2020-2021无锡市辅仁中学高三数学上期末试题含答案

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江苏省无锡市辅仁中学2021年高三化学联考试卷含解析

江苏省无锡市辅仁中学2021年高三化学联考试卷含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。

）1. （2分）在含有FeCl3、FeCl2、AlCl3、NaCl的混合溶液中，加入足量的Na2O2固体，搅拌充分反应后，再加入过量盐酸，溶液中离子数目无变化的是（）B因为加入的过氧化钠具有强氧化性，所以二价铁会被氧化为三价铁，两者变化均较大，过氧化钠和水反应生成氢氧化钠和氧气，钠离子增加，反应生成NaOH与NH4+结合微热会产生挥发性的氨气，所以铵根减少，铝离子加过量过氧化钠时生成偏铝酸钠，再加过量盐酸又反应生成铝离子，即Al3+数目无变化．2. 在某无色透明酸性溶液中，能共存的离子组是（）A、NH4＋NO3－Al3+ Cl-B、Na+ AlO2－K＋NO3－C、MnO4- K＋SO42－ Nａ＋D、K＋SO42- HCO3－Na＋参考答案：A略3. 下列对实验现象的表述正确的是A.将装有等量的NO2与N2O4混合气体的两个容积相同的玻璃球分别浸入热水和冷水中，浸入热水中的玻璃球里气体颜色较浅B.红热的铜丝可以在氯气中燃烧，生成黑色的固体C.将稀盐酸滴到二氧化锰固体上立即产生黄绿色气体D.将白色的硫化锌固体浸入硫酸铜溶液中，会发现固体逐渐变为黑色参考答案：D4. 下列除去杂质（括号内为杂质）的方法正确的是①乙烷（乙烯）光照条件下通入Cl2，气液分离②乙酸乙酯（乙酸）用饱和碳酸氢钠溶液洗涤、分液③苯（乙酸）用氢氧化钠溶液洗涤、分液④乙醇（乙酸）加足量生石灰、蒸馏A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④参考答案：B略5. 下列有关实验装置进行的相应实验，能达到实验目的的是A.用图1所示装置除去Cl2中含有的少量HClB.用图2所示装置蒸干NH4Cl饱和溶液制备NH4Cl晶体C.用图3所示装置制取少量纯净的CO2气体D.用图4所示装置分离CCl4萃取碘水后已分层的有机层和水层参考答案：DA中氢氧化钠也能吸收Cl2；B中蒸干NH4Cl饱和溶液时，NH4Cl晶体受热会分解；C中纯碱为易溶于水的粉末。

无锡市2020届高三数学上学期期末试卷附答案详析

无锡市2020届高三数学上学期期末试卷一、填空题1．集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B = _____.2．已知复数z a bi =+(),a b ∈R ，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.4．函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________.5．等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.7．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，11AA =，E 为BC 的中点，则点A 到平面1A DE 的距离是______.8．如图所示的流程图中，输出n 的值为______.9．圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____.10．正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切于正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM PN ⋅的取值范围是______.11．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____.12．对于任意的正数,a b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，则k 的最大值为_____.13．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠> ，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____.14．函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.二、解答题15．在ABC 中，角,,A B C 所对的分别为,,a b c ，向量(23,3)m a b c =- ，向量(cos ,cos )n B C = ，且m n ∥.（1）求角C 的大小；（2）求sin +3sin()3y A B π=-的最大值.16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD △为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥.（1）求证:OE 平面PAB ；（2）求证:CD PA ⊥.17．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .（1）求1PF Q 的周长；（2）求1PF M 面积的最大值.18．一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD AB ≥.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD 边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道（b 为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.19．已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a =，11b =，22b =，当2n ≥，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2(2)n n n n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P .20．设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <).（i ）求a 的取值范围；（ii ）求证:12x x ⋅随着21x x 的增大而增大.21．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ⎡=⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A .22．已知曲线1C :4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()233πρθ-=，设曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求AB 的长.23．如图，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，90AEB ∠︒＝，30EAB ∠=︒，23AB =，3AD =.（1）求异面直线OC 与DE 所成角的余弦值；（2）求二面角A DE C --的正弦值.24．对于任意的1x >，n *∈N ，用数学归纳法证明:1nx x e n ->！.解析无锡市2020届高三数学上学期期末试卷一、填空题1．集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B = _____.【答案】{1,3}【解析】分析出集合A 为奇数构成的集合，即可求得交集.【详解】因为21,k k Z -∈表示为奇数，故A B = {1,3}.故答案为：{1,3}【点睛】此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题.2．已知复数z a bi =+(),a b ∈R ，且满足9izi =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.【答案】8-【解析】计算出2iz ai bi b ai =+=-+，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.【详解】2iz ai bi b ai =+=-+，所以1,9a b ==-，所以8a b +=-.故答案为：-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.【答案】7.5【解析】分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.【详解】76+147+1584107.5714154⨯⨯⨯+⨯=+++故答案为：7.5【点睛】此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.4．函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________.【答案】(0,2)-【解析】令0x =，(0)132f =-=-，与参数无关，即可得到定点.【详解】由指数函数的性质，可得0x =，函数值与参数无关，所有()(1)3xf x a =--过定点(0,2)-.故答案为：(0,2)-【点睛】此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.5．等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.【答案】4【解析】根据等差数列关系，用首项和公差表示出2216a a a =，解出首项和公差的关系，即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得:2216a a a =，则2111(+)(5)a d a a d =+整理得13d a =，2114a a d a =+=，所以21=4a a故答案为：4【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.【答案】12【解析】从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.【详解】由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有246C =种，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有233C =种，所以其概率为23241=2C C .故答案为：12【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.7．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，11AA =，E 为BC 的中点，则点A 到平面1A DE 的距离是______.【答案】63【解析】利用等体积法求解点到平面的距离【详解】由题在长方体中，1111211=323A ADE V -=⨯⨯⨯⨯，221115,2,3A D DE EA A A AE ===+=，所以22211A D DE A E =+，所以1DE A E ⊥，11623=22A DE S =⨯⨯△设点A 到平面1A DE 的距离为h1161=323A A DE V h -=⨯⨯，解得6=3h 故答案为：63【点睛】此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.8．如图所示的流程图中，输出n 的值为______.【答案】4【解析】根据流程图依次运行直到1S≤-，结束循环，输出n ，得出结果.【详解】由题：211,1,1log 0,211S n S n ===+==+，22220log log ,3213S n =+==+，222232log log log 1,43314S n =+==-=+，1S ≤-结束循环，输出4n =.故答案为：4【点睛】此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句.9．圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____.【答案】22(3)4x y -+=【解析】求出圆心关于直线的对称点，即可得解.【详解】22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x =-对称点设为(,)x y ，则有:2121222112y x y x +-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，所以对称后的圆心为(3,0)，故所求圆的方程为22(3)4x y -+=.故答案为：22(3)4x y -+=【点睛】此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标.10．正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切于正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM PN ⋅ 的取值范围是______.【答案】[0,1]【解析】根据向量关系表示()()PM PN PO OM PO OM ⋅=+⋅- 2221PO OM PO =-=- ，只需求出PO 的取值范围即可得解.【详解】由题可得：0OM ON += ，1,2PO ⎡⎤∈⎣⎦ ()()()()PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM ⋅=+⋅+=+⋅- 222[0,11]PO OM PO =-=-∈ 故答案为：[0,1]【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.11．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____.【答案】34-【解析】根据双曲线上的点的坐标关系得2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--=，PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥，建立等式1PA QB k k ⋅=-，两式作商即可得解.【详解】设()()()00,,2,02,0P x y A B -2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2000200032424PA PB y y y x x k k x =⋅=+--=PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB⊥易知:33441PA PB PB QB PA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩即1234k k λ==-.故答案为：34-【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.12．对于任意的正数,a b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，则k 的最大值为_____.【答案】22【解析】根据,a b 均为正数，等价于2222234442322a ab b b ab k a ab a ab++-≤=+++恒成立，令,0b xa x =>，转化为2423,021x x k x x -≤+>+恒成立，利用基本不等式求解最值.【详解】由题,a b 均为正数，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，等价于2222234442322a ab b b ab k a ab a ab++-≤=+++恒成立，令,0b xa x =>则24223212121x x k x x x -≤+=++++，2212221x x ++≥+ 当且仅当22121x x +=+即212x -=时取得等号，故k 的最大值为22.故答案为：22【点睛】此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.13．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠> ，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____.【答案】3【解析】在直角三角形中设3BC =，3AC x =<，1tan tan()2DAB BAC DAC ∠=∠-∠=，利用两角差的正切公式求解.【详解】设3BC=，3AC x =<，则31tan ,tan BAC DAC x x∠=∠=22221tan tan()13321x x DAB BAC DAC x x x ∠=∠-∠===⇒=++，故tan 3BAC ∠=.故答案为：3【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.14．函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.【答案】26,83k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【解析】对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解.【详解】由题：函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，2210,(0,1]1982,(1,3)x x x xk x x x x ⎧∈⎪+-+⎪-==⎨⎪+∈⎪⎩，等价于函数()10,(0,1],82,(1,3)x xy k g x x x x ⎧∈⎪⎪=-=⎨⎪+∈⎪⎩恰有两个公共点，作出大致图象：要有两个交点，即268,3k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以26,83k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.故答案为：26,83k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【点睛】此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.二、解答题15．在ABC 中，角,,A B C 所对的分别为,,a b c ，向量(23,3)m a b c =-，向量(cos ,cos )n B C =，且m n∥.（1）求角C 的大小；（2）求sin +3sin()3y A B π=-的最大值.【答案】（1）6π（2）2【解析】（1）根据向量平行关系2cos 3cos 3cos 0a C b C c B --=，结合正弦定理化简即可求解；（2）结合（1）的结果si sin +3sin()3n 3sin 2A A y A B ππ=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-，利用三角恒等变换，化简为52sin ,0,36A A ππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求得最大值.【详解】（1）因为//m n，所以2cos 3cos 3cos 0a C b C c B --=由正弦定理知:2sin cos 3(sin cos sin cos )0A C B C C B -+=，2sin cos 3sin()0A CBC -+=2sin cos 3sin()0A C A π--=，2sin cos 3sin 0A C A -=，又A 为三角形内角，故sin 0A >，所以，2cos 30C -=，即3cos 2C =，C 为三角形内角，故6C π=；（2）由（1）知:56A B C ππ+=-=，则5,0,326B A A πππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭所以si sin +3sin()3n 3sin 2A A y A B ππ=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-5sin 3cos 2sin ,0,36A A A A ππ⎛⎫⎛⎫=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故32A ππ+=，即6A π=时，y 取最大值2.【点睛】此题考查平面向量共线的坐标表示，利用正弦定理结合三角恒等变换求解最大值，需要注意考虑最大值取得的条件.16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD △为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥.