 + y 2 = 1 , 右焦点 别记作 F1 , F2 ,过 F1 , F2 4
直线 BC 的斜率 k 2 都 在时,求证
别作直线 l1 , l2 交椭圆 AB, CD ,且 l1 l2
k1 , k2 为
求四边形 ABCD 面
9
9
已知直线 l
过点 − 5,0 且方向向
(
)
为 ( 2, −1) ,则原点 O 到直线 l 的距离为_____________. 曲线 抛物线 y = x 2 的准线仅 一个公共点,则 曲线的标准方程
10 若
曲线的一条渐近线为 x + 2 y = 0 ,且
为_____________. 11 面直角坐标系中,给出点 A(1, 0),B(4, 0), 若直线 x + my − 1 = 0 在点 P ,使得 PA = 2 PB ,则实数 m 的取

2016杨浦区一模数学试题及答案(Word)

2016杨浦区一模数学试题及答案(Word)

2016杨浦区一模数学试题2016.1 满分150分一、选择题(本题共6个小题,每个小题4分,共24分)1、将抛物线向上平移2个单位后所得到的抛物线的表达式为()A、B、C、D、2、以下图形中一定属于互相放缩关系的是()A、斜边长分别是10和5的两直角三角形B、腰长分别是10和5的两等腰三角形C、边长分别是10和5的两个菱形D、边长分别是10和5的两个正方形3、如图,已知在△ABC中,D是边BC的中点,,,那么等于()A、B、C、D、4、坡比等于的斜坡的坡角等于()A、30°B、45°C、50°D、60°5、下列各组条件中,一定能推出△ABC与△DEF相似的是()A、∠A=∠E且∠D=∠FB、∠A=∠B且∠D=∠FC、∠A=∠E且D、∠A=∠E且6、下列图像中,有一个可能是函数的图像,它是()A、B、C、D、2、填空题(本大题共12个小题,每个小题4分,共48分)7、如果,那么()8、如图,已知点G为△ABC的重心,DE过点G,且DE和BC平行,EF和AB 平行,那么CF:BF=()9、已知在△ABC中,点D、E分别在AB和BC上,AD=2,DB=1,BC=6,要使DE和AC平行,那么BE=()10、如果△ABC与△DEF相似,△ABC的三边之比为3:4:6,△DEF的最长边是10cm,那么△DEF的最短边是()cm11、如果AB∥CD,2AB=3CD,与的方向相反,那么=()12、计算:sin60°-cot30°=()13、在△ABC中,∠C=90°,如果sinA=,AB=6,那么BC=()14、如果二次函数配方后为,那么c的值为()15、抛物线的对称轴是直线()16、如果是二次函数图像上的两个点,那么(填<或者>)17、请写出一个二次函数的解析式,满足:图像的开口向下,对称轴是直线x=-1,且与y轴的交点在x轴的下方,那么这个二次函数的解析式可以为()18、如图,已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折,点A恰好落在边BC 的中点M处,且AM=BE,那么∠EBC的正切值是()3、解答题(共78分)19、(本题满分10分)如图,已知两个不平行的向量.先化简,再求作:.(不要求写作法,但要指出所作图中表示结论的向量)20(本题满分10分,第(1)小问6分,第(2)小问4分)已知二次函数(a≠0)的图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示:求: (1)这个二次函数的解析式;(2)这个二次函数图像的顶点坐标及上表中m的值。

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,参考版解析)

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,参考版解析)

