(优选)2019高中数学第二章函数2.4.2二次函数的性质课时作业3北师大版必修1

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北师大版九年级数学下册件 2.2 第3课时二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k课

2
A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0）
C
）
三、即学即练，应用知识
1
5.抛物线 y ( x 2)2 7 的对称轴是________
直线x=2，顶点坐标是________；
（2，7）
3
减小
当x＞2时，y随x的增大而_______；当x＜2时，y随x的增大而_______；
顶点(0,− ）

顶点(-3，− ）

二、自主合作，探究新知
议一议：二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的
图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方
向、对称轴和顶点坐标与a，h， k的值有关.
北师大版数学九年级下册
第二章二次函数
2
二次函数的图象与性质
第3课时
学习目标
1.能够画出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能
理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象
的影响．(重点)2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标．3.探索函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2
而减小；当x>0时，y
随x增大而增大.
最值
x=0时，y最小值=k
向下
y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大
而增大；当x>0时，
y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
一、创设情境，引入新知

高考数学大一轮总复习第二章函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数名师课件文北师大版

_奇__函__数____
__非__奇__非__偶_ __函__数_____
__奇__函__数___
函数
单调性
y＝x
y＝x2
y＝x3
在__(_－__∞__，__0_) _
_在__R_上__单___ 上__单__调__递__减__，_ _在__R__上__单__ 调__递__增___ 在__(_0_，__＋__∞__)上_ _调__递__增____
2

D.

52－1，2
【解析】因为函数 y＝x21的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于 2mm2＋＋m1≥－01，≥0， 2m＋1>m2＋m－1。
解 2m＋1≥0，得 m≥－12；
－解 m2＋m－1≥0，得 m≤
25－1或 m≥
52－1。
解 2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2，
1
(2)幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x－1 的图像与性质
函数
y＝x
定义域
R
值域
R
奇偶性 _奇__函__数____
y＝x2 R
_{_y_|y_≥__0_}_
_偶__函__数Biblioteka __y＝x3y＝x－1
R
__{x_|_x_≥__0_}_ _{_x_|x_≠__0_}__
R
__{_y|_y_≥__0_} __{_y_|y_≠__0_}_
解析正确。由幂函数的图像可知。
(6)关于
x
的不等式
ax2＋bx＋c>0
a>0，恒成立的充要条件是b2－4ac<0。
( × )解析错误。当 a＝0，b＝0，c>0 时也恒成立。ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒

高中数学第二章基本初等函数 2.2.2 对数函数及其性质(第2课时)对数函数性质的应用课时作业(

第2课时对数函数性质的应用A 级基础巩固一、选择题1．(2019·某某某某众兴中学高一期末测试)函数f (x )＝3－lg x 的定义域为( A ) A ．(0,1 000] B ．[3,1 000] C ．(0，11 000]D ．[11 000，3][解析] 由题意得3－lg x ≥0， ∴lg x ≤3，∴0<x ≤103＝1 000，故选A ．2．(2019·某某市南开区高一期末测试)函数f (x )＝lg(1－x 2)的单调递减区间为( B )A ．(0，＋∞)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－1,0)[解析] 由题意得1－x 2>0，∴x 2<1，∴－1<x <1. 令u ＝1－x 2，函数f (x )的单调递减区间即为u ＝1－x 2在(－1,1)上单调递减区间，又u ＝1－x 2在(0,1)上递减，故选B ．3．已知f (x )＝log 3x ，则f (14)，f (12)，f (2)的大小是( B )A ．f (14)>f (12)>f (2)B ．f (14)<f (12)<f (2)C ．f (14)>f (2)>f (12)D ．f (2)>f (14)>f (12)[解析] 由函数y ＝log 3x 的图象知，图象呈上升趋势，即随x 的增大，函数值y 在增大，故f (14)<f (12)<f (2)．4．(2019·某某文，5)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( A )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b[解析]a ＝log 27>log 24＝2，log 38<log 39＝2，log 38>log 33＝1，∴1<b <2，c ＝0.30.2<0.30＝1，∴c <b <a ，故选A ．5．(2019·全国卷Ⅱ理，6)若a >b ，则( C ) A ．ln(a －b )>0 B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0D ．|a |>|b |[解析]∵函数y ＝x 3在R 上是增函数， ∴若a >b ，则a 3>b 3，∴a 3－b 3>0，故选C ．6．(2019·某某泸西一中高一期中测试)函数y ＝lg|x |x的图象大致是( D )[解析]∵函数y ＝lg|x |x是奇函数，∴其图象关于原点对称，排除A 、B ；又∵x ＝1时，y ＝0，排除C ，故选D ．二、填空题7．(2019·某某某某高一期中测试)不等式log 2x <12的解集为__(0，2)__.[解析] 由题意得log 2x <log 2212，∴0<x <212，∴0<x <2，故不等式的解集为(0，2)．8．(2019·某某云天化中学高一期末测试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1x <2log 3x 2－1x ≥2，则f [f (2)]＝__2__.[解析]∵x ≥2时，f (x )＝log 3(x 2－1)， ∴f (2)＝log 33＝1， ∴f [f (2)]＝f (1)，又∵x <2时，f (x )＝2e x －1，∴f (1)＝2e 0＝2，∴f [f (2)]＝f (1)＝2. 三、解答题9．已知f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，(a ＞0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域、值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0x ＋3＞0，∴－3<x <1∴函数f (x )的定义域为{x |－3＜x ＜1}．f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)，令t ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∵x ∈(－3,1)，∴t ∈(0,4]．∴y ＝log a t ，t ∈(0,4]．当0＜a ＜1时，y min ＝f (4)＝log a 4， ∴函数f (x )的值域为[log a 4，＋∞)．当a ＞1时，y max ＝log a 4，∴函数f (x )的值域为(－∞，log a 4]．(2)∵函数f (x )有最小值－2，由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1log a 4＝－2，得a ＝12.B 级素养提升一、选择题1．已知函数f (x )＝log a (x 2＋2x －3)，若f (2)＞0，则此函数的单调递增区间是( D ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)∪(－∞－3) C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[解析]∵f (2)＝log a 5＞0＝log a 1，∴a ＞1.由x 2＋2x －3＞0，得函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．设u ＝x 2＋2x －3，则此函数在(1，＋∞)上为增函数．又∵y ＝log a u (a ＞1)为增函数，∴函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D ．2．(2018·某某文，5)已知a ＝log 372，b ＝(14)13 ，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( D )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b[解析]∵函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴log 1315＝log 35>log 372>log 33＝1，又(14)13 <(14)0＝1，∴c >a >b ，故选D ． 3．(2019·某某理，6)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( A )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b[解析]a ＝log 52<log 55＝12，b ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1,0.51<0.50.2<0.50，∴12<0.50.2<1，∴12<c <1，∴a <c <b ，故选A ． 4．已知函数f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，则a 的取值X 围为( B ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(2，＋∞)D ．(0,1)[解析] 由题意得a >0且a ≠1,2－ax >0，∴x <2a ，即函数f (x )的定义域为(－∞，2a )．∵函数在[0,1]上为减函数，∴2a>1，即a <2，∵函数y ＝log a (2－ax )在(0,1)上是减函数，又t ＝2－ax 为减函数，∴y ＝log a t 是增函数，∴a >1，∴1<a <2.二、填空题5．已知f (x )＝|log 2x |，若f (a )>f (4)，则a 的取值X 围是__(0，14)∪(4，＋∞)__.[解析]∵f (4)＝|log 24|＝2.∴不等式化为f (a )>2，即|log 2a |>2，∴log 2a >2或log 2a <－2，∴a >4或0<a <14.6．若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__1__. [解析]∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)，∴－ln(－1＋a ＋1)＝ln(1＋a ＋1)， ∴ln(1＋a ＋1)＋ln(－1＋a ＋1)＝0， ∴ln[(a ＋1)2－1]＝0， ∴ln a ＝0，∴a ＝1. 三、解答题7．设f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求当x <0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )≤2.[解析] (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )，又f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 12 (－x )．故当x <0时，f (x )＝－log 12(－x )．(2)由题意及(1)知，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0log 12x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0－log 12－x ≤2，解得x ≥14或－4≤x <0.∴不等式的解集{x |x ≥14或－4≤x <0}．8．已知函数f (x )＝log a (3＋2x )，g (x )＝log a (3－2x )(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )－g (x )的定义域；(2)判断函数f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明； (3)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值X 围．[解析] (1)使函数f (x )－g (x )有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＞03－2x ＞0，解得－32＜x ＜32.所以函数f (x )－g (x )的定义域是{x |－32＜x ＜32}．(2)f (x )－g (x )为奇函数．证明：由(1)知函数f (x )－g (x )的定义域关于原点对称．f (－x )－g (－x )＝log a (3－2x )－log a (3＋2x )＝－[log a (3＋2x )－log a (3－2x )]＝－[f (x )－g (x )]，∴函数f (x )－g (x )是奇函数．(3)f (x )－g (x )＞0，即log a (3＋2x )＞log a (3－2x )．当a ＞1时，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＞3－2x 3－2x ＞03＋2x ＞0，解得x 的取值X 围是(0，32)．当0＜a ＜1时，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＜3－2x 3－2x ＞03＋2x ＞0，解得x 的取值X 围是(－32，0)．综上所述，当a ＞1时，x 的取值X 围是(0，32)；当0＜a ＜1时，x 的取值X 围是(－32，0)．9．(2019·某某宿迁市高一期末测试)已知函数f (x )＝ln(1＋x )＋ln(a －x )为偶函数． (1)某某数a 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性． [解析] (1)∵f (x )为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，∴ln(1－x )＋ln(a ＋x )＝ln(1＋x )＋ln(a －x )， ∴ln(1－x )－ln(1＋x )＝ln(a －x )－ln(a ＋x )， ∴ln 1－x 1＋x ＝ln a －x a ＋x ，∴1－x 1＋x ＝a －x a ＋x，整理得2x (a －1)＝0，∵x 不恒为0，∴a －1＝0，∴a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )，要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >01－x >0，∴－1<x <1.∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．设任意x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2，∴f(x2)－f(x1)＝ln(1＋x2)＋ln(1－x2)－ln(1＋x1)－ln(1－x1) ＝ln(1－x22)－ln(1－x21)当－1<x1<x2<0时，x21>x22，1－x21<1－x22，∴ln(1－x22)>ln(1－x21)，∴ln(1－x22)－ln(1－x21)>0，∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(－1,0)上是增函数，当0≤x1<x2<1时，x21<x22，∴1－x21>1－x22，∴ln(1－x21)>ln(1－x22)，∴ln(1－x22)－ln(1－x21)<0，∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)<f(x1)，∴f(x)在[0,1)上是减函数．综上可知，函数f(x)在(－1,0)上是增函数，在[0,1)上是减函数．。

