2018年上海市虹口区高考二模文科数学试题及答案 精品

虹口区2018年数学学科高考练习题(文科)
（时间120分钟，满分150分） 2018.4
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1、函数1)12()(+-=x k x f 在R 上单调递减，则k 的取值范围是 ．
2、已知复数i
i z +-=1)1(3
，则=z ．
3、已知3
1
cos sin sin cos =ββαα，则=+)(2cos βα ．
4、设n x )21(+展开式中二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，则
=+-∞→n
n n
n n b a b a lim
．
5、已知双曲线与椭圆16162
2=+y x 有相同的焦点，且渐近线方程为
x y 2
1
±=，则此双曲线方程为 ．
6、如果14log -=b a ，则b a +的最小值为 ．
7、数列{}n a 的通项2
sin
π
n n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8、设1F 、2F 是椭圆1422
=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足
2
21π
=
∠PF F ，则21PF F ∆的面积等于 ．
9、从集合{}3,2,1的所有非空子集中，等可能地取出一个，所取出的
子集中含数字1的概率是 ．
10、对于R x ∈，不等式a a x x 2122-≥++-恒成立，则实数a 的取值范
围是 ．
11、在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，2)(=⋅+AB AC AB ，则ABC ∆面积等
于 ．
12、将边长为2的正方形沿对角线AC 折起，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于 ．
13、设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为 ．
14、已知函数a
ax x a x a x x f 2222)1()(2
2-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是 ．
二、选择题（每小题5分，满分20分）
15、已知不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥-≤+015y y x y x ，则目标函数y x f 2+=的最大值是（ ）
.A 1 .B 5 .C 7 .D 8
16、在正方体1111D C B A ABCD -中与异面直线AB ，1CC 均垂直的棱有
（ ）条．
.A 1． .B 2． .C 3． .D 4．
17、已知函数)2
cos()2
sin(2π
π-+=x x y 与直线2
1=y 相交，若在y 轴右侧的
交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M
等于（ ）
.A π6 .B π7 .C π12 .D π13 18、若2
2π
απ
≤
≤-
，2
2
π
βπ
≤
≤-
，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，
0sin 3=+--m ββ，则)cos(βα+值为（ ）
． .A 1- .B 0 .C
2
1
.D 1
三、解答题（满分74分）
19、（本题满分12分）如图，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，矩形ABCD 的边长1=AB ，2=BC ，E
为BC 的中点．
（1）求异面直线PE 与AB 所成的角的大小； （2）求四棱锥ABED P -的侧面积．
20、（本题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，
b ，
c ，向量)cos 2,sin 2(B B m =，)cos ,cos 3(B B n -=，且1=⋅n m ．
（1）求角B ；
（2）若a ，b ，c 成等差数列，且2=b ，求ABC ∆的面积．
21、（本题满分14分）已知复数i b a z n n n ⋅+=，其中R a n ∈，R b n ∈，*∈N n ，i 是虚数单位，且i z z z n n n 221++=+，i z +=11．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
D
（2）求和：①n z z z +++ 21；②n n b a b a b a +++ 2211．
22、（本题满分16分）已知抛物线C ：px y 22=)0(>p ，直线l 交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B ．
（1）当直线l 过点)0,(p M -时，证明21y y ⋅为定值；
（2）当p y y -=21时，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（3）记)0,(p N ，如果直线l 过点)0,(p M -，设线段AB 的中点为P ，线段PN 的中点为Q ．问是否存在一条直线和一个定点，使得点Q 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．
23、（本题满分18分）定义域为D 的函数)(x f ，如果对于区间I 内)(D I ⊆的任意两个数1x 、2x 都有)]()([2
1
)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称此函数在区间I 上是“凸函数”．
（1）判断函数2)(x x f -=在R 上是否是“凸函数”，并证明你的结论； （2）如果函数x
a x x f +=2)(在区间]2,1[上是“凸函数”，求实数a 的取
值范围；
（3）对于区间],[d c 上的“凸函数”)(x f ，在],[d c 上的任取1x ，2x ，
3x ，……，n x 2，证明：)]()()([21
)2(
221221n n
x f x f x f x x x f n
n
+++≥
+++ ．
虹口区2018年数学学科高考练习题答案（文）
一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、)21,
(∞-； 2、2； 3、9
7-； 4、1-； 5、12
82
2=-y x ； 6、1； 7、7； 8、1； 9、7
4
； 10、]3,1[-； 11、
23； 12、3
2
2； 13、9； 14、07≤<-a 或2=a ； 二、选择题（每小题5分，满分20分）
15、C ； 16、D ； 17、A ； 18、D ； 三、解答题（满分74分）
19、(12分) 解：（1）取AD 的中点F ，连EF 、PF ．
AB EF //，∴PEF ∠的大小等于异面直线PE 与AB 所
成的角或其补角的大小．……2分
D
由1=PA ，1==BE AB ，⊥PA 平面ABCD ，ABCD 是矩形，得1=EF ，
2=AE ，2=PF ，3=PE ，∴3
3
3
2213cos =
-+=
∠PEF ．………………5分
