电路分析中回路分析法和割集分析法
国家电网考试之电网络分析理论：不讲!第四章网络的代数方程回路割集及例题(3)
T
网络的端口电流列向量
u u1 , u2 , , u2 p , u2 p1 , , u2 pq
F(u) f1 (u1 ), f 2 (u2 ),
T1 T
网络的端口电压列向量
f 2 p (u2 p ), f 2 p1 (u2 p1 ),
u2 p 1 u2 p
式中
1 Tk ( k ) f 1
(k ) r
i2 p 1
D1
－
fm (um ) I sm (eum /UTm 1)
i2 p q Dq
＋
u2 p q
－
外部非线性网络的方程
i TF(u)
i i1 , i2 , , i2 p , i2 p1 , , i2 pq
Q f YbQT f Ut Q f I s Q f Y b Us
定义
Yt Q f YbQT f
割集导纳矩阵
J t Q f I s Q f Yb U s 割集电流源列向量
割集电压方程的矩阵形式
Yt Ut J t
例题
二、非线性电阻电路方程的矩阵形式
非线性电阻电路的方程的基本形式: • 标准形式 • 一般形式
T称为表格矩阵
TW V
• 对于非线性电阻电路
Aib (t ) 0
ub (t ) AT un (t ) 0
h(ub , i b ) 0
例题
•添加支路法
KCL : 节点p流出电流 I bk 节点q流出电流 I bk KVL : Ubk U p U q 0 VAR : I bk GUbk 0 相应的送值表如下表所示
T Bf F(Bf I l Is ) Bf Us
电路分析基础-线性网络的一般分析方法
支路VAR代入三个KVL方程，消去6个
支路电压，保留支路电流，便得到关于
支路电流的方程如下：
i1 + i2 – i6 =0 – i2 + i3 + i4 =0 – i4 – i5 + i6 =0
KCL
–R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0
–R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0
注：可去掉方程(6)。
支路法的特点及不足：
优点：直接。直接针对各支路电压或电流列写方程 缺点：需要同时列写 KCL和KVL方程， 方程数较多 （等于支路数b），且规律性不强(相对于后面的方法)。 各支路电流（或电压）并不独立，彼此线性相关。
能否找到一种方法，使方程数最少，且规律性较强？
答案是肯定的。回路（网孔）电流分析法、节点电位 分析法以及割集分析法就具有这样的特点。它们选择一 组最少的独立完备的基本变量作为待求变量，使得方程 数目最少。
a
R3 i3 b i6
(1) 先将受控源看作独立源
i1 R1
i2 +
+ 1R2 u2 2
uS
–
R5
i5 4
列方程；
i1 (2) 将控制量用支路电流表
示，消去控制量。
–
c
解 KCL方程：
-i1- i2+ i3 + i4=0 (1) -i3- i4+ i5 – i6=0 (2)
R4 + u2 –
i4
对平面电路，b–(n–1)个网孔即是一组独立回路。
平面电路。
1 542
3
支路数b=12 节点数n=8 独立KCL数：n-1=7 独立KVL数：b-(n-1)=5
割集分析法
i4
2V I
i4 = i1 + i2 = – 0.25 + 0.85 = 0.6A
II
i5 = 3A（已知）， i7 = i1 = – 0.25A
以上各式中，u1、u2、u3分别为支路 1、支路 2 和支路 3 的 电压。
电路分析基础——第一部分：2-5
例2-16 电路如图2-37(a)，试求ux。
致，则互电导为正，否则为负；
电流输送：is11、is22、is33 。该基本割集上电流源输 送电流的代数和，电流源电流方向与割
集方向相反者为正，否则为负。
ut1、…、uti、…、ut(n-1)：在确定基本割集顺序后， 每个基本割集上的树支电压；
电路分析基础——第一部分：2-5
17/23