九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件

2
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2

课时作业13：§2.4二次函数与幂函数

§2.4二次函数与幂函数基础组1.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或22．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )3．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( ) A ．－116B ．－18C ．－14D ．04. 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)5．幂函数f (x )＝x α的图象过点(2,4)，那么函数f (x )的单调递增区间是( ) A ．(－2，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－2)6．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若a ＝c ，则函数f (x )的图象不可能是( )7.已知函数f (x )＝a sin x －12cos2x ＋a －3a ＋12(a ∈R ，a ≠0)，若对任意x ∈R 都有f (x )≤0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32，0 B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(0,1]D ．[1,3]8．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝－x 2－x －1 B ．f (x )＝－x 2＋x －1 C ．f (x )＝x 2－x －1D ．f (x )＝x 2－x ＋19． “a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足条件：①f (3－x )＝f (x )；②f (1)＝0；③对任意实数x ，f (x )≥14a －12恒成立．则其解析式为f (x )＝________.11．已知二次函数图象的对称轴为x ＝－2，截x 轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－2m x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．能力组13.已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间 (－5，－3)上( ) A ．先减后增 B ．先增后减 C ．单调递减D ．单调递增14．函数f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上恒满足f (x )<0，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤0B ．a <－4C．－4<a<0D．－4<a≤0答案D15．当0<x<1时，函数f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x-2的大小关系是________．16．是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1, 1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．参考答案基础组1. B【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B.2．A【解析】函数f (x )＝x 2＋bx ＋c图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2，4c －b 24，则－b 2>0.f ′(x )＝2x ＋b ，令f ′(x )＝0，得x ＝－b2>0，即导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点位于x 轴正半轴上，且斜率为正，故选A.3．A【解析】设x ∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0,1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2，又f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝2f (x ＋1)＝4f (x )，∴f (x )＝14(x 2＋3x ＋2)∴当x ＝－32时，取到最小值为－116.4. D【解析】解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3.所以f (x )＝24,(,2][3,)1,(2,3)x x x x +∈-∞-+∞⎧⎨-∈-⎩ 其图象如下图实线所示，由图可知，当－2≤k <1时，函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，故选D.5． C【解析】因为函数过点(2,4)，所以4＝2α，α＝2，故f (x )＝x 2，单调增区间为[0，＋∞)，选C.6． D【解析】由A 、B 、C 、D 四个选项知，图象与x 轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若只有一个交点，则x 1＝x 2.因为a ＝c ，所以x 1x 2＝ca ＝1，比较四个选项，可知选项D 的x 1<－1，x 2<－1，所以D 不满足．故选D.7. C【解析】化简函数得f (x )＝sin 2x ＋a sin x ＋a －3a.令t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则g (t )＝t 2＋at ＋a－3a ，问题转化为使g (t )在[－1,1]上恒有g (t )≤0，即3(1)103(1)120g ag a a ⎧-=-≤⎪⎪⎨⎪=+-≤⎪⎩解得0<a ≤1，故选C. 8．D【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得221(1)(1)()2c a x b x c ax bx c x=⎧⎨++++-++=⎩ 故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝x 2－x ＋1.故选D. 9．B【解析】函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．10．x 2－3x ＋2【解析】依题意可设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －322＋k ，由f (1)＝14a ＋k ＝0，得k ＝－14a ，从而f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －322－a 4≥14a －12恒成立，则－a 4≥14a －12，且a >0，即14a ＋a 4－12≤0，即a 2－2a ＋14a ≤0，且a >0，∴a ＝1. 从而f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －322－14＝x 2－3x ＋2.11．解 ∵二次函数图象的对称轴为x ＝－2，∴可设所求函数的【解析】式为f (x )＝a (x ＋2)2＋b .∵二次函数f (x )的图象截x 轴所得的弦长为4，∴f (x )过点(－2＋2,0)和(－2－2,0)．又二次函数f (x )的图象过点(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝02a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－2.∴f (x )＝12(x ＋2)2－2.即f (x )＝12x 2＋2x －1.12．解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故(3)5(2)2f f =⎧⎨=⎩∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.②当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故(3)5(2)2f f =⎧⎨=⎩∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2.若g (x )在[2,4]上单调，则2＋2m 2≤2或2m ＋22≥4，∴2m ≤2或2m ≥6，即m ≤1或m ≥log 26.故m的取值范围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞)．能力组13. D【解析】当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数；当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图象的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增，故选D.14．D【解析】当a ＝0时，f (x )＝－1在R 上恒有f (x )<0；当a ≠0时，∵f (x )在R 上恒有f (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0a 2＋4a <0，∴－4<a <0. 综上可知：－4<a ≤0. 15．h (x )>g (x )>f (x )【解析】如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知，h (x )>g (x )>f (x )．16．解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数， ∴(1)132(1)12f a f a -=+=-⎧⎨=-=⎩ ⇒a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，2()2(1)12f a a a f a ⎧=-=-⎨=-=⎩ ⇒a ＝－1；当0<a ≤1时，2()2(1)132f a a a f a ⎧=-=-⎨-=+=⎩ ⇒a 不存在；当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数， ∴(1)132(1)12f a f a -=+=⎧⎨=-=⎩ ⇒a 不存在．综上可得a ＝－1.。

