222向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件(人教B版必修4)
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(人教B)高二数学必修4课件：2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算
＝－12，1－23，13＝－76，23.
明目标、知重点
例2 已知a＝(－2，3)，b＝(3，1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示 c. 解 设c＝xa＋yb， 则(10，－4)＝x(－2，3)＋y(3，1) ∴＝(－102＝x＋－32yx，＋33xy＋，y)，
∴10＝3λ－2μ， －5＝2λ＋2μ，
λ＝1， 解得μ＝－72，
∴a＝b－72c.
明目标、知重点
例 3 已知 A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，若C→M＝2C→A＋3C→B， 求点 M 的坐标. 解 由A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，得 C→A＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， C→B＝(－1－3，3－4)＝(－4，－1)， ∴C→M＝2C→A＋3C→B＝2(－1，－8)＋3(－4，－1) ＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).
A.－4，12
B.4，－12
C.(－8，1)
D.(8，1)
解析 ∵A→B＝O→B－O→A＝(－8，1)，
∴12A→B＝－4，12.
明目标、知重点
3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，
1234
B(－1，－2)，C(3，1)，且B→C＝2A→D，则顶点 D 的坐标为( A )
明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一 对有序实数(即它的坐标)表示.对于直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标 来表示？
明目标、知重点
探究点一 平面向量的坐标表示 思考1 如果向量a与b的基线互相垂直，则称向量a与b 垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内 所有向量的一组基底？ 答 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一 组基底.
明目标、知重点
例2 已知a＝(－2，3)，b＝(3，1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示 c. 解 设c＝xa＋yb， 则(10，－4)＝x(－2，3)＋y(3，1) ∴＝(－102＝x＋－32yx，＋33xy＋，y)，
∴10＝3λ－2μ， －5＝2λ＋2μ，
λ＝1， 解得μ＝－72，
∴a＝b－72c.
明目标、知重点
例 3 已知 A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，若C→M＝2C→A＋3C→B， 求点 M 的坐标. 解 由A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，得 C→A＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， C→B＝(－1－3，3－4)＝(－4，－1)， ∴C→M＝2C→A＋3C→B＝2(－1，－8)＋3(－4，－1) ＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19).
A.－4，12
B.4，－12
C.(－8，1)
D.(8，1)
解析 ∵A→B＝O→B－O→A＝(－8，1)，
∴12A→B＝－4，12.
明目标、知重点
3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，
1234
B(－1，－2)，C(3，1)，且B→C＝2A→D，则顶点 D 的坐标为( A )
明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一 对有序实数(即它的坐标)表示.对于直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示呢？能不能像点一样也用坐标 来表示？
明目标、知重点
探究点一 平面向量的坐标表示 思考1 如果向量a与b的基线互相垂直，则称向量a与b 垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内 所有向量的一组基底？ 答 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一 组基底.
人教B版高中数学必修四课件2.2.2《向量的正交分解与向量的直角坐标运算》
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（2+（-3），1+4） =（-1，5）；
a-b=（2，1）-（-3，4）=（2-（-3），1-4） =（5，-3）；
3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（6+（-12），3+16） =（-6，19）
练习：
1. a (1,5) b (1,2) c (0,3) 求：2a 3b 7c
2. a (2,4) b (3,5) c (6,3)
求：1 a b 1 c
2
3
变式 :
3.已知 a (1,2) b (2,3) ，实数 x, y 满足等式 xa yb (3,4) ，求 x, y
小结:
1.向量正交分解
即= a a1+e1 a2 e2
2.平面向量的坐标表示
a a1 e1 a2 e2
a
e2
（a1，a2 ）叫做向量a的坐标
O e1
x
平面向量的坐标表示： a =( a1 , a2 )
那么 e1= (1 , 0) e2 = (0, 1) 0 = (0,0)
已知 A（ a1，a2）， B（ b1 ，b2 ）
求：AB 的坐标
y
AB (b1 a1)e1 (b2 a2 )e2
B
a
A
(b1 a1,b2 a2)
e2
O e1
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终 点 的坐标减去始点的坐标．
