概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》
第一章 概率论的基本概念
§2．样本空间、随机事件
1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生
B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生
B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A,B 同时发生时，事件B A ⋂发生
B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生
φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的
且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件
2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃
结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —
§3．频率与概率
定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，
比值n n A 称为事件A 发生的频率
概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ）,称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：
概率论与数理统计各章重点知识点汇总--最新版
第一章 概率论的基本概念
一.基本概念
随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.
必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算
1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.
2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.
3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.
4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.
5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.
6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .
运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质
1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;
(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),
P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质
概率论与数理统计考点归纳
概率论与数理统计考点归纳
1. 引言
概率论与数理统计是数学中的两个重要分支，它们研究随机现象的规律和利用数据推断总体特征。在实际应用中，概率论与数理统计广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。本文将从以下几个方面对概率论与数理统计的考点进行归纳和总结。
2. 概率论考点
2.1 随机变量与概率分布
•随机变量的定义、分类和常见概率分布：离散随机变量、连续随机变量、二项分布、泊松分布、正态分布等。
•期望、方差和协方差的定义和性质，以及它们与随机变量的关系。
•大数定律和中心极限定理的概念和应用。
2.2 一维随机变量的分布特征
•分布函数、概率密度函数和概率质量函数的定义和性质。
•分位数和分位点的概念和计算方法。
•随机变量的矩、协方差和相关系数的定义和计算。
•常见分布的特征：均匀分布、指数分布、正态分布等。
2.3 多维随机变量的分布特征
•多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布的定义和性质。
•多维随机变量的矩、协方差矩阵和相关系数矩阵的定义和计算。
•多维正态分布的定义和性质，以及多维正态分布的应用。
2.4 随机变量的函数的分布特征
•随机变量函数的分布：线性变换、和、积、商的分布。
•随机变量函数的期望、方差和协方差的计算方法。
3. 数理统计考点
3.1 抽样与抽样分布
•抽样的概念和方法：随机抽样、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样等。
•抽样分布的概念和性质：样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布、样本方差的抽样分布等。
•中心极限定理在抽样分布中的应用。
3.2 参数估计
•点估计的概念和方法：矩估计、最大似然估计等。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
z
2
x=z-1
x=z
1 x
0
第四章 数字特征小结(定义、含义、计算和性质)
1.计算（附表一：六大分布）
xi pi D.R.V i E ( X ) xf ( x)dx C.R.V
R2
g ( xi ) pi D.R.V i E ( g ( X )) g ( x ) f ( x )dx C.R.V
0.587 .
例2 填空(可作图帮助分析)
0.6 (1) 设P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则P(AB) =______
P( A B) P( A) P( AB) 0.3, P( AB) 0.7 0.3 0.4
(2) 若A 与B 独立，且A 与B 互不相容，则 min{P(A)，P(B)}=____。 P( AB) P( A) P( B) P( ) 0 (3) 已知P(A)=0.3，P(B)=0.5。则当A与B相互独立时， 0.65 有P(A∪B)=_____；当A与B不相容时，有P(B-A)=____；当 0.5 0.4 P(A/B)=0.4时，有 P( A B ) _____.
P( D) P( ABC AB C A BC) P( ABC ) P( AB C) P( A BC)
0.3 0.2 0.9 0.3 0.8 0.1 0.7 0.2 0.1 =0.092 P(C D) P( ABC ) 0.3 0.2 0.9 0.587 P(C / D) 0.092 P( D ) P( D)
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《概率论与数理统计》
第一章概率论的基本概念
§2．样本空间、随机事件
1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生
A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有
一个发生时，事件 A B 发生
A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事
件A B 发生
A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发
生时，事件 A — B 发生
A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的
A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为
且
对立事件
2．运算规则交换律 A B B A A B B A
结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)
分配律 A （B C）(A B) ( A C)
A (
B C)(A B)( A C)
—
徳摩根律 A B A B A B A B
§3．频率与概率
定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件
A
A 发生的频数，比值n n
A 称为事件 A 发生的频率
概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率
1．概率P( A)满足下列条件：
（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1
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第1章随机事件及其概率
我们作了次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；
次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生
与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。
用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，
，。
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
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《概率论与数理统计》
第一章 概率论的基本概念
§2．样本空间、随机事件
1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生
B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生
B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生
B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生
φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的
且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件
2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃
结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —
§3．频率与概率
定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事
件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率
概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：
概率论与数理统计总结
第一章随机事件与概率
第一节随机事件及其运算
1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象
2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω｝，其中
ω表示基本结果，又称为样本点。
3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表
示,Ω表示必然事件，∅表示不可能事件.