北师大版九年级数学下册课件 2.2 第4课时二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质

由（1）知二次函数图象的对称轴为直线x＝－2，
∴ 当x＞－2时，y随x的增大而减小．
四、课堂小结
配方法
b 2 4ac b 2
y a( x )
2a
4a
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
(顶点式)
公式法
b 4ac b2
顶点： ( ,
)
2a
4a
b
对称轴： x
2a
五、当堂达标检测
议一议：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是怎样的？
2
b
4
ac

b
)
二次函数y=ax2+bx+c的图象：顶点坐标(- ，
2a
4a
（a>0）
O
y
x b
2a
（a<0）
最大值
x
最小值
O
y x b
2a
x
二、自主合作，探究新知
知识要点
函数
开口方向
对称轴
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
= + + (＞0)
轴是直线=1，顶点坐标为(1,4).
(2) y=2x2-12x+8；
(2) y = 2x2－12x+8
= 2(x2－6x)+8
= 2(x2－6x+9-9)+8
= 2(x2－6x+9)－18+8
= 2(x－3)2－10
∴二次函数y=2x2－12x+8的对称轴
是直线=3，顶点坐标为(3,-10).
二、自主合作，探究新知

北师大版数学九年级下册习题课件2.2二次函数的图象与性质第3课时二次函数y=a(x-h)2,y=

7．(3分)(兰州中考)已知点A(1，y1)，B(2，y2)都在抛物线y＝－(x＋1)2＋2 上，则下列结论正确的是( A ) A．2>y1>y2 B．2>y2>y1 C．y1>y2>2 D．y2>y1>2 8．(3分)(易错题)对于二次函数y＝4(x－m)2－3，当x≤2时，y随x的增大而
减小，则m的取值范围是___m__≥_2_______．
解：(1)y＝－(x－3)2＋4，画图略 (2)当 x<3 时，y 随 x 的增大而增大
9．(3分)如图所示的是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，则该图象在y轴右侧与x轴的交点的坐标是(1，0)．
14．如图，点A，B的二坐标次分别函为数(0，4y)和＝(3a，x4)2，的抛物图线象y＝a与(x－二m)2次＋n函的顶数点在y线＝段aAB(x上－运动h(抛)2物，线y随顶点一起平移)，与x轴交于
解：(1)将点 A(－2，0)，C(0，94
16a＋c＝0， )代入 y＝a(x－2)2＋c，得4a＋c＝94，
解得a＝－136， c＝3，
∴抛物线的表达式为 y＝－136
(x－2)2＋3，即 y＝－136
x2＋34 x＋94 ，∴顶点 D 的坐标为(2，3)
(2)当 y＝－136 (x－2)2＋3＝0 时，解得 x1＝－2，x2＝6，∴A(－
一、选择题(每小题6分，共12分)
CA．．y开C＝口3．x向2－下y3＝DB3．．x对y2＝－称3(轴x3＋是3直)2线Dx．＝my＝3(x＋3)2
AA．．2－1>3y21>．By2．(64B分．C2．>)7y若2>Dy将1．8抛物线y＝5x2先向右平移2个单位长度，所得到的抛物线的表

高中数学第二章函数 2.4.1 二次函数性质的再研究(一)课时作业北师大版必修1

∴a＝，则y＝ x2＋bx＋c.
又(1，n)，(m,1)两点均在直线y＝x－2上，
∴ ⇒ ，即点(1，－1)和(3,1)均在二次函数y＝ x2＋bx＋c的图象上．
∴ ，解得 .
∴所求二次函数的解析式为y＝ x2－x－ .
12．f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1]，t∈R，求：
(1)f(x)的最小值g(t)的解析式；
6．二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x＋2)，又f(0)＝3，f(2)＝1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是()
A．(0，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(0,2) D．[2,4]
答案：D
解析：二次函数f(x)关于x＝2对，画出图像，知m∈[2,4]．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
答案：8
解析：令y＝0，则－x2－2x＋3＝0解得：x1＝1，x2＝－3.
所以两交点坐标为(－3,0)，(1,0)．
∵y＝－x2－2x＋3＝－(x2＋2x＋1)＋4＝－(x＋1)2＋4
∴C点的坐标为(－1,4)．∴S△ABC＝ ×4×4＝8.
9．已知关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
(2)g(t)的最小值．
解：(1)∵f(x)＝(x－2)2－8，∴f(x)的对称轴是直线x＝2.
当2∈[t，t＋1]，即t≤2≤t＋1时，1≤t≤2，g(t)＝f(2)＝－8；
当2＞t＋1，即t＜1时，f(x)在[t，t＋1]上随x增大f(x)减小．
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
当t＞2时，f(x)在[t，t＋1]上随x增大f(x)增大，
3．若函数f(x)＝－2x2－mx＋3满足对于任意实数x，都有f(3＋x)＝f(3－x)，则m＝()

北师大版九年级下册第二章二次函数2.2 二次函数的图象与性质(第1课时) 教学设计

第二章二次函数《二次函数的图象与性质（第1课时）》一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法画函数图象的方法.在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法画函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法画函数2x y ±=的图象，并能根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.为此，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够利用描点法画函数2x y =的图象，能根据图象认识和理解二次函数2x y =的性质．2．猜想并能作出2x y -=的图象，能比较它与2x y =的图象的异同．过程与方法1．经历探索二次函数2x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数2x y =的图象及性质，对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．情感与态度1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点：作出函数2x ±的图象，并根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.教学难点：由2x y =的图象及性质对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点.教学过程分析（一）创设问题情境，引入新课［师］我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为c bx ax y ++=2（其中c b a 、、均为常数且0≠a ）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题.（二）新课讲解1、作函数2x y =的图象［师］一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数2x y =.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？［生］记得. 列表，描点，连线.［师］非常正确，下面就请同学们跟我按上面的步骤作出2x y =的图象.（1）列表：（2）在直角坐标系中描点.（3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象.［师］同学们有没有什么疑惑？们都是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？［师］这个问题提得好.二次函数图象是到底用直线连接还是用光滑的曲线来连接更为合理呢？不知同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量1与2之间还有无数个小数，假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了.不妨取20个点试试，再取50个点试试.[生]老师，我明白了，取的点足够多时我们就能看出其本来面貌的.2、议一议对于二次函数2x y =的图象，（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.（2）图象与x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当0<x 时，随着值的增大，的值如何变化？当0>x 时呢？（4）当x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.［生］（1）图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影.（2）图象与x 轴有交点，交于原点，交点坐标就是（0，0）.（3）当0<x 时，图象在y 轴的左侧随着x 值的增大，y 的值逐渐减小；当0>x 时，图象在y 轴的右侧，随着x 值的增大，y 的值逐渐增大.（4）观察图象可知，当x=0时，y 的值最小，最小值为0.（5）观察图象是轴对称图形，它的对称轴是y 轴，从刚才的列表中可找到对应点（-1，1）和（1，1）；（-2，4）和（2，4）；（-3，9）和（3，9）.［师］大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下.3、2x y =的图象的性质［师］二次函数________2的图象是一条x y =，它的开口________,且关于______对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的________,它是图象的_________.同学们在补充一下：［生］（1）最低点坐标是（0，0）.（2）在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大.（3）图象与x 轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）.（4）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x ＝0时，y 最小值＝0.4、做一做PPT 显示：2x y -=二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数2x y =的图象有什么关系？与同伴进行交流.［师］请大家按照画图的步骤作出函数2x y -=的图象.［生］2x y -=的图象如右图：形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与2x y =的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看作是关于x［师］下面我们试着讨论2x y -=的图象的性质.［生］（1）抛物线的开口方向是向下.（2）它的图象有最高点，最高点坐标是（0，0）.（3）它是轴对称图形，对称轴是y 轴.在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小.（4）图象与x 轴有交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）.（5）因为图象有最高点，所以函数有最大值，当0=x 时，y 最大值＝0.［师］大家总结得非常棒.5、2x y =函数与的2x y -=图象的比较.我们观察函数2x y =与2x y -=的图象，并对图象的性质作系统的研究，现在我们再来比较一下它们的图象的异同点.（1）、开口方向不同，2x y =开口向上，2x y -=开口向下.（2）、函数值随自变量增大的变化趋势不同，在2x y =图象上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 着的增大而减小，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大.在2x y -=的图象上正好相反.（3）、在2x y =中y 有最小值，即0=x 时，y 最小值＝0；在2x y -=中，y 有最大值.即当0=x 时，y 最大值＝0.（4）、2x y =有最低点，2x y -=有最高点.相同点：（1）、图象都是抛物线.（2）、图象都与x 轴交于点（0，0）.（3）、图象都关于y 轴对称.联系：它们的图象关于x 轴对称.6、思考拓展.［师］从上面的比较中，还有没有什么问题要提出来？［生］从2x y =和2x y -=两个二次函数的解析式来比较，只是相差一个符号，而图象的张口方向却正好相反.那么二次函数的图象的开口方向到底跟什么有关呢？［师］很善于思考.我们现在来看这几个二次函数的图象22x y =、23x y =（二次项系数均为正值），再来看另几个二次函数图象22x y -=、23x y -=（二次项系数均为负值），你们发现了什么规律？［生1］原来二次项系数为正时，抛物线开口朝上，二次项系数为负时，抛物线开口朝下.［生2]老师，我还发现从二次项系数的绝对值来看，绝对值越大，开口越小，绝对值越小，开口越大.［师］说得非常好，对于2ax y =这类二次函数来说，a 与其张口大小、张口方向都有关系.（并就本节整体内容进行总结，并给学生以感想的时间.）（三）布置作业设计思路：先通过列表描点连线初步得到2x y =的图象，进而通过增加满足函数的点数感悟此函数的真正图象，并通过观察图象来了解2x y =函数图象的性质特征.利用相同办法同时研究2x y -=图象的性质，并对两函数进行对比，体会造成图象不同的原因，并进而引发学生产生是不是二次函数二次项系数a 为正开口向上、二次项系数为负开口向下的疑问并画图验证，而由此又生发出a 的绝对值对其张口大小的思考，教师通过课件解惑并归纳.。