2016年上海高考数学(理科)真题一、解答题(本大题共有14题,满分56分)1. 设x ∈R ,则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<,即24x <<,故解集为(2,4)2. 设32iiz +=,其中i 为虚数单位,则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-,故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________25【解析】22112521d +==+4. 某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是___ (米) 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上,则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=,故2a =,()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 的边长为3,1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3, 则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】2【解析】32BD =12223DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-,即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_______________【答案】112【解析】2256n =, 8n =通项88433882()(2)r rr r r r C x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===,2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>,若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解,则a b +的取值范围是_____________【答案】(2,)+∞【解析】由已知,1ab =,且a b ≠,∴2a b +>11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和,若对任意*n ∈N ,{2,3}n S ∈,则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中,已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =则BP BA ⋅的取值范围 是____________【答案】[0,1+【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈,(1,1)BA =, (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,12]sin 12)14BP BA ααα⋅=+++∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈,若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+,则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =,则5π3c =; 若3b =-,则4π3c =(ii)若2a =-,若3b =-,则π3c =;若3b =,则2π3c =共4组14. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形128A A A 的中心,1(1,0)A ,任取不同的两点,i j A A ,点P 满足0i j OP OA OA ++=,则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题(本大题共有4题,满分20分)15. 设a ∈R ,则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是( )A. 65cos ρθ=+B. 65sin ρθ=+C. 65cos ρθ=-D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时,ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且lim n n S S →∞=,下列条件中,使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <,即1(21)0n a q -> 若10a >,则12nq >,不可能成立若10a <,则12nq <,B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数,对于命题:①若()()f x g x +,()()f x h x +,()()g x h x +均为增函数,则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数;②若()()f x g x +,()()f x h x +,()()g x h x +均是以T 为周期的函数,则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数,下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题C. ①为真命题,②为假命题D. ①为假命题,②为真命题 【答案】D【解析】①不成立,可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩ ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差,可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式,可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)将边长为1的正方形11AA O O (及其内部)绕1OO 旋转一周形成圆柱,如图,AC 长为23π,11A B 长为3π,其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小 【解析】(1) 连11O B ,则111113AO A B B π∠==∴111O A B 为正三角形 ∴1113O A B S=∴1111111133C O A B O A B V OO S -=⋅=(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ,连1BB ,则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角(或补角) 111BB AA == 连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π=∴3BC π=∴3BOC π∠=∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20.(本题满分14分)有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

杨浦区数学卷定稿(理):2016.

杨浦区数学卷定稿(理):2016.

杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷(理科) 2016.1.考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.2.本试卷共有23道题,满分150分,考试时间120分钟.一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则=+B A _____________.2. 已知全集U=R ,集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩,则集合UA =_____________.3. 已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则方程()14f x -=的解x = _____________. 4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4用白布包裹,则至少需要白布_________平方米. 5. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S , 且1lim 2n n S →∞=,则首项1a 的取值范围是_____________. 6. 已知虚数z 满足i 61z z 2+=-,则 =z __________. 7.执行如右图所示的流程图,则输出的S 的值为________.8.学校有两个食堂,现有3名学生前往就餐,则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. (1n-展开式的二项式系数之和为256,则展开式中x 的系数为______________.10. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2,则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的 方差为____________.11. 如图,在矩形OABC 中,点E 、F 分别在线段AB 、BC 上,且满足AB=3AE ,BC=3CF ,若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈,则=μ+λ____________.12. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤,当[]1a ,a x +∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立,则实数a 的最大值是____________.13. 抛物线C 的顶点为原点O ,焦点F 在x 轴正半轴,过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ,若AB 中点的横坐标为3,则抛物线C 的方程为_______________. 14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当01x ≤≤时,()2f x x =,当0x >时,()()()11f x f x f +=+,若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点,则实数k 的取值范围为____________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.15. 下列四个命题中,为真命题的是 ( )A. 若a b >,则22ac bc > B. 若a b >,c d >则a c b d ->-C. 若a b >,则22a b > D. 若a b >,则11a b< 16. 设,a b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-”的 ( ) AB FSDCB AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,αβ和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A.若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B.若m α‖, αβ⊥, 则m β⊥C. 若m α‖,n β‖,αβ⊥,则m n ⊥D. 若m α⊥,n β⊥,αβ⊥,则m n ⊥18. 下列函数中,既是偶函数,又在()π,0 上递增的函数的个数是 ( )① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题6分 .如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充。

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杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷(理科) 2016.1.考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.2.本试卷共有23道题,满分150分,考试时间120分钟.一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则=+B A _____________.2. 已知全集U=R ,集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩,则集合U A =ð_____________. 3. 已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则方程()14f x -=的解x = _____________.4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具,该球表面用白布包裹,则至少需要白布_________平方米. 5. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ,且1lim 2n n S →∞=,则首项1a 的取值范围是_____________. 6. 已知虚数满足i 61z z 2+=-,则 =z __________. 7.执行如右图所示的流程图,则输出的S 的值为________.8.学校有两个食堂,现有3名学生前往就餐,则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. (1n-展开式的二项式系数之和为256,则展开式中x 的系数为______________.10. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2,则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的 方差为____________.11. 如图,在矩形OABC 中,点E 、F 分别在线段AB 、BC 上,且满足AB=3AE ,BC=3CF ,若,则=μ+λ____________.12. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤,当[]1a ,a x +∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立,则实数a 的最大值是z (,)OB OE OF R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r____________.13. 抛物线C 的顶点为原点O ,焦点F 在x 轴正半轴,过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ,若AB 中点的横坐标为3,则抛物线C 的方程为_______________.14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当01x ≤≤时,()2f x x =,当0x >时,()()()11f x f x f +=+,若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点,则实数k 的取值范围为____________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.15. 下列四个命题中,为真命题的是 ( )A. 若a b >,则22ac bc >B. 若a b >,c d >则a c b d ->-C. 若a b >,则22a b >D. 若a b >,则11a b< 16. 设,a b r r 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,αβ和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A.若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B.若m α‖, αβ⊥, 则m β⊥C. 若m α‖,n β‖,αβ⊥,则m n ⊥D. 若m α⊥,n β⊥,αβ⊥,则m n ⊥18. 下列函数中,既是偶函数,又在()π,0 上递增的函数的个数是 ( )① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题6分 .如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充。