（1）求证:OE平面PAB ；（2）求证:CD PA ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）通过证明//OE PB ，即可证明线面平行；（2）通过证明CD ⊥平面PAD ，即可证明线线垂直.【详解】（1）连BD ，因为ABCD 为平行四边形，O 为其中心，所以，O 为BD 中点，又因为E 为PD 中点，所以//OE PB ，又PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB 所以，//OE 平面PAB ；（2）作PH AD ⊥于H 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =PH AD ⊥，PH ⊂平面PAD ，所以，PH ⊥平面ABCD 又CD ⊂平面ABCD ，所以CD PH ⊥又CD PD ⊥，PD PH P ⋂=，PD ⊂平面PAD ，PH ⊂平面PAD 所以，CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以，CD PA ⊥.【点睛】此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明.17．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .（1）求1PF Q 的周长；（2）求1PF M 面积的最大值.【答案】（1）12（2）1354【解析】（1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义1212412PF PF QF QF a +++==；（2）求出椭圆的标准方程，设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出1PF M 面积，即可求解最大值.【详解】（1）设椭园C 的焦距为2c ，则24c =，故2c =.则12(2,0),(2,0)F F -椭圆过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由椭圆定义知:1226a AF AF =+=，故3a =，因此，1PF Q 的周长1212412PF PF QF QF a =+++==；（2）由（1）知:2225b a c =-=，椭圆方程为:22195x y +=设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，则()22,R x y -，()121212111212:,0y y y x x y PR y x x y M x x y y ⎛⎫++=-+⇒ ⎪-+⎝⎭()2222259202505945x my m y my x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩()221,221015190010,59m m m y m -±+=+>=+△，1212222025,5959m y y y y m m --+==++，()121212122902259my x x y my y y y m -+=++=+，1121211121131352||||244PF M x x y S y y y y y ⎛⎫+=+=≤ ⎪+⎝⎭△，当且仅当P 在短轴顶点处取等，故1PF M 面积的最大值为1354.【点睛】此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.18．一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD AB ≥.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD 边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道（b 为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.【答案】（1）[15,25]AD ∈（2）当36025b <≤时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，3015,2b b AD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小.【解析】（1）设AD x =米，总费用为450()22520015022f x x x ⎛⎫=⨯+⨯⋅+ ⎪⎝⎭，解()65400f x ≤即可得解；（2）结合（1）可得占地面积()225(8)2S x x b x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭结合导函数分类讨论即可求得最值.【详解】（1）由题意知:矩形ABCD 面积4502252S ==米2，设AD x =米，则225AB x =米，由题意知:2250x x≥>，得15x ≥，设总费用为()f x ，则450225()225200150226004500065400f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⋅+=++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得:925x ≤≤，又15x ≥，故[15,25]x ∈，所以发酵池D 边长的范围是不小于15米，且不超过25米；（2）设发酵馆的占地面积为()S x 由（1）知:()2251800(8)2216225,[15,25]S x x b bx b x x x ⎛⎫=++=+++∈⎪⎝⎭，()222900(),[15,25]bx S x x x-'=∈①4b ≥时，()0S x '≥，()S x 在[15,25]上递增，则15x =，即15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小；②36025b <≤时，()0S x '=，()S x 在[15,25]上递减，则25x =，即25,9AD AB ==米时，发酵馆的占地面积最小；③36,425b ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，3015,x b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0S x '<，()S x 递减；30,25x b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0,()S x S x '>递增，因此3030b x b b ==，即3015,2b bAD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；综上所述：当36025b <≤时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，3015,2b bAD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小.【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.19．已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a =，11b =，22b =，当2n ≥，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2(2)n nn n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P .【答案】（1）12n na =，nb n =（2）11(1)2n n P n =-+⋅【解析】（1）112(2)n n S a n -=- ，所112n n S a +=-，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由()221111122(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=-=-+ ，整理得()()()1111111122(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++ ，得到11(2)n n n n b b b b n +--=- ，即可求解通项公式；（2）由（1）可知，21(2)12(1)1112(1)22(1)2n n n n n n n n c n n n n n n -++-=⋅=⋅=-++⋅+⋅，即可求得数列{}n c 的前n 项和n P .【详解】（1）因为112(2)n n S a n -=- ，所112n n S a +=-，两式相减，整理得11(2)2n n a a n -=，当2n =时，1121122S a a ===-，解得211142a a ==，所以数列{}n a 是首项和公比均为12的等比数列，即12n n a =，因为()221111122(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=-=-+ ，整理得()()()1111111122(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++ ，又因为0n b >，所以0n T >，所以1121(2)nn n b n b b +-=+ ，即11(2)n n n n b b b b n +--=- ，因为121,2b b ==，所以数列{}n b 是以首项和公差均为1的等差数列，所以n b n =；（2）由（1）可知，21(2)12(1)1112(1)22(1)2n n n n nn n n c n n n n n n -++-=⋅=⋅=-++⋅+⋅，211111112222322(1)2n n n P n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11(1)2n n P n =-+⋅.【点睛】此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.20．设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <).（i ）求a 的取值范围；（ii ）求证:12x x ⋅随着21x x 的增大而增大.【答案】（1）见解析；（2）（i ）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析【解析】（1）求出导函数11(),(0,)ax f x a x x x-'=-=∈+∞，分类讨论即可求解；（2）（i ）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii ）设211x t x =>，通过转化()1212(1)ln ln ln ln 1t tx x x x t +=+=-，讨论函数的单调性得证.【详解】（1）因为()ln f x x ax =-，所以11(),(0,)ax f x a x x x-'=-=∈+∞当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a>时，()0f x '>的解集为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0f x '<的解集为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）（i ）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，至多一个零点，不符题意，当0a >时，因为()f x 有两个零点，所以max 11()ln 10f x f a a ⎛⎫==->⎪⎝⎭，解得10a e <<，因为(1)0f a =-<，且11a <，所以存在111,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =，又因为221111ln 2ln f a a a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，设11()2ln 0,g a a a a e ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222112()0a g a a a a --'=+=>，所以()g a 单调递增，所以1()20g a g e e ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，即210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为211a a >，所以存在2211,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，综上，10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（ii ）因为1122ln ln 0x ax x ax -=-=，所以1212ln ln x x x x =，因为21x x >，所以211x x >，设211x t x =>，则21x tx =，所以()112121ln ln ln tx x x x x tx ==，解得1ln ln 1tx t =-，所以21ln ln ln ln 1t t x x t t =+=-，所以()1212(1)ln ln ln ln 1t t x x x x t +=+=-，设(1)ln ()(1)1t th t t t +=>-，则2211ln (1)(1)ln 2ln ()(1)(1)t t t t t t t t t h t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，设1()2ln (1)H t t t t t =-->，则22212(1)()10t H t t t t-'=+-=>，所以()H t 单调递增，所以()(1)0H t H >=，所以()0H t >，即()0h t '>，所以()h t 单调递增，即()12ln x x 随着21x t x =的增大而增大，所以12x x 随着21x x 的增大而增大，命题得证.【点睛】此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围，通过等价转化证明与零点相关的命题.21．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ⎡=⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A .【答案】2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可.【详解】由题意可知，1155115a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2112a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以552122a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，解得2314a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即矩阵2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【点睛】此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方程组得解.22．已知曲线1C :4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()233πρθ-=，设曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求AB 的长.【答案】4【解析】求出曲线2C 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程，求出圆心到直线的距离，利用弦长公式即可求解.【详解】由题意可知，13cos cos cos sin sin cos sin 2333322πππρθρθρθρθρθ⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线2C 的直角坐标方程为直线:3430l x y +-=，由曲线1C 的参数方程可知，曲线1C 的普通方程为圆2216x y +=，其半径4r =圆心O 的直线l 的距离为|43|2313d -==+，所以直线l 被圆截得的弦长为2224AB r d =-=.【点睛】此题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转化，求解直线与圆形成的弦长.23．如图，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，90AEB ∠︒＝，30EAB ∠=︒，23AB =，3AD =.（1）求异面直线OC 与DE 所成角的余弦值；（2）求二面角A DE C --的正弦值.【答案】（1）68（2）105【解析】（1）建立空间直角坐标系，根据333(0,3,3),,,322OC DE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭即可求解异面直线所成角的余弦值；（2）分别求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角求得二面角的余弦值，再求出正弦值.【详解】矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，在平面AEB 内过O 作AB 的垂线交AE 于M ，根据面面垂直的性质可得MO ⊥平面ABCD ，同理在平面ABCD 内过O 作AB 的垂线交CD 于N ，根据面面垂直的性质可得NO ⊥平面AEB ，所以,,OM OB ON 两两互相垂直，如图所示，建立空间直角坐标系，因为90,30AEB EAB ︒︒∠=∠=，所以132BE AB ==，易得()33(0,3,3),(0,3,3),,,0,0,3,022C D E A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（1）由上述点坐标可知，333(0,3,3),,,322OC DE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以直线OC 与DE 所成角的余弦值99||628||||92739944OC DE OC DE θ-⋅===⋅+⋅++ ；（2）因为333(0,0,3),,,3,(0,23,0)22AD DE DC ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，设平面ADE 的法向量为()111,,m x y z = ，则1111303333022AD m z DE m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩解得11130x y z ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，取11y =，可得(3,1,0)m =- ，设平面DEC 的法向量为()222,,n x y z = ，则22222303333022DC n y DE n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩解得22220x z y =⎧⎨=⎩，取1z =，可得(2,0,1)n = ，设二面角A DE C --的平面角为α，则||233|cos |||||31415m n m n α⋅===⋅+⋅+ ，所以2310sin 1cos 155αα=-=-=.【点睛】此题考查求异面直线的夹角和二面角的大小，建立空间直角坐标系，利用向量求解，需要注意准确计算，防止出现计算错误.24．对于任意的1x >，n *∈N ，用数学归纳法证明:1nx x e n ->！.【答案】证明见解析【解析】根据数学归纳法证明方法，先证明当1n =时，命题成立，假设当n k =时，命题成立，利用这个结论证明当1n k =+时，命题也成立，即可得证.【详解】当1n =时，设1(),(1,)x f x e x x -=-∈+∞，则1()10x f x e -'=->，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=，即1x e x ->即1n =时，原命题成立，假设当n k =时，1!kx x e k ->对任意(1,)x ∈+∞恒成立，当1n k =+时，设11()(1)!k x x g x e k +-=-+，则1()0!k x x g x e k -'=->，所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以1()(1)10(1)!x g k >=->+，所以11(1)!k x x e k -->+，所以对于任意的1x >，n *∈N ，1nx x e n ->！原命题得证.【点睛】此题考查利用数学归纳法证明命题，需要弄清数学归纳法证明命题的基本步骤和格式，严格推理，即可得证.。