∴异面直线PE 与AB 所成的角的大小等于3
3
arccos
．………………6分 （2） ⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，1=AB ，1=AD ，2
1=∆PAB S ，1=∆PAD S ．
BE PA ⊥，AB BE ⊥，∴⊥BE 平面PAB ，∴⊥BE PB ，
2=PB ，2
2
=∆PBE S ． …………………………9分
连AE ，由1==BE AB ，得2=AE ，同理2=DE ，322=+=AE PA PE ，又522=+=AD PA PD ∴222PD DE PE =+，由勾股定理逆定理得
︒
=∠90AED ，∴2
6
=
∆PED S .∴四棱锥ABED P -的侧面积为2
6
23++．………………12分
20、（14分）解：（1） 1=⋅，∴1cos 2cos 3sin 22=-⋅B B B ，
22cos 2sin 3=-B B ，1)6
2sin(=-
π
B ，……………………5分
又π<<B 0，∴611626πππ<-<-B ，∴262ππ=-B ，∴3
π
=B (7)
分
（2） 2=b ，c a b +=2，∴4=+c a ． 又B ac c a b cos 2222⋅-+=，∴3
cos
2422π
⋅-+=ac c a ，即ac c a -+=224……
10分
将4=+c a 代入得0442=+-a a ，得2=a ，从而2=c ，三角形为等边三角形．……12分
∴3sin 2
1
==
∆B ac S ．………………14分
21、（14分）解：（1） i i b a z +=⋅+=1111，∴11=a ，11=b ． 由
i
z z z n n n 221++=+得i
b a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211，
∴⎩⎨
⎧+==++231
1n n n
n b b a a ………………3分 ∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列，数列{}n b 是以1为首项
公差为2的等差数列，∴13-=n n a ，12-=n b n ．……………………6分 （2）由（1）知13-=n n a ，12-=n b n ．
①i n i b b b a a a z z z n n n n ⋅+-=⋅+++++++=+++2212121)13(2
1
)()( ．……10分
②令n n n b a b a b a S +++= 2211，)12(35333112-⋅++⋅+⋅+=-n S n n （Ⅰ） 将（Ⅰ）式两边乘以3得)12(3533313332-⋅++⋅+⋅+⋅=n S n n （Ⅱ） 将（Ⅰ）减（Ⅱ）得)12(33232323212132-⋅-⋅++⋅+⋅+⋅+=--n S n n n ．
)22(322+-+-=-n S n n ，13)1(+⋅-=n n n S .……………………14分
22、（16分）解：（1）l 过点)0,(p M -与抛物线有两个交点，可知其斜
率一定存在，设)(:p x k y l +=，其中0≠k （若0=k 时不合题意），由
⎩⎨⎧=+=px
y p x k y 2)
(2
得02222=+-⋅k p py y k ，∴2212p y y =⋅．………………4分 注：本题可设p my x l -=:，以下同．
（2）当直线l 的斜率存在时，设b kx y l +=:，其中0≠k （若0=k 时不合题意）．
由⎩⎨⎧=+=px y b kx y 22得0222=+-pb py ky ． p k pb y y -==
∴221，从而2
k
b -=．………………6分 假设直线l 过定点),(00y x ，则b kx y +=00，从而2
00k
kx y -
=，得0)21(00=--y k x ，即⎪⎩⎪⎨⎧
==0210
0y x ，即过定点)0,21(．………………8分
当直线l 的斜率不存在，设0:x x l =，代入px y 22=得022px y =，
02px y ±=，p px px px y y -=-=-⋅=∴000212)2(2，从而210=
x ，即2
1
:=x l ，也过)0,2
1(．
综上所述，当p y y -=21时，直线l 过定点)0,2
1
(．………………10分 （3）依题意直线l 的斜率存在且不为零，由（1）得点P 的纵坐标为
k p
y y y P =+=
)(2121，代入)(:p x k y l +=得
p k
p x P -=
2，即
),(2k p p k p P -．…………12分
设),
(y x Q ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⋅=+-=k p
y p p k
p x 21)(212消k 得x p y 22=…………14分
由抛物线的定义知存在直线8p x -=，点)0,8
(p
，点Q 到它们的距离相等．…………16分
23、（18分）解：（1）设1x ，2x 是任意两个实数，则有
)]()([2
1)(21)2(41)2()2(
212
22122212122121x f x f x x x x x x x x x x f +≥--≥---=+-=+． ∴函数2)(x x f -=在R 是“凸函数”
．………………4分 （2）若对于]2,1[上的任意两个数1x ，2x ，均有)]()([2
1
)2(2121x f x f x x f +≥+成立，即
)]
()[(212
)2(
2
2
212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++，整理得
)()(2
1
)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-
……………………7分 若21x x =，a 可以取任意值．
若21x x ≠，得)(2
1
2121x x x x a +-≤， 1)(2
182121-<+-<-x x x x ，∴8-≤a ． 综上所述得8-≤a ．………………10分 （3）当1=k 时由已知得)]()([2
1
)2(2121x f x f x x f +≥+成立． 假
设当
m
k =)(*∈N m 时，不等式成立即
)]()()([2
1
)2(
2211
221m k
x f x f x f x x x f m m +++≥
++++ 成立． 那么，由d x x x c m
m
≤+++≤2221 ，d x x x c m
m
m m m ≤+++≤
+++2222212
得]}2
2[21{)2(
22221222112211
m
m m m
m m m m m x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++
)]2
()2([21
222212221m
m m m m m m x x x f x x x f ++++++++++≥ )]}()()([21
)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f m m )]()()([2
1
12211++++=+m x f x f x f m ． 即1+=m k 时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．………………18分。