概率论与数理统计知识点总结

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概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理

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《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述,要求用运算关系符表示事件: 二、给出事件运算关系符,要求判断其正确性: §1.2 概率古典概型公式:P (A )=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1:将n 个球随机地放到n 个盒中去,问每个盒子恰有1个球的概率是多少?解:设A :“每个盒子恰有1个球”。

求:P(A)=?Ω所含样本点数:n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数:!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2:将3封信随机地放入4个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少?解:设A i :“信箱中信的最大封数为i”。

(i =1,2,3)求:P(A i )=?Ω所含样本点数:6444443==⋅⋅A 1所含样本点数:24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数:363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数:4433=⋅C161644)(3==∴A P注:由概率定义得出的几个性质:知识归纳整理1、0<P (A )<12、P(Ω)=1,P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理:设A 、B 是互不相容事件(AB=φ),则: P (A ∪B )=P (A )+P (B )推论1:设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容,则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2:设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组,则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3: P (A )=1-P (A )推论4:若B ⊃A ,则P(B -A)= P(B)-P(A) 推论5(广义加法公式):对任意两个事件A 与B ,有P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(A B) 补充——对偶律:nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式:P(A/B)=)()(B P AB P (P(B)≠0)P(B/A)= )()(A P AB P (P(A)≠0)∴P (AB )=P (A /B )P (B )= P (B / A )P (A )有时须与P (A+B )=P (A )+P (B )-P (AB )中的P (AB )联系解题。

概率论与数理统计考点归纳

概率论与数理统计考点归纳

概率论与数理统计考点归纳1. 引言概率论与数理统计是数学中的两个重要分支,它们研究随机现象的规律和利用数据推断总体特征。

在实际应用中,概率论与数理统计广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。

本文将从以下几个方面对概率论与数理统计的考点进行归纳和总结。

2. 概率论考点2.1 随机变量与概率分布•随机变量的定义、分类和常见概率分布:离散随机变量、连续随机变量、二项分布、泊松分布、正态分布等。

•期望、方差和协方差的定义和性质,以及它们与随机变量的关系。

•大数定律和中心极限定理的概念和应用。

2.2 一维随机变量的分布特征•分布函数、概率密度函数和概率质量函数的定义和性质。

•分位数和分位点的概念和计算方法。

•随机变量的矩、协方差和相关系数的定义和计算。

•常见分布的特征:均匀分布、指数分布、正态分布等。

2.3 多维随机变量的分布特征•多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布的定义和性质。

•多维随机变量的矩、协方差矩阵和相关系数矩阵的定义和计算。

•多维正态分布的定义和性质,以及多维正态分布的应用。

2.4 随机变量的函数的分布特征•随机变量函数的分布:线性变换、和、积、商的分布。

•随机变量函数的期望、方差和协方差的计算方法。

3. 数理统计考点3.1 抽样与抽样分布•抽样的概念和方法:随机抽样、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样等。

•抽样分布的概念和性质:样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布、样本方差的抽样分布等。

•中心极限定理在抽样分布中的应用。

3.2 参数估计•点估计的概念和方法:矩估计、最大似然估计等。

•点估计的性质:无偏性、有效性、一致性等。

•置信区间的定义和计算方法。

3.3 假设检验•假设检验的基本步骤:建立原假设和备择假设、选择检验统计量、确定显著性水平、计算拒绝域、做出判断。

•假设检验的错误和功效:第一类错误、第二类错误和功效的概念和计算。

•常见假设检验方法:正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验、两样本均值的假设检验等。

概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)80669

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《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2.样本空间、随机事件1.事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生φ=⋂B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件2.运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃)( ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3.频率与概率定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件:(1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P(3)可列可加性:设n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件,有∑===nk kn k kA P A P 11)()(Y (n 可以取∞)2.概率的一些重要性质: (i ) 0)(=φP(ii )若n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件,则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(Y (n 可以取∞)(iii )设A ,B 是两个事件若B A ⊂,则)()()(A P B P A B P -=-,)A ()B (P P ≥ (iv )对于任意事件A ,1)(≤A P(v ))(1)(A P A P -= (逆事件的概率)(vi )对于任意事件A ,B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型(古典概型)等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件,即}{}{}{2]1k i i i e e e A Y ΛY Y =,里个不同的数,则有中某,是,,k k n 2,1i i i ,21ΛΛ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5.条件概率(1) 定义:设A,B 是两个事件,且0)(>A P ,称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