例1：已知A、B两点坐标，求：OA，OB， AB坐标和长度(用坐标表示向量)
(1)A(3,5)
a-b=（2，1）-（-3，4）=（2-（-3），1-4） =（5，-3）；
3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（6+（-12），3+16） =（-6，19）
练习：
1. a (1,5) b (1,2) c (0,3) 求：2a 3b 7c
2. a (2,4) b (3,5) c (6,3)
求：1 a b 1 c
2
3
变式 :
3.已知 a (1,2) b (2,3) ，实数 x, y 满足等式 xa yb (3,4) ，求 x, y
小结:
1.向量正交分解
即= a a1+e1 a2 e2
2.平面向量的坐标表示
a a1 e1 a2 e2
a
e2
（a1，a2 ）叫做向量a的坐标
O e1
x
平面向量的坐标表示： a =( a1 , a2 )
那么 e1= (1 , 0) e2 = (0, 1) 0 = (0,0)
已知 A（ a1，a2）， B（ b1 ，b2 ）
求：AB 的坐标
y
AB (b1 a1)e1 (b2 a2 )e2
B
a
A
(b1 a1,b2 a2)
e2
O e1
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终 点 的坐标减去始点的坐标．
例1：已知A、B两点坐标，求：OA，OB， AB坐标和长度(用坐标表示向量)
(1)A(3,5)
高中数学人教B版必修四2.2.1- 2.2.2《平面向量基本定理 向量的正交分解与向量的直角坐标运算》ppt课件
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
课堂互动讲练
考点突破 用基底表示向量 两个非零向量只要不共线，就能构成基底， 而一个平面的基底，一旦确定，平面上任意 一个向量都可以由这组基底唯一地表示出 来．
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例1 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M，A→B＝a，A→D＝b， 试用基底{a，b}表示M→C，M→A，M→B和M→D.
示)，对直线 l 上_任___意___一点 P，存在唯一的实数 t 满
足向量等式O→P＝___(1_－__t_)O_→_A_＋__tO_→_B_____，反之，对每一
个实数 t，在直线 l 上都有__唯___一__的一个点 P 与之对
应．向量等式O→P＝__(_1_－__t)_O→_A__＋__tO→_B____叫做直线 l 的向
证明：如图所示，设 E′是线段 BA 上的一点，且 BE′＝14BA，只要证明 E、E′重合即可． 设O→A＝a，O→B＝b， 则B→D＝13a，O→D＝b＋13a. ∵B→E′＝O→E′－b， E′→A＝a－O→E′，BE→′＝13E′→A，
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
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【思路点拨】 (1)先计算出A→B，A→C再进行向量的 线性运算； (2)直接利用向量的坐标运算．
【解】 (1)∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)． ∴A→B＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； A→C＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； A→B＋A→C＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；
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考点突破 用基底表示向量 两个非零向量只要不共线，就能构成基底， 而一个平面的基底，一旦确定，平面上任意 一个向量都可以由这组基底唯一地表示出 来．
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例1 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M，A→B＝a，A→D＝b， 试用基底{a，b}表示M→C，M→A，M→B和M→D.
示)，对直线 l 上_任___意___一点 P，存在唯一的实数 t 满
足向量等式O→P＝___(1_－__t_)O_→_A_＋__tO_→_B_____，反之，对每一
个实数 t，在直线 l 上都有__唯___一__的一个点 P 与之对
应．向量等式O→P＝__(_1_－__t)_O→_A__＋__tO→_B____叫做直线 l 的向
证明：如图所示，设 E′是线段 BA 上的一点，且 BE′＝14BA，只要证明 E、E′重合即可． 设O→A＝a，O→B＝b， 则B→D＝13a，O→D＝b＋13a. ∵B→E′＝O→E′－b， E′→A＝a－O→E′，BE→′＝13E′→A，
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【思路点拨】 (1)先计算出A→B，A→C再进行向量的 线性运算； (2)直接利用向量的坐标运算．
【解】 (1)∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)． ∴A→B＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； A→C＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； A→B＋A→C＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；
2019版数学人教B版必修4课件：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 .pdf
-5-
M Z Z 2.2.2 向量的正交分解
与向量的直角坐标运算
目标导航
UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
12
归纳总结 1.两个向量的坐标相同时,这两个向量相等,但是它们 的起点和终点的坐标却不一定相同,如A(3,5),B(6,8),C(-5,3),D(-2,6), 则 ������������=(3,3),������������=(3,3),显然������������ = ������������, 但A,B,C,D各点的坐标却不相 同.