江苏省无锡市普通高中2020届高三上学期期末调研考试数学试题Word版含解析

无锡市普通高中2021年秋学期高三期终调研测试卷数学2021.1 考前须知及说明：本卷测试时间为120分钟,全卷总分值160分.一、填空题：本大题共14小题,每题5分,共70分.不需要写出解答过程, 请把答案直接填写在做题卡相应位置上.1.集合 A {x|x 2k 1,k Z} , B {1,2,3,4},那么AI B .答案：{1,3}解：由于2k 1,k Z表示为奇数,故AI B {1,3}2.复数z a bi (a,b R),且满足iz 9 i (其中i为虚数单位),那么a b .答案：-8解：iz ai bi2 b ai ,所以 a 1,b 9 ,所以 a b 83.某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间,有7人用时为6分钟, 有14人用时7分钟,有15人用时为8分钟,还有4人用时为10分钟,那么高二(4)班全体同学用餐平均用时为 ______ 分钟.答案：7.5解：7 6+14 7+15 8 4 10 757 14 15 4 .4 .函数f(x) (a 1)x 3 (a 1,a 2)过定点.答案：(0, 2)解：由指数函数的性质,可得f(x) (a 1)x 3过定点(0, 2)5 .等差数列{a n}(公差不为0),其中a- a2, a6成等比数列,那么这个等比数列的公比为.答案：4解：设等差数列{a n}的公差为d,由题意得：a22 a^,那么(0+d)2为0 5d)整理得d 30,a2 a1 d 4a l,所以丝=4a18.如下图的流程图中,输出n 的值为答案：4答案：(x 3)2 y 2 4x 3,所以对称后的圆心为(3,0),故(x 3)2y 24.y 0解：S 三棱锥A ADE SL 棱锥A A DE1 3 J 211 -2 11 = -23S ADEh=1,解得 h=T9.圆 C : (x 1)2 (y 2)24关于直线y 2x 1的对称圆的方程为解：C:(x1)2 (y2)24的圆心为(1,2),关于y 2x 1对称点设为(x,y)那么有:3x 12 1210.正方形ABCD的边长为2,圆O内切与正方形ABCD , MN为圆O的一条动直径,点P 为正方形ABCD边界上任一点,那么PM PN的取值范围是 .答案：[0,1]2 211.双曲线C:x- — 1的左右顶点为A, B,以AB为直径作圆O, P为双曲线右支 4 3上不同于顶点B的任一点,连接PA角圆O于点Q,设直线PB,QB的斜率分别为12.对于任意的正数a,b,不等式〔2ab a2 3〕k 4b2 4ab 3a2恒成立,那么k的最大值为.答案：2 .23-i >0=><Jt-2>Q => 故Jt 的最大〔E 为法二二.一一2信一2.趣的最大值为2户rA 二i Jt £------ ；------ =s 3 + 一—t 令b = xw, * > Q<r +2itb a'外东£三+ 4" 一[+*三屈触等〕,故露的最大值为2 Ji2x+ 1 2.v + 113.在直角三角形ABC中,C为直角,BAC 45o,点D在线段BC上,且CD 1CB , 32右tan DAB -,那么BAC的正切值为 ^3解；设力「= 3, = IfliJ tan ZJ?. IC = -4311 ZD. JC = 1XX- % Ikkci ZZX IB = lunt^ZllJC — ZTZ5JC) = —― ―； ----- = — = A = 1. 故 tan Z.B.IC = 3.t m v +3 2 I + r14 .函数f(x) |x 2 1| x 2 kx 9在区间(0,3)内有且仅有两个零点,那么实数k 的取值范围是一,X e fO.I] 、 ,教形站台知: K w (-三-1-8小2.v + —, x e (13) 'A'二、解做题：本大题共 6小题,共计90分.请在做题卡指定区域字说明、证实过程或演算步骤15.(本小题总分值14分)ir在 ABC 中,角A,B,C 所对的分别为a,b,c ,向量m (2a V3b,V3c),向量r口 ir rn (cos B,cosC),且 m“ n .(1)求角C 的大小；(2)求y sinA+&sin(B —)的最大值. 3解； ⑴国为wi / M 所以2口 cos C - JSbss C - cos 23 - 0由正,定丹加- V3(sin /3tos C + »in C cos 13) = 03sin " CE C - Ja sin(/J + C r ) - l> 2sin JcoiC^V-^si^Cr- J) = 0.1 cnsf' — JN 弓in A ・口又J 为三ft]虺内,配故血—>0rJ3所以*2cm C --73 -0, FPcns C ~ — I「为三角形内策•故「口 ■:6f ?)山(1)知：/+将・开一r■—・乂曹疗一一■ 一 —..L /您(0,—) 6 3 3 6 Pfy, r = 4in-1 +V3s»n(-- J)=-si^ J +J = 2ain{j + —y Je(0b —) 2 36Je(0.—> Ml+-e+ 即」三三时. 1阪得最大值2 633 63 7 616 .(本小题总分值14分)£〞 4■.厂 - 1+9内作答.解答时应写出文在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是平行四边形,O为其中央,PAD为锐角三角形,且平面PAD 底面ABCD, E为PD的中点,CD DP .(1)求证：OE//平面PAB ；(2)求证：CD PA.正(I)造上由于.加CD为平行四边形,.为兀中央所以.门为BD中点又由于E为户口+点.所\1OEH/5又P止亡平面P」0OE厘甲叱那么店所以..£〃平而上1用⑵作?"1HD干H由于平面/1平iEJECD,用血火山fl T^I-IBCD一拉FH1 f w. m c 平面,WJ所以,产"1平面CD又CO U平面」"「小所以门1 1PJI且X7)J_HX PDCPH=户PD c平面川口,PH c平面P①所以,C7?!平面严疝、义平面FJD,所以,CD ±P.L17.(本小题总分值14分) 2 2椭圆C:5 与1(a b 0)的左右焦点分别为FhF2,焦距为4,且椭圆过点 a b(2,5),过点F2且不行与坐标轴的直线l交椭圆与P,Q两点,点Q关于x轴的对称3点为R,直线PR交x轴于点M .(1)求PFQ的周长；(2)求PF I M面积的最大值.Hl⑴ 段蛹圆C晌世跑为X 那么3一1 加那么邛-工味式式工与帏回过点,由闹H定义如；2门=.巧4.底=G,核"=?因必△丹贬勺周长=利+ ?/：+.£ +0月=4" = J2：■ 十〔2>由⑴仙y=O'Y；=5,描苗方程为:'+上=17 5及' r -rnr +?* 尸〈*支“】［5 0fx».% 那么用士、一八〕PR： r ,」',总〔寅一曷〕+ M = *'\"#〕七一心’,n + \\x = fny + 2* ・4 •一彳 , =15 号/+9〕『+20用1*- 25 = 0以,9/= 45 ^-lOjrr + J 5如/ + 17.,“"251. + r, ——?--. v. I：- -：---------- **' 5" +Q ' ' S 犷+9r f, 一九阳笛与+为心=工2工小+或n +J；〕= c土口3m +95呻,T喘&+〞|力中小苧,故△,??/而明的乐大值为学.$11仅当产在国轴质*处取等18.〔本小题总分值16分〕一酒企为扩大生产规模,决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆,发酵馆内有一个无盖长方体发酵池,其底面为长方形ABCD〔如下图〕,其中AD>AB.结合现有的生产规模,设定修建的发酵池容积为450米3,深2米.假设池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,发酵池造价总费用不超过65400元〔1〕求发酵池AD边长的范围；(2)在建发酵馆时,发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道(b为常数).问：发酵池的边长如何设计,可使得发酵馆古地面积最小.ftti ⑴ 山虺感知:而,工lAC/Xl*」直枳$二一——225设工米,现必।二来.由制者揖：了之一>..得工x? l5 Jr x4^(1 ,,勺设总费用为外4 那么/工,=225 x TOO + 150 «2 (^ I —) = 600( r1—)+ 45*M> < 65400群百川£*Y 2工又故了引15.251答：发薜池4口边长的范山是不小于15机且不越过V米：12)设发瞥浦的占】岫税为战〞〞0 】g间Hl(1> 知；= (x + 5X—+ 2A) = 2Av 4 - + UA + 225, XF[15,25]-V$3=型匚幽,x喧〞工功A*时.$■)之由52困15,2习上描增.Hv = 15即一二=15兆时.发酢一的占地面以最小;②OvB广义时,5'(.r) < 0. $［｝在［11〞］上通/(.fflj = 25即3D = 35, ,lB = 9米时/登阴馆的占地向足最小;工七0工节胱• $行)<0・5(外诩;由牙七(专；5对,S'10>Q. SQ)建病因此IF —~—--»却.2 _. C«AB =时t发箱馆的占地面和最小t& 卜8 2替:当代匕四小.3=其,田一殊%或醉馆的占地加积就小】当占5寺4)时…HJ竽,.加华时,发归流的占地面枳指小】当62第L 4口」.n>二15米时,发蜉帼的占玷面枳最小.19 .(本小题总分值16分)｛%｝,｛b"为正项数列,其前n项和分别为S n,T 」a i ；,bi …2,(1)求数列｛a n ｝ , ｛b n ｝的通项公式;⑵设C n 汗,求数列1的前n 项和P n .解：(1)由于,.L 〞2aHm2) .所以£=〞方加1,两式相减,整建褐%7=另弋何?2).当d=2时* S]一0』—一I — 2* *解彻弧—— — —£j1 1 所以被刊｛通｝是首啦租公比均为;的等比蛾列,司q =g , 42(〞一2J 如一如睡得?3)优心),纯、FJ5日)Xi 十也J*也i-t乂由于4＞.；所以2声.,所以「21一 ■■班启2),即4.1-4・瓦 -%T 5^2)- %十% 由于A =i 也=2 r 所以数列扣Jq 以首项乱公差均为】的等*故列.所以.x# : 由⑴可知,一〞」/5叫-内,——――!-.〞 / + 制 T rf (7i+1) 2"料QLt 伊十 |).2n 由累加法丽.^=[1-Y1], \2x2/2 3*2 / 1履,2J即产T ---- ! --*("1)2当 n 2 , n N * 时,S n i 1 2a n , b n2(T n 2 T n 2i ) b n 1 b n i2T ni .20.(本小题总分值16分)设函数 f (x) ln x ax, a R , a 0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)假设函数f(x) 0有两个零点xi, x2 ( x i &).(I )求a的取值范围；(n)求证：x i x2随着生的增大而增大.x i解：(1)由于f 所以(0,e)当X.时.尸(才)?在(口+6)上但成立,所以〃工)在(0,十对上单调圆曾.留神.时『广⑴—的解黑为]J].尸⑴〈解渊集为| 1,+®],所以/⑴的单调增区间为〃工)的单弱减区间为| L.w V a) \ a (2 ) (i )由C )可Q ,当.＜0时./(、)在出+O上聿调递帽.至多f早点,不符猛频.当口＞＜〕时.由于/(以育两个零点,所以/(工)…-即/与]＜.,由于人〉工,所以存在出,使得/{/)・0 .\a~) 白. 口' \a a^J您上.口?.?卜" ftn.——】>0 f由于f(D-ZO . Hl<- f所以存在玉又由于了—□HS) =>-＞o,所以g(.)中鞫递清.所以-e<0 ,(ii)由于Inf一与一口的=0 ,所以3二曳三由于“工?气『所以上>1,设『■=匕>1 +叼巧=吗,-r i -fiy 〞 In』拈工? g(/)0g, Hr mi〞] . j flnr所U --- L, ------ L» ---------- -, 融得加/■- . 所以In北-Jnj^ + lnr - ----- rx t Xj 糙,一1 /一I, 、(( + l)lnr , 、G + !)ln/ z、所以Jr (丈产J = E 1+ In 勺=---- .造h(f)= ------- - -- (f>l)r-1 ,=1In f J+1 JfF -1)*-(/ + l)InJ F7!?iW{»i I 2 (f -1)设H.)———2ln;(f>l) . / >0 r所以H(f)中四递增,所以H①>H(l卜(L所以H(F)〉0 ,即?(F)KL所以“.单调南增,即In卜仔)J®巷&皿,的博大而增大,所以王与通错会的噌大而噌大.带盘出让・x附加题,共40分21.【选做题】此题包括A, B两小题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证实过程或演算步骤.A.选修4—2:矩阵与变换a, b R ,矩阵A= a b,假设矩阵A属于特征值5的一个特征向量为1c d 1点P(-2, 1)在A对应的变换作用下得到点P'<1, 2),求矩阵A.」日加1 । 1 5解：由剧意可知. j -5 - .巨C u \I ;a + b-5〜,r + d"5 - 公…所以, , ,,解得.即矩阵X—2口+ ft ™ —1 c = IB.选修4—4:坐标系与参数方程... x 4cos ..... ................... 曲线Ci：,(其中为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半y 4sin轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为cos( -) 2用,设曲线C i与曲线C2交于A, B两点,求AB的长.解：由殷电可知,?cog 6^--1 -/JCTJG^CD-S—+psin^ain-- -pcas^^ L 3 J 3 3 2■y因力导6-匹05伯,所以西浅G的直用坐标方程为宜找上内*丫每一4行・..由曲法C的参教方程可卸L曲线G的直角坐标方程为圆/十炉=I"其半径『二4 国心0的直戊『的匹商为』二所以直钱/咬画戴博的弦长为= ―八九【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明, 证实过程或演算步骤.22.(本小题总分值10分)如图,矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB, O为AB的中点,/AEB=90°,/EAB= 30°, AB=2>/3, AD = 3.(1)求异面直线OC与DE所成角的余弦值；(2)求二面角A—DE—C的正弦值.23 .〔本小题总分值10分〕对于任意的x> 1, n N ,用数学归纳法证实:如黑班示,建立空间直傕窄标系,由于£期近=901/£4二301 所以田匠=,4疗=石.2黑海电旧卜.〔0「旧〕百去冬0年〔0,-50〕,〔1〕由上环点坐标可Q , 次=弧值3〕巫二〔2〕由于石・代,0,3〕,淀■〔：,孚尸;,比.〔.,2石,.〕,I AD nt _ ,.____ 3 3J7酬=,% +奇乂-3石=0 解密' ?=；"*.取片=L 可得/= 〔M.'O 〕.DC- n - 2^y1-0设平面Q£C 的法向量为捻=〔士,/,再〕,那么? 33忑 DE ' n =一3& +' - -y a -311=0 2 1 2 3 1解得j ；：：/ ,取7.Hl.,可得一 =〔2&1〕, 设二面角4-DE-C 的平面角为or r M|™tf n!>/3 +1 -^4 -r I y[5 所以sin 疔= \\ - cos"证实：当肥,设/⑴-―7.xw(l,g) .刘.所以/(x)在(1,他>)上手狎递相.所以/(幻>/.)匚0 .即•即〃=】时•原余就成立.假设当〃 =A时.</“>>又寸任意无6.、收)侬立.当"A + 1电,设g(“工,那么8?上小1-'〉. I A T 1 1•.•所以g(x)在.,*0)上单波迤增,所以以力下❷⑴制-白彳〞.(卡+ 1)・所以e〞‘>3K,原晶r®褐证(N)!。