注意：在用割集分析时，往往把感兴趣的支路选为树支，使其 电压成为直接求解对象。电路中的电压源支路都应尽量选为树 支，因为电压源是已知的，可以减少未知独立变量的个数。
例如：在图（b）中，切割用虚线表
1
2
示，例如切割II使节点1、3与节点2、 I
3
4分为两个分离部分，所切割的支路 G3、G4、G1和电流源支路的集合就 是割集II。
割集的多样性：一个连通图可以有许
II
4
III
1
2
3
多不同的割集，图（b）中就表明了
三种不同的割集。
4
电路分析基础——第一部分：2-5
7/23
电路分析基础——第一部分：2-5
21/23
i2 =
u2 0.5
=
– ut6 – ut5 – ut4 0.5
= – 2(2–2.75+ 0.326) = 0.85A
大学物理电路分析精品课程 第三章 电路的一般分析方法
I S I4 I1 0
I
1
I3
I2
0
I
4
I3
I5
0
U 4 U S1 U 3 U1 0 U1 U 2 U 0 U 3 U S1 U 5 U S 2 U 2 0
I1R1 U1
I I
2 3
R2 R3
U2 U3
I
4
R4
U4
I 5 R5 U 5
支路电流法（1B法）
1) U 2
2
添加以下方程：
2U 23 2(U 2 U 3 ) 4U 43 4(U 4 U 3 ) U1 U 4
例题3——割集分析法
5 + 19V - 2
I1 +
30V _
4A 1.5I1
4
+ 25V
_
选树如图所示，则只需要对2、4支路 （树支）所决定的基本割集列写方程即可
(5 2 4) I1 (2 4) 4 4 1.5I1 30 25 19
I S
U4 R4
U1 R1
0
UR11
U3 R3
U2 R2
0
U
4
U3
U5
0
R4 R3 R5
3-3 节点法与割集法
一、节点法
1 .方法
任选电路中某一节点为参考节点， 其他节点与此参考节点间的电压称为 “节点电压”。节点法是以节点电压作 为独立变量，对各个独立节点列写KCL 电流方程，得到含(n-1)个变量的(n-1)个 独立电流方程，从而求解电路中待求量。
第三章 电路的一般分析方法
❖重点 1、支路法 2、节点法 3、网孔法
❖难点 1、改 拓扑术语
支路 节点 回路 网孔 基本回路 割集 基本割集
大学电路第十五章割集
特点
①每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个 是-1，Aa的每一列元素之和为零。 ②矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只 有n-1行是独立的。
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结 1 Aa= 2 3 4
支
1 -1 0 1 0
2 3 -1 1 0 -1 0 0 1 0
4 0 -1 1 0
5 0 0 1 -1
图的矩阵表示
图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质。 有三种矩阵形式： 结点 回路 割集 支路 支路 支路 关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
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下 页
一. 关联矩阵A
1. 关联矩阵Aa:描述结点和支路的关联情况的矩阵。 n个结点b条支路的图用nb的矩阵描述： 支路b 结 点 n
注意
每一行对应一个结点， 每一列对应一条支路。
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2. 基本割集矩阵Qf ：所选独立割集为单树枝割集组 时，得到的割集矩阵。
规定 基本割集矩阵
①割集方向为树支方向； ②支路排列顺序先树支后连支； ③割集顺序与树支次序一致。 ② ３ ４ ６ ５ ２ ④ 1
例 选 1、2、3支路为树 Q1: {1, 4, 5} Q2: {2, 5, 6} Q3: {3, 4 , 6}