已知金字塔的每一条棱和边都相等(1) 求证:直线A C 垂直于直线SD .(2) 若搭边框共使用木料24米,则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满?20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分 .某农场规划将果树种在正方形的场地内。

为了保护果树不被风吹,决定在果树的周围种松树。

在下图里,你可以看到规划种植果树的列数(n),果树数量及松树数量的规律:(1)按此规律,n = 5时果树数量及松树数量分别为多少;并写出果树数量n a ,及松树数量n b 关于n 的表达式.(2)定义:)n (f )1n (f -+ ()*N n ∈为)n (f 增加的速度;现农场想扩大种植面积,问:哪种树增加的速度会更快?并说明理由.21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题8分,第2小题6分.如图,在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O ,逆时针15分钟转一圈,从A 处进入摩天轮的座舱,OA 垂直于地面AM ,在距离A 处150米处设置了一个望远镜B (1)同学甲打算独自乘坐摩天轮,但是其= 果树n=4n=3n=2n=1= 松树SDCB A母亲不放心,于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后,在座舱内向其母亲挥手致意,而其母亲则在望远镜B 中仔细观看。

问望远镜B 的仰角θ 应调整为多少度?(精确到1度)(2)在同学甲向其母亲挥手致意的同时,同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD ,发现取景的视角α恰为45︒,求绿化带BD 的长度(精确到1米).如图,曲线Γ由两个椭圆1T :()222210x y a b a b +=>>和椭圆2T :()222210y x b c b c+=>>组成,当,,a b c 成等比数列时,称曲线Γ为“猫眼曲线”.(1)若猫眼曲线Γ过点(0,M ,且,,a b c 的公比为22,求猫眼曲线Γ的方程; (2) 对于题(1)中的求猫眼曲线Γ,任作斜率为()0k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交,交椭圆1T 所得弦的中点为M ,交椭圆2T 所得弦的中点为N ,求证:ONOMk k 为与k 无关的定值;(3)的直线l 为椭圆2T 的切线,且交椭圆1T 于点,A B ,N 为椭圆1T 上的任意一点(点N 与点,A B不重合),求ABN ∆面积的最大值.23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.已知函数()D)(x x f ∈,若存在常数T (T>0),对任意D x ∈都有()() x f T T x f ⋅=+,则称函数() x f 为T 倍周期函数(1)判断()x x h =是否是T 倍周期函数,并说明理由.(2)证明()x41 x g ⎪⎭⎫⎝⎛=是T 倍周期函数,且T 的值是唯一的.(3)若() )N (n n f *∈是2倍周期函数,()11f =,()42f -=,n S 表示()n f 的前n 项和,1n 2n2n S S C -=,若10)1a (log C a n ++<恒成立,求a 的取值范围.x理科评分参考一、填空题 1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 04 3 2. ()[),12,-∞-+∞U 3.1 4. 16π 5. 110,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 6.7.20171008 8. 34 9.56-10. 36 11.3212. 2- 13.x 4y 2= 14.(4,6-) 二、选择题15.C 16.A 17.D 18.A 三、解答题19.(本题12分,第1小题6分,第2小题6分)解:(1)如图,连接,AC BD 交于点O ,则O 为线段BD 中点, 在正方形ABCD 中,对角线AC BD ⊥ (2分) 在ASC ∆中,SA SC =Q ,SO AC ∴⊥SO BD O =Q I ,AC ∴⊥平面SBD (2分)AC SD ∴⊥ (2分)(2)边长为3米 (2分)棱锥的高2233221SO 22=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= (2分) 229223331V 2=⋅⋅=∴立方米 (2分) 答:需要229立方米填充材料. 20.(本题14分,第1小题6分,第2小题8分)解:(1)n = 5时果树25棵,松树40棵 (2分)2n n a = (2分) n 8b n = (2分)SDCBA(2)()1n 2n 1n a a 22n 1n +=-+=-+ (2分)()8n 81n 8b b n 1n =-+=-+ (2分)当3n ≤时,2n+1 < 8 松树增加的速度快 (2分) 当4n ≥时,2n+1 > 8 果树增加的速度快 (2分)21.