江苏省无锡市2020届高三上学期期末考试数学含答案

2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分，考试时间120分钟)2020．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝________．2. 已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且满足iz＝9＋i(其中i为虚数单位)，则a＋b＝________．3. 某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时为7分钟，有15人用时为8分钟，还有4 人用时为10分钟，则高二(4)班全体同学中午用餐平均用时为________分钟．4. 函数f(x)＝(a－1)x－3(a＞1，a≠2)过定点________．5. 已知等差数列{a n}(公差不为0)，其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为________．6. 小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道做答，小李会做其中的3道题，则抽到的2道题小李都会的概率为________．7. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，点E为BC的中点，则点A 到平面A1DE的距离是________．(第7题)(第8题)8. 如图所示的流程图中，输出n 的值为________．9. 圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4关于直线y ＝2x －1对称的圆的方程为________________． 10. 已知正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切于正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM →·PN →的取值范围是________．11. 双曲线C ：x 24－y 23＝1的左右顶点为A ，B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连结PA 交圆O 于点Q ，设直线PB ，QB 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1＝λk 2，则λ＝________．12. 若对于任意的正数a ，b ，不等式(2ab ＋a 2)k ≤4b 2＋4ab ＋3a 2恒成立，则k 的最大值为________．13. 在直角三角形ABC 中，∠C 为直角，∠BAC ＞45°，点D 在线段BC 上，且CD ＝13CB.若tan ∠DAB ＝12，则∠BAC 的正切值为________．14. 已知函数f(x)＝|x 2－1|＋x 2＋kx ＋9在区间(0，3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2a －3b ，3c)，向量n ＝(cos B ，cos C)，且m ∥n .(1) 求角C 的大小；(2) 求y ＝sin A ＋3sin(B －π3)的最大值．16. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，△PAD为锐角三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，点E为PD的中点，CD⊥DP.求证：(1) OE∥平面PAB；(2) CD⊥PA.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为4，且椭圆过点(2，53)，过点F 2且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M.(1) 求△PF 1Q 的周长；(2) 求△PF 1M 面积的最大值．一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD(如图所示)，其中AD≥AB.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450 m3，深2 m．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65 400元．(1) 求发酵池AD边长的范围；(2) 在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4 m和b m的走道(b为常数)．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．已知{a n }，{b n }均为正项数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且a 1＝12，b 1＝1，b 2＝2，当n ≥2，n ∈N *时，S n －1＝1－2a n ，b n ＝2（T 2n －T 2n －1）b n ＋1＋b n －1－2T n －1.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 设c n ＝（b n ＋2）a nb 2n ＋b n，求数列{c n }的前n 项和P n .设函数f(x)＝ln x －ax ，a ∈R ，a ≠0. (1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)＝0有两个零点x 1，x 2(x 1＜x 2)． (Ⅰ) 求a 的取值范围；(Ⅱ) 求证：x 1·x 2随着x 2x 1的增大而增大．2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分) 已知a ，b ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd .若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，点P(－2，1)在A 对应的变换作用下得到点P′(－1，2)，求矩阵A .22.(本小题满分10分)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(其中θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝2 3.设曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求AB 的长．23. (本小题满分10分)如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，点O为AB的中点，∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝23，AD＝3.(1) 求异面直线OC与DE所成角的余弦值；(2) 求二面角ADEC的正弦值．24.(本小题满分10分)对于任意的x＞1，n∈N*，用数学归纳法证明：e x－1>x nn！.2020届高三模拟考试试卷(无锡) 数学参考答案及评分标准1. {1，3}2. －83. 1524. (0，－2)5. 46. 127. 638. 4 9. (x －3)2＋y 2＝4 10. [0，1]11. －34 12. 22 13. 3 14. (－263，－8)15. 解：(1) ∵ m ∥n ，∴ (2a －3b)cos C －3ccos B ＝0.(2分)由正弦定理可得2sin Acos C －3sin Bcos C －3sin Ccos B ＝0，(4分) 即2sin Acos C ＝3sin(B ＋C)＝3sin A ．(6分) 又A 为△ABC 的内角，∴ sin A ≠0，∴ cos C ＝32. 又C 为△ABC 的内角，故C ＝π6.(8分)(2) y ＝sin A ＋3sin(B －π3)＝sin(B ＋π6)＋3sin(B －π3)(10分)＝12cos B ＋32sin B ＋32sin B －32cos B ＝3sin B －cos B ＝2sin(B －π6)，(12分) 当B ＝2π3时，y 的最大值为2.(14分)16. 证明：(1) 连结BD ，因为底面是平行四边形，故BD 经过O 点，且点O 为BD 的中点．又点E 为PD 的中点，所以OE ∥PB.(4分) 因为OE ⊄平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以OE ∥平面PAB.(6分)(2) 在平面PAD 内作PH ⊥AD ，由于△PAD 为锐角三角形，设PH ∩AD ＝H.因为平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，PH ⊥AD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD.(8分)又CD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥CD.(10分)而CD ⊥DP ，PH ∩PD ＝P ，PH ，PD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD.(12分) 而PA ⊂平面PAD ，则CD ⊥PA.(14分)17. 解：(1) 由椭圆的焦距为4，则c ＝2，从而a 2－b 2＝4. 又椭圆过点(2，53)，所以4a 2＋259b 2＝1，即36b 2＋25a 2＝9a 2b 2，消去b ，得9a 4－97a 2＋144＝0，解得a 2＝9或a 2＝169(舍去)，所以a ＝3.(4分)则△PF 1Q 的周长为4a ＝12.(6分)(2) 由(1)得椭圆方程为x 29＋y 25＝1，F 2(2，0)．设直线l 的方程为y ＝k(x －2)，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(m ，0)，则R(x 2，－y 2)，直线PR 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0，则－y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，x ＝y 1（x 2－x 1）y 1＋y 2＋x 1，所以m ＝y 1（x 2－x 1）y 1＋y 2＋x 1＝y 1x 2＋y 2x 1y 1＋y 2＝2x 1x 2－2（x 1＋x 2）x 1＋x 2－4.(8分)将直线l 的方程与椭圆方程联立，并消去y ，得(5＋9k 2)x 2－36k 2x ＋36k 2－45＝0，则x 1＋x 2＝36k 25＋9k 2，x 1x 2＝36k 2－455＋9k 2，(10分)从而m ＝2×36k 2－455＋9k 2－2×36k 25＋9k 236k 25＋9k 2－4＝－90－20＝92，(12分)S △PF 1M ＝12F 1M ·|y 1|＝12×⎪⎪⎪⎪92＋2·|y 1|＝134|y 1|≤1354，所以△PF 1M 面积的最大值为1354.(14分) 18. 解：设发酵池AD 边长为x m ，则另一边长为225x m ，且x ≥225x ，即x ≥15.(2分)(1) 225×200＋4(x ＋225x )×150≤65 400，(4分)化简得x 2－34x ＋225≤0，解得9≤x ≤25，(6分) 所以发酵池AD 边长的范围是[15，25]．(8分)(2) 发酵馆占地面积S ＝(x ＋8)(225x ＋2b)＝225＋16b ＋2bx ＋1 800x ，15≤x ≤25，(10分)令S′＝2b －1 800x 2＝2bx 2－1 800x 2＝0，解得x ＝30b，当30b＜15，即b ＞4时，AD 边为15 m ，S 最小；(12分) 当15≤30b ≤25，即3625≤b ≤4时，AD 边长为30bm ，S 最小；(14分)当30b＞25时，即0＜b ＜3625时，AD 边长为25 m ，S 最小．(16分)答：(1) 发酵池AD 边长的范围是[15，25]．(2) 当b ＞4时，AD 边长为15 m ，S 最小；当3625≤b ≤4时，AD 边长为30b m ，S 最小；当0＜b ＜3625时，AD 边长为25 m ，S 最小．(注：答不写扣2分)19. 解：(1) 因为当n ≥2，n ∈N *时S n －1＝1－2a n ，所以S n ＝1－2a n ＋1，两式相减得a n ＝2a n －2a n ＋1，即a n ＝2a n ＋1，所以a n ＋1a n ＝12.(2分)当n ＝2时，a 1＝1－2a 2，所以a 2＝14，所以a 2a 1＝12，所以数列{a n }为等比数列，其通项公式为a n ＝12n .(4分)当n ≥2，n ∈N *，bn ＝2（T 2n －T 2n －1）b n ＋1＋b n －1－2T n －1，所以(b n ＋2T n －1)(b n ＋1＋b n －1)＝2(T 2n －T 2n －1)，所以(T n ＋T n －1)(b n ＋1＋b n －1)＝2(T 2n －T 2n －1)．因为T n ＋T n －1＞0，所以b n ＋1＋b n －1＝2(T n －T n －1)＝2b n ，(6分)所以数列{b n }为等差数列，且b 1＝1，b 2＝2，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n.(8分)(2) 因为c n ＝b n ＋2b 2n ＋b n a n ＝n ＋2（n 2＋n ）·2n＝1n·2n －1－1（n ＋1）·2n ，(12分) 所以P n ＝(11×1－12×2)＋(12×2－13×22)＋…＋⎣⎡⎦⎤1n·2n －1－1（n ＋1）·2n ＝1－1（n ＋1）·2n，即P n ＝1－1（n ＋1）·2n.(16分)20. (1) 解：因为f′(x)＝1x －a ＝1－ax x，x ＞0，当a ＜0时，f ′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2分) 当a ＞0时，x ∈(0，1a )，f ′(x)＞0，x ∈(1a ，＋∞)，f ′(x)＜0，所以f(x)在(0，1a )上单调递增，在(1a ，＋∞)上单调递减．综上，当a ＜0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无减区间；当a ＞0时，f(x)的单调递增区间为(0，1a )，单调递减区间为(1a ，＋∞)．(4分)(2) (Ⅰ) 解：由(1)可知：当a ＜0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)至多有一个零点，不符合；(5分) 当a ＞0时，f(1a)＝－ln a －1，① 若f(1a )＝－ln a －1＜0，即a ＞1e 时，f(x)＜0恒成立，所以函数f(x)无零点，不符合；② 若f(1a )＝－ln a －1＝0，即a ＝1e 时，f(x)只有一个零点，不符合；③ 若f(1a )＝－ln a －1＞0，即0＜a ＜1e 时，此时1a ＞e.f(1)＝－a ＜0，所以f(x)在(0，1a )上只有一个零点，(8分)f(1a 2)＝2ln 1a －1a ，设1a＝t ＞e ，则g(t)＝2ln t －t ，因为g′(t)＝2t －1＝2－t t ＜0，g(t)在(e ，＋∞)上单调递减，g(t)＜g(e)＝2－e ＜0，即f(1a 2)＜0，所以f(x)在(1a ，1a2)上只有一个零点，(9分)即0＜a ＜1e 时，f(x)有两个零点，函数有两个零点．综上，0＜a ＜1e 时，函数有两个零点．(10分)(Ⅱ) 证明：因为函数f(x)有两个零点x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1＝ax 1，ln x 2＝ax 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ln （x 1x 2）＝a （x 1＋x 2），ln x 2x 1＝a （x 2－x 1），两式相比可得ln(x 1x 2)＝（x 2＋x 1）lnx 2x 1（x 2－x 1）.(12分)令x 2x 1＝t(t ＞1)，则设ln(x 1x 2)＝（t ＋1）ln t （t －1）＝m(t)，m ′(t)＝t －1t －2ln t （t －1）2. 设φ(t)＝t －1t －2ln t ，φ′(t)＝1＋1t 2－2t ＝t 2－2t ＋1t 2＞0，所以φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，φ(t)＞φ(1)＝0，(14分)即m′(t)＞0，m(t)随着t 的增大而增大，所以ln(x 1x 2)随着x 2x 1的增大而增大．又e ＞1，即x 1·x 2随着x 2x 1的增大而增大．(16分)2020届高三模拟考试试卷(无锡) 数学附加题参考答案及评分标准21. 解：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，c ＋d ＝5.(2分) 又⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝－1，－2c ＋d ＝2，(4分) 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4，(8分) ∴ A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2314.(10分)22. 解：由ρcos (θ－π3)＝23可得ρ(cos θcos π3＋sin θsin π3)＝23，即曲线C 2的直角坐标方程为x ＋3y －43＝0；(4分)曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝16，(6分) 所以圆心到直线的距离为d ＝432＝23，(8分)所以AB ＝216－12＝4.(10分)23. 解：∵ AB ＝23，∠EAB ＝30°，∠AEB ＝90°， ∴ EB ＝3，AE ＝3.以点E 为坐标原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，A(0，3，0)，B(3，0，0)，C(3，0，3)，D(0，3，3)，O(32，32，0)，(1) OC →＝(32，－32，3)，DE →＝(0，－3，－3)，∴ |OC →|＝23，|DE →|＝32，∴ OC →·DE →＝92－9＝－92，∴ cos 〈OC →，DE →〉＝OC →·DE →|OC →||DE →|＝－9223×32＝－68，(2分)∴ 异面直线OC 与DE 所成角的余弦值68.(4分) (2) 设平面DCE 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z)，CE →＝(－3，0，－3)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝3x －3y ＝0，m ·CE →＝－3x －3z ＝0，取x ＝3，得m ＝(3，1，－1)．(6分)平面EAD 的一个法向量n ＝(1，0，0)，(8分) ∴ cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝35×1＝155， ∴ sin 〈m ，n 〉＝105， ∴ 二面角ADEC 的正弦值为105.(10分) 24. 证明：① 当n ＝1时，只需证e x －1＞x ，设f(x)＝e x －1－x(x ＞1)，则f(1)＝0.而x ＞1时，f ′(x)＝e x －1－1＞0，故f(x)在(1，＋∞)上单调递增．(2分)因此x ＞1时，f(x)＞0，即e x －1＞x.(4分)② 假设n ＝k 时不等式成立，即e x－1＞x k k ！，则当n ＝k ＋1时，设h(x)＝e x －1－x k ＋1（k ＋1）！，(6分) 所以h′(x)＝e x －1－（k ＋1）x k （k ＋1）！＝e x －1－x k k ！＞0，故h(x)＝e x －1－x k ＋1（k ＋1）！在(1，＋∞)上单调递增．又h(1)＝1－1（k ＋1）！＞0，则h(x)＝ex －1－x k ＋1（k ＋1）！＞0，即e x－1＞x k ＋1（k ＋1）！，n ＝k ＋1时也成立．综上，对任意的x ＞1，n ∈N *，都有e x －1＞x nn ！.(10分)。

江苏省无锡市普通高中2021届高三上学期期末调研考试数学试题 Word版含答案

江苏省无锡市普通高中2021届高三上学期期末调研考试数学试题注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分160分.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B =_____. 答案：{1,3}解：因为21,k k Z -∈表示为奇数，故A B ={1,3}2.已知复数z a bi =+(,)a b R ∈，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____. 答案：-8解：2iz ai bi b ai =+=-+，所以1,9a b ==-，所以8a b +=-3.某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟. 答案：7.5 解：76+147+1584107.5714154⨯⨯⨯+⨯=+++4.函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________. 答案： (0,2)-解：由指数函数的性质，可得()(1)3x f x a =--过定点(0,2)-5.等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____. 答案：4解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得: 2216a a a =，则2111(+)(5)a d a a d =+ 整理得13d a =，2114a a d a =+=，所以21=4a a6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.答案：12解：23241=2CC7.在长方体1111ABCD A B C D-中，1AB=,2AD=，11AA=，E为BC的中点，则点A到平面1A DE的距离是______.答案：6解：1111211=323A ADES-=⨯⨯⨯⨯三棱锥，11623=2A DES∆=⨯⨯1161=33A A DES h-=⨯⨯三棱锥，解得6=h8.如图所示的流程图中，输出n的值为______.答案：49.圆22:(1)(2)4C x y++-=关于直线21y x=-的对称圆的方程为_____.答案：22(3)4x y-+=解：22:(1)(2)4C x y++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x=-对称点设为(,)x y则有：2121222112y xyx+-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得3xy=⎧⎨=⎩，所以对称后的圆心为(3,0)，故22(3)4x y-+=.10.正方形ABCD的边长为2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则PM PN⋅的取值范围是______.答案：[0,1]11.双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 角圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____. 答案：34-12.对于任意的正数,a b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，则k 的最大值为_____. 答案：2213.在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>，点D 在线段BC 上，且13CD CB =,若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____. 答案：314.函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的分别为,,a b c ，向量(23,3)m a b c =-，向量(cos ,cos )n B C =，且m n ∥. （1）求角C 的大小；（2）求sin +3sin()3y A B π=-的最大值.16. （本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD ∆为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥.（1）求证：OE ∥平面PAB ；（2）求证：CD PA ⊥.17. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不行与坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M . （1）求1PFQ ∆的周长；（2）求1PF M ∆面积的最大值.18.（本小题满分16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD(如图所示) ,其中AD≥AB.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3,深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元(1)求发酵池AD边长的范围;(2)在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道(b为常数).问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆古地面积最小.19.（本小题满分16分）已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a=，11b =，22b =，当2n ≥，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2(2)n nn n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P .20.（本小题满分16分）设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x （12x x <）. （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）求证：12x x ⋅随着21x x 的增大而增大.附加题，共40分21．【选做题】本题包括A，B两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知a，b R∈，矩阵A＝a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点P(﹣2，1)在A对应的变换作用下得到点P′(﹣1，2)，求矩阵A．B．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1：4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为cos()233πρθ-=，设曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求AB 的长．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点, ∠AEB ＝90°，∠EAB ＝30°，AB ＝23，AD ＝3．（1）求异面直线OC 与DE 所成角的余弦值；（2）求二面角A —DE —C 的正弦值．23．（本小题满分10分）对于任意的x ＞1，N n *∈，用数学归纳法证明：1nx x e n ->！．。