(x,y).
-3-
M Z Z 2.2.2 向量的正交分解
与向量的直角坐标运算
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HONGNAN JVJIAO
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随堂演练
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12
【做一做1】 已知a=(2 016,-2 017),且a=xe1+ye2,{e1,e2}为正交
-2-
M Z Z 2.2.2 向量的正交分解
与向量的直角坐标运算
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知识梳理
HHale Waihona Puke SHI SHULI重难聚焦
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
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UITANGYANLIAN
12
1.向量的坐标 (1)若两个向量的基线互相垂直,则称这两个向量互相垂直. (2)若基底的两个基向量e1,e2互相垂直,则称这个基底为正交基底. 在正交基底下分解向量,叫做正交分解. (3)在平面直角坐标系xOy内,分别取与x轴和y轴方向相同的两个 单位向量e1,e2,则对任一向量a,存在唯一的有序实数对(a1,a2),使得 a=a1e1+a2e2,(a1,a2)就是向量a在基底{e1,e2}下的坐标,即a=(a1,a2). 其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量,a2叫做a在y轴上的坐标分量. (4)向量的坐标:设点A的坐标为(x,y),则 ������������ =xe1+ye2=(x,y).(x,y) 在平面直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又 可以表示一个向量.为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y),或向量
人教B版高中数学必修4课件 2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件(人教B版)
人民教育出版社 高中二年级 | 必修4
第二单元 · 平面向量
2.2.2向量的正交分解 与向量的直角坐标运算
人民教育出版社 高中二年级 | 必修4
新课导入 向量正交分解的概念 1.如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直 2.如果基底的两个基向量? ?1 ，? ?2互相垂直，则称这个基底 为正交基底 3.在正交基底下分解向量，叫做正交分解
人民教育出版社 高中二年级 | 必修4
探求新知
向量的直角坐标运算
设? ?=(? ?1 , ? ?2 ) ，? ?=(? ?1 , ? ?2 )
? ?+? ? = ? ?1 ? ?1 +? ?2 ? ?2 + ? ?1 ? ?1 +? ?2 ? ?2
= ? ?1 +? ?1 ? ?1+ (? ?2 +? ?2 )? ?2
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探求新知
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中a1叫做向量? ?在x轴上的坐标分量 ，a2 叫做向量? ?在y轴上的坐标分量。
练习：
0 = 0，0
? ?1 = 1,0 ? ?2 = (0,1)
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探求新知
设向量? ?=(? ?1 , ? ?2 )，? ?的方向相当于x
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牛刀小试 在直角坐标系xOy中，已知点A（? ?1 ，? ?1），点B（? ?2 ，? ?2），
求线段AB中点的坐标
解：设点M（x，y）是线段AB的中点，则 1
? ? ? ? = 2 (? ? ? ?+? ? ? ? )
上式换用向量的坐标，得
? ?2 )]
第二单元 · 平面向量
2.2.2向量的正交分解 与向量的直角坐标运算
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新课导入 向量正交分解的概念 1.如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直 2.如果基底的两个基向量? ?1 ，? ?2互相垂直，则称这个基底 为正交基底 3.在正交基底下分解向量，叫做正交分解
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探求新知
向量的直角坐标运算
设? ?=(? ?1 , ? ?2 ) ，? ?=(? ?1 , ? ?2 )
? ?+? ? = ? ?1 ? ?1 +? ?2 ? ?2 + ? ?1 ? ?1 +? ?2 ? ?2
= ? ?1 +? ?1 ? ?1+ (? ?2 +? ?2 )? ?2
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探求新知
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中a1叫做向量? ?在x轴上的坐标分量 ，a2 叫做向量? ?在y轴上的坐标分量。
练习：
0 = 0，0
? ?1 = 1,0 ? ?2 = (0,1)
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探求新知
设向量? ?=(? ?1 , ? ?2 )，? ?的方向相当于x
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牛刀小试 在直角坐标系xOy中，已知点A（? ?1 ，? ?1），点B（? ?2 ，? ?2），
求线段AB中点的坐标
解：设点M（x，y）是线段AB的中点，则 1