九年级数学下册第二章二次函数2.2二次函数的图像与性质2.2.1二次函数y=±x2的图象与性质练习

2018-2019学年九年级数学下册第二章二次函数2.2 二次函数的图像与性质2.2.1 二次函数y＝±x2的图象与性质同步练习（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第二章二次函数2.2 二次函数的图像与性质2.2.1 二次函数y＝±x2的图象与性质同步练习（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时作业（九)[第二章 2 第1课时二次函数y＝±x2的图象与性质］一、选择题1．下列关于二次函数y＝x2的图象的说法:①是一条抛物线；②开口向上；③是轴对称图形；④过点(0,0)；⑤它的顶点是原点,且是抛物线的最高点；⑥y的值随x值的增大而增大．其中正确的有(）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．下列函数中，当x>0时,y的值随x值的增大而减小的是( )A．y＝x2 B．y＝x－1C．y＝错误!x D．y＝错误!3．下列关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点说法错误的是( )A．抛物线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴B．在同一直角坐标系中，抛物线y＝x2和y＝－x2既关于x轴对称，又关于原点对称C．抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反D．点A(－3，9）既在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上4．二次函数y＝x2与一次函数y＝－x－1在同一直角坐标系中的图象大致为（）图K－9－15．已知a＜－1，点(a－1，y1）,(a，y2），(a＋1，y3）都在函数y＝x2的图象上,则（）错误!A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3二、填空题6．函数y＝x2的图象的顶点坐标为________,若点（a，4）在该函数图象上，则a的值是________．7．如图K－9－2，A，B分别为抛物线y＝x2上的两点，且线段AB⊥y轴，若AB＝6，则直线AB的表达式为________．图K－9－28．如图K－9－3，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处,AD∥x轴,以O 为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是________．图K－9－3三、解答题9．已知抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m都经过点（2，n）．(1）画出y＝－x2的图象,并求出m,n的值；(2）抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m是否存在另一个交点？若存在,请求出这个点的坐标．规律探究如图K－9－4，点A1，A2，A3,…，A n在抛物线y＝x2上,点B0，B1，B2,B3，…，B n 在y轴上，若△A1B0B1,△A2B1B2，…，△A n B n－1B n都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)，则△A2018B2017B2018的腰长等于________．图K－9－4详解详析【课时作业】[课堂达标］1．［解析] B ①②③④正确．2．[答案］ D3．[解析］ D 点A（－3，9）在抛物线y＝x2上，但不在抛物线y＝－x2上．故选D。

北师大版高中数学必修一目录

必修（第一册）（共计72 课时）第一章集合与常用逻辑用语（10课时）1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3 集合的基本运算阅读与思考集合中元素的个数1.4 充分条件与必要条件阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件1.5 全称量词与存在量词第二章一元二次函数、方程和不等式（8课时）2.1 等式性质与不等式性质2.2 基本不等式2.3 二次函数与一元二次方程，不等式第三章函数的概念与性质（12课时）3.1 函数的概念及其表示阅读与思考函数概念的发展历程3.2 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象3.3 幂函数探究与发现探究函数的图象与性质3.4 函数的应用（一）文献阅读与数学写作* 函数的形成与发展第四章指数函数与对数函数（16课时）4.1 指数4.2 指数函数阅读与思考放射性物质的衰减信息技术应用探究指数函数的性质4.3 对数阅读与思考对数的发明4.4 对数函数探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系4.5 函数的应用（二）阅读与思考中外历史上的方程求解文献阅读与数学写作* 对数概念的形成与发展数学建模（3课时）建立函数模型解决实际问题第五章三角函数（23课时）5.1 任意角和弧度制5.2 三角函数的概念阅读与思考三角学与天文学5.3 诱导公式5.4 三角函数的图象与性质探究与发现函数及函数的周期探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质5.5 三角恒等变换信息技术应用利用信息技术制作三角函数表5.6 函数5.7 三角函数的应用阅读与思考振幅、周期、频率、相位必修（第二册）（共计69 课时）第六章平面向量及其应用（18课时）6.1 平面向量的概念6.2 平面向量的运算阅读与思考向量及向量符号的由来6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.4 平面向量的应用阅读与思考海伦和秦九韶数学探究（2课时）用向量法研究三角形的性质第七章复数（8课时）7.1 复数的概念7.2 复数的四则运算阅读与思考代数基本定理7.3*复数的三角表示探究与发现的次方根第八章立体几何初步（19课时）8.1 基本立体图形8.2 立体图形的直观图阅读与思考画法几何与蒙日8.3 简单几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、锥体的体积8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.5 空间直线、平面的平行8.6 空间直线、平面的垂直阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法文献阅读与数学写作*几何学的发展第九章统计（13课时）9.1 随机抽样阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应信息技术应用统计软件的应用9.2 用样本估计总体阅读与思考统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题阅读与思考大数据9.3 案例统计公司员工的肥胖情况调查分析第十章概率（9课时）10.1 随机事件与概率10.2 事件的相互独立性10.3 频率与概率阅读与思考孟德尔遗传规律选择性必修（第一册）（共计43 课时）第一章空间向量与立体几何（15课时）1.1 空间向量及其运算1.2 空间向量基本定理1.3 空间向量及其运算的坐标表示阅读与思考向量概念的推广与应用1.4 空间向量的应用第二章直线和圆的方程（16课时）2.1 直线的倾斜角与斜率2.2 直线的方程探究与发现方向向量与直线的参数方程2.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何2.4 圆的方程阅读与思考坐标法与数学机械化2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系第三章圆锥曲线的方程（12课时）3.1 椭圆信息技术应用用信息技术探究点的轨迹：椭圆3.2 双曲线探究与发现为什么是双曲线的渐近线3.3 抛物线探究与发现为什么二次函数的图象是抛物线阅读与思考圆锥曲线的关学性质及其应用文献阅读与数学写作* 解析几何的形成与发展选择性必修（第二册）（共计30 课时）第四章数列（14课时）4.1 数列的概念阅读与思考斐波那契数列4.2 等差数列4.3 等比数列阅读与思考中国古代数学家求数列和的方法4.4*数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用（16课时）5.1 导数的概念及其意义5.2 导数的运算探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解5.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质文献阅读与数学写作* 微积分的创立与发展选择性必修（第三册）（共计35 课时）第六章计数原理（11课时）6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少6.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质6.3 二项式定理数学探究（2课时）杨辉三角的性质与应用第七章随机变量及其分布（10课时）7.1 条件概率与全概率公式阅读与思考贝叶斯公式与人工智能7.2 离散型随机变量及其分布列7.3 离散型随机变量的数字特征7.4 二项分布与超几何分布探究与发现二项分布的性质7.5 正态分布信息技术应用概率分布图及概率计算第八章成对数据的统计分析（9课时）8.1 成对数据的统计相关性8.2 一元线性回归模型及其应用阅读与思考回归与相关8.3 列联表与独立性检验数学建模（3课时）建立统计模型进行预测。