江苏省无锡市高三第一学期期末复习数学试题(含答案)

江苏省无锡市第一学期期末复习试卷高三数学一、填空题（不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1.集合A＝{，，}，B＝{，，}，若A B＝{﹣3}，则a的值是_．2.复数z满足，则复数z的共轭复数＝__．3.如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则甲与乙的方差和为__．4.已知实数x，y(0，1)，三角形ABC三边长为x，y，1，则三角形ABC是钝角三角形的概是__．5.为了在运行下面的程序之后得到输出y＝25，键盘输入x应该是___．6.在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三棱锥S—A1B1C1的体积为___．7.已知实数x，y满足，且，则实数m的取值范围为___．8.设函数（其中A，，为常数且A＞0，＞0，）的部分图象如图所示，若（），则的值为___．9.在斜△ABC中，若，则的最大值是____．10.已知函数，．则不等式的解集是___．11.如图，已知平行四边形ABCD中，E，M分别为DC的两个三等分点，F，N分别为BC的两个三等分点，，，则＝____．12.已知数列的前n项和为，，且（），记（），若对恒成立，则的最小值为__．13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(m，0)，B(m＋4，0)，若圆C：上存在点P，使得∠APB ＝45°，则实数m的取值范围是___．14.已知a，b∈R，e为自然对数的底数．若存在b∈[﹣3e，﹣e2]，使得函数＝e x﹣ax－b在[1，3]上存在零点，则a的取值范围为_____．二、解答题（请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若，，求，．16.如图，在直四棱柱中，，．点为棱的中点．（1）若，求证：；（2）求证：//平面．17.如图，有一块半圆形的空地，政府计划在空地上建一个矩形的市民活动广场ABCD及矩形的停车场EFGH，剩余的地方进行绿化，其中半圆的圆心为O，半径为r，矩形的一边AB在直径上，点C，D，G，H在圆周上，E，F在边CD上，且∠BOG＝60°，设∠BOC＝．（1）记市民活动广场及停车场的占地总面积为，求的表达式；（2）当cos为何值时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大．18.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为A，右焦点为F，离心率为．已知点P是椭圆上一点，当直线AP经过点F时，原点O到直线AP的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AP与圆O：相交于点M（异于点A），设点M关于原点O的对称点为N，直线AN与椭圆相交于点Q（异于点A）．①若|AP|＝2|AM|，求△APQ的面积；②设直线MN的斜率为，直线PQ的斜率为，求证：是定值．19.设函数，其中R．（1）若a＝0，求过点(0，﹣1)且与曲线相切的直线方程；（2）若函数有两个零点，．①求a的取值范围；②求证：．20.已知各项均为正数的数列满足，，，．（1）当，时，求证：数列为等比数列；（2）若数列是等差数列，求的值；（3）若，为正常数，无穷项等比数列满足，求的通项公式．高三数学(解析版)一、填空题（不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1.集合A＝{，，}，B＝{，，}，若A B＝{﹣3}，则a的值是_．【答案】﹣1【解析】【分析】由集合有一个元素为，根据两集合的交集中元素为，得出集合中必然有一个元素为，分别令集合中的元素等于列出关于的方程，求出方程的解，经过检验即可得到的值.【详解】∵，，若，∴或或，解得或，将代入得，，此时，不合题意；将代入得，，此时，满足题意，则，故答案为.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，注意对所求结果进行检验，属于基础题.2.复数z满足，则复数z的共轭复数＝__．【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念即可得最后结果.【详解】由，得，∴，故答案为.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则甲与乙的方差和为__．【答案】57.2【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，计算甲、乙二人的平均数与方差，求方差和即可.【详解】根据茎叶图知，甲的平均数是，方差是；乙的平均数是，方差是，∴甲与乙的方差和为，故答案为57.2．【点睛】本题考查了利用茎叶图求平均数与方差的应用问题，是基础题4.已知实数x，y(0，1)，三角形ABC三边长为x，y，1，则三角形ABC是钝角三角形的概是__．【答案】【解析】【分析】由题意知为钝角三角形时，且，构成三角形的区域为不等式且，，利用几何概型的概率公式求出对应区域的面积比即可．【详解】如图所示，由题意得构成三角形的、满足的条件为且，，其区域为，其面积为，若为钝角三角形，则，且；其区域为阴影部分，∴，∴所求的概率值为，故答案为.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，同时考查了不等式组表示平面区域问题，解题的关键在于构造几何概型模型，属于中档题．5.为了在运行下面的程序之后得到输出y＝25，键盘输入x应该是___．【答案】－6或6【解析】程序对应函数时,由得x＝－6或x＝6.故答案为：－6或6.6.在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三棱锥S—A1B1C1的体积为___．【答案】【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求。

无锡市民办辅仁数学高三上期末经典习题(培优练)

一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S2．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b >D ．33a b <3．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10 B ．8C ．5D ．44．正项等比数列{a n }中，a 3,a 4的等比中项为∫1xe 1edx ，令T n =a 1⋅a 2⋅a 3⋅⋯⋅a n ，则T 6=（） A ．6B ．16C ．32D ．645．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（）A ．()[),22,-∞-+∞B ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞D ．[]22-,6．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( ) A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 7．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．318．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140B ．280C ．168D ．569．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．610．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（） A ．322B ．5C ．5D ．9211．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（） A ．63B ．61C ．62D ．5712．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60β，=30α，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（）A ．15B ．25C ．40D ．6013．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S 14．ABC ∆中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（） A ．0B ．1C ．2D ．315．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)二、填空题16．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．17．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为．18．数列{}21n-的前n 项1,3,7..21n-组成集合{}()*1,3,7,21nn A n N=-∈，从集合nA中任取()1,2,3?··n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+，例如当1n =时，{}1111,1,1===A T S ；当2n =时，{}21221,2,13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=，试写出n S =___19．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积S =，其中a b c 、、分别为ABC△内角、、A B C 的对边.若2b =，且tan C =，则ABC △的面积S 的最大值为__________． 20．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 21．在钝角ABC中，已知1AB AC ==，若ABC的面积为2BC 的长为______．22．若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n n a a +-= ②1111n na a ③121nn n a a a +=+ ④2121n n a a +-=，则D 型数列{}n a 的序号为_______.23．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1345a a a a =+++…，则q =__________________．24．在数列{}n a 中，11a =，且{}n a 是公比为13的等比数列．设13521T n n a a a a -=++++，则lim n n T →∞=__________．(*n ∈N ) 25．设x ，y 满足则220,220,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则3z x y =-的最小值是______.三、解答题26．已知函数()()22f x x x a x R =++∈（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；（2）若()0f x >对任意的[1,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围。

2020年江苏省无锡市民办辅仁中学高三数学文联考试题含解析

2020年江苏省无锡市民办辅仁中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. O为原点，F为y2=4x的焦点，A为抛物线上一点，若?=﹣4，则A点坐标为( )A．（2，±2）B．（1，±2）C．（1，2）D．（2，2）参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出F的坐标，设出A的坐标，利用向量的数量积求解即可．【解答】解：y2=4x的焦点F（1，0），设A（，b），∵?=﹣4，∴（，b）?（1﹣，﹣b）=﹣4，解得b=±2．A点坐标为：（1，±2）．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．2. 函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最大值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由条件根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得，，由此根据求得的值，得到函数解析式即可求最值．【详解】函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得，，∵，∴，，由题意，得，∴，∴函数在区间的最大值为，故选B．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．3. 等差数列{a n}中，已知3a5=7a10，且a1＜0，则数列{a n}前n项和S n（n∈N*）中最小的是（）A．S7或S8 B．S12 C．S13 D．S14参考答案：C【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设公差为d，则3由题意可得（a1+4d）=7（a1+9d），解得 d=﹣，可得a n=．令＜0，可得当n≥14时，a n＞0，当n≤13时，a n＜0，由此可得数列{a n}前n项和S n（n∈N*）中最小的．【解答】解：等差数列{a n}中，已知3a5=7a10，且a1＜0，设公差为d，则3（a1+4d）=7（a1+9d），解得 d=﹣．∴a n=a1+（n﹣1）d=．令＜0，可得 n＞，故当n≥14时，a n＞0，当n≤13时，a n＜0，故数列{a n}前n项和S n（n∈N*）中最小的是 S13，故选C．【点评】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题．4. 已知. 、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一动点，圆与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则(▲) A．B．C．D．与的大小关系不确定参考答案：【知识点】圆与圆锥曲线的综合．H9【答案解析】A 解析：由题意知，圆C是△AF1F2的旁切圆，点M是圆C与x轴的切点，设圆C与直线F1A的延长线、AF2分别相切于点P，Q，则由切线的性质可知：AP=AQ，F2Q=F2M，F1P=F1M，∴MF2=QF2=（AF1+AF2）﹣（AF1+AQ）=2a﹣AF1﹣AP=2a﹣F1P=2a﹣F1M∴MF1+MF2=2a，∴t=a=2．故选A．【思路点拨】由题意知，圆C是△AF1F2的旁切圆，点M是圆C与x轴的切点，设圆C与直线F1A的延长线、AF2分别相切于点P，Q，则由切线的性质可知：AP=AQ，F2Q=F2M，F1P=F1M，由此能求出t的值．5. （多选题）下列函数中，既是偶函数，又在(0,+ ∞)上单调递增的是（）A. B.C. D.参考答案：BC【分析】易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为,先利用与的关系判断奇偶性,再判断单调性,即可得到结果.【详解】由题,易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为,对于选项A,,则为奇函数,故A不符合题意；对于选项B,,即为偶函数,当时,设,则,由对勾函数性质可得,当时是增函数,又单调递增,所以在上单调递增,故B符合题意；对于选项C,,即为偶函数,由二次函数性质可知对称轴为,则在上单调递增,故C符合题意；对于选项D,由余弦函数的性质可知是偶函数,但在不恒增,故D不符合题意；故选:BC【点睛】本题考查由解析式判断函数的奇偶性和单调性,熟练掌握各函数的基本性质是解题关键.6. 已知抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），=3，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则三角形ABG的面积为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线焦点弦的性质及向量的坐标运算，求得直线的倾斜角，求得直线AB的方程，代入抛物线方程，利用求得丨AB丨及中点E，利用点斜式方程，求得G点坐标，利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式求得三角形ABG的面积．【解答】解：作出抛物线的准线l：x=﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．∵=3，则设丨AF丨=3m，丨BF丨=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得丨AC丨=3m，丨BD丨=m．因此，Rt△ABE中，cos∠BAE==，得∠BAE=60°∴直线AB的倾斜角∠AFx=60°，得直线AB的斜率k=tan60°=．则直线l的方程为：y=（x﹣1），即x﹣y﹣=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：3x2﹣10x+3=0，则x1+x2=，x1x2=1，则y1+y2=（x1﹣1）+（x2﹣1）=，=，∴AB中点E（，），则EG的方程的斜率为﹣，则EG的方程：y﹣=﹣（x﹣），当x=0时，则y=，则G（，0），则G到直线l的距离d==，丨AB丨=x1+x2+p=，则S△ABG=×丨AB丨?d=××=，故选C．【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，焦点弦公式，考查数形结合思想，属于中档题．7. 下列函数中与图像完全相同的是A. B. C. D.参考答案：D8. 设函数，则下列结论错误的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是偶函数参考答案：D9. 下列命题正确的是（）．（A）若直线∥平面，直线∥平面，则∥；（B）若直线上有两个点到平面的距离相等，则∥；（C）直线与平面所成角的取值范围是；（D）若直线平面，直线平面，则∥.参考答案：D【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.【试题分析】直线与可能是与平面平行的平面中的相交直线，故A选项不正确；直线上的点可能是位于平面两侧的点，故B选项不正确；直线与平面所形成的角大小可以取到0和，故C选项不正确；垂直同一平面的两直线平行，故D选项正确.故答案为D.10. 一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段，则ab的最大值为A． B． C． D．3参考答案：C构造一个长方体，让长为2的线段为体对角线，由题意知，即，又，所以，当且仅当时取等号，所以选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f(x)满足,,当时, ,过点且斜率为k的直线与f(x)在区间[0,4]上的图象恰好有3个交点,则k的取值范围为．参考答案：因为,,所以,即，即是的周期函数,由时, ,知时,,,则当时, ,又是周期为的周期函数,画出的图象如下图所示，由图象得,当时, 同,联立得，由得或(舍),此时,故不可能有三个交点,当时, 与连线的斜率为,此时直线与有两个交点,又,若同相切,两式联立得，由,得或(舍),此时.所以当时有三个交点,综上: .12. 已知函数，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A试题分析：故选A.111]考点：1、分段函数求值；2、对数运算．13. 设正三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，BC=1，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE，则球O的半径为．参考答案：【考点】球内接多面体．【专题】综合题；方程思想；综合法；球．【分析】根据EF与DE的垂直关系，结合正棱锥的性质，判断三条侧棱互相垂直，再求得侧棱长，根据体积公式计算即可．【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，又∵EF⊥DE，∴AC⊥DE，取BD的中点O，连接AO、CO，∵三棱锥A﹣BCD为正三棱锥，∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，∴AC⊥BD，又DE∩BD=D，∴AC⊥平面ABD；∴AC⊥AB，设AC=AB=AD=x，则x2+x2=1?x=；所以三棱锥对应的长方体的对角线为=，所以它的外接球半径为．7810529故答案为：．【点评】本题考查了正三棱锥的外接球半径求法，关键是求出三棱锥的三条侧棱长度，得到对应的长方体对角线，即外接球的直径．14. 设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________.参考答案：，s15. 设x，y满足约束条件，则的最小值是______.参考答案：-3【分析】设，根据约束条件画出可行域，可知取最小值时，在轴截距最大；由图象可知当过时截距最大，求出点坐标，代入可得结果.【详解】设，由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则取最小值时，在轴截距最大由图象可知，当过时，截距最大由得：，即本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为在轴截距的最值求解问题，根据图象平移求得结果.16. 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k=．参考答案：5【考点】程序框图．【分析】由程序框图，运行操作，直到条件满足为止，即可得出结论．【解答】解：由程序框图知第一次运行k=2，m=；第二次运行k=3，m=；第三次运行k=4，m=；第四次运行k=5，m=；退出循环．故答案为：5．17. 设是等比数列的前n项的和，若，则的值是参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省无锡市辅仁高级中学高三数学理期末试卷含解析

