2018届人教B版 三角函数的图象与性质 单元测试

三角函数的图象与性质1．[2014·陕西]函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 解析：∵T ＝2π2＝π，∴B 正确。

答案：B2．[2016·郑州模拟]如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1。

所以π3＋φ＝π2＋k π，即φ＝π6＋k π(k ∈Z )， 故|φ|min ＝π6。

答案：A3．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( ) A.223 B.233C.43D.263解析：由题意得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫10π3， ∴a ＝－32－a 2。

∴a ＝－33。

g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3。

∴g (x )max ＝233。

答案：B4．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 解析：由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )，且2πω≥2×⎝⎛⎭⎪⎫π－π2， 则⎩⎪⎨⎪⎧ π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω≤2，故12≤ω≤54，故选A 。

答案：A5．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：由－π2＋k π＜2x －π3＜π2＋k π(k ∈Z )， 得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B 。

答案：B6．[2016·大连模拟]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π。

若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( ) A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：因为f (x )的最小正周期为6π，所以ω＝13，因为当x ＝π2时，f (x )有最大值，所以13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， φ＝π3＋2k π(k ∈Z )， 因为－π＜φ≤π，所以φ＝π3。

所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3，由此函数验证易得， 在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是增函数。

答案：A7．若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________。

解析：f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x 。

令t ＝sin x ，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， ∴g (t )＝1－2t 2＋at ＝－2t 2＋at ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜t ＜1， 由题意知－a 2× －2 ≤12， ∴a ≤2，∴a 的取值范围为(－∞，2]。

答案：(－∞，2]8．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________。

解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， 故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3。

答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 9．[2014·北京]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)。

若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为__________。

解析：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应该在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π6也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴x ＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π12为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π。

答案：π 10．[2015·北京]已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2。

(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值。

解析：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22， 所以f (x )的最小正周期为2π。

(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4。

当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值。

所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22。

11．[2016·哈师大附中模拟]若函数f (x )＝A sin2ωx (A ＞0，ω＞0)在x ＝1处取得最大值，则函数f (x ＋1)为( )A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：因为f (x )＝A sin2ωx 在x ＝1处取得最大值，故f (1)＝A ，即sin2ω＝1，所以2ω＝π2＋2k π，k ∈Z 。

因此，f (x ＋1)＝A sin(2ωx ＋2ω)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π2＋2k π＝A cos2ωx ，故f (x ＋1)是偶函数。

答案：A12．[2016·邢台模拟]先把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象。

当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4时，函数g (x )的值域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 D ．[－1,0) 解析：依题意得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－π6＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4时，2x －5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1， 此时g (x )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1，选A 。

答案：A13．[2015·重庆]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x 。

(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性。

解析：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos2x )＝12sin2x －32cos2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32。

(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2， 即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增， 当π2≤2x －π3≤π， 即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减。

综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增； 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减。

14．[2015·天津]已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R 。

(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值。

解析：(1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32sin2x －12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6。

所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π。

(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12。