4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。
5、时间的表示有多种：
（1）用集合表示，这是最基本形式
（2）用准确的语言表示
（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示
6、事件的关系
（1）包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事
件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B；
（2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
（3）互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容
7、事件运算
（1）事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。
(2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。
(3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生，记为 A－B。用交并补可以表示为。
（4)对立事件:事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”,记为.
对立事件的性质：。
8、事件运算性质：设A，B,C为事件，则有
(1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA
（2）结合律：A∪（B∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C A(BC）=（AB)C=ABC
（3)分配律：A∪(B∩C）＝(A∪B)∩(A∪C)、A（B∪C)＝(A∩B）∪(A∩C)= AB
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e
i
k
则有P(A)=k/n，其中n为样本空间中元素的个数。
在概率论中，样本空间和随机事件是基本概念。如果事件
A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作
A⊂B。当A和B中至少有一个发生时，称A∪B为事件A和
事件B的和事件。当A和B同时发生时，称A∩B为事件A
和事件B的积事件。当A发生、B不发生时，称A-B为事件
A和事件B的差事件。如果A和B互不相容，即A∩B=∅，
则称A和B是互不相容的，或互斥的，基本事件是两两互不
相容的。如果A∪B=S且A∩B=∅，则称事件A和事件B互为逆事件，又称事件A和事件B互为对立事件。
在概率论中，还有一些运算规则。交换律指A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律指(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；分配律指A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；德摩根律指A∪B=A∩B，
A∩B=A∪B。
频率与概率是概率论的重要概念。在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A
称为事件A发生的频数，比值n
A
n称为事件A发生的频率。概率指对于随机试验E的每一事件A赋予一个实数P(A)，称为事件的概率。概率P(A)满足非负性，即对于每一个事件A，0≤P(A)≤1；规范性，即对于必然事件S，P(S)=1；可列可加性，即设A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则有P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞）。
概率还有一些重要性质，包括P(∅)=0，P(∪Ai)=∑P(Ai)（n可以取∞），如果A⊂B，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤1，P(A)=1-P(A')，以及P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
概率论与数理统计知识点总结
第1章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
先利用X的概率密度f
X (x)写出Y的分布函数F
Y
P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出
其中h’(y)是g(x)的反函数
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
概率论与数理统计总结
3、分布函数与概率的关系 ∞<<∞-≤=x x X P x F ),()(
)
()()
()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<
4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1,0,)
1()(1=-==-k p p k X P k
k
(2) 二项分布 ),(p n B n k p p C k X P k n k
k n ,,1,0,)1()( =-==-
泊松定理 0lim >=∞
→λn n np 有
,2,1,0!)
1(lim ==---∞
→k k e
p p C k
k
n n k n
k
n n λλ
(3) 泊松分布 )(λP = ,2,1,0,!
)(===-k k e k X P k
λλ
〔5〕几何分布 p q k p q
k X P k -====-1,2,1}{1
dt t f x F x ⎰
∞
-=)()(则称X 为连续型随机变量，
其中函数f(x)称为随机变量X 的概率密度函数， 2、分布函数的性质：
〔1〕连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。
〔2〕对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数a 的概率均为零，即P{X=a }=0。 3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a U
⎪⎩⎪
⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a
b x f ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=1,,
0)(a b a x x F (2) 指数分布 )(λE
⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,
00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x
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《概率论与数理统计》