江苏省无锡市辅仁高级中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是A. 27B.24C.18D. 12参考答案：B该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为，，，其体积为. 故选B.2. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，若二面角C-AB-C1的大小为，则异面直线A1B1和BC1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：D取AB的中点D，连接CD，C1D，则有。

在中，。

注意到，因此是直线与所成的角或补角，因此直线与所成的角的余弦值是，故选D。

本题考查正三棱柱的性质、二面角的意义及异面直线所成的角。

3. 已知复数z满足（1﹣i）z=i2015（其中i为虚数单位），则的虚部为（）A．B．﹣C．i D．﹣i参考答案：A考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数、虚部的定义即可得出．解答：解：∵i4=1，∴i2015=（i4）503?i3=﹣i，∴（1﹣i）z=i2015=﹣i，∴==，∴=，则的虚部为．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数、虚部的定义，属于基础题．4. 要得到函数y= sinx的图象，只需将函数的图象A、向右平移个单位;B、向右平移个单位;C、向左平移个单位 ;D、向左平移个单位;参考答案：B略5. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣11，a5+a6=﹣4，S n取得最小值时n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：A试题分析：解法一：求出{a n}的通项公式a n，在a n≤0时，前n项和S n取得最小值，可以求出此时的n；解法二：求出{a n}的前n项和S n的表达式，利用表达式是二次函数，有最小值时求对应n的值．试题解析：解：解法一：在等差数列{a n}中，设公差为d，∵a1=﹣11，a5+a6=﹣4，∴（a1+4d）+（a1+5d）=﹣22+9d=﹣4；∴d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由2n﹣13≤0，得n≤，∴当n=6时，S n取得最小值；解法二：在等差数列{a n}中，设公差为d，∵a1=﹣11，a5+a6=﹣4，∴（a1+4d）+（a1+5d）=﹣22+9d=﹣4，∴d=2，∴前n项和S n=na1+=﹣11n+=n2﹣12n，∴当n=6时，S n取得最小值；故选：A．考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和综合应用问题，是基础题．6. 已知且，函数在同一坐标系中的图象可能是参考答案：C略7. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为参考答案：D8. 现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有A、12B、6C、 8D、16参考答案：【知识点】排列组合.J2【答案解析】D 解析：解：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有种方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2=6种方法．综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有 6+6=12种，故选C．【思路点拨】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求9. 函数的图象大致是（）参考答案： C 略10. 榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，我国在北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，如图所示是一种榫卯构件中榫的三视图，其表面积为( )A.B.C.D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线与平行，则的值是.参考答案：略12. 已知集合A={2，0，1，7}，B={y|y=7x ，x∈A}，则A∩B= ．参考答案：{0，7}【考点】交集及其运算．【分析】将A 中元素代入y=2x ﹣1中求出y 的值，确定出B ，求出A 与B 的交集即可．【解答】解：将x=0代入y=7x 得：y=0；将x=2代入y=7x 得：y=14；将x=1代入y=7x 得：y=7；将x=7代入y=7x 得：y=49；将x=5代入y=2x ﹣1得：y=9， ∴B={0，7，14，49}，则A∩B={0，7}．故答案为：{0.7}13. 圆（x ﹣1）2+y 2=1被直线x ﹣y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为．参考答案：1：3【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得．【解答】解：圆的圆心为（1，0）到直线x ﹣y=0的距离为=，∴弦长为2×=．根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，较短弧长为×2π×1=，较长的弧长为2π﹣=，∴较短弧长与较长弧长之比为1：3故答案为：1：3．【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质．在弦与半径构成的三角形中，通过解三角形求得问题的答案．14. 已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的方程为 .参考答案：由于两个焦点为（－1,0），（1,0）所以，15. 若实数x，y满足约束条件且目标函数z=x-y的最大值为2，则实数m= ___．参考答案：2【分析】作出可行域，寻求目标函数取到最大值的点，求出m.【详解】先作出实数x，y满足约束条件的可行域如图，∵目标函数z=x-y的最大值为2，由图象知z=2x-y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2．由，解得A（2，0），同时A（2，0）也在直线x+y-m=0上，∴2-m=0，则m=2，故答案为：2．16. 已知等腰△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为______。

2020年江苏省无锡市民办辅仁中学高三数学文联考试卷含解析

2020年江苏省无锡市民办辅仁中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b 的最大值为( )A．B．5 C．D．2参考答案：A考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点（1，0），即有c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．解答：解：抛物线C1：y2=4x的焦点为（1，0），即有双曲线的c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），则2a+b=2cosα+sinα=（cosα+sinα）=sin（α+θ）（其中tanθ=2，θ为锐角），当α+θ=时，2a+b取得最大值，且为．故选A．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系，运用三角换元和正弦函数的值域是解题的关键．2. 已知圆上两点关于直线对称，则圆的半径为（）A． 9 B．3 C．2 D．2参考答案：B3. 若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是A．4 B. C.2 D.参考答案：D略4. 数列的前n项和；（n∈N*）；则数列的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．100参考答案：A略5.设全集U=R，集合M=，N=，则下列关系式中正确的是（）A．M∩N∈M B．M∪N MC．M∪N=R D．（M）∩N=参考答案：答案:C解析:易知,故选C。

6. 已知命题p：“ >0，有成立”，则p为（）A．≤0，有<l成立B．≤0，有≥1成立C． >0，有<1成立D．>0，有≤l成立参考答案：C略7. 对于函数，以下说法正确的有 ( ）①是的函数；②对于不同的的值也不同；③表示当时函数的值，是一个常量；④一定可以用一个具体的式子表示出来。

江苏省无锡市民办辅仁中学2020年高三数学文模拟试卷含解析

江苏省无锡市民办辅仁中学2020年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】L6：简单组合体的结构特征．【分析】做本题时，需要将原图形在心中还原出来，最好可以做出图形，利用图形关系，就可以求解了．【解答】解：棱长为2的正四面体ABCD的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图为△ABF，则图中AB=2，E为AB中点，则EF⊥DC，在△DCE中，DE=EC=，DC=2，∴EF=，∴三角形ABF的面积是，故选C．2. 已知为等差数列，若，则（）A. B. C. D.参考答案：A因为为等差数列，若，则，选A3. （5分）（2015?枣庄校级模拟）以双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F为圆心，作半径为b的圆F，则圆F与双曲线的渐近线（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定参考答案：C【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题．【分析】：确定圆F的方程，双曲线的渐近线方程，求出圆心到直线的距离，即可得到结论．解：由题意，圆F的方程为：（x+c）2+y2=b2，双曲线的渐近线方程为：bx±ay=0∴F到渐近线的距离为d==b∴圆F与双曲线的渐近线相切故选C．【点评】：本题考查双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．4. 已知以T=4为周期的函数，其中．若方程恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：B【详解】因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得令，则有由同样由与第三个半椭圆无交点，由可计算得综上知．5. 函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得的值．【详解】对于函数且，令，求得，，可得函数的图象恒过点，且点A在角的终边上，，则，故选：C．6. 若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 ( )A．(－2,2) B．[－2,2]C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)参考答案：A7. 已知函数与其导函数的图象如图，则函数的递减区间为（）A．(0,4) B．(－∞,0),(1,4) C. D．(0,1)(4,+∞)参考答案：D8. 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )．A. B. C. D．参考答案：C略9. 若且，则的取值范围是（） A.B.C.D.参考答案：C 略 10. 已知，那么( )．．．．．参考答案：A 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在中，,,,则 .参考答案：12.从某电线杆的正东方向的A 点处测得电线杆顶端的仰角是60°，从电线杆正西偏南30°的B 处测得电线杆顶端的仰角是45°，A 、B 间距离为35m ，则此电线杆的高度是．参考答案：5m【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题．【分析】先设电杆的底点为O ，顶点为C ，则可以有三个三角形①45°直角△BOC，②60°直角△AOC，③钝角△AOB，其中∠AOB=150°，由此可求出CO ．【解答】解：设电杆的底点为O ，顶点为C ，OC 为h根据题意，△BOC 为等腰直角三角形，即OB=0C=h ，△AOC 为直角三角形，且∠OAC=60°，可得OA=，△AOB 中，∠AOB=150°利用余弦定理得，m ，故答案为5m ．【点评】本题的关键是构建三角形，从而合理运用余弦定理解题，属于基础题．13. 若对满足条件x+y+3=xy （x ＞0，y ＞0）的任意x ，y ，（x+y ）2﹣a （x+y ）+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是．参考答案：a【考点】函数恒成立问题；基本不等式．【分析】由基本不等式可得，x+y+3=xy≤，从而可求x+y 的范围，然后由（x+y ）2﹣a（x+y ）+1≥0得a恒成立，则只要a≤即可【解答】解：∵x＞0，y ＞0 ∴x+y+3=xy≤∴x+y≥6由（x+y ）2﹣a （x+y ）+1≥0可得a恒成立令x+y=t ，f （t ）=t+在[6，+∞）上单调递增，则当t=6时f （t ）min =f （6）=∴a≤故答案为：a≤14. 已知实数x ，y 满足，则的最小值为 .参考答案：，则，.15. 函数为偶函数且为减函数在上，则a的范围为___________________参考答案：a且a为偶数为减函数a为偶函数a为偶数类似的，若为奇函数，减函数在上，求范围解析：为减函数为奇函数为奇数注意；幂函数的定义性质必须弄懂16. 已知A（1，0），P，Q是单位圆上的两动点且满足，则+的最大值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】设=，则=，的方向任意．可得+==1××，即可得出．【解答】解：设=，则==，的方向任意．∴+==1××≤，因此最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 若f （x ）+∫01f（x）dx=x，则．参考答案：考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：对已知等式两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，利用已知等式求出c，得到所求．解答：解：对f（x）+∫01f（x）dx=x两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，由已知x+c+（x2+cx）|=x，解得c=﹣，所以=（）|=；故答案为：．点评：本题考查了定积分的计算；解答本题的关键是利用求导求出f（x）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021高三数学上期末试卷(含答案)(1)