? ? ? ? = 2 (? ? ? ?+? ? ? ? )
上式换用向量的坐标，得
? ?2 )]
人教B版高中数学必修四2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算教学课件
在平面上，如果选取互相垂直 的向量作为基底时，会为我们研究 问题带来方便。
请阅读教材P99－100页回答下列问题？
2.向量的坐标是如何确定的？ a=xi+yj
y
我们把（x,y)叫做向量a
yj
→
j
→a 的（直角）坐标，记作 a=(x，y),
O →i
xi x 其中x叫做a axiyj 在x轴上的坐 标，y叫做a在y轴上的坐标，
例3 已知平行四边形ABCD的三个定点A、 B、C的坐标分别为（－2，1）、 （－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标
例4 已知平行四边形ABCD的三个定点A、 B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1， 3）、（3，4），求顶点D的坐标
例6 已知A(-2,1),B(1,3),求线段AB中点M和三等分点P，Q 的坐标。
c
d=2i-3j=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
平面向量的坐标运算
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
y B
Q P A
O
1 M(1,2)P ,11(2 231,5)Q ,(0,7)
2
33
57
M( ,2)P ,(1, )Q ,(0, )
2
33
x
练习
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且 知道AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB 坐标。
练习 教材第103页B组
小结
请阅读教材P99－100页回答下列问题？
2.向量的坐标是如何确定的？ a=xi+yj
y
我们把（x,y)叫做向量a
yj
→
j
→a 的（直角）坐标，记作 a=(x，y),
O →i
xi x 其中x叫做a axiyj 在x轴上的坐 标，y叫做a在y轴上的坐标，
例3 已知平行四边形ABCD的三个定点A、 B、C的坐标分别为（－2，1）、 （－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标
例4 已知平行四边形ABCD的三个定点A、 B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1， 3）、（3，4），求顶点D的坐标
例6 已知A(-2,1),B(1,3),求线段AB中点M和三等分点P，Q 的坐标。
c
d=2i-3j=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
平面向量的坐标运算
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
y B
Q P A
O
1 M(1,2)P ,11(2 231,5)Q ,(0,7)
2
33
57
M( ,2)P ,(1, )Q ,(0, )
2
33
x
练习
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且 知道AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB 坐标。
练习 教材第103页B组
小结
第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件新人教B版必修4
解: ������������=(1,3),������������ =(2,4),������������ =(-3,5),������������=(-4,2),������������=(-5,1), ∴������������ + ������������ + ������������=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). 根据平面向量基本定理,知一定存在实数 m,n,使得 ������������ + ������������ + ������������ =m· ������������+n· ������������ , ∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4), 即(-12,8)=(m+2n,3m+4n), ������ = 32, ������ + 2������ = -12, 可得 解得 ������ = -22. 3������ + 4������ = 8, ∴������������ + ������������ + ������������=32������������-22������������ .
)
)
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的坐标表示 【例1】 如图所示,分别用基底i与j表示向量a,b,c,d,并求出它们 的坐标. 解:由题图可知, a=������������1 + ������������2 =2i+3j, 所以a=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3); c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=(2,-3). 反思感悟求向量的坐标有三种方法 (1)正交分解;(2)将向量的起点平移到原点,向量的终点,即为向量 的坐标;(3)利用转角求横、纵坐标.
高中数学 2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐运算 新人教B版必修4
2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐运算
（一）教学目标
1．知识与技能：
(1)掌握平面向量的坐标表示,会用坐标表示平面向量的加、减与
数乘向量运算;
( 2 )会用坐标表示平面向量共线条件.