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②用矩阵[A]T表示的KVL的矩阵形式
设:
u u1 u2 u3 u4 u5 u6
T
1 0 1 0 1 1 T A u n 0 1 0 0 0 1
1 u n1 u n3 u 0 n1 un1 0 un1 un 2 u n 2 u 0 n2 un 3 un3 1 un 2 0
割集分析法
§3-6 割 集 分 析 法一、割集与基本割集1）、割集 割集是支路的集合，它必须满足以下两个条件： （1） 移去该集合中的所有支路，则图被分为两部分。
（2） 当少移去该集合中的任何一条支路，则图仍是连通的。
需要说明的是，在移去支路时，与其相连的结点并不移去。
图G 是一个连通图，如图3－26(a)所示，支路集合{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}均为图G 割集。
将以上割集的支路用虚线表示，分别如图3－26(b)、(c)、(d)所示，不难看出，去掉虚线支路后，各图均被分成了两部分，但是图3－26 图G 及其割集(a)(b)(c)(d)只要少去掉其中的一条虚线支路，图仍然是连通的，故满足割集所要求的条件。
而支路集合{1，5，4，6}、{1，2，3，4，5}不是图G 的割集。
将集合中的支路用虚线表示后如图3－27(a)和(b)所示。
对于图3－27(a)来说，移去支路1、5、4、6后，图虽说被分为两部分（结点①为其中的一部分），但如不移去支路5，图仍被分为两部分；而对于图3－27(b)来说，将支路1、2、3、4、5移去后，图则被分成了三部分，故以上两种支路集合不是割集。
2）、作高斯面确定割集在图G 上作一个高斯面（闭合面），使其包围G 的某些节点，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉与闭合面相切割的支路，图G 将被分为两部分，那么这组支路集合即为图G 的一个割集。
在图G 上画高斯面（闭合面）C 1、C 2、(a)(b)图3－27 非割集说明①②③①②C 3如图3－28所示，对应割集C 1、C 2、C 3的支路集合为{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。
3）、基本割集基本割集又称单树支割集，即割集中只含一条树支，其余均为连支。
如选支路1、5、3为树支，如图3－29所示，则割集C 1，C 2，C 3为基本割集，基本割集的方向与树支的参考方向一致。
当树选定后，对应的基本割集是唯一确定的。
《电路分析》课程教学改革
《电路分析》课程教学改革作者：徐斌来源：《教育教学论坛》2014年第05期摘要：在湖北工业大学合格加特长的办学理念和721人才培养模式的指导下，结合笔者多年从事《电路分析》课程教学的切身体会出发，分别从教学内容、教学方法、实践教学和考核方式四个方面论述了《电路分析》课程教学改革的必要性。
关键词：电路分析；教学改革；综合评价中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）05-0032-02一、引言《电路分析》课程是电子、信息类专业的一门重要的专业基础课，在整个大学课程体系学习中起很重要的作用。
它是电子科学类专业学生最先接触的一门学科基础课，对培养学生本专业学习兴趣和打下牢固的专业基础以及培养专业素质具有重要的意义。
该课程以经典电路理论和基本概念等内容为基础，它是电子技术基础的先修课程，以提高学生电路分析理论、解决实际电路问题的能力为目的。
通过《电路分析》课程学习，可以使学生掌握基本的电路概念、定理和定律。
如对偶定理、叠加定理、替代定理、戴维南等效定理、诺顿等效定理、最大功率传输等定理和基尔霍夫定律、欧姆定律等定律；掌握电路基本分析方法，如回路分析法、支路电流和电压法、割集分析法、网孔分析法、节点分析法，以及动态电路分析中的三要素法和正弦稳态电路分析中的相量分析法等；掌握和具备一些基本的实验技能，为后续专业课程如模拟电路、数字电路和信号与系统等课程学习打下坚实基础。