2020-2021高三数学上期末试卷(含答案)(1)一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100 B ．-100C ．-110D ．1103．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 4．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（） A ．B ．C ．D ．5．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（） A ．3B ．32C ．2D ．526．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．97．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（） A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞8．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．1510．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．411．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（） A ．243-B ．242-C ．162-D ．24312．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（） AB ．3CD二、填空题13．若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.14．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______15．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是__________．16．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB ＝5bcosA ，asinA ﹣bsinB ＝2sinC ，则边c 的值为_______．17．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.18．数列{}n a 满足10a =，且()1*11211n nn N a a +-=∈--，则通项公式n a =_______．19．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.20．已知数列{}n a (*n ∈N )，若11a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2lim n n a →∞= ．三、解答题21．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.（1）求222b c a+的值；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值. 22．已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和.23．设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列；（Ⅱ）令112n n b a =--，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.24．在数列{}n a 中, 已知11a =，且数列{}n a 的前n 项和n S 满足1434n n S S +-=, n *∈N . （1）证明数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n na 的前n 项和为n T ，若不等式3()1604nn aT n+⋅-<对任意的n *∈N 恒成立, 求实数a 的取值范围. 25．己知数列的前n 项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和．26．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若数列{}n n a b +的首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】11111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立，当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤故选B点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果2．B解析：B 【解析】【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选：B ．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．C解析：C 【解析】在ABC ∆中，222222cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab abQ +-+-=∴==⋅，2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.4．C解析：C 【解析】【分析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果. 【详解】由余弦定理得：，即解得：或为最小角本题正确选项：【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.5．B解析：B 【解析】【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(52)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b +的最小值为32．故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．6．D解析：D 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ，平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．A解析：A 【解析】分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b+++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭，化为()()2540a b a b +-++≤，解得14a b ≤+≤，则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.8．C解析：C 【解析】先考虑充分性,当x>0时，12x x +≥=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立.再考虑必要性，当12 xx+≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x-+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0.故选C.9．A解析：A【解析】试题分析：331313log1log log log1n n n na a a a+++=∴-=Q即13log1nnaa+=13nnaa+∴=∴数列{}n a是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a∴++=++=⨯=15793log()5a a a∴++=-．考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．10．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵点M(a,b)与点N(0,−1)在直线3x−4y+5=0的两侧,∴()()34530450a b-+⨯++<，即3450a b-+<，故①错误；当0a>时,54a b+>，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x−4y+5=0的距离为d,则22513(4)==+-d,则22a b+>1，故③正确；当0a>且a≠1时,11ba+-表示点M(a,b)与P(1,−1)连线的斜率．∵当0a=,b=54时,51194114ba++==---,又直线3x−4y+5=0的斜率为34，故11ba+-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.11．B解析：B 【解析】【分析】【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即11322n n a a -=，即()132nn a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113a q S q---∴===---，故选B.12．D解析：D 【解析】【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，a =22246748c c c +-=，解得：2c =由7cos 8A =得sin A ==所以，11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.二、填空题13．4【解析】（前一个等号成立条件是后一个等号成立的条件是两个等号可以同时取得则当且仅当时取等号）【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式（1）当且仅当时取等号；（2）当且仅解析：4 【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当2224a b ==时取等号）. 【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，a b +≥ ，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.14．【解析】【分析】根据题意化简得利用式相加得到进而得到即可求解结果【详解】因为所以所以将以上各式相加得又所以解得或【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用其中解答中利用数列的递推关系式得到关于数列首解析：34，- 【解析】【分析】根据题意，化简得22111n n n a a a ++-=-，利用式相加，得到2213113112S a a a --=-，进而得到211120a a --=，即可求解结果.【详解】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-，所以2222222213321313121,1,,1a a a a a a a a a -=--=--=-L ，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-，又21313S a =，所以211120a a --=，解得13a =-或14a =.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.15．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得∴实数的取值范围是答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的解析：a <<【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足22222222224130130310a a a a <<⎧⎪+->⎪⎨+->⎪⎪+->⎩，解得a << ∴实数a的取值范围是．答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．16．3【解析】【分析】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得解方程得解【详解】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得所以故答案：3【点睛】本题主要解析：3 【解析】【分析】由acosB ＝5bcosA 得22223a b c -=，由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，解方程得解. 【详解】由acosB ＝5bcosA 得22222222225,223a cb bc a a b a b c ac bc +-+-⋅=⋅∴-=.由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，所以222,33c c c =∴=. 故答案：3 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （解析：5 【解析】【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为：5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题18．【解析】【分析】构造数列得到数列是首项为1公差为2的等差数列得到【详解】设则数列是首项为1公差为2的等差数列故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法构造数列是解题的关键意在考查学生对于数列通项解析：2221n n -- 【解析】【分析】构造数列11n nb a =-，得到数列n b 是首项为1公差为2的等差数列21n b n =-，得到2221n n a n -=-. 【详解】设11n n b a =-，则12n n b b +-=，11111b a ==- 数列n b 是首项为1公差为2的等差数列1222121121n n n b n n a n n a -=⇒=--⇒--= 故答案为2221n n -- 【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，构造数列11n nb a =-是解题的关键，意在考查学生对于数列通项公式的记忆，理解和应用.19．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】解析：1849【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则1100a =，所以13n n a a +-=-（常数），故()10031n a n =--，所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列. 从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1，所以()()1001001346631184922S +⨯=+⨯+=，故答案为：1849 【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.20．【解析】【分析】由已知推导出=(=1+（）从而-=-由此能求出【详解】∵数列满足：∴（）+（）+……+（）=++……+==(∴=(；又+……+（）=1+++……+=1+=1+（）即=1+（）∴-=-解析：23-【解析】【分析】由已知推导出2n S =23(11)4n -，21n S -=1+13（1114n --），从而22n n a S =-21n S -=21132n -n -23，由此能求出2lim n n a →∞【详解】 ∵数列{}n a 满足：1 1a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴（12a a +）+（34 a a +）+……+（212 n n a a -+）=12+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=11124114n ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=23(11)4n-， ∴2n S =23(11)4n -；又12345a a a a a +++++……+（2221 n n a a --+）=1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+412⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+2111124114n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=1+13（1114n --），即21n S -=1+13（1114n --） ∴22n n a S =-21n S -=21132n -n -23∴2211lim lim(32n n n n a n -→∞→∞=-2)3=-23，故答案为：-2 3【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）2224b c a+=（2 【解析】【分析】（I ）由题意2sin 3tan c B a A =，利用正、余弦定理化简得2224b c a +=，即可得到答案. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==，由余弦定理得6cos A bc=，进而利用基本不等式，得到6cos bc A =，且(0,)2A π∈，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质，即可求解面积的最大值. 【详解】解：（I ）∵2sin 3tan c B a A =， ∴2sin cos 3sin c B A a A =，由正弦定理得22cos 3cb A a =，由余弦定理得22222?32b c a cb a bc+-=，化简得2224b c a +=，∴2224b c a+=. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==，∴由余弦定理得2226cos 2b c a A bc bc+-==，根据重要不等式有222b c bc +≥，即8bc ≥，当且仅当b c =时“=”成立， ∴63cos 84A ≥=. 由6cos A bc =，得6cos bc A =，且0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴ABC ∆的面积116sin sin 3tan 22cos S bc A A A A==⨯⨯=. ∵2222222sin cos sin 11tan 1cos cos cos A A A A A A A++=+==，∴tan 3A =≤=∴3tan S A =≤∴ABC ∆的面积S . 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.22．(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明是等比数列，并求的通项公式，⑵利用错位相减法即可求得答案；解析：（1）∵∴∴，∵，，∴是以为首项，以4为公比的等比数列∴，∴，∴，（2），∴①②①-②得∴.23．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）6 【解析】【分析】（Ⅰ）由递推公式凑出1132n n a a ++--与32n n a a --的关系，即可得证（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2111222n n n n n a b a a --=-==--，即可得到{}(21)n n b -⋅的通项公式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解. 【详解】解：（Ⅰ）()*164n n n a a n a +-=∈-N Q 1163346224n n n n n n a a a a a a ++----∴=---- 6312628n n n n a a a a --+=--+2(3)(2)n n a a --=--322n n a a -=- 32n n a a ⎧⎫-∴⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列（Ⅱ）由（Ⅰ）知，322n n n a a -=-，即2111222n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅①23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，①减②得11231142S 122(22...2)(21)222(21)212n n n n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅-1(32)26n n +=-⋅-. 1S (23)26n n n +∴=-⋅+2111S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），S n ∴单调递增.76S 92611582019=⨯+=<Q ， 87S 112628222019=⨯+=>.故使S 2019n <成立的最大自然数6n =. 【点睛】本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题. 24．(1)见解析(2) (,20)-∞ 【解析】分析：（1）利用1434n n S S +-=推出134n n a a +=是常数，然后已知2134a a =，即可证明数列{}n a 是等比数列；（2）利用错位相减法求出数列{}n na 的前n 项和为n T n ，化简不等式31604nn aT n⎛⎫+⋅-< ⎪⎝⎭，通过对任意的*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围．详解：(1) Q 已知*1434,n n S S n N +-=∈,∴ 2n ≥时, 143 4.n n S S --= 相减得1430n n a a +-=. 又易知0,n a ≠134n n a a +∴=. 又由*1434,n n S S n N +-=∈得()121434,a a a +-=22133,44a a a ∴=∴=. 故数列{}n a 是等比数列.(2)由(1)知1133144n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.01133312444n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ,123333124444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 相减得213113333341344444414nn n nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-L ,331616444n nn T n ⎛⎫⎛⎫∴=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴不等式31604n n a T n ⎛⎫+⨯-< ⎪⎝⎭为33316164160444n n na n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯+⨯-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 化简得2416n n a +>. 设()2416f n n n =+,*n N ∈Q ()()120min f n f ∴==.故所求实数a 的取值范围是(),20-∞.点睛：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前n 项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力． 25．（1）；（2）【解析】【分析】（1）运用，证明数列是等比数列，计算通项，即可。

2020-2021学年江苏省无锡市民办辅仁中学高三数学文测试题含解析

2020-2021学年江苏省无锡市民办辅仁中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A2. 设全集U＝R，集合，，则集合( )A．B．C．D．参考答案：A3. 已知i为虚数单位，则（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】利用复数的除法运算，对题目所给表达式进行化简.【详解】依题意，原式，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.4. 过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,－7)的圆截直线所得弦长的最小值等于（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】因为圆心在弦AC的中垂线上，所以设圆心P坐标为（a，-2），再利用，求得，确定圆的方程.又直线过定点Q，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P为（a,-2），则r2＝，解得a=1，所以P（1，-2）.又直线过定点Q（-2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线被圆截得的弦长为．故选B．5. 集合，集合，则（）A. B. C. D.参考答案：B集合B化简为，依题可见选B.6.“,成立”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B7. 直线与抛物线和圆从左到右的交点依次为，则的值为( ▲ )A. B. C. D.参考答案：B略8. 已知两个等差数列和的前n项和分别A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的值是（）A、1，3，5，8，11B、所有正整数C、1，2，3，4，5D、1，2，3，5，11参考答案：D9. 已知，若向量与向量共线，则的最大值为（）A．6 B．4 C．3 D．参考答案：A10. 设，定义运算“”和“”如下：，．若正数满足，则（）A． B．C． D．参考答案：B考点：新概念.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则的值为__________。

2020年江苏省无锡市辅仁中学高三数学理期末试题含解析

2020年江苏省无锡市辅仁中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将函数y=sin（2x+φ）（φ＞0）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的奇偶性，得出结论．【解答】解：将函数y=sin（2x+φ）（φ＞0）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，可得+φ=，求得φ的最小值为，故选：B．2. 已知，设函数的最大值为M，最小值为N，那么（）A. 2020B. 2019C. 4040D. 4039参考答案：D【分析】通过分离分子可得，计算可得，利用函数的单调性计算可得结果．【详解】解：，又是上的增函数，，故选D．【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用，注意解题方法的积累，考查运算能力，属于中档题．3. 下列函数中，在(－1,1)内有零点且是增加的是 ( )A．y＝ B．y＝2x－1 C．y＝x2－ D．y＝－x3参考答案：B4. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是A. B. C. D.参考答案：A【知识点】复数的运算;复数的几何意义L4解析：因为,所以在复平面内对应点的坐标是,故选A.【思路点拨】先把原复数化简,再根据几何意义得到对应的点坐标.5. 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等．A．① B．①② C．①②③ D．③参考答案：C6. 若双曲线x2+ky2=1的离心率是2，则实数k的值是（）A．-3 B． C．3 D．参考答案：B7. 复数（为虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．参考答案：B略8. 若﹣2i+1=a+bi，则a﹣b=( )A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3参考答案：D考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数相等即可得出．解答：解：∵﹣2i+1=a+bi，∴1=a，﹣2=b，则a﹣b=1﹣（﹣2）=3．故选：D．点评：本题考查了复数相等的定义，属于基础题．9. 若双曲线的渐近线与抛物线相切，且被圆截得的弦长为，则a=（）A．B．C．D．参考答案：B可以设切点为(x0，＋1)，由y′＝2x，∴切线方程为y－(＋1)＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－＋1，∵已知双曲线的渐近线为y＝±x，∴，x0＝±1，＝2，一条渐近线方程为y＝2x，圆心到直线的距离是.故选：B10. 如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为（）A. B. C. D.参考答案：D试题分析：由题意可知三棱锥的底面是一个直角边为等腰直角三角形，所以三棱锥的体积为12.球的直径为三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体的体对角线，即.所以球的体积为.所以点落在四面体内的概率为.故选C.考点：1.三视图的知识.2.球的内接几何体.3.概率问题.4.空间想象力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知且满足不等式组，则的最大值是.参考答案：7412. 设a是从集合{1，2，3，4}中随机取出的一个数，b是从集合{1，2，3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件（a，b）．记“在这些基本事件中，满足log b a≥1为事件A，则A发生的概率是．参考答案：【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】先求出基本事件的总数，然后例举出满足log b a≥1的基本事件，最后根据古典概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：由已知得基本事件（a，b）共有4×3=12（个）满足log b a≥1，即a≥b＞1的基本事件有（4，2），（4，3），（3，2），（3，3），（2，2）共5个，故．故答案为：【点评】本题主要考查了等可能事件的概率，以及古典概型的概率公式，属于基础题．13. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若，则的值是_____. 参考答案：【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.14. 已知函数f（x）=﹣1的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a，b）共有个．参考答案：5【考点】函数的定义域及其求法．【专题】压轴题；数形结合．【分析】讨论x大于等于0时，化简f（x），然后分别令f（x）等于0和1求出对应的x的值，得到f（x）为减函数，根据反比例平移的方法画出f（x）在x大于等于0时的图象，根据f（x）为偶函数即可得到x小于0时的图象与x大于0时的图象关于y轴对称，可画出函数的图象，从函数的图象看出满足条件的整数对有5个．【解答】解：当x≥0时，函数f（x）=﹣1，令f（x）=0即﹣1=0，解得x=2；令f（x）=1即﹣1=1，解得x=0易知函数在x＞0时为减函数，利用y=平移的方法可画出x＞0时f（x）的图象，又由此函数为偶函数，得到x＜0时的图象是由x＞0时的图象关于y轴对称得来的，所以函数的图象可画为：根据图象可知满足整数数对的有（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（0，2），（﹣1，2）共5个．故答案为：5【点评】此题考查学生会利用分类讨论及数形结合的数学思想解集实际问题，掌握函数定义域的求法，是一道中档题．15. 图中离散点是数列的图像，如是第一点，表示，则从第一点起的前个点的纵坐标之和为__________。