2.过程与方法：(1)通过在直角坐标系中求向量的坐标,让学生体会向量正交分解的
几何意义;
(2)通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用;
3.情感、态度与价值观：通过本节学习,培养学生的理性与探索精神.
（二）教学重点、难点
教学重点是向量的直角坐标运算与用平面向量坐标表示向量共线条件;
教学难点是应用向量直角坐标运算的法则解决具体问题
（三）教学方法
本节内容是在学习了平面向量的基本定理和向量的正交分解的基础上,进一步学习向量的直角坐标运算,以及用平面向量坐标表示向量共线条件,教学中引导学生联系已有知识，类比平面直角坐标系，通过探究平面向量的坐标表示，体现数形结合思想。
（四）教学过程。
人教B版高中数学必修4课件 2.2向量的正交分解与向量的坐标运算课件2
【解】 (1)∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)． ∴A→B＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； A→C＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； A→B＋A→C＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；
2A→B＋12A→C＝2(3，－1)＋12(－3,2) ＝(6，－2)＋(－32，1)＝(92，－1)． (2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)； a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)； 3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．
由①②得 a＝23(2d－c)，b＝23(2c－d)． 即A→B＝23(2d－c)，A→D＝23(2c－d)．
平面向量基本定理的应用
平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想， 用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基 底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得 以解决．
例2
用向量证明三角形的三条边的中线共
变式训练 2 在▱OACB 中，BD＝13BC，OD 与 BA 相交于点 E，求证：BE＝14BA.
证明：如图所示，设 E′是线段 BA 上的一点，且 BE′＝14BA，只要证明 E、E′重合即可． 设O→A＝a，O→B＝b， 则B→D＝13a，O→D＝b＋13a. ∵B→E′＝O→E′－b， E′→A＝a－O→E′，BE→′＝13E′→A，
(4)向量的坐标：设点 A(x，y)，则O→A＝_(_x_，__y_)_．____
符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表 示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区 分，在叙述中，就常说点(x，y)，或向量(x，y)．
6．平面向量的坐标运算
向量 若 ___a(a_＝1_＋_(a_b1_，1_，_a_a2_2)_＋，__bb_2＝)__(b__1，，b2)，a 则－a＋b b＝＝ 的加、 _(a_1_－__b_1_，__a_2－__b_2_)_．_即两个向量和与差的 减法 坐标等于这两个向量相应坐标的和与
2A→B＋12A→C＝2(3，－1)＋12(－3,2) ＝(6，－2)＋(－32，1)＝(92，－1)． (2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)； a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)； 3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．
由①②得 a＝23(2d－c)，b＝23(2c－d)． 即A→B＝23(2d－c)，A→D＝23(2c－d)．
平面向量基本定理的应用
平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想， 用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基 底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得 以解决．
例2
用向量证明三角形的三条边的中线共
变式训练 2 在▱OACB 中，BD＝13BC，OD 与 BA 相交于点 E，求证：BE＝14BA.
