导数的几何意义及应用

巩固练习
1.过点P（－1，2）且与y=3x2-4x+2在点M（1，1）处 y=2x+4 的切线平行的直线方程是__________． 2.在曲线y=x3+3x2+6x－10的切线斜率中斜率最小的切 y=3x－11 线方程是 __________ . 3.曲线y=ln(2x－1)上的点到直线2x－y+3=0的最短距离 是__________ ． 5 4.过曲线C: y=x2－1（x>0）上的点P作C的切线与坐标 轴交于M、N两点，试求P点坐标使△OMN面积最小． 思考：已知曲线C：y=x3－3x2+2x，直线l：y=kx，且 直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程 及切点坐标．
3－x+2和点 例1．已经曲线C：y=x
A(1,2)。求在点A处的切线方程？
解：f/(x)=3x2－1， ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为： y－2=2(x－1), 即 y=2x
例1．已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求 在点A处的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？
解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1， ∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0) 又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0， 1 解得Baidu Nhomakorabea0=1或x0=－ 2 ①当x0=1时，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x
例1：已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求 在点A处的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？ 变式2：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于 (2,8)或(－ 2, －4) 直线y=11x－1，则P点坐标为 _________________________, y=11x－14或y=11x+18 切线方程为________________________________________________． 变式3：若曲线C：y=x3－2ax2+2ax上任意一点 处的切线的倾斜角都是锐角，那么a的取值范围 0<a< 1.5 为__________。
导数的几何意义及应用
• 教学目标： 1.了解导数的几何意义； 2.会求在点A处和过点A切线的方程； 3.利用导数的几何意义研究函数图像的 变化趋势。 • 教学重点、难点： 重点：求过一点的切线的方程； 难点：导数的几何意义的灵活运用。
知识回顾
导数的几何意义： /(x )表示曲线y=f(x)在 导数f 0 点P(x0，f(x0)) 处的切线的 斜率。
1 y－2= － (x－1),即x+4y－9=0 4
1 ②当x0=－ 时，所求的切线方程为： 2
例1：已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求 在点A处的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？ 变式2：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直 线y=11x－1，则P点坐标为 (2,8)或(－ 2, －4) ____________, y=11x－14或y=11x+18 切线方程为_____________________． 变式3：若曲线C：y=x3－2ax2+2ax上任意一点 处的切线的倾斜角都是锐角，那么a的取值范围 0<a< 1.5 为__________。
例2：已知曲线C:y=x2－2x+3,直线L:x－y－ 4=0,在曲线C上求一点P,使P到直线L的距离 最短，并求出最短距离。 解：设P（x0，y0）, 3 ∵f/(x)=2x－2, ∴2 x0－2=1, 解得x0= 2 ,
9 ∴ y0= , 4 ∴P到直线的最短距离
3 9 | 4| 19 2 2 4 d= 8 2
例3. f/(x)是f(x)的导函数，f/(x)的图象如 图所示，则 f(x)的图象只可能是( D )
变式：函数y= f(x)的定义域是R，若对 于任意的正数a，函数g（x）= f(x+a) － f(x) 都是其定义域上的增函数，则函 数y= f(x)的图象可能是（ A）
小 结
• 1.求切线方程的步骤： （1）设切点P（x0,y0） （2）求k=f/(x0) （3）写出切线方程 y－y0= f/(x0)(x－x0) • 2. 求曲线上点到直线的最值. • 3. 利用导数的几何意义研究函数图象 的变化趋势.