高中数学第二章函数2.4.2二次函数的性质课时作业2北师大版必修1

—————————— 新学期新成绩新目标新方向 ——————————2.4.2二次函数的性质一、选择题1．下列区间中，使y ＝－2x 2＋x 增加的是( ) A ．R B ．[2，＋∞) C ．[14，＋∞)D ．(－∞，14][答案] D[解析] 由y ＝－2(x －14)2＋18，可知函数在(－∞，14]上是增加的．2．函数y ＝ax 2＋bx ＋3在(－∞，－1]上是增加的，在[－1，＋∞)上是减少的，则( ) A ．b >0且a <0 B ．b ＝2a <0 C ．b ＝2a >0 D ．a ，b 的符号不定[答案] B[解析] 因为函数y ＝ax 2＋bx ＋3在(－∞，－1]上是增加的，在[－1，＋∞)上是减少的，所以a <0，且在对称轴x ＝－b2a＝－1处取最大值，故b ＝2a <0，选B.3．函数y ＝－x 2＋4x 的增区间是( ) A ．[－2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．(－∞，2][答案] D[解析] 函数y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，则对称轴是x ＝2，所以当x ≤2时，函数是增加的．4．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像的最高点为(－1，－3)，则b 与c 的值是( ) A ．b ＝2，c ＝4 B ．b ＝2，c ＝－4 C ．b ＝－2，c ＝4 D ．b ＝－2，c ＝－4[答案] D[解析] ∵y ＝－x 2＋bx ＋c ＝－(x －b2)2＋b 2＋4c4最高点为(－1，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝－1，b 2＋4c 4＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－4.故选D.5．函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]，则函数( ) A ．有最小值0，最大值9 B ．有最小值2，最大值5 C ．有最小值2，最大值9 D ．有最小值1，最大值5[答案] A[解析] 由于f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，图像的对称轴是x ＝－1，所以f (x )在x ＝－1处取得最小值且f (－1)＝0.又f (－2)＝1，f (2)＝9.因此函数的最大值等于9.6．某生产厂家生产总成本y (万元)与产量x (件)之间的解析式为y ＝x 2－85x ，若每件产品售价25万元，则该厂所获利润最大时生产的产品件数为( )A ．35B ．45C ．55D ．65[答案] C[解析] 生产x 台时，所获利润f (x )＝25x －y ＝－x 2＋110x ＝－(x －55)2＋3 025. 所以当x ＝55时，f (x )取最大值，即该厂所获利润最大时生产的产品件数是55. 二、填空题7．已知函数f (x )＝4x 2－ x －8在[2,10]上具有单调性，则实数的取值范围是________． [答案] ≤16或 ≥80[解析] 函数f (x )的对称轴为x ＝k8，∴k 8≤2或k8≥10， ∴ ≤16或 ≥80.8．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝ x ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．[答案] (－14，14)[解析] 把(1,4)的坐标代入y ＝ax 2与y ＝ x ＋1中得a ＝4，＝3.所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝3x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14，y ＝14.三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax －3. (1)如果f (a ＋1)－f (a )＝9，求a 的值； (2)问a 为何值时，函数的最小值是－4?[解析] (1)∵f (a ＋1)－f (a )＝(a ＋1)2＋2a (a ＋1)－3－(a 2＋2a 2－3)＝4a ＋1＝9，∴a ＝2.(2)∵由－－4a24＝－4，得a 2＝1，∴a ＝±1.10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ≠0)的图像与y 轴交于点(0,1)，且满足f (－2＋x )＝f (－2－x )(x ∈R )．(1)求该二次函数的解析式；(2)已知函数在(t －1，＋∞)上是增加的，求实数t 的取值范围． [解析] (1)由函数f (x )的图像与y 轴交于点(0,1)，知c ＝1. ∵f (－2＋x )＝f (－2－x )， ∴函数f (x )的对称轴x ＝－22a ＝－1a＝－2. ∴a ＝12.∴f (x )＝12x 2＋2x ＋1.(2)∵函数f (x )在(t －1，＋∞)上是增加的， ∴t －1≥－2.∴t ≥－1.11．(1)当－2≤x ≤2时，求函数y ＝x 2－2x －3的最大值和最小值． (2)当1≤x ≤2时，求函数y ＝－x 2－x ＋1的最大值和最小值． (3)当x ≥0时，求函数y ＝－x (2－x )的取值范围．[解析] (1)作出函数的图像，如图(1)，开口向上，对称轴为x ＝1，所以当x ＝1时，y min ＝－4；当x ＝－2时，y max ＝5.(2)作出函数的图像，如图(2)，开口向下，对称轴为x ＝－12.所以当x ＝1时，y max ＝－1；当x ＝2时，y min ＝－5.(3)作出函数y ＝－x (2－x )＝x 2－2x 在x ≥0时的图像，如图(3)．可以看出：当x ＝1时，y min ＝－1，无最大值．所以，当x ≥0时，函数的取值范围是y ≥－1.一、选择题1．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0[答案] A[解析] 由题意得f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ＝c ，即16a ＋4b ＝0,4a ＋b ＝0，f (1)＝a ＋b ＋c ，因为f (4)>f (1)，所以a ＋b <0，a >0，故选A.2．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( )A ．f (1)≥25B ．f (1)＝25C ．f (1)≤25D ．f (1)>25[答案] A[解析] f (x )＝4x 2－mx ＋5在[m 8，＋∞)上是增加的，故[－2，＋∞)⊆[m8，＋∞)，即－2≥m8，∴m ≤－16.∴f (1)＝9－m ≥25.二、填空题3．设函数f (x )＝4x 2－(a ＋1)x ＋5在[－1，＋∞)上是增加的，在(－∞，－1]上是减少的，则f (－1)＝________.[答案] 1 [解析] ∵a ＋18＝－1，∴a ＝－9.∴f (－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.4．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为________．[答案]3或－1[解析]由图像知f(3)＝0，∴m＝3.由－x2＋2x＋3＝0得x2－2x－3＝0，∴x＝3或－1.三、解答题5．已知函数y＝x2－2x＋3在[0，m]上的最大值为3，最小值为2，求实数m的取值范围．[解析]y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，作出如下函数图像：图像的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,2)．∵函数的最小值为2，∴1∈[0，m]．又∵当y＝3时，解x2－2x＋3＝3，得x＝0或x＝2.再观察图像得：1≤m≤2.6．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋2m＋1的图像上方，试确定实数m 的取值范围．[解析](1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)的图像关于x＝1对称，f(x)的最小值为1，故可设f(x)＝a(x－1)2＋1，因为f(0)＝3，得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.(2)要使函数不单调，则2a <1<a ＋1，则0<a <12.(3)由已知，即2x 2－4x ＋3>2x ＋2m ＋1，化简得x 2－3x ＋1－m >0.设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，则只要g (x )min >0，因为x ∈[－1,1]时，g (x )是减少的，所以g (x )min ＝g (1)＝－1－m ，因此有－1－m >0，得m <－1.7．设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，且f (x )在闭区间[－2,2]上恒取非负数，求a 的取值范围．[解析] f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a －a 24，f (x )≥0在x ∈[－2,2]恒成立的条件是f (x )在x∈[－2,2]上的最小值非负．(1)当－a2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上是增函数，最小值为f (－2)＝7－3a ，由7－3a ≥0，得a ≤73，这与a >4矛盾，此时a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )在[－2,2]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24，3－a －a 24≥0⇒a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.结合－4≤a ≤4，可知此时－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上是减函数，最小值为f (2)＝7＋a ，由7＋a ≥0，得a ≥－7.∵a <－4，∴－7≤a <－4.由(1)(2)(3)可知，a 的取值范围是[－7,2]．8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和一次函数g (x )＝－bx (b ≠0)，其中a ，b ，c 满足a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )．(1)求证：两函数的图像交于不同的两点；(2)求证：方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2. [解析] (1)若f (x )－g (x )＝0，则ax 2＋2bx ＋c ＝0， ∵Δ＝4b 2－4ac ＝4(－a －c )2－4ac＝4[(a －c 2)2＋34c 2]>0，故两函数的图像交于不同的两点．(2)设h (x )＝f (x )－g (x )＝ax 2＋2bx ＋c ，令h (x )＝0可得ax 2＋2bx ＋c ＝0.由(1)可知，Δ>0.∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )，∴a >0，c <0， ∴h (2)＝4a ＋4b ＋c ＝4(－b －c )＋4b ＋c ＝－3c >0，－2b 2a ＝－b a ＝a ＋c a ＝1＋c a<2，即有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0a >0h－2b 2a <2，结合二次函数的图像可知，方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2.9．某地区上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55 0.75元/度之间，经测算，若电价调到x 元/度，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)(元/度)成反比例．又当x ＝0.65元/度时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元/度，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20 ？(收益＝用电量×(实际电价－成本价)) .[解析] (1)∵y 与x －0.4成反比例， ∴设y ＝kx －0.4( ≠0)．将x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k0.65－0.4，解得＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(x ≠25) (2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20 )．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0. 解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． ∵x 的取值范围是0.55 0.75之间，故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴取x ＝0.6.当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20 .。