证明：如图所示，设 E′是线段 BA 上的一点，且 BE′＝14BA，只要证明 E、E′重合即可． 设O→A＝a，O→B＝b， 则B→D＝13a，O→D＝b＋13a. ∵B→E′＝O→E′－b， E′→A＝a－O→E′，BE→′＝13E′→A，
(4)向量的坐标：设点 A(x，y)，则O→A＝_(_x_，__y_)_．____
符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表 示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区 分，在叙述中，就常说点(x，y)，或向量(x，y)．
6．平面向量的坐标运算
向量 若 ___a(a_＝1_＋_(a_b1_，1_，_a_a2_2)_＋，__bb_2＝)__(b__1，，b2)，a 则－a＋b b＝＝ 的加、 _(a_1_－__b_1_，__a_2－__b_2_)_．_即两个向量和与差的 减法 坐标等于这两个向量相应坐标的和与
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B 版 数
a－b＝ (a1－b1，a2－b2) ．
学
λa＝
(λa1，λa2)
．
第二章 平面向量
两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和
与差．
向量数乘积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝ (x2 － x1 ， y2 －
人 教 B
y1)．即一个向量的坐标等于向量终点坐标减去始点坐标．
4．向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，引入
向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密
地结合起来，这样可以将许多几何问题转化为同学们熟知
的数量运算．这也给我们解决几何问题提供了一种新的方
人 教
B
法——向量坐标法，即建立平面直角坐标系，将几何问题用
版 数
学
坐标表示，通过向量的坐标运算解决问题．
人 教 B 版 数
量，叫做 正交分解
．
学
第二章 平面向量
向量的直角坐标：在直角坐标系xOy内(如图所示)，分
别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1、e2，这时，就
在坐标平面内建立了一个正交基底{e1，e2}，任作一向量a，
由平面向量基本定理可知，存在惟一的有序实数对(a1，a2)
人 教 B
使得a＝
教 B 版 数 学
当平行四边形为 ABDC 时，A→B＝C→D，
∴40＝＝xy－＋15 ，∴xy＝＝5－5 .∴D(5，－5)．
第二章 平面向量
当平行四边形为 ACBD 时，A→C＝D→B，
又A→C＝(2，－5)，D→B＝(3－x，－y)，
人
∴2－＝53＝－－xy ，∴xy＝＝15 .∴D(1,5)．
[答案] (－2,1)
[解析] F合＝F1＋F2＋F3＝(－2,1)
人 教 B
版
数
学
第二章 平面向量
三、解答题
6．已知 A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)和 D(－2,3)，以A→B、A→C
人 教 B
版
为一组基底来表示A→D＋B→D＋C→D.
数 学
第二章 平面向量
[解析] A→B＝(1,3)，A→C＝(2,4)，A→D＝(－3,5)，B→D＝(－
人
又因为A→P＝A→B＋λA→C＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝
教 B
版
数
(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
学
∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
即xy－ －23＝ ＝31＋ ＋57λλ ，
解得xy＝ ＝54＋ ＋5yλλ .
第二章 平面向量
第二章 平面向量
人
教
B
2．2.2 向量的正交分解与向量的
版 数 学
直角坐标运算
第二章 平面向量
人 教 B 版 数 学
第二章 平面向量
1．向量的直角坐标
向量垂直：如果两个向量的基线互相垂直，则称这两
个向量 互相垂直
．
正交分解：如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，
则称这个基底为 正交基底
，在正交基底下分解向
B．(1,2)
人 教 B 版
( )数 学
C．(1，－2)
D．(－1，－2)
第二章 平面向量
[答案] B [解析] 设 B(x，y)，则A→B＝(x＋3，y－2)，
又∵A→B＝(8,0)，∴xy＋－32＝＝80 ，
人 教
B
版
∴xy＝＝52 .∴B(5,2)．
数 学
又 A(－3，－2)，
＝(－7,2)，则13A→B＝________.
人 教 B 版
数
学
[答案] (－3，－2)
第二章 平面向量
[解析] ∵O→A＝(2,8)，O→B＝(－7,2)，
∴A→B＝O→B－O→A＝(－9，－6)，
人
∴13A→B＝(－3，－2)．
教 B 版
数
学
第二章 平面向量
人 教 B 版 数 学
第二章 平面向量
相交于点 G，
则 G 即为三角形的重心．由平面知识可得 AG GD＝ 人
教
，
B 版
数
即A→G＝23A→D＝23[12(A→B＋A→C)]＝13(A→B＋A→C)
学
＝13[(x2－x1，y2－y1)＋(x3－x1，y3－y1)]
＝13(x2＋x3－2x1，y2＋y3－2y1)．
第二章 平面向量
设 G(x，y)，则A→G＝(x－x1，y－y1)，
人 教 B 版 数 学
第二章 平面向量
已知向量A→B＝(4,3)，A→D＝(－3，－1)，点 A(－1，－2)，
求线段 BD 的中点 M 的坐标．
人 教
B
版
数
学
第二章 平面向量
[解析] 设点 B 的坐标为(x1，y1)， ∵A→B＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(是其中点，∴xM＝xA＋2 xB，yM＝yA＋2 yB，
人 教 B 版
数
即 3＝－22＋xB，0＝1＋2yB，
学
解得 xB＝8，yB＝－1，∴B(8，－1)．
设 MN 的中点为 O′(x0，y0)，
第二章 平面向量
则 x0＝3＋2－1＝1，y0＝0＋2－2＝－1.