考研数学《概率论与数理统计》知识点总结

考研数学《概率论与数理统计》知识点总结

第一章 概率论的基本概念定义: 随机试验E 的每个结果样本点组成样本空间S ,S 的子集为E 的随机事件,单个样本点为基本事件.事件关系:1.A ⊂B ,A 发生必导致B 发生.2.A B 和事件,A ,B 至少一个发生,A B 发生. 3.A B 记AB 积事件,A ,B 同时发生,AB 发生. 4.A -B 差事件,A 发生,B 不发生,A -B 发生. 5.A B=?,A 与B 互不相容(互斥),A 与B 不能同时发生,基本事件两两互不相容.6.A B=S 且A B=?,A 与B 互为逆事件或对立事件,A 与B 中必有且仅有一个发生,记B=A S A -=.事件运算: 交换律、结合律、分配率略.德摩根律:B A B A =,B A B A =.概率: 概率就是n 趋向无穷时的频率,记P(A). 概率性质: 1.P (?)=0.2.(有限可加性)P (A 1 A 2 … A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n ),A i 互不相容.3.若A ⊂B ,则P (B -A)=P (B)-P (A). 4.对任意事件A ,有)A (1)A (P P -=.5.P (A B)=P (A)+P (B)-P (AB).古典概型: 即等可能概型,满足:1.S 包含有限个元素.2.每个基本事件发生的可能性相同. 等概公式:中样本点总数中样本点数S A )A (==n k P . 超几何分布:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n N k n D N k D p ,其中ra C r a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. 条件概率: )A ()AB ()A B (P P P =. 乘法定理:)A ()A B ()AB C ()ABC ()A ()AB ()AB (P P P P P P P ==.全概率公式:)B ()B A ()B ()B A ()B ()B A ()A (2211n n P P P P P P P +++= ,其中i B 为S 的划分.贝叶斯公式: )A ()B ()B A ()A B (P P P P i i i =,∑==nj j j B P B A P A P 1)()()(或)()()()()()()(B P B A P B P B A P B P B A P A B P +=.独立性: 满足P (AB)=P (A)P (B),则A ,B 相互独立,简称A ,B 独立. 定理一: A ,B 独立,则.P (B |A)=P (B).定理二: A ,B 独立,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也相互独立. 第二章 随机变量及其分布(0—1)分布:k k p p k X P --==1)1(}{,k =0,1 (0<p <1).伯努利实验:实验只有两个可能的结果:A 及A .二项式分布: 记X~b (n ,p ),kn kkn p p C k X P --==)1(}{. n 重伯努利实验:独立且每次试验概率保持不变.其中A 发生k 次,即二项式分布.泊松分布: 记X~π(λ),!}{k e k X P k λλ-==, ,2,1,0=k .泊松定理: !)1(lim k e p p C k kn k knn λλ--∞→=-,其中λ=np .当20≥n ,05.0≤p 应用泊松定理近似效果颇佳.随机变量分布函数: }{)(x X P x F ≤=,+∞<<∞-x .)()(}{1221x F x F x X x P -=≤<.连续型随机变量: ⎰∞-=xt t f x F d )()(,X 为连续型随机变量,)(x f 为X 的概率密度函数,简称概率密度.概率密度性质:1.0)(≥x f ;2.1d )(=⎰+∞∞-x x f ;3.⎰=-=≤<21d )()()(}{1221x x x x f x F x F x X x P ;4.)()(x f x F =',f (x )在x 点连续;5.P {X=a }=0.均匀分布: 记X~U(a ,b );⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,,01)(bx a ab x f ;⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,,,10)(. 性质:对a ≤c <c +l ≤b ,有 指数分布:⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它,,001)(x e x f x θθ;⎩⎨⎧>-=-其它,,001)(x e x F x θ. 无记忆性: }{}{t X P s X t s X P >=>+>. 正态分布: 记),(~2σμN X ;]2)(ex p[21)(22σμσπ--=x x f ;t t x F xd ]2)(ex p[21)(22⎰∞---=σμσπ.性质: 1.f (x )关于x =μ对称,且P {μ-h <X ≤μ}=P {μ<X ≤μ+h };2.有最大值f (μ)=(σπ2)-1.标准正态分布: ]2exp[21)(2x x -=πϕ;⎰∞--=Φxt t x d ]2ex p[21)(2π.即μ=0,σ=1时的正态分布X ~N(0,1)性质:)(1)(x x Φ-=-Φ.正态分布的线性转化: 对),(~2σμN X有)1,0(~N X Z σμ-=;且有)(}{}{)(σμσμσμ-Φ=-≤-=≤=x x X P x X P x F .正态分布概率转化:)()(}{1221σμσμ-Φ--Φ=≤<x x x X x P ;1)(2)()(}{-Φ=-Φ-Φ=+<<-t t t t X t P σμσμ.3σ法则: P =Φ(1)-Φ(-1)=68.26%;P =Φ(2)-Φ(-2)=95.44%;P =Φ(3)-Φ(-3)=99.74%,P 多落在(μ-3σ,μ+3σ)内. 上ɑ分位点: 对X~N(0,1),若z α满足条件P {X>z α}=α,0<α<1,则称点z α为标准正态分布的上α分位点.常用 上ɑ分位点: 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 3.0902.5762.3261.9601.6451.282Y 服从自由度为1的χ2分布:设X 密度函数f X (x ),+∞<<∞-x ,若Y=X 2,则⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=000)]()([21)(y y y f y f y y f X XY ,,若设X ~N(0,1),则有⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--00021)(221y y e y y f y Y ,,π定理:设X 密度函数f X (x ),设g (x )处处可导且恒有g ′(x )>0(或g ′(x )<0),则Y=g (X)是连续型随机变量,且有h (y )是g (x )的反函数;①若+∞<<∞-x ,则α=min{g (?∞),g (+∞)},β=max{g (?∞),g (+∞)};②若f X (x )在[a ,b ]外等于零,g (x )在[a ,b ]上单调,则α=min{g (a ),g (b )},β=max{g (a ),g (b )}.应用: Y=aX +b ~N(a μ+b ,(|a |σ)2).第三章 多维随机变量及其分布二维随机变量的分布函数:分布函数(联合分布函数):)}(){(),(y Y x X P y x F ≤≤= ,记作:},{y Y x X P ≤≤.),(),(),(),(},{112112222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤<.F (x ,y )性质: 1.F (x ,y )是x 和y 的不减函数,即x 2>x 1时,F (x 2,y )≥F (x 1,y );y 2>y 1时,F (x ,y 2)≥F (x ,y 1). 2.0≤F (x ,y )≤1且F (?∞,y )=0,F (x ,?∞)=0,F (?∞,?∞)=0,F (+∞,+∞)=1. 3.F (x +0,y )=F (x ,y ),F (x ,y +0)=F (x ,y ),即F (x ,y )关于x 右连续,关于y 也右连续. 4.对于任意的(x 1,y 1),(x 2,y 2),x 2>x 1,y 2>y 1,有P {x 1<X ≤x 2,y 1<Y ≤y 2}≥0.离散型(X ,Y ):0≥ij p ,111=∑∑∞=∞=ij j i p ,ij yy x x p y x F i i ∑∑=≤≤),(.连续型(X ,Y ):v u v u f y x F yxd d ),(),(⎰⎰∞-∞-=.f (x ,y )性质: 1.f (x ,y )≥0.2.1),(d d ),(=∞∞=⎰⎰∞∞-∞∞-F y x y x f .3.y x y x f G Y X P G⎰⎰=∈d d ),(}),{(. 4.若f (x ,y )在点(x ,y )连续,则有),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂.n 维: n 维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展,性质与二维类似.边缘分布: F x (x ),F y (y )依次称为二维随机变量(X ,Y )关于X 和Y 的边缘分布函数,F X (x )=F (x ,∞),F Y (y )=F (∞,y ). 离散型: *i p 和j p *分别为(X ,Y )关于X 和Y 的边缘分布律,记}{1i ij j i x X P p p ==∑=∞=*,}{1j ij i j y Y P p p ==∑=∞=*. 连续型:)(x f X ,)(y f Y 为(X ,Y )关于X 和Y 的边缘密度函数,记⎰∞∞-=y y x f x f X d ),()(,⎰∞∞-=x y x f y f Y d ),()(. 二维正态分布:]})())((2)([)1(21exp{121),(2222212121212221σμσσμμρσμρρσπσ-+-------=y y x x y x f . 记(X ,Y )~N (μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)]2)(exp[21)(21211σμσπ--=x x f X ,∞<<∞-x .]2)(exp[21)(22222σμσπ--=y y f Y ,∞<<∞-y . 离散型条件分布律:jij j j i j i p p y Y P y Y x X P y Y x X P *=======}{},{}{.*=======i ij i j i i j p p x X P y Y x X P x X y Y P }{},{}{.连续型条件分布:条件概率密度:条件分布函数:含义:当0→ε时,)|(d )|(}|{||y x F x y x f y Y y x X P Y X xY X =≈+≤<≤⎰∞-ε.均匀分布: 若⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x Ay x f ,则称(X ,Y)在G 上服从均匀分布. 独立定义:若P {X ≤x ,Y ≤y }=P {X ≤x }P {Y ≤y },即F (x ,y )=F x (x )F y (y ),则称随机变量X 和Y 是相互独立的. 独立条件或可等价为:连续型:f (x ,y )=f x (x )f y (y );离散型:P {X =x i ,Y =y j }=P {X =x i }P {Y =y j }.正态独立: 对于二维正态随机变量(X ,Y ),X 和Y 相互对立的充要条件是:参数ρ=0.n 维延伸: 上述概念可推广至n 维随机变量,要注意的是边缘函数或边缘密度也是多元(1~n -1元)的.定理:设(X 1,X 2,…,X m )和(Y 1,Y 2,…,Y n )相互独立,则X i 和Y j 相互独立.又若h ,g 是连续函数,则h (X 1,X 2,…,X m )和g (Y 1,Y 2,…,Y n )相互独立.Z=X+Y 分布: 若连续型(X ,Y )概率密度为f (x ,y ),则Z=X+Y 为连续型且其概率密度为 ⎰∞∞-+-=y y y z f z f Y X d ),()(或⎰∞∞-+-=x x z x f z f Y X d ),()(.f X 和f Y 的卷积公式: 记⎰∞∞-+-==y y f y z f z f f f Y X Y X Y X d )()()(*⎰∞∞--=x x z f x f Y X d )()(,其中除继上述条件,且X 和Y 相互独立,边缘密度分别为f X (x )和f Y (y ).正态卷积:若X 和Y 相互独立且X ~N (μ1,σ12),记Y ~N (μ2,σ22),则对Z=X+Y 有Z ~N (μ1+μ2,σ12+σ22).1.上述结论可推广至n 个独立正态随机变量.2.有限个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布. 伽马分布:记),(~θαΓX ,0>α,0>θ.⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他,,00)(1)(1x e x x f x θαααθ,其中⎰+∞--=Γ01d )(t e t tαα.若X 和Y 独立且X ~Γ(α,θ),记Y ~Γ(β,θ),则有X+Y~Γ(α+β,θ).可推广到n 个独立Γ分布变量之和.XYZ =: ⎰∞∞-=x xz x f x z f X Y d ),()(,若X 和Y 相互独立,则有⎰∞∞-=x xz f x f x z f Y X X Y d )()()(.XYZ =分布: ⎰∞∞-=xxzx f x z f XY d ),(1)(,若X 和Y 相互独立,则有⎰∞∞-=x x z f x f x z f Y X XY d )()(1)(. 大小分布:若X 和Y 相互独立,且有M =max{X ,Y }及N =min{X ,Y },则M 的分布函数:F max (z )=F X (z )F Y (z ),N 的分布函数:F min (z )=1-[1-F X (z )][1-F Y (z )],以上结果可推广到n 个独立随机变量的情况.第四章 随机变量的数字特征数学期望: 简称期望或均值,记为E (X );离散型:k k k p x X E ∑=∞=1)(.连续型:⎰∞∞-=x x xf X E d )()(.定理: 设Y 是随机变量X 的函数:Y =g (X )(g 是连续函数).1.若X 是离散型,且分布律为P {X =x k }=p k ,则:k k k p x g Y E )()(1∑=∞=.2.若X 是连续型,概率密度为f (x ),则:⎰∞∞-=x x f x g Y E d )()()(.定理推广: 设Z 是随机变量X ,Y 的函数:Z =g (X ,Y )(g 是连续函数).1.离散型:分布律为P {X =x i ,Y =y j }=p ij ,则:ij j i i j p y x g Z E ),()(11∑∑=∞=∞=. 2.连续型:⎰⎰∞∞-∞∞-=y x y x f y x g Z E d d ),(),()(期望性质:设C 是常数,X 和Y 是随机变量,则:1.E (C )=C .2.E (CX )=CE (X ).3.E (X +Y )=E (X )+E (Y ). 4.又若X 和Y 相互独立的,则E (XY )=E (X )E (Y ).方差: 记D (X )或Var(X ),D (X )=Var(X )=E {[X -E (X )]2}.标准差(均方差): 记为σ(X ),σ(X )= .通式:22)]([)()(X E X E X D -=. k k k p X E x X D 21)]([)(-∑=∞=,⎰∞∞--=x x f x E x X D d )()]([)(2.标准化变量:记σμ-=x X *,其中μ=)(X E ,2)(σ=X D ,*X 称为X 的标准化变量. 0)(*=X E ,1)(*=X D .方差性质: 设C 是常数,X 和Y 是随机变量,则:1.D (C )=0. 2.D (CX )=C 2D (X ),D (X +C )=D (X ).3.D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2E {(X -E (X ))(Y -E (Y ))},若X ,Y 相互独立D (X +Y )=D (X )+D (Y ). 4.D (X )=0的充要条件是P {X =E (X )}=1.正态线性变换: 若),(~2ii iN X σμ,i C 是不全为0的常数,则),(~22112211i i ni i i ni n n C C N X C X C X C σμ∑∑+++== .切比雪夫不等式:22}{εσεμ≤≥-X P 或221}{εσεμ-≥<-X P ,其中)(X E =μ,)(2X D =σ,ε为任意正数.协方差:记)]}()][({[),Cov(Y E Y X E X E Y X --=.X 与Y 的相关系数:)()(),Cov(Y D X D Y X XY =ρ.D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov(X ,Y ),Cov(X ,Y )=E (XY )-E (X )E (Y ).性质: 1.Cov(aX ,bY )=ab Cov(X ,Y ),a ,b 是常数.2.Cov(X 1+X 2,Y )=Cov(X 1,Y )+Cov(X 2,Y ). 系数性质:令e =E [(Y -(a +bX ))2],则e 取最小值时有)()1(]))([(2200min Y D X b a Y E e XY ρ-=+-=,其中)()(00X E b Y E a -=,)(),Cov(0X D Y X b =.1.|ρXY |≤1.2.|ρXY |=1的充要条件是:存在常数a ,b 使P {Y =a +bX }=1.|ρXY |越大e 越小X 和Y 线性关系越明显,当|ρXY |=1时,Y =a +bX ;反之亦然,当ρXY =0时,X 和Y 不相关. X 和Y 相互对立,则X 和Y 不相关;但X 和Y 不相关,X 和Y 不一定相互独立. 定义: k 阶矩(k 阶原点矩):E (X k ). n 维随机变量X i 的协方差矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n c c c c c c c c c 212222111211C , =E {[X i -E (X i )][X j -E (X j )]}. k +l 阶混合矩:E (X k Y l).k 阶中心矩:E {[X -E (X )] k }.k +l 阶混合中心矩: E {[X -E (X )]k [Y -E (Y )]l }.n 维正态分布:)}()(21ex p{det )2(1),,,(1T 221μX C μX C ---=-n n x x x f π ,T21T 21),,,(),,,(n n x x x μμμ ==μX .性质:1.n 维正态随机变量(X 1,X 2,…,X n )的每一个分量X i (i =1,2,…,n )都是正态随机变量,反之,亦成立. 2.n 维随机变量(X 1,X 2,…,X n )服从n 维正态分布的充要条件是X 1,X 2,…,X n 的任意线性组合l 1X 1+l 2X 2+…+l n X n 服从一维正态分布(其中l 1,l 2,…,l n 不全为零).3.若(X 1,X 2,…,X n )服从n 维正态分布,且Y 1,Y 2,…,Y k 是X j (j =1,2,…,n )的线性函数,则(Y 1,Y 2,…,Y k )也服从多维正态分布.4.若(X 1,X 2,…,X n )服从n 维正态分布,则“X i 相互独立”与“X i 两两不相关”等价.第五章 大数定律及中心极限定理弱大数定理:若X1,X2,…是相互独立并服从同一分布的随机变量序列,且E(X k)=μ,则对任意ε>0有11lim1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμknknXnP或→μPX,knkXnX11=∑=.定义:Y1,Y2,…,Y n ,…是一个随机变量序列,a是一个常数.若对任意ε>0,有则称序列Y1,Y2,…,Yn,…依概率收敛于a.记伯努利大数定理:对任意ε>0有1lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εpnfP An或0lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εpnfP An.其中f A是n次独立重复实验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率.中心极限定理定理一:设X1,X2,…,X n ,…相互独立并服从同一分布,且E(X k)=μ,D(X k)=σ2 >0,则n→∞时有σμnnXknk)(1-∑=N(0,1)或nXσμ-~N(0,1)或X~N(μ,n2σ).定理二:设X1,X2,…,X n ,…相互独立且E(X k)=μ k,D(X k)=σ k2 >0,若存在δ>0使n→∞时,}|{|1212→-∑+=+δδμkknknXEB,则nknkknkBX)(11μ==∑-∑~N(0,1),记212knknBσ=∑=.定理三:设),(~pnbnη,则n→∞时,Npnpnpn~)1()(--η(0,1),knknX1=∑=η.第六章样本及抽样分布定义:总体:全部值;个体:一个值;容量:个体数;有限总体:容量有限;无限总体:容量无限.定义:样本:X1,X2,…,X n 相互独立并服从同一分布F的随机变量,称从F得到的容量为n的简单随机样本.频率直方图:图形:以横坐标小区间为宽,纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形.横坐标:数据区间(大区间下限比最小数据值稍小,上限比最大数据值稍大;小区间:均分大区间,组距Δ=大区间/小区间个数;小区间界限:精度比数据高一位).图形特点:外轮廓接近于总体的概率密度曲线.纵坐标:频率/组距(总长度:<1/Δ;小区间长度:频率/组距).定义:样本p分位数:记x p,有1.样本x i中有np个值≤x p.2.样本中有n(1-p)个值≥x p.箱线图:x p选择:记⎪⎩⎪⎨⎧∈+∉=++NnpxxNnpxxnpnpnpp当,当,][211)()()1]([.分位数x0.5,记为Q2或M,称为样本中位数.分位数x0.25,记为Q1,称为第一四分位数.分位数x0.75,记为Q3,称为第三四分位数.图形:图形特点:M为数据中心,区间[min,Q1],[Q1,M],[M,Q3],[Q3,max]数据个数各占1/4,区间越短数据密集.四分位数间距:记IQR=Q3-Q1;若数据X<Q1-1.5IQR或X>Q3+1.5IQR,就认为X是疑似异常值.抽样分布:样本平均值:样本方差:样本标准差:样本k阶(原点)矩:kinikXnA11=∑=,k≥1 样本k阶中心矩:kinikXXnB)(11-∑==,k≥2经验分布函数:)(1)(xSnxFn=,∞<<∞-x.)(xS表示F的一个样本X1,X2,…,X n 中不大于x的随机变量的个数.自由度为n 的χ2分布:记χ2~χ2(n),222212nXXX+++=χ,其中X1,X2,…,X n是来自总体N(0,1)的样本.E(χ2 )=n,D(χ2 )=2n.χ12+χ22~χ2(n1+n2).⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他,,)2(21)(2122yexnyfynn.χ2分布的分位点:对于0<α<1,满足αχχαχα==>⎰∞yyfnPn)(222d)()}({,则称)(2nαχ为)(2nχ的上α分位点.当n充分大时(n>40),22)12(21)(-+≈nznααχ,其中αz是标准正态分布的上α分位点.自由度为n 的t分布:记t~t(n),nYXt/=,其中X~N(0,1),Y~χ2(n),X,Y相互独立.h(t)图形关于t=0对称;当n充分大时,t分布近似于N(0,1)分布.t分布的分位点:对于0<α<1,满足ααα==>⎰∞t t hnttPnt)(d)()}({,则称)(ntα为)(nt的上α分位点.~ 近似的min Q1 M Q3 max由h (t )对称性可知t 1-α(n )=-t α(n ).当n >45时,t α(n )≈z α,z α是标准正态分布的上α分位点.自由度为(n 1,n 2)的F分布: 记F ~F (n 1,n 2),21n V n U F=,其中U~χ2(n 1),V~χ2(n 2),X ,Y 相互独立.1/F ~F (n 2,n 1) F 分布的分位点:对于0<α<1,满足αψαα==>⎰∞y y n n F FP n n F ),(2121d )()},({,则称),(21n n F α为),(21n n F 的上α分位点.重要性质:F 1-α(n 1,n 2)=1/F α(n 1,n 2).定理一: 设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ,σ2)的样本,则有),(~2n N X σμ,其中X 是样本均值.定理二:设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ,σ2)的样本,样本均值和样本方差分别记为 X ,2S ,则有1.)1(~)1(222--n S n χσ;2.X 与2S 相互独立.定理三:设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ,σ2)的样本,样本均值和样本方差分别记为X ,2S ,则有)1(~--n t nS X μ.定理四:设X 1,X 2,…,X n 1 与Y 1,Y 2,…,Y n 2分别是来自N (μ1,σ12)和N (μ2,σ22)的样本,且相互独立.设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为 X ,Y ,21S,22S,则有1.)1,1(~2122212221--n n F S S σσ.2.当σ12=σ22=σ2时,)2(~)()(21121121-++-----n n t n n S Y X w μμ,其中2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w,2w w S S =. 第七章 参数估计定义: 估计量:),,,(ˆ21n X X X θ,估计值:),,,(ˆ21nx x x θ,统称为估计. 矩估计法:令)(ll X E =μ=li n i l X n A 11=∑=(k l ,,2,1 =)(k 为未知数个数)联立方程组,求出估计θˆ. 设总体X 均值μ及方差σ2都存在,则有 X A ==1ˆμ,212212122)(11ˆX X n X X n A A i n i i n i -∑=-∑=-===σ. 最大似然估计法:似然函数:离散:);()(1θθi ni x p L =∏=或连续:);()(1θθi ni x f L =∏=,)(θL 化简可去掉与θ无关的因式项.θˆ即为)(θL 最大值,可由方程0)(d d=θθL 或0)(ln d d=θθL 求得. 当多个未知参数θ1,θ1,…,θk 时:可由方程组0d d =L i θ或0ln d d =L iθ(k i ,,2,1 =)求得. 最大似然估计的不变性:若u =u (θ)有单值反函数θ=θ(u ),则有)ˆ(ˆθu u=,其中θˆ为最大似然估计. 截尾样本取样: 定时截尾样本:抽样n 件产品,固定时间段t 0内记录产品个体失效时间(0≤t 1≤t 2≤…≤t m ≤t 0)和失效产品数量. 定数截尾样本:抽样n 件产品,固定失效产品数量数量m 记录产品个体失效时间(0≤t 1≤t 2≤…≤t m ).结尾样本最大似然估计: 定数截尾样本:设产品寿命服从指数分布X~e (θ),θ即产品平均寿命.产品t i 时失效概率P {t =t i }≈f (t i )d t i ,寿命超过t m 的概率θm t m et tF -=>}{,则)(}){()(1i mi mn m m nt P t t F CL =-∏>=θ,化简得)(1)(m t s m e L ---=θθθ,由0)(ln d d =θθL 得:mt s m )(ˆ=θ,其中s (t m )=t 1+t 2+…+t m +(n -m )t m ,称为实验总时间. 定时截尾样本:与定数结尾样本讨论类似有s (t 0)=t 1+t 2+…+t m +(n -m )t 0,)(01)(t s m e L ---=θθθ,mt s )(ˆ0=θ,. 无偏性: 估计量),,,(ˆ21nX X X θ的)ˆ(θE 存在且θθ=)ˆ(E ,则称θˆ是θ的无偏估计量. 有效性:),,,(ˆ211n X X X θ与),,,(ˆ212n X X X θ都是θ的无偏估计量,若)ˆ()ˆ(21θθD D ≤,则1ˆθ较2ˆθ有效.相合性: 设),,,(ˆ21nX X X θθ的估计量,若对于任意0>ε有1}|ˆ{|lim =<-∞→εθθP n ,则称θˆ是θ的相合估计量. 置信区间:αθθθ-≥<<1)},,,(),,,({2121n n X X X X X X P ,θ和θ分别为置信下限和置信上限,则),(θθ是θ的一个置信水平为α-1置信区间,α-1称为置信水平,10<<α.正态样本置信区间: 设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X ~N (μ,σ2)的样本,则有μ的置信区间:枢轴量W W 分布 a ,b 不等式 置信水平 置信区间其中z α/2为上α分位点 θ置信区间的求解: 1.先求枢轴量:即函数W =W (X 1,X 2,…,X n ;θ),且函数W 的分布不依赖未知参数.如上讨论标注2.对于给定置信水平α-1,定出两常数a ,b 使P {a <W <b }=α-1,从而得到置信区间.(0-1)分布p 的区间估计:样本容量n >50时,⇒--∞→)1,0(~)1()(lim N p np np X n n {}⇒-≈<--αα1)1()(2z p np np X n P0)2()(222222<++-+X n p z X n p z n αα⇒若令22αz n a +=,)2(22αz X n b +-=,2X n c =,则有置信区间(a ac b b 2)4(2---,a ac b b 2)4(2-+-).单侧置信区间: 若αθθ-≥>1}{P 或αθθ-≥<1}{P ,称(θ,∞)或(∞-,θ)是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间.正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限(置信水平为α-1)待估 其他 枢轴量W 的分布置信区间单侧置信限一个正态总体μσ2已知ασμz nX +=,ασμz nX -=μ σ2未知αμt n S X +=,αμt nSX -= σ2μ未知2122)1(αχσ--=S n ,222)1(αχσS n -=两个正态总体 μ1-μ2 σ12,σ22 已知μ1-μ2 σ12=σ22=σ2 未知σ12/σ22μ1,μ2 未知ασσ-=1222122211F S S ,ασσF S S 122212221=单个总体X ~N (μ,σ2),两个总体X ~N (μ1,σ12),Y ~N (μ2,σ22).第八章 假设实验定义: H 0:原假设或零假设,为理想结果假设;H 1:备择假设,原假设被拒绝后可供选择的假设. 第Ⅰ类错误:H 0实际为真时,却拒绝H 0.第Ⅱ类错误:H 0实际为假时,却接受H 0.显着性检验:只对犯第第Ⅰ类错误的概率加以控制,而不考虑第Ⅱ类错误的概率的检验.P {当H 0为真拒绝H 0}≤α,α称为显着水平.拒绝域:取值拒绝H 0.临界点:拒绝域边界.双边假设检验:H 0:θ=θ0,H 1:θ≠θ0.右边检验:H 0:θ≤θ0,H 1:θ>θ0.左边检验:H 0:θ≥θ0,H 1:θ<θ0.正态总体均值、方差的检验法(显着性水平为α)原假设H 0备择假设H 1检验统计量拒绝域 1 σ2已知μ≤μ0μ>μ0z ≥z α μ≥μ0 μ<μ0 z ≤-z α μ=μ0μ≠μ0|z |≥z α/22 σ2未知μ≤μ0μ>μ0t≥tα(n-1) μ≥μ0μ<μ0t≤-tα(n-1) μ=μ0μ≠μ0|t|≥tα/2(n-1)3 σ1,σ2已知μ1-μ2≤δμ1-μ2>δz≥zαμ1-μ2≥δμ1-μ2<δz≤-zαμ1-μ2=δμ1-μ2≠δ|z|≥zα/24 σ12=σ22=σ2未知μ1-μ2≤δμ1-μ2>δt≥tα(n1+n2-2)μ1-μ2≥δμ1-μ2<δt≤-tα(n1+n2-2)μ1-μ2=δμ1-μ2≠δ|t|≥tα/2(n1+n2-2)5 μ未知σ2≤σ02σ2>σ02χ2≥χα2(n-1)σ2≥σ02σ2<σ02χ2≤χ21-α(n-1)σ2=σ02σ2≠σ02χ2≥χ2α/2(n-1)或χ2≤χ21-α/2(n-1)6 μ1,μ2未知σ12≤σ22σ12>σ22F≥Fα(n1-1,n2-1)σ12≥σ22σ12<σ22F≤F1-α(n1-1,n2-1)σ12=σ22σ12≠σ22F≥Fα/2(n1-1,n2-1)或F≤F1-α/2(n1-1,n2-1)7成对数据μD≤0 μD>0 t≥tα(n-1)μD≥0 μD<0 t≤-tα(n-1)μD=0 μD≠0 |t|≥tα-2(n-1)检验方法选择:主要是逐对比较法(成对数据)跟两个正态总体均值差的检验的区别,如上表即7跟3、4的区别,成对数据指两样本X和Y之间存在一一对应关系,而3和4一般指X和Y相互对立,但针对同一实体.关系:置信区间与假设检验之间的关系:未知参数的置信水平为1-α的置信区间与显着水平为α的接受域相同.定义:施行特征函数(OC函数):β(θ)=Pθ(接受H0).功效函数:1-β(θ).功效:当θ*∈H1时,1-β(θ*)的值.。