2018-2019学年高中数学第二章函数 2.4.2 二次函数的性质课时作业3 北师大版必修1

所以函数f(x)图像的对称轴为直线x＝2.
所以f(x)在[0,1]上单调递增．
又因为f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
【答案】1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．(1)若f(x)＝－x2＋2ax在(－∞，2)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax的增区间为(－∞，2)，求实数a的值．
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．[1,2] D．(－∞，2]
【解析】如图所示．
f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，f(0)＝3，f(1)＝2，且f(2)＝3.由图可知只有当m∈[1,2]时，才能满足题目的要求．故选C.
【答案】C
12．已知函数f(x)＝为R上的减函数，则实数a的取值范围为________．
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋2m＋1的图像上方，试确定实数m的取值范围．
【解析】(1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)的图
像关于x＝1对称，f(x)的最小值为1，故可设f(x)＝a(x－1)2＋1，
因为f(0)＝3，得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)要使函数不单调，则2a<1<a＋1，则0<a< ，
2.4.2二次函数的性质
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝x2－2x＋3在(－1,5)上的最小值为()
A．2B．6
C．18 D．22
【解析】判断对称轴x＝1在区间(－1,5)内部，在x＝1取得最小值2.
【答案】A
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则()

2018-2019学年高中数学第二章函数 4.2 二次函数的性质课时作业北师大版必修1

4.2 二次函数的性质[学业水平训练]1．(2014·太原五中月考)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析：选D.函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图像的对称轴为x ＝12，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D.2．如果函数y ＝x 2＋(1－a )x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ≥5B ．a ≤－3C ．a ≥9D ．a ≤－7解析：选C.由题意知对称轴x ＝－1－a2≥4，∴a ≥9.3．若函数y ＝x 2－4x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－8，－4]，则m 的取值范围是( ) A ．(0,2] B ．(2,4) C ．[0,4] D ．[2,4] 解析：选D.由图像知对称轴为x ＝2，f (0)＝－4，f (2)＝－8，f (4)＝－4，若函数在[0，m ]上有最小值－8， ∴m ≥2.若函数在[0，m ]上有最大值－4， ∵f (0)＝f (4)＝－4，∴m ≤4. 综上知：2≤m ≤4.4．(2014·辽宁省实验中学一诊)若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增解析：选B.由于函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上均为减函数，故a ＜0，b ＜0，故二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图像开口向下，且对称轴为x ＝－b2a ＜0，故函数f (x )＝ax 2＋bx在(0，＋∞)上单调递减．5．函数y ＝－x 2＋2x ＋3 的单调减区间为( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[1,3]解析：选D.令y ＝u ，u ＝－x 2＋2x ＋3≥0，则x ∈[－1,3]，当x ∈[－1,1]时，u ＝－x 2＋2x ＋3增加，y ＝u 增加；当x ∈[1,3]时，u ＝－x 2＋2x ＋3减小，y ＝u 减小．6．函数f (x )＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是________．解析：∵f (x )＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x x，x 2－x x ＜，∴可得函数f (x )在区间(－∞，0)及⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上为减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上为增函数．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 7．(2014·西安中学月考)如果函数f (x )＝ax 2－3x ＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋4，函数在定义域R 上单调递减，故在区间(－∞，6)上单调递减．(2)当a ≠0时，二次函数f (x )图像的对称轴为直线x ＝32a.因为f (x )在区间(－∞，6)上单调递减，所以a ＞0，且32a ≥6，解得0＜a ≤14.综上所述，0≤a ≤14.答案：0≤a ≤148．已知二次函数f (x )的二次项系数a ＜0，且不等式f (x )＞－x 的解集为(1,2)，若f (x )的最大值为正数，则a 的取值范围是________．解析：由不等式f (x )＞－x 的解集为(1,2)，可设f (x )＋x ＝a (x －1)(x －2)(a ＜0)，∴f (x )＝a (x －1)(x －2)－x ＝ax 2－(3a ＋1)x ＋2a＝a (x －3a ＋12a )2－a ＋24a＋2a ，其最大值为－a ＋24a＋2a ，若－a ＋24a ＋2a ＞0，可得8a 2＜(3a ＋1)2，即a 2＋6a ＋1＞0，解得a ＜－3－22或a ＞－3＋2 2.答案：(－∞，－3－22)∪(－3＋22，0)9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )的最小值为1； x ＝－5时，f (x )的最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图像对称轴为x ＝－a ， ∵f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.10．某公司生产一种产品每年需投入固定成本为0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投入0.25万元．经预测知，当售出这种产品t 百件时，0＜t ≤5，则销售所得的收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫5t －12t 2万元；若t ＞5，则销售所得的收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫18t ＋232万元． (1)若该公司的这种产品的年产量为x 百件(x ＞0)，请把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y 表示为当年年产量x 的函数；(2)当年产量为多少时，当年公司所获利润最大？(3)当年产量为多少时，当年公司不会亏本？(取21.562 5为4.64)解：(1)当0＜x ≤5时，f (x )＝5x －0.5x 2－(0.5＋0.25x )＝－0.5x 2＋4.75x －0.5.当x ＞5时，f (x )＝18x ＋232－(0.5＋0.25x )＝－0.125x ＋11.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋4.75x －0.5，0＜x ≤5，－0.125x ＋11，x ＞5.(2)当0＜x ≤5时，f (x )＝－0.5x 2＋4.75x －0.5＝－0.5(x －4.75)2＋10.781 25，∴当x ＝4.75时，f (x )max ＝10.781 25.当x ＞5时，f (x )＝－0.125x ＋11＜－0.125×5＋11＝10.375＜10.781 25.∴当年产量为4.75百件时，当年公司所获利润最大，最大利润为10.781 25万元．(3)由题意知f (x )≥0，当0＜x ≤5时，－0.5x 2＋4.75x －0.5≥0，即－21.562 5＋4.75≤x ≤21.562 5＋4.75，∴0.11≤x ≤9.39，又0＜x ≤5，∴0.11≤x ≤5. 当x ＞5时，－0.125x ＋11≥0，∴5＜x ≤88. 综上可得，∴0.11≤x ≤88.[高考水平训练]1．(2014·人大附中期中考试)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1(a ＞0)，若f (m )＜0，则f (m ＋2)与1的大小关系为( )A ．f (m ＋2)＜1B ．f (m ＋2)＝1C ．f (m ＋2)＞1D ．f (m ＋2)≥1解析：选C.二次函数的对称轴为x ＝－1，∵f (m )＝f (－2－m )＜0，且f (0)＝1＞0，∴－2－m ＜0，∴2＋m ＞0.∵二次函数在区间(0，＋∞)上为增函数，故f (2＋m )＞f (0)＝1，故选C.2．(2014·衡水高一检测)若函数f (x )满足下列性质： (1)定义域为R ，值域为[1，＋∞)． (2)图像关于x ＝2对称．(3)对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，若x 1＜x 2，都有f (x 1)＞f (x 2)．请写出函数f (x )的一个解析式________________________________________________________________________ (只要写出一个即可)．解析：函数最小值为1，图像关于x ＝2对称，在(－∞，0)上为减函数，∴f (x )＝(x －2)2＋1(f (x )＝a (x －2)2＋1(a ＞0)均可)．答案：f (x )＝(x －2)2＋1(f (x )＝a (x －2)2＋1(a ＞0)均可)3．已知二次函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，(t ∈R )，试求f (x )的最小值g (t )．解：∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，①当t ＋1≤1，即t ≤0时，由图(1)知，截取减区间上的一段，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1； ②当1<t ＋1≤2即0<t ≤1时，正巧将顶点截取在内，g (t )＝f (1)＝1(见图(2))；③当t ＋1>2，即t >1时，由图(3)可知，截取增区间上的一段，g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1， t ≤0，1， 0<t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.4．已知函数f (x )＝ax 2－4x －1.(1)若a ＝2，求当x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域；(2)若a ＝2，当x ∈(0,1)时，f (1－m )－f (2m －1)＜0恒成立，求m 的取值范围； (3)若a 为非负数，且函数f (x )是区间[0,3]上的单调函数，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x 2－4x －1＝2(x －1)2－3. 所以f (x )在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增，所以f (x )的最小值是f (1)＝－3. 又因为f (0)＝－1，f (3)＝5，所以f (x )的值域是[－3,5]．(2)因为a ＝2，所以由(1)可知：f (x )在[0,1]上单调递减．因为当x ∈(0,1)时，f (1－m )－f (2m －1)＜0恒成立，所以f (1－m )＜f (2m －1)，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m －1，0＜1－m ＜1，0＜2m －1＜1，解得12＜m ＜23.所以m 的取值范围是12＜m ＜23.(3)因为f (x )＝ax 2－4x －1，①当a ＝0时，f (x )＝－4x －1. 所以f (x )在[0,3]上单调递减；②当a ＞0时，f (x )＝a (x －2a )2－4a－1.因为f (x )为[0,3]上的单调函数，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤0，a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3，a ＞0，解得0＜a ≤23.由①②可知，a 的取值范围是[0，23]．。