又∵O′是 AC 的中点，
版 数 学
第二章 平面向量
人 教 B 版 数 学
第二章 平面向量
重点：平面向量的正交分解，坐标运算．
难点：对平面向量的正交分解及坐标表示的理解和应
用．
学习中应注意的问题
人 教
B
1．向量坐标与点的坐标有区别，当且仅当向量的起点
版 数
学
为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标相同．
第二章 平面向量
2．给定一个向量，它的坐标是惟一的，给定一对实数，
(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
又因为点 P 在第三象限，
人 教
B
版
∴31＋ ＋57λλ<<00 ，
数 学
解得 λ<－35.
第二章 平面向量
[辨析] 混淆了向量A→P的坐标与点 P 的坐标，导致错误． [正解] 设 P(x，y)，
则A→P＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．
∴x0＝xA＋2 xC，y0＝yA＋2 yC，
人 教 B 版
数
即 1＝－22＋xC，－1＝1＋2yC
学
解得 xC＝4，yC＝－3，∴C(4，－3)． 同理 O′又是 BD 的中点，
解得 xD＝－6，yD＝－1.
∴B(8，－1)，C(4，－3)，D(－6，－1)．
第二章 平面向量
[点评] 应用平行四边形对角线互相平分这一性质是 本题用中点公式解题的前提．
x2、y2 的方程组，从而可得 C、D 点坐标及C→D坐标．
第二章 平面向量
[解析] 设 C、D 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由题 意可得
A→C＝(x1＋1，y1－2)，A→B＝(3,6)，D→A＝(－1－x2,2－y2)，B→A 人
教
＝(－3，－6)，
B 版
数
学
∵A→C＝13A→B，D→A＝－13B→A，
[例2] 已知平行四边形ABCD的一个顶点A(－2,1)，一
组对边AB，CD的中点分别为M(3,0)、N(－1，－2)，求平
人 教
B
行四边形其他三个顶点的坐标．
版 数
学
[分析] 根据平行四边形的对角线互相平分，求出对
角线交点，再利用中点坐标公式求顶点坐标．
第二章 平面向量
[解析] 设其余三个顶点的坐标标为 B(xB，yB)，C(xC，yC)，
a1e1＋a2e2
，(a1，a2)就是向量a在
基底{e1，e2}下的
坐，标即a＝(a1，a2)，其中a1叫做
版 数 学
向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量．
第二章 平面向量
2．向量的直角坐标运算
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
人 教
a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2) ．
二、填空题
4．若(x2－2x，x－2)＝0，则x＝________.
[答案] 2
人
[解析] 由题意，得xx2－－22＝x＝0 0 ，
教 B 版 数
学
解得 x＝2.
第二章 平面向量
5．已知作用在原点的三个力F1＝(1,2)，F2(－2,3)，F3 ＝(－1，－4)，则它们的合力的坐标为________．
－5)，再求一点D，使这四个点构成平行四边形，则D点的
人 教
B
坐标为________．
版 数
学
[答案] (1,5)或(5，－5)或(－3，－5)
第二章 平面向量
[解析] 当平行四边形为 ABCD 时，A→B＝D→C，
又A→B＝(4,0)，D→C＝(1－x，－5－y)，
人
∴40＝＝1－－5x－y ，∴xy＝＝－－35 .∴D(－3，－5)．
由于向量可以平移，以这对实数为坐标的向量有无穷多个．
3．相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却不
人 教
B
版
一定相同，如 M(0,1)，N(5,8)，M→N＝(5,7)；P(－1,2)，Q(4,9)，
数 学
P→Q＝(5,7)，显然M→N＝P→Q，但 M、N、P、Q 四点的坐标各不
相同．
第二章 平面向量
第二章 平面向量
[例3]
在
△ABC
中
，
A(x1