第一章 概率论的基本概念
§2．样本空间、随机事件
1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生
B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生
B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生
φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的
且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件
2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃
结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —
§3．频率与概率
定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事
件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率
概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P
概率论与数理统计知识点总结
第1章随机事件及其概率
我们作了n次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；
n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
《概率论与数理统计》复习-知识归纳整理
《概率论与数理统计》复习大纲第一章 随机事件与概率
基本概念随机试验E----指试验可在相同条件下重复举行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果闪现，且事先知道试验可能闪现的一切结果，但不能预知每次试验确实切结果。
样本点ω ---随机试验E的每一具可能闪现的结果
样本空间Ω----随机试验E的样本点的全体
随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一具子集。
必然事件---每次试验中必然发生的事件。不可能事件∅--每次试验中一定不发生的事件。
事件之间的关系包含A⊂B
相等A=B
对立事件，也称A的逆事件
互斥事件AB=∅也称不相容事件
A，B相互独立P(AB)=P(A)P(B)
例1事件A，B互为对立事件等价于（ D ）
A、A，B互不相容
B、A，B相互独立
C、A∪B＝Ω
D、A，B构成对样本空间的一具剖分
例2设P(A)=0，B为任一事件，则（C ）
A、A=∅
B、A⊂B
C、A与B相互独立
D、A与B互不
相容
事件之间的运算事件的交AB或A ∩B 例1设事件A、B满足A B¯=∅，由此推导不出(D)
A、A⊂B
B、A¯⊃B¯
C、A B=B
D、A B=B
例2若事件B与A满足B – A=B，则一定有(B)
A、A=∅
B、AB=∅
C、AB¯=∅
D、B=A¯
事件的并A∪B
事件的差A-B 注意：A-B
= A B= A-AB = (A∪B)-B
A
1
,A
2
,…,A
n
构成Ω的一具完备事件组(或分斥)−−指A
1
,A
2
,…,A
n
两两互不相容，且∪
i=1
n
A
i
=Ω
运算法则交换律A∪B=B∪A A∩B=B∩A
概率论与数理统计总结
概率论与数理统计总结
3、分布函数与概率的关系 ∞
<<∞-≤=x x X P x F ),()(
)
()()
()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<
4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1
,0,)
1()(1=-==-k p p k X P k
k
(2) 二项分布 ),(p n B n
k p p C k X P k n k k n
,,1,0,)1()(Λ=-==- 泊松定理 0
lim >=∞
→λn
n np
有
Λ
,2,1,0!
)
1(lim ==---∞
→k k e
p p C k
k
n n k n
k n
n λλ
(3) 泊松分布 )(λP =Λ
,2,1,0,!
)(===-k k e
k X P k
λλ
（5）几何分布 p q k p q k X P k -====-1,2,1}{1
Λ dt t f x F x ⎰∞
-=)()(则称X 为连续型随机变量，其中函数
f(x)称为随机变量X 的概率密度函数， 2、分布函数的性质：
（1）连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。
（2）对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数a 的概率均为零，即P{X=a }=0。 3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a U
f (x ,y )称为二维向量(X ,Y )的(联合)概率密度.
其中： 0),(≥y x f ，⎰⎰∞
∞-∞∞
-=1),(dxdy y x f
（2）基本二维连续型随机向量分布
均匀分布：
⎪⎩⎪
⎨⎧∈=其他
),(1),(G y x A
概率论与数理统计知识点总结
P{X
k}
Ck N1
Cnk N2
,0
k
n
分
CnN
布
泊
松 P{X k} k e , k 0,1, 2,
分
k!
布
0 为参数
EX n N1 N
DX n N1 N2 N n N N N 1
EX
DX
二项分布可作为超几何分布的近似，即
Ck N1
Cnk N2
CnN
Cnk
N1 N
③如果 EX 存在，则对任意实数 a ，有 E(X a) EX a .
（5）随机变量的方差
离差： X EX 方差： DX E(X EX )2
标准差： DX
①若 X 为离散型随机变量，其概率分布为 P{X xi} pi ,i 1, 2, ，则
DX E(X EX )2 (xi EX )2 pi
i
（4）贝叶斯公式
设{Ai} 是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件，且 Ai ，则对任意事件
i 1
B ，
P(B) 0 ，有 P( Ai
B) P( AiB) P(B)
P( Ai )P(B Ai ) . P(Aj )P(B Aj )
j
5.事件的独立性
（1）两个事件的独立性
P(AB) P(A)P(B)
7
概率论与数理统计
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第二章是随机变量及其分布， 随机变量及其分布函数的概念、性质要 理解，常见的离散型随机变量及其概率分布： 0-1 分布、二项 分布 B(n,p) 、几何分布、超几何分布、泊松分布 P(λ);连续性随 机变量及其概率密度的概念 ;均匀分布 U(a,b) 、正态分布 N( μ, σ2) 、指数分布等，以上它们的性质特点要记清楚并能熟练应用， 考题中常会有涉及。 p1EanqFDPw
Ω所含样本点数： n n ... n n n Α所含样本点数： n (n 1) ( n 2) ... 1 n!