下面分别从教学内容、教学方法、实践教学和考核评价体系四个方面对《电路分析》教学改革进行探讨。
二、教学内容改革在教育主管部门关于素质教育改革的指挥棒的指导下，专业课程的学时不断被压缩，特别是《电路分析》课程从最初的两学期缩短到现在的一学期。
在授课内容并不能减少，而教学学时极其有限的情况下，对教师而言，有种巧妇难为无米之炊的味道。
本专业《电路分析》课程选用教材为“十一五”规划教材，全书共十四章，其内容包含全部的电路分析基础理论。
2010基电——第二章分析方法
电路分析是指： 电路分析是指：
网络结构 求 支路电流 研究 由 元件特性 → → 网络性质 支路电压 输入激励
KCL KVL VCR
n-1个 个
∑i = 0
b-n+1个 ∑ u = 0 个
求解b个含支路电流 求解 个含支路电流 求解b个含支路电压 个含支路电压 求解2b个 求解 个 的方程构成的方程组 方程构成 的方程组 支路电流法 支路电压法 2b法 法
<
支路数b 支路数
R3
i3
il3
①
i1 R5 i5 ②
i1 = il 1
R6 i6
uS 6
i2 = il 3 − il 2
③ i2 R2
uS 2
R1
uS 1
il1
i4 R4
i3 = il 3 i4 = i l 1 − i l 2 + i l 3 i5 = i l 1 + i l 3 i6 = i l 2
20100U 1 I1 = 1512500
−100 I1 U1 125 I = −10000 20100 2 0
U1 ≈ 75Ω Ri = I1
§2.4
R3
节点分析法的视察方法
i3
①
网孔分析法 网孔电流 R R i ② v
5 5 S6
R1
i2 vS 1
R3 R2 im 2
r3i2
im1
R1 + R2 −R 2
− R2 im 1 v s1 i = γ i R2 + R3 m 2 3 2
− R2 im 1 v s 1 i = R2 + R3 + γ 3 m 2 0
线性电路的一般分析方法
im2=-1A
（4）计算支路响应电压U1
网孔分析法中，用网 孔电流表示各支路电压， 利用KVL列写网孔方程。 而对于电路中含有独立电 流源时，电流源两端电压 不能用网孔电流表示。对 于这类问题，可分两种情 况处理： （1）如果电路中电流源 两端并有电阻，可利用等 效变换，将电流源等效为 电压源。
（2）如果电流源两端没并电 阻，又可分为两种情况处理。 若该电流源为某一网孔所 独有，则该网孔电流可直接 求得。依关联方向，该网孔 电流为电流源电流或其负值。 网孔方程可略去。 若该电流源为两网孔所共 有，则可将电流源两端电压 设为未知量。先依据网孔电 流法列写各网孔方程，再以 辅助方程表示该电流源电流 与两相关联网孔网孔电流的 关系。
3-1
网孔分析法
熊小丽 罗珊
主讲人：王琳
黄炎子
线性电路的一般分析法的优点：
适用于任何线性电路，具有规律性、普遍性，系统化
线性电路的一般分析方法包括：
支路电流法、网孔分析法、节点分析法、回路分析法、割 集分析法 这些分析方法都是建立在基尔霍夫定律、欧姆定理及网 络图论的基础上，它们都能利用系统的方法列出描述电路 的方程，进行一般性的分析。其中网孔分析法和节点分析 法列写方程步骤简单、规律明显、易于掌握，是电路分析 中常用的方法。
m1
USm2 =US3 – US2
USm3 = - US4
分别为各网孔中沿网孔电流方向电压源电压升的代数和
互电阻正负值取决于相关网孔电流流过公共电阻时相互 的方向关系。 同向为正，异向为负 若各网孔电流一律取顺时针方向或一律取逆时针方向， 则互电阻必为负值。
对于具有 m个网孔的平面电路，网孔方程的一般形式为
i5 = im2 - im3 =4.5-1.5=3A
电路中割集满足的条件
电路中割集满足的条件在电路中，割集是指在电路中切断两个或多个节点所需的最少的连线集合。
割集在电路分析和设计中起着重要的作用，它决定了电路的可靠性和性能。
下面将介绍割集满足的条件。