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《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2.样本空间、随机事件1.事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ,指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件,指当且仅当 A ,B 中至少有一个发生时,事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件,指当A,B 同时发生时,事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件,指当且仅当 A 发生、B 不发生时,事件 A — B 发生A B ,则称事件 A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件 A 与事件 B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的A B S A B ,则称事件 A 与事件 B 互为逆事件,又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2.运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A (B C)(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3.频率与概率定义在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数,比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率:设E是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件的概率1.概率P( A)满足下列条件:(1)非负性:对于每一个事件 A 0 P( A) 1(2)规范性:对于必然事件S P (S) 11(3)可列可加性:设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件,有nn nP A k ) P( A) ( (n可kk 1 k 1以取)2.概率的一些重要性质:(i )P( ) 0(ii )若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件,则有n Pn n( (n可以取)A k ) P( A )kk 1 k 1(iii )设A,B 是两个事件若 A B ,则P(B A) P( B) P( A) ,P( B) P(A) (iv)对于任意事件A,P(A) 1(v)P( A) 1 P(A) (逆事件的概率)(vi)对于任意事件A,B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型(古典概型)等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件,即{e i } {e } {e }A ,里1 i i k] 2,k是,中某个不同的数,则有i1 i 2, ,i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5.条件概率(1)定义:设A,B 是两个事件,且P( A) 0 ,称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率(2)条件概率符合概率定义中的三个条件。

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概率论与数理统计总结3、分布函数与概率的关系 ∞<<∞-≤=x x X P x F ),()()()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk(2) 二项分布 ),(p n B nk p p C k X P k n k k n,,1,0,)1()( =-==- 泊松定理 0lim >=∞→λnn np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p Ckkn n knk nn λλ(3) 泊松分布 )(λP =,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ(5)几何分布 p q k p q k X P k -====-1,2,1}{1dt t f x F x ⎰∞-=)()(则称X 为连续型随机变量,其中函数f(x)称为随机变量X 的概率密度函数, 2、分布函数的性质:(1)连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。

(2)对于连续型随机变量X 来说,它取任一指定实数a 的概率均为零,即P{X=a }=0。

3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x ex x F xλ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x ex f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=xt tex F d 21)(222)(σμσπN (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x xt d 21)(22π2、连续型随机变量函数的分布: (1)分布函数法;(){}⎰⎰<==∈=yx g X l X yYdxx f dx x f l X P y F y)()()((2)设随机变量X 具有概率密度f X (x ),又设函数g(x )处处可导且恒有g '(x )>0 (或恒有g '(x )<0) ,则Y=g(X )的概率密度为()()[]()⎩⎨⎧<<'=其他βαy y h y h f y f XY 其中x =h(y )为y =g(x )的反函数,()()()()()()∞+∞-=∞+∞-=g g g g ,m ax ,,m in βα 3、 二维连续型随机变量(1)联合分布函数为dudvv u f y x F y x ⎰⎰∞-∞-=),(),(函数f (x ,y )称为二维向量(X ,Y )的(联合)概率密度.其中: 0),(≥y x f ,⎰⎰∞∞-∞∞-=1),(dxdy y x f(2)基本二维连续型随机向量分布均匀分布:⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他),(1),(G y x Ay x f二维正态分布:+∞<<-∞+∞<<∞--=-+------y x ey x f y y x x ,121),(])())((2)([)1(212212222212121212σμσσμμρσμρρσπσ3、离散型边缘分布律:4、 连续型边缘概率密度 ,),()(dy y x f x f X⎰∞+∞-= dx y x f y f Y⎰∞+∞-=),()(F (x ,y )=F x (x )F Y (y ) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X ,Y )是连续型随机变量,f (x ,y ),f x (x ),f Y (y )分别为(X ,Y )的概率密度和边缘概率密度,则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x ,y ) = f x (x )f Y (y ) 对f (x ,y ),f x (x ),f Y (y )的所有连续点成立. 五、条件分布1、离散型随机变量的条件分布律: (3)条件分布函数:2、连续型随机变量的条件分布 (1)条件分布函数⎰⎰∞-∞-==x Y Y X Y x YX du y f y u f y x F y f du y u f y x F )(),()|()(),()|(||或写成,(2)条件概率密度在Y=y 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|y f y x f y x fY Y X =同理 X=x 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =六、多维随机函数的分布 1、离散型随机变量函数分布:二项分布:设X 和Y 独立,分别服从二项分布b (n 1,p ), 和b (n 2,p ),则 Z=X+Y 的分布律:Z ~b (n 1+n 2,p ).泊松分布:若X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布,则Z=X+Y 服从参数为21λλ+的泊松分布。

概率论与数理统计总结

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第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象:在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象2、样本空间:随机现象的一切可能基本结果组成的集合,记为Ω={ω},其中ω表示基本结果,又称为样本点。

3、随机事件:随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示,Ω表示必然事件,∅表示不可能事件.4、随机变量:用来表示随机现象结果的变量,常用大写字母X、Y、Z等表示。

5、时间的表示有多种:(1)用集合表示,这是最基本形式(2)用准确的语言表示(3)用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系(1)包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B,即事件 A 发生必然导致事件B发生,则称A被包含于B,记为A⊂B;(2)相等关系:若A⊂B且B⊃A,则称事件A与事件B相等,记为A=B。

(3)互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容7、事件运算(1)事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。

(2)事件A与B的交:事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。

(3)事件A对B的差:事件A发生而事件B不发生,记为 A-B。

用交并补可以表示为。

(4)对立事件:事件A的对立事件(逆事件),即“A不发生”,记为.对立事件的性质:。

8、事件运算性质:设A,B,C为事件,则有(1)交换律:A∪B=B∪A,AB=BA(2)结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC(3)分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)、A(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC(4)棣莫弗公式(对偶法则):9、事件域:含有必然事件Ω,并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域,又称为σ代数。

具体说,事件域ξ满足:(1)Ω∈ξ;(2)若A∈ξ,则对立事件∈ξ;(3)若A n∈ξ,n=1,2,···,则可列并ξ。

概率论与数理统计知识点总结(超详细版)

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《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2.样本空间、随机事件1.事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生φ=⋂B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件2.运算规则交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃)())(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3.频率与概率定义在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件:(1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P(3)可列可加性:设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,有∑===nk knk kA P A P 11)()( (n 可以取∞)2.概率的一些重要性质: (i ) 0)(=φP(ii )若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,则有∑===nk kn k kA P A P 11)()((n 可以取∞)(iii )设A ,B 是两个事件若B A ⊂,则)()()(A P B P A B P -=-,)A ()B (P P ≥ (iv )对于任意事件A ,1)(≤A P (v ))(1)(A P A P -=(逆事件的概率)(vi )对于任意事件A ,B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型(古典概型)等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件,即}{}{}{2]1k i i i e e e A =,里个不同的数,则有中某,是,,k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5.条件概率(1) 定义:设A,B 是两个事件,且0)(>A P ,称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

概率论与数理统计各章重点知识整理

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概率论与数理统计各章重点知识整理 第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,当P(A)>0, P(B i )>0时,.六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1)(3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0)三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意:连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ~U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << .(2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0).(3)X~N (μ,σ2 )参数为μ,σ的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ~N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意:Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α. 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法: (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性 ∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度.2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f . (3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X 关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dy y f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六.条件分布1.二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称P{X=x i |Y=y j } 为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律.同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称 P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛),}{},{jji j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====,}{},{∙=====i j i i j i p p x X P y Y x X P函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) . 二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) 1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p) 2.X~ b (n,p) (0<p<1) n pn p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如:样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i X X n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==ni k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2 /n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ~N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2). ③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P 的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X ~t(n)自由度为n 的t 分布.(2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ~N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量. 二.区间估计1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定. (2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-α.(3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求. 2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间μ σ2已知nX σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2未知 nS X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知 22)1(σS n -~ χ2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n Sn n S n ααχχ 3.两个正态总体 (1)均值差μ 1-μ 2其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±-未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w+---μμ~t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w +-+±-α其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.(2) μ 1,μ 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为))1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221----⋅-n n F S S n n F S S αα注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.。

概率论与数理统计总复习知识点归纳

概率论与数理统计总复习知识点归纳

D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式:
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x),求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时,FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时, FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为:
f
( x,
y)

概率论与数理统计知识点总结(PDF)