高中数学第二章函数2.4二次函数性质的再研究学案含解析北师大版必

学习资料§4二次函数性质的再研究内容标准学科素养1。

理解y＝ax2与y＝a(x＋b)2＋k(a≠0）及y＝ax2＋bx＋c的图像之间的关系．2.理解并掌握二次函数的定义域、值域、单调性、对称轴．3。

能利用配方法或图像法掌握二次函数的重要性质．4.会求二次函数在给定闭区间上的最大值、最小值。

提升逻辑推理发挥直观想象恰当分类讨论授课提示:对应学生用书第31页[基础认识］知识点一二次函数的定义预习教材P41－47，思考并完成以下问题(1）函数y＝x2＋2x－2的图像的顶点坐标是________．（2）二次函数的图像过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是_____________．提示：(1)（－1，－3)（2)f（x)＝错误!x2－2x＋1知识梳理二次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数，其中a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0）称为二次函数的一般式,二次函数的解析式还有其他两种形式；顶点式:y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）；零点式：y＝a（x－x1）(x－x2)（a≠0)．说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与x轴有交点的二次函数才有零点式．知识点二二次函数的图像变换错误!(1)y＝x2和y＝2（x＋1）2＋3的图像之间有什么关系?提示:y＝x2的图像各点纵坐标变为原来的2倍，可得y＝2x2的图像;再把y＝2x2的图像向左平移1个单位，再向上移3个单位，得y＝2（x＋1）2＋3的图像．(2)函数y＝3x2－x＋2的图像向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数解析式是________．提示：y＝3x2＋5x＋2知识梳理二次函数的图像变换(1）首先将二次函数的解析式整理成顶点式y＝a(x＋h)2＋k（a≠0),再由二次函数y＝x2的图像经过下列的变换得到：①将函数y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，得到函数y＝ax2的图像．②将函数y＝ax2的图像向左（h＞0）或向右(h＜0）平移｜h|个单位得到y＝a(x＋h）2的图像．③将函数y＝a(x＋h）2的图像向上(k＞0）或向下（k＜0）平移|k｜个单位得到y＝a(x＋h）2＋k的图像．(2）一般地，二次函数y＝a（x＋h）2＋k(a≠0)，a决定了二次函数图像的开口大小和方向;h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移,h负右移”，k决定了二次函数图像的上下平移,而且“k正上移，k负下移"．知识点三二次函数的图像和性质错误!(1）函数y＝2x＋1在［1，2]上的最大值是（)A．3 B．4C．5 D．1（2）函数f(x)＝x2－4x＋3，x∈［1,4]的最小值为________．提示:(1）C（2）－1知识梳理二次函数的图像和性质a＞0a＜0 图像定义域x∈R值域错误!错误!单调性在错误!上递减,在错误!上递增在错误!上递增，在错误!上递减图像①对称轴：x＝－错误!；②顶点：错误!特点［自我检测］1．二次函数y＝（x－3)（x－1)的对称轴是（)A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝－2 D．x＝2解析：函数与x轴两个交点的横坐标分别是1和3，则函数的对称轴为x＝错误!＝2.答案：D2．二次函数y＝－x2＋4x＋t的顶点在x轴上，则t的值是(）A．－4 B．4 C．－2 D．2解析:函数图像开口向下,其最大值为0，即错误!＝0，得t＝－4.答案：A3．已知函数y＝x2－4x＋6，当x∈[1，4]时，则函数的最大值为________．解析：∵y＝x2－4x＋6＝(x－2）2＋2，∴函数y＝x2－4x＋6在［1，2]上递减，在［2,4]上递增．又当x＝1时，y＝3;当x＝4时,y＝6，∴函数的最大值为6.答案：6授课提示：对应学生用书第32页探究一求二次函数的解析式［例1］已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f（x）的最大值为8，求二次函数的解析式．[思路点拨］可以考虑从二次函数的三种形式着手解决，注意各种形式中的要素参数．[解析]法一利用二次函数的一般式．设f(x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）,由题意得错误!解得错误!故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7。