1. 割集是无环的：割集是通过切断节点之间的连线来实现的，因此割集中不能存在环路。
如果存在环路，那么切断其中一个连线就会导致电流无法流通，电路无法正常工作。
2. 割集包含至少一个节点：割集是通过切断节点之间的连线来实现的，因此割集中必须包含至少一个节点。
如果割集中没有节点，那么切断的连线就没有意义，电路仍然可以正常工作。
3. 割集中的连线数最少：割集是通过切断节点之间的连线来实现的，因此割集中的连线数应尽量少。
如果割集中的连线数过多，那么切断这些连线就会导致电路中断的部分过多，电路的可靠性会受到影响。
4. 割集之间没有公共节点：割集是通过切断节点之间的连线来实现的，因此割集之间不能有公共的节点。
如果割集之间有公共的节点，那么切断一个割集中的连线就会同时影响其他割集，导致电路无法正常工作。
5. 割集覆盖所有节点：割集是通过切断节点之间的连线来实现的，因此割集应覆盖电路中的所有节点。
如果存在没有被割集覆盖的节点，那么切断其他连线也无法切断这些节点之间的连线。
6. 割集之间没有公共连线：割集是通过切断节点之间的连线来实现的，因此割集之间不能有公共的连线。
如果割集之间有公共的连线，那么切断一个割集中的连线就会同时影响其他割集，导致电路无法正常工作。
7. 割集覆盖所有连线：割集是通过切断节点之间的连线来实现的，因此割集应覆盖电路中的所有连线。
如果存在没有被割集覆盖的连线，那么切断其他连线也无法切断这些连线。
电路中割集满足的条件包括割集是无环的、割集包含至少一个节点、割集中的连线数最少、割集之间没有公共节点、割集覆盖所有节点、割集之间没有公共连线以及割集覆盖所有连线。
这些条件保证了割集在电路中的有效性和可靠性，对于电路的分析和设计具有重要的意义。
电路分析方法
电路分析方法电路分析是电子工程中的重要基础课程，它是研究电路中电压、电流和功率等物理量之间的相互关系，通过分析电路的工作原理和特性，为电子设备的设计和应用提供理论支持。
在电路分析中，我们常常会用到各种方法和技巧来解决问题，下面将介绍一些常用的电路分析方法。
首先，我们来介绍一种常用的电路分析方法——基尔霍夫定律。
基尔霍夫定律是电路分析的基础，它包括基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。
基尔霍夫电流定律指出，在电路中，流入任意节点的电流之和等于流出该节点的电流之和。
而基尔霍夫电压定律则指出，在闭合回路中，电压源的代数和等于电阻元件两端的电压之和。
通过应用基尔霍夫定律，我们可以方便地分析复杂的电路，解决电路中的各种问题。
其次，另一种常用的电路分析方法是戴维南定理。
戴维南定理是一种基于等效电路的分析方法，它可以将复杂的电路简化为等效电路，从而更容易地进行分析。
通过戴维南定理，我们可以将电路中的电压源和电流源转化为等效电阻，从而简化电路结构，减少计算难度，提高分析效率。
除了基尔霍夫定律和戴维南定理，还有一种重要的电路分析方法——追踪法。
追踪法是一种通过追踪电流或电压的变化来分析电路的方法，它特别适用于复杂的多级放大电路和反馈电路的分析。
通过追踪法，我们可以清晰地了解电路中各个元件的工作状态，找出电路中的故障和问题，并进行相应的修复和优化。
此外，还有一些其他的电路分析方法，如频域分析、时域分析、瞬态分析等，它们分别适用于不同类型的电路和问题，可以帮助我们更全面地了解电路的特性和行为。
总之，电路分析是电子工程中不可或缺的重要环节，通过掌握各种电路分析方法，我们可以更好地理解电路的工作原理，解决电路中的各种问题，为电子设备的设计和应用提供有力支持。
希望本文介绍的电路分析方法能够对你有所帮助，欢迎大家多多交流，共同进步。
西南交通大学考研电路分析大纲
西南交通大学考研电路分析大纲本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March电路分析大纲一、绪论，电路的基本概念及基本定律1、电路模型。
2、基本变量及参考方向。
3、电路元件，独立电源，受控源，基尔霍夫定律。