(本题14分,第1小题8分,第2小题6分) (1)Q 逆时针15分钟转一圈,∴5分钟转过120︒ (2分) 过点C 作CH AB ⊥于点H ,则()5050sin 1209075CH =+⋅︒-︒= (2分) ()15050cos 12090150BH =-⋅︒-︒=- (2分)6tan 11CH BH θ∴====,35θ∴=≈︒(2分) 答:望远镜的仰角θ设置为35︒(2)在BCD ∆中,35,45θα=︒=︒,80CDH ∴∠=︒ (2分)75sin80sin80CH CD ∴==︒︒由正弦定理得:sin sin BD CDαθ=(2分)sin 75sin 4594sin sin80sin 35CD BD αθ⋅⋅︒∴==≈︒⋅︒(2分)答:绿化带的长度为94米.22.(本题16分,第1小题4分,第二小题6分,第三小题6分) (1)b =,2,1a c ∴==, (2分)221:142x y T ∴+=,222:12y T x ∴+=; (2分) (2)设斜率为k 的直线交椭圆1T 于点()()1122,,,C x y D x y ,线段CD 中点()00,M x y 121200,22x x y yx y ++∴== 由22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得()()()()12121212042x x x x y y y y -+-++= (2分) Θk 存在且0k ≠,12x x ∴≠,且0x 0≠∴01212012y y y x x x -⋅=-- ,即21k k OM -=⋅(2分)同理,2k k ON -=⋅ 41k k ON OM =∴得证 (2分) (3)设直线l的方程为y m =+22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y m y x bc ,()2222222220∴+++-=b c x x m c b c0∆=Q ,2222∴=+m b c1: =l y (2分)22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y mx y ab , ()2222222220∴+++-=b a x x m a b a 0∆=Q ,2222∴=+m b a2: =l y (1分)两平行线间距离:d = (1分)222∴=+AB b a (1分)ABN ∴∆的面积最大值为22122=⋅=+S AB d b a(1分)注:若用第一小题结论,算得:==ABd ==∆ABN的面积最大值为12S ==得3分23.(本题18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)(1) 设:()() x h T T x h ⋅=+则 x T T x ⋅=+ 对任意x 恒成立 (2分)T Θ 无解∴ ()x x h = 不是T 倍周期函数 (2分)(2) 设:()() x g T T x g ⋅=+则 xTx 41T 41⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 对任意x 恒成立 (2分)T 41T=⎪⎭⎫⎝⎛ 21T =(2分) 下证唯一性: 若 21T >, 214141T 21T=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛= 矛盾若 21T <, 214141T 21T=⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛= 矛盾∴ 21T = 是唯一的 (2分)(3)()()()2 12f 21f 3f ==+=()()()22 32f 23f 5f ==+= ()()()32 52f 25f 7f ==+=ΛΛ()()()1-n 2 3-2n 2f 23-2n f 1n 2f ==+=-()()()()1222211-2n f 5f 3f 1f n 1n 2-=++++=++++-ΛΛ (2分)同理: ()()()()()()124222142n f 6f 4f 2f n1n 2--=++++-=++++-ΛΛ∴ ()()()()123n 2f 2f 1f S n n 2--=+++=Λ同理:()()()321n 2f 2f 1f S n1n 2+-=-+++=-Λ()32123S S C n n 1n 2n 2n --==- (2分) 3C 1-= 9C 2=显然:2n ≥ 0C n > 且 ()()()()()()32522327223212332123C C n2n n 2n n n 1n 1n n 1n +⋅-+⋅-=----=+++Θ ()()<+⋅-32722n 2n ()()32522n 2n +⋅-∴1C C n1n <+ 即单调递减 ∴ ()9C C 2max n == (2分)Θ 10)1a (log C a n ++<恒成立, ∴ >++10)1a (log a ()9C max n = ∴ 1)1a (log a ->+① 1a > 时 a11a >+ 解得 :1a > ② 1a 0<< 时 a11a <+ 解得 :251a 0+-<<∴ 251a 0+-<< 或 1a > (2分)。

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