n! P( A) nn
补例 2：将 3 封信随机地放入 4 个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为 1、 2、3 的概率各是多少？ 解：设 Ai ：“信箱中信的最大封数为 i ”。(i =1,2,3)求： P(Ai )=？
全概率与逆概率公式：
全概率公式：
n
P( B)
P( Ai )P( B / Ai )
i1
逆概率公式：
P( Ai / B)
P( Ai B) P(B)
(i 1,2,..., n)
（ 注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二 步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事 件的概率，就用逆概率公式。 ）jLBHrnAILg
基本公式要掌握
首先 必须会计算古典型概率 ，这个用高中数学的知识就可解决，如果在解古典概
率方面有些薄弱， 就应该系统地把高中数学中的概率知识复习一遍了， 而且要将每类型的概率 求解问题都做会了，虽然不一定会考到，但也要预防
万一，而且为后面的复习做准备。
第一章内容： 随机事件和概率 ，也是后面内容的基础， 基本的概念、 关系一 定要分辨清楚。 条件概率、 全概率公式和贝叶斯公式是重点 ，计
2、公式： P( A1 A2 ... An ) 1 P( A1 A2 ... An )
第二章 随机变量及其分布
一、关于离散型随机变量的分布问题
1、求分布列： ⑴确定各种事件，记为 写成一行； ⑵计算各种事件概率，记为 p k 写成第二行。得到的表即为所求的分布列。
注意：应符合性质——
1、 pk 0 （非负性）
2、 pk 1 （可加性和规范性）
k
补例 1：将一颗骰子连掷 2 次，以 表示两次所得结果之和， 试写出 的概率分布。
解： Ω 所含样本点数： 6×6=36
所求分布列为：
xHAQX74J0X
第三章多维随机变量及其分布，主要是二维的。 大纲中规定的考试内容有： 二维离散 型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，二维连续型随 机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，随机变量的独
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立性和不相关性，常用二维随机变量的分布，两个及两个以上
随机变量简单函数的分布。
DXDiTa9E3d
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《概率论与数理统计》
第一章随机事件及其概率
§1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：
§1.2 概率 古典概型公式： P（A ）= A所含样本点数
所含样本点数
实用中经常采用 “排列组合 ”的方法计算 补例 1：将 n 个球随机地放到 n 个盒中去，问每个盒子恰有 1 个球的概率是多少？ 解：设 A：“每个盒子恰有 1 个球 ”。求： P(A)=？
Ω所含样本点数： 4 4 4 43 64 A1 所含样本点数： 4 3 2 24
24 3 P( A1) 64 8
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A 2 所含样本点数：
C
2 3
4
3
36
36 9 P( A2 )
64 16
A 3 所含样本点数： C33 4 4
41 P( A3 ) 64 16
注：由概率定义得出的几个性质：
1、 0<P（ A ）<1
A1 A2 ... An A1 A2 ... An
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§1.4 条件概率与乘法法则
条件概率公式：
P(A/B)= P( AB) （P(B)≠0）
P(B)
P(B/A)= P( AB) （P(A)≠0）
P( A)
∴P（AB ）=P（A /B）P（B）= P（ B / A）P（A）
有时须与 P（A+B ）=P（A）+P（B）－ P（AB ）中的 P（ AB ）联系解题。
§1.5 独立试验概型
事件的独立性：
A与B相互独立 P( AB) P( A) P(B)
贝努里公式（ n 重贝努里试验概率计算公式）：课本 P24
另两个解题中常用的结论 ——
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1、定理：有四对事件： A 与 B、A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B ，如果其中有一
对相互独立，则其余三对也相互独立。
2、P(Ω)=1，P(φ) =0
§1.3 概率的加法法则
定理：设 A、B 是互不相容 事件（ AB= φ），则：
P（A∪ B）=P（A）+P（B）
推论 1：设 A 1、 A 2、… 、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ An)= P(A1) + P(A 2) + … + P(An) 推论 2：设 A 1、 A2、…、 An 构成完备事件组，则
第四章随机变量的数字特征，这部分内容掌握起来不难， 主要是记忆一些相关 公式，以及常见分布的数字特征。大数定律和中心极限定理这 部分也是在理解的基础上以记忆为主 ，再配合做相关的练习题就可轻松搞
定。 RTCrpUDGiT
数理统计这部分的考查难度也不大，首先 基本概念都了解清楚 。χ2 分布、 t 分 布和 F 分布的概念及性质要熟悉 ，考题中常会有涉及。 参数估计的矩 估计法和最大似然估计法，验证估计量的无偏性、有效性是要 重点掌握的。单个及两个正态总体的均值和方差的区间估计是 考点。 5PCzVD7HxA
P(A1+A 2+...+ A n)=1 推论 3： P（A ）=1－P（ A ）
推论 4：若 B A ，则 P(B－A)= P(B) －P(A)
推论 5（广义加法公式）：
对任意两个事件 A 与 B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B) －P(A B)
补充 —— 对偶律：
A1 A2 ... An A1 A2 ... An