二、电阻电路的等效变换1、电路元件的联接，Y- 接互换。
2、电路的简化。
3、实际电压源、电流源的等效互换。
三、常用网络分析法1、支路电流法，结点电压法。
2、网孔电流法，网络图论知识，回路分析法。
3、割集分析法。
四、线性网络的几个定理1、叠加定理，叠代定理。
2、戴维南-诺顿定理，特勒根定理。
3、互易定理，对偶原理。
五、含运算放大器的电路分析1、运算放大器，理想运算放大器。
2、含理想运算放大器的电路分析与计算。
六、正弦稳态电路1、正弦量的振幅、频率与相位及有效值。
2、相量分析法，正弦量的相量表示，向量图。
3、R、L、C元件的相量电路、相量表达式、向量图。
4、感抗、容抗、感纳，容纳的概念及与频率的关系。
5、复阻抗、复导纳的概念及其欧姆定律。
6、以阻抗或导纳判断电路的性质。
7、简单及复杂电路的分析计算。
8、正弦稳态电路的功率和能量。
9、有功功率，无功功率，视在功率，复功率和功率因数。
10、最大功率传输。
11、串联、并联谐振，串，并联谐振频率特性。
12、谐振电路的品质因数。
七、具有耦合电感的电路1、互感及互感电压，互感电压的参考方向。
2、电路的伏安关系式。
3、同名端，耦合电感的串、并联、去耦。
4、空心变压器电路的分析。
5、理想变压器与全耦合变压器。
八、三相交流电路1、三相电源，相序，星形、三角形联接。
2、对称三相电路中相电压与线电压，相电流与线电流的关系。
3、对称三相电路的计算，有功功率。
4、无功功率。
瞬时功率，视在功率。
5、不对称三相电路的分析计算。
九、周期性非正弦电流电路1、周期性非正弦函数的傅里叶级数。
2、波形的对称性与傅里叶级数的关系。
割集和环集在电路分析中的应用
割集分入步骤1的电流方 程组，得到：
环集在电路分析中的应用
环集的应用
环集应用的例子
小结
在电路分析中，将KCL定律与割集相结合，KVL定 律与环集相结合，这样分析电路更加的简单明了。 注意在割集的应用中，出现独立电压源的情况（可 能出现假节点）。 注意在环集的应用中，出现独立的电流源的情况。
1.割集 切割：是一种把网络分割成两部分的闭合面。 基本切割：是恰好切断一根树枝的切割，方向是切断 树枝的方向。 割集：基本切割的集合。
2.环集 回路：电路中任意闭合路径。 基本回路：恰好通过一个连枝的回路，回路方向是连 枝电压的方向。 环境：基本回路的集合。
割集的表示
电路的矩阵分析中割集的应用：
信息153班
有向图的介绍
将电路转换成矩阵第一步就是要画出电路的图，一 般采用有向图。具体电路的转化如下所示：
树的基本介绍
树是连接图的全部节点而不包含任何回路的支路的 集合，组成树的支路叫树支，不组成树的支路叫连 支。下图是有向图中的树（图中节点和支路分别为：n，b. 则：树支数
为n-1,,连支数为b-n+1.）
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i2 i1 i4 3A i5 i1 i3 2A i6 i1 i3 i4 1A
假如选择图3－21(b)所示的三个回路电流i2，i3和i4，由于 i3=2A, i4=1A成为已知量，只需用观察法列出电流i2的回路方程
(3 5 1)i2 (1 3) 2A (1) 1A 20V
求解方程得到电流i2
i2 20V 8V 1V 3A 3 5 1
练习题1：选择图示电路的i3，i4和i5作为三个回路电流，
只用一个回路方程求出电流i5； 练习题2：选择选择图示电路的i3，i4和i6作为三个回路 电流，只用一个回路方程求出电流i6。
三、割集分析法
与结点分析法用n-1个结点电压作为变量来建立电
图3－22
解: 为了求得电压u2，作一个封闭面与支路2及其它电阻支
路和电流源支路相交，如图所示，这几条支路构成一个割 集，列出该割集的KCL方程
i4 i5பைடு நூலகம் i2 i3 3A
i4 i5 i2 i3 3A
代入用电压u2表示电阻电流的VCR方程
u u4 1 1 (14V u2 8V ) i5 5 (14V u2 ) 2 2 1 1 u3 u2 1 i2 i3 ( 8V u2 ) 2 1 1 i4