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概率论与数理统计 知识点总结一、随机事件与概率1.随机事件(1)事件间的关系与运算● 事件的差:A B A AB AB -=-= ● 对立事件:,AA A A =∅⋃=Ω ● 完备事件组:设12,,,,n A A A 是有限或可数个事件,如果其满足:① ,,,1,2,i j A A i j i j =∅≠=; ②i iA =Ω,则称12,,,,n A A A 是一个完备事件组.(2)随机事件的运算律 ● 求和运算:①A B B A +=+(交换律)②()()A B C A B C A B C ++=++=++(结合律) ● 求交运算:①AB BA =(交换律)②()()AB C A BC ABC ==(结合律) ● 求和运算与求交运算的混合:①()()()A B C AB AC +=+(第一分配律) ②()()()A BC A B A C +=++(第二分配律) ● 求对立事件的运算:()A A =(自反律) ● 和及交事件的对立事件:①A B AB +=(第一对偶律) ②AB A B =+(第二对偶律)2.随机事件的概率(1)概率的公理化定义● 公理1:()1P Ω=;公理2:对任意事件A ,有()0P A ≥;公理3:对任意可数个两两不相容的事件12,,,,n A A A ,有11()()i i i i P A P A ∞∞===∑.(2)概率测度的其他性质 ● 性质1:()0P ∅=性质2(有限可加性):12,,,n A A A 是两两互不相容的,则有11()()nni i i i P A P A ===∑性质3:()1()P A P A =-性质4:()()()P A B P A P AB -=-特别地,若A B ⊃,则①()()()P A B P A P B -=-;②()()P A P B ≥ 性质5:0()1P A ≤≤性质6:()()()()P A B P A P B P AB +=+-推论:()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ++=++---+3.古典概型与几何概型(1)古典概型● 古典概型的概率测度:()==A A P A Ω中元素个数使发生的基本事件数中元素个数基本事件总数(2)几何概型● 几何概型的概率测度:()()()S A P A S =Ω 4.条件概率(1)条件概率的数学定义 ●()()(()0)()P AB P B A P A P A =>● ()1()P B A P B A =- ●()1()P B A P B A =-● 条件概率测度满足概率的三条公理:公理1:()1P A Ω=;公理2:对任意事件B ,有()0P B A ≥;公理3:对任意可数个两两不相容的事件12,,,,n A A A ,有11()()i i i i P A A P A A ∞∞===∑.(2)乘法公式 ● ()()(),()0P AB P A P B A P A => ● ()()(),()0P AB P B P A B P B => ● ()()()()P ABC P A P B A P C AB = ●12121312121()()()()()n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=(3)全概率公式● 设{}i A 是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件,且i iA =Ω,则对任意事件B ,有()()()i i iP B P A P B A =∑.(4)贝叶斯公式● 设{}i A 是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件,且1i i A ∞==Ω,则对任意事件B , ()0P B >,有()()()()()()()i i i i j j jP A P B A P A B P A B P B P A P B A ==∑. 5.事件的独立性(1)两个事件的独立性 ●()()()P AB P A P B =(2)有限个事件的独立性● 两两独立:()()()i j i j P A A P A P A = ● 相互独立:1212()()()()k k i i i i i i P A A A P A P A P A =(3)相互独立性的性质 ● 性质1:如果n 个事件12,,,n A A A 相互独立,则将其中任何(1)m m n ≤≤个事件改为相应的对立事件,形成的新的n 个事件仍然相互独立. 性质2:如果n 个事件12,,,n A A A 相互独立,则有1111()1(1())n n ni i i i i i P A P A P A ===⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∏∏(4)伯努利概型● 伯努利定理:在一次试验中,事件A 发生的概率为(01)p p <<,则在n 重伯努利试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为:(;,)C k k n kn b k n p p q-=,其中1q p =-. ● 在伯努利试验序列中,设每次试验中事件A 发生的概率为p ,“事件A 在第k 次试验中才首次发生”(1)k ≥,这一事件的概率为1(,)k g k p q p -=.二、随机变量的分布与数字特征1.随机变量及其分布(1)离散型随机变量的概率分布● 离散型随机变量的概率分布满足性质:①()0,1,2,i p x i ≥=②()1iip x =∑● 一旦知道一个离散型随机变量X 的概率分布{}i p x (),便可求得X 所生成的任何事件的概率.特别地,对任意a b ≤,有{}({}){}()i i i i i i a x ba x ba x bP a X b P X x P X x p x ≤≤≤≤≤≤≤≤=====∑∑.一般地,若I 是一个区间,则{}=()i ix IP X I p x ∈∈∑.(2)分布函数● 随机变量的分布函数性质:①单调性,若12x x <,则12()()F x F x ≤; ②()lim ()0x F F x →-∞-∞==,()lim ()1x F F x →+∞+∞==;③右连续性,(0)()F x F x +=. (3)连续型随机变量及其概率密度 ●(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰,()f x 为X 的概率密度函数.● 密度函数性质:①()0,(,)f x x ≥∈-∞+∞; ②()1f x dx +∞-∞=⎰.● {}()()()b aP a X b F b F a f x dx <≤=-=⎰● {}0P X x ==(连续型)●'()()F x f x =2.随机变量的数字特征(1)离散型随机变量的数学期望 ●1=i i i EX x p ∞=∑(2)连续型随机变量的数学期望 ●()EX xf x dx +∞-∞=⎰(3)随机变量函数的数学期望● 设X 是一个随机变量,()g x 是一个实函数.①若X 为离散型随机变量,概率分布为{},1,2,i i P X x p i ===.且1()iii g x p∞=<∞∑,则()Eg X 存在,且1()()i i i Eg X g x p ∞==∑.②若X 为连续型随机变量,()f x 是其密度函数,且()()g x f x dx +∞-∞<∞⎰,则()Eg X 存在,且()()()Eg X g x f x dx +∞-∞=⎰.(4)数学期望的性质● ①对任意常数a ,有Ea a =;②设12,αα为任意实数,12(),()g x g x 为任意实函数,如果12(),()Eg X Eg X 均存在,则11221122[()()]()()E g X g X Eg X Eg X αααα+=+;③如果EX 存在,则对任意实数a ,有()E X a EX a +=+. (5)随机变量的方差 ● 离差:X EX -● 方差:2()DX E X EX =-● ● ①若X 为离散型随机变量,其概率分布为{},1,2,i i P X x p i ===,则22()()i i iDX E X EX x EX p =-=-∑②若X 为连续型随机变量,()f x 为其密度函数,则22()()()DX E X EX x EX f x dx +∞-∞=-=-⎰③22()DX EX EX =-● 方差的基本性质:设X 的方差DX 存在,a 为任意常数,则 ①0Da =;②()D X a DX +=; ③2()D aX a DX =.(6)随机变量的矩与切比雪夫不等式● 矩定义:X 为一个随机变量,k 为正整数,如果kEX 存在(即kE X<∞),则称kEX 为X的k 阶原点矩,称kE X 为X 的k 阶绝对矩.定理:随机变量X 的t 阶矩存在,则其s 阶矩(s t <为正整数)也存在. 推论:设k 为正整数,C 为常数,如果kEX 存在,则()kE X C +存在,特别地,)k E X EX -(存在.● 中心矩定义:X 为一个随机变量,k 为正整数,如果k EX 存在,则称()kE X EX -为X 的k阶中心矩,称kE X EX -为X 的k 阶绝对中心矩.● 定理:设()h x 是x 的一个非负函数,X 是一个随机变量,且()Eh X 存在,则对任意0ε>,有(){()}Eh X P h X εε≥≤.推论1(马尔可夫不等式):设X 的k 阶矩存在(k 为正整数),即kE X <∞,则对任意0ε>有{}kkE XP X εε≥≤.推论2(切比雪夫不等式):设X 的方差存在,则对任意0ε>有2{}DXP X EX εε-≥≤.推论3:随机变量X 的方差为0当且仅当存在一个常数a ,使得{}=1P X a =.3.常用的离散型分布,n),n kp -,ndef(,),g k p k =几何分布的无记忆性:设{P X二项分布可作为超几何分布的近似,即1212C C Ck n kk n kN N k n nNN N C N N --⎛⎫⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.这一近似关系的严格数学表述是:当N →∞时,1N →∞,2N →∞,且1N p N →,21Np N→-,则对任意给定的n 和k ,有()12C C lim1Ck n kn kN N k kn nN NC p p --→∞=-.泊松定理:在n 重伯努利试验中,事件A 在每次试验中发生的概率为n p (注意这与试验的次数n 有关),如果n →∞时,n np λ→(0λ>为常数),则对任意给定的k ,有lim (;,)e !kn n b k n p k λλ-→∞=.当二项分布(,)b n p 的参数n 很大,而p 很小时,可以将它用参数为np λ=的泊松分布来近似,即有()(;,)e !k npnp b k n p k -≈.4.常用的连续型分布正态分布● 定理:设2~(,),,,X N Y aX b a b μσ=+为常数,且0a ≠,则22~(,)Y N a b aμσ+.推论1:如果2~(,)X N μσ,则~(0,1)X N μξσ-=.ξ通常称为X 的标准化.推论2:2~(,)X N μσ的充要条件是存在一个随机变量~(0,1)N ξ,使得X σξμ=+. 推论3:设2~(,),(),()X N x x μσϕΦ分别为其分布函数与密度函数,00(),()x x ϕΦ是标准正态分布的分布函数和密度函数,则有00()(),1()().x x x x μσμϕϕσσ-Φ=Φ-=● 一般正态分布的概率计算:【例】已知2~(,)X N μσ,求()a Φ. 解 0(){}{}{}()X a X a P X a P P b b μμμσσσ---Φ=≤=≤=≤=Φ5.随机变量函数的分布(1)离散型随机变量函数的分布● 离散型随机变量函数的概率分布的一般方法:先根据自变量X 的可能取值确定因变量Y 的所有可能取值,然后对Y 的每一个可能取值(1,2,)i y i =确定相应的{()}i j j i C x g x y ==,则有{}{()}{},{}{}{},j ii i i i i jx C Y y g X y X C P Y y P X C P X x ∈====∈==∈==∑从而求得Y 的概率分布. (2)连续型随机变量函数的分布● 连续型随机变量函数的概率分布的一般方法:一般地,已知X 的分布函数()X F x 或密度函数()X f x ,为求()Y g X =的分布函数,有()(){()}{},Y x F x P Y x P g X x P X C =≤=≤=∈其中{()}x C t g t x =≤.而{}x P X C ∈往往可由X 的分布函数()X F x 来表达或用其密度函数()X f x 的积分来表达:{}()xx X C P X C f t dt ∈=⎰.进而,Y 的密度函数,可直接从()Y F x 导出.三、随机向量1.随机向量的分布(1)随机向量及其分布函数 ●1212{,}P x X x y Y y <≤<≤22122111(,)(,)(,)(,)F x y F x y F x y F x y =--+● 由(联合)分布函数的定义得出性质:①0(,)1F x y ≤≤;②(,)F x y 关于x 和y 均单调非降、右连续; ③(,)lim (,)0,x F y F x y →-∞-∞==(,)lim (,)0,y F x F x y →-∞-∞==(,)(,)(,)lim (,)0,x y F F x y →-∞-∞-∞-∞== (,)(,)(+,+)lim(,) 1.x y F F x y →+∞+∞∞∞==●(,)F x y 的边缘分布函数:(){}{,}(,)X F x P X x P X x Y F x =≤=≤<+∞=+∞, (){}{,}(,)Y F y P Y y P X Y y F y =≤=<+∞≤=+∞.(2)离散型随机向量的概率分布● 离散型随机向量的概率分布{,},,1,2,i i ij P X x Y y p i j ====,ij p 满足性质:①0,,1,2,ij p i j ≥=;②1ijijp=∑∑.● 边缘概率分布:{},1,2,X i i ij jp P X x p i ====∑ {},1,2,Y j j ij ip P Y y p j ====∑(3)连续型随机向量的概率密度函数 ● 二维连续型随机向量(,)(,)x yF x y f s t dsdt -∞-∞=⎰⎰,(,)f x y 为(),X Y 的概率密度函数或X 与Y 的联合密度函数. (,)f x y 具有性质:①(,)0f x y ≥; ②(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰;③若D 是平面上的一个区域,则(){,}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰● 边缘密度函数:()(,)()(,)X Y f x f x y dyf y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰● 均匀分布的密度函数:1,(,)()(,)0,x y G S G f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他,若(),X Y 服从G 上的均匀分布,则对任何平面区域D ,有()1(){,}(,)=()()DD GS D G P X Y D f x y dxdy dxdy S G S G ⋂⋂∈==⎰⎰⎰⎰. (4)二元正态分布 ● 密度函数:()2211222221212()()()()122(1),x x y y x y μμμμρσσρσσϕ⎡⎤------+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=,记作()221212,~(,;,;)X Y N μμσσρ.● 边缘密度函数分布:()2121()2()=,x X x x y dy μσϕϕ--+∞-∞⎰,()2222()2()=,y Y y x y dx μσϕϕ--+∞-∞⎰.注意:比较联合密度函数(),x y ϕ和边缘密度函数()X x ϕ,()Y y ϕ,当且仅当0ρ=时,对一切(),x y ,有(),()()X Y x y x y ϕϕϕ=.2.条件分布与随机变量的独立性(1)条件分布与独立性的一般概念● 随机变量X 和Y 相互独立:(,)()()X Y F x y F x F y =● 定理1:随机变量X 和Y 相互独立的充要条件是X 所生成的任何事件与Y 生成的任何事件独立,即对任意实数集A 和B ,有{,}{}{}P X A Y B P X A P Y B ∈∈=∈∈.定理2:如果随机变量X 和Y 相互独立,则对任意函数12(),()g x g y ,均有1()g X 与2()g Y 相互独立. ● 相互独立:12,,,n X X X 相互独立,()121122,,,()()()n n n F x x x F x F x F x =.(2)离散型随机变量的条件概率分布与独立性 ● 概率分布:{,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====●i j p (当{}0i P Y y =>时):{,}{}{}iji i i j Y i jP P X x Y y P X x Y y P Y y P =======性质:①0i j p ≥;②1i jip=∑.● 已知j Y y =的条件下X 的条件概率分布:{},1,2,i i i j P X x Y y p i ====; 已知i X x =的条件下Y 的条件概率分布:{},1,2,i i j i P Y y X x p j ====.●X Y ij i j j i i j p p p p p =⋅=⋅● 定理:设,X Y 是离散型随机变量,其联合概率分布为{,}(,1,2,)i j ij P X x Y y p i j ====,边缘概率分布分别为X i p 和Yj p (,1,2,)i j =,则X 与Y 相互独立的充要条件是,,1,2,X Y ij i j p p p i j ==.(3)连续型随机变量的条件密度函数与独立性● 在Y y =的条件下X 的条件分布:0(,){,}{}lim {}()xy Y f u y du P X x y y Y y P X x Y y P y y Y y f y -∞∆→≤-∆<≤≤===-∆<≤⎰● 条件分布和条件密度函数● (,)()()()()X Y Y X X Y f x y f x f y x f y f x y ==● 定理:设连续型随机向量(),X Y 的密度函数为(,)f x y ,边缘密度函数分别为()X f x 和()Y f y ,则X 与Y 相互独立的充要条件是(,)()()X Y f x y f x f y =.3.随机向量的函数的分布与数学期望(1)离散型随机向量的函数分布 ●(,){}{(,)}{,},1,2,i j kk k i j g x y z P Z z P g X Y z P X x Y y k ========∑● 设,X Y 是两个相互独立的随机变量,分别服从参数为1λ和2λ的泊松分布,则X Y ξ=+的分布为()()1212e ,0,1,2,!kk k λλλλ-++=,可见X Y ξ=+服从参数为()12λλ+的泊松分布.结论:泊松分布具有独立可加性.2,(2)连续型随机向量的函数分布● 分布函数:(){}{(,)}{(,)}(,)zZ z D F z P Z z P g X Y z P X Y D f x y dxdy =≤=≤=∈=⎰⎰,其中z D ={(,)(,)}x y g x y z ≤. ● 密度函数:'()=()Z Z f z F z .● 随机变量的和:设(,)X Y 的联合密度函数为(,)f x y ,则X Y +的密度函数为()=(,)Z f z f z y y dy +∞-∞-⎰或 ()=(,)Z f z f x z x dx +∞-∞-⎰特别地,如果X 和Y 是相互独立的随机变量,则有(卷积公式)()=()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞-⎰或 ()=()()Z X Y f z f z y f y dy +∞-∞-⎰即,()=*()*()Z X Y Y X f z f f z f f z =.● 独立正态随机变量之和:设随机变量221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ,且X 与Y 独立,则221212~(,)X Y N μμσσ+++,即2122212()2()()z X Y f z μμσσ⎡⎤---⎢⎥+⎢⎥⎣⎦+=,结论:独立正态分布的和服从正态分布.推论:X 与Y 相互独立且分别服从正态分布211(,)N μσ和222(,)N μσ,则其任意非零线性组合仍服从正态分布,且22221212~(,)aX bY N a b a b μμσσ+++.进一步地,12,,n X X X 相互独立,2~(,)i i iX N μσ,则22111~(,)n n ni i i i i i i i i a X N a a μσ===∑∑∑.● 随机变量的商:设二维随机向量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y ,则XZ Y=的密度函数为'()=()(,)Z Z f z F z y f zy y dy +∞-∞=⎰.● 最大值与最小值:设,X Y 的分布函数分别为(),()F x G x ,密度函数分别为(),()f x g x ,且X与Y 相互独立,令max{,},min{,}M X Y N X Y ==,则有(3)随机向量函数的数学期望● 二维离散型随机向量的数学期望:,(,)(,)ijiji jEZ Eg X Y g x y p==∑.● 二维连续型随机向量的数学期望:(,)(,)(,)EZ Eg X Y g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞==⎰⎰.●(,)g X Y XY =型:()(),,,(,),,i j ij i jx y p X Y EXY xyf x y dxdy X Y +∞+∞-∞-∞⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰⎰若为离散型若为连续型 (4)数学期望的进一步性质● (1)对任意两个随机变量,X Y ,如果其数学期望均存在,则()E X Y +存在,且()=E X Y EX EY ++(2)设,X Y 为任意两个相互独立的随机变量,数学期望均存在,则EXY 存在,且=EXY EXEY推广: (1)12,,,n X X X 是任意n 个随机变量,数学期望均存在,则()12n E X X X +++存在,且()1212n n E X X X EX EX EX +++=+++(2)设12,,,n X X X 是个相互独立的随机变量,且数学期望均存在,则()12n E X X X 存在,且()1212n n E X X X EX EX EX =.4.随机变量的数字特征(1)协方差● 协方差:()()()cov ,X Y E X EX Y EY =--⎡⎤⎣⎦1,2,)●()cov ,X Y EXY EXEY =-● 定理:(1)()cov ,X X DX = (2)()()cov ,cov ,X Y Y X =(3)()()cov ,cov ,,,aX bY ab X Y a b =为任意常数 (4)()cov ,0,C X C =为任意常数(5)()()()1212cov ,cov ,cov ,X X Y X Y X Y +=+ (6)如果X 与Y 相互独立,则()cov ,0X Y =推论:设,X Y 为任意两个随机变量,如果其方差均存在,则X Y +的方差也存在,且()()2cov ,D X Y DX DY X Y +=++.()()2cov ,D X Y DX DY X Y -=+-特别地,如果X 与Y 相互独立,则()D X Y DX DY +=+.● 定理:设()12,,,n X X X 是n 维随机向量,如果()1,2,,i X i n =的方差均存在,则对任意实向量()12,,,n λλλ,1ni i i X λ=∑的方差必存在,且()21112cov ,n n i i i i i j i j i i i j n D X DX X X λλλλ==≤<≤⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑∑.特别地,如果12,,,n X X X 两两独立,则211n n i i i i i i D X DX λλ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑. (2)协方差矩阵 ● 记()T 12,,,n X X X =X ,其协差阵通常记作D X .对任意实向量()T12,,,n λλλ=λ,有()T T D D =λX λX λ.对任意实向量()T12,,,n λλλ=λ,()T T 0D D =≥λX λλX .(3)相关系数 ●,cov ,X Y X Y ρ,,1X Y ρ≤● 定理:设(),X Y 是一个二维随机向量,,DX DY 均存在且为正,则,1X Y ρ=的充要条件是X 与Y 具有线性关系,即存在常数0a ≠及常数b ,使得{}1P Y ax b =+=.而且,当0a >时,,1X Y ρ=;当0a <时,,1X Y ρ=-.● 如果,DX DY 均存在且为正,那么X 与Y 不相关等价以下条件:①()cov ,0X Y =; ②EXY EXEY =;③()D X Y DX DY +=+; ④,0X Y ρ=.5.大数定律与中心极限定理(1)依概率收敛 ● 定义:设12,,,,,n X X X X 是一列随机变量,如果对任意0ε>,恒有{}lim 0n n P X X ε→∞->=,则称{}n X 依概率收敛到X ,记作Pn X X −−→或lim n n P X X →∞-=.(2)大数定律 ● 定理:①伯努利大数定律:设n μ是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数,已知在每次试验中A 发生的概率为()01p p <<,则对任意0ε>,有lim 0n n P p n με→∞⎧⎫->=⎨⎬⎩⎭, 即Pnp nμ−−→或limnn P p nμ→∞-=.②切比雪夫大数定律:设12,,,n ξξξ是一列两两不相关的随机变量,它们的数学期望iE ξ和方差i D ξ均存在,且方差有界,即存在常数C ,使得()1,2,i D C i ξ≤=,则对任意0ε>,有1111lim 1n ni i n i i P E n n ξξε→∞==⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑∑. 推论:设12,,,nξξξ是一列独立同分布的随机变量,其数学期望和方差均存在,记=i E ξμ,则对任意0ε>,有11lim 1n i n i P n ξμε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑. 即11n Pi i n ξμ=−−→∑.③辛钦大数定律:设12,,,nξξξ是一列相互独立同分布的随机变量,且数学期望存在,记=i E ξμ,则有11lim 1n i n i P n ξμε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑. (3)中心极限定理● 定理:林德伯格-列维 设12,,,n ξξξ是一列相互独立同分布的随机变量,且=i E ξμ,2=0,1,2,,i D i ξσ>=则有22lim en t i xn n P x dt ξμ--∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑.● 定理:设()~,,01,n X b n p p <<则22lim et xn P x dt --∞→∞⎧⎫⎪≤=⎬⎪⎭.四、数理统计的基础知识1.总体与样本样本与样本分布● 总体X 的分布函数为()F x ,则样本()12,,,n X X X 的分布函数为:()()121,,,nn n i i F x x x F x ==∏,称之为样本分布.特别地,若总体X 为连续型随机变量,其密度函数为()f x ,则样本的密度函数为()()121,,,nn n i i f x x x f x ==∏.若总体X 为离散型随机变量,概率分布为(){}p x P X x ==,x 取遍X 所有可能取值,则样本的概率分布为()()()1211221,,,,,,nn n n n i i p x x x P X x X x X x p x ======∏.),n i x =∏为伯努利总体,如果它服从以}{,p P X =)12,,,n X X X 的概率分布为,n n X i =取1或0,而n i +,它恰等于样本中取值为服从参数为λ的泊松分布,)12,,,n X X 为其样本,则样本的概率分布为)21,,ee !!!!kinn n n k k k n i X i X i i i i i λλλλ--======∏,其中取非负整数,而n i ++.2.统计量常用的统计量)n X +2)X -1(ni i X X =-∑3.常用的统计分布(1)分位数● 上侧分位数:设随机变量X 的分布函数为()F x ,对给定的实数(01)αα<<,如果实数F α满足{}P X F αα>=,即()1F F αα-=或()1F F αα=-,则称F α为随机变量X 的分布的水平α上的上侧分位数. ● 有关等式:{}1P X F αα-≤= 1221P F X F ααα-⎧⎫<≤=-⎨⎬⎩⎭推论:()()122,,P X F m n X F m n ααα-⎛⎫⎧⎫⎧⎫<⋃>= ⎪⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭或()()122,,1P F m n X F m n ααα-⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭. ● 双侧分位数:设X 是对称分布的连续型随机变量,其分布函数为()F x ,对给定的实数(01)αα<<,如果正实数T α满足{}P X T αα>=,即()()1F T F T ααα--=-.则称T α为随机变量X 的分布的水平α的双侧分位数. 注意:由于对称性,上式可改写为:()12F T αα=-或{}()12P X T F T ααα>=-=.对于具有对称密度函数的分布函数的上侧分位数,恒有1F F αα-=-. (2)2χ分布 ● 命题:设()12,,,n X X X 是n 个相互独立的随机变量,且()~0,1,1,2,,i X N i n =,则22212n X X X X=+++的密度函数为()1122221;e,022n x n x n xx n χ--=>⎛⎫Γ ⎪⎝⎭.● Γ函数:()()10e 0a x a x dx a +∞--Γ=>⎰.●2χ分布:一个随机变量X 称为服从以n 为自由度的2χ分布,如果其密度函数由()1122221;e,022n x n x n xx n χ--=>⎛⎫Γ ⎪⎝⎭给出,记作()2~X n χ.● 命题:①若()()22~,~X m Y n χχ,且X 与Y 相互独立,则()2~X Y m n χ++. ②若()2~X n χ,则,2EX n DX n ==.(3)F 分布 ● 命题:设Z 由/=/X m n X Z Y n m Y=(设()()22~,~X m Y n χχ,且X 与Y 相互独立.)所定义,则Z 的密度函数为()()11221;,1,0,22m m n m m m f x m n x x x m n n n n --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+> ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ⎪⎝⎭.● B 函数:()()()1110,=10,0q p p q x x dx p q --B ->>⎰.●F 分布:如果一个随机变量X 的密度函数由()()11221;,1,0,22m m n m m m f x m n x x x m n n n n --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+> ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ⎪⎝⎭给出,则称其服从第一自由度为m ,第二自由度为n 的F 分布,记作()~,X F m n . ● 若()~,X F m n ,则()1~,XF n m -.● 当α接近1时,可利用()()11,=,F m n F n m αα-求出所需上侧分位数.(3)t 分布● 定义式:设()()2~0,1,~X N Y n χ,且X 与Y相互独立,记T =,则()2~1,/X T F n Y n=.● 命题:T 的密度函数为()122;1,n x t x n x n +-⎫=+-∞<<+∞⎪⎭⎝⎭.●t 分布:如果一个随机变量X 的密度函数由()122;1,n x t x n x n +-⎫=+-∞<<+∞⎪⎭⎝⎭给出,则称其为服从自由度为n 的t 分布,记作()~X t n .注意:当自由度n 很大时,t 分布接近于标准正态分布,因为2+11222lim 1=en x n x n --→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.●当α接近1时,()()1t n t n αα-=-.4.抽样分布(1)正态总体的抽样分布● 定理:设总体()()212~,,,,,n X N X X X μσ是其容量为n 的一个样本,X 与2S 分别为此样本的样本均值与样本方差,则有①2~,X N n σμ⎛⎫⎪⎝⎭;②()2221~1n S n χσ--;③X 与2S 相互独立. ● 单正态总体的抽样分布定理:设()12,,,n X X X 为正态总体()2~,X N μσ的样本,X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差,则有①()~0,1X U N =;②()2221~1n S n χσ--;③()~1X T t n =-.● 双正态总体的抽样分布定理:设()211~,X N μσ与()222~,Y N μσ是两个相互独立的正态总体.又设()112,,n X X X是总体X 的容量为1n 的样本,X 与21S 分别为该样本的样本均值与样本方差.再设()212,,n Y Y Y 是总体Y 的容量为2n 的样本,Y 与22S 分别为此样本的样本均值与样本方差.记2S 是21S 与22S 的加权平均:222121212121122n n S S S n n n n --=++-+-,则有 ①()()~0,1X Y U N μμ---=;②()222112212~1,1S F F n n S σσ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭;③当22212==σσσ时,()12~2X Y T t n n μμ---=+-.(2)一般总体抽样分布的极限分布 ● 定理:设()12,,,n X X X 为总体X 的样本,并设总体X 的数学期望与方差均存在,分别记为2,EX DXμσ==.再记n n X X U T ==X 与S 分别表示上述样本的样本均值与样本方差,则有①()()0n dU F x x −−→Φ; ②()()0n dT F x x =−−→Φ.以上()n U F x ,n T F 与()0x Φ分别表示n U ,n T 及标准正态分布的分布函数.五、参数估计与假设检验1.点估计概述评价估计量的标准 ),n X 为参数的有偏估计量.若),n X 为未知参数}-<=θε),n X 为取自总体①样本均值X 是μ的无偏估计量;②样本方差2S 是σ③未修正的样本方差,即样本二阶中心矩),n X 是取自总体,n .则1n 的相合估计量,,n .(~,X N μ),n X 为其样本,则样本方差2S 是2σ的相合估计2.参数的最大似然估计与矩估计(1)最大似然估计 ● ),n x ,存在),n x ,使()*1,,n x x θ为θ的最大似然估计值,称相应的统),n X 为的最大似然估计量.它们统称为θ的最大似然估计,可MLE . 如果未知参数为12,,,r θθθ,那么似然函数是多元函数(,,)r L θθ.若对任意),n x 存在),,,1,2,=n x i r ,使1*1(,,),,)max (,,)∈Θ=r r r L θθθθθ,则称*i θ为i θ的,1,2,,=MLE i r .当似然函数关于未知参数可微时,一般可通过求导数得到MLE ,其主要步骤①写出似然函数1(,,)r L θθ;0∂=∂L θ或ln 0,1,,∂==∂L i r θ,从中求得驻点注意,函数L 与ln L有相同的最值点,而使用后者往往更方便;③判断驻点为最大值点; MLE .● 最大似然估计的不变性:如果ˆθ为θ的最大似然估计,()=u g θ是θ的函数且存在单值反函数()=h u θ.那么()ˆg θ是()g θ的最大似然估计. (2)矩估计 ● 1,2,,ˆ2,3,=k B β.这种求点估计的方用矩法确定的估计量称为矩估计量,相应的估计值为矩估计值,矩估计量. 表示为总体矩的函数,即)2,;,l s αββ; k B 分别替换g 中的k α,)()1212ˆˆˆˆ,,;,,;,,=l s l sg A A B B ααββ即为θ的3.置信区间(1)寻求置信区间的方法● ①选取θ的一个较优的点估计ˆθ; ②围绕ˆθ寻找一个依赖于样本与θ的函数()1,,;=n u u X X θ.u 的分布为已知分布.像u 这样的函数,称为枢轴量;③对给定的置信水平1-α,确定1λ与2λ,使{}121<<=-P u λλα,一般可选取满足{}{}122≤=≥=P u P u αλλ的1λ与2λ;④利用不等式变形导出套住θ的置信区间(),θθ. (2)正态总体参数的置信区间4.假设检验概述假设检验的一般步骤 ①建立零假设0H ;②构造一个含待检验参数θ(不含其他未知参数)且分布已知的枢轴量()12,,,;n u X X X θ,并确定其分布;③对给定的显著性水平α,由上述枢轴量及其分布,结合零假设0H ,确定拒绝域C ,使得(){}120,,,∈≤n P X X X C H α;④根据样本值()12,,,n x x x 是否落在C 中做出是否拒绝0H 的统计决断:如果()12,,,∈n x x x C ,则拒绝0H ,如果()12,,,∉n x x x C ,则不能拒绝0H .5.单正态总体的参数假设检验编辑:李雪伟 2013年5月25日。