2020届江苏省无锡市高三数学上学期期末考试数学试题含解析

7.在长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离是______.
〖答案〗
〖解析〗
〖分析〗
利用等体积法求解点到平面的距离
〖详解〗由题在长方体中，，
，
所以，所以，
设点到平面的距离为
，解得
故答案为：
〖点睛〗此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.
〖分析〗
根据等差数列关系，用首项和公差表示出，解出首项和公差的关系，即可得解.
〖详解〗设等差数列的公差为，
由题意得: ，则整理得，，所以
故答案为：4
〖点睛〗此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.
6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.
二､解答题
15.在中，角所对的分别为，向量，向量，且 .
（1）求角的大小；
14.函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____.
〖答案〗
〖解析〗
〖分析〗
对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解.
〖详解〗由题：函数在区间内有且仅有两个零点，
，
等价于函数恰有两个公共点，
作出大致图象：
要有两个交点，即，
所以 .
故答案为：
〖点睛〗此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.
〖答案〗
〖解析〗
〖分析〗
求出圆心关于直线的对称点，即可得解.
〖详解〗的圆心为，关于对称点设为，

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2020-2021无锡市辅仁中学高三数学上期末试题含答案一、选择题1．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A ．12B ．2 CD ．23．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（）A ．2n n S T =B ．21n n T b =+C ．n n T a >D ．1n n T b +<5．已知实数,x y 满足0{20x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )A ．-2B ．-1C ．1D ．26．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（）A B ．3C D 7．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( )A ．38- B ．34- C ．38+ D 8．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（） A ．15B ．16C ．17D ．149．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1 B ． 3＋1 C ．23＋2D ．23－210．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（） A ．1B ．12C ．34 D ．3211．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（） A ．22B ．24C ．26D ．2812．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 二、填空题13．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，，则222x y y ++的取值范围是__________.14．数列{}21n-的前n 项1,3,7..21n-组成集合{}()*1,3,7,21nn A n N=-∈，从集合nA中任取()1,2,3?··n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+，例如当1n =时，{}1111,1,1===A T S ；当2n =时，{}21221,2,13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=，试写出n S =___15．已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12n b b b +++=L __________．16．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．17．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于_____．18．设，，若，则的最小值为_____________.19．设122012(1)(1)(1)n nn x x x a a x a x a x ++++++=++++L L ，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=L ，则n =_____20．数列{}n a 满足10a =，且()1*11211n nn N a a +-=∈--，则通项公式n a =_______．三、解答题21．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c ，，，且sin sin sin 2sin a A b B c C a B +=+()1求角C ；()2求3sin cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值． 22．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 23．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1>0，a 8﹣a 4﹣a 3=1，a 4是a 1和a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对一切正整数n .有1211134n S S S +++<L L . 24．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-v v ，且2cos p q C ⋅=v v（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3,23c a b =+=，求ABC ∆中边上的高h .25．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为12，且()3122123a a a -=+。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若8n b n =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较12111n T T T ++⋅⋅⋅+与12n S 的大小. 26．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长；(2) 求BC 的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.2．D解析：D 【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q=，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q 212a a q ===，故选D. 3．C解析：C 【解析】记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.4．D解析：D 【解析】【分析】【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.5．C解析：C 【解析】作出可行域，如图BAC ∠内部（含两边），作直线:20l y x -=，向上平移直线l ，2z y x =-增加，当l 过点(1,1)A 时，2111z =⨯-=是最大值．故选C ．6．D解析：D 【解析】【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，6a =22246748c c c +-=，解得：2c =由7cos 8A =得2715sin 18A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，111515sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选D.【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.7．A解析：A 【解析】【分析】由正弦定理求出c ，【详解】A 是三角形内角，1tan 3A =，∴sin 10A =，由正弦定理sin sin a c A C=得sin sin a C c A ===，又2222cos c a b ab C =+-，即22512cos15012b b b =+-︒=+，2302b +-=，32b =（32b =舍去），∴1133sin 12238ABC S ab C ∆--==⨯⨯︒=．故选：A ．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．8．C解析：C 【解析】【分析】由题意可得90a >，100a <，且9100a a +<，由等差数列的性质和求和公式可得结论．【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值， ∴等差数列{}n a 为递减数列，又1091a a <-， ∴90a >，100a <， ∴9100a a +<，又()118181802a a S +=<，()117179171702a a S a +==>，∴0n S >成立的正整数n 的最大值是17，故选C ．【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．9．D解析：D 【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－ ∵a 、b 、c >0.∴(a ＋c )·(a ＋b )≤22b c 2a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，∴2a ＋b ＋c ＝1)＝－2. 故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误10．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．11．D解析：D 【解析】试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=⇒=⇒=，则考点：等差数列的性质12．C解析：C 【解析】【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<, 1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键二、填空题13．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为：解析：[]0,9；【解析】【分析】利用()()2201x y -++表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最值，即可求解222x y y ++的取值范围.【详解】()()22222011x y y x y ++=-++-()()2201x y -++表示点(0,1)A -到点(,)x y 的距离1AO =，1910,9110AD AC =+==+=ACD 为等腰三角形则点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最小值为：110 所以222x y y ++的最小值为：2110-=，最大值为：101=9-故222x y y ++的取值范围为[]09，故答案为：[]09，【点睛】本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.14．【解析】【分析】通过计算出并找出的共同表示形式进而利用归纳推理即可猜想结论【详解】当时则由猜想：故答案为：【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前项和的归纳猜想属于中档题解析：1()221n n +-【解析】【分析】通过计算出3S ，并找出1S 、2S 、3S 的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论．【详解】当3n =时,{}31,3,7A =，则113711T =++=,213173731T =⨯+⨯+⨯=,313721T =⨯⨯=,∴312311312163S T T T =++=++=,由1212112121S ⨯==-=-，2332272121S ⨯==-=-，34623632121S ⨯==-=-，⋯猜想：(1)221n n n S +=-.故答案为：1()221n n +-.【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前n 项和的归纳猜想,属于中档题.15．【解析】【分析】【详解】所以所以故答案为解析：41n -【解析】【分析】【详解】()()145[415]4n n q a a n n -=-=-+---+=-，124253b a ==-⨯+=-，所以()11134n n n b b q --=⋅=-⋅-，()113434n n n b --=-⋅-=⋅，所以211214334343434114n n n n b b b --++⋯+=+⋅+⋅+⋯+⋅=⋅=--，故答案为41n -.16．8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8解析：8 【解析】【分析】【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则351712610a a a a a d +=+=+=，所以71101028a a =-=-=，故答案为8.17．【解析】【分析】先画出可行域改写目标函数然后求出最小值【详解】依题意可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域目标函数化为：则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最解析：72-【解析】【分析】先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值【详解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-．【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值 18．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a-解析：【解析】【分析】由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解.【详解】由题意，因为满足，所以，且，则，当且仅当且，即时取得最小值. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.19．9【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想解析：9【解析】【分析】记函数122012()(1)(1)(1)n n n f x x x x a a x a x a x =++++++=++++L L ，012222(1)2n n f a a a a =+++=++++L L ，利用等比数列求和公式即可求解.【详解】由题：记函数212012()(1)(1)(1)n n n f x a a x a x a x x x x =++++=++++++L L ，021222(12)(21)212n nn f a a a a -=++++++=-=+L L ，即1221022n +-=，121024,9n n +==故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想. 20．【解析】【分析】构造数列得到数列是首项为1公差为2的等差数列得到【详解】设则数列是首项为1公差为2的等差数列故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法构造数列是解题的关键意在考查学生对于数列通项解析：2221n n -- 【解析】【分析】构造数列11n nb a =-，得到数列n b 是首项为1公差为2的等差数列21n b n =-，得到2221n n a n -=-. 【详解】设11n n b a =-，则12n n b b +-=，11111b a ==- 数列n b 是首项为1公差为2的等差数列 1222121121n n n b n n a n n a -=⇒=--⇒--= 故答案为2221n n -- 【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，构造数列11n nb a =-是解题的关键，意在考查学生对于数列通项公式的记忆，理解和应用. 三、解答题21．()()124C π=2【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到222a b c +=，再由余弦定理得到()222cos 0224a b c C C C ab ππ+-==∈∴=，；（2）由第一问得到原式等价于3cos 44A A ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，化简后为2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据角的范围得到三角函数的范围即可．解析：()2221sin sin sin sin a A b B c C B a b c +=∴+=Q即222a b c +-=由余弦定理()222cos 0224a b c C C C ab ππ+-==∈∴=，（2cos 4A B π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭31cos cos 2cos 4422A A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫--+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()110,,6612A A ππππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭Q ，， 12sin 26A π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为2 22．（1）12n n a +=（2）2222222()()()122311n n S n n n =-+-++-=++L 【解析】【分析】【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为71994{2a a a ＝，＝，所以11164{1828a d a d a d +++＝，＝（）. 解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n +. (2)b n ＝1n na ＝22211n n n n -++＝（），所以S n ＝2222222()122311n n n n ⎛⎫⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭－－－＝＋ 23．（1）a n =2n +1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式的基本量计算，求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）先求得n S ，然后利用裂项求和法证得不等式成立.【详解】（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，()12111121(3)120d a a d a a d a -=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩， ∴数列{a n }的通项公式为a n =3+2（n ﹣1）=2n +1；（2）证明：由（1）知，()()12322n n n S n n n -⨯=+=+. ∴()()()1211111111132435112n S S S n n n n +++=+++++⨯⨯⨯-++L L L12=[111111111132435112n n n n -+-+-++-+--++L ]3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列不等式的证明，属于中档题.24．(1)3C π=;(2)32. 【解析】分析：（1）由向量的数量积的运算，得222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，根据正弦、余弦定理得1cos 2C =，即可得到3C π=；（2）由余弦定理和a b +=3ab =，再利用三角形的面积公式，求得32h =，即可得到结论．详解：（1）因为22cos sin sin sin p q B A A B v v⋅=-+，所以222cos sin sin sin cos B A A B C -+=，即2221sin sin sin sin 1sin B A A B C --+=-，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，根据正弦定理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，所以3C π= ；（2）由余弦定理()22232cos 33a b ab a b ab π=+-=+-，又a b +=3ab =，根据ABC ∆△的面积11sin 22S ab C ch ==，即11322⨯=，解得32h =，所以ABC ∆中AB 边上的高32h =．点睛：本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.25．（1）12n n a =；（2）1211112n n S T T T ++⋅⋅⋅+< 【解析】【分析】(1)根据数列{}n a 的首项为12,且()3122123a a a -=+,可得关于1a 和公比q 的不等式组,解出1a 和q 可得数列{}n a 的通项公式;(2)根据条件分别利用等比数列和等差数列的前n 项和公式,求出{}n a 的前n 项和为n S ,{}n b 的前n 项和n T ,再用列项相消法求出12111n T T T ++⋅⋅⋅+,然后比较12111n T T T ++⋅⋅⋅+与12n S 的大小即可.【详解】解:(1)由题意,设11(0)n n a a q q -=>,则()12111122123a a q a a q ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩, 解得12q =或2q =-(舍),∴1111222n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即12n n a =. (2)由(1)知12n n a =,∴11122111212n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-. ∵8n b n =,∴244n T n n =+, ∴2111114441n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, ∴121111111111111142231414n T T T n n n ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 又∵11111111112112224242n n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11102n --≥, 1124n S ∴≥ ∴1211112n n S T T T ++⋅⋅⋅+<. 【点睛】本题考查了数列通项公式的求法,等差数列的前n 项和公式,等比数列的前n 项和公式和裂项相消法求数列的前n 项和,考查了方程思想和计算能力,属中档题.26．(1) cos DAC ∠=AC =(2) 3 【解析】【分析】（1）用余弦定理求AC ，再求cos DAC ∠；（2）先求出sin BAC ∠和sin B ，再用正弦定理可求得BC ．【详解】（1）ACD ∆中，由余弦定理可得：222164222277AC ⎛⎫=⨯-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得AC =11272cos 27AC DAC AD ∴∠===；（2）设DAC DCA α∠==∠，由（1）可得：cos sin 77αα==，()sin sin 120BAC α︒∴∠=-1272714=+⨯=， ()sin sin()sin 1802B BAC BCA α︒=∠+∠=-sin 22777α==⨯= 在BAC V 中，由正弦定理可得：sin sin BC AC BAC B=∠，3BC ⨯∴==. 【点睛】本题考查余弦定理，正弦定理，考查两角和与差的正弦公式，诱导公式，二倍角公式等．本题属于中档题．解三角形注意公式运用：①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．。