用连通电路的 n-1 个结点电压作为变量，就得到结点电压 方程；假如采用 n-1 个树支电压作为变量，就得到割集方 程。
值得注意的是，当电路中含有独立电流源时，在列写 支路电流方程，网孔方程和回路方程时，由于独立电流源 不是流控元件，不存在流控表达式 u=f(i) ，这些电流源的 电压变量不能从2b方程中消去，还必须保留在方程中，成 为既有电流和又有电流源电压作为变量的一种混合变量方
路方程类似，也可以用n-1个树支电压作为变量来建立
割集的KCL方程。由于选择树支电压有较大的灵活性， 当电路存在m个独立电压源时，其电压是已知量，若 能选择这些树支电压作为变量，就可以少列m个电路 方程。结点分析法只适用连通电路，而割集分析是更 普遍的分析方法。
例3－18用割集分析法重解图3－11电路，只列一个方程求电压 u2。
所需要的各种计算结果。当你用“ 笔”算分析电路遇到
困难时和深入研究某些比较复杂电路的特性时，建议用本 教材提供的计算机程序，可以为你节省大量时间。
郁 金 香
可以证明，n-1条树支电压是一组独立电压变量(它们不构 成回路)，由此可以导出割集分析法。b-n+1条连支电流是一组 独立电流变量(它们不构成割集)，由此可以导出回路分析法。 练习题：选择1，5，6为树支，2，3，4为连支，写出基本割集
和基本回路。
基本割集:{1,4,2},{5,2,4,3},{6,2,3}
i6 i3 i4 i1 0 i6 i1 i3 i4
由一条连支和几条树支构成的回路，称为基本回路。 基本回路:{1,2,6,5},{3,5,6} ,{4,6,2} 基本回路的KVL方程是一组线性无
关的方程组
u1 u2 u6 u5 0
2,5,6为树支,1,3,4为连支
对偶；网孔电流方程与结点电压方程对偶；回路方程与割
集方程对偶。利用这些对偶关系，可以更好地掌握电路分 析的各种方法。
由于分析电路有多种方法，就某个具体电路而言，采
用某个方法可能比另外一个方法好。在分析电路时，就有 选择分析方法的问题。 选择分析方法时通常考虑的因素有 (1) 联立方程数目 少; (2) 列写方程比较容易; (3) 所求解的电压电流就是方程
§3－4 回路分析法和割集分析法
本节先介绍利用独立电流或独立电压
作变量来建立电路方程的另外两种方法-回路分析法和割集分析法，然后对各种电
路分析方法作个总结。
一、图论的几个名词
先介绍图论的几个名词。
1．树(tree)是图论的一个重要概念。图由结点和支路组成，树
是连通图中连通全部结点而不形成回路的子图。构成树的支路 称为树支，连接树支的支路称为连支。由b条支路和n个结点 构成的连通图有n-1条树支和b-n+1条连支。 2．割集(cut set)是图论的另一个重要概念，它是连通图中满足
以下两个条件的支路集合
1) 移去全部支路，图不再连通。 2) 恢复任何一条支路，图必须连通。
KCL可以用割集来陈述：在集总参数电路中，任一时刻， 与任一割集相关的全部支路电流的代数和为零。
例如，按照图示割集可以写出以下KCL方程
i4 i5 i2 i3 3A
由一条树支和几条连支构成的割集，称为基本割集。 基本割集:{2,4,1},{5,1,3},{6,1,3,4} 基本割集的KCL方程是一组线性无 关的方程组
程。这些方程再加上原来的b-n+1个KVL方程，就构成以b
个支路电压作为变量的支路电压法方程。
由于b个支路电压中，只有n-1个独立的电压变量，其 它的支路电压是这些独立电压的线性组合。假如将这种线 性组合关系代入到支路电压方程组中，就得到以 n-1 个独
立电压为变量的KCL方程(结点方程或割集方程)。假如采
当电路由独立电压源和流控电阻元件组成时，将流控
元件的VCR方程{u=f(i)}代入KVL方程中，将支路电压转换 为支路电流，从而得到用b个支路电流表示的b-n+1个KVL 方程。这些方程再加上原来的n-1个KCL方程，就构成以b 个支路电流作为变量的支路电流法方程。
由于b个支路电流中，只有b-n+1个独立的电流变量， 其它的支路电流是这些独立电流的线性组合。假如将这种