概率论与数理统计复习资料知识点总结

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《概率论与数理统计》第一章 随机事件与概率1.事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2.运算规则 (1)BA AB A B B A =⋃=⋃(2))()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃(3)))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ (4)B A AB B A B A ⋃==⋃3.概率)(A P 满足的三条公理及性质: (1)1)(0≤≤A P (2)1)(=ΩP(3)对互不相容的事件n A A A ,,,21 ,有∑===nk kn k kA P A P 11)()((n 可以取∞)(4) 0)(=φP (5))(1)(A P A P -=(6))()()(AB P A P B A P -=-,若B A ⊂,则)()()(A P B P A B P -=-,)()(B P A P ≤ (7))()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃(8))()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4.古典概型:基本事件有限且等可能5.几何概率 6.条件概率(1) 定义:若0)(>B P ,则)()()|(B P AB P B A P =(2) 乘法公式:)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组,0)(>i B P ,则有 (3) 全概率公式: ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()((4) Bayes 公式: ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7.事件的独立性: B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ (注意独立性的应用)第二章 随机变量与概率分布1. 离散随机变量:取有限或可列个值,i i p x X P ==)(满足(1)0≥i p ,(2)∑iip=1(3)对任意R D ⊂,∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2. 连续随机变量:具有概率密度函数)(x f ,满足(1)1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ;(2)⎰=≤≤badx x f b X a P )()(;(3)对任意R a ∈,0)(==a X P4. 分布函数 )()(x X P x F ≤=,具有以下性质(1)1)( ,0)(=+∞=-∞F F ;(2)单调非降;(3)右连续; (4))()()(a F b F b X a P -=≤<,特别)(1)(a F a X P -=>; (5)对离散随机变量,∑≤=xx i ii px F :)(;(6)对连续随机变量,⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数,且在)(x f 连续点上,)()('x f x F =5. 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数,则有 (1)5.0)0(=Φ;(2))(1)(x x Φ-=-Φ;(3)若),(~2σμN X ,则)()(σμ-Φ=x x F ;(4)以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数,则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6. 随机变量的函数 )(X g Y =(1)离散时,求Y 的值,将相同的概率相加;(2)X 连续,)(x g 在X 的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=,若不单调,先求分布函数,再求导。

(完整版)概率论与数理统计知识点总结

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p k q nk
其中 q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ,
则称随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) .
当 n 1时, P(X k) pk q1k , k 0.1,这就是(0—1)分布,
所以(0-1)分布是二项分布的特例。
泊 松 设随机变量 X 的分布律为
1
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A—B,也可表示为 A—AB 或者 AB ,它表示 A 发生而 B 不发生的事
件.
A、B 同时发生:A B,或者 AB。A B=Ø ,则表示 A 与 B 不可能 同时发生,称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是
互不相容的.
—A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件,记为 A .它表 示 A 不发生的事件。互斥未必对立。
P(A)= (1) (2 ) (m ) = P(1) P(2 ) P(m )
m n
A所包含的基本事件数 基本事件总数
(6)几 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均
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何概型 匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域 来描述,则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A,
3° F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1;
x
x
4° F(x 0) F(x) ,即 F(x) 是右连续的;
5° P(X x) F(x) F(x 0) .
对于离散型随机变量, F(x) pk ; xk x x
对于连续型随机变量, F(x) f (x)dx .
概型 用 p 表示每次试验 A 发生的概率,则 A 发生的概率为1 p q ,用

概率论与数理统计知识点总结

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概率论与数理统计知识点总结一、概率的基本概念1.概率的定义:概率是描述事件发生可能性的数字,表示为一个介于0和1之间的数。