2019高中数学第二章函数2.4.1二次函数的图像课时作业2北师大版必修1

2.4.1 二次函数的图像[A 基础达标]1．用配方法将函数y ＝12x 2－2x ＋1写成y ＝a (x －h )2＋的形式是( )A ．y ＝12(x －2)2－1B ．y ＝12(x －1)2－1C ．y ＝12(x －2)2－3D ．y ＝12(x －1)2－3解析：选A.y ＝12x 2－2x ＋1＝12(x 2－4x ＋4)－1＝12(x －2)2－1.2.已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图，则此函数的解析式可能为( )A ．y ＝12x 2－12x －3B ．y ＝12x 2－12x ＋3C ．y ＝－12x 2＋12x －3D ．y ＝－12x 2－12x ＋3解析：选A.由图像可知，抛物线开口向上，a ＞0，顶点的横坐标为x ＝－b2a ＞0，故b ＜0，图像与y 轴交于负半轴，故c ＜0.3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点坐标为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0，11)，则( ) A ．a ＝1，b ＝－4，c ＝－11 B ．a ＝3，b ＝12，c ＝11 C ．a ＝3， b ＝－6，c ＝11 D ．a ＝3，b ＝－12，c ＝11解析：选D.由题意c ＝11，－b 2a ＝2，44a －b24a＝－1，所以a ＝3，b ＝－12.4．函数y ＝ax ＋1与y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图像可能是( )解析：选C.当a ＞0时，y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，y ＝ax ＋1递增且过(0，1)点，D 不符合，C 符合要求．当a ＜0时，y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，y ＝ax ＋1递减且过(0，1)点，A 、B 不符合，故选C. 5.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图像如图所示，有下列结论：①a ＋b ＋c <0； ②a －b ＋c >0； ③abc >0； ④b ＝2a .其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.由题图可得f (1)＝a ＋b ＋c <0，f (－1)＝a －b ＋c >0，顶点的横坐标为－b2a＝－1，所以b ＝2a ，ab >0，又f (0)＝c >0，所以abc >0.故选D.6．如果函数f (x )＝(4－a 2)x 2＋4(a －2)x －4的图像恒在x 轴下方，则实数a 的取值范围是________．解析：当4－a 2＝0即a ＝±2时，a ＝2，f (x )＝－4，符合题意，a ＝－2，f (x )＝－16x －4不合题意；当4－a 2≠0时，需⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2＜0，Δ＝16（a －2）2＋16（4－a 2）＜0，解得a ＞2. 答案：[2，＋∞)7．把f (x )＝2x 2＋x －1的图像向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到函数g (x )的图像，则g (x )的解析式为________．解析：由题意有g (x )＝f (x －1)－1＝2(x －1)2＋(x －1)－1－1＝2x 2－3x －1. 答案：g (x )＝2x 2－3x －18．将抛物线y ＝－3(x －1)2向上平移个单位，所得抛物线与x 轴交于两点A (x 1，0)和B (x 2，0)，如果x 21＋x 22＝269，那么＝________．解析：将抛物线y ＝－3(x －1)2向上平移个单位，得抛物线y ＝－3(x －1)2＋＝－3x 2＋6x －3＋ .可知x 1，x 2是方程－3x 2＋6x －3＋＝0的两实数解．所以，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k 3.又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－2（3－k ）3＝269，解得＝43. 答案：439．已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝ax 2＋bx ， f (2)＝0，方程f (x )＝x 有两个相等的实数根．求函数f (x )的解析式．解：因为方程f (x )＝x 有两个相等的实数根，且f (x )＝ax 2＋bx ，所以Δ＝(b －1)2＝0，所以b ＝1，又f (2)＝0，所以4a ＋2＝0，所以a ＝－12，所以f (x )＝－12x 2＋x .10．画出函数y ＝x 2－2x －3的图像，并根据图像回答： (1)方程x 2－2x －3＝0的根是什么？(2)x 取何值时，函数值大于0？函数值小于0? 解：由y ＝x 2－2x －3，得y ＝(x －1)2－4.显然开口向上，顶点(1，－4)，与x 轴交点(3，0)，(－1，0)，与y 轴交点为(0，－3)，图像如图．(1)由图像知x 2－2x －3＝0的根为x ＝－1或x ＝3.(2)当y >0时，就是图中在x 轴上方的部分，这时x >3或x <－1；当y <0时，即抛物线在x 轴下方的部分，这时－1<x <3.[B 能力提升]1．已知x ∈R ，f (x )是函数y ＝2－x 2与y ＝x 中的较小者，则函数f (x )的最大值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选C.在同一直角坐标系中，画出函数y ＝2－x 2与y ＝x 的图像，两函数的交点坐标为(－2，－2)，(1，1)，f (x )的图像为图中实线部分，故其最大值为1，故选C.2．直线y ＝3与函数y ＝x 2－6|x |＋5图像的交点有________个．解析：y ＝x 2－6|x |＋5＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2－4，x ≥0，（x ＋3）2－4，x ＜0，其图像如图，所以与y ＝3有4个交点．答案：43．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像与x 轴相交于点A (－3，0)，顶点的横坐标为x ＝－1，顶点M 到x 轴的距离为2，求此函数的解析式．解：因为二次函数图像的对称轴是x ＝－1，又顶点M 到x 轴的距离为2，所以顶点的坐标为M (－1，2)或M ′(－1，－2)，故设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋1)2＋2或y ＝a (x ＋1)2－2.因为图像过点A (－3，0)，所以0＝a (－3＋1)2＋2或0＝a (－3＋1)2－2，解得a ＝－12或a ＝12.故所求二次函数的解析式为y ＝－12(x ＋1)2＋2＝－12x 2－x ＋32，或y ＝12(x ＋1)2－2＝12x 2＋x －32. 4．(选做题)已知函数g (x )＝ x ＋b ( ≠0)，当x ∈[－1，1]时，g (x )的最大值比最小值大2，又f (x )＝2x ＋3.是否存在常数，b 使得f (g (x ))＝g (f (x ))对任意的x 恒成立？如果存在，求出，b ；如果不存在，请说明理由．解：因为f (g (x ))＝2( x ＋b )＋3，g (f (x ))＝ (2x ＋3)＋b ，又f (g (x ))＝g (f (x ))，所以b ＋3＝3 .因为函数g (x )＝ x ＋b ( ≠0)，当x ∈[－1，1]时，g (x )的最大值比最小值大2，当＞0时，g (1)－g (－1)＝2，即＋b ＋－b ＝2，又有b ＋3＝3 ，所以＝1，b ＝0.当＜0时，g (－1)－g (1)＝2，即－＋b －－b ＝2，又有b ＋3＝3 ，所以＝－1，b ＝－6.综上所述，存在⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝－6使得f (g (x ))＝g (f (x ))对任意的x 恒成立．。

高中数学第二章函数2.4.1二次函数的图像课时作业1北师大版必修1(2021年整理)

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2。

4.1二次函数的图像一、选择题1．已知抛物线经过点（－3，2)，顶点是(－2，3），则抛物线的解析式是( ）A．y＝－x2－4x－1 B．y＝x2－4x－1C．y＝x2＋4x－1 D．y＝－x2－4x＋1[答案]A［解析]设抛物线的解析式为y＝a（x＋2)2＋3。

将点(－3,2）代入，得2＝a(－3＋2）2＋3，即a＝－1。

所以y＝－（x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.2．将函数y＝x2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，（横坐标不变），所得图像对应的函数解析式为( ）A．y＝2x2B．y＝4x2C．y＝错误!x2D．y＝错误!x2［答案］A［解析］由图像变换可知选A。

3．已知抛物线过点(－1，0)，（2,7），（1，4），则其解析式为（)A．y＝错误!x2－2x＋错误!B．y＝错误!x2＋2x＋错误!C．y＝错误!x2＋2x－错误!D．y＝错误!x2－2x－错误![答案］B[解析]设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），则根据题意得错误!解得错误!所以y＝13x2＋2x＋错误!，故选B。

4．已知a≠0，b<0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y＝ax2，则下列图像中,可以成立的是（）［答案]C［解析]由b<0，排除B，D；A是抛物线开口向下，a<0,而直线体现了a〉0,从而排除A.5．将函数y＝2(x＋1）2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单调长度所得图像对应的函数解析式为( )A．y＝2x2B．y＝2(x＋2)2－6C．y＝2x2－6 D．y＝2(x＋2)2[答案]D[解析］将y＝2(x＋1）2－3的图像向左平移1个单位后,得到y＝2(x＋2）2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y＝2（x＋2）2的图像，故选D。