基本回路:{2,1,5,6},{4,5,1},{3,5,6}
二、回路分析法
与网孔分析法相似，也可用(b-n+1)个独立回路电
流作变量，来建立回路方程。由于回路电流的选择有
较大灵活性，当电路存在m个电流源时，假如能够让 每个电流源支路只流过一个回路电流，就可利用电流 源电流来确定该回路电流，从而可以少列写m个回路 方程。网孔分析法只适用平面电路，回路分析是更普 遍的分析方法。
线性组合关系代入到支路电流方程组中，就得到以 b-n+1
个独立电流为变量的KVL方程(网孔方程或回路方程)。假 如采用平面电路的 b-n+1个网孔电流作为变量，就得到网 孔电流方程；假如采用 b-n+1 个回路电流作为变量，就得 到回路电流方程。
当电路由独立电流源和压控电阻元件组成时，将压控元 件的 VCR 方程 {i=f(u)} 代入 KCL 方程中，将支路电流转换 为支路电压，从而得到用b个支路电压表示的n-1个KCL方
法。其核心是用数学方式来描述电路中电压电流约束关系的一 组电路方程，这些方程间的关系，如下所示 网孔方程 (b-n+1) 回路方程
支路电流方程 2b方程 (2b) (b) 支路电压方程
结点方程 (n-1) 割集方程
2b 方程是根据 KCL ， KVL 和 VCR 直接列出的支路电 压和支路电流的约束方程，适用于任何集总参数电路，它 是最基本最原始的一组电路方程，由它可以导出其余几种 电路方程。
u3 u5 u6 0 u4 u6 u2 0
树支电压u2，u5 ， u6 是是一组独立电压变量。
u1 u2 u6 u5 0 u1 u5 u6 u2 u3 u5 u6 0 u4 u6 u2 0 u3 u6 u5 u4 u2 u6
图3－21
用观察法列出电流i1的回路方程
(5 3 1)i1 (1 3)i3 (5 3)i4 20V
代入i3=2A, i4=1A，求得电流i1
20V 8V 8V i1 4A 5 3 1
根据支路电流与回路电流的关系可以求得其它支路电流
变量; (4) 个人喜欢并熟悉的某种方法。
例如2b方程的数目虽然最多，但是在已知部分电压电 流的情况下，并不需要写出全部方程来联立求解，只需观 察电路，列出部分 KCL， KVL 和 VCR 方程就能直接求出 某些电压电流，这是从事实际电气工作的人员喜欢采用的
一种方法。
常用网孔分析法和结点分析法来分析复杂电路，这些 方法的优点是联立求解的方程数目少和可以用观察电路的 方法直接写出联立方程组。一般来说，当电路只含有独立 电压源而没有独立电流源时，用网孔分析法显然更容易；
得到以下方程
1 1 1 1 (14V u2 8V ) (14V u2 ) u2 ( 8V u2 ) 3A 2 1 2 1
求解方程得到u2=12V。
四、电路分析方法回顾
到目前为此，我们已经介绍了 2b 方程法，支路电流法及支
路电压法，网孔分析法及回路分析法，结点分析法及割集分析
程。与此相似，当电路中含有独立电压源时，在列写支路
电压方程，结点方程和割集方程时，由于独立电压源不是 压控元件，不存在压控表达式 i=f(u) ，这些电压源的电流 变量不能从2b方程中消去，还必须保留在方程中，成为既 有电压和又有电压源电流作为变量的一种混合变量方程。
从2b分析法导出的几种分析方法中，存在着一种对偶关 系，支路电流分析与支路电压分析对偶；网孔分析与结点 分析对偶；回路分析与割集分析对偶。这些方法对应的方 程也存在着对偶的关系，即支路电流方程与支路电压方程
当电路只含有独立电流源而没有独立电压源时，用结点分
析法显然更容易。必须记住，网孔分析法只适用于平面电 路；结点分析法只适用于连通电路。
以上谈到的是用“ 笔”算方法分析电路时遇到的几 个问题，假若用计算机程序来分析电路，就不必考虑这些 问题了，只要将电路元件连接关系和参数的有关数据告诉 计算机，计算机就能够自动建立电路方程，并求解得到你
例3－17 用回路分析法重解图3－5电路，只列一个方程求电流 i1和 i2。
图3－21
解: 为了减少联立方程数目，让1A和2A电流源支路只流过