2.事件与样本空间:事件是可能发生的结果的集合,样本空间是所有可能结果的集合。

3.事件的运算:事件的运算包括并、交、差等,分别表示两个事件同时发生、至少一个事件发生、一个事件发生而另一个事件不发生等。

4.概率的性质:概率具有非负性、规范性、可列可加性等性质。

二、随机变量与概率分布1.随机变量的定义:随机变量是一个变量,它的值由随机事件决定。

2.离散随机变量:离散随机变量只能取有限或可数个值,其概率表示为离散概率分布函数。

3.连续随机变量:连续随机变量可以取任意实数值,其概率表示为概率密度函数。

4.分布函数:分布函数描述随机变量的概率分布情况,包括累积分布函数和概率质量函数。

三、常见概率分布1.离散分布:包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

2.连续分布:包括均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布等。

正态分布在自然界和社会现象中广泛存在。

3.其他分布:包括卡方分布、指数分布、F分布、t分布等。

四、抽样与统计推断1.抽样:抽样是从总体中选择一部分个体进行实验或调查的方法,常用的抽样方法包括随机抽样、分层抽样、整群抽样等。

2.统计推断:通过从样本中获得的数据,对总体做出有关参数的推断。

包括点估计和区间估计两种方法。

3.假设检验:通过对样本数据的统计量进行计算,判断总体参数是否满足其中一种假设。

包括单样本假设检验、两样本假设检验、方差分析等。

五、回归分析与相关分析1.回归分析:研究两个或多个变量之间关系的统计方法,包括一元线性回归分析、多元线性回归分析等。

2.相关分析:研究两个变量之间相关性的统计方法,常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。

六、贝叶斯统计学1.贝叶斯定理:根据先验概率和条件概率,计算后验概率的统计方法。

2.贝叶斯推断:根据贝叶斯定理以及样本数据,推断参数的后验分布。

概率论与数理统计总结

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概率论与数理统计总结3、分布函数与概率的关系 ∞<<∞-≤=x x X P x F ),()()()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk(2) 二项分布 ),(p n B nk p p C k X P k n k k n,,1,0,)1()(Λ=-==- 泊松定理 0lim >=∞→λnn np有Λ,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk nn λλ(3) 泊松分布 )(λP =Λ,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ(5)几何分布 p q k p q k X P k -====-1,2,1}{1Λ dt t f x F x ⎰∞-=)()(则称X 为连续型随机变量,其中函数f(x)称为随机变量X 的概率密度函数, 2、分布函数的性质:(1)连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。

(2)对于连续型随机变量X 来说,它取任一指定实数a 的概率均为零,即P{X=a }=0。

3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a Uf (x ,y )称为二维向量(X ,Y )的(联合)概率密度.其中: 0),(≥y x f ,⎰⎰∞∞-∞∞-=1),(dxdy y x f(2)基本二维连续型随机向量分布均匀分布:⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他),(1),(G y x Ay x f二维正态分布:+∞<<-∞+∞<<∞--=-+------y x ey x f y y x x ,121),(])())((2)([)1(212212222212121212σμσσμμρσμρρσπσ3、离散型边缘分布律:3、 连续型边缘概率密度 ,),()(dy y x f x f X⎰∞+∞-= dx y x f y f Y⎰∞+∞-=),()(F (x ,y )=F x (x )F Y (y ) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X ,Y )是连续型随机变量,f (x ,y ),f x (x ),f Y (y )分别为(X ,Y )的概率密度和边缘概率密度,则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x ,y ) = f x (x )f Y (y ) 对f (x ,y ),f x (x ),f Y (y )的所有连续点成立. 五、条件分布1、离散型随机变量的条件分布律: (3)条件分布函数:2、连续型随机变量的条件分布 (1)条件分布函数⎰⎰∞-∞-==x Y Y X Y x YX du y f y u f y x F y f du y u f y x F )(),()|()(),()|(||或写成,(2)条件概率密度在Y=y 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|y f y x f y x fY Y X =同理 X=x 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =六、多维随机函数的分布 1、离散型随机变量函数分布:二项分布:设X 和Y 独立,分别服从二项分布b (n 1,p ), 和b (n 2,p ),则 Z=X+Y 的分布律:Z ~b (n 1+n 2,p ).泊松分布:若X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布,则Z=X+Y 服从参数为21λλ+的泊松分布。

考研数学《概率论与数理统计》知识点总结

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第一章概率论的基本概念第五章ﻩ大数定律及中心极限定理伯努利大数定理:对任意ε>0有1lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εpnfP An或lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εpnfP An.其中f A是n次独立重复实验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率.中心极限定理定理一:设X1,X2,…,Xn,…相互独立并服从同一分布,且E(X k)=μ,D(Xk)=σ2 >0,则n→∞时有σμnnXknk)(1-∑=N(0,1)或nXσμ-~N(0,1)或X~N(μ,n2σ).定理二:设X1,X2,…,X n ,…相互独立且E(X k)=μk,D(Xk)=σ k2 >0,若存在δ>0使n→∞时,}|{|1212→-∑+=+δδμkknknXEB,则nknkknkBX)(11μ==∑-∑~N(0,1),记212knknBσ=∑=.定理三:设),(~pnbnη,则n→∞时,Npnpnpn~)1()(--η(0,1),knknX1=∑=η.定义:总体:全部值;个体:一个值;容量:个体数;有限总体:容量有限;无限总体:容量无限.定义:样本:X1,X2,…,X n 相互独立并服从同一分布F的随机变量,称从F得到的容量为n的简单随机样本.频率直方图:图形:以横坐标小区间为宽,纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形.横坐标:数据区间(大区间下限比最小数据值稍小,上限比最大数据值稍大;小区间:均分大区间,组距Δ=大区间/小区间个数;小区间界限:精度比数据高一位).图形特点:外轮廓接近于总体的概率密度曲线.纵坐标:频率/组距(总长度:<1/Δ;小区间长度:频率/组距).定义:样本p分位数:记x p,有1.样本x i中有np个值≤xp.2.样本中有n(1-p)个值≥x p.箱线图:x p选择:记⎪⎩⎪⎨⎧∈+∉=++NnpxxNnpxxnpnpnpp当,当,][211)()()1]([.分位数x0.5,记为Q2或M,称为样本中位数.分位数x0.25,记为Q1,称为第一四分位数.分位数x0.75,记为Q3,称为第三四分位数.图形:图形特点:M为数据中心,区间[min,Q1],[Q1,M],[M,Q3],[Q3,max]数据个数各占1/4,区间越短数据密集.四分位数间距:记IQR=Q3-Q1;若数据X<Q1-1.5IQR或X>Q3+1.5IQR,就认为X是疑似异常值.抽样分布:样本平均值:iniXnX11=∑=样本方差:)(11)(11221212XnXnXXnSiniini-∑-=-∑-===样本标准差:2SS=样本k阶(原点)矩:kinikXnA11=∑=,k≥1样本k阶中心矩:kinikXXnB)(11-∑==,k≥2经验分布函数:)(1)(xSnxFn=,∞<<∞-x.)(xS表示F的一个样本X1,X2,…,X n 中不大于x的随机变量的个数.自由度为n的χ2分布:记χ2~χ2(n),222212nXXX+++=χ,其中X1,X2,…,Xn是来自总体N(0,1)的样本.E(χ2 )=n,D(χ2 )=2n.χ12+χ22~χ2(n1+n2).⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他,,)2(21)(2122yexnyfynn.~近似的min Q1 M Q3 max第七章ﻩ参数估计正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限(置信水平为)1122。

考研数学《概率论与数理统计》知识点总结

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第一章 概率论的基本概念定义: 随机试验E 的每个结果样本点组成样本空间S ,S 的子集为E 的随机事件,单个样本点为基本事件.事件关系: 1.A ⊂B ,A 发生必导致B 发生. 2.A B 和事件,A ,B 至少一个发生,A B 发生. 3.A B 记AB 积事件,A ,B 同时发生,AB 发生. 4.A -B 差事件,A 发生,B 不发生,A -B 发生.5.A B=Ø,A 与B 互不相容(互斥),A 与B 不能同时发生,基本事件两两互不相容.6.A B=S 且A B=Ø,A 与B 互为逆事件或对立事件,A 与B 中必有且仅有一个发生,记B=A S A -=.事件运算: 交换律、结合律、分配率略.德摩根律:B A B A =,B A B A =.概率: 概率就是n 趋向无穷时的频率,记P(A).概率性质:1.P (Ø)=0.2.(有限可加性)P (A 1 A 2 … A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n ),A i 互不相容. 3.若A ⊂B ,则P (B -A)=P (B)-P (A).4.对任意事件A ,有)A (1)A (P P -=.5.P (A B)=P (A)+P (B)-P (AB).古典概型: 即等可能概型,满足:1.S 包含有限个元素.2.每个基本事件发生的可能性相同. 等概公式: 中样本点总数中样本点数S A )A (==n k P . 超几何分布:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n N k n D N k D p ,其中ra C r a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. 条件概率: )A ()AB ()A B (P P P =. 乘法定理:)A ()A B ()AB C ()ABC ()A ()AB ()AB (P P P P P P P ==.全概率公式: )B ()B A ()B ()B A ()B ()B A ()A (2211n n P P P P P P P +++= ,其中i B 为S 的划分. 贝叶斯公式: )A ()B ()B A ()A B (P P P P i i i =,∑==nj j j B P B A P A P 1)()()(或)()()()()()()(B P B A P B P B A P B P B A P A B P +=.独立性: 满足P (AB)=P (A)P (B),则A ,B 相互独立,简称A ,B 独立.定理一: A ,B 独立,则.P (B |A)=P (B). 定理二: A ,B 独立,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也相互独立.第二章 随机变量及其分布(0—1)分布: k k p p k X P --==1)1(}{,k =0,1 (0<p <1).伯努利实验:实验只有两个可能的结果:A 及A .二项式分布: 记X~b (n ,p ),k n kk n p p C k X P --==)1(}{. n 重伯努利实验:独立且每次试验概率保持不变.其中A 发生k 次,即二项式分布.泊松分布: 记X~π(λ),!}{k e k X P k λλ-==, ,2,1,0=k .泊松定理: !)1(lim k e p p C k kn k knn λλ--∞→=-,其中λ=np .当20≥n ,05.0≤p 应用泊松定理近似效果颇佳.随机变量分布函数: }{)(x X P x F ≤=,+∞<<∞-x .)()(}{1221x F x F x X x P -=≤<.连续型随机变量: ⎰∞-=xt t f x F d )()(,X 为连续型随机变量,)(x f 为X 的概率密度函数,简称概率密度.概率密度性质:1.0)(≥x f ;2.1d )(=⎰+∞∞-x x f ;3.⎰=-=≤<21d )()()(}{1221x x x x f x F x F x X x P ;4.)()(x f x F =',f (x )在x 点连续;5.P {X=a }=0.均匀分布: 记X~U(a ,b );⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,,01)(bx a a b x f ;⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,,,10)(. 性质:对a ≤c <c +l ≤b ,有 a b ll c X c P -=+≤<}{指数分布:⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它,,001)(x e x f x θθ;⎩⎨⎧>-=-其它,,001)(x e x F x θ. 无记忆性: }{}{t X P s X t s X P >=>+>. 正态分布: 记),(~2σμN X ;]2)(exp[21)(22σμσπ--=x x f ;t t x F xd ]2)(exp[21)(22⎰∞---=σμσπ.性质: 1.f (x )关于x =μ对称,且P {μ-h <X ≤μ}=P {μ<X ≤μ+h };2.有最大值f (μ)=(σπ2)-1. 标准正态分布:]2exp[21)(2x x -=πϕ;⎰∞--=Φxt t x d ]2exp[21)(2π.即μ=0,ζ=1时的正态分布X ~N(0,1)性质:)(1)(x x Φ-=-Φ.正态分布的线性转化: 对),(~2σμN X 有)1,0(~N X Z σμ-=;且有)(}{}{)(σμσμσμ-Φ=-≤-=≤=x x X P x X P x F . 正态分布概率转化: )()(}{1221σμσμ-Φ--Φ=≤<x x x X x P ;1)(2)()(}{-Φ=-Φ-Φ=+<<-t t t t X t P σμσμ.3ζ法则: P =Φ(1)-Φ(-1)=68.26%;P =Φ(2)-Φ(-2)=95.44%;P =Φ(3)-Φ(-3)=99.74%,P 多落在(μ-3ζ,μ+3ζ)内. 上ɑ分位点: 对X~N(0,1),若z α满足条件P {X>z α}=α,0<α<1,则称点z α为标准正态分布的上α分位点. 常用 上ɑ分位点: 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 3.0902.5762.3261.9601.6451.282Y 服从自由度为1的χ2分布:设X 密度函数f X (x ),+∞<<∞-x ,若Y=X 2,则⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=000)]()([21)(y y y f y f y y f X XY ,,若设X ~N(0,1),则有⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--00021)(221y y e y y f y Y ,,π定理:设X 密度函数f X (x ),设g (x )处处可导且恒有g ′(x )>0(或g ′(x )<0),则Y=g (X)是连续型随机变量,且有⎩⎨⎧<<'=其他,,0)()]([)(βαy y h y h f y f X Y h (y )是g (x )的反函数;①若+∞<<∞-x ,则α=min{g (−∞),g (+∞)},β=max{g (−∞),g (+∞)};②若f X (x )在[a ,b ]外等于零,g (x )在[a ,b ]上单调,则α=min{g (a ),g (b )},β=max{g (a ),g (b )}.应用: Y=aX +b ~N(a μ+b ,(|a |ζ)2).第三章 多维随机变量及其分布二维随机变量的分布函数: 分布函数(联合分布函数):)}(){(),(y Y x X P y x F ≤≤= ,记作:},{y Y x X P ≤≤.),(),(),(),(},{112112222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤<.F (x ,y )性质: 1.F (x ,y )是x 和y 的不减函数,即x 2>x 1时,F (x 2,y )≥F (x 1,y );y 2>y 1时,F (x ,y 2)≥F (x ,y 1).2.0≤F (x ,y )≤1且F (−∞,y )=0,F (x ,−∞)=0,F (−∞,−∞)=0,F (+∞,+∞)=1.3.F (x +0,y )=F (x ,y ),F (x ,y +0)=F (x ,y ),即F (x ,y )关于x 右连续,关于y 也右连续.4.对于任意的(x 1,y 1),(x 2,y 2),x 2>x 1,y 2>y 1,有P {x 1<X ≤x 2,y 1<Y ≤y 2}≥0.离散型(X ,Y ):0≥ij p ,111=∑∑∞=∞=ij j i p ,ij yy x x p y x F i i ∑∑=≤≤),(.连续型(X ,Y ):v u v u f y x F y xd d ),(),(⎰⎰∞-∞-=.f (x ,y )性质: 1.f (x ,y )≥0.2.1),(d d ),(=∞∞=⎰⎰∞∞-∞∞-F y x y x f .3.y x y x f G Y X P G⎰⎰=∈d d ),(}),{(. 4.若f (x ,y )在点(x ,y )连续,则有),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂. n 维: n 维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展,性质与二维类似. 边缘分布:F x (x ),F y (y )依次称为二维随机变量(X ,Y )关于X 和Y 的边缘分布函数,F X (x )=F (x ,∞),F Y (y )=F (∞,y ).离散型: *i p 和j p *分别为(X ,Y )关于X 和Y 的边缘分布律,记}{1i ij j i x X P p p ==∑=∞=*,}{1j ij i j y Y P p p ==∑=∞=*.连续型:)(x f X ,)(y f Y 为(X ,Y )关于X 和Y 的边缘密度函数,记⎰∞∞-=y y x f x f X d ),()(,⎰∞∞-=x y x f y f Y d ),()(.二维正态分布:]})())((2)([)1(21exp{121),(2222212121212221σμσσμμρσμρρσπσ-+-------=y y x x y x f . 记(X ,Y )~N (μ1,μ2,ζ12,ζ22,ρ)]2)(exp[21)(21211σμσπ--=x x f X ,∞<<∞-x .]2)(exp[21)(22222σμσπ--=y y f Y ,∞<<∞-y . 离散型条件分布律: jij j j i j i p p y Y P y Y x X P y Y x X P *=======}{},{}{. *=======i ij i j i i j p p x X P y Y x X P x X y Y P }{},{}{.连续型条件分布:条件概率密度:)(),()(y f y x f y x f Y Y X =||条件分布函数:x y f y x f y Y x X P y x F xY Y X d )(),(}{)(⎰∞-==≤=||| )(),()(x f y x f x y f X X Y =||y x f y x f x X y Y P x y F yX X Y d )(),(}{)(⎰∞-==≤=||| 含义:当0→ε时,)|(d )|(}|{||y x F x y x f y Y y x X P Y X xY X =≈+≤<≤⎰∞-ε.均匀分布: 若⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x Ay x f ,则称(X ,Y)在G 上服从均匀分布. 独立定义:若P {X ≤x ,Y ≤y }=P {X ≤x }P {Y ≤y },即F (x ,y )=F x (x )F y (y ),则称随机变量X 和Y 是相互独立的. 独立条件或可等价为:连续型:f (x ,y )=f x (x )f y (y );离散型:P {X =x i ,Y =y j }=P {X =x i }P {Y =y j }.正态独立: 对于二维正态随机变量(X ,Y ),X 和Y 相互对立的充要条件是:参数ρ=0.n 维延伸: 上述概念可推广至n 维随机变量,要注意的是边缘函数或边缘密度也是多元(1~n -1元)的.定理:设(X 1,X 2,…,X m )和(Y 1,Y 2,…,Y n )相互独立,则X i 和Y j 相互独立.又若h ,g 是连续函数,则h (X 1,X 2,…,X m )和g (Y 1,Y 2,…,Y n )相互独立.Z=X+Y 分布: 若连续型(X ,Y )概率密度为f (x ,y ),则Z=X+Y 为连续型且其概率密度为⎰∞∞-+-=y y y z f z f Y X d ),()(或⎰∞∞-+-=x x z x f z f Y X d ),()(.f X 和f Y 的卷积公式:记⎰∞∞-+-==y y f y z f z f f f Y X Y X Y X d )()()(*⎰∞∞--=x x z f x f Y X d )()(,其中除继上述条件,且X 和Y相互独立,边缘密度分别为f X (x )和f Y (y ). 正态卷积:若X 和Y 相互独立且X ~N (μ1,ζ12),记Y ~N (μ2,ζ22),则对Z=X+Y 有Z ~N (μ1+μ2,ζ12+ζ22).1.上述结论可推广至n 个独立正态随机变量.2.有限个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布. 伽马分布:记),(~θαΓX ,0>α,0>θ.⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他,,00)(1)(1x e x x f x θαααθ,其中⎰+∞--=Γ01d )(t e t tαα.若X 和Y 独立且X ~Γ(α,θ),记Y ~Γ(β,θ),则有X+Y~Γ(α+β,θ).可推广到n 个独立Γ分布变量之和.XYZ =:⎰∞∞-=x xz x f x z f X Y d ),()(,若X 和Y 相互独立,则有⎰∞∞-=x xz f x f x z f Y X X Y d )()()(.XYZ =分布: ⎰∞∞-=x x zx f x z f XY d ),(1)(,若X 和Y 相互独立,则有⎰∞∞-=xxz f x f x z f Y X XY d )()(1)(. 大小分布:若X 和Y 相互独立,且有M =max{X ,Y }及N =min{X ,Y },则M 的分布函数:F max (z )=F X (z )F Y (z ),N 的分布函数:F min (z )=1-[1-F X (z )][1-F Y (z )],以上结果可推广到n 个独立随机变量的情况.第四章 随机变量的数字特征数学期望: 简称期望或均值,记为E (X );离散型:k k k p x X E ∑=∞=1)(.连续型:⎰∞∞-=x x xf X E d )()(.定理: 设Y 是随机变量X 的函数:Y =g (X )(g 是连续函数).1.若X 是离散型,且分布律为P {X =x k }=p k ,则: k k k p x g Y E )()(1∑=∞=.2.若X 是连续型,概率密度为f (x ),则:⎰∞∞-=x x f x g Y E d )()()(.定理推广: 设Z 是随机变量X ,Y 的函数:Z =g (X ,Y )(g 是连续函数).1.离散型:分布律为P {X =x i ,Y =y j }=p ij ,则: ij j i i j p y x g Z E ),()(11∑∑=∞=∞=. 2.连续型:⎰⎰∞∞-∞∞-=y x y x f y x g Z E d d ),(),()(期望性质:设C 是常数,X 和Y 是随机变量,则:1.E (C )=C .2.E (CX )=CE (X ).3.E (X +Y )=E (X )+E (Y ). 4.又若X 和Y 相互独立的,则E (XY )=E (X )E (Y ).方差:记D (X )或Var(X ),D (X )=V ar(X )=E {[X -E (X )]2}.标准差(均方差): 记为ζ(X ),ζ(X )= . 通式:22)]([)()(X E X E X D -=. k k k p X E x X D 21)]([)(-∑=∞=,⎰∞∞--=x x f x E x X D d )()]([)(2.标准化变量: 记σμ-=x X *,其中μ=)(X E ,2)(σ=X D ,*X 称为X 的标准化变量. 0)(*=X E ,1)(*=X D .方差性质: 设C 是常数,X 和Y 是随机变量,则: 1.D (C )=0. 2.D (CX )=C 2D (X ),D (X +C )=D (X ).3.D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2E {(X -E (X ))(Y -E (Y ))},若X ,Y 相互独立D (X +Y )=D (X )+D (Y ).4.D (X )=0的充要条件是P {X =E (X )}=1. 正态线性变换: 若),(~2i i i N X σμ,i C 是不全为0的常数,则),(~22112211i i n i i i n i n n C C N X C X C X C σμ∑∑+++== .切比雪夫不等式: 22}{εσεμ≤≥-X P 或221}{εσεμ-≥<-X P ,其中)(X E =μ,)(2X D =σ,ε为任意正数.协方差:记)]}()][({[),Cov(Y E Y X E X E Y X --=.X 与Y的相关系数:)()(),Cov(Y D X D Y X XY =ρ.D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov(X ,Y ),Cov(X ,Y )=E (XY )-E (X )E (Y ).性质: 1.Cov(aX ,bY )=ab Cov(X ,Y ),a ,b 是常数.2.Cov(X 1+X 2,Y )=Cov(X 1,Y )+Cov(X 2,Y ). 系数性质:令e =E [(Y -(a +bX ))2],则e 取最小值时有)()1(]))([(2200min Y D X b a Y E e XY ρ-=+-=,其中)()(00X E b Y E a -=,)(),Cov(0X D Y X b =.1.|ρXY |≤1.2.|ρXY |=1的充要条件是:存在常数a ,b 使P {Y =a +bX }=1.|ρXY |越大e 越小X 和Y 线性关系越明显,当|ρXY |=1时,Y =a +bX ;反之亦然,当ρXY =0时,X 和Y 不相关. X 和Y 相互对立,则X 和Y 不相关;但X 和Y 不相关,X 和Y 不一定相互独立. 定义: k 阶矩(k 阶原点矩):E (X k ). n 维随机变量X i 的协方差矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c c c c cc c c212222111211C ,),Cov(j i ij X X c ==E {[X i -E (X i )][X j -E (X j )]}. k +l 阶混合矩:E (X k Y l).k 阶中心矩:E {[X -E (X )] k }.k +l 阶混合中心矩:E {[X -E (X )]k [Y -E (Y )]l }.n 维正态分布:)}()(21exp{det )2(1),,,(1T 221μX C μX C ---=-n n x x x f π ,T21T 21),,,(),,,(n nx x x μμμ ==μX . 性质:1.n 维正态随机变量(X 1,X 2,…,X n )的每一个分量X i (i =1,2,…,n )都是正态随机变量,反之,亦成立. 2.n 维随机变量(X 1,X 2,…,X n )服从n 维正态分布的充要条件是X 1,X 2,…,X n 的任意线性组合l 1X 1+l 2X 2+…+l n X n 服从一维正态分布(其中l 1,l 2,…,l n 不全为零).3.若(X 1,X 2,…,X n )服从n 维正态分布,且Y 1,Y 2,…,Y k 是X j (j =1,2,…,n )的线性函数,则(Y 1,Y 2,…,Y k )也服从多维正态分布.4.若(X 1,X 2,…,X n )服从n 维正态分布,则“X i 相互独立”与“X i 两两不相关”等价.)(x D第五章大数定律及中心极限定理弱大数定理:若X1,X2,…是相互独立并服从同一分布的随机变量序列,且E(X k)=μ,则对任意ε>0有11lim1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμknknXnP或→μPX,knkXnX11=∑=.定义:Y1,Y2,…,Y n ,…是一个随机变量序列,a是一个常数.若对任意ε>0,有1}|{|lim=<-∞→εaYPnn则称序列Y1,Y2,…,Yn,…依概率收敛于a.记aY Pn−→−伯努利大数定理:对任意ε>0有1lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εpnfP An或0lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εpnfP An.其中f A是n次独立重复实验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率.中心极限定理定理一:设X1,X2,…,X n ,…相互独立并服从同一分布,且E(X k)=μ,D(X k)=ζ2 >0,则n→∞时有σμnnXknk)(1-∑=N(0,1)或nXσμ-~N(0,1)或X~N(μ,n2σ).定理二:设X1,X2,…,X n ,…相互独立且E(X k)=μk,D(X k)=ζk2 >0,若存在δ>0使n→∞时,}|{|1212→-∑+=+δδμkknknXEB,则nknkknkBX)(11μ==∑-∑~N(0,1),记212knknBσ=∑=.定理三:设),(~pnbnη,则n→∞时,Npnpnpn~)1()(--η(0,1),knknX1=∑=η.第六章样本及抽样分布定义:总体:全部值;个体:一个值;容量:个体数;有限总体:容量有限;无限总体:容量无限.定义:样本:X1,X2,…,X n 相互独立并服从同一分布F的随机变量,称从F得到的容量为n的简单随机样本.频率直方图:图形:以横坐标小区间为宽,纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形.横坐标:数据区间(大区间下限比最小数据值稍小,上限比最大数据值稍大;小区间:均分大区间,组距Δ=大区间/小区间个数;小区间界限:精度比数据高一位).图形特点:外轮廓接近于总体的概率密度曲线.纵坐标:频率/组距(总长度:<1/Δ;小区间长度:频率/组距).定义:样本p分位数:记x p,有1.样本x i中有np个值≤x p.2.样本中有n(1-p)个值≥x p.箱线图:x p选择:记⎪⎩⎪⎨⎧∈+∉=++NnpxxNnpxxnpnpnpp当,当,][211)()()1]([.分位数x0.5,记为Q2或M,称为样本中位数.分位数x0.25,记为Q1,称为第一四分位数.分位数x0.75,记为Q3,称为第三四分位数.图形:图形特点:M为数据中心,区间[min,Q1],[Q1,M],[M,Q3],[Q3,max]数据个数各占1/4,区间越短数据密集.四分位数间距:记IQR=Q3-Q1;若数据X<Q1-1.5IQR或X>Q3+1.5IQR,就认为X是疑似异常值.抽样分布:样本平均值:iniXnX11=∑=样本方差:)(11)(11221212XnXnXXnSiniini-∑-=-∑-===样本标准差:2SS=样本k阶(原点)矩:kinikXnA11=∑=,k≥1 样本k阶中心矩:kinikXXnB)(11-∑==,k≥2经验分布函数:)(1)(xSnxFn=,∞<<∞-x.)(xS表示F的一个样本X1,X2,…,X n 中不大于x的随机变量的个数.自由度为n的χ2分布:记χ2~χ2(n),222212nXXX+++=χ,其中X1,X2,…,X n是来自总体N(0,1)的样本.E(χ2 )=n,D(χ2 )=2n.χ12+χ22~χ2(n1+n2).⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他,,)2(21)(2122yexnyfynn.χ2分布的分位点:对于0<α<1,满足αχχαχα==>⎰∞yyfnPn)(222d)()}({,则称)(2nαχ为)(2nχ的上α分位点.~ 近似的min Q1 M Q3 max当n 充分大时(n >40),22)12(21)(-+≈n z n ααχ,其中αz 是标准正态分布的上α分位点. 自由度为n 的t 分布:记t ~t (n ),nY Xt /=, 其中X~N (0,1),Y~χ2(n ),X ,Y 相互独立.2)1(2)1(]2[]2)1([)(+-+Γ+Γ=n n t n n n t h π h (t )图形关于t =0对称;当n 充分大时,t 分布近似于N (0,1)分布.t 分布的分位点:对于0<α<1,满足ααα==>⎰∞t t h n t t P n t )(d )()}({,则称)(n t α为)(n t 的上α分位点. 由h (t )对称性可知t 1-α(n )=-t α(n ).当n >45时,t α(n )≈z α,z α是标准正态分布的上α分位点.自由度为(n 1,n 2)的F分布:记F ~F (n 1,n 2),21n V n U F =,其中U~χ2(n 1),V~χ2(n 2),X ,Y 相互独立.1/F ~F (n 2,n 1)⎪⎩⎪⎨⎧>+ΓΓ+Γ=+-其他,,00]1)[2()2()](2)([)(2)(21211)2(221212111x n y n n n y n n n n y n n n n ψF 分布的分位点:对于0<α<1,满足αψαα==>⎰∞y y n n F F P n n F ),(2121d )()},({,则称),(21n n F α为),(21n n F 的上α分位点.重要性质:F 1-α(n 1,n 2)=1/F α(n 1,n 2).定理一: 设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ,ζ2)的样本,则有),(~2n N X σμ,其中X 是样本均值. 定理二:设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ,ζ2)的样本,样本均值和样本方差分别记为 X ,2S ,则有1.)1(~)1(222--n S n χσ;2.X 与2S 相互独立.定理三:设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ,ζ2)的样本,样本均值和样本方差分别记为X ,2S ,则有)1(~--n t nS X μ.定理四:设X 1,X 2,…,X n 1 与Y 1,Y 2,…,Y n 2分别是来自N (μ1,ζ12)和N (μ2,ζ22)的样本,且相互独立.设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为 X ,Y ,21S ,22S ,则有1.)1,1(~2122212221--n n F S S σσ.2.当ζ12=ζ22=ζ2时,)2(~)()(21121121-++-----n n t n n S Y X w μμ,其中2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w,2w w S S =. 第七章 参数估计定义: 估计量:),,,(ˆ21n X X X θ,估计值:),,,(ˆ21nx x x θ,统称为估计. 矩估计法:令)(ll X E =μ=li n i l X n A 11=∑=(k l ,,2,1 =)(k 为未知数个数)联立方程组,求出估计θˆ.设总体X 均值μ及方差ζ2都存在,则有 X A ==1ˆμ,212212122)(11ˆX X n X X n A A i n i i n i -∑=-∑=-===σ. 最大似然估计法: 似然函数:离散:);()(1θθi n i x p L =∏=或连续:);()(1θθi ni x f L =∏=,)(θL 化简可去掉与θ无关的因式项.θˆ即为)(θL 最大值,可由方程0)(d d =θθL 或0)(ln d d =θθL 求得. 当多个未知参数θ1,θ1,…,θk 时:可由方程组 0d d =L i θ或0ln d d =L i θ(k i ,,2,1 =)求得. 最大似然估计的不变性:若u =u (θ)有单值反函数θ=θ(u ),则有)ˆ(ˆθu u=,其中θˆ为最大似然估计. 截尾样本取样: 定时截尾样本:抽样n 件产品,固定时间段t 0内记录产品个体失效时间(0≤t 1≤t 2≤…≤t m ≤t 0)和失效产品数量. 定数截尾样本:抽样n 件产品,固定失效产品数量数量m 记录产品个体失效时间(0≤t 1≤t 2≤…≤t m ). 结尾样本最大似然估计:定数截尾样本:设产品寿命服从指数分布X~e (θ),θ即产品平均寿命.产品t i 时失效概率P {t =t i }≈f (t i )d t i ,寿命超过t m 的概率θm t m e t t F -=>}{,则)(}){()(1i m i m n m m n t P t t F C L =-∏>=θ,化简得)(1)(m t s m e L ---=θθθ,由0)(ln d d =θθL 得:mt s m )(ˆ=θ,其中s (t m )=t 1+t 2+…+t m +(n -m )t m ,称为实验总时间. 定时截尾样本:与定数结尾样本讨论类似有s (t 0)=t 1+t 2+…+t m +(n -m )t 0,)(01)(t s m e L ---=θθθ,mt s )(ˆ0=θ,. 无偏性: 估计量),,,(ˆ21nX X X θ的)ˆ(θE 存在且θθ=)ˆ(E ,则称θˆ是θ的无偏估计量. 有效性:),,,(ˆ211n X X X θ与),,,(ˆ212n X X X θ都是θ的无偏估计量,若)ˆ()ˆ(21θθD D ≤,则1ˆθ较2ˆθ有效. 相合性: 设),,,(ˆ21n X X X θθ的估计量,若对于任意0>ε有1}|ˆ{|lim =<-∞→εθθP n ,则称θˆ是θ的相合估计量. 置信区间:αθθθ-≥<<1)},,,(),,,({2121n n X X X X X X P ,θ和θ分别为置信下限和置信上限,则),(θθ是θ的一个置信水平为α-1置信区间,α-1称为置信水平,10<<α.正态样本置信区间: 设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X ~N (μ,ζ2)的样本,则有μ的置信区间:枢轴量W W 分布 a ,b 不等式 置信水平 置信区间)1,0(~N n X σμ-⇒ασμα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-12z n X P ⇒)(2ασz n X ± 其中z α/2为上α分位点θ置信区间的求解: 1.先求枢轴量:即函数W =W (X 1,X 2,…,X n ;θ),且函数W 的分布不依赖未知参数. 如上讨论标注2.对于给定置信水平α-1,定出两常数a ,b 使P {a <W <b }=α-1,从而得到置信区间. (0-1)分布p 的区间估计:样本容量n >50时,⇒--∞→)1,0(~)1()(lim N p np np X n n {}⇒-≈<--αα1)1()(2z p np np X n P0)2()(222222<++-+X n p z X n p z n αα⇒若令22αz n a +=,)2(22αz X n b +-=,2X n c =,则有置信区间(a ac b b 2)4(2---,a ac b b 2)4(2-+-).单侧置信区间:若αθθ-≥>1}{P 或αθθ-≥<1}{P ,称(θ,∞)或(∞-,θ)是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间.正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限(置信水平为α-1)待估 其他 枢轴量W 的分布置信区间单侧置信限一个正态总体μζ2已知 )1,0(~N nX Z σμ-=)(2ασz nX ±ασμz nX +=,ασμz nX -=μζ2未知 )1(~--=n t nS X t μ⎪⎭⎫ ⎝⎛±2αt n S X αμt n S X +=,αμt nSX -= ζ2μ未知)1(~)1(2222--=n S n χσχ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2212222)1(,)1(ααχχS n S n 2122)1(αχσ--=S n ,222)1(αχσS n -=两个正态总体μ1-μ2ζ12,ζ22已知 )1,0(~)(22212121N n n Y X Z σσμμ+---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±-2221212n n z Y X σσα2221212122212121n n z Y X n n z Y X σσμμσσμμαα+--=-++-=-μ1-μ2ζ12=ζ22=ζ2 未知)2(~)()(21121121-++---=--n n t n n S Y X t w μμ()12112--+±-n n S tY X w α2w w S S =121121121121----+--=-++-=-n n S t Y X n n S t Y X w w ααμμμμ2)1()1(2122 22112-+-+-=nnS nSnSwζ12/ζ22μ1,μ2未知)1,1(~2122212221--=nnFSSFσσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-212221222211,1ααFSSFSSασσ-=1222122211FSS,ασσFSS122212221=单个总体X~N(μ,ζ2),两个总体X~N(μ1,ζ12),Y~N(μ2,ζ22).第八章假设实验定义:H0:原假设或零假设,为理想结果假设;H1:备择假设,原假设被拒绝后可供选择的假设.第Ⅰ类错误:H0实际为真时,却拒绝H0.第Ⅱ类错误:H0实际为假时,却接受H0.显著性检验:只对犯第第Ⅰ类错误的概率加以控制,而不考虑第Ⅱ类错误的概率的检验.P{当H0为真拒绝H0}≤α,α称为显著水平.拒绝域:取值拒绝H0.临界点:拒绝域边界.双边假设检验:H0:θ=θ0,H1:θ≠θ0.右边检验:H0:θ≤θ0,H1:θ>θ0.左边检验:H0:θ≥θ0,H1:θ<θ0.正态总体均值、方差的检验法(显著性水平为α)原假设H0备择假设H1检验统计量拒绝域1 ζ2已知μ≤μ0μ>μ0nXZσμ-=z≥zαμ≥μ0μ<μ0z≤-zαμ=μ0μ≠μ0|z|≥zα/22 ζ2未知μ≤μ0μ>μ0nSXt0μ-=t≥tα(n-1) μ≥μ0μ<μ0t≤-tα(n-1) μ=μ0μ≠μ0|t|≥tα/2(n-1)3 ζ1,ζ2已知μ1-μ2≤δμ1-μ2>δ222121nnYXZσσδ+--=z≥zαμ1-μ2≥δμ1-μ2<δz≤-zαμ1-μ2=δμ1-μ2≠δ|z|≥zα/24 ζ12=ζ22=ζ2未知μ1-μ2≤δμ1-μ2>δ1211--+--=nnSYXtwδ2)1()1(212222112-+-+-=nnSnSnSwt≥tα(n1+n2-2) μ1-μ2≥δμ1-μ2<δt≤-tα(n1+n2-2)μ1-μ2=δμ1-μ2≠δ|t|≥tα/2(n1+n2-2)5 μ未知ζ2≤ζ02ζ2>ζ02222)1(σχSn-=χ2≥χα2(n-1)ζ2≥ζ02ζ2<ζ02χ2≤χ21-α(n-1)ζ2=ζ02ζ2≠ζ02χ2≥χ2α/2(n-1)或χ2≤χ21-α/2(n-1)6 μ1,μ2未知ζ12≤ζ22ζ12>ζ222221SSF=F≥Fα(n1-1,n2-1) ζ12≥ζ22ζ12<ζ22F≤F1-α(n1-1,n2-1)ζ12=ζ22ζ12≠ζ22F≥Fα/2(n1-1,n2-1)或F≤F1-α/2(n1-1,n2-1)7 成对数据μD≤0 μD>0nSDtD-=t≥tα(n-1) μD≥0 μD<0 t≤-tα(n-1)μD=0 μD≠0 |t|≥tα-2(n-1)检验方法选择:主要是逐对比较法(成对数据)跟两个正态总体均值差的检验的区别,如上表即7跟3、4的区别,成对数据指两样本X和Y之间存在一一对应关系,而3和4一般指X和Y相互对立,但针对同一实体.关系:置信区间与假设检验之间的关系:未知参数的置信水平为1-α的置信区间与显著水平为α的接受域相同.定义:施行特征函数(OC函数):β(θ)=Pθ(接受H0).功效函数:1-β(θ).功效:当θ*∈H1时,1-β(θ*)的值.。

考研数学《概率论与数理统计》知识点总结

考研数学《概率论与数理统计》知识点总结

考研数学《概率论与数理统计》知识点总结引言《概率论与数理统计》是考研数学中的一个重要分支,它不仅要求学生掌握理论知识,还要求能够运用这些知识解决实际问题。

本文档旨在对《概率论与数理统计》的核心知识点进行总结,帮助考生系统复习。

第一部分:概率论基础1. 随机事件与样本空间随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

样本空间:所有可能结果的集合。

2. 概率的定义古典定义:适用于有限样本空间,每个样本点等可能发生。

频率定义:长期频率的极限。

主观定义:基于个人信念或偏好。

3. 概率的性质非负性:概率值非负。

归一性:所有事件的概率之和为1。

加法定理:互斥事件概率的和。

4. 条件概率与独立性条件概率:已知一个事件发生的情况下,另一个事件发生的概率。

独立性:两个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。

5. 随机变量及其分布离散型随机变量:可能取有限个或可数无限个值。

连续型随机变量:可能取无限连续区间内的任何值。

分布函数:随机变量取值小于或等于某个值的概率。

第二部分:随机变量及其分布1. 离散型随机变量的分布概率质量函数:描述离散型随机变量取特定值的概率。

常见分布:二项分布、泊松分布、几何分布等。

2. 连续型随机变量的分布概率密度函数:描述连续型随机变量在某区间的概率密度。

常见分布:均匀分布、正态分布、指数分布等。

3. 多维随机变量及其分布联合分布:描述多个随机变量联合取值的概率。

边缘分布:从联合分布中得到的单一随机变量的分布。

条件分布:给定一个随机变量的条件下,另一个随机变量的分布。

第三部分:数理统计基础1. 数理统计的基本概念总体与样本:总体是研究对象的全体,样本是总体中所抽取的一部分。

统计量:根据样本数据计算得到的量。

2. 参数估计点估计:用样本统计量估计总体参数的单个值。

区间估计:在一定概率下,总体参数落在某个区间的估计。

3. 假设检验原假设与备择假设:研究问题中的两个对立假设。

检验统计量:用于决定是否拒绝原假设的量。

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Ω所含样本点数: n n ... n n n Α所含样本点数: n (n 1) ( n 2) ... 1 n!
n! P( A) nn
补例 2:将 3 封信随机地放入 4 个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为 1、 2、3 的概率各是多少? 解:设 Ai :“信箱中信的最大封数为 i ”。(i =1,2,3)求: P(Ai )=?
2、公式: P( A1 A2 ... An ) 1 P( A1 A2 ... An )
第二章 随机变量及其分布
一、关于离散型随机变量的分布问题
1、求分布列: ⑴确定各种事件,记为 写成一行; ⑵计算各种事件概率,记为 p k 写成第二行。得到的表即为所求的分布列。
注意:应符合性质——
1、 pk 0 (非负性)
第三章多维随机变量及其分布,主要是二维的。 大纲中规定的考试内容有: 二维离散 型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布,二维连续型随 机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度,随机变量的独
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立性和不相关性,常用二维随机变量的分布,两个及两个以上
随机变量简单函数的分布。
DXDiTa9E3d
2 / 22Байду номын сангаас
《概率论与数理统计》
第一章随机事件及其概率
§1.1 随机事件 一、给出事件描述,要求用运算关系符表示事件: 二、给出事件运算关系符,要求判断其正确性:
§1.2 概率 古典概型公式: P(A )= A所含样本点数
所含样本点数
实用中经常采用 “排列组合 ”的方法计算 补例 1:将 n 个球随机地放到 n 个盒中去,问每个盒子恰有 1 个球的概率是多少? 解:设 A:“每个盒子恰有 1 个球 ”。求: P(A)=?
全概率与逆概率公式:
全概率公式:
n
P( B)
P( Ai )P( B / Ai )
i1
逆概率公式:
P( Ai / B)
P( Ai B) P(B)
(i 1,2,..., n)
( 注意全概率公式和逆概率公式的题型:将试验可看成分为两步做,如果要求第二 步某事件的概率,就用全概率公式;如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事 件的概率,就用逆概率公式。 )jLBHrnAILg
第四章随机变量的数字特征,这部分内容掌握起来不难, 主要是记忆一些相关 公式,以及常见分布的数字特征。大数定律和中心极限定理这 部分也是在理解的基础上以记忆为主 ,再配合做相关的练习题就可轻松搞
定。 RTCrpUDGiT
数理统计这部分的考查难度也不大,首先 基本概念都了解清楚 。χ2 分布、 t 分 布和 F 分布的概念及性质要熟悉 ,考题中常会有涉及。 参数估计的矩 估计法和最大似然估计法,验证估计量的无偏性、有效性是要 重点掌握的。单个及两个正态总体的均值和方差的区间估计是 考点。 5PCzVD7HxA
2、 pk 1 (可加性和规范性)
k
补例 1:将一颗骰子连掷 2 次,以 表示两次所得结果之和, 试写出 的概率分布。
解: Ω 所含样本点数: 6×6=36
所求分布列为:
xHAQX74J0X
A1 A2 ... An A1 A2 ... An
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§1.4 条件概率与乘法法则
条件概率公式:
P(A/B)= P( AB) (P(B)≠0)
P(B)
P(B/A)= P( AB) (P(A)≠0)
P( A)
∴P(AB )=P(A /B)P(B)= P( B / A)P(A)
有时须与 P(A+B )=P(A)+P(B)- P(AB )中的 P( AB )联系解题。
基本公式要掌握
首先 必须会计算古典型概率 ,这个用高中数学的知识就可解决,如果在解古典概
率方面有些薄弱, 就应该系统地把高中数学中的概率知识复习一遍了, 而且要将每类型的概率 求解问题都做会了,虽然不一定会考到,但也要预防
万一,而且为后面的复习做准备。
第一章内容: 随机事件和概率 ,也是后面内容的基础, 基本的概念、 关系一 定要分辨清楚。 条件概率、 全概率公式和贝叶斯公式是重点 ,计
算概率的除了上面提到的古典型概率,还有伯努利概型和几何概型也是要重点掌握的。
b5E2RGbCAP
第二章是随机变量及其分布, 随机变量及其分布函数的概念、性质要 理解,常见的离散型随机变量及其概率分布: 0-1 分布、二项 分布 B(n,p) 、几何分布、超几何分布、泊松分布 P(λ);连续性随 机变量及其概率密度的概念 ;均匀分布 U(a,b) 、正态分布 N( μ, σ2) 、指数分布等,以上它们的性质特点要记清楚并能熟练应用, 考题中常会有涉及。 p1EanqFDPw
§1.5 独立试验概型
事件的独立性:
A与B相互独立 P( AB) P( A) P(B)
贝努里公式( n 重贝努里试验概率计算公式):课本 P24
另两个解题中常用的结论 ——
5 / 22
1、定理:有四对事件: A 与 B、A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B ,如果其中有一
对相互独立,则其余三对也相互独立。
Ω所含样本点数: 4 4 4 43 64 A1 所含样本点数: 4 3 2 24
24 3 P( A1) 64 8
3 / 22
A 2 所含样本点数:
C
2 3
4
3
36
36 9 P( A2 )
64 16
A 3 所含样本点数: C33 4 4
41 P( A3 ) 64 16
注:由概率定义得出的几个性质:
1、 0<P( A )<1
2、P(Ω)=1,P(φ) =0
§1.3 概率的加法法则
定理:设 A、B 是互不相容 事件( AB= φ),则:
P(A∪ B)=P(A)+P(B)
推论 1:设 A 1、 A 2、… 、 A n 互不相容,则 P(A 1+A 2+...+ An)= P(A1) + P(A 2) + … + P(An) 推论 2:设 A 1、 A2、…、 An 构成完备事件组,则
P(A1+A 2+...+ A n)=1 推论 3: P(A )=1-P( A )
推论 4:若 B A ,则 P(B-A)= P(B) -P(A)
推论 5(广义加法公式):
对任意两个事件 A 与 B,有 P(A∪B)=P(A)+P(B) -P(A B)
补充 —— 对偶律:
A1 A2 ... An A1